第二讲6传递函数到状态空间模型的转换

对角矩阵 A= 意味着各个状态方程之间相互解耦，即各个状态变量
zi 不依赖于其他状态变量，可被独立求解。
这个特点可以简化状态转移矩阵 (t) 的计算程序。 对角型动态方程对系统研究非常有用，如可观性和可控性分析。 这里讲的系统特征根为各不相同的单根时的正则标准型状态空间描
述。是一种最简单的情况。对于存在复根的情况(较少碰到)，A阵为 约当阵。此略。有兴趣的同学可自学。
因此可得系统的正则标
准型状态空间描述：
0 0 0 1
x 0 3
0

x

1
u
0 0 4 1
y

1 6
2 3
3 2

x
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A 矩阵的对角化
从传递函数到状态空间模型
在前面的部分分式展开方法中，我们得到了所需的正则规范型状态空 间模型，其中 A 矩阵是对角阵。
Y(s) Z2(s) 2 -1
4
图 5.32 仿真图
z

2 0
0 1 z

1 1 u ;
y 1
2z 4u
w=n, dn 0, 否则 dn=0
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并联状态图
从传递函数到状态空间模型
w<n, dn=0
【例 2】设控制系统的传递函数为 试求系统的正则标准型状态空间描述。
当系统为 MIMO 系统，或者已经给出状态空间描述的系统方程时， 这样的部分分式展开方法并不方便。
于是系统的状态空间模型为：
所有元素均为 1
1
z


0

0
y f1
0
2
0
f2
0 1
0


z

1 u

z

b nu

n

1
f n z cnu c n z d nu
w=n, dn0, 否则 dn=0
系统矩阵 A 是对角阵，此时系统动态方程称为正则标准型状态空间模型，
系统矩阵可表示为 (or A*)，相应的状态变量称为规范变量（canonical
variables）。
对于 MIMO 系统，有
不同！
部分分式的系数
----b B，c C 和 d D
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并联状态图
从传递函数到状态空间模型
所选择的状态变量 Zi(s) 满足如下方程：
u Zi (s)

U (s) s i
;
sZi (s) - i Zi (s) U (s)
1 + z i

zi
zi i z i u
yi fizi
i
yi fi
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并联状态图
从传递函数到状态空间模型
系统的状态转移信号流图如下图所示，图中省略了状态变量的初始值
自动控制理论
从传递函数到状态空间模型
第二章 连续时间控制系统的数学模型
周立芳 徐正国
浙江大学控制科学与工程学系
1
第二章要点
从传递函数到状态空间模型
引言
电路及组成
线性代数与状态的基本概念
传递函数及方块图
机械传递系统
其他的数学建模实例
系统传递函数的计算
非线性系统的线性化 系统整体传递函数的确定 仿真图 信号流图 从传递函数到状态空间模型的转换
fiZi (s) fi
U (s) s i
我们采用符号 zi 及其拉普拉斯变换形式 Zi(s) 来表示状态变量，以突
出对角阵形式中的状态变量。
Y ( s ) cnU ( s )
f1U ( s )
s 1
f 2U ( s )
s 2
(*)
cnU ( s ) f1Z 1 ( s ) f 2 Z 2 ( s )
Gi (s)
fiZi (s) fi
U (s) s i
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并联状态图
从传递函数到状态空间模型
G ( s )

cn s n cn1s n1 c1s c0
(s 1)(s 2 ) (s n )
n
cn Gi (s);
i 1
Gi (s)
zi(t0)。
U(s)
n
G(s) cn Gi (s) i 1
Gi (s)
fiZi (s) fi
U (s) s i
Z1(s)
f1
1
前馈通道
Y(s)
: 2
Z2(s) f2
fn
Zn(s)
cn
n
图 5.31 式 (*) 的并联解耦仿真图（w=n）
6
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
a0
wn
进一步地，将传递函数的分母进行因式分解，并将 G(s) 表示为部分
分式形式。当不存在多重极点且 w=n 时，
G ( s )

cn s n cn1s n1 c1s c0
(s 1 )(s 2 ) (s n )
n
cn Gi (s);
i 1
2
从传递函数到状态空间模型的转换
从传递函数到并联状态图
并联状态图 A 矩阵的对角化 利用状态变换求解状态方程
状态方程的标准形式
可控标准型 可观标准型 从方块图到状态空间模型
控制科学与工程学系
并联状态图
从传递函数到状态空间模型
由下面微分方程描述的 SISO 系统可以由相应的传递函数表示
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并联状态图
从传递函数到状态空间模型
【例 1】对于给定的 G(s)， 并确定状态方程。
G(s)

4s2 s2
15s 13 3s 2
，画出并联状态图，
解：
G (s)
4 s 2 15 s 13 s2 3s 2
Z1(s)
1
-2
U(s) G (s) 4 1 2
s 2 s1
( D n a n1D n1 a1D a 0 ) y
wn
(c w D w c w 1D w 1 c1D c0 )u
Y (s) U (s)

G(s)

sn
cws w cw1s w1 c1s c0 an1s n1 an2 s n2 a1s
Y (s) U (s)

s2 s(s2

3s 7s
2 12)
解：将系统传递函数化为分母为因式相乘的形式，
系统的特征根为0，－3，－4；相应的留数可求得为
1 , 2 , 3 6 32
即： Y ( s ) 1 1 2 1 3 1 U (s) 6 s 3 s 3Leabharlann Baidu2 s 4