第三章 静电场的边值问题
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第3章 边值问题及静电场的求解
r r
Q Q
const.
若镜像位置满足
OQ ~ P OPQ
r r
R0 a
const .
由三角形相似，
b R0 R0 a
2 R0 b a Q R0 Q a
导体球外部空间的电势为
Q R 0Q 4 0 r ar 1 4 0 1 Q R a 2 Ra cos
sin d
(sin
sin
0
该方程的解有两种情况
■
1 d
2
d
2
m
2
的解
0,
当电位与方位角无关时，
2 即： m 0
( ) A
■
1 d R dr
(r
2
2
dR dr
) n ( n 1) 的解
1
(1) n 0 时， R ( r ) A0 B 0 r
n
|S f 2 ( S )
称为第二类边界条件或“诺伊曼”条件。 这类问题称为第 二类边值问题。 （3）已知场域边界面S上各点电位和电位法向导数的线性 组合值， 即给定
( N ) |S f 3 ( S )
称为第三类边界条件或“混合边界条件”。 这类问题称为 第三类边值问题。
P
Q Q 4 0 r r 1
考察空间：导体球外部空间。 镜像电荷：用位于对称轴上的等效代
替导体球面上的感应电荷。
球面上任意点P 的电势
Q Q ( P) 0 4 0 r r 1
r r
Q Q
镜像电荷不应随P 变化，
静电场的边值问题-03-1。
D1n D2n
8. 电容
C
q U
9. 电场能量
1 We i Qi i 1 2
We 1 1 1 (r ) (r ) dV (r ) S (r ) dS (r ) l ( r ) dl V 2 S 2 l 2
n
1 We we dV ( D E ) dV V V 2
Solution:
1. Choose an appropriate coordinate system for the given geometry 2. Governing equation for problems and boundary condition.
2 2 1 V V 2 ＝0 2 2 z r 轴对称的场，且忽略边缘效应（无限长圆柱体）V r
用电位函数
表示分界面上的衔接条件
设点1与点2分别位于分界面的两侧，其间 距为d，d→0 ,则
1 2 lim E dl lim( E1n
2
电位的衔接条件
1 2
1 2
1
d 0
d d E2 n ) 0 2 2
表明: 在介质分界面上，电位是连续的。 1 2 D1n 1 E1n 1 , D2 n 2 E2 n 2 n n
对于无源区， 0 ，上式变为
2
2 0
拉普拉斯方程
已知分布在V 中的电荷 (r ) 在无限大的自由 空间产生的电位为
1 (r ) 4π
V
dV | r r |
(r )
上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的 通解。
第三章 静电场的边值问题
u (1 2 ) 0
积分后 , 1 - 2 C, 该式既满足场域 , 又满足边界 , 故 C 0,1 2 ,得证
若导体边界为第二类边 界条件 , 即已知电荷面密度
1 2 , n n
即
(1 -2 ) u 0 n n
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
0
( y 0 ,b x a )
0
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d d 21 2 (r 2 1 ) (0 r a ) r dr dr 0
2u 21 2 2
利用矢量恒等式
0 (uu) u2u (u) 2 ( u )2
对场域求体积分, 并利用高斯散度定理
V
(uu )dV uu dS (u ) 2 dV
s V
S为体积 V的边界面 ,即S S0 S , S S1 S2 Sn , 由于在无穷远 S0处电位为零 ,因此有
静电场的边值问题 数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯
方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解泊松方程
或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。
边值问题 微分方程
边界条件
2 2 0
场域 边界条件
分界面 衔接条件
S f1 (s)
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
布或边界是电力线的条 件是等价的？ 边值问题框图
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--4
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
结论：
由两个半无限大接地导体平面形成角形边界，当其夹角 , n
π n
为整数时，该角域中的点电荷将有(2n-1)个镜像电荷，该角 域中的场可以用镜像法求解;
当n=3时：
/3
q
/3
q
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
q
q
当n=3时：
r
2π
r
S
衔接条件
----不同媒质分界面上的边界条件，如
1 2 1 2 , 1 2 n n
1 2
1
2
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
例：
b
y
U0
2 2 2 0 2 x y (0, y) 0, (a, y) 0
1
d1
q d2 2 q1 d2
d1 R1
d1 R
q
d2
d2
q3
R3
d1
R2
d1
d2
q2
电位函数 q 1 1 1 1 ( ) 4π R R1 R2 R3
镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 镜像电荷q3 = q , 位于(－d1, －d2 )
镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
（第三类边值问题）
§3.5 电磁场
静电场边值问题，唯一性定理
第3章 静电场及其边值问题的解法
3. 边值型问题的解法
解析法
镜像法
分离变量法
复变函数法 格林函数法 计算法
…
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法
第3章---- 静电场及其边值问题的解法 (1)
积分形式:
∫ D ⋅ dS = q ∫ E ⋅ dl = 0
S l
微分形式：
∇⋅D = ρ ∇× E = 0
D = εE
静电场:无旋有散场
本构关系:
线形、各向同性媒质
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
二、静电场的无旋性与电位
一 、静电场的无旋性
试验电荷q0位移dl时，电场力作功：
dA= F ⋅ dl = q0E ⋅ dl
从A点移到B点：
A = ∫ q0 E ⋅ dl
A
B
定义： A、B点间电压：
U AB
A = = ∫ E ⋅ dl q A
B
(2 - 19)
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl − ∫ E ⋅ dl = 0
_____ _____
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
均匀电场中带电粒子的 轨迹
阴极射线示波器原理
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁分离器 回旋加速器
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁悬浮列车
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
磁录音原理：
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
§3.1 静电场基本方程与电位方程 一、静电场的麦克斯韦方程组
∞
r
ρ 0a ρ 0a dr = 2 3ε 0 r 3ε 0 r
3
3
当r<a时，
ϕ = ∫ Er dr = ∫ Er dr + ∫
r r
∞
a
第三章 静电场边值关系
电位所满足的拉普拉斯方程在圆柱坐标系
中的展开式只剩下包含变量r 的一项，即电 位微分方程为
2 1 d d r 0 r dr dr
求得
C1 ln r C 2
利用边界条件：
V r a
C1 ln a C 2 V C1 ln b C 2 0
q q 4 π r 4 π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
r q q r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq
r 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面 r
r a 与 △ OqP 相似，则 常数。由此获知镜像电荷应为 r f
代入上述边界条ห้องสมุดไป่ตู้，求得镜像电荷如下：
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
例 已知同轴线的内导体半径为a，电位为V，外导体接地，其
内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。
解
V a b
O
对于这种边值问题，镜像法不适
用，只好求解电位方程。为此，选用圆柱 坐标系。由于场量仅与坐标 r 有关，因此，
以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半
第三章作业答案
μ0
μ0
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 V / m ，试问该电场能否表示匀强电场？为什么？电场 7、已知电场 A = e ˆx 20 − e ˆy 5 − e ˆz 5 V / m ， 大小是多小？方向余弦？如果有另一电场 B = e 试问这两个矢量是否
垂直？为什么？
G
G
ˆx 10 + e ˆy 20 + e ˆz 20 是匀强电场，电场的大小是 答：矢量 A = e G 1 2 2 E = 102 + 202 + 202 = 30 V / m ，方向余弦为 cos α = ， cos β = ， cos γ = ； 3 3 3 G G 两矢量垂直，因为 A ⋅ B = 0 。
μ0
2
c b
(
I 2 c2 − ρ 2 2 μ I2 ) ( 2 2 ) 2 πρ dρ = 0 2 πρ c − b 4π
单位长度内总的磁场能量为
Wm = Wm1 +Wm2 + Wm3
b μ0 I 2 ln + = + 16 Βιβλιοθήκη 4π a 4πμ0 I 2
μ0 I 2
15、 一个点电荷 q 与无限大接地导体平面距离为 d， 如果把它移至无穷远处， 需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷可以用像电荷-q 替代。当电荷 q 移至 x 时，像电荷 q 应位于－x， 则像电荷产生的电场强度
G ˆx 2 + e ˆz 4 ，求电介质中的电场？ E =e
解：由在介质表面处 z = 0 ， E1t = E2t 即 E1x = E2x = 2 ， z = 0 时， D1n = D2 n 即 D1z = D2 z
第三章静电场边值问题
第三章 静电场边值问题在上一章中，我们已经知道了几种从电荷分布求静电场的问题。
一种是直接积分式(2-2-1)求得已知电荷分布情况下的电场；另一种是利用式(2-2-4)高斯定理求解某些具有对称性电荷分布的静电场问题；再一种就是由式(2-2-10)求出静电势，再利用关系式ϕ=-∇E求出电场，这些问题一般都不存在边界。
然而，对于许多实际静电问题，电荷的分布是复杂的，计算积分很困难，甚至是不能积分，有些静电问题只给出了边界上的面电荷或电势。
在这种情况下，需有其它有效的方法求解静电问题，这种方法就是求解静电势所满足的偏微分方程。
这偏微分方程就是由式(2-2-10)给出的方程：2ρϕε∇=-因此，对于有边界存在的情况下，我们不得不求解给定边界条件下静电势微分方程，然后求出静电场，这一问题称为静电场边值问题错误！未找到引用源。
即求出满足给定边界条件的泊松方程的解。
在这一章中，我们首先介绍静电唯一性定理，它是解决静电场边值问题的基础。
基于静电唯一性定理，我们主要介绍两种求解静电场边值问题的方法：电像法和分离变量法。
当然，求解边值问题还有其它的方法。
值得一提的是，本章所介绍的方法不仅仅适用于静电场，它同样适用于静磁场和时变电磁场。
3-1 静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理错误！未找到引用源。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若： 1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数snϕ∂∂，则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(r )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数snϕ∂∂)。
即：2212,ρρϕϕεε∇=-∇=-并有12sssϕϕϕ==或12sssnnnϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂式中s ϕ和snϕ∂∂为给定的边界条件。
第三章静电场及其边值问题的解
r e ez z ，故
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
在圆柱面坐标系中，取 E 0与x轴方向一致，即 E 0 e E ，而 x 0
r r r r ( P) E0 gr ex gE0 (e ez z ) E0 cos
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
由此解得
C1
利用边界条件，有
x 0 处， 1 (0) 0 2 (a) 0 x a处， x b 处，1 (b) 2 (b),
S 0 2 ( x) 1 ( x) x 0 x x b
所以 D 0 1 C2 a D2 0 C1b D1 C2b D2 C2 C1 S 0 0
故单位长度的电容为
l
U
0
ln ( D a)
F/m
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
19
例3.1.6 同轴线内导体半径为a，外导体半径为为b，内外导体
间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 ll， ll 和 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
2. 导体内部不存在任何净电荷，电荷都以面电荷形式分布于
导体表面 3.导体为一等位体，其表面为等位面 4.导体表面切向电场为0，而只有法向电场分量En
En en E s /
电磁场基础
第3章 静电场及其边值问题的解法
14
任何两个导体都可看作一点容器 电容器广泛应用于电子设备的电路中： • • • 在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
第三章 静电场的边值问题
oP adq′r′OP adq′r′为常数。
对于不接地的导体球，若引入镜像电荷 q' 后，为了满足电荷守 恒原理，必须再引入一个镜像电荷q"，且必须令q ′′ = − q ′P a O d q′ r′ r q f而且，为了保证球面边界是 一个等位面，镜像电荷 q′′ 必须位 于球心。
事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等于零。
由q 及 q‘在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷 q“ 以提供一定的电位。
（思考：等位线的形状是否和以前一样？）（3）线电荷与带电的导体圆柱。
P a O d f -ρl已知线电荷为rr′ρl，导体圆柱单位ρl长度的电荷量为-ρl 。
在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根 镜像线电荷 − ρ l 。
求d 的大小。
已知无限长线电荷产生的电场强度为E=ρl er 2πε r因此，离线电荷 r 处，以 r0 为参考点的电位为ϕ=∫r0rEdr =ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠若令镜像线电荷 − ρ l 产生的电位也取相同的 r0 作为参考点， 则 ρ l 及 − ρ l 在圆柱面上 P 点共同产生的电位为P a O d f -ρlr′rρlϕP =ρl ⎛ r0 ⎞ ρl ⎛ r0 ⎞ ln⎜ ⎟ − ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠ 2πε ⎝ r ′ ⎠ ρl ⎛ r ′ ⎞ = ln⎜ ⎟ 2πε ⎝ r ⎠已知导体圆柱是一个等位体,即 ϕ p 是一个常数，因此，为了 满足这个边界条件，必须要求比值r′ r为常数。
2a r′ a d 与前同理，可令 = = ，由此得 d = r f a f可以想象与实际导体圆柱对称位置的右侧，也存在一个圆柱等位 面，如上图，则可计算两根平行导线间的电容（P79）。
（4）点电荷与无限大的介质平面。
qq′ Enr0r0′E'E t′ Etq"ε1 ε2et en=ε1 ε1q'θ+ε2 ε2r0′′θ′ E n′E t′′EnEE"为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q' 等效边界上束缚电 荷的作用，将整个空间变为介电常数为ε1 的均匀空间。
第三章 边值问题的解法
解：根据轴对称的特点和无限长的假设， 可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，
R2
采用圆柱坐标系
R1
1 (r ) 0 积分 Aln r B
r r r
由边界条件 U A ln R1 B 0 Aln R2 B
A U ln R1 R2
B
U ln R1
ln
R2
第3章 边值问题的解 法
给定边界条件下求有界空间 的静电场和电源外恒定电场的问 题，称之为边界值问题。
3.1边值问题的提法(分类)
3.1.1边值问题的分类
1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的（函数）
值
f (s)
2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值
/ n f (s)
q
4π0
(r
2
2dr
1
cos
d
)2 1/ 2
(d
2r2
a
2dra2 cos
a4 )1/ 2
导体球不接地：
q a q d
b a2 d
q q a q d
a
—
a
导体球不接地：根据电荷守恒定律，导体球上感应电荷代
数和应为零，就必须在原有的镜像电荷之外再附加另一镜
球壳内：边界为r = a1的导体球面，
边界条件为 (a1, ,) 0
➢ 根据球面镜像原理，镜像电荷
的位置和大小分别为
a1 q1
q
1
b1
a12 d1
q1
q1
第3章---- 静电场及其边值问题的解法--5 (1)讲诉
a
r2 q
b
r1
M
q
1 q q c ( )0 4π 0 r1 r2
d
q ab q d a
r2 q q r1
q a b q d a
a q q d
a2 b d
空间任意点 ( r , ) 的电位： q 1 a 2 2 2 2 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra 2 cos a 4 )1/ 25
解：
a1 q1
a2
( r , , )
q2
d2
a2
o
r
q2
b2
r2
r1
q2
d1
d2
球壳外：边界为r = a2的导体球面，边界条件为 (a2 , , ) 0 的位置和大小分别为 根据球面镜像原理，镜像电荷 q2 2 a2 a2 q2 q2 b2 d2 d2 球壳外区域任一点电位为 a2 q 1 外 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2d2 r cos d2 ) (d2 r 2d 2 ra2 cos a2 )
9
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
球壳中： 球壳中为导体区域，导体为等位体，球壳中的电位为零。 球壳内：边界为r = a1的导体球面， 边界条件为 (a1 , , ) 0 根据球面镜像原理，镜像电 荷 q1 的位置和大小分别为 a1 a12 q q1 b1 1 d1 d1 q 内 球壳内区域任一点电位为 4π 0
q
d
q 1 a a 2 2 2 2 1/ 2 2 4 1/ 2 4π 0 (r 2dr cos d ) (d r 2dra cos a ) dr
第3章-静电场及其边值问题的解法
q + q′ = 0 得 q′ = −q 4πεR0
()
()
()
R R R
φ r′ = φ r′ = φ r′ =
( ) ( ) ( )
1 4 πε 1 4 πε 1 4 πε
0 0 0
∫ ∫ ∫
ρv r′ ρ s r′ ρl r′
v
( )d v ′
s
( )d s ′
l
( )d l ′
式中 R =| r − r ′ | ，为源点至场点的距离。
5
§3.1
因此，任一极化介质区域内部的体束缚电荷总量与其表面的总束缚电荷是等值 异性的，介质整体呈电中性。
13
§3.2
静电场中的介质
二、介质中的高斯定理，相对介电常数
介质中的高斯定理： ∇ ⋅ E =
′ ρv + ρv ε0
′ 带入可得： 将 ρv
∇⋅ ε0 E + P = ρv
(
)
定义电通量密度： D = ε 0 E + P = ε 0 (1 + χ e )E = ε E 式中： ε = ε0εr ,
第3章 静电场及其边值问题解法
本章先研究静电场的电位方程和介质特性。 本章还将介绍两种求解静电场边值问题的方法。
主要内容 静电场与电位方程 静电场的介质 镜像法 分离变量法
§3.1 静电场基本方程与电位方程
一、静电场基本方程
静电场的场源电荷和所有场量都不随时间变化，只是空间坐标的函数。
由麦克斯韦方程组得静电场基本方程：
r>a:
2 ∫ E ⋅ ds = rˆE ⋅ rˆ 4π r = s
E 4π r 2 =
− ρ0 4 3 πa , ε0 3
[工学]静电场及其边值问题的解法
![[工学]静电场及其边值问题的解法](https://img.taocdn.com/s3/m/923e28d2551810a6f524866c.png)
a）高斯定律的微分形式
（真空中） E v 0
（电介质中） E v v 0
代入v P ,得
E
1 0
(v
P)
(0E P) v
定义电位移矢量（ Displacement） D 0E P 则有 D 电介质中高斯定律的微分形式
2 0l
ln R2
R1
3) 球形电容器
Q
E 40r 2
R2
R1
U＝ Q
4 0
R2 R1
dr＝ Q
r2 4 0
1 R1
1 R2
C0
Q U1 U2
4 0
R1 R2 R2 R1
15
§3.4 静电场中的边界条件
3.4.1 E 和 D 的边界条件
q q 0 得 q q 4 R0
于是，
q
4
1 R
1 R
q4 来自1x2 y2 (z h)2
1
x2 y2 (z h)2
R
1
40
＝8.99 109 (m)
103
Re
12
§3.3 静电场中的导体
二、两个导体的电容
Q
ssds
nˆ Eds
s
E ds
s
B
U A E dl l E dl
C Q ＝ sE ds U E dl
求电容的两条途径 l
折射定律
16
第三章静电场边值问题
导体B = 常数
∫ S D ⋅ dS = −τ ,
电荷分布不均匀
能否用高斯定理求解？ 能否用高斯定理求解？ 根据唯一性定理，寻找等效线电荷 电轴。 根据唯一性定理，寻找等效线电荷——电轴。 电轴
y p ρ1 +τ b o ρ2 b −τ x
2. 两根细导线产生的电场
h
图3.2.10
h
两根细导线的电场计算
• • • •
有限差分法 有限元法 数值法 边界元法 矩量法 实验法 实测法 模拟法 定性 定量 模拟电荷法
• • • •
边值问题 研究方法
数学模拟法 物理模拟法
• • • •
作图法
图3.1.2 边值问题研究方法框图
例3.1.1 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形， 铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为
q1 = − q q2 = − q q3 = q
d2 y
F = F1 + F 2+ F3
d1
q2
d2 d2
d1 o
q
d2 d2
q2 F1 = − y 4πε 0 (2d 2 ) 2 q2 F2 = − x 4πε 0 (2d1 ) 2 x
∧ ∧ F3 = 2d1 x + 2d 2 y 2 2 3/ 2 4πε 0 (2d1 ) + (2d 2 ) ∧
边界条件
C3 ϕ2( r ) = + C4 r
ϕ1
r →0
ϕ1
ε0
r=a
= ϕ2
r =a
r=a
⇒ 有限值 =0
参考点电位
∂ϕ 1 ∂r
= ε0
∂ϕ 2 ∂r
静电场的边值问题-03-1。
1. 电位微分方程
已知电位 与电场强度 E 的关系为
v
E
对上式两边取散度，得
v
E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的
散度为
v E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
In Cartesian coordinates:
2V V
2V
ax
x
ay
y
az
z
a
D1t D2t
1 2
vv
D1n D2n
eˆn (P2 P1) S ' 1E1n 2E2n
8. 电容
C q U
9. 电场能量
We
n i 1
1 2
i
Qi
We
1 (rv) (rv) dV
V2
S
1 2
(rv)
S
(rv)
dS
l
1(rv)
2
l
(rv)
dl
We
V we
dV
(
1
v D
v E)
x
V x
ay
V y
az
V z
2V 2V 2V 2V x2 y2 z2
In cylindrical coordinates:
2V
1 r
r
r
V r
1 r2
2V
2
2V z 2
In spherical coordinates:
2V
1 R2
R2 R
V R
1
R2 sin
s in
Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波
第3章静电场及其边值问题的解法
2
y 2
2
z2
0
二维问题 0：
z
2 2
x2 y 2 0
设 因此 即
于是有
(x, y, z) X (x)Y ( y)
YZ d 2 X XZ d 2Y 0
dx2
dy 2
s
n
z0
z
z0
2
qh x2 y2 h2
3 2
导体表面的总感应电荷
Qi
S sds
2
d
0
0
qh 2
(
2
d h2
)3
2
qh
q
2 h2 0
ห้องสมุดไป่ตู้
可见， 镜像电荷 q 代q 替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。
9
§ 3.6 镜像法
二、导体劈间的点电荷
设有两块接地半无限大导体平板相交成角，且 ＝n为n，正整数，交角内置一点电荷
11
§3.7 分离变量法The Method of Separation of Variables
* 分离变量法是一种最经典的微分方程解法。
* 采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动方程的通解; * 只有当场域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，
从而得到边值问题的特解。
x2 y2 (z h)2
可见，引入镜像电荷 q q 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z<0的空间，未改变所
求空间的电荷分布，因而在z>0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。
注意：仅对上半空间等效。
8
§ 3.6 镜像法
（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：
EM03静电场边值问题
镜像法 第三类 线电荷与带电的导体圆柱 例3.5 设半径为a的无限长导体圆柱外，有一 根与其平行的无限长细线电荷，其线电荷密度 为ρl，与圆柱轴线距离为d1，横截面如图。
a d1
ρl
27
镜像法 求解方法和第二类镜像法类似： 第一步 构造镜像电荷； 第二步 求出空间中电位的表达式 第三步 列出满足导体表面电位为0的边界条件 的方程（组），求解出设定的未知量。 第四步 将求出的未知量代入电位的表达式，得 到可用的电位表达式。
12
镜像法 分析：
Z轴
- - - - - - - -
XY平面
Φ=0 可用叠加法求解 可用叠加法求解
13
镜像法 解： 在直角坐标系中， 当z>0 时， ∇
2
Z轴
ϕ = 0
XY平面
当z=0时，φ=0； 当z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。 选无穷远点为电位参考点，利用叠加法求出导 体上方无源区任一点的电位：
5
电位微分方程 第三类边值问题（混合问题）： 在部分边界上给定未知函数在这部分边界上的 函数值，在其它边界上给定未知函数在这部分 边界上的法向导数值。
6
电位微分方程 例3.1 两块无限大的接地导体平面分别置于 x=0和x=a处，其间在x=x0处有一面密度为 σ0(C/m2)的无限大均匀电荷分布，求两导体板 之间的电位。 y σ0
电磁场与电磁波
第三章 静电场边值问题
武 汉 科 技 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院
1
本章要点
电位微分方程 镜像法 分离变量法
2
电位微分方程 电位微分方程的提出：
E = −∇ Φ
∇ ⋅ E = −∇ Φ
2
ρ ∇⋅E = ε
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半空间等效：上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立，因 为在上半空间中，源及边界条件未变。
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电 荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。 例如，夹角为 π 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点 电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个 异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电 荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量， 读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个 结论。
及 q' 共同产生，即
q q 4π r 4π r
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得 q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半 部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体 表面吻合。
电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表
通常给定的边界条件有三种类型：
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称 为狄利克雷问题。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值 问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界 上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
2. 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过 程大为简化。
依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的 边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定 等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
(r)
V G0 (r,
r)
( r) dV
S [G0 (r, r) (r) (r)G0 (r, r)] dS
式中格林函数 G(r, r)为
G0 (r,
r)
1 4π | r r |
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面。
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间
变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q
3
q /3
q
/3
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
（2）点电荷与导体球。
P
a
r
o q
d f
若导体球接地，导体球的电位 为零。为了等效导体球边界的影响， q 令镜像点电荷q' 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点 电位为
泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。 可以证明电位微分方程解也是惟一的。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的 电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导 数的关系为 S ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的
n
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。
q q 4π r 4π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
q r q r
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 r 对于球面
r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq 与 △ OqP 相似，则 r a 常数。由此获知镜像电荷应为
G0 (r, r) 及电位 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。
若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程 以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1. 电位微分方程
已知，电位 与电场强度 E 的关系为
对上式两边取散度，得
E E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
2
该方程称为泊松方程。
对于无源区，上式变为
2 0
上式称为拉普拉斯方程。
泊松方程的求解。
已知分布在V 中的电荷 (r)在无限大的自由空) dV
4π V | r r |
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。
应用格林函数 G(r, r)，即可求出泊松方程的通解为
对于半无限大导体平面形成的劈形边界也可应用镜像法。但是
仅当这种导体劈的夹角等于 的整数分之一时，才可求出其镜像电 荷。为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入几个镜像电荷。 例如，夹角为 π 的导电劈需引入 5 个镜像电荷。
面将产生异性的感应电荷，因此，上半空间的电场取决于原先的点 电荷及导体表面上的感应电荷。可见，上述镜像法的实质是以一个 异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电 荷守恒原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量， 读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个 结论。
及 q' 共同产生，即
q q 4π r 4π r
考虑到无限大导体平面的电位为零，求得 q q
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半 部分完全相同。
z
电场线
等位线
由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体 表面吻合。
电荷守恒：当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时，导体表
通常给定的边界条件有三种类型：
第一类边界条件给定的是边界上的物理量，这种边值问题又称 为狄利克雷问题。
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值，这种边值 问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界 上物理量的法向导数值，这种边界条件又称为混合边界条件。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。 解的存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否会 发生很大的变化。 解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。 静电场是客观存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。 由于实际中定解条件是由实验得到的，不可能取得精确的真值， 因此，解的稳定性具有重要的实际意义。
因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位，或电 位的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的静电场即 被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
2. 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响，将原来具 有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间，从而使计算过 程大为简化。
依据：惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的 边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定 等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位 置，因此称为镜像电荷，而这种方法称为镜像法。
(r)
V G0 (r,
r)
( r) dV
S [G0 (r, r) (r) (r)G0 (r, r)] dS
式中格林函数 G(r, r)为
G0 (r,
r)
1 4π | r r |
对于无限大的自由空间，表面 S 趋向无限远处，由于格林函数
关键：确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性：仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有 可能确定其镜像电荷。
（1）点电荷与无限大的导体平面。
P r q
介质
导体
P r
q
h
r 介质
h
介质
q
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间
变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点 P 的电位由 q
3
q /3
q
/3
连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加 原理得知，同样可以应用镜像法求解。
（2）点电荷与导体球。
P
a
r
o q
d f
若导体球接地，导体球的电位 为零。为了等效导体球边界的影响， q 令镜像点电荷q' 位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面上任一点 电位为
泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。 可以证明电位微分方程解也是惟一的。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的 电位值就是第一类边界。 已知导体表面上的电荷密度与电位导 数的关系为 S ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的
n
法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。
q q 4π r 4π r
可见，为了保证球面上任一点电位为零，必须选择镜像电荷为
q r q r
为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 r 对于球面
r
上任一点均具有同一数值。由上图可见，若要求三角形 △OPq 与 △ OqP 相似，则 r a 常数。由此获知镜像电荷应为
G0 (r, r) 及电位 均与距离成反比，而 dS 与距离平方成正比，所以，
对无限远处的 S 表面，上式中的面积分为零。
若 V 为无源区，那么上式中的体积分为零。因此，第二项面积 分可以认为是泊松方程在无源区中的解，或者认为是拉普拉斯方程 以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某 一特定的区域和时刻，方程的解取决于物理量的初始值与边界值， 这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件，两者又统称为 该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的 泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界 条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程，镜像法，分离变量法。
1. 电位微分方程
已知，电位 与电场强度 E 的关系为
对上式两边取散度，得
E E 2
对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为 E
那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为
2
该方程称为泊松方程。
对于无源区，上式变为
2 0
上式称为拉普拉斯方程。
泊松方程的求解。
已知分布在V 中的电荷 (r)在无限大的自由空) dV
4π V | r r |
因此，上式就是电位微分方程在自由空间的解。
应用格林函数 G(r, r)，即可求出泊松方程的通解为