1.3函数的基本性质-课件
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
人教版高一数学必修一1.3函数的基本性质(单调性)(共25张PPT)
明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他பைடு நூலகம்脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
人教版高一数学必修一函数的基本性质最大(小)值课件PPT
以上这些问题,我们或多或少都曾经历过。我们也都知道,如果 在课堂上学生没有事情可做的话,他们就会自己找事。而且往往 学生自己找来的事都不会是什么好事。
x∈[1,+∞).
(Ⅰ)当a＝ (Ⅱ)若对任意x∈[1,+∞)，f (x)＞0恒成立， 试求实数a的取值范围.
课堂小结
1. 最值的概念；
课堂小结
1. 最值的概念； 2. 应用图象和单调性求最值的一般步骤.
课后作业
1. 阅读教材P.30 -P.32； 2．《习案》：作业10
思考题：
1.已知函数f (x)＝x2－2x－3，若x∈ [t, t ＋2]时，求函数f(x)的最值.
你是否曾注意到,有些学生能够立刻着手行动,并且完成的速度也 很快
你是否曾注意到,有些学生再怎样努力,也无法在规定时间内完成 任务。
你是否曾注意到,学生做练习的时候,往往也是最容易出现课堂 纪律问题的时候。比如,有些学生会在完成自己的任务之后,询问 接下来要做什么,有些学生没有专心完成课堂任务,而是做些违纪 动作,还有些学生不停地抱怨自己不明白要做什么？
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M.
讲授新课
函数最大值概念：
一般地，设函数y＝f (x)的定义域为I. 如果存在实数M，满足： (1)对于任意x∈I，都有f (x)≤M. (2)存在x0∈I，使得f (x0)＝M. 那么，称M是函数y＝f (x)的最大值.
高中数学1.3函数的基本性质 PPT课件 图文
f (x)
1、单调函数的图象特征； 2、函数单调性的定义； 3、证明函数单调性的步骤；
作业 1：证明函数 f(x)＝x＋4x在(0，1)上是减函数． 2、 证明函数f(x)=x 3 在(-∞，+∞)上是增函数.
思考：讨论函数 f(x )x22ax 3
在(-2,2)内的单调性.
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍然没有 找不到 自己满 意的工 作。 2 我问她，心目中理想型的工作是什么样 子的。 她说， 姐，你 知道苏 明玉吗 ？就是 《都挺 好》电 视剧里 的女老 大，我 就喜欢 她样子 的工作 ，有挑 战有成 就感， 有钱有 权，生 活自由 ，如果 给我那 样的工 作，我 会投入 我全部 的热情 。 听她说完，我尴尬的笑了笑。 其实每一个人都向往这样的成功，但这 姑娘却 本末倒 置了， 并不是 有了钱 有了权 有了成 就以后 才全力 以赴的 工作， 而是全 力以赴 工作， 投入了 自己的 全部以 后，才 有了地 位名望 钱财。 你要先投入，才会有收获，当你真正投 入做一 件事后 ，会明 白两件 事：首 先你会 明白， 把一件 事认认 真真做 好，所 获得的
函数的基本性质
§1.3函数的基本性质教材分析函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。
基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。
学情分析学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽象定义。
另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。
总之，本节课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。
教学建议以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。
教学目标知识与技能（1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征（2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性（3）单调性与奇偶性的综合题（4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力过程与方法（1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念（2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学情感、态度与价值观（1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳（2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达课时安排（1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时（2）习题课：5课时第一课时单调性教学重点借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题 教学难点（1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述（2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取21,x x ，且21x x <”的理解）教学过程一、由特殊到一般，引入课题学生画图x y =与x y -=，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受.提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否借助函数定义中x 和y 的对应来表达这种变化的规律？二、新课教学老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左往右看意即我们规定自变量x 越来越大的情况下，上升意味着函数值y 越来越大，下降意味着函数值y 越来越小.）一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数；如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数.如果函数)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间.增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势.三、重点强调1——单调区间老师板书函数图象2x y =，提问学生说出单调区间，指出同一函数在不同区间上单调性是不一致的，即单调性是一个区间概念.例1 图1.3-4是定义在区间]5,5[-上的函数)(x f y =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？注记：①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理.②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号 、“或”字，加一个逗号就行了.（因为]5,3[)1,2[ -代表的是一个集合，任取21,x x 的时候有可能是]5,3[1∈x 而)1,2[2-∈x ，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）.③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域}7,5,3,1{是不谈单调性的. 练习 xy 1=的单调区间是什么 四、重点强调2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小 例2 物理学中的玻意尔定律V k p =（k 为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明之由于k 为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自变量21,x x ，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想——逻辑证明.五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比较函数值的大小关系. 重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值，必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大），在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作.第一，在指定区间任意取21,x x ，并且21x x <.第二，做差 =-21y y ，为了便于判断符号必须变形至①出现21x x -，②出现多项式乘除的形式. 第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意逻辑！六、课堂回顾本节课学习了单调性的概念，利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意，在区间上任意取自变量，并写出函数值并做差来比较函数值大小，最终确定是增函数还是减函数.单调区间的写法七、作业P 39 T 1-3八、板书设计（2）最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题教学难点最值定义的数学语言表述的抽象过程教学过程一、复习旧知学生画图x y =与12+=x y ，请学生说出两个函数的单调性与单调区间，提问，能否在两个图中找出最低点和最高点？如果找到最低点，如何用数学中的数学符号表示出这个最低点？对任意的R x ∈，都有1)(≥x f ，那么函数值1就是函数12+=x y 的所有函数值中最小值.对于函数12+-=x y 容易找出最高点，即所有函数值当中的最大值. 二、定义一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；②存在I x ∈0，使得M x f =)(0.那么，我们称M 是函数)(x f y =的最大值，最小值的概念请一个学生口述.最大值的图形特征是图像中的最高点，是函数值当中的最大的；最小值的图形特征是图像中的最低点，是函数值当中的最小的.三、强调在定义中，最值首先必须是定义域内的自变量对应的函数值，并且是唯一的.1)(M x f ≤？1M 反例：如图，对于任意的I x ∈，是否有能否作为函数的最大值？提问：函数x y 5=，}5,4,3,2,1{∈x值域是 定义域是 单调区间 最大值是 最小值是四、例题例 3 “菊花“烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度hm 与时间ts 之间的关系为187.149.42++-=t t h ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？审题：何时爆裂最佳？即问何时高度最高？直接画出图象求顶点坐标，写出结果.例4 已知函数])6,2[(12)(∈-=x x x f ，求函数的最大值与最小值 强调：观察——猜想——证明——求解这一逻辑过程.五、课堂练习与作业练习P 32T 5 作业P 39T 4-5六、课堂小结1、函数最值的定义2、求最值的一般方法①函数如果是熟悉的一次、二次、反比例函数，可画出草图，由函数图象的性质直接写出最值.②不熟悉的函数先画草图，观察单调性，用定义证明单调性，利用单调性求最值.教学难点分段函数奇偶性问题的处理教学过程一、导入及新课1、观察图1.3-7，找出两个函数有什么共同特征？如何定量的表示这种关系2.一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么)(x f 就叫做偶函数. 偶函数的图形特征是关于y 轴对称！3、再观察图1.3-9，类比偶函数定义及特征归纳奇函数的定义.①奇函数的图形特征是关于原点对称！②学生思考计算：在奇函数中，若0在定义域内的话，利用定义如何计算)0(f 的值（提示：“任意”二字的特殊化处理，从一般走向特殊）4、利用奇偶函数的图形特征，考察函数0=y 的奇偶性5、再看图两个图像是否关于y 轴对称？是不是偶函数？为什么？二、例题讲解并学生总结奇偶性的判别方法例1 判断下列函数的奇偶性①]3,2(,)(2-∈=x x x f ②)2,2(,1)(2-∈-=x x x f ③R x x x f ∈-=,)1()(2 ④x x f =)( ⑤x x x f +=2)(判别奇偶性的一般步骤：（学生总结）第一，判别函数定义域是否关于原点对称；第二，判别)(x f 与)(x f -三、奇偶性函数图象的画法例2 P 35 P 36T 21、奇函数关于原点对称，如何体现在画图中2、通过P 36T 2要提问奇偶函数在对称区间单调性的变化四、分段函数的奇偶性解析式把P 35思考问题变换成如下问题：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f +=3)(，求)(x f 的解析式解略条件变为)(x f 是奇函数，学生独立完成，强调分段函数的各段能合并则合并.五、回顾小结1、奇偶性的概念及如何利用定义规范求解函数的奇偶性2.奇偶函数的单调性变化情况及图形特征3、分段函数的奇偶性问题六、作业P 39T 6七、板书设计。
函数的基本性质ppt课件
1
即函数f（x）＝x＋ 为奇函数．
函数的基本性质
例1 判断下列函数的奇偶性：
（3）f（x）＝0；
（2）f（x）＝ ；
解：（1）函数f（x）的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝0＝-f(x)＝f（x），
函数f（x）既是奇函数，又是偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为[0，＋∞）．
(1)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间
[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．
(2)若函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，在区间[b，c]
上是减(增)函数，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，
最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个．
当 > 0时,(1 ) − (2 )<0，即(1 ) < (2 )
所以函数() = + 在R上单调递增，即函数() = + 是增函数。
当 < 0时,(1 ) − (2 )>0，即(1 ) > (2 )
所以函数() = + 在R上单调递减，即函数() = + 是减函数。
1
（2）f（x）＝x＋
；
解：（1）函数f（x）＝x4的定义域为R．
∀x∈R，都有－x∈R，且f（－x）＝（－x）4＝x4＝f（x），
函数f（x）＝x4为偶函数．
1
（2）函数f（x）＝x＋ 的定义域I为（－∞，0）∪（0，＋∞）．
1
1
∀x∈I，都有－x∈I，且f（－x）＝－x＋ ＝－（x＋ ）＝－f（x），
1.3函数的基本性质——奇偶性2 公开课一等奖课件
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青 春 风 采
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高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校：
北京大学光华管理学 院
北京市文科状元 阳光女孩--何旋
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附赠 中高考状元学习方法
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前言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
练习 1. 如果f (0)＝a≠0，函数f (x)可以是奇函 数吗？可以是偶函数吗？为什么？
(不能为奇函数但可以是偶函数)
2. 如果函数f (x)、g (x)为定义域相同的 偶函数，试问F (x)＝f (x)＋g (x)是不是 偶函数？是不是奇函数？为什么？
1.3函数的基本性质
1
2
3
4
x
习题 1.3 A组 1. 画出下列函数的图象, 并根据图象说出 y=f(x) 的单调区间, 以及在各单调区间上, 函数 y=f(x) 是增 函数还是减函数. y (1) y=x2-5x+5; (2) y=9-x2. 解: (2) 函数也是二次函数, 其图象是开口向下的抛物线,
9 8 7 6 5 4 3 2 1
当超过了这个范围时, 如大于a, 随着工人数 的增多, 生产效率反而下降.
2. 整个上午 (8:00~12:00) 天气越来越暖, 中午时 分 (12:00~13:00) 一场暴雨使天气骤然凉爽了许多, 暴 雨过后, 天气转暖, 直到太阳落山 (18:00) 才又开始 转凉. 画出这一天 8:00~20:00 期间气温作为时间函数 的一个可能的图象, 并说出所画函数的单调区间. 解: 图象如下: 函数的增区间有 [8:00, 12:00], [13:00, 18:00].
1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？ 2、随x的增大，y的值有什么变化？
问题1. (1) 已知函数 f(x)=x , 取 x= -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 列表表示这个函数, 函数值与自变量的 大小变化有什么关系? 画出这个函数的图象, 观察 图象是怎样倾斜的? (2) 同样讨论函数 g(x)=1-x. (1)
(1) 当 x≤0 时, 图象从左到右是下降的. 自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 减小. f(x2) f(x2) x1<x2≤0 时, f(x1)>f(x2). x1 x2o x2 x1 x 2 函数 f(x)=x 在(-∞, 0]上是减函数. (2) 当 x≥0 时, 图象从左到右是上升的. 自变量 x 增大时, 函数值 f(x) 也增大. x1>x2≥0 时, f(x1)>f(x2). 函数 f(x)=x2 在 [0, +∞)上是增函数.
(课件2)1.3函数的基本性质奇偶性
偶函数的性质
偶函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内 任意一个$x$，都有$f(-
x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
偶函数的图像
偶函数的图像关于y轴对称。
偶函数的性质
偶函数在$x=0$处有定义，即 $f(0)=0$。
偶函数的导数
如果一个函数是偶函数，那么 它的导数可能是奇函数或偶函 数，取决于导数的定义和计算
偶函数在其定义域内是连 续的，并且在$x=0$处有 定义。
02
CATALOGUE
奇偶性的判断方法
奇函数的判断方法
奇函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$ ，则称$f(x)$为奇函数。
奇函数的性质
奇函数在原点对称，即当$x=0$时，$f(0)=0$。
奇偶性与周期性的关系
奇函数与周期性的关系
奇函数的周期性
奇函数在数学上具有一些特殊的性质，其中之一就是它的周 期性。奇函数通常具有一个或多个周期，这些周期是函数值 重复出现的点。对于奇函数，其周期通常为2π的整数倍。
奇函数的对称性
奇函数在对称轴两侧的函数值是相等的，但符号相反。因此 ，奇函数在对称轴两侧的函数值会以对称的方式重复出现， 这也是奇函数周期性的一个表现。
THANKS
感谢观看
偶函数在数学问题中的应用
概率分布
在概率分布中，偶函数可以用来 描述随机变量的概率密度函数， 帮助确定随机变量的概率分布规
律。
微分方程
在求解微分方程时，偶函数可以提 供一种对称性，简化方程的求解过 程。
几何形状
在几何形状中，偶函数可以用来描 述对称的几何图形，如圆形、椭圆 形等。
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
高中数学 1.1.3函数的基本性质课件 新人教A版必修1
ppt课件
• 1.3.1 单调性与最大(小)值
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• 1.观察函数y＝x2的图象可见，当x≥0时，
图象是上升的，称此函数在[0，＋∞)上为
增函数，当x≤0时，图象是减 下降的，称此 函数在(－∞，0]上为 函数．
• 2.一般地，设f(x)的定义域为I，如果对于
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4．熟悉常见的一些单调性结论 (1)一次函数 y＝kx＋b (k≠0)，当 k>0 时单调递增， 当 k<0 时单调递减． (2)二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)，当 a>0 时，在 －∞，－2ba上单调递减，在－2ba，＋∞上单调递增，a<0 时相反．
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(3)y＝kx(k≠0)，当 k>0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上 都单调递减．当 k<0 时，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调 递增．
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• [例1] 据下列函数图象，指出函数的单 调增区间和单调减区间．
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• [解析] 由图象(1)知此函数的增区间为 (－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
• 由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞， －1]、[1，＋∞)，减区间为[－1,0)、(0,1].
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• 2．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x) 在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B 上单调递减．
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3．对增函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)， 也可以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＞0. 对减函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，相应 地也可用一个不等式来替代： (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 或f(xx1)1－ －fx(2x2)＜0.
函数的基本性质PPT精品课件
k p= V 例2：物理学中的玻意耳定律
（k为正常数） 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大。试用函数的单调性证明之。 分析：按题意，只要证明函数在区间上是减函数 即可。
点此播放讲课视频
1 探究： y= 画出反比例函数 x 的图象。 （1）这个函数的定义域I是什么？ （2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明 你的结论。
例2．将进货单价40元的商品按50元一个售 出时，能卖出500个，若此商品每个涨价1 元，其销售量减少10个，为了赚到最大利 润，售价应定为多少？ 解：设利润为 x 元，每个售价为 x 元，则 每个涨（ x －50）元，从而销售量减少 10( x 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个) 2 ∴ y=(x-40)(1000-10x) =-10(x-70) 9000 (50 x＜100） ∴ x = 70时 ymax = 9000 ∴答：为了赚取最大利润，售价应定为70 元．
考点二 函数奇偶性的判定
判断函数的奇偶性，应该首先 分析函数的定义域，在分析时，不 要把函数化简，而要根据原来的结 构去求解定义域，如果定义域不关 于原点对称，则一定是非奇非偶函 数．
课堂互动讲练
例2 判断下列各函数的奇偶性： 1 2 (1)f(x)＝lgx ＋lg 2； x 1＋x (2)f(x)＝(x－1) ； 1－x x2＋x，x<0 (3)f(x)＝ 2 － x ＋x，x>0； lg(1－x2) (4)f(x)＝ . |x－2|－2
基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点？ 【思考·提示】 若函数f(x)具 有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点 对称．反之，若函数的定义域不关于 原点对称，则该函数无奇偶性．
(新课标人教A)数学必修一：1-3-1-1函数的基本性质课件
1. 3 函数的基本性质1. 3.1单调性与最大（小）值第1课时函数的单调性【课标要求】1.理解并掌握函数单调性及其几何意义.2.掌握用定义判断函数单调性的一般方法. 【核心扫描】1.判断、证明函数的单调性.（重点、难点）2.求函数的单调区间.（重点）.d KEQIANTANJIUXUEXI01》课前探究学习自学导弓I 1.增函数与减函数的概念设函数斤兀）的定义域为/:①y/Ui)IfM| 1 a0上1 x2先一②挑战自我i点点落实v(l)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值M，兀2，当兀1。
2时，都有」")<%),那么就说函数沧)在区间D上是增函数，如图①所示.(2)如果对于定义域/内某个区间o上的任意两个自变量的值兀1，吃，当X1<X2时，都有曲>仏2),那么就说函数几朗在区间D上是减函数，如图②所示.2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数^=蚣)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.想一想：如图所示函数介兀)的图象，则函数几兀)的单调增区间是(一8, 0] U(0, +8)吗？3.判断（证明）函数的单调性判断（证明）函数单调性的步骤名师点睛1.对函数单调性概念的理解(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性.(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的心、兀2有以下几个特征：一是任意性，即“任意取无1，兀2”，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定兀1心2；三是属于同一个单调区间.(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的不等关系正逆互推，即由九)是增(减)函数且沧1)今＞2)0兀15(兀1＞兀2).(4)并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不存在单调性.若函数出现两个或两个以上的单调区间时，两单调区间不能用连接呦！而用“和”或J ”连接.2・判断函数单调性的常用方法(1)定义法：这是证明或判定函数单调性的常用方法.这种判断函数单调性的最基本的方法在高考中常有考查，一定要引起重视.(2)图象法：根据函数图象的升、降情况进行判断.(3)依据已知函数的单调性判断：如根据已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况.拓展在解答选择或填空题时，也可用到以下结论: ⑴函数y=/（兀）与y = 一/⑴单调性相反；⑵若函数沧）恒正或恒负时，函数y=^与y=fM单调性相反;（3）在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，增函数一减函数=增函数；减函数+减函数=减函数，减函数一增函数=减函数.KETANGJIANGLIANHUDONG》课堂讲练互动循循善诱i触类旁通题型一证明或判断函数的单调性【例1】利用定义判断尢)=$在区间(0, +®)上的单调性.［思路探索］函数解析式和区间已给出，只需利用单调性的定义判断即可.•g)= 上在区间(0, +oo)上是增函数.证明任取X” ％2丘(0，+°°)且刃＜^2,2(" —X 2)(X I + 2)(X 2+2)*V%I <X 2 且 %2丘(°，+°°)，/.%1—%2<0^ %i + 2>0, x 2+2>0,->2)<0,r则 f(X l) — f(X 2)= 刃 _ 兀2 %i +2 X2+2 %!(%2+2)—X 2(^I +2)(%I + 2)(X 2+2)规律方法判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作.利用定义法判断（或运用）函数的单调性的步骤为：（1）取值（注意刃、兀2的任意性）；（2）作差变形（目的是便于判断符号）；（3）判断差的符号；（4）写出结论.【变式11证明函数兀¥）=% + 1在（0，1）上是减函数.A题型二求函数的单调区间【例2］画岀函数y—F+2|X|+3的图象，并指岀函数的单调区间.［思路探索］I化简函数解析式|-|画出函数图象确定单调区间函数图象如图所示.函数在（一8, -1］, ［0,1］±是增函数， 函数在［—1,0］, ［1, +8］上是减函数.•I 函数的单调增区间是（一8, 一 1］和［0,1］, 单调减区间是［—1,0］和［1, + °°）.规律方法(1)由函数图象确定函数单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可以利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求.(2)—个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“U”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接，如函数y=k其定义域为(一°°, 0)U(0, +°°),不能说函数在(一8, 0)U(0, +OO)上单调递减，而只能说函数在(―°°, 0)和(0, +°°)上递减・【变式2】求下列函数的单调区间. (1^) = 3W；(2)/(x) = lx2+2x-3L(2)令f(x) =X2+2X—3 = (x+1)2—4.先作出几劝的图象，保留其在X轴及X轴上方部分，把它在X 轴下方的图象翻到X轴上方就得到y=k2+2x-3l的图象，如图所示.由图象易得：函数的递增区间是(一3, -1), (1, +®)；函数的递减区间是(一8, -3], [-1,1]・题型三函数单调性的应用【例3】（12分）已知函数乐）的定义域为[—2,2],且尢）在区间[ — 2,2]上是增函数，求实数加的取值范围.审题指导利用单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去/符号，转化为关于加的一元一次不等式，解出m 的范围.［规范解答］・・7W在区间［一2,2］上单调递增，・•・一201502时，总有血）*2）成立.反之也成立，即若f （Xi）<f（X2）,则一2£兀1<¥2壬2.（4 分）V/（l——2WmW2•匚—2<1—m<2, （8 分）1 —m<m解得*v加W2.（10分）・•・所求加的取值范围是2.（12分）【题后反思】单调性是函数的重要性质，它在研究函数时具有重要的作用，具体体现在：（1）利用单调性比较大小，利用函数的单调性，可以把比较函数值的大小问题转化为比较自变量的大小的问题；（2）利用单调性求函数的值域或最值；（3）已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题.这类问题能够加深对概念、性质的理解.【变式3］已知函数f(x)=x2-\-2(a 是—l)x+2 在区间(―oo, 4]±减函数，求实数a的取值范围.误区警示因对“单调区间”和“区间上单调”两个概念混淆而出错【示例】若函数=x2+2(a — 1 )x+4的单调递减区间是(一°°, 4］,则实数。
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二次函数的最大（小）值问题
常见两种题型： （1）二次函数在R上的最大（小）值问题。 只需确认图象的开口方向与顶点坐标，直接回答问题即可。
（2）二次函数在指定区间上的最大（小）值问题。 不仅要确认图象的开口方向与顶点坐标，而且要借助函数图象，分析函数在指 定区间上的单调性，从而找出最大（小）值。通常根据区间端点和图象的对称 轴的相对位置进行分类讨论。
x
0
a、b (3)
确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
Δ<0
y
Δ=0
Δ>0
x
Δ>0 Δ=0 Δ<0
0
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一、函数的基本性质——单调性
y
y
f(x2)
f(x1)
f(x1)
f(x2)
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
由x1, x2 (1,),得(x1 1)(x2 1) 0,
由x1 x2，得x2 x1 0
所以f (x1) f (x2 ) 0,即f (x1) f (x2 )
由单调性的定义可知，
变形（通分加减） 定号
f (x) x 在（1， ）上单调递减. 结论 x 1
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已知函数的单调性求参数
如果对于属于定义域A内某个区间I上 的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调减函
函数,I称为f(x)的单调增区间.
数，I称为f(x)的单调减区间.
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10.已知函数 f (x)在（- ， ）上是增函数，若 a,b R, 且a b 0,则有 ___C_
A. f (a) f (b) f (a) f (b) B. f (a) f (b) f (a) f (b) C. f (a) f (b) f (a) f (b) D. f (a) f (b) f (a) f (b)
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5. 若函数f(x)=ax²+x+a+1在（-2,+∞）上是单调递增函数，则a的取 值范围是_____[_0__,_14__]_______
当a = 0时，f(x) = x +1在（ - 2,+∞）上是 单）上是单调； 当a ≠0时，由题意知： a>0 - 1 2
2a 解得，0 a 1
a b 0, a b,b a f (x)在R上是增函数， f (a) f (b), f (b) f (a) f (a) f (b) f (a) f (b)
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11.已知函数f(x)=
x2 4x, x 0
,若f(4-a)>f(a),则实数a的取值范围是_______ 4x x2, x 0
分两种情况： 若a b,因为 f (a) f (b) 0，所以a b 0, f (a) f (b) 0,即函数f (x)在R上是增函数。
ab 若a b,因为 f (a) f (b) 0，所以a b 0, f (a) f (b) 0,即函数f (x)在R上是增函数。
ab 所以，函数f (x)在R上是增函数，选A.
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2. 下列有关函数单调性的说法，不正确的是（C ）
A. 若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)+g(x)为增函数 B. 若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)+g(x)为减函数 C. 若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)+g(x)为增函数 D.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)-g(x)为减函数
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3.已知函数f(x)在R上是增函数， 请判断下列说法是否正确.
（ 1） y = -f(x)在R上是减函数 正确 （ 2） y = 1 在R上是减函数 不正确，例如f(x)=x时.
f (x) （3）y [ f (x)]2在R上是增函数 不正确，例如f(x)=x时. （4）y af (x)(a为实数）在R上是增函数 不正确，当a≦0时，不成立。
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3.已知函数 f (x) x2 2x 3,若x [0,2], 求函数f (x)的最大（小）值。
解： 函数f (x) x2 2x 3的图象开口向上，图象的对称轴为x 1, f (x)在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f (0) f (2), f (x)max f (0) f (2） -3， f (x)min f (1) 4
步骤1. 视参数为已知数，依据简单函数的单调性、函数的图象或函数的单调性定义，确 定函数的单调区间。 步骤2. 与已知的单调区间进行比较，求得参数的范围。
例：已知函数 f (x) x2 2ax 3在区间[1,2]上单调，求实数 a的取值范围.
解：由f (x) x2 2ax 3可得，
二次函数开口向上，且对称轴x a; 所以该函数的增区间是[a,),减区间是（- , a].
x1 x2
)
(
x1
x2
)(
x1 x2 x1 x2
1)
作差
变 形
Q x1, x2 1, ，且x1 x2 x1 x2 0, x1x2 1 0
f (x1) f (x2 ) 0, f (x1) f (x2 )
所以函数 y x在 区1 间上 是增函1,数.
结论
x
取值 定号
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一元二次函数
定义
一般地，如果 y=ax2+bx+c(a，b，c 是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。
y
y
x 0
x 0
由y=ax2+bx+c 配方
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y=ax2+bx+c中a，b，c的作用和判断
y a<0
a(1) 确定抛物线的开口方向：
x
0
y a>0 x
0
y
c (2) 确定抛物线与y轴的交点位置: c
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4.下列函数中，在[1,)上为增函数的是__B____ A.y (x 2)2 B.y | x 1| C.y 1
x 1 D.y (x 1)2
A选项，函数y (x 2)2的图象开口向上，对称轴为x 2, 所以当x 2时，是减函数；当x 2时，是增函数.不满足题意。 B选项，当x 1时，y x 1,是增函数；满足题意. C选项，当x 1时,是减函数，不满足题意. D选项，y (x 1)2图象开口向下，对称轴是x 1.所以当x 1时，是减函数。不满足题意.
单调区间
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例1：下图为函数y=f(x), x∈[-4,7] 的图像，指出它的单调区间。
y 3
2
1
-1.5
-4 -3 -2 -1 o
12 3456
7x
-1
-2
解：单调增区间为 [-1.5，3]，[5，6] 单调减区间为 [-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]
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例2.画出函数 (1) y 1并(写x 出0单);调区间： x
f (x) x2 4x f (x) 4x - x2
解题思路：
1. 分别画出函数 f (x) x2 4x 和 f (x) 4x - x2
2.根据题意，当x≧0时，f(x)在[0,+∞)上是增函数 （如黑色线段）
3. 当x<0时，f(x)在（-∞，0）上是增函数 （如红色线段） 4. 由图像可判断f(x)在R上单调递增， 故f(4-a)>f(a),4-a>a，即a<2
2. 图象法: 根据图象进行判断.
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1.定义在R上的函数f (x)对任意两个不相等的实数a,b, 总有 f (a) f（b) 0,则必有___A________
ab A. f (x)在R上是增函数 B. f (x)在R上是减函数 C. f (x)在R上先增后减 D. f (x)在R上先减后增
解：
（1）由题意知，f (3) 3 2
3
所以f
(
f
(3))
2 3 1
3.
2
（2）证明：
设x1, x2是（1， ）上的任意两个实数，且x1 x2 , 取值
则f
(x1)
f
(x2 )
x1 x1 1
x2 x2 1
作差
x1(x2 1) x2 (x1 1) x2 x1
(x1 1)(x2 1)
(x1 1)(x2 1)
包包知
高中数学必修一课件全册 （人教A版）
2020年4月27日
包包知
第一章：集合与函数 第二章：基本初等函数 第三章：函数的应用
包包知
第三节：函数的基本性质
包包知 重温常见函数图
y y x 1
o
x
y
y x2
o
x
y y1
x
x
y
y x 1
o
x
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y=-x2+2
12 x
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12.函数y x2 (2a 1)x 1在（- ，2]上是减函数，则实数 a的取值范围是 _______
解： y x2 (2a 1)x 1,
该函数开口向上，其对称轴为x - 2a -1 1 2a
2
2
该函数的减区间是（- ，1- 2a ) 2
函数y x2 (2a 1)x 1在（- ，2]上是减函数，
y
y1
y 1的单调减区间是 (_____,__0_)___, _(_0, )