2020年广东省韶关市高考数学模拟考试(理科)(1月份)试题Word版含解析

2020年广东省韶关市高考模拟考试数学（理科）试题一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∩（∁RQ）=（）A．[0，3] B．（0，2] C．[0，2）D．（0，3]2．已知复数z=（t﹣1）+（t+1）i，t∈R，|z|的最小值是（）A．1 B．2 C．D．33．已知，则f（﹣1+log35）=（）A．15 B．C．5 D．4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．5．等比数列{an }前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6=（）A．62 B．64 C．126 D．1286．已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）A．B．C．1+D．1+7．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．B．C．D．8．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．29．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+），则该外接球的表面积是（）A．4π B．12πC．24πD．36π10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜2）的三个相邻交点的横坐标分别是，且函数f（x）在x=处取得最小值，那么|φ|的最小值为（）A．B．πC．D．11．设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A．﹣=1（y≠0）B．﹣=1（y≠0）C． +=1（y≠0）D． +=1（y≠0）12．已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，则对下列四个结论：①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤时，f（x）=x（x﹣），则当＜x≤1时，f（x）=（1﹣x）（﹣x）；②若对∀x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），则y=f（x）至少有3个零点；③对∀x∈[0，1]，|f（x）|≤恒成立；④对∀x1，x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤恒成立．其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．已知平面非零向量，满足•（）=1，且||=1，则与的夹角为．14．在（1+x）•（1+2x）5的展开式中，x4的系数为（用数字作答）15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、DD1的中点，若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于．16．某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用年报废最合算（即平均每年费用最少）．三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=，cos∠AMC=﹣（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．18．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．19．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．20．设椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，且抛物线y2=﹣4x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．21．.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）（I）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[，2]⊆A，求实数m的取值范围．2020年广东省韶关市高考模拟考试数学（理科）试题答案一、本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}，则P∩（∁Q）=（）RA．[0，3] B．（0，2] C．[0，2）D．（0，3]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合Q，根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合P={x∈R|0≤x≤3}，Q={x∈R|x2≥4}={x|x≤﹣2或x≥2}，Q={x|﹣2＜x＜2}，则∁R∴P∩（∁Q）={x|0≤x＜2}=[0，2）．R故选：C．2．已知复数z=（t﹣1）+（t+1）i，t∈R，|z|的最小值是（）A．1 B．2 C．D．3【考点】复数求模．【分析】利用复数模的计算公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：由已知得：复数z=（t﹣1）+（t+1）i，t∈R，|z|2=（t﹣1）2+（t+1）2=2t2+2≥2，∴|z|，∴|z|的最小值是．故选：C．3．已知，则f（﹣1+log5）=（）3A．15 B．C．5 D．【考点】分段函数的应用．5的范围，利用分段函数化简求解即可．【分析】判断﹣1+log3【解答】解：﹣1+log35∈（0，1），f（﹣1+log35）=f（﹣1+log35+1）=f（log35）==5，故选：C．4．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部名著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用；古典概型及其概率计算公式．【分析】求出从10部名著中选择2部名著的方法数、2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数，由对立事件的概率计算公式，可得结论．【解答】解：从10部名著中选择2部名著的方法数为C102=45（种），2部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为C32=3（种），由对立事件的概率计算公式得P=1﹣=．故选A．5．等比数列{an }前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6=（）A．62 B．64 C．126 D．128【考点】等比数列的前n项和．【分析】法一：设等比数列{an}的公比是q，由题意可得q≠1，由等比数列的前项和公式列出方程组，整体求解后代入求出S6的值；法二：根据题意、等比数列的性质、等比中项的性质列出方程，求出S6的值．【解答】解法一：设等比数列{an}的公比是q，由题意得q≠1，，解得q2=4、=﹣2，所以S6==﹣2×（1﹣43）=126；法二：由已知可知，S2=6，S4=30，因为S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，所以242=6×（S6﹣30），解得S6=126，故选C．6．已知点A是双曲线（a，b＞0）右支上一点，F是右焦点，若△AOF（O是坐标原点）是等边三角形，则该双曲线离心率e为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出A坐标，代入双曲线方程，可得a、b、c，关系，然后求解离心率即可．【解答】解：依题意及三角函数定义，点A（ccos，csin），即A（，），代入双曲线方程，可得 b2c2﹣3a2c2=4a2b2，又c2=a2+b2，得e2=4+2，e=，故选：D．7．执行如图所示的程序框图，则输出S=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】框图中的S，实际是计算S=1++…+，裂项求和，可得结论．【解答】解：框图中的S，实际是计算S=1++…+=1+（1﹣+﹣+…+﹣）=，故选C．8．若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则实数m的最大值为（）A．﹣1 B．1 C．D．2【考点】简单线性规划的应用．【分析】根据，确定交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，则m≤1，由此可得结论．【解答】解：由题意，，可求得交点坐标为（1，2）要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件，如图所示．可得m≤1∴实数m的最大值为1故选B．9．四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+），则该外接球的表面积是（）A．4π B．12πC．24πD．36π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】将三视图还原为直观图，得四棱锥P﹣ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．【解答】解：设正方体棱长为a，则由四棱锥P﹣ABCD的侧面积等于4（1+），可得，a=2，设O是PC中点，则OA=OB=OC=OP=，所以，四棱锥P﹣ABCD外接球球心与正方体外接球球心重合．所以S==12π，故选B10．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜2）的三个相邻交点的横坐标分别是，且函数f（x）在x=处取得最小值，那么|φ|的最小值为（）A．B．πC．D．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据正弦函数的图象与性质，结合题意得出f（x）的周期以及ω的值，再求出|φ|的最小值．【解答】解：已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=b（0＜b＜2）的三个相邻交点的横坐标分别是、、，则函数f（x）的周期为π，ω=2；又函数f（x）在x=处取得最小值，则2•+φ=2kπ+，k∈Z，所以φ=2kπ﹣，k∈Z；故|φ|的最小值为．故选：C．11．设M是圆O：x2+y2=9上动点，直线l过M且与圆O相切，若过A（﹣2，0），B（2，0）两点的抛物线以直线l为准线，则抛物线焦点F的轨迹方程是（）A．﹣=1（y≠0）B．﹣=1（y≠0）C． +=1（y≠0）D． +=1（y≠0）【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】焦点到A和B的距离之和等于A和B分别到准线的距离和，而距离之和为A和B的中点O到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程C是以A和B为焦点的椭圆．【解答】解：设A，B两点到直线l的距离分别为d1，d2，则d1+d2=2d=6又因为A，B两点在抛物线上，由定义可知|AF|+|BF|=6＞|AB|，所以由椭圆定义可知，动点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴为6的椭圆（除与x轴交点）．方程为+=1（y≠0），故选C．12．已知不恒为零的函数f（x）在定义域[0，1]上的图象连续不间断，满足条件f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，则对下列四个结论：①若f（1﹣x）=f（x）且0≤x≤时，f（x）=x（x﹣），则当＜x≤1时，f（x）=（1﹣x）（﹣x）；②若对∀x∈[0，1]都有f（1﹣x）=﹣f（x），则y=f（x）至少有3个零点；③对∀x∈[0，1]，|f（x）|≤恒成立；④对∀x1，x2∈[0，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤恒成立．其中正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中f（0）=f（1）=0，且对任意x1，x2∈[0，1]都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：由f（1﹣x）=f（x）得函数f（x）图象关于直线x=对称，若0≤x≤时，f（x）=x（x﹣），则当＜x≤1时，f（x）=（1﹣x）（﹣x），故①正确；∵f（1﹣x）=﹣f（x），故函数图象关于（，0）对称，又由f（0）=f（1）=0，故函数f（x）至少有3个零点0，，1．故②正确；∵当0≤x≤时，|f（x）|≤x≤；当＜x≤1时，则1﹣x≤，|f（x）|=|f（x）﹣f（1）|≤（1﹣x）≤=．∴∀x∈[0，1]，|f（x）|≤恒成立，故③正确，设∀x1，x2∈[0，1]，当|x1﹣x2|≤时，|f（x1）﹣f（x2）|≤|x1﹣x2|≤，当|x1﹣x2|＞时，|f（x1）﹣f（x2）|=|f（x1）﹣f（0）+f（1）﹣f（x2）|≤|f（x1）﹣f（0）|+|f（1）﹣f（x2）|≤|x1﹣0|+|1﹣x2|=×1+（1﹣x2）=﹣（x2﹣x1）≤﹣×=．故④正确故选D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13．已知平面非零向量，满足•（）=1，且||=1，则与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由题意求得=0，可得与的夹角．【解答】解：设与的夹角为θ，∵平面非零向量，满足•（+）=1，且||=1，∴+1=1，即=0，∴θ=，故答案为：．14．在（1+x）•（1+2x）5的展开式中，x4的系数为160 （用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）•（1+2x）5的展开式中，含x4的项是第一个因式取1和x时，后一个因式应取x4和x3项，求出它们的系数和即可．【解答】解：在（1+x）•（1+2x）5的展开式中：当第一个因式取1时，则后一个因式取含x4的项为24•x4=80x4；当第一个因式取x时，则后一个因式取含x3的项为23•x3=80x3；所以展开式中x4的系数为：80+80=160．故答案为：160．15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、DD1的中点，若AB=4，则过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S等于18 ．【考点】平面的基本性质及推论．【分析】推导出EF∥平面BCC1，过EF且过B的平面与面BCC1的交线l平行于EF，l即为BC1．由此能求出过点B，E，F的平面截该正方体所得的截面面积S．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AD、DD1的中点，∴EF∥AD1∥BC1，∵EF⊄平面BCC1，BC1⊂平面BCC1，∴EF∥平面BCC1，由线面平行性质定理，过EF且过B的平面与面BCC1的交线l平行于EF，l即为BC1．由正方体的边长为4，可得BE=C1F=，BC1=2EF=4，截面是等腰梯形，其高为3，其面积S=h==18．故答案为：18．16．某种汽车购车时的费用为10万元，每年保险、养路费、汽油费共1.5万元，如果汽车的维修费第1年0.1万元，从第2年起，每年比上一年多0.2万元，这种汽车最多使用10 年报废最合算（即平均每年费用最少）．【考点】基本不等式．【分析】设这种汽车最多使用x年报废最合算，计算总维修费可用：（第一年费用+最后一年费用）×年数，然后列出用x年汽车每年的平均费用函数，再利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设这种汽车最多使用x年报废最合算，用x年汽车的总费用为10+1.5x+=10+1.5x+0.1x2万元，故用x年汽车每年的平均费用为y=0.1x++1.5≥2+1.5=3.5万元．当且仅当x=10成立．故答案为：10．三．解答题：解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM=，cos∠AMC=﹣（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；两角和与差的正切函数．【分析】（Ⅰ）由邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB，求出cos∠AMB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值，再利用诱导公式求出tanB的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC，设BM=x，则AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知∠AMB+∠AMC=π，又cos∠AMC=﹣，∴cos∠AMB=，sin∠AMB=，tan∠AMB=，∴tanB=﹣tan（∠BAM+∠BMA）=﹣=﹣=﹣，又B∈（0，π），∴B=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B=，且∠BAC=，∴∠C=，即∠BAC=∠C，∴AB=BC，设BM=x，则AB=2x，在△AMB中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cosB，即7=4x2+x2+2x2，解得：x=1（负值舍去），∴AB=BC=2，=•4•sin=．则S△ABC18．已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，E是BC中点，M是PD上的中点，F是PC上的动点．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAD（Ⅱ）直线EM与平面PAD所成角的正切值为，当F是PC中点时，求二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接AC，推导出AE⊥BC，AE⊥AD，PA⊥AE，由此能证明平面AEF⊥平面PCD．（Ⅱ）以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∵E是BC中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD，…∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，…又PA∩AE=A，∴AE⊥平面PAD，…又AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PCD．…解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，AE，AD，AP两两垂直，以AE，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，…∵AE⊥平面PAD，∴∠AME就是EM与平面PAD所成的角，…在Rt△AME中，tan，即=，设AB=2a，则AE=，得AM=，又AD=AB=2a，设PA=2b，则M（0，a，b），∴AM==，从而b=a，∴PA=AD=2a，…则A（0，0，0），B（，﹣a，0），C（），D（0，2a，0），P（0，0，2a），E（），F（，，a），∴=（），=（，，a），=（﹣），…设=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量，则，取z=a，得=（0，﹣2a，a），…又BD⊥平面ACF，∴=（﹣）是平面ACF的一个法向量，…设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ．则cosθ===．…∴二面角C﹣AF﹣E的余弦值为．…19．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如右图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x（单位：吨，100≤x≤150）表示下一个销售季度的市场需求量，T（单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x分布在各区间内的频率为相应的概率，求P（x≥120）（Ⅱ）将T表示为x的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如x∈[100，110），则取x=105，且x=105的概率等于市场需求量落入100，110）的频率），求T的分布列及数学期望E（T）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P+P+P．（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x﹣0.3=0.8x﹣39；当x∈[130，150]时，T=0.5×130，即可得出．（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当x∈[100，110）时，T=0.8×105﹣39，P（T=45）=0.010×10；当x∈[110，120）时，T=0.8×115﹣39，P（T=53）=0.020×10；当x∈[120，130）时，T=0.8×125﹣39，P（T=61）=0.030×10；当x∈[130，150）时，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10．即可得出T的分布列及其数学期望．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得P（x≥120）=P+P+P=0.030×10+0.025×10+0.015×10=0.7．（Ⅱ）当x∈[100，130）时，T=0.5x﹣0.3=0.8x﹣39；当x∈[130，150]时，T=0.5×130=65．∴T=．（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当x∈[100，110）时，T=0.8×105﹣39=45，P（T=45）=0.010×10=0.1；当x∈[110，120）时，T=0.8×115﹣39=53，P（T=53）=0.020×10=0.2；当x∈[120，130）时，T=0.8×125﹣39=61，P（T=61）=0.030×10=0.3；当x∈[130，150）时，T=65，P（T=65）=（0.025+0.015）×10=0.4．所以T的分布列为T45536165P0.10.20.30.4…所以，E（T）=45×0.1+53×0.2+61×0.3+65×0.4=59.4（万元）．…20．设椭圆C： =1（a＞b＞0），椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，且抛物线y2=﹣4x的准线恰好过椭圆C的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A，B两点，连接PO并延长交圆O于点Q，求△ABQ面积的取值范围．【考点】圆锥曲线的范围问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，推出，以及c=，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，求出A、B、P、Q坐标，然后求解S△ABQ．②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y利用韦达定理判别式以及弦长公式，点到直线的距离，求出S△ABQ=|PQ||AB利用基本不等式求解最值，然后推出结果．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O：x2+y2=相切，所以，…又抛物线y2=﹣4其准线方程为x=，因为抛物线y2=﹣4的准线恰好过椭圆C的一个焦点，所以c=，从而a2﹣b2=c2=2 …两式联立，解得b2=2，a2=4，所以椭圆C的方程为：…①当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为l：x=，则A（，），B（，﹣），P（，0），所以Q（﹣，0），从而S△ABQ=|PQ||AB|==…②当直线l的斜率存在时，设其方程设为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，消去y得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，△=（4mk）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣4）=8（4k2﹣m2+2）＞0，即4k2﹣m2+2＞0…因为直线与圆相切，所以d==，∴3m2=4（1+k2）…|AB|====…当k≠0时，|AB|==，因为4k2+，所以1＜1+，所以．…因为PQ圆O的直径，所以S△ABQ=|PQ||AB|==．…所以＜S△ABQ≤2．…k=0时，S△ABQ=|PQ||AB|=××=综上可得△ABQ面积的取值范围为[，2]．…21．.已知函数f（x）=ae x（a≠0），g（x）=x2（Ⅰ）若曲线c1：y=f（x）与曲线c2：y=g（x）存在公切线，求a最大值．（Ⅱ）当a=1时，F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1，且F（2）=0，若F（x）在（0，2）内有零点，求实数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到x2=2x1﹣2，由a=，设g（x）=，根据函数的单调性求出a的最大值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题转化为F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，从而确定b的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）设公切线l与c1切于点（x1，a）与c2切于点（x2，），∵f′（x）=ae x，g′（x）=2x，∴，由①知x2≠0，①代入②得： =2x2，即x2=2x1﹣2，由①知a=，设g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，得x=2；当x＜2时g′（x）＞0，g（x）递增．当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）递减．∴x=2时，g（x）max =g（2）=，∴amax=．（Ⅱ）F（x）=f（x）﹣bg（x）﹣cx﹣1=e x﹣bx2﹣cx﹣1，∵F（2）=0=F（0），又F（x）在（0，2）内有零点，∴F（x）在（0，2）至少有两个极值点，即F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内至少有两个零点．∵F″（x）=e x﹣2b，F（2）=e2﹣4b﹣2c﹣1=0，c=，①当b≤时，在（0，2）上，e x＞e0=1≥2b，F″（x）＞0，∴F″（x）在（0，2）上单调增，F′（x）没有两个零点．②当b≥时，在（0，2）上，e x＜e2≤2b，∴F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，2）上单调减，F′（x）没有两个零点；③当＜b＜时，令F″（x）=0，得x=ln2b，因当x＞ln2b时，F″（x）＞0，x＜ln2b时，F″（x）＜0，∴F″（x）在（0，ln2b）递减，（ln2b，2）递增，=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，所以x=ln2b时，∴F′（x）最小设G（b）=F′（ln2b）=4b﹣2bln2b﹣+，令G′（b）=2﹣2ln2b=0，得2b=e，即b=，当b＜时G′（b）＞0；当b＞时，G′（b）＜0，=G（）=e+﹣＜0，当b=时，G（b）最大∴G（b）=f′（ln2b）＜0恒成立，因F′（x）=e x﹣2bx﹣c在（0，2）内有两个零点，∴，解得：＜b＜，综上所述，b的取值范围（，）．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．以点O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2（Ⅰ）将直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l的极坐标方程转化为ρcosθ+ρsinθ=4，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能示出直线l的直角坐标方程．（Ⅱ）设点Q的坐标为（），点Q到直线l的距离为d=，由此能求出曲线C上的一点Q 到直线l 的距离的最大值及此时点Q的坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2∴ρ（cos+sin）=2，化简得，ρcosθ+ρsinθ=4，…由x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴直线l的直角坐标方程为x+y=4．…（Ⅱ）由于点Q是曲线C上的点，则可设点Q的坐标为（），…点Q到直线l的距离为d=…=．…当sin（）=﹣1时，即，d==3．…max此时，cos=﹣，sin，∴点Q（﹣）．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m∈R）（I）当m=﹣1时，求不等式f（x）≤2的解集；（II）设关于x的不等式f（x）≤|2x+1|的解集为A，且[，2]⊆A，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）问题转化为|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[，2]上恒成立，根据（﹣x﹣2）max≤m≤（﹣x+2）min，求出m的范围即可．【解答】解：（ I）当m=﹣1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2⇒|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，上述不等式可化为：或或，解得或或，∴0≤x≤或＜x＜1或1≤x≤，∴原不等式的解集为{x|0≤x≤}．（ II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含[，2]，∴当x∈[，2]时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，即|x+m|+|2x﹣1|≤|2x+1|在x∈[，2]上恒成立，∴|x+m|+2x﹣1≤2x+1，即|x+m|≤2，∴﹣2≤x+m≤2，∴﹣x﹣2≤m≤﹣x+2在x∈[，2]上恒成立，∴（﹣x﹣2）max ≤m≤（﹣x+2）min，∴﹣≤m≤0，所以实数m的取值范围是[﹣，0]．。