第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
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变
Leabharlann Baidu
可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围,则原最优 基不变,对偶价格不变
例2: 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时,
原来的基仍为最优基?
解: 原最终单纯形表为
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型
对偶价格的取值
≤
等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值
≥
等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值
的相反数
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设:新变量对应的目标函数系数为 Cj,对应的约束条件的 系数列向量为 Pj
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时,通过
改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据,考察是 否影响以下两组数据的成立:
(1) B-1b ≥ 0
(2) C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
不影响 B-1b ≥ 0 C 改
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是:生产1个单位产品C,生产2个单位产 品D,不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解: 设 C1 = 9 + λ
则有:
X X1 X2 X3
XB cB cj 9+λ 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj λ–4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3
0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
设 b1 = 18 + λ,要使原来的最优解不变,因为检验数不 受影响,应有B-1b ≥ 0,即:
B-1b = 2/3 -10/3 18+λ = 2 +(2/3) λ ≥ 0
bθ
2 1 Z = 88
如果要使最优解不变,根据最优判别准则,应有:
λ–4≤0
即:λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时,原最优解不变, 最大总利润仍为 88 个单位。
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
不影响 C – CBB-1A ≤ 0 b
改
最优解 XB= B-1b 将改变
3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18(甲材料)
2x3+ 1/2x4 ≤ 3 (乙材料)
x1,x2 ,x3 ,x4 ≥0
►◄
其中: x1,x2 ,x3 ,x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
这个线性规划问题的最终单纯形表如下:
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
2 +(2/3) λ
CBB-1b =(19,50)
1 – λ/6
=(88+(13/3) λ)个单位 (其中:–3≤ λ≤ 6 )
可 见:当 λ=1,即 b1 增加1个单位时,最大利润增加(13/3) 个单位。由对偶价格的定义知,第一个约束条件的
对偶价格是13/3。
! 注 意: “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容:
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题 三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤:
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上;
b B 1 b
P j B 1 P j
m
j c j
a ij y i
j 1
2.检查原问题是否仍为可行解;
-1/6 4/3
3
1 – λ/6
求解
2 +(2/3) λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得:–3≤ λ≤6
结论:当15 ≤ b1(甲原料的数量)≤ 24时,原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。
在本例中,工厂生产(2+(2/3) λ)个单位 D 产品,
( 1 – λ/6 )个单位 C 产品,可得最大利润为:
则:在原最终单纯形表上,新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj,
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0,则原最优解不变;
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0,则继续迭代以求出新的最优解。
例3: 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ,已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围,则原最优解将改变
例1:某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品,要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下:
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
要求:⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产?
解: 设生产 E 产品X7个单位,单位产品的利润为C7,
则模型变为:
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18(甲材料) 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 (乙材料)
3.检查对偶问题是否仍为可行解;
4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤
原问题 对偶问题
可行解 可行解 可行解 非可行解 非可行解 可行解 非可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量,编制新的单纯形表重 新计算