2017A概率统计试卷答案
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一、 （本题40分）
1. 设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，求()p A B ⋃
()=()()0.4P AB P B A P A =L L L L L （3分）
()=()+()()0.7P A B P A P B P AB ⋃-=L L L L L （2分）
2、袋中有大小相同的红球4只，黑球3只，从中随机一次抽取2只，求此两球颜色不同的概率。
11432
74
=7
C C C L L L L L （5分） 3、四个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为61,31,41,51，求密码能被译出的概率.
11112
1111154363
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L L L （5分）
4、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=9
5，求P {Y ≥ 1}
()()()2
00
25
110119
P X P X C p p ≥=-==--=
L L L L L （2分） 1
=3
P L L L L L （1分）
()()()3
00319
110127
P Y P Y C p p ≥=-==-=
L L L L L （2分） 5、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 求D (Y )
()3199218DY D X DX =-==⨯=L L L L L （5分）
6、设随机变量X ~N (1, 4)，Φ(x)是标准正态分布函数。已知Φ(0.5)=0.6915，Φ(1.5)=0.9332， 求{}2P
X <
{}()()20.5 1.510.6247P X <=Φ+Φ-=L L L L L （5分）
7、设(X , Y )的联合概率分布列为
若X 、Y 相互独立，求a,b
()()()
=4,2=42222,99319
P X Y P X P Y b b =-==-⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭=
L L L L L （3分）
()()()
=0,2=02111,333
23
P X Y P X P Y a a =-==-⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭=
L L L L L （2分）
8．已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,23),(2
y x xy y x f ，求E (X )
2
1
220
034
(,)23
EX xf x y dxdy dx x y dy +∞
+∞
-∞
-∞
===⎰
⎰
⎰⎰
L L L L L （5分）
二、
（本题10分）
市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的两倍， 第二、第三厂家相等，且第一、第二、第三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。
若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？
解 设i A 表示产品由第i 家厂家提供，i =1, 2, 3；B 表示此产品为次品。 则所求事件的概率为
1111112233(|)()(|)
(|)
()()(|)()(|)()(|)
P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A =
=++＝
1
0.0220.4111
0.020.020.04244
⨯=⨯+⨯+⨯ L L L L L （10分）
答：该件商品是第一产家生产的概率为0.4。
三、
（本题10分）
, 01
()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨
⎩，
其它 求（1）A ； （2）X 的分布函数F (x )； （3） P (0.5 < X <2 )。
解： 1
21001 ()| 1
22
2
A A
f x dx Axdx x A +∞
-∞==
===⎰
⎰（）L L L L L （4分）
2020 ()()0 01 ()()2
1 ()()x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥=
=⎰
⎰
⎰⎰
（）当时，当时，当时，1
22 1 0, 0
(), 0 1
1, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
⎰故L L L L L （8分）
(3) P （1/2 四、（本题15分） 设随机向量（X ，Y ）联合密度为 f (x , y )= ⎩⎨⎧>>+-. ,0; 0,0 ,)32(其它y x Ae y x （1） 求系数A ； （2） 判断X ，Y 是否独立，并说明理由； （3） 求P{ 0≤X ≤2，0≤Y ≤1}。 解：（1）由 1＝ dy e dx e A dxdy e A dxdy y x f y x y x ⎰⎰⎰ ⎰ ⎰⎰ +∞ -+∞ -+-+∞ +∞ +∞∞-+∞ ∞ -⋅==0 30 2) 32(0 ),(＝ ,6 )3 1)(2 1 (0 30 2A e e A y x = --+∞ -+∞ - 可得A ＝6。 L L L L L （5分）