第六章单纯形法灵敏度分析与对偶
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第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶
这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的
z
有关了。这将使得最优目
j
标值特别“恶化”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取 z j 值的相反
数- z j。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方
程的人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变
量的 z j值。
管理运筹学
XB
bb12
5
5
,
X
B
5
5
b3 15
15
对于b1：比值的分母取B－1的第一列，这里只有β11=1，而β21=β31=0，则
1
max
b1
11
5 1
5
Δb1无上界，即Δb1≥－5，因而b1在[35,+∞) 内变化时对偶价格不变。
管理运筹学
18
§1 单纯形表的灵敏度分析
对于b2：比值的分母取B－1的第二列，β12＜0，β22＞0，则
§1 单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量Ck系数灵敏度分析
1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广矩阵不变，又因为Xk是非 基变量，所以基变量的目标函数的系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变
xBi di1
|
d 'i1
0
50
而Min
xBi di1
|
d 'i1
0
25,故有当 50
b1
25,即250
b
b
325第一个
约束条件的对偶价格不变。
第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶2007-10-15
目标:min f=300y1+400y2+250y3
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
s.t. y1+2y2>=50
y1+y2+y3>100
y1,y2,y3 >=0
❖ 目标:max z=50x1+100x2
❖ S.t. ❖ x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250
❖
❖ x1,x2>=0
原问题
目标:min f=300y1+400y2+250y3 s.t.
x1的目标函数系数C’有：
50-50=c1+ L ≤C‘=C1+△C1≤ c1+R=50+50，
0≤C‘≤100时，最优解不变。
**********************最优解如下*************************
目标函数最优值为 : 27500
变量
最优解 相差值
-------
-------- --------
设备B
2
设备C
0
II
资源限制
1
300台时
1
400
1
250
生产I可获得50元,II可获得100元,如何安排生产,获得 MAX?
模型
❖ 目标:max z=50x1+100x2 ❖ S.t. x1+x2<=300 ❖ 2x1+x2<=400 ❖ x2<=250 ❖ x1,x2>=0
假设现在有一个公司要租用工厂设备，那 么工厂获取利润有两种方法，一是自己生 产，二是出租设备资源。自己生产已有模 型。那么，如果出租，那么如何构建模型？ 设备价格为Ay1,By2,Cy3; 则
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第六章_单纯形法的灵敏度分析与对偶
迭代 基
次数 变 量
CB
x1 x2 。 s1 50 100 0
s2
s3
0 0b
x1 50 1 0 1
0 -1 50
S2 0 0 0 -2
1 1 50
2
x2 100 0 1 0
0 1 250
zj
50 100 50 0 50
σj=cj-zj
0 0 -50
0 -50 2750 0
❖
从上表可以发现设备台时数的约束方程中的松弛变量S1
j ck akj 0, ck akj j ,
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
当a kj
0, ck
j
akj
,这里 j
akj
0;
而当j k时, k ck ck zk ck ck zk ckaKK ,
因为xk是基变量,知 k 0, akk 1,故知 k 0.
x1 x2 s1 50 100 0 1 01 0 0 -2 0 10
s2
s3
00
b
0 -1 50
1 1 50
0 1 250
zj σj=cj-zj
50 100 50 0 0 -50
0 50 0 -50
Z= 27500
先对非基变量s1的目标函数的系数C3进行灵敏度 分析。这里σ3=-50，所以当C3 的增量ΔC3≤-(-50)即 ΔC3≤50时，最优解不变，也就是说S1的目标函数的系 数C′3=C3+△C3≤0+50=50时，最优解不变。
规划问题的对偶价格就不变。而要使所有的基变量仍然
是基变量只要当bj 变化成b′j =bj+△bj时，原来的基不变所 得到的基本解仍然是可行解，也就是所求得的基变量的
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法灵敏度分析与对偶课后习题解析
《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶课后习题解析《管理运筹学》第四版第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶课后习题解析《管理运筹学》第四版课后习题解析第6章单纯形法的灵敏度分析与对偶1(解：(l)cl?24⑵ c2?6(3)cs2?82(解：(1)cl??0.5(2)?2?c3?0(3)cs2?0.53(解：(1)bl?250(2)0?b2?50(3)0?b3?1504(解：(1)bl??4(2)0?b2?10(3)b3?4最优基矩阵和其逆矩阵分别为:B???最优解变为xl?10??10??l??, B????41??;41?????x2?0, x3?13,最小值变为-78;?0, x2?14, x3?2,最小值变为-96;最优解没有变化;最优解变为xl6(解：⑴利润变动范围cl?3,故当cl=2时最优解不变。
⑵根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。
(3)0?b2?45o(4)最优解不变，故不需要修改生产计划。
(5)此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为?3小于零，对原生产计划没有影响。
7.解：⑴设xl,x2,x3为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为max z?2.5xl?2x2?3x3约束条件:8xl?16x2?10x3?35010xl?5x2?5x3?4502xl?13x2?5x3?400xl,x2,x3?0解得三种食品产量分别为xl?43.75,x2?x3?0,这时厂家获利最大为109.375万ye©(2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0.313万元，由题意每增加10工时可以多获利3.13万元，但是消耗成本为10万元，所以厂家这样做不合算。
(3)B食品的加工工序改良之后，仍不投产B,最大利润不变;若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其中xl?14.167,x2?0, x3?ll, x4?31.667;(4)若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163.1万元，其中xl?ll,x2?0, x3?7.2, x4?38;所以建议生产乙产品。
[经济学]单纯形法与对偶问题
![[经济学]单纯形法与对偶问题](https://img.taocdn.com/s3/m/0043005331b765ce05081479.png)
’小于0，可知
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
c1≤50时，也就是x1的 目标函数c1’在0≤c1’≤100时最优解不变。
j ' min a 1 j 0 50 。这样可以知道当-50≤Δ a ' 1 j
3 50 j ' 50，有 max a 0 1 j 50 同样有 a13 1 a'1 j
δj δj Max a'kj 0 ΔCk Min a'kj 0（其中 k是某个固定的值， j是1到n的所有数） a' a' kj kj
管 理 运 筹 学
7
§1
单纯形表的灵敏度分析
例： 目标函数：Max z=50X1+100X2 约束条件：X1+X2≤300 2X1+X2≤400 X2≤250 X1，X2≥0 最优单纯形表如下 迭代次数 基变量 X1 S2 X2 ZJ CJ -ZJ
管 理 运 筹 学
2
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶问题
• §1 • §2 • §3 • §4
单纯形表的灵敏度分析 线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质 对偶单纯形法
管
理
运
筹
学
3
单纯形表
管
理
运
筹
学
4
§1
单纯形表的灵敏度分析
一、目标函数中变量系数Ck灵敏度分析（在什么范围内变化， 最优解不变，与第二章，第三章联系起来） 在线性规划的求解过程中，目标函数系数的变动将会影响检 验数的取值，但是，当目标函数的系数的变动不破坏最优判 别准则时，原最优解不变，否则，原最优解将发生变化，要 设法求出新的最优解。下面我们具体的分析 1.在最终的单纯形表里，X k是非基变量 由于约束方程系数增广矩阵在迭代中只是其本身的行的初等 变换与Ck没有任何关系， 所以当Ck变成Ck+ Ck时，在最终单纯形表中其系数的增广 矩阵不变，又因为Xk是非基变量，所以基变量的目标函数的 系数不变，即CB不变，可知Zk也不变，只是Ck变成了Ck+ Ck。这时 K= Ck-Zk就变成了 Ck+ Ck- Zk= K+ Ck。 要使原来的最优解仍为最优解，只要 K+ Ck≤0即可，也 就是Ck的增量 Ck≤ - K。
对偶问题的单纯形法
对偶问题的单纯形法嘿，朋友！你知道对偶问题的单纯形法吗？这可是线性规划里非常重要的一个概念啊！简单来说，对偶问题就是和原问题相对应的另一个问题。
就好像一个事物的两面一样。
那为什么我们要研究对偶问题呢？这可太有用啦！通过研究对偶问题，我们能从不同的角度去理解和解决线性规划问题。
而对偶问题的单纯形法呢，就是专门用来解决对偶问题的一种方法。
它就像是一把钥匙，能打开对偶问题这扇神秘的大门。
比如说吧，假设有个工厂，它要考虑如何安排生产来达到利润最大化。
这就是原问题。
但同时呢，从资源的角度来看，也存在一个对偶问题，就是如何分配资源才能让资源的价值最大化。
我们用对偶问题的单纯形法来解决的时候，就像是在一个迷宫中寻找最佳路径。
我们从一个初始的解开始，逐步调整，就像在迷宫中探索，直到找到最优解。
举个具体例子吧，有个企业要生产两种产品 A 和 B，生产 A 产品需要2 个单位的资源 1 和 3 个单位的资源 2，生产 B 产品需要 3 个单位的资源1 和 2 个单位的资源 2，资源 1 有 10 个单位，资源 2 有 15 个单位，A 产品的利润是 5 元，B 产品的利润是 8 元。
那怎么安排生产能让利润最大呢？这就是原问题。
然后对应的对偶问题就是，资源 1 和资源 2 分别有多大的价值呢？用对偶问题的单纯形法，我们就能逐步找到答案。
哎呀，这可真是个神奇的方法！它不是那种死板的、一成不变的方法，而是充满了灵活性和智慧。
就像下棋一样，每一步都要精心考虑。
你想想看，如果我们能熟练掌握对偶问题的单纯形法，那在面对各种实际问题时，不就像是有了一把利器，可以轻松地披荆斩棘吗？这难道不令人兴奋吗？朋友，好好去研究对偶问题的单纯形法吧，它会给你带来意想不到的收获哦！。
运筹学单纯形法的灵敏度分析
的产量就大于零，即需考虑生产丙产品了。
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
5b1 3
分析
• 所以，丙产品单位利润的变动范围是c3<4；
• 讨论： • 假设此时c3增加到6元，产量应为多少？
C3已超出变动范围
• 代入单纯形表 最后一段 继续计算。
段
Cj ↓
→ 基
0 b
23 x1 x2
6 x3
0 0 Qi x4 x5
2
x1
1
1
0 （-1） 4 -1
0
0
-1 4 -1
1
2 -1 1
0
-3 -5 -1
Bi变化影响哪些因素？
• 当bi变化时，从单纯形法计算过程可知，它不影响检验数， 只影响b列本身，也就是说，它不影响基变量但会改变最优 解的具体数值，如上例中，假设b1发生变化，劳动力使用从 一个劳动力增加到2个劳动力，即b1=2，则
• ∵b变化不影响检验数 • ∴单纯形表最后一段基变量结构不变，仍是x1，x2，改变的
x5
Qi
0
x4
1
1
0
x5
3
Cj-Zj →
1/3
1/3 1/3 1
1/3 （4/3） 7/3 0
2
3
10
0
3
1 9/4 →
0
0
x4 1/4 （1/4）
0
-1/4 1 -1/4 1
→
2
3
x2 9/4 1/4
1 7/4 0 3/4 9
Cj-Zj →
5/4
0 -17/4 0 -9/4
2
x1
1
1
3
3
x2
2
0
Cj-Zj → -8
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分析
灵敏度分析与对偶理论
min f 300 y 1 400 y 2 250 y 3 1 y 1 2 y 2 50 y 1 y 2 y 3 100 y1 , y 2 , y 2 0
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
(运筹学大作业)单纯性法与对偶单纯性法的比较
对偶单纯形法与单纯形法对比分析1．教学目标：通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解2．教学内容：1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理3．教学进程：1）讲述对偶单纯形法解法的来源：所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。
2）为什么要引入对偶单纯形法：单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。
由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。
据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。
我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。
那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。
其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。
管理运筹学单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题课件
参数灵敏度分析关注的是模型中参数变化对最优解的影响 。通过分析参数变化对最优解的影响，可以了解参数变化 对模型最优解的影响程度和方向，从而为决策者提供有关 参数调整的建议。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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THANKS
通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
参数灵敏度分析的方法包括局部灵敏度分析和全局灵敏度 分析。局部灵敏度分析关注单个参数的小幅度变化对最优 解的影响，而全局灵敏度分析则考虑多个参数同时变化对 最优解的影响。
结合的必要性
解决复杂优化问题
单纯形法在处理线性规划问题时具有高效性，而灵敏度分析和对偶问题则提供了分析和解决非线性规划问题的 工具。将两者结合，可以更好地解决复杂的优化问题。
提高决策准确性
通过灵敏度分析，可以对决策变量的微小变化对最优解的影响进行量化分析，从而更准确地预测和应对各种情 况。对偶问题则提供了从另一个角度审视问题的机会，有助于发现潜在的优化空间。
灵敏度分析与对偶对偶问题的概述
灵敏度分析是线性规划中研究最优解的敏感性的分析方法。它主要关注当模型参数发生变化时，最优 解和最优值的变化情况。通过灵敏度分析，可以了解模型参数对最优解的影响程度，从而更好地理解 和预测实际问题的变化趋势。
对偶对偶问题是线性规划中的一类重要问题。它主要研究原问题和对偶问题的关系，以及如何利用对 偶理论求解原问题。对偶对偶问题在理论研究和实际应用中都具有重要的意义，如资源分配、投资组 合优化等问题。
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通过建立线性规划模型，将物流配送 路径问题转化为求取最小成本的问题 。约束条件包括车辆路径限制、运输 成本限制等，目标函数为最小化总成 本。
灵敏度分析与对偶对 偶问题应用
在物流配送路径调整过程中，需要考 虑客户需求变化、运输成本变化等因 素对最优解的影响。通过灵敏度分析 ，可以确定最优解对不同因素变化的 敏感性，从而制定出更加合理的配送 路径。同时，通过对偶对偶问题的研 究，可以更好地理解配送路径的性质 和结构，进一步优化配送路径。
单纯形法灵敏度分析线性规划对偶理论
单纯形法的灵敏度分析与 线性规划对偶理论
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
1 23 4 5
图解法的灵敏度分析
灵敏度分析： 建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化 时，对最优解产生的影响。
• 参数多为估计值或预测值，常常不精确 • 参数常常随着其他条件变化而变化
图解法的灵敏度分析
线性规划的对偶问题
• 假设另外一工厂要租用该厂的设备A、B、C，那么 该厂的厂长应该如何来确定合理的租金呢？
• 从出租人的角度：
– 生产1个单位Ⅰ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅰ产品的利润50元。
– 生产1个单位Ⅱ产品所需的各设备的台时的总租金不应少 于自己生产1个单位Ⅱ产品的利润100元。
• 另外， y1 , y2 , y3 ≥ 0
线性规划的对偶问题
max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0
原问题
min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3
图解法的灵敏度分析
• 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1 个单位时
– 若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函 数值得到改善（变好）；
– 若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函 数值受到影响（变坏）；
– 若约束条件的对偶价格等于0，则最优目标函数 值不变。
线性规划的矩阵描述
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
(优选)对偶单纯形法灵敏度分析
CN-CB B-1 N≤0
ATY ≥ CT;
min w Y T b bTY
-CB B-1 ≤0;
Y≥0Βιβλιοθήκη CB:1×m B-1：m ×m
YT= CB B-1
CB B-1：1 ×m Y： m ×1
ATY CT s.t.
Y 0
从上面可以看出：
1、当原问题达到最优时，松弛变量经过上述转换后构成的检验 数的相反数为其对偶问题的一个可行解，反之亦成立
初始对 偶单纯 形表
此时，初始单纯形表检验数均小于等于0，对偶可行，但原问 题初始解不可行
先选出基变量
后选进基变量cj
-1 -4 0 -3 0 0
CB XB b 0 x5 -3 0 x6 -2
0
x1 x2 x3 x4 x5 x6 -1 -2 1 - 1 1 0 2 1 -4 -1 0 1 -1 -4 0 -3 0 0
2x j
10 jx2
1,24,x33,4 x4
2
该问题用单纯形法求解时，需要先化标准型，此时约束
方程两边左边需要减去剩余变量，同时为了构造单位阵，
需要添加人工变量，采用大M法求解。
思考：上面约束方程化为标准型后，两边乘以-1， 就可得到单位阵。此时能否用单纯形法？原因?
答：不能。因为此时右边常数项为负数，解不可 行。为了保证初始解可行
（优选）对偶单纯形法灵敏度 分析
第四节 对偶单纯形法
对偶单纯形法并不是求对偶问题解的方法，而是利用单纯形 法求解规划问题时运用了对偶理论。
也就是说：对偶单纯形法与单纯形法一样都是是求解线性规划 的一种基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法原理设计出来的， 因此称为对偶单纯形法。
在了解对偶单纯形法的实质之前，我们回顾一下单纯形法。
运筹学 第六章1
-1 1 1 50 -50
50 50 250
9
cj − zj
50 100 50 0 0 -50
0 0
1 进行灵敏度分析： 对 b1 进行灵敏度分析： D1 = − 2, 0 xBi xBi 50 50 m − ax di′1 > 0 = − = −50, m − ′1 < 0 = − in di = 25. ′1 1 −2 di di′1 − 50 ≤ ∆b1 ≤ 25,
判断最优解的原则： 判断最优解的原则： σj≤0
4
} c′ −100 ≤ 0
′ −c1 ≤ 0
1
注：用此方法对目标函数中的系数进行灵敏度分析，指的是只有 用此方法对目标函数中的系数进行灵敏度分析， 一个系数发生变化。 一个系数发生变化。 二.约束方程右边常数灵敏度分析 对偶价格：在约束条件右边量增加一个单位，而使最优目 对偶价格：在约束条件右边量增加一个单位， 标函数值得到改进的数量。 标函数值得到改进的数量。 一般地说， 发生变化，资源投入起了变化， 一般地说，由于 bi 发生变化，资源投入起了变化，最优解是 变化的。对右边常数进行灵敏度分析，是指求出 bi 的取值范围， 变化的。对右边常数进行灵敏度分析， 的取值范围， 在这个范围内变化时，其对偶价格不变。 使得 bi 在这个范围内变化时，其对偶价格不变。
1 2 0 0 50
x1 50
1 1 10 E 1 0 0 0
s2 0
0 0
s1 0
300 400 250 0 0 0
0 0 1
(
)
s3 0
bi
θi
x1 s2
50 0 100
2
x2 zj
单纯形法的灵敏度分析
bk bk
时，也就是原来的初始单
纯形表中的b向量变成了b’向量
0 0 ... 令 b bk ... 0 则有 b ' b b
9
这样在最终单纯形表中基变量XB的解就变成了
X 'B B .(b b ) B b B b 。
中从0变到Z3=50时，也就是只要当前余下一台时数设备从不能获利变成获利 50元时，譬如有人愿意出50元买一个设备时，我们就不必为生产Ι、П产品
而使用完所有的设备台时了，这说明了设备台时数的对偶价格就是Z3=50元。
对于含有大于等于号的约束条件，添加剩余变量化为标准型。这时 这个约束条件的对偶价格就和这个剩余变量的 z j有关了。这将使得最优目
+ CK a’Kj 。要使最优解不变，只要当J
δj a' kj
δ j ΔC k a' kj 0, ΔC k a' kj δ j 当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
0;
当 a' kj 0时 , ΔC
k
, 这里
δj a' kj
0; Z k ΔC a' kk , 因为 X K 是基变量， δj a' kj
14
zj 标值 “变差”而不是改进，故这时约束条件的对偶价格应取
值的相反数-j z
。
对于含有等于号的约束条件，其约束条件的对偶价格就和该约束方程的 人工变量有关了。其约束条件的对偶价格就等于此约束方程的人工变量的 值z j 。
7
下表给出了一个由最终单纯形表对于不同约束类型的对偶价格的取值。
对偶单纯形法灵敏度分析
对偶单纯形法灵敏度分析
汇报人：XX
单击输入目录标题 对偶单纯形法概述 对偶单纯形法灵敏度分析的步骤 对偶单纯形法灵敏度分析的优点和局限性 对偶单纯形法灵敏度分析的改进方向 对偶单纯形法灵敏度分析的实际应用案例
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对偶单纯形法概述
对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
THANK YOU
汇报人：XX
各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
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确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
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对偶单纯形法的定义
对偶单纯形法是一种线性规划 算法
它基于对偶理论，通过迭代寻 找最优解
结论：对偶单纯形法灵敏度分析在资源分配问题中具有广泛的应用前景，能够为企业带来巨大 的经济效益。
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各变量对目标函数的影响程度。
求解最优解
确定初始对偶解
确定迭代步长
计算对偶方向 更新最优解
计算灵敏度
计算对偶问题的 最优解
确定最优解对应 的基变量和自由 变量
计算基变量的灵 敏度
计算自由变量的 灵敏度
对偶单纯形法灵敏度分析的优 点和局限性
优点
计算简单：对偶单 纯形法在计算上相 对简单，易于理解 和实现。
对偶单纯形法适用于求解标准 型线性规划问题
它具有简单、高效、可靠等优 点
对偶单纯形法的原理
对偶性：将原问题转化为对偶问题，通过对偶问题的最优解得到原问题 的近似最优解 单纯形法：利用线性规划的迭代方法，通过不断迭代寻找最优解
灵敏度分析：分析决策变量变化对最优解的影响，为决策提供参考
对偶单纯形法的应用场景
分析灵敏度结果：根据灵敏度系数的大 小和符号，分析各变量对目标函数的灵
敏度，为决策提供依据。
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确定约束条件和目标函数：在分析过程 中，首先需要确定问题的约束条件和目 标函数，这是对偶单纯形法灵敏度分析
6第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
以第二章例1在最终单纯形表上对进行b1灵敏度分析：
x1 x2 s1 s2 s3
50
1 0 0 50 0
100
0 0 1 100 0
0
1 -2 0 50 -50
0
0 1 0 0 0
0
-1 1 1 50 -50
b
50 50 250 27500
比值
bi/aij
x2 zj
σj=cj-zj
在第一个约束方程中含有松弛变量s1,其对应的列为(1,-2,0)T,
管理运筹学
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
本章内容
1
2
线性规划的对偶问题 对偶规划的基本性质
3
4
对偶单纯形法种特殊情况
§1
单纯形表的灵敏度分析
c c 一、目标函数中变量系数 ck 灵敏度分析 c k k k
1、在最终的单纯形表里，xk是非基变量
使得对应约束条件 的对偶价格不变
0
xBi xBi max dik 0 bk min dik 0 dik dik
§1
迭代 次数 基变 量
x1 s2
2
单纯形表的灵敏度分析
cB
50 0 100
b1 0 b 2 0 b b b b b k bk 0 b m 0
bk bk bk
原始的最终单纯形表中基变量xB变为x'B：
管理运筹学--单纯形法的灵敏度分析与对偶对偶问题讲课讲稿
2. 初始单纯表中的基变量Xs=b，迭代后的单 纯形表中为XB= B-1b
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
3. 初始单纯表中的约束系数矩阵为：
[A,I]=[B,N,I] 迭代后的单纯形表中约束系数矩阵为：
[B-1A, B-1I]=[B-1B, B-1N, B-1I]=[I , B-1N, B-1] 4. 若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代
x4
x5 值
0 x3
8
1
0
1
0
0
0 x4 12 0 2 0 1 0
0 x5 36 3 4 0 0 1
检验数j
3 50 0 0
• 最优基和最优基的逆
Cj
3 5 0 0 0比
CB XB
b
x1
x2 x3
x4
x5 值
0 x3 4 0 0 1 2/3 -1/3
5 x2 6 0 1 0 1/2 0
3 x1 4 1 0 0 -2/3 1/3
0
0
1
表
j
0
0 -50
0
-50
初始单纯形表为:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
0
X S
b
B
N
I
检验数j
CB
CN
0
当迭代若干步，基变量为X B时，新的单纯形表:
Cj
CB
CN
0
XB
XN
XS
CB
b X B
B-1
I
检验数j
0
B-1N CN- CB B-1N
B-1 - CB B-1
小结
1. 对应初始单纯表中的单位矩阵I，迭代后的 单纯形表中为B-1
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X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
2 +（2/3） λ
CBB-1b =（19，50）
1 – λ/6
=（88+（13/3） λ）个单位 （其中：–3≤ λ≤ 6 ）
可 见：当 λ=1，即 b1 增加1个单位时，最大利润增加（13/3） 个单位。由对偶价格的定义知，第一个约束条件的
对偶价格是13/3。
！ 注 意： “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18（甲材料）
2x3+ 1/2x4 ≤ 3 （乙材料）
x1，x2 ，x3 ，x4 ≥0
►◄
其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
这个线性规划问题的最终单纯形表如下：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3
0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
设 b1 = 18 + λ，要使原来的最优解不变，因为检验数不 受影响，应有B-1b ≥ 0，即：
B-1b = 2/3 -10/3 18+λ = 2 +（2/3） λ ≥ 0
变
可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围，则原最优 基不变，对偶价格不变
例2： 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时，
原来的基仍为最优基？
解： 原最终单纯形表为
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
3.检查对偶问题是否仍为可行解；
4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤
原问题 对偶问题
可行解 可行解 可行解 非可行解 非可行解 可行解 非可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 新计算
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型
对偶价格的取值
≤
等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值
≥
等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值
的相反数
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设：新变量对应的目标函数系数为 Cj，对应的约束条件的 系数列向量为 Pj
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解： 设 C1 = 9 + λ
则有：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9+λ 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj λ–4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
如果要使最优解不变，根据最优判别准则，应有：
λ–4≤0
即：λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时，原最优解不变， 最大总利润仍为 88 个单位。
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
不影响 C – CBB-1A ≤ 0 b
改
最优解 XB= B-1b 将求解
2 +（2/3） λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得：–3≤ λ≤6
结论：当15 ≤ b1（甲原料的数量）≤ 24时，原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。
在本例中，工厂生产（2+（2/3） λ）个单位 D 产品，
（ 1 – λ/6 ）个单位 C 产品，可得最大利润为：
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容：
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题 三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤：
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上；
b B 1 b
P j B 1 P j
m
j c j
a ij y i
j 1
2.检查原问题是否仍为可行解；
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时，通过
改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据，考察是 否影响以下两组数据的成立：
（1） B-1b ≥ 0
（2） C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
不影响 B-1b ≥ 0 C 改
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
∴ 最优生产计划是：生产1个单位产品C，生产2个单位产 品D，不生产A、B产品。可得最大总利润 88 个单位。
可能改变 C – CBB-1A ≤ 0 变
求出使该表达式仍然成立的 C 的变化范围
若 C 的变化超出该范围，则原最优解将改变
例1：某工厂用甲、乙两种原料生产A、B、C、 D
四种产品，要求确定总利润最大的最优生产 计划。该问题的线性规划模型如下：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4
则：在原最终单纯形表上，新变量对应的系数列为Pj '= B-1Pj，
检验数为 σj= Cj – CBB-1 Pj
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≤ 0，则原最优解不变；
若 σj= Cj – CBB-1 Pj ≥ 0，则继续迭代以求出新的最优解。
例3： 沿用例1 ►
如果该工厂考虑引进新产品E ，已知生产 E 产品1 个单位要消耗甲材料3个单位和乙材料1个单位。
要求：⑶产品E 的利润达到多少时才值得投产？
解： 设生产 E 产品X7个单位，单位产品的利润为C7，
则模型变为：
Max Z = 9 x1 +8x2 + 50x3 + 19x4 + 0x5 + 0x6+ C7x7 3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 + x5 + 3 x7 = 18（甲材料） 2x3+ 1/2x4 + x6 + x7 = 3 （乙材料）
2 +（2/3） λ
CBB-1b =（19，50）
1 – λ/6
=（88+（13/3） λ）个单位 （其中：–3≤ λ≤ 6 ）
可 见：当 λ=1，即 b1 增加1个单位时，最大利润增加（13/3） 个单位。由对偶价格的定义知，第一个约束条件的
对偶价格是13/3。
！ 注 意： “13/3”与原最终单纯形表中某松弛变量的检验数的关系。
3x1+ 2 x2 + 10 x3 + 4 x4 ≤ 18（甲材料）
2x3+ 1/2x4 ≤ 3 （乙材料）
x1，x2 ，x3 ，x4 ≥0
►◄
其中： x1，x2 ，x3 ，x4 分别表示 A、B、 C、D 四种产品的产量。 ◄ ►
这个线性规划问题的最终单纯形表如下：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3
0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
设 b1 = 18 + λ，要使原来的最优解不变，因为检验数不 受影响，应有B-1b ≥ 0，即：
B-1b = 2/3 -10/3 18+λ = 2 +（2/3） λ ≥ 0
变
可能改变 B-1b ≥ 0
求出使该表达式仍然成立的 b 的变化范围
若 b 的变化未超出该范围，则原最优 基不变，对偶价格不变
例2： 沿用前例 ►
要求: ⑵ 甲原料的数量在什么范围内变动时，
原来的基仍为最优基？
解： 原最终单纯形表为
X X1 X2 X3
XB cB cj 9 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj -4 -2/3 0
3.检查对偶问题是否仍为可行解；
4.按表上所列情况得出结论和决定继续计算的步骤
原问题 对偶问题
可行解 可行解 可行解 非可行解 非可行解 可行解 非可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题的最优解或最优基不变 用单纯形法继续迭代求最优解 用对偶单纯形法继续迭代求最优解 引进人工变量，编制新的单纯形表重 新计算
约束条件的对偶价格 与约束类型的关系
约束类型
对偶价格的取值
≤
等于与这个约束条件对应的松弛变量的Zj值
≥
等于与这个约束条件对应的剩余变量的Zj值
的相反数
=
等于与这个约束条件对应的人工变量的Zj值
4. 增加一个新变量 的灵敏度分析
设：新变量对应的目标函数系数为 Cj，对应的约束条件的 系数列向量为 Pj
要求: ⑴ 计算使得原最优解不变的产品 A 的
单位利润的变动范围。
解： 设 C1 = 9 + λ
则有：
X X1 X2 X3
XB cB cj 9+λ 8 50
X4 19 2 4/3 0 X3 50 -1/2 -1/3 1 σj= cj - zj λ–4 -2/3 0
X4 X5 X6 19 0 0 1 2/3 -10/3 0 -1/6 4/3 0 -13/3 -10/3
bθ
2 1 Z = 88
如果要使最优解不变，根据最优判别准则，应有：
λ–4≤0
即：λ ≤ 4
∴ 当 λ ≤ 4 或 C1= 9 + λ ≤ 9 + 4 = 13 时，原最优解不变， 最大总利润仍为 88 个单位。
3. 约束方程右边常数 b 的灵敏度分析
不影响 C – CBB-1A ≤ 0 b
改
最优解 XB= B-1b 将求解
2 +（2/3） λ ≥ 0 1 – λ/6 ≥ 0
得：–3≤ λ≤6
结论：当15 ≤ b1（甲原料的数量）≤ 24时，原来的基仍为最优基。 但最优解和目标函数最优值都是 λ 的函数。
在本例中，工厂生产（2+（2/3） λ）个单位 D 产品，
（ 1 – λ/6 ）个单位 C 产品，可得最大利润为：
第六章 单纯形法的灵敏度分析与对偶
本章内容：
一、单纯形表的灵敏度分析 二、线性规划的对偶问题 三、对偶单纯形法
一、单纯形表的灵敏度分析
灵敏度分析步骤：
1.将参数的改变计算反映到最终单纯形表上；
b B 1 b
P j B 1 P j
m
j c j
a ij y i
j 1
2.检查原问题是否仍为可行解；
一、单纯形表的灵敏度分析
1. 灵敏度分析的方法
当参数 C、b、A 中的某些数据发生变化时，通过
改变目前最优基对应的单纯形表中的局部数据，考察是 否影响以下两组数据的成立：
（1） B-1b ≥ 0
（2） C – CBB-1A ≤ 0
2. 目标函数中变量系数 C 的灵敏度分析
不影响 B-1b ≥ 0 C 改