带电粒子在有界磁场及复合场中的运动

带电粒子在有界磁场及复合场中的运动肖井利带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场和复合场中的运动” 则是此考点中的一个难点．其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题．下面举例谈谈带电粒子在不同形状有界磁场中运动的一些问题．一、带电粒子在有界磁场中运动带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例1、如图1，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=，电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R ，由Rv m Bq v 2= 得cm m m Bq mv R 2020.0102.3332.0102.31064.619627==⨯⨯⨯⨯⨯==-- 虽然α粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此α粒子作圆周运动的圆心必落在以O 为圆心，半径cm R 20=的圆周上，如图２中虚线．由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径R 一定的条件下，为使α粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即α粒子应从磁场圆直径的A 端射出．如图２，作出磁偏转角ϕ及对应轨道圆心O '，据几何关系得212sin==R r ϕ，得060=ϕ，即α粒子穿过磁场空间的最大偏转角为060． 带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例2、如图3，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件． 解析：如图４，设粒子以速率1v 运动时，粒子正好打在左极板边图３⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯→∙d Lv缘（图４中轨迹１），则其圆轨迹半径为41d R =，又由1211R v m Bqv =得m Bqdv 41=，则粒子入射速率小于1v 时可不打在板上．设粒子以速率2v 运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），由图可得22222)2(d R L R -+=，则其圆轨迹半径为d d L R 44222+=，又由2222R v m Bqv =得md d L Bq v 4)4(222+=，则粒子入射速率大于2v 时可不打在板上．综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：mBqdv 4<或md d L Bq v 4)4(22+>．带电粒子在“圆环形磁场区域”中的运动例3、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图8所示的是一个截面为内径m R 6.01=、外径m R 2.12=的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比kg c mq/108.47⨯=，磁场的磁感应强度T B 4.0=，不计带电粒子重力．（1）实践证明，氦核在磁场区域内沿垂直于磁场方向运动速度v 的大小与它在磁场中运动的轨道半径r 有关，试导出v 与r 的关系式．（2）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A 点射人磁场，画出氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大圆轨道示意图．（3）若氦核在平行于截面从A 点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．解析：（１）设氦核质量为m ，电量为q ，以速率v 在磁感强度为B 的匀强磁场中做半径为r 的匀速圆周运动，由洛仑兹力公式和牛顿定律得R v m Bqv 2=，则mBqr v =．（２）所求轨迹示意图如图９所示（要与外圆相切）（３）当氦核以m v 的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以m v 速度沿各方向射入磁场区的氦核都不能穿出磁场图４v2v 图9图10图8外边界，如图１０所示．由图知m R R r 3.0212=-='，又由r v m Bqv 2=得Bq mv r =， 在速度为m v 时不穿出磁场外界应满足的条件是r Bqmv m'<， 则s m mr Bq v m /1076.53.0108.44.067⨯=⨯⨯⨯='≤． 带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动例4、如图11所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2100.1-⨯=，A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07⨯范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3101.9-⨯=，已知电子的质量kg m 31101.9-⨯=，电子电量C e 19106.1-⨯=，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系及各自相应的取值范围．解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由r v mBev 2=可得Bemv r m m =，代入数据解得d m r m 21022=⨯=-． 该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d ，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．在∆ＭＦＨ中，有d dd MF HM FH 3)2(2222-=-=，s m d PF QM /1068.2)32(3-⨯=-==， m d QN 2101-⨯==，m d PH 21022-⨯==．电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距m m 23101~1068.2--⨯⨯的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距m 2102~0-⨯的范围．（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有Be mv r =，2sin dr =θ． 解得6108sin ⨯=θv ．图13Pv 取最大速度s m /102.37⨯时，有41s i n =θ，41arcsinmin =θ；v 取最小速度时有2max πθ=，s m v /1086min ⨯=．所以电子速度与θ之间应满足6108sin ⨯=θv ，且]2,41[a r c s in πθ∈，]/102.3,/108[76s m s m v ⨯⨯∈．二、带电粒子在复合场中的运动 带电粒子在电磁复合场中运动例5．如图所示，在x 轴上方有匀强电场，场强为E ；在x 轴下方有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向如图，在x 轴上有一点M ，离O 点距离为L ．现有一带电量为十q 的粒子，使其从静止开始释放后能经过M 点．如果把此粒子放在y 轴上，其坐标应满足什么关系？（重力忽略不计）解析 由于此带电粒子是从静止开始释放的，要能经过M 点，其起始位置只能在匀强电场区域．物理过程是：静止电荷位于匀强电场区域的y 轴上，受电场力作用而加速，以速度v 进入磁场，在磁场中受洛仑兹力作用作匀速圆周运动，向x 轴偏转．回转半周期过x 轴重新进入电场，在电场中经减速、加速后仍以原速率从距O 点2R 处再次超过x 轴，在磁场回转半周后又从距O 点4R 处飞越x 轴如图所示（图中电场与磁场均未画出）故有L ＝2R ，L ＝2×2R ，L ＝3×2R 即 R ＝L ／2n ，（n=1、2、3……）…………… ①设粒子静止于y 轴正半轴上，和原点距离为h ，由能量守恒得mv 2／2=qEh ……② 对粒子在磁场中只受洛仑兹力作用而作匀速圆周运动有：R ＝mv ／qB ………③解①②③式得：h ＝B 2qL 2／8n 2mE （n ＝l 、2、3……） 带电粒子在电场和重力复合场中的运动例6．如图所示，在同时存在匀强电场和匀强磁场的空间中取正交坐标系Oxyz （x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向上）．匀强磁场方向与Oxy 平面平行，且与x 轴的夹角为︒45，重力加速度为g ． （1）一质量为m 、电荷量为q +的带电质点沿平行于z 轴正方向以速度v 0做匀速直线运动，求满足条件的电场强度的最小值min E 及对应的磁感应强度B ；（2）在满足（1）的条件下，当带电质点通过y 轴上的点(0,,0)P h 时，撤去匀强磁场，求带电质点落在Oxz 平面内的位置； （3）当带电质点沿平行于z 轴负方向以速度v 0通过y 轴上的点(0,,0)P h 时，改变电场强度大小和方向，同时改变磁感应强度的大小，要使带点质点做匀速圆周运动且能够经过x 轴，问电场强度E 和磁感应强度B 大小满足什么条件？ 解析（1）如图所示，带电质点受到重力mg （大小及方向均已知）、洛伦兹力qv 0B （方向已知）、电场图14o cm x /cm y /p ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯∙zB力qE （大小及方向均未知）的作用做匀速直线运动。

根据力三角形知识分析可知：当电场力方向与磁场方向相同时，场强有最小值min E 。

根据物体的平衡规律有︒=45sin min mg qE ︒=45cos 0mg B qv解得qmgE 22min = 022qv mgB =（2）如图所示，撤去磁场后，带电质点受到重力mg 和电场力qE min 作用，其合力沿PM 方向并与v 0方向垂直，大小等于B 0qv =mg 22，故带电质点在与Oxz 平面成︒45角的平面内作类平抛运动。

由牛顿第二定律 ma B qv =0 解得 g a 22=设经时间t 到达Oxz 平面内的点N （x ,y ,z ），由运动的分解可得沿v 0方向 0z v t =沿PM 方向 212PM at =又 ︒=45sin hPM︒=45an ht x联立解得 h x = ghv z 02=则带电质点落在N （h ，0，ghv 02）点 （或带电质点落在Oxz 平面内，h x =，ghv z 02=的位置）（3）当电场力和重力平衡时，带点质点才能只受洛伦兹力作用做匀速圆周运动 则有：mg Eq = 得：qmgE =要使带点质点经过x 轴，圆周的直径为h 2根据rv m Bqv 200=得qhmv B 02=解决带电粒子在复合场中运动的一般步骤 1看清电场 磁场的方向 粒子的电荷的正负2确定粒子的受几个力方向是什么3确定力的大小4根据牛顿第二定律f=ma 解题运动的问题无非就是弄清初速度大小方向以及加速度的大小和方向。