用坐标系解立体几何常见方法

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题立体几何重点、热点：求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二

面角、证明平行关系和垂直关系等．常用公式：

1、求线段的长度：AB AB x2y2z2x2x12y2y12z2z12

|PM n|

2、求P点到平面的距离：PN ，（N为垂足，M为斜足，n 为平面的法向量）

|n|

|PM n|

3、求直线 l 与平面所成的角：|sin |，（PM l , M , n 为的法向量）

|PM| |n|

|AB CD|

4、求两异面直线AB 与CD的夹角：cos

|AB| |CD|

|n1 n2 |

5、求二面角的平面角：|cos | ，（n1，n2为二面角的两个面的法向量）|n1| |n2 |

S射影

6、求二面角的平面角：cos ，（射影面积法）

S

7、求法向量：①找；②求：设a,b 为平面内的任意两个向量，n （ x, y,1）为的法向量，

a n 0

则由方程组，可求得法向量n ．

b n 0

高中新教材9（B）引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。

一﹑直接建系。当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。

例1. （2002 年全国高考题）如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN（=a0 a 2 ）。（1）求MN的长；（2）当a 为何值时，MN的长最小；

（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。

解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z 轴建立如图所示的空

即M﹑N 分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为

2 （3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=A，N BM=B，N 所以

AP⊥MN，BP⊥MN，∠ APB即为二面角α的平面角。

1 1 1 1

MN的长最小时M（，0，）,N （，，0）

2 2 2 2

（1）求 BN 的长； （2） 求 cos BA 1, CB 1 ；（3）求证： A 1B ⊥C 1M 解：建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz ，则 C （0，0，0），B （0，1，0）， 11

N （1，0，1），A 1（1，0，2），B 1（0，1，2），C 1（0，0，2），M （1

， 1

，2）

22

11

由中点坐标公式 P （ 1

， 1

24 -1

），

PA =( 1

，- 1

， 24 1 ), 又 A ( 1， 0， 4

0），B 0，0，0）

PB =(-

1

， 4 1

3

例 2. （1991 年全国高考题 ）如图，已知 ABCD 是边长为 4 的正方形， AB ﹑AD 的中点， GC ⊥面 ABCD ，且 GC=2，求点 B 到平面 EFG 的距离

解： 建立如图所示的空间直角坐标系 由题意 C （ 0，0，0），G （0，0，2）， ∴ 面 MNA 与面 MNB 所成二面角 α的大小为 π -arccos

C-xyz ，

E （2，4，0），

F （4，2，

），

E ﹑

F 分别是 B （0，4，0） cos

1 3

G

C

∴ GE =（2，4，-2 ）， GF =（4，2， -2），BE =（2，0，0）

例 3. （2000 年二省一市高考题 ） 在直三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中 CA=CB=，1

∠BCA=900

，棱 A A 1=2，M ﹑N 分别是 A 1B 1﹑A 1 A 的中点。

x

1）BN =（1，-1，1）， 故 BN = 3； 2）CB 1 =（0，1，2），BA 1 =（1，-1 ， 2）

A 1

B ⊥

C 1M

二﹑利用图形中的对称关系建系 。

有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对 称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等） ，我们可以利用图形的对称性建立 空间直角坐标系来解题。

例 4. （2001 年二省一市高考题 ） 如图，以底面边长为 2a 的正四棱锥 V-ABCD 底面 中心 O 为坐标原点建立空间直角坐标系 O-xyz ，其中 Ox ∥BC ，Oy ∥AB ，E 为 VC 的中点， 高 OV 为 h 。

∴ cos BA 1 , CB 1 =

BA 1 CB 1

BA

1

CB

1

6 5 10

3) A 1B=

（-1， 1，-2），

C 1M 11

=( ， ，0)

1）求 cos BE,DE ； （2）记面

BCV 为α，面 DVC 为β，若∠ BED 是二面角

α -VC-β 的平面角，求∠ BED 。

解：（1）由题意 B （ a ，a ，

0），

D （-a ， -a ，

E （ a a

2

2

3a a ，h

∴ BE =( -

，

）

2

2 2

cos BE,DE

BE DE BE DE

1 4 30

A 1B?C 1M = -1 ×1

+1× 1

+(-2) ×0=0

22

h

）

2

DE =

a

2

，

3a

，

h

2

， 2

z

C

y

V

AB