1.3函数的基本性质-课件

所 以ym in
1 31
1 2
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2.若函数y ax 1在[1,2]上的最大值与最小值的 差为2，则实数a的值是 __±__2____
由题意知a≠0,当a>0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递增,有(2a+1)(a+1)=2,解得a=2; 当a<0时,函数y=ax+1在[1,2]上单调递减, 有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2. 综上可得 a=±2
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4.下列函数中，在[1,)上为增函数的是__B____ A.y (x 2)2 B.y | x 1| C.y 1
x 1 D.y (x 1)2
A选项，函数y (x 2)2的图象开口向上，对称轴为x 2, 所以当x 2时，是减函数；当x 2时，是增函数.不满足题意。 B选项，当x 1时，y x 1,是增函数；满足题意. C选项，当x 1时,是减函数，不满足题意. D选项，y (x 1)2图象开口向下，对称轴是x 1.所以当x 1时，是减函数。不满足题意.
y
y1
y 1的单调减区间是 (_____,__0_)___, _(_0, )
x
x
讨论1：根据函数单调性的定义，
x
能不能说y 1 (x 0)在定义域(, 0) U(0, )上 x
是单调减函数?
讨论2：f (x) k (k 0) 在(-∞，0）和（0，+∞)上的单调
性？
x
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函数单调性的判断与证明
a b 0, a b,b a f (x)在R上是增函数， f (a) f (b), f (b) f (a) f (a) f (b) f (a) f (b)
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11.已知函数f(x)=
x2 4x, x 0
,若f(4-a)>f(a),则实数a的取值范围是_______ 4x x2, x 0
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一元二次函数
定义
一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。
y
y
x 0
x 0
由y=ax2+bx+c 配方
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y=ax2+bx+c中a，b，c的作用和判断
y a<0
a(1) 确定抛物线的开口方向：
x
0
y a>0 x
0
y
c (2) 确定抛物线与y轴的交点位置: c
解题思路：
f (x) x2 2ax的图象开口向下，其对称轴为x a.
所以该函数的减区间是[a,),
将参数视为已知数，确定函数的单调区间。
由f (x)在[1,2]是减函数，可得a 1； 与已知的单调区间进行比较，求得参数范围。
由g(x) a 在[1,2]上是减函数，可得a 0. x 1
所以，0 a 1
单调区间
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例1：下图为函数y=f(x), x∈[-4,7] 的图像，指出它的单调区间。
y 3
2
1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o
12 3456
7x
-1
-2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
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例2.画出函数 (1) y 1并(写x 出0单);调区间： x
f (x)为开口向下的二次函数，对称轴为x a 2
该函数的增区间是（- ，- a ] 2
f (x)在区间（- ，1]上单调递增，
将参数视为已知数， 确定函数的单调区间。
- a 1,即a 2, 2
a的取值范围是（- ，- 2]
与已知的单调区间进行比 较，求得参数范围。
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9.若f (x) x2 2ax与g(x) a 在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是_______ x 1
4 综上，a的取值范围是[0, 1]
4
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6. 判断函数 y 在x 定1义域[1，+∞）上的单调性，并给出证明： x
证明：在区间[1，+∞）上任取两个值x1和x2，且x1<x2
则
f
( x1 )
f
(x2 )
( x1
1 x1
)
(
x2
1 x2
)
( x1
x2 )
(
1 x1
1 x2
)
(
x1
x2
)
(
x2 x1
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5. 若函数f(x)=ax²+x+a+1在（-2,+∞）上是单调递增函数，则a的取 值范围是_____[_0__,_14__]_______
当a = 0时，f(x) = x +1在（ - 2,+∞）上是 单）上是单调； 当a ≠0时，由题意知： a>0 - 1 2
2a 解得，0 a 1
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3.已知函数f(x)在R上是增函数， 请判断下列说法是否正确.
（ 1） y = -f(x)在R上是减函数 正确 （ 2） y = 1 在R上是减函数 不正确，例如f(x)=x时.
f (x) （3）y [ f (x)]2在R上是增函数 不正确，例如f(x)=x时. （4）y af (x)(a为实数）在R上是增函数 不正确，当a≦0时，不成立。
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12.函数y x2 (2a 1)x 1在（- ，2]上是减函数，则实数 a的取值范围是 _______
解： y x2 (2a 1)x 1,
该函数开口向上，其对称轴为x - 2a -1 1 2a
2
2
该函数的减区间是（- ，1- 2a ) 2
函数y x2 (2a 1)x 1在（- ，2]上是减函数，
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二次函数的最大（小）值问题
常见两种题型： （1）二次函数在R上的最大（小）值问题。 只需确认图象的开口方向与顶点坐标，直接回答问题即可。
（2）二次函数在指定区间上的最大（小）值问题。 不仅要确认图象的开口方向与顶点坐标，而且要借助函数图象，分析函数在指 定区间上的单调性，从而找出最大（小）值。通常根据区间端点和图象的对称 轴的相对位置进行分类讨论。
如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调减函
函数,I称为f(x)的单调增区间.
数，I称为f(x)的单调减区间.
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高中数学必修一课件全册 （人教A版）
2020年4月27日
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第一章：集合与函数 第二章：基本初等函数 第三章：函数的应用
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第三节：函数的基本性质
包包知 重温常见函数图
y y x 1
o
x
y
y x2
o
x
y y1
x
x
y
y x 1
o
x
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y=-x2+2
12 x
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2. 下列有关函数单调性的说法，不正确的是（C ）
A. 若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)+g(x)为增函数 B. 若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)+g(x)为减函数 C. 若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)+g(x)为增函数 D.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)-g(x)为减函数
解：
（1）由题意知，f (3) 3 2
3
所以f
(
f
(3))
2 3 1
3.
2
（2）证明：
设x1, x2是（1， ）上的任意两个实数，且x1 x2 , 取值
则f
(x1)
f
(x2 )
x1 x1 1
x2 x2 1
作差
x1(x2 1) x2 (x1 1) x2 x1
(x1 1)(x2 1)
(x1 1)(x2 1)
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4. 函数y=-x²+6x+9在区间[a,b](a<b<3)上有最大值9，最小值-7， 则a=__-2____b=__0_____
由函数y=-x²+6x+9可知，函数图象开口向下，其对称轴为x=3. 因为a<b<3, 所以函数y在区间[a,b]上单调递增， 所以当x=b时，y取最大值，即y=-b²+6b+9=9 解得b=0 (b=6不合题意，舍去) 当x=a时，y取最小值，即y=-a²+6a+9=7 解得a=-2 (a=8不合题意，舍去）
由x1, x2 (1,),得(x1 1)(x2 1) 0,
由x1 x2，得x2 x1 0
所以f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 )
由单调性的定义可知，
变形（通分加减） 定号
f (x) x 在（1， ）上单调递减. 结论 x 1
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已知函数的单调性求参数
f (x) x2 4x f (x) 4x - x2
解题思路：
1. 分别画出函数 f (x) x2 4x 和 f (x) 4x - x2
2.根据题意，当x≧0时，f(x)在[0,+∞)上是增函数 （如黑色线段）
3. 当x<0时，f(x)在（-∞，0）上是增函数 （如红色线段） 4. 由图像可判断f(x)在R上单调递增， 故f(4-a)>f(a),4-a>a，即a<2
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10.已知函数 f (x)在（- ， ）上是增函数，若 a,b R, 且a b 0,则有 ___C_
A. f (a) f (b) f (a) f (b) B. f (a) f (b) f (a) f (b) C. f (a) f (b) f (a) f (b) D. f (a) f (b) f (a) f (b)
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3.已知函数 f (x) x2 2x 3,若x [0,2], 求函数f (x)的最大（小）值。
解： 函数f (x) x2 2x 3的图象开口向上，图象的对称轴为x 1, f (x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0) f (2), f (x)max f (0) f (2） -3， f (x)min f (1) 4
2. 图象法: 根据图象进行判断.
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1.定义在R上的函数f (x)对任意两个不相等的实数a,b, 总有 f (a) f（b) 0,则必有___A________
ab A. f (x)在R上是增函数 B. f (x)在R上是减函数 C. f (x)在R上先增后减 D. f (x)在R上先减后增
将参数视为已知数， 确定函数的单调区间。
而f (x)在区间[1,2]上单调，
所以[1,2] [a,)或[1,2] (, a], 解得，a 1或a 2
与已知的单调区间进行比 较，求得参数范围。
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8.若二次函数 f (x) x在2 区a间x 4 上单调递增，,1求a的取值范围。
解： f (x) x2 ax 4,
1. 定义法解题模板
取值
在函数f(x)的定义域内，任意取X1 , X2 ,且 X1<X2
作差变形
作差f(X1) - f(X2) ，并通过因式分解、配方、有理 化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。
定号
确定差f(X1) - f(X2)的符号，当符号不确定时，可 以进行分类讨论。
结论
根据定义得出结论
分两种情况： 若a b,因为 f (a) f (b) 0，所以a b 0, f (a) f (b) 0,即函数f (x)在R上是增函数。
ab 若a b,因为 f (a) f (b) 0，所以a b 0, f (a) f (b) 0,即函数f (x)在R上是增函数。
ab 所以，函数f (x)在R上是增函数，选A.
步骤1. 视参数为已知数，依据简单函数的单调性、函数的图象或函数的单调性定义，确 定函数的单调区间。 步骤2. 与已知的单调区间进行比较，求得参数的范围。
例：已知函数 f (x) x2 2ax 3在区间[1,2]上单调，求实数 a的取值范围.
解：由f (x) x2 2ax 3可得，
二次函数开口向上，且对称轴x a; 所以该函数的增区间是[a,),减区间是（- , a].
x1 x2
)
(
x1
源自文库
x2
)(
x1 x2 x1 x2
1)
作差
变 形
Q x1, x2 1, ，且x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y x在 区1 间上 是增函1,数.
结论
x
取值 定号
包包知
x
0
a、b (3)
确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
Δ<0
y
Δ=0
Δ>0
x
Δ>0 Δ=0 Δ<0
0
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一、函数的基本性质——单调性
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
2 1 2a ，即a 3
2
2
a的取值范围是（- ，- 3] 2
包包知 二、函数的基本性质——极值（最大值和最小值）
y f(x2)
f(x1)
O
x1
最小值呢？ y
f(x1) f(x2)
x2
x
O
x1
x2
包包知
1.函数y
1
1
在[2,3]上的最小值为___2_____
x 1
函数y 1 在[2,3]单调递减， x 1