初三二次根式的性质与运算(鲁教版)

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九年级上册二次根式知识点

九年级上册二次根式知识点作为初中数学的重要部分，二次根式是需要我们掌握的一个重要概念。

在九年级上册，我们将学习并深入理解二次根式的性质、运算以及应用。

下面，我将为大家总结九年级上册二次根式的知识点。

一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a（其中a为一个非负实数）的数。

其中，√称为根号，a称为被开方数，√a称为二次根式。

二、二次根式的性质1. 非负性：二次根式的结果不小于0，即√a≥0。

2. 排除负号：我们规定根号不能取负值，即√a≠-√a。

3. 分解因数：对于任何正实数a，有√a = √(n² × m)，其中n²是a 的一个因数。

三、二次根式的化简当被开方数能够分解成两个因数的乘积时，我们可以通过分解因数的方法将二次根式化简。

例如√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3。

四、二次根式的运算1. 加减运算：二次根式的加减运算需要满足根号下的数相等，才能进行运算。

例如√5 + √5 = 2√5，2√3 - √3 = √3。

2. 乘法运算：二次根式的乘法运算可以将根号下的数相乘，并将结果放在根号下。

例如√2 × √3 = √6。

3. 除法运算：除法运算需要使用有理化的方法，即通过将除数和被除数分别乘上其共轭式的形式来进行运算。

例如，（√5 + √3）/ (√5 - √3) = （√5 + √3）×（√5 + √3）/ [(√5 - √3) × （√5 + √3）] = 8 + 2√15。

五、二次根式的应用1. 几何应用：在几何学中，二次根式经常用于计算图形的边长、面积、体积等。

2. 物理应用：在物理学中，二次根式可以用于计算电流、电压、速度、力等相关问题。

3. 经济应用：在经济学中，二次根式可以用于计算平均收益、成本、利润率等。

六、二次根式的拓展1. 无理数的定义：二次根式属于无理数，即不能表示为两个整数之比的实数。

二次根式的性质

二次根式的性质二次根式是数学中的一个重要概念，也是代数学中的一个常见表达式。

它们具有一些特殊的性质，我们来详细探讨一下。

一、定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。

这里√称为根号，a称为被开方数。

当然，a可以是一个整数、小数或者分数。

二、性质1. 非负性：二次根式的被开方数a必须是非负实数，即a≥0。

因为√a是要求开方的数是非负的，否则就没有实数解。

2. 唯一性：对于给定的非负实数a，它的二次根式√a是唯一确定的。

这是因为非负实数平方的结果只有一个非负实数。

例如，√9=3，√25=5，√36=6，等等。

3. 运算性质：（1）加法与减法：二次根式可以进行加法和减法运算。

当两个二次根式的被开方数相同时，它们可以相加或相减。

例如，√a + √a = 2√a，√25 - √16 = √9 = 3。

（2）乘法：二次根式可以进行乘法运算。

两个二次根式相乘时，被开方数相乘，根号下的系数可以相乘。

例如，√a × √b = √(ab)，2√3 × 3√5 = 6√15。

（3）除法：二次根式可以进行除法运算。

两个二次根式相除时，被开方数相除，根号下的系数也可以相除。

例如，√a ÷ √b = √(a/b)，6√15 ÷ 3√5 = 2√3。

4. 化简与整理：（1）化简：有时候二次根式可以化简为更简单的形式。

例如，√4 = 2，√9 = 3，等等。

化简的关键是找到被开方数的平方因子，然后将依次提取出来。

（2）整理：有时候需要将二次根式按照一定的规则整理，使得表达式更具可读性。

例如，将√3 × 2√5整理为2√15，将5√a + 3√a整理为8√a，等等。

3. 近似值：对于无理数的二次根式，我们可以用近似值来表示。

这里的近似值可以使用小数形式或者分数形式。

四、应用二次根式是数学中广泛应用的一个概念，它在几何、代数、物理等领域都有重要作用。

1. 几何：二次根式在几何中常常用来表示线段的长度。

鲁教版二次根式的乘除(2)

二次根式的加减（2）导学案学习目标：1.熟练地进行二次根式的混合运算，乘法公式在二次根式运算中的运用；2.通过二次根式混合运算，进一步掌握二次根式的几种运算及其运算技巧；3.通过对二次根式混合运算的学习，并与四则混合运算及整式的混合运算进行比较，理解知识间的相互关系。

学习重点：二次根式的混合运算。

学习难点：二次根式混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

学习过程：一、温故互查1.填空（1）整式混合运算的顺序是：（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）写出已经学过的乘法公式：①②2．计算（1）（2x+y）·zx（2）（2x2y+3xy2）÷xy（3）（2x+3y）（2x-3y）（4）（2x+1）2+（2x-1）2二、设问导读探究新知阅读课本44和45页中的例3、例4、例5，完成下列问题【探究】如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？•探究计算：（1）（）×（2）三、自我检测依照例题探究计算：1、（1）（2）2、计算:（1）（+）×（2）（4-3）÷2（3）（+6）（3-）（4）（+）（-）【课本练习】课本Р46 习题7.6 1题，3题四、拓展提升分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1）；（2）；（3）；（4）．五、小结评价1.请说说你本节课的收获？（口述给组长）2.小组对你这节课表现进行评价：（较好；好；一般；差；较差）组长：。

鲁教版《二次根式》

3、掌握二次根式的基本性质： a 0(a 0) 和
( a ) 2 a(a 0)
高效上好每节课·快乐上好每天学
新知探究
议一议：
(1)正方形的面积为2，它的边长是多少？面积为3呢？面积为S呢？
2
3
S
(2)正方形的面积为S，如果把它的面积增加1，新正方
形的边长是多少？
S 1
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？它们都是形如 a 的式子，并且被开方数都是非负数.
(1)( 7)
2
1 2 (2)(4 ) 5
解: (1)( 7)2 7;
1 2 1 2 1 16 2 (2)(4 ) 4 ( ) 16 . 5 5 5 5
高效上好每节课·快乐上好每天学
4、已知a，b为实数，且满足 a 你能求出a及 a+b 的值吗？
2b 1 1 2b 1
高效上好每节课·快乐上好每天学
3、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根是0；负数没有平方根.
4、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？
4
4
高效上好每节课·快乐上好每天学
学习目标
1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
解：依题意知：2b-1≥0，1-2b ≥0, 所以b= 把b=
1 代入原式，得a=1, 2
3 2
1 , 2
3 2
所以a+b=
答案：a=1, a+b=
高效上好每节课·快乐上好每天学
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
（1）二次根式的概念；
（2）根号内字母的取值范围；（3）二次根式的性质： a 0(a 0) ；

二次根式的运算和性质

二次根式的运算和性质二次根式是指具有平方根的数，它是数学中的重要概念，与一次根式不同，二次根式的运算涉及到平方根的加减乘除，以及二次根式的化简和简化等操作。

本文将围绕二次根式的运算和性质展开讨论，帮助读者更好地理解和应用二次根式。

一、二次根式的运算1. 二次根式的加减运算对于同类项，即根号下的数相同的二次根式，可以进行加减运算。

例如：√2 + √2 = 2√2√5 - √2 = √5 - √2 （不可化简）不同类项的二次根式无法进行加减运算，如√2 + √3。

2. 二次根式的乘法二次根式的乘法运算可以通过合并同类项、利用乘法公式等方法进行。

例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3) × (√2 - √3) = √2^2 - √2√3 + √2√3 - √3^2 = 2 - 3 = -13. 二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过有理化的方法进行。

例如：√2 ÷ √3 = (√2 × √3) ÷ (√3 × √3) = √6 ÷ 3 = √6/3 = √6/3 × √3/√3 =√18/3 = √2/√3二、二次根式的性质1. 二次根式的化简当二次根式中的根号下的数为完全平方数时，可以进行化简。

例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 4通过化简可以简化计算过程，使得计算更加方便快捷。

2. 二次根式的大小比较对于两个二次根式的大小比较，可以通过平方的方法进行。

例如：(√2)^2 = 2(√3)^2 = 3(√4)^2 = 4可以通过比较二次根式的平方大小来确定它们的大小关系。

3. 二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的用途，常见于几何学、物理学等领域的计算中。

例如，在三角形的勾股定理中，就涉及到二次根式的运算。

综上所述，二次根式的运算和性质是数学学习中的重要内容。

掌握二次根式的运算规则，了解二次根式的性质，有助于提高数学计算能力，并能应用于实际问题的解决中。

【鲁教版】山东省中考数学一轮复习三《数的开方与二次根式》说课稿

【鲁教版】山东省中考数学一轮复习三《数的开方与二次根式》说课稿一. 教材分析《数的开方与二次根式》是山东省中考数学一轮复习三的内容，主要包括数的开方法则、二次根式的性质和运算。

这一部分内容是初中数学的基础知识，也是中考的热点考点。

在教材中，数的开方与二次根式被安排在同一章节，目的是让学生通过对比学习，更好地理解和掌握这两个概念。

二. 学情分析在学习数的开方与二次根式之前，学生已经学习了实数、有理数和无理数等基础知识，对数学运算有一定的了解。

但部分学生对数的开方与二次根式的概念理解不深，容易混淆。

因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，引导学生深入理解概念，熟练掌握运算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握数的开方与二次根式的定义、性质和运算方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心，使学生感受到数学在生活中的重要性。

四. 说教学重难点1.教学重点：数的开方与二次根式的定义、性质和运算方法。

2.教学难点：二次根式的混合运算，以及数的开方与二次根式在实际问题中的应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等，辅助教学，提高教学效果。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入数的开方与二次根式，激发学生的学习兴趣。

2.讲解数的开方：讲解数的开方的定义、性质和运算方法，引导学生通过观察、分析、归纳总结出规律。

3.讲解二次根式：讲解二次根式的定义、性质和运算方法，引导学生对比学习，加深理解。

4.二次根式的混合运算：通过典型例题，讲解二次根式的混合运算方法，引导学生学会运用所学知识解决实际问题。

5.数的开方与二次根式在实际问题中的应用：通过实际问题，引导学生运用数的开方与二次根式知识解决问题，提高学生的应用能力。

二次根式的性质与运算

二次根式的性质与运算二次根式是指形如√a的数，其中a是非负实数。

在数学中，二次根式是一种常见的数学表达式，它具有一些特定的性质与运算规则。

本文将探讨二次根式的性质与运算，帮助读者更好地理解和运用二次根式。

1. 二次根式的简化与化简二次根式可以通过简化和化简来使得表达更简洁、易读。

简化是指通过寻找因式分解或者找到平方数的形式来减少根号下的数字。

例如，√12可以简化为2√3。

化简是指将数的乘方分解成不包含二次根式的形式。

例如，√16可以化简为4。

2. 二次根式的加减运算在进行二次根式的加减运算时，需要满足被加减数的被开方数相同。

例如，√2 + √3无法进行直接运算，但可以通过换元化简为(√2 + √3)(√2 + √3)。

运用公式(a + b)(a + b) = a² + 2ab + b²，可以得到√2 + √3 = √2 +√3 + (√2)(√3)。

因此，二次根式的加减运算可以转化为求和的形式。

3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以通过将两个二次根式相乘，并通过关键的化简步骤来简化最终结果。

例如，√2 * √3 = √6。

如果需要计算更复杂的二次根式乘法，可以利用公式√a * √b = √(ab)进行化简。

4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算也是通过适当的化简步骤来求解。

例如，√6 /√2 = √3。

类似于乘法运算，可以利用公式√a / √b = √(a/b)进行化简。

5. 二次根式的幂运算二次根式也可以进行幂运算，即将二次根式的指数设置为非负整数。

例如，(√2)² = 2。

值得注意的是，在进行幂运算时，需要将指数应用于根号内的数字，并对结果进行简化。

6. 二次根式的有理化有理化是将二次根式与分母中的二次根式相消，使得根号仅出现在被开方数中。

例如，将分数1/√3有理化，可以通过乘以√3 / √3进行，得到√3 / 3。

综上所述，二次根式具有许多特定的性质与运算规则。

二次根式-鲁教版

归纳
双重非负性： a 0 （a≥0）
( a )2 a（a≥0）
例1
a 0,a 0
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1
(2) 1 3a
解:(1)由题意得 a ＋1 ≥ 0，得a≥﹣1.
当a≥ ﹣1时， a 1 在实数范围内有意义.
(2)由题意得 1 －3a ≥ 0，得a≤ 1 . 3
计算：
(1)( 5m )2 (m 0);
(3)( x y )2(x y)
(2)(3 1 )2 2
解：
(1)( 5m)2 5m(m 0)
(2)(3 1 )2 (3)2 ( 1 )2 9 1 9
2
2
22
(3)( x y)2 x y(x y)
课本P33 随堂练习 2 P34习题2、3
4
22
议一议
填空：-22 =2 -0.12 = 0.1
2
-
2 3
2
=
3
当 a 0时，二次根式 a2 的值是什么？：
a2 a(a 0)
当a为任意实数时，
a2
a
aa aa
0 0
例题讲解
例1 化简：
(1 ) 36 ;
解：
(2 ) 9 . 4
解(1) 36 62 6;
(2) 9 ( 3 )2 3 .

1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1
(2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x 0 x
(5) x3 x 0
(6)
1 x2
x0
例2 计算： ( 2.1)2
=2.（11）
( a )2 a（a≥0）

鲁教版九年级数学知识点

鲁教版九年级数学知识点数学作为一门综合性学科，对于学生的思维发展和逻辑推理能力的培养起着至关重要的作用。

作为九年级学生，对数学知识点的掌握尤为重要。

本文将从几个重要的数学知识点出发，深入探讨鲁教版九年级数学中的一些核心概念和解题方法。

一、二次根式九年级数学中，二次根式是一个重要的知识点。

我们首先来了解什么是二次根式。

二次根式（也称为根号）是指一个在分数根号符号内或者在根号符号外不能再开方的非负有理数。

例如√2、√5/3等都是二次根式。

九年级数学中，我们需要掌握二次根式的化简、乘法、除法、加法和减法。

化简二次根式时，可以利用化简法则、有理化法等方法。

二、集合与函数集合与函数也是九年级数学中的重要内容。

集合是数学中的基本概念，是由一些确定的对象组成的整体。

我们需要了解集合的表示方法、集合的运算法则以及集合的性质等。

函数是数学中的另一个核心概念，它描述了两个集合之间的对应关系。

我们需要掌握函数的定义、函数的性质、函数的表示方法以及函数的运算等。

三、平面向量平面向量是九年级数学中的重点内容。

平面向量是有大小和方向的，它与平面上的点一一对应，可以表示位移、相对位置等。

在平面向量的学习中，我们需要了解平面向量的定义、平面向量的运算以及平面向量的性质。

此外，我们还需要学习平面向量的数量积和平面向量的表示方法。

四、三角函数三角函数也是九年级数学中的核心内容。

我们需要熟悉正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质。

此外，我们还需要掌握三角函数的图像、周期以及相关的变换等知识。

在解决与三角函数相关的问题时，我们需要掌握角度制和弧度制的转换、三角函数的基本关系等。

五、二次函数二次函数是九年级数学中的重难点之一。

九年级数学中，我们需要掌握二次函数的定义、图像、性质以及与二次函数相关的方程。

在解决与二次函数相关的问题时，我们需要熟悉二次函数图像的基本特点，包括顶点、对称轴、开口方向等。

在解决二次函数的最值问题时，可以利用函数的性质和求导等方法。

鲁教版初三数学第五节第2节二次根式性质课时2

2
3 x
y 8x3
4 n1 1
n1
我们知道当 a 0时，a2 a。反过来，
当a 0时，a a2。即一个非负数可
平方后退进根号内
3=
32
9
2 3
2 2
4
3
9
x2 1 (x2 1)2
你能用另一个方法化简下面各式吗？
1 3 2 ,
3
2 a 1 ,
a
课下作业
例1 已知，a、b为实数，且 2a6b 2 0
a a(a0,b0) bb
运用这条性质可以化去根号内的分母。
自主学习课本P129的例题4，仔细思考解题思路和步骤，然后考考你自学的成果
1 3 2 9 3 a 3
25
4
9b 2
1 2 2 b 2 3 45a 2
25
4a 2
169 b 2
尝试应用
如何化去 1 根号内的分母？ 2
化去下列根号内的分母：
回顾 & 思考 ☞
1、二次根式的性质已学了四条，分别是什么？
1双非负 a0性 (a0： )2 公 (a )式 2 a (a 0 )
32、公用心式算a2一算a:aaaa
0
0
4积的算术平方根
ab a• b(a0,b0)
1
2
2x
2 2x2x0
3 8 3 6 4 72x3y5
514m 31m 621m 62
1 2
5
2 1
x
3 b
a
1
3 。。。3
25
5
观察下面这5个式子，比照化简结果和原式，这5个化简后的式子
2 4a52 。。 3a。5 有什么共同特征？

鲁教版初三数学第五章二次根式第2节二次根式的性质1

已知
1 a
有意义,那A(a,
a
)
在二
象限.
?
下列式子取值范围是
2x 6
1 2x
中字母 x 的
3 x _0 __________
?
已知 y 则 y x
2x
5
x 2 5,
____ 2
?
12 n 为一个整数求自然数 n 的值 .
,
若a.b为实数,且
5、在实数范围内分解因式：（1）a2-3 ；（2）16b2-11 6、在△ABC中，a、b、c是三角形的三边，化简
a b c
2
2cab
x 199 y 199 x y
7、若m适合关系式
3x 5 y 2 m 2x 3y m
试求m的值
3
2

2
4 x 3 (2 x)
3
2
( 2 x 3 )( 2 x 3 )
?
练一练: 把下列各式分解因式:
(1) x2 – 2
2
(2) x2 – 9
解：（1）原式 x x

2

2

2
x
3
2

3
（ 2）原式 x 3 x 3 x 3 x
2 2
2a
b2 0
求 a b 2 b 1的值
?
( 2003年· 河南省)实数p在数轴上
的位置如图所示，化简
(1 p )
2

2 p

2
1 p (2 p ) p 1 2 p 1

二次根式的计算与性质

二次根式的计算与性质二次根式是数学中的一个重要概念，在许多数学问题的解答中经常涉及。

它的计算和性质具有一定的规律和特点。

本文将深入探讨二次根式的计算方法和性质，并结合实例进行说明。

一、二次根式的定义与基本性质二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数，是它的被开方数。

二次根式具有以下基本性质：1. 当a≥0时，二次根式有意义。

2. 当a＞0时，√a＞0。

3. 当a＞b≥0时，有√a＞√b。

4. 二次根式的平方等于被开方数本身。

二、二次根式的四则运算1. 二次根式的加减运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ± √b = √(a ± b)。

这意味着可以通过合并二次根式进行简化。

举例：（1）化简√8 + √2。

解：√8 + √2 = √(4 × 2) + √2 = 2√2 + √2 = 3√2。

2. 二次根式的乘法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a × √b = √(a × b)。

这意味着可以通过合并二次根式进行简化。

举例：（1）化简√3 × √5。

解：√3 × √5 = √(3 × 5) = √15。

3. 二次根式的除法运算：对于二次根式√a与√b，满足以下运算规律：√a ÷ √b = √(a ÷ b)。

这意味着可以通过合并二次根式进行简化。

举例：（1）化简√16 ÷ √4。

解：√16 ÷ √4 = √(16 ÷ 4) = √4 = 2。

三、二次根式的化简与有理化1. 化简二次根式：对于二次根式√a，可以通过确定a的因式分解式来进行化简。

举例：（1）化简√72。

解：√72 = √(2 × 2 × 2 × 3 × 3) = √(2^2 × 3^2) = 2√2 × 3 = 6√2。

鲁教版数学初三上册第7章《二次根式》学案

鲁教版八年级下册姓名_______________7.1二次根式一、学习目标1．了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2．掌握二次根式有意义的条件。

3．掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a1. 已知a x =2，那么a 是x 的______；x 是a 的_________, 记为______,a 一定是_______数。

2. 4的算术平方根为2，用式子表示为4=________；正数a 的算术平方根为___________，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是。

探学新知【模块一】二次根式的定义1. 16的平方根是___________；16的平方根是；2. 一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ；3. 圆的面积为S ，则圆的半径是；4. 正方形的面积为3−b ，则边长为。

思考：说一说16，5h ，πs ,3−b 等式子的共同特征.定义: 一般地，形如a （0≥a ）的式子叫做二次根式，a 叫做_____________。

注：二次根式其实就是以前学习的_______________巩固练习：1．试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16−，34)0(3≥a a ，12+x【模块二】二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a1.当a 为正数时a 指a 的，而0的算术平方根是，负数，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

2.根据算术平方根意义计算：(1) 2)4((2)（3）2)5.0( （4）2)31(根据计算结果，你能得出结论：2=________，其中0≥a ,3.由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

二次根式性质与运算

（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m

2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n

2 n

(n
1 1)2

(
n 1)2 n

2 n

(n
1 1)2

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结二次根式是数学中常见的一种表达式形式，它涉及到根号以及平方的运算。

在学习二次根式的过程中，需要掌握它的性质、化简方法、解题技巧等知识点。

本文将对二次根式的相关知识进行总结和介绍。

一、二次根式的定义和性质1. 定义：二次根式是指具有形如√a（其中a≥0）的表达式。

2. 性质：a) √a * √b = √(a * b)：两个二次根式相乘时，可将根号下的因子相乘并开平方。

b) √(a / b) = √a / √b：两个二次根式相除时，可将根号下的因子相除并开平方。

c) √(a + b)≠√a + √b：两个二次根式相加时，一般不能直接合并，需要进行特殊处理。

d) 当a>b时，√a±√b=√a±√(a-b)；当a<b时，√a±√b=√a±i√(b-a)（其中i为虚数单位）。

二、二次根式的化简方法化简是指将一个较为复杂的二次根式写成最简形式的过程。

常见的化简方法有以下几种：1. 合并同类项法：将根号下的因子合并，并进行运算。

例如：√3 + √12 = √3 + 2√3 = 3√32. 有理化分母法：将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号去掉。

例如：1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (-1) = -√2 +√33. 平方差公式法：利用平方差公式将二次根式的平方进行变换，使得表达式更简单。

例如：(2 + √5)(2 - √5) = 4 - 5 = -14. 有理化分子法：将二次根式的分子有理化，即将分子中的根号去掉。

例如：(1 + √3) / (√2 - 1) = ((1 + √3) * (√2 + 1)) / ((√2 - 1) * (√2 + 1)) = (√2 + √6 + √2√3 + √3) / (2 - 1) = √2 + √6 + √6 + √3三、二次根式的运算在解题过程中，经常需要进行二次根式的运算。

二次根式的定义和基本性质

二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。

它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。

本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。

在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。

二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。

当x小于0时，√x是一个虚数。

在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。

基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。

例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。

2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。

例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。

例如，√4小于√9，因为4小于9。

通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。

例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。

需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。

虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。

负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。

虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。

鲁教版初三数学知识点(汇总)

鲁教版初三数学知识点编辑人:鲁东大学08级经济系李建鹏第一章分式一、分式1．分式的概念：如果整式A 除以整式B, 可以表示成BA 的形式,且除式B 中含有字母，那么称式子BA 为分式。

其中, A 叫分式的分子,B 叫分式的分母。

注意：①判断一个代数式是否为分式,不能将它变形,不能约分后去判断,即使它约分后是整式也不能说它就是整式,约分之前是分式这个式子就是分式。

如:x 2／x 是分式,虽然约分之后等于x 是整式,但约分前是分式。

②π是常数,所以a/π不是分式而是整式。

2．有理式：整式和分式统称有理式。

(整式的分母中不含有字母)3．关于分式的几点说明:(1)分式的分母中必须含有未知数；(2)分式是两个整式相除的商式,对任意一个分式，分母都不为零；(3)分数线有除号和括号的作用,如：dc b a -+表示（a ＋b ）÷(c －d )； (4)“分式的值为零”包含两层意思：一是分式有意义(分母≠0)，二是分子的值为零，不要误解为“只要分子的值为零，分式的值就是零”。

4．一般的，对分式A ／B 都有：①分式有意义 B ≠0；②分式无意义 B=0；③分式的值为0A=0且B ≠0；④分式的值大于0分子分母同号；⑤分式的值小于0分子分母异号。

5．基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式值不变。

二、分式的乘除法1.分式的乘除法则:分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式的乘方是把分式的分子、分母各自乘方，再把所得的幂相除。

2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分。

注意:①当分式的分子分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式时,直接约分； ②分式的分子和分母都是多项式时，将分子和分母分解因式再约分。

3.最简分式: 一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。