根的分布问题总结
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一元二次方程根的分布问题
-----数形结合的方法
若y =()f x 与x 轴有交点0x ⇔f (0x )=0。
一．一元二次方程根的基本分布——零分布
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。
设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】：01>x ，02>x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=<≥-=∆0
)0(0042b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。
【定理2】：01 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>=>≥-=∆00)0(0042b c f a ac b 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<=<≥-=∆00 )0(0042b c f a ac b 由二次函数图象易知它的正确性。 【定理3】210x x <<⇔0 c 【定理4】 ○101=x ，02 >x ⇔0=c 且0a b 。 二．一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程02=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常 数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。 【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k a b k af ac b 20 )(042 【定理2】k x x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k a b k af a c b 20 )(042。 【定理3】21x k x <<⇔0)( 【定理4】有且仅有11x k <（或2x ）2k <⇔0)()(21 【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0 )(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 此定理可直接由定理4推出，请读者自证。 【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b