二次函数中的相似三角形问题

二次函数与相似三角形的综合问题

宜良八中 陈红

二次函数与相似三角形的综合问题也是上海中考数学试卷中常见的热点问题如：2012年的最后第二题，就是二次函数与相似三角形相结合的综合问题．先来看这个问题：

2012年中考第23题：如图，在平面直角坐标系中，二次函数2

6y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，1

=

2

tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值． 解：（1）二次函数c x ax y ++=62

图像经过 点A （4，0），B （-1，0）， ∴⎩⎨

⎧=+-=++0602416c a c a ，解得⎩⎨⎧=-=8

2

c a ．

∴这个二次函数的解析式为8622

++-=x x y ．

（2）易证△ED F ∽△DAO ，∴

DA

ED

AO DF DO EF =

=． 在R t △ADE 中，=90ADE ，∵2

1

tan ==∠AD DE DAE ，

∴21==AO DF DO EF ，即2

1=t EF ，∴t EF 21=． ∵点A 的坐标为（4，0），∴OA =4，DF =2，∴OF =t -2． （3）由（1）得，点C 的坐标为（0，8）． 延长CE 交x 轴于点G ，设G 点的坐标为（x ，0），

∵ECA =∠OAC ，∴CG= AG ， ∴()22

48-=

+x x ，解得6-=x ，∴GO =6．

由已知，可得点F 在线段OD 上，

又∵OF =t -2，∴FC =OC -OF =10- t ，

∵EF ∥GO ，∴CO CF GO EF =

，∴8

1062t

t

-=，解得6=t ． 【点评】本题是利用二次函数图像上的点组成图形与相似形结合，主要是运用了相似三角形中线段的比例关系来解决问题. 难点是角相等这个条件的运用，如何由角的关系转化为边的关系.

下面我们来看解答这类问题的具体方法：

例题1 如图，二次函数图像的顶点为坐标原点O 、且经过点A （3，3），一次函数的图像经过点A 和点B （6，0）．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）如果一次函数图像与y 相交于点C ，点D 在线段AC 上，与y 轴平行的直线DE 与二次函数图像相交于点E ，∠DOE =45º，求点D 的坐标．

分析：第（1）小题用待定系数法确定两个函数的解析式；第（2）小题利用△CDO ∽△OED 得比例式，设点D 坐标建立方程解决．

解：（1）设二次函数解析式为2ax y =， ∵点A （3，3）在二次函数图像上，∴a 93=，∴3

1

=

a ，∴二次函数解析式为231x y =．

设一次函数解析式为b kx y +=，∵一次函数的图像经过点A （3，3）和点B （6，0）， ∴⎩⎨⎧+=+=,60,33b k b k ∴⎩

⎨⎧=-=6,1b k ∴一次函数解析式为6+-=x y ．

（2）∵OC=OB ，∠BOC =90º，∴∠OCB =45º，∵∠DOE =45º，∴∠OCD =∠DOE ． 又∵DE//y 轴，∴∠COD =∠ODE ，∴△CDO ∽△OED ．∴CO

DO

DO DE =

， ∴CO DE DO ⋅=2．

设点D 的坐标为（6,+-m m ），∴点E 的坐标为（2

31,

m m ）． ∴36122)6(2222+-=-+=m m m m OD ，231

6m m DE -+-=．

∵点C （0，6），∴CO =6．∴)31

6(63612222m m m m -+-=+-，

∴2

3,(0,064212==∴=-m ），m m m 舍去不符合题意．∴点D 的坐标为)29

,23(．

【点评】本题以二次函数为载体，结合了一次函数，观察、发现图中的相似三角形，运用相似三角形边的关系建立方程，从而求出点的坐标．

例题2 如图，已知点O 为坐标原点，二次函数)2(22+-+=m x mx y 的图象与x 轴相交于点A 、B ，点C （2，1）在二次函数的图象上，判断∠ACO 与∠CBO 之间的大小关系． 解：∵点C （2，1）在二次函数的图象上，∴,1)2(44=+-+m m ∴.31

-=m ∴函数解析式为3

52312-+-=x x y . 当0=y 时, 03

5

2312=-+-

x x ,.5,121==x x ∴A(1,0), B(5,0).

∴,512,5,122=+===OC OB OA

∴

,515,55

5====OA OC OC OB ∴OA OC

OC OB =， 又∵∠AOC =∠COB ，∴△AOC ∽△COB ，∴∠ACO=∠CBO .

【点评】本题由二次函数图像上的点，确定线段的长度，从而利用边的关系判定三角

形相似，得出角相等，这是函数图像问题中证明角相等常用的方法.

例题3 已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数)0(2>+-=b c bx x y 的图像经过点A （-1，b ），与y 轴相交于点B ，且∠ABO 的余切值为3．如果这个函数图像的顶点为C ，求证：∠ACB =∠ABO ．

解：根据题意，得b =1+b +c ．∴c = -1．∴B （0，-1）． 过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为点H ．∵∠ABO 的余切值为3， ∴3cot ==

∠AH

BH

ABO ． 而AH =1，∴BH =3． ∵BO =1，∴HO =2． ∴b =2． ∴所求函数的解析式为122--=x x y ．

由2)1(122

2

--=--=x x x y ，得顶点C 的坐标为（1，-2）． ∴52=AC ，10=AB ，2=BC ，5=AO ，BO =1． ∴

2===BO

BC

AO AB AB AC ． ∴△ABC ∽△AOB ． ∴∠ACB =∠ABO ．

【点评】本题由于点A 在函数图像上，所以点A 的坐标满足函数解析式，从而求得点B 的坐标，由0>b ，可知点A 在第二象限．由点B 的坐标和∠ABO 的余切值为3，就可以画出线段AB ．再过点A 作y 轴的垂线，求出点A 的坐标，由点A 的坐标就可求出这个二次函数的解析式，从而得到顶点C 的坐标．然后与上题类似，利用边的关系得到相似三角形，故问题解决．

例题4 如图，一次函数m x y +-=4

3

的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，二次函数64

12

++-

=bx x y 的图像经过A 、B 两点．如果点C 在这个二次函数的图像上，且点C 的横坐标为5，求tan ∠CAB 的值．

解：由题意，得点B 的坐标为（0，6）．∴m =6．∴一次函数的解析式为64

3

+-=x y ．