理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答

第三章平衡问题：矢量方法习题解答

3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。

题3.1图

解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。

（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。

（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。

（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。

（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。

平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。

（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。

除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。

3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？

解：以送料机为研究对象，受力图如图示。满载时不致翻倒的临界状态是0=NE F 。列平衡方程：

∑=0F m ，041=⨯-⨯W P ，

解得kN)(601544=⨯==W P 所以，当kN 60>P 时，才能使料斗在满载时不致翻倒。

3-3梁AB 用三根杆支承，如图示。已知kN 301=F ，kN 402=F ，m kN 30⋅=M ，

kN/m 20=q 。试求三杆的约束力。

(a) 解：以AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程

0=∑x F ，060cos 60cos 1=+ο

οF F C ，

kN 301-=-=F F C

,0∑=B m

5.1348

60sin 360sin 821=⨯⨯+⨯+⨯+⨯--⨯-q F F F M F C A οο,

kN 22.63=A F .

,0∑=y F 0360sin 60sin 21=⨯---++q F F F F F B C A ο

ο,

kN 7488.=B F . （b ）解：以AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程

0=∑x F ， 030cos 45cos 45cos 2=--ο

οοF F F B D ，

∑=,

0C m

,

0630sin 2

845sin 445sin 21=⨯-⨯--⨯+⨯ο

οοF F M F F B D

解得：kN 4.57kN,42.8==D B F F ； ,0∑=y F

030sin 45sin 45sin 21=--++ο

οοF F F F F C B D ，

解得：kN 45.3=C F 。

3-4试求图示多跨梁的支座反力。已知（a ）m kN 8⋅=M ，kN/m 4=q ；（b ）m kN 40⋅=M ，

kN/m 10=q 。

(a) 解：（1）先取BC 梁为对象，画受力图，列平衡方程 0=∑B m ，0364=⨯⨯-⨯q F C ， kN 18=C F ；

题3．2图

题3-3图

题3-3图

题3-4图

,0∑=y F 06=⨯-+q F F C By ，

kN 6=By F

0=∑x F ，kN 0=Bx F

（2）再取AB 梁为对象，画受力图，列平衡方程 0=∑x F ， 0=+Bx Ax F F ， kN 0=-=Bx Ax F F

,0∑=y F 0=-By Ay F F ， kN 6=Ay F ;

0=∑A m , 04=⨯--By A F M m , m kN 32⋅=A m .

(b) 解：（1）先取CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:

0=∑C m , 0124=-⨯⨯-⨯M q F D ,

kN 12=D F ; ,0∑=y F 02=⨯-+-q F F D Cy , kN 4=Cy F 0=∑x F ，kN 0=Cx F

（2）再取AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程:

0=∑B m , 02122=⨯+⨯⨯-⨯-Cy Ay F q F ,

kN 0=Ay F .

,0∑=y F 02=+⨯-+Cy B Ay F q F F

kN 4=B F .

0=∑x F , 0=+-Cx Ax F F kN 0=Ax F .

3-5梁的支承及载荷如图示。已知：qa F =，2

qa M =。试求支座的约束力。

（a ）解：（1）先取CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:

0=∑C m ，02

12

=--M qa a F D ， qa F D 2

3

=

。 0=∑x F ，0=Cx F 。

,0∑=y F 0=--+qa F F F D Cy

qa F Cy 2

1

=

。 2）再取AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程: 0=∑B m ，02

12

=---qa a F a F Cy Ay ， qa F Ay -=。

0=∑x F ，0=-Cx Ax F F ，0=Ax F 。

题3-4图

题3-5图