初三二次根式的性质与运算(鲁教版)

一、二次根式的概念及性质 重要公式：

(0)

(0)

a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．

一、对二次根式定义的考察

【例1】 判下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

1

x

0)x >、1x y +x ≥0，y ≥0）．

【练一练】下列式子中，是二次根式的是（ ）．

A ．

B

C

D ．x

【例2】 当x

【例3】 当x 1

1

x +在实数范围内有意义？

【练一练】x 有（ ）个 ．

A ．0

B ．1

C ．2

D ．无数

【练一练】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要， 底面应做成正方形，

试问底面边长应是多少？

【例4】 解答下列题0=，求20112011a b +的值．

二次根式性质与运算

新知学习

基础演练

【练一练】已知a 、b 5b =+，求a 、b 的值．

【练一练】已知实数a 与非零实数x 满足等式：2

22130x x ⎫⎛

-+ ⎪⎝

⎭

二、对二次根式性质的考察

【例5】 计算

（1） 2 （2） 2 （3）2( （4） 2

【练一练】计算

（1） 2(0)x ≥ （2）2

（3）2 （4）2

【例6】 在实数范围内分解下列因式:

（1）25x - （2）44x - （3） 223x -

【例7】 先化简再求值：当a=9时，求a 的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：原式=(1)1a a a =+-=；

乙的解答为：原式=(1)2117a a a a =+-=-=．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

【练一练】若-3≤x ≤2时，试化简2x -．

【例8】 x ，y 必须满足条件 ．

【例9】 如果)3(3-=

-⋅x x x x ，那么（ ）． A ．0x ≥ B ． 3x ≥

C ．03x ≤≤

D ． x 为任意实数

【练一练】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．

【例10】 把4

3

2

4根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）． A ．11-

B ．11

C ．44-

D ．44

【练一练】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：

（1） ;1

a

a -

（2）⋅---1

1

)

1(y y

【例11】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20112011a b -的值．

【练一练】探究过程：观察下列各式及其验证过程．

（1）=

验证：

=

验证：==

同理可得：=

=……

通过上述探究你能猜测出： =_______（a >0），并验证你的结论．

【练一练】a b =，a 、b 式子表示 。

【例12】 已=x 为偶数，求(1x +

(（m >0，n >0）

三、最简二次根式的概念

【例13】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．

A ．a 8

B ．32-b

C ．

2

y

x - D ．y x 23

【练一练】把下列各式化成最简二次根式：

（1 （2 （3 （4

【例14】 计算：（1 （2） （3

【例15的有理化因式是 ；y 的有理化因式是 ．

的有理化因式是 ．

【例16】 把下列各式分母有理化：

（1

（22

（3 （4

【练一练】

【例17

【例18】 观察规律：

323

21,

232

31,

121

21-=+-=+-=+，……，求值．

（1）

7

221

+＝______；（2）10

111+＝______；（3）

n

n ++11

＝______．

【练一练】

=_______．

【例19】 把

有 ；与的被开方数相同的有 ；

的被开方数相同的有 ．

【例20】 若是可以合并的二次根式，则____a =．

【例21】 若n m 、n 的值．

【练一练】若a a ，b 的值．

【练一练】已知最简根式a ，b 的值（ ） A ．不存在 B ．有一组 C ．有二组 D ．多于二组

【例22】 化简计算：

（1

（2）(a b -0a b >>)

四、二次根式的加减

【例23】 计算：（1） （2

【练一练】485127-＝______．

【例24】 计算：

（1） （2

【练一练】计算：

（1

）（2

【例25】如图，一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么它的底端是否也下滑1m？

五、二次根式的乘除

【例26】计算：

（1

（2

六、二次根式的混合运算【例27】计算：

（1

）2（2

）(2

（3

）22

(2(2

--（4

）20112012 (3(3

【练一练】（1

）（2

）3ab（0,0

a b

≥≥）

C B

A