矩阵的特征值与特征向量

x1
x3
x1 0 x2 1
x3 1
0 0
则矩阵A对应于特征值l32的全体特征向量为
C3 X 3 (C3 0)
例4
求矩阵
1 0
1 2
1 3
的特征值和特征向量
0 0 1
解 (1) A的特征方程为 | lI A | 0
l 1 1 1
0 l 2 3 (l 1)2 (l 2) 0
结论：若非零向量 p 是 A 对应于特征值 l 的特征向量，则 l2 是 A2 的特征值，对应的特征向量也是 p ． lk 是 Ak 的特征值，对应的特征向量也是 p ． 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值，对应的特征向量仍然
是 p．
一般地，令 (l ) a0 a1l amlm , ( A) a0 E a1 A am Am
例1 求矩阵 A 53 11 的特征值和特征向量
解 (3) 当l2-2时 解齐次线性方程组(2I A)X 0
由（
2I
A)
5 5
11
5 0
1 0
得5x1 x2
0
即x1
1 5
x2
其基础解系可取为
X
2
x1 x2
5 1
则矩阵A对应于特征值l2-2的全体特征向量为
C2 X 2 (C2 0)
例2 求矩阵 A31 31 的特征值和特征向量 解 (1) A的特征方程为 | lI A | 0
列向量X , 使
AXlX 成立
a11 a12 ... a1n x1 x1
a21
... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
x2 ... xn
l
x2 ... xn
则称l为方阵A的一个特征值
非零列向量X称为A 的对应于特征值l的特征向量
如何求特征值和特征向量?
a21
... an1
l a22
... an2
... ... ...
a2n ...
l ann
x2 ... xn
0 .0..
齐次方程有非0解的充要条件是系数行列式为0
即| lI A| 0
二 特征多项式与特征方程
定义 设A为n阶方阵
(1) f(l) | lI A|称为方阵A的特征多项式
A1 的特征值
故有X0 使AXlX
于是
(1) A2X A(AX)A(lX) l(AX) l2X 所以l2是A2的特征值
(2) 当A可逆时 由AXlX 有XlA1X
因为X0 知l0 A1X 1 X
1
l
是
A1
的特征值
l
例5：设 l 是方阵 A 的特征值，证明 (1) l2 是 A2 的特征值； (2) 当 A 可逆时，1/l 是 A−1 的特征值．
（lI A）T lI AT
| lI AT | | (lI A)T | | lI A | 即方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征多项式
所以方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值
例8 证明: 方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有
一个特征值为0 证明 必要性 如果A为奇异阵
则 | A | 0 | 0I A || A | (1)n | A | 0 所以A有一个特征值为0
k1 0, k2 0,...ks 0
所以 X1 X2 Xs线性无关 由数学归纳法知 对任意正整数m,结论成立
k1X1k2X2 ks Xs0
两边同乘ls
lsk1 X1ls k2X2 ls ks Xs0
两式相减
(ls -l1)k1X1 (ls - l2)k2X2 (ls - ls-1)ks-1 Xs-10
由设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关
k1(ls l1) 0, k2 (ls l2 ) 0,...ks (ls ls1) 0 li ls (i 1,2 s 1)
第五章 矩阵的特征值与特征向量
在经济理论及其应用中 常要求一个 方阵的特征值和特征向量的问题 数学 中诸如方阵的对角化及解微分方程组的 问题 也都要用到特征值的理论
引言
• 纯量阵 lE 与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律，
即
(lEn)An = An (lEn) = lAn ．
• 矩阵乘法一般不满足交换律，即AB ≠ BA ．
(1) 2 3 2 1
(1) 2/(1) 3 (1) 2 3 (2) 2/ 2 3 2 2 3
例7 主对角线上的元素为l1，l2---ln的n阶对角 矩阵或三角形矩阵A的n个特征值就是其主对角 线上的n个元素l1，l2---ln
定理4 n阶方阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值 证明 转置矩阵AT的特征多项式为 | lI AT |
4 0
0 3
0 1
的特征值和特征向量
解
(1)
0 1 3
A的特征方程为
| lI A | 0
l4 0 0 0 l 3 1 (l 4)2 (l 2) 0 0 1 l 3
所以A的特征值为l1l24， l32
例3
求矩阵
4 0
0 3
0 1
的特征值和特征向量
解 A的特征值0 为1 l31=l2=4 l32
例3
求矩阵
4 0
0 3
0 1
的特征值和特征向量
解 A的特征值0 为1 l31= l2=4 l32
(3) 当l3=2 解齐次线性方程组(2I A)X 0
由（2I
即
x1 x2
2 A) 0
0 1
0 1
1 0
0 1
0 1 1 0 0
0 其基础解系可取为
x3
0 1 0
X3
得x2
则
(l )是 ( A)的特征值.
例6：设3 阶方阵 A 的特征值为1, −1, 2，求 A* +3A−2E
的特征值．
解： A* +3A−2E = |A| A−1 +3A−2E = −2A−1 +3A−2E = (A)
其中|A| = 1×(−1) ×2 = −2 ． 从而A* +3A−2E的特征值分别为
综上所述,求矩阵A的特征值及特征向量的 步骤如下: 第一步 计算矩阵A特征多项式| lI A| ; 第二步 求出矩阵A的特征方程| lI A|=0的全部 根,即求得A的全部特征值l1， l1，--- ln，(其中可 能有重根）
第三步 对于A的每个特征值li ,求出对应的齐 次线性方程组 （ li I A）X=0的一个基础解系.
x2 x3
A)
X
0 0
0
x3 0
则矩阵A对应于特征值l1l2=1的全体特征向量为
C1X1(C1 0)
例4
求矩阵
1 0
1 2
13的特征值和特征向量
解 A的特征值0 为0l1=1l2=1 l32
(3) 当l32 解齐次线性方程组(2I A)X 0
由（2 即xx13
I A)
x2 0
由即（x2(42I )x3A当)其l基1000础l210解=14系101解可 齐取次为000线性100 方00程1组得(x42
I A) X x3 0
0
则X矩1 阵 xxxA132 对 应100于 特X征2 值 xxxl1321l2110=4的全体特征向量为
C1X1 C2 X 2 (C1, C2不全为零 0)
l a11 a12 ...
即 f (l) a21 l a22 ...
...
... ...
a1n a2n
...
an1 an2 ... l ann
(2) | lI A| 0称为方阵A的特征方程
l a11 a12 ... a1n
即
a21 l a22 ... a2n 0
...
AXlX (lI A) X 0 齐次方程有非0解
a11 a12 ... a1n x1
x1
即
a21
... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n x2
... ann
... xn
l
x2 ... xn
l a11 a12 ... a1n x1 0
0 0 l 1
所以A的特征值为l1=l2=1 l32
例4
求矩阵
1 0
1 2
1 3
的特征值和特征向量
解 A的特征0值为0 l11=l2=1 l32
由（I
(2)
A)
当00l11l1 2=131解齐次00 线10性10方 程组得(I
0 0 0
其基础解系可取为
0 0 0 x1 1
X1 x2 0
... ... ...
an1 an2 ... l ann
(3)方阵A的特征值l就是特征方程| lI A| 0的根 所以方阵A的特征值l也称为方阵A的特征根
三 特征向量
齐次线性方程组 (lI A) X 0 的每一个非零解向量，
都是方阵A的对应于特征值l的特征向量 所以方阵A对应于每一个不同特征值l的特征向量都有
• 数乘矩阵与矩阵乘法都是可交换的，即
l (AB) = (lA)B = A(lB)．
• Ax = l x ?
例： 3
2
4 3
0 0
l
0 0
,
3
2
4 2 2
3
1
1
1
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量p117
一 特征值与特征向量定义:
定义6设A是n阶矩阵 如果对于数l，存在n维非零
充分性 如果A有一个特征值为0，对应的
特征向量为X 则 AX 0X 0 有非0解
所以 |A|=0 定理3 n阶方阵A可逆的充要条件是A的每一个特
征值均不为0
p120定理2 设l1 l2 lm(m≤n)是n阶方阵A的m个 互不同特征值X1 X2 Xm分别是A对应于l1 l2 证 l明m的用特数征学向归量纳 则法 X1 X2 Xm线性无关
1 1 1 1 1 0 0 3 0 0
0 0 1 0 0
其基础解系可取为
0 1 0
Байду номын сангаас
得
x1
x3
x1
X 2 x2
x3
x2
0
0
1 1 0
则矩阵A对应于特征值l3=2的全体特征向量为
C2 X 2 (C2 0)
四 特征值与特征向量的性质 • 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有 n 个特征值 （重根按重数计算）．
例2 求矩阵 A31 31 的特征值和特征向量
解 (3) 当l24时 解齐次线性方程组(4I A)X 0
由（4I A) 11
11
1 0
1 0
得x1 x2 0
即x1 x2
其基础解系可取为
X
2
x1 x2
11
则矩阵A对应于特征值l24的全体特征向量为
C2 X 2 (C2 0)
例3
求矩阵
• 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，
则
l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A|
（利用根与系数的关系可证，证明不要求。但性质 本身需牢固掌握）
例5 设l是方阵A的特征值 证明
(1) l2是A2的特征值
证明(2因) 当为Al可是逆A的时特, 征l1 值是
l 3 1 (l 4)(l 2) 0
5 l 1
所以A的特征值为l14 l2-2
(2) 当l14时 解齐次线性方程组(4I A)X 0
由（4I
A)
1 5
51
1 0
01 得x1 x2 0
即x1
x2
其基础解系可取为 X1
x1 x2
11
则矩阵A对应于特征值l14的全体特征向量为
C1X1(C1 0)
无穷多个
定理1 如果非零向量X为矩阵A对应于特征值l的特征向量
则CX(C≠0为任意常数）也是A对应于特征值l的特征向量
定理2 如果X1， X2为矩阵A对应于特征值l的特征向量，
且X1+ X2 ≠0，则X1+ X2也是A对应于特征值l的特征向量， 即:矩阵A对应于同一特征值l的特征向量的非零线性组 合仍然为A对应于l特征向量(不能为0)
m=1时 X1≠0 显然成立 设 m=s-1时 X1 X2 Xs-1线性无关 现证明 m=s时 X1 X2 Xs线性无关 设有常数k1 k2 ks 使 k1X1k2X2 ks Xs0
A (k1X1k2X2 ks Xs)0
l1k1X1l2k2X2 lsks Xs0
l1k1X1l2k2X2 lsks Xs0
l3 1 (4 l)(2 l) 0
1 l3
(2)所当以l1A的2时特征解值齐为次线l1性2方 程l2组(42I A)X 0
由（2I 即x1
x2
A)
1 1
11 10
01
其基础解系可取为
得x1 x2
X1
x1 x2
0 11
则矩阵A对应于特征值l12的全体特征向量为
C1X1(C1 0)
X i1, X i2 , X i3,... X is
矩阵A对应于特征值li 的全部特征向量为
C1 X i1 C2 X i2 C3 X i3 ... Cs X is
其中C1, C2 , C3...Cs是不全为零的常数
解例1(1)求A矩的阵特A征 方53 程1为1的| 特lI 征A值| 和0 特征向量