九年级数学下册第28章锐角三角形28.2解直角三角形3学案无答案新版新人教版
2019春九年级数学下册28锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形学案 新
28.2 解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形学习目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.学习过程一、复习旧知1.在三角形中共有几个元素?答:2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系:.(2)三边之间关系:.(3)锐角之间关系:.二、自主探究【探究1】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6 m的梯子,问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长.解:问题(2)可以归结为在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角α的度数解:【探究2】1.在直角三角形中,除直角外的5个元素中知道几个,就可以求其余元素?答:2.解直角三角形:.三、尝试应用1.在△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=,a=,解这个三角形.解:2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个三角形(结果保留小数点后一位).解:四、补偿提高1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;(1)a=30,b=20;(2)∠B=72°,c=14.2.在R t△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10,解这个直角三角形.解:五、学后反思通过本节课的学习你有哪些收获?答:评价作业(满分100分)1.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则∠B等于()A.30°B.45°C.60°D.90°2.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC的长为()A.7sin 35°B.C.7cos 35°D.7tan 35°3.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是()A.sin B=B.cos B=C.tan B=2D.AB=4.(6分)在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sin A=,则BC的长为()A.6B.7.5C.8D.12.55.(6分)如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm,那么这个三角形的面积为()A.4.5 cm2B.9cm2C.18cm2D.36 cm26.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=10,∠A=30°,则a=.7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC=.8.(8分)如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是.第8题图第9题图9.(8分)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为.10.(10分)根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=.11.(12分)如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cos A=,BE=4,求tan∠DBE的值.12.(16分)如图所示,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,过点A作AE ⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD=,求BE的长.参考答案学习过程1.答:共有六个元素,其中有三条边和三个角.2.(1)sin A= cos A=tan A=sin B=cos B=tan B=(2)a2+b2=c2(勾股定理).(3)∠A+∠B=90°二、自主探究【探究1】(1)解:当∠BAC=75°时,梯子能安全使用且它的顶端最高;在Rt△ABC中,有sin∠BAC=,∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin 75°≈5.8;答:使用这个梯子最高可以安全攀上的墙高约为5.8 m.(2)解:在Rt△ABC中,有cos∠BAC==0.4,利用计算器求得∠BAC≈66°,∵50°<66°<75°,∴这时人能安全使用这个梯子.答:人能够安全使用这个梯子.【探究2】1.答:知道5个元素中的2个(其中有1个是边),就可以求其余元素.2.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程.三、尝试应用1.解:∵tan A=,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,AB=2AC=2.2.解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.∵tan B=,∴a=≈28.6.∵sin B=,∴c=≈34.9.四、补偿提高1.解:(1)由勾股定理得,c==10,∵tan A=,∴∠A=33.69°,∠B=90°-33.69°=56.31°;(2)b=c·sin B=14×0.951 1≈13.315,a=c·cos B=14×0.309 0≈4.326,∠A=90°-72°=18°.2.解:如右图所示,∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10,∴sin∠ADC=,∴∠ADC=60°,∴∠CAD=30°,∴∠CAB=60°,∠B=30°,∴AB=2AC=30,BC=15,即∠CAB=60°,∠B=30°,BC=15,AB=30.五、学后反思答:1.解直角三角形的概念:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的基本类型有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.3.解直角三角形的一般步骤:(1)画示意图;(2)分析已知量与未知量的关系,选择适当的边角关系;(3)求解.评价作业1.C2.C3.A4.A5.B6.7.58.105°9.3+10.解:(1)根据勾股定理可得AC==5,又sin A=,∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=60°.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∴∠B=90°-∠A=30°.又sin A=,∴AB=2,由勾股定理可得AC==1.11.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB,∵cos A=,BE=4,DE⊥AB,∴设AD=AB=5x,AE=3x,则5x-3x=4,∴x=2,即AD=10,AE=6,在Rt△ADE中,由勾股定理得DE==8,在Rt△BDE中,tan∠DBE==2.12.解:(1)∵AE⊥CD,∠ACB=90°,∴∠AHC=∠ACB=90°,∵CD是AB上的中线,∴CD=AD=BD=AB,∴∠DAC=∠DCA,∠B=∠DCB,∴∠B=∠CAH,∵AH=2CH,∴CH∶AH∶AC=1∶2∶,∴sin B=sin∠CAH=.(2)由(1)可知AC∶BC∶AB=1∶2∶,CE∶AC∶AE=1∶2∶,∵CD=,∴AB=2,∴AC=2,BC=4,CE=1,∴BE=BC-CE=4-1=3.。
九年级数学下册第28章《锐角三角形》28.2解直角三角形(4)学案(无答案)新人教版(2021年整
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解直角三角形学习目标1。
正确应用直角三角形中锐角的三角函数，解关于方位角的问题．2.能将一般三角形中的问题转变成直角三角形来解。
重点用锐角三角函数知识解决与“方位”有关的问题.导学过程师生活动一、复习引入1．在练习本上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。
2．依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线二、自主学习自学教材76页例5,要求：1。
知道方位角定义2 。
会建立方位图3。
尝试把实际问题转化为数学模型(即三角形)通过自学我们知道了：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是（1）；（2) ;（3) ;(4） .自学检测1.上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向,距离等于10海里的A处,正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间?(精确到1分）．2.如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少?（结果精确到1米。
九年级数学下册28_2解直角三角形教案新版新人教版
例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精准到0.1m)?
分析：在 中， ， .因此能够利用解直角三角形的知识求出BD;类似地能够求出CD，进而求出B C.
解:如图, ， ,
答:这栋楼高约为277.1m.
∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
注意：例1中的b和例2中的c都能够利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少不同，这都是正常的。
4．巩固练习
P91
说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校许诺用计算器．但不管是不是利用计算器，都必需写出解直角三角形的整个进程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，尽力避免犯错，培 养其良好的学习适应．
2．教师在学生试探后，继续引导“什么缘故两个已知元素中至少有一条边？”让全部学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生归纳什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素， 求出所有未知元素的进程，叫做解直角三角形)．
3．例题
例1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边别离为a、b、c，且b= ，
√
√
9
a=c•cosB
b=c•sinB
√
√
10
不可求
不可求
不可求
√
√
注：上 表中“√”表示已知。
四、布置作业
课题 28.2 解直角三角形（二）
一、教学目标
一、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．
二、慢慢培育学生分析问题、解 决问题的能力．
新人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数精品导学案
C BC B C BA 斜边c对边a bCB(2)1353B A(1)34CB 课题：28．1锐角三角函数（1） 目标导航： 【学习目标】⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。
⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．【学习难点】当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，•求AB2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，•求BC二、合作交流：问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，•在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ；结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？•如果是，是多少？结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值三、教师点拨：从上面这两个问题的结论中可知，•在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于12，是一个固定值；•当∠A=45°时，∠A 当∠A 取其他一定度数的锐角时，•它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， ∠A=∠A ′=a ，那么''''BC B C AB A B 与有什么关系．你能解释一下吗？结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，•∠A 的对边与斜边的比 正弦函数概念：规定：在Rt △BC 中，∠C=90，∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．在Rt △BC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =a c． sinA ＝A a A c∠=∠的对边的斜边例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°= ；当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°= ． 四、学生展示：例1 如图，在Rt △ABC 中， ∠C=90°，求sinA 和sinB 的值 随堂练习 （1）： 做课本第79页练习． 随堂练习 （2）： 1．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是﹙ ﹚A ．43B ．34C ．53D ．542．如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90o，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA ＝（ ）A斜边c 对边a b C B A ．35 B ．45 C ．34 D ．433． 在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，sinA=23，则边AC 的长是( )A ．13B ．3C ．43D ． 54．如图，已知点P 的坐标是（a ，b ），则sin α等于（ ）A ．a bB ．baCD 五、课堂小结：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A •的对边与斜边的比都是 ． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A •的 ，•记作 ， 六、作业设置：课本 第85页 习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分） 七、自我反思：本节课我的收获: 。
九年级数学下册28.2解直角三角形及其应用教案1新版新人教版
课题 28.2 解直角三角形（一）一、教学目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．二、教学重点、难点1．重点：直角三角形的解法．2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．三、教学步骤(一)复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.(2)三边之间关系a2 +b2 =c2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．（二）教学过程1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)． 3．例题例 1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，，解这个三角形．解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．解 ∵tanA=a b ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=例 2在Rt △ABC 中， ∠B =35，b=20，解这个三角形． 引导学生思考分析完成后，让学生独立完成 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．35B ∠-∠=-=解:A=909055tan b B a=2028.6tan tan 35b a B ∴==≈n 2035.1sin sin 35b si B cb c b =∴==≈完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底注意：例1中的b 和例2中的c 都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用教案新版新人教版
1.在探索解直角三角形的过程中,渗透数形结合思想,培养学生综合运用知识的能力和良 好的学习习惯.
2.在探究活动中,培养学生的合作交流意识,让学生在学习中感受成功的喜悦,增强学习数 学的信心.
3.通过根据实际问题画示意图的过程,培养学生的动手能力,激发学生对数学的好奇心和 求知欲.
【师生活动】 学生在教师提出的问题的引导下,小组合作交流,回答解题思路,教师根据
学生的回答进行汇总归纳,学生回答问题过程中注意解题方法的多样性.
【课件展示】
(1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一
条边),就可以求出其余的三个未知元素.
(2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
∵tanB=b,∴a= b = 20 ≈28.6.
a
tanB tan35°
∵sinB=b,∴c= b = 20 ≈34.9.
c
sinB sin35°
[设计意图] 通过例题理解和掌握解直角三角形的思路和方法,进一步训练学生学会灵活
运用直角三角形的有关知识解直角三角形,并体会从计算简便的角度选用适当的关系式求解,
一、共同探究 思路一 探究: (1)在 Rt△ABC 中,∠A=60°,AB=30,你能求出这个直角三角形的其他元素吗?
(2)在上图中,若 AC= 2,BC= 6,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (3)在上图中,若∠A=60°,∠B=30°,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? (4)在直角三角形中,知道几个元素就可以求出其他元素? 【师生活动】 小组合作交流解题思路,注意在解题过程中方法的多样性,教师根据学生的 回答进行汇总归纳. 【课件展示】 (1)在直角三角形的六个元素中,除直角外的五个元素,只要知道两个元素(其中至少有一 条边),就可以求出其余的三个未知元素. (2)定义:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形. (3)解直角三角形,只有两种:①已知两条边；②已知一条边和一个锐角.
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2.2解直角三角形及其应用导学案2(无答案)(新版)新人教
九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2.2解直角三角形及其应用导学案2（无答案）（新版）新人教版
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解直角三角形应用
一、【自主学习】
仰角和俯角：
在进行观察或测量时
（1）从下向上看，视线与水平线的夹角叫做
（2）从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .
二、【合作探究】
例4、热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋离楼底部的俯角
为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果取整数)?
变题1：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB 左侧P 点处，测得大楼的顶部仰角为45°,
测得大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水平距离.
三、【课堂检测】
1、建筑物BC 上有一旗杆AB ,由距BC 40m 的D 处观察旗杆顶部A 的仰角为50°,观察底部B 的
仰角为45°,求旗杆的高度(精确到0.1m )
2、如图2，在离铁塔BE 120m 的A 处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，
已知测角仪高AD =1.5m ，则塔高BE 的长（根号保留）．
学习目标：1、了解仰角、俯角，能准确把握所指的角是指哪一个角 2. 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3. 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识。
学习重点 利用仰角、俯角解决实际问题． 学习难点 实际问题转化成数学模型。
最新人教版九年级数学下册精品学案28.2 解直角三角形
最新人教版九年级下册数学精品资料设计 1 28．2解直角三角形【学习目标】1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养分析问题、解决问题的能力．3.渗透数形结合的数学思想，培养良好的学习习惯．【学习重点】 灵活运用知识点，准确解直角三角形【学习难点】 三角函数在解直角三角形中的灵活运用【自主探究】一．导引自学，阅读书本P72-73，回答以下问题 ：1.解直角三角形的定义是什么？2.说一说P72的探究结果.3.例1中知道什么，求什么？用到了哪些关系式解决的？运用到什么数学思想方法？4.例2中除了3的问题外，你还有其他方法求c 吗？二．自我检测1.在△ABC 中，∠C=90°，若b=，c=2，则tanB=__________.2．在Rt △ABC 中，∠C=90°,sinA=45，AB=10，则BC=______．3．在△ABC 中，∠C=90°，若a:b=5:12则sinA= .4． 在直角三角形ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,斜边上的高h=1,则三边的长分别是_____________________.5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=43， cosB=___________.6． 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=6，AD=2，则sinA=____；tanB=____．7.如图在△ABC 中，∠C=900，∠A=300.D 为AC 上一点，AD=10,∠BDC=600,求AB 的长三．知新有疑：__________________________________________________________________.【范例精析】 在△ABC 中，∠C=90°点D 在C 上，BD=4，AD=BC,cos ∠ADC=35.求（1）DC 的长；（2）sinB 的值； 2CDAB DBAC最新人教版九年级下册数学精品资料设计 2【达标测评】1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________•其它所有元素的过程，即解直角三角形．2.Rt △ABC 中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．3.在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．4.在△ABC 中，∠C=90°，sinA=35，则cosA 的值是 .5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=，b=3，解这个三角形．6.在△ABC 中，∠C 为直角，AC=6，的平分线AD=4，解此直角三角形.【小结反思】543BAC 3。
九年级数学下册28锐角三角函数28_2解直角三角形及其应用28_2_2应用举例第3课时导学案无答案新
28.2.2应用举例（第3课时）学习目标：1.了解方位角的特点，用三角函数有关知识解决方位角问题．2. 明白坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度有关的实际问题.3.慢慢培育学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方式．学习重点和难点：重点：用三角函数有关知识解决方位角、坡度问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型一、预习内容坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一样用i表示.常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．二、例题解析例1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时刻后，抵达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？例2如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).四、总结反思1.说说你的收成.2.你还有什么问题？五、反馈练习1.讲义p77：1，2.2.(1)一段坡面的坡角为60°，那么坡度i=______；(2)一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i=1：1.5，那么坝底AD的长度为（）A．26米 B.28米 C．30米 D.46米(3)如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，假设渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后抵达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，那么B，C之间的距离为（）A 20海里．（B）103海里．（C）202海里．（D）30海里．六、能力提升如图，海中有一个小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°的方向上，又继续航行12海里抵达D点，这时测得小岛A在北偏东30°的方向上，若是渔船不改变航向继续向东航行，有无触礁的危险？七、布置作业79页九、10。
九年级数学下册第28章锐角三角形28.2解直角三角形及其应用28.2.2解直角三角形教案(新版)新人教版
的邻边的对边A A ∠∠28.2.2 解直角三角形第 _____ 教 案 _____年____月_____日星 期____ 教 学 过 程 设 计课题 28.2.2 解直角三角形 备课人 知识与目标方法与策略学生活动教师活动（师生互动）个性化设计课型新授课教 法“2+2”师友互助审核人目标C ：独立思考后师友交流，四人小组讨论，小组展示讲解 1．教师按小组指导 2．提问学生讨论结果 4．归纳解题方法与步骤教 学 目 标知识与技能使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．过程 与方法 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．专题训练独立完成后师友纠错。
能力提升：小组讨论，代表展示 1．教师按小组指导 2．提问学生讨论结果 3．核对答案。
讲解易错点情感态度与价值观渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．课堂小结1．回顾本节课知识点；2．回顾解题方法和易错点。
总结本节课的知识点和需要注意的地方。
难点 实际问题转化成数学模型教 学 过 程 设 计板书 设 计28.2.2 解直角三角形(1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系：知识与目标方法与策略学生活动 教师活动（师生互动）个性化设计目标A ：1.完成题组A:1、2、3、4题。
2.师友纠错，展示 1.对学生的回答进行归纳和补充。
2.引入新课。
目标B ：1．生独立完成（1）后师友查错，交流并板演讲解；2．教师示范（2）后生模仿完成. 3．归纳总结解题方法、步骤及易错点. 4．第2题师友纠错1．环视学生对小组进行辅导；2．板书示范（2） 3．归纳总结 4．总结易错点集 体 意 见课后 反 思斜边的邻边A A ∠=cos 斜边的对边A A ∠=sin老师给学生一个机会，学生就会给老师一个惊喜；老师给学生一个引导，学生就会走得更远。
新人教版数学九年级下册第28章28.2解直角三角形的简单应用(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与解直角三角形相关的实际问题，如测量旗杆的高度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和角度计实地测量物体的高度，从而演示解直角三角形的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解直角三角形及其解法的基本概念。直角三角形是一种有一个角为直角（90度）的三角形，它的边长关系遵循勾股定理。这些性质使直角三角形在工程测量、建筑设计等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过测量树的高度，我们展示了如何利用解直角三角形的方法来计算实际中无法直接测量的距离。
3.实践活动环节，学生们积极参与，分组讨论和实验操作进行得如火如荼。但在成果展示时，我发现有些小组对问题的分析不够深入，可能是因为讨论时间不够充分，今后可以考虑适当延长这一环节的时间。
4.学生小组讨论中，大家提出了很多有创意的想法，将解直角三角形的方法应用到各种实际问题中。但同时我也注意到，有些学生在讨论中较为沉默，可能需要我在组织讨论时更加关注每个学生的参与度，鼓励他们大胆表达自己的观点。
针对以上反思，我认为在今后的教学中需要做出以下改进：
1.加强对学生的个别辅导，特别是针对那些在课堂上表现出困惑的学生，及时解答他们的疑问。
2.在讲解锐角三角函数时，可以结合更多实际案例，让学生更好地理解函数值的含义和计算方法。
3.调整实践活动的时间分配，确保学生们有足够的时间进行深入讨论和分析。
新人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形
一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)
9．如图所示，AC⊥BC，AD＝a，BD＝b，∠A＝α，∠B＝β，则 AC＝( B )
解：∵tanA＝ABCC＝4123＝ 3，∴∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， AB＝2AC＝8 3
已知一边一锐角解直角三角形
4．(4 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则 BC 的长为( A )
A．4
B．2 5
18 13 C. 13
12 3 D. 13
,第 4 题图)
,第 5 题图)
5．(4 分)如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与 A 同侧
的河岸边选定一点 C，测出 AC＝a 米，∠A＝90°，∠C＝40°，则 AB 等于( C )
A．asin40°米 B．acos40°米
C．atan40°米 D.tan4a0°米
解：连接 AE，在 Rt△ABE 中，已知 AB＝3，BE＝ 3，∴AE＝ AB2＋BE2＝2 3，又 ∵tan∠EAB＝ABEB＝ 33，∴∠EAB＝30°，在 Rt△AEF 中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°， ∴EF＝AE·sin∠EAF＝2 3×sin60°＝2 3× 23＝3(m)．答：木箱端点 E 距地面 AC 的高度是 3 m.
6．(4 分)如图，在△ABC 中，若∠A＝75°，∠C＝45°，AB＝2，则 AC 的长等于( C )
A．2 2
B．2 3
C. 6
九年级数学下册28锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形学案新版新人教版487
28.2 解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形学习目标1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系.2.会运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.学习过程一、复习旧知1.在三角形中共有几个元素?答:2.直角三角形ABC中,∠C=90°,a,b,c,∠A,∠B这五个元素间有哪些等量关系呢?(1)边角之间关系:.(2)三边之间关系:.(3)锐角之间关系:.二、自主探究【探究1】要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.现有一个长6 m的梯子,问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)?(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时,梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)?这时人是否能够安全使用这个梯子?问题(1)可以归结为:在Rt△ABC中,已知∠A=75°,斜边AB=6,求∠A的对边BC的长.解:问题(2)可以归结为在Rt△ABC中,已知AC=2.4,斜边AB=6,求锐角α的度数解:【探究2】1.在直角三角形中,除直角外的5个元素中知道几个,就可以求其余元素?答:2.解直角三角形:.三、尝试应用1.在△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且b=,a=,解这个三角形.解:2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个三角形(结果保留小数点后一位).解:四、补偿提高1.在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形;(1)a=30,b=20;(2)∠B=72°,c=14.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10,解这个直角三角形.解:五、学后反思通过本节课的学习你有哪些收获?答:评价作业(满分100分)1.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则∠B等于()A.30°B.45°C.60°D.90°2.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,AB=7,则BC 的长为()A.7sin 35°B.°C.7cos 35°D.7tan 35°3.(6分)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=2,则下列结论正确的是()A.sin B=B.cos B=C.tan B=2D.AB=4.(6分)在Rt△ACB中,∠C=90°,AB=10,sin A=,则BC 的长为()A.6B.7.5C.8D.12.55.(6分)如果等腰三角形的底角为30°,腰长为6 cm,那么这个三角形的面积为()A.4.5 cm2B.9 cm2C.18 cm2D.36 cm26.(8分)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=10,∠A=30°,则a= .7.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC= .8.(8分)如图所示,在△ABC中,AB=2,AC=,以点A为圆心,1为半径的圆与边BC相切于点D,则∠BAC的度数是.第8题图第9题图9.(8分)如图所示,在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=2,则AB的长为.10.(10分)根据下列条件解直角三角形.(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=5.(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,BC=.11.(12分)如图所示,在菱形ABCD中,DE⊥AB于点E,cos A=,BE=4,求tan∠DBE的值.12.(16分)如图所示,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB上的中线,过点A作AE⊥CD,AE分别与CD,CB相交于点H,E,AH=2CH.(1)求sin B的值;(2)如果CD=,求BE的长.参考答案学习过程一、复习旧知1.答:共有六个元素,其中有三条边和三个角.2.(1)sin A= cos A=tan A=sin B=cos B=tan B=(2)a2+b2=c2(勾股定理).(3)∠A+∠B=90°二、自主探究【探究1】(1)解:当∠BAC=75°时,梯子能安全使用且它的顶端最高;在Rt△ABC中,有sin∠BAC=,∴BC=AB·sin∠BAC=6×sin 75°≈5.8;答:使用这个梯子最高可以安全攀上的墙高约为5.8 m.(2)解:在Rt△ABC中,有cos∠BAC==0.4,利用计算器求得∠BAC≈66°,∵50°<66°<75°,∴这时人能安全使用这个梯子.答:人能够安全使用这个梯子.【探究2】1.答:知道5个元素中的2个(其中有1个是边),就可以求其余元素.2.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程.三、尝试应用1.解:∵tan A=,∴∠A=60°,∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,AB=2AC=2.2.解:∠A=90°-∠B=90°-35°=55°.∵tan B=,∴a=≈28.6.°∵sin B=,∴c=≈34.9.°四、补偿提高1.解:(1)由勾股定理得,c==10,∵tan A=,∴∠A=33.69°,∠B=90°-33.69°=56.31°;(2)b=c·sin B=14×0.951 1≈13.315,a=c·cos B=14×0.309 0≈4.326,∠A=90°-72°=18°.2.解:如右图所示,∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=15,∠A的平分线AD=10, ∴sin∠ADC=,∴∠ADC=60°,∴∠CAD=30°,∴∠CAB=60°,∠B=30°,∴AB=2AC=30,BC=15,即∠CAB=60°,∠B=30°,BC=15,AB=30.五、学后反思答:1.解直角三角形的概念:由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.2.解直角三角形的基本类型有两种:①已知两条边;②已知一条边和一个锐角.3.解直角三角形的一般步骤:(1)画示意图;(2)分析已知量与未知量的关系,选择适当的边角关系;(3)求解.评价作业1.C2.C3.A4.A5.B6.7.58.105°9.3+。
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解直角三角形
学习
目标
1.知道什么是仰角和俯角。
2.用三角函数有关知识解决观测问题。
重点用锐角三角函数知识求物体的高度。
导学
过程
师生活动
一、复习引入
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
二、合作探究
热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到
0.1m)?
分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD类似地可以求出CD，进而求出B C.
相关练习：如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为多少米？
三、精讲点拔
1.在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。
问题如下：
(1)沿着水平地面向前300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角为60° , 求山高
AB。
(2)变式：沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D点测得山顶A的仰角
为60°,求山高AB。
2.某市为改变城市交通状况，在大街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB．在地面上事先
划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3m远的D 点测得树的顶部A点的仰角为60°，树的底部B的仰角为30°，如图19—52，问距离B点8m远的保护物是否在危险区内?
四、学习小结
谈谈你的收获和体会？
学后
反思
达标
检测
1．某学校的教学大楼和行政办公大楼相对而立，如图所示：两楼间的距离
AC=10m，某学生在教学大楼底A处测得行政办公大楼顶B处的仰角为45°，随后他又到行政办公大楼C处测得教学大楼顶D处的仰角为60°，那么教学大楼比行政办公楼高多少米？（精确到0.1米）
2.如图，小明在操场上距离旗杆18米的C处，用测角仪测得旗杆AB的顶端A的仰
角为30°，已知测角仪CD的高为1.4米，那么旗杆AB的高为多少米？
延伸拓展
如图（1在地面A、B两处测得地面上标杆PQ的仰角分别为30°、45°，且测得AB=3米，求标杆PQ的长
（2）在数学学习中要注意基本模型的应用，如图（2是测量不可达物体高度的基本模型：在地面A、B两处测得地面上标杆PQ的仰角分别为α、β，且测得AB=a
米．
设PQ=h米，由PAPB=a可得关于h的方程，解得h= atanβ•ta
nα
tanβtan
α
（3）请用上述基本模型解决下列问题：如图3，斜坡AP的倾斜角为15°，在A处测得Q的仰角为45°，要测量斜坡上标杆PQ的高度，沿着斜坡向上走10米到达B，在B处测得Q的仰角为60°，求标杆PQ的高．（结果可含三角函数）
课后
作业
必做题
1.初三（1）班研究学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图他们离旗杆底部E点
30米的D处，用测角仪测得旗杆的仰角为30°，已知测角仪器高AD=1.4米，则旗杆BE的高为多少米？（精确到0.1米）
2.如图，从地面上点A处，测得山顶上铁塔BC的塔顶B和塔底C的仰角分别是β=60°，α=45°，已知塔高BC=100m，求小山高CD．（可用根式表示）
选做题
如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF=3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B 处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD．
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）．。