理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答

第三章平衡问题：矢量方法习题解答
3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。

题3.1图
解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。

如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。

（2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。

所以，AD梁是2次静不定。

（3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。

所以是3次静不定。

（4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。

所以是6次静不定。

（5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。

平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。

21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。

若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。

所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。

（6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。

除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。

AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。

3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。

跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。

设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。

试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？
解：以送料机为研究对象，受力图如图示。

满载时不致翻倒的临界状态是0=NE F 。

列平衡方程：
∑=0F m ，041=⨯-⨯W P ，
解得kN)(601544=⨯==W P 所以，当kN 60>P 时，才能使料斗在满载时不致翻倒。

3-3梁AB 用三根杆支承，如图示。

已知kN 301=F ，kN 402=F ，m kN 30⋅=M ，
kN/m 20=q 。

试求三杆的约束力。

(a) 解：以AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
0=∑x F ，060cos 60cos 1=+ο
οF F C ，
kN 301-=-=F F C
,0∑=B m
5.1348
60sin 360sin 821=⨯⨯+⨯+⨯+⨯--⨯-q F F F M F C A οο,
kN 22.63=A F .
,0∑=y F 0360sin 60sin 21=⨯---++q F F F F F B C A ο
ο,
kN 7488.=B F . （b ）解：以AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
0=∑x F ， 030cos 45cos 45cos 2=--ο
οοF F F B D ，
∑=,
0C m
,
0630sin 2
845sin 445sin 21=⨯-⨯--⨯+⨯ο
οοF F M F F B D
解得：kN 4.57kN,42.8==D B F F ； ,0∑=y F
030sin 45sin 45sin 21=--++ο
οοF F F F F C B D ，
解得：kN 45.3=C F 。

3-4试求图示多跨梁的支座反力。

已知（a ）m kN 8⋅=M ，kN/m 4=q ；（b ）m kN 40⋅=M ，
kN/m 10=q 。

(a) 解：（1）先取BC 梁为对象，画受力图，列平衡方程 0=∑B m ，0364=⨯⨯-⨯q F C ， kN 18=C F ；
题3．2图
题3-3图
题3-3图
题3-4图
,0∑=y F 06=⨯-+q F F C By ，
kN 6=By F
0=∑x F ，kN 0=Bx F
（2）再取AB 梁为对象，画受力图，列平衡方程 0=∑x F ， 0=+Bx Ax F F ， kN 0=-=Bx Ax F F
,0∑=y F 0=-By Ay F F ， kN 6=Ay F ;
0=∑A m , 04=⨯--By A F M m , m kN 32⋅=A m .
(b) 解：（1）先取CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
0=∑C m , 0124=-⨯⨯-⨯M q F D ,
kN 12=D F ; ,0∑=y F 02=⨯-+-q F F D Cy , kN 4=Cy F 0=∑x F ，kN 0=Cx F
（2）再取AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
0=∑B m , 02122=⨯+⨯⨯-⨯-Cy Ay F q F ,
kN 0=Ay F .
,0∑=y F 02=+⨯-+Cy B Ay F q F F
kN 4=B F .
0=∑x F , 0=+-Cx Ax F F kN 0=Ax F .
3-5梁的支承及载荷如图示。

已知：qa F =，2
qa M =。

试求支座的约束力。

（a ）解：（1）先取CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
0=∑C m ，02
12
=--M qa a F D ， qa F D 2
3
=。

0=∑x F ，0=Cx F 。

,0∑=y F 0=--+qa F F F D Cy
qa F Cy 2
1
=。

2）再取AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程: 0=∑B m ，02
12
=---qa a F a F Cy Ay ， qa F Ay -=。

0=∑x F ，0=-Cx Ax F F ，0=Ax F 。

题3-4图
题3-5图
,0∑=y F 0=--+qa F F F Cy B Ay ， qa F B 2
5
=。

（b ）解：（1）取BC 梁为对象，画受力图。

因分布载荷呈三角形分布，B 点处的载荷集度为q /2。

列平衡方程:
0=∑x F ， 0=Bx F
0=∑B m ，
()02322221222122=⋅⋅⋅--a a q a q
a F C ， qa F C 6
5
=。

,0∑=y F 02
1
223=⋅⋅-+-a q F F C By ，
qa F By 3
2
-=
（2）取AB 梁为对象，画受力图。

列平衡方程: 0=∑x F ，0=+-Bx Ax F F ， 0==Bx Ax F F .
0=∑A m ， 023
2
22212=⋅⋅-
⋅+a a q a F M By A , 2
2qa M A =.
,0∑=y F 022
21=⋅-
+a q
F F By Ay ， qa F Ay 6
7=
. 3-6 图示构架中，重物W 重1200 N ，由细绳跨过滑轮E 而水平地系于墙上，尺寸为：AD=BD =2 m ，CD=DE =1.5 m 。

不计滑轮和杆的自重，求支座A 和B 处的约束力，以及杆BC 的内力。

解：（1）以整体为研究对象，显然W F T =。

列平衡方程：
0=∑x F ，0=-T Ax F F ， N 1200===W F F T Ax 。

=∑A m ， 0
)5.1()2(4=--+-⨯r F r W F T B
，
N 1050875.0==W F B
,0∑=y F 0=-+W F F B Ay ， N 150125.0==W F Ay 。

（2）以AB 杆为研究对象。

列平衡方程：
0=∑D m ， 02sin 22=⨯+⨯+⨯-ϑBA B Ay F F F ， 其中5
3
25.15.1sin 2
2=
+=ϑ。

解得N 1500-=BA F 。

题3-5图
题3-6图
3-7一凳子由杆AB 、BC 和AD 铰接而成，放在光滑的地面上，凳面上作用有力F 如图示。

求铰链E 处的约束力。

解：（1）取整体为研究对象。

0=∑A m ，03=-⋅Fa a F ND ， F F ND 3
1
=
； （2）取AB 杆为研究对象。

0=∑B m ，023=⋅-⋅a F a F Ay ，
F F Ay 3
2=
（3）取AD 杆为研究对象。

,0∑=y F 0=++-ND Ey Ay F F F ， F F Ey 31
=。

0=∑A m ，
032323=++a F a F a F ND Ey Ex ， F F Ex =.
3-8 图示构架由杆AB 、CD 、EF 和滑轮以及绳索组成，H 、G 和E 处为铰链，固结在杆EF 上的销钉K 放在杆CD 的光滑槽内。

已知物块M 重P 和水平力Q ，尺寸如图示。

若不计其余构件的自重和摩擦，求固定铰链支座A 和C 以及杆EF 上销钉K 的约束力。

解：（1）取整体为研究对象， 0=∑A m ，
0364=⋅+⋅+⋅a P a Q a F Cy ，
()P Q F Cy +-
=24
3
； ,0∑=y F 0=-+P F F Cy Ay ，
()P Q F Ay 764
1
+=；
,0∑=x F 0=++Q F F Cx Ax 。

（2）取EF 杆连同轮为研究对象，显然P F T =。

0=∑H m ，
03245sin =⋅-⋅+⨯a F a P a F T NK ο
，
P F NK 2-=.
（3）取CD 杆为研究对象， 0=∑G m ，
02244=⋅-⋅+⋅-a F a F a F NK Cy Cx ， ()P Q F Cx --
=64
1
； 代入上面（1）中第3式，解得：
()P Q F Ax -=
24
1。

题3-7图
AB 杆受力图 AD 杆受力图
题3-8图 受力图（1）
受力图（2） 受力图（3）
3-9 滑轮B 与折杆AB 和BC 用铰链连接，如图示。

设滑轮上绳的拉力P =500 N ，不计各构件的自重，求各构件给销钉的力。

解：（1）取轮（不包括销钉）为对象， 0=∑B m ，0=⋅-⋅r P r F T ， P F T =；
,0∑=y F 0=-T By F F ， P F F T By ==；
,0∑=x F 0=-P F Bx ， P F Bx =； 轮对销钉的作用力是By Bx F F ,的反作用力。

（2）取轮连同销钉为对象，折杆 AB 和BC 都是二力杆，列平衡方程：
0=∑x F ，0sin cos =-+-P F F BC BA ϑϑ，
0=∑y F ，0cos sin =---T BC BA F F F ϑϑ，
其中，53
cos ,54sin ==
ϑϑ。

解得71,55
BA BC F P F P =-=。

将数据代入，得：
500N,100N,700N Bx By BC BA F F F F ====-。

3-10 由杆组成的结构如图示。

A 、B 、C 、E 、G 均为光滑铰链。

已知F =20 kN, q =10kN/m ,M =20 kN-m,a =2 m, 不计自重，求A 和G 处的约束力以及杆BE 和CE 的内力。

解：（1）取整体为研究对象，
0=∑G m ，
022=⋅-⋅-+⋅a qa a F M a F Ax ， ()()kN 702=++-
=qa F a
M
F Ax 0=∑x F ，0=+--F F F Gx Ax ，
()kN 50-=Gx F ；
0=∑y F ，02=-+qa F F Gy Ay 。

（2）取GE 杆为研究对象，
0=∑x F ，045sin =+-ο
EC Gx F F ，
()kN 250-=EC F
0=∑E m ，0=-M a F Gy ，
()kN 10=Gy F ；
将此代入（1）中第3式，得
()kN 30=Ay F 。

0=∑y F ，045cos =++οEC EB Gy F F F ，
kN)(40=EB F
题3-9图 受力图（1）
受力图（2）
题3-10图 受力图（1） 受力图（2）
3-11构架由杆AB 、AC 和DF 铰接而成，如图示。

在杆DEF 上作用一力偶矩为M 的力偶。

不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链A 、D 和B 所受的力。

解：（1）取整体为研究对象，支座反力B C F F ,必
组成力偶。

0=∑C m ，02=-⋅M a F B ，a M
F B 2=
； （2）取DF 杆为研究对象，
0=∑E m ，0=-⋅M a F Dy ，a M F Dy =
； （3）取AB 杆为研究对象，
0=∑y F ，0=-+B Ay Dy F F F ，a
M F Ay 2=
0=∑D m ，0=a F Ax ，0=Ax F
0=∑x F ，0=+Dx Ax F F ，0=Dx F 。

3-12构架由杆AB 、AC 和DF 组成，如图示。

杆DF 上的销子E 可在杆AC 的光滑槽内滑动。

在水平杆DF 的一端作用铅直力F ，不计各杆的重量，求杆 AB 上铰链A 、D 和B 所受的力。

解：（1）取整体为研究对象，
0=∑C m ，02=⋅a F By ， 0=By F ； （2）取DF 杆为研究对象，
0=∑E m ，0=⋅-⋅a F a F Dy ， F F Dy =；
0=∑D m ，0245sin =⋅-⋅a F a F N ο
，
F F N 22=；
0=∑x F ，045cos =+-ο
N Dx F F ， F F Dx 2=；
（3）取AB 杆为研究对象，
0=∑B m ，02=⋅-⋅-a F a F Ax Dx ， F F Ax -=；
0=∑D m ，0=⋅+⋅-a F a F Ax Bx ， F F Bx -=；
0=∑y F ，0=++Ay Dy By F F F ，
F F F Dy Ay -=-=。

3-13不计图示结构中各杆的重量，力F =40kN 。

求铰链A 、B 和C 处所受的力。

解：（1）取DF 杆为研究对象，
0=∑F m ，0245sin 4=⨯+⨯ο
BE CD F F ，
024=+BE CD F F ， （a ） （2）取CA 杆为研究对象， 0=∑A m ，
04245sin 6=⨯-⨯-⨯-F F F BE CD ο
0426=++F F F BE CD ， （b ） 由式（a ）和（b ）联立解得：
题3-11图和杆件受力图
题3-12图和杆件受力图
题3-13图和杆件受力图
F F CD 2-=， F F BE 24=； 0=∑y F ，045cos =+Ay BE F F ο，F F Ay 4-=。

0=∑B m ，0224=⨯-⨯+⨯-F F F Ax CD ，F F Ax 3-=
代入数据，得：kN 80-=CD F ，kN 2160=BE F ，kN 120-=Ax F ，kN 160-=Ay F 。

3-14在图示构架中，A 、C 、D 和E 处均为铰链连接，杆BD 上的销子B 置于AC 杆的光滑槽内，力F=200 N ，力偶矩M=100N-m ，不计结构中各杆的重量，求A 、B 和C 处所受的力。

解：（1）取整体为研究对象， 0=∑E m ，
0)60cos 8.06.0(6.1=---⨯-οF M F Ay ，
N 5.87-=Ay F 。

（2）取BD 杆为研究对象， 0=∑D m ，
06.08.030sin =⨯--⨯-F M F NB ο
，
N 550-=NB F ； （3）取AC 杆为研究对象，
0=∑C m ， ο
60sin 6.1⨯Ax F
08.060cos 6.1=⨯+⨯-NB Ay F F ο
， N 267=Ax F ；
0=∑y F ，030sin =--Cy NB Ay F F F ο，
N 5.187=Cy F ； 0=∑x F ，030cos =++Cx NB Ax F F F ο
， N 209=Cx F 。

3-15用图示三角架ABCD 和绞车E 从矿井中吊起重G=30kN 的重物，△ABC 为等边三角形，三角架的三只脚和绳索DE 均与水平面成60°角，不计三角架的重量，求当重物被匀速吊起时各脚所受的力。

解：取滑轮和重物连同杆的一部分为研究对象，受力图及其在水平面的投影如图示，显然有：
G F T =，ο60cos DA H
DA F F =，ο60cos DB H
DB F F =，ο60cos DC H DC
F F =。

因三角架的三只脚和绳索DE 均与水平面成60°角，有
0=∑z F ，
()060sin =++++G F F F F T DA DC DB ο，
G F F F DA DC DB 15.2-=++； （a ）
0=∑x F ，
()[]
060cos 60cos =+--οοDA DC T DC
F F F F
()G F F F DA DC DC =+-ο60cos ； （b ）
题3-14受力图 受力图（1） 受力图(2) 受力图（3）
题3-15图及其构件的受力图
0=∑y F ，()060sin 60cos =-ο
οDA DC F F ，
DA DC F F =； （c ）
由式（a ）、（b ）和（c ）解得：kN 55.1,kN 55.31-=-=DC DB DA F F F .
3-16 重物M 放在光滑的斜面上，用沿斜面的绳AM 和BM 拉住。

已知物重W=1000 N,
斜面的倾角ο
60=ϑ，绳与铅垂面的夹角分别为ο
30=β和ο60=γ。

如果物体的尺寸忽略
不计，求重物对于斜面的压力和两绳的拉力。

解：取重物M 为研究对象，画受力图，建立M-xyz 直角坐标系，其中xy 沿斜面，z 轴与斜面垂直。

0=∑z F ，0cos =-ϑW F N ， ϑcos W F N =；
0=∑y F ，0sin sin =-γβB A F F ，
0=∑x F ，0sin cos cos =-+ϑγβW F F B A ，
解得：W F A )
sin(sin sin βγϑγ+=
,W F B )sin(sin sin βγϑ
β+=, 将数据代入，得N 750=A
F ，N 433=B F ，N
500=N F 。

3-17 图示一空间桁架，由六根杆组成。

一力P=10 kN ，作用于节点A ，此力在ABNDC 铅垂面内，且与铅垂线CA 成45°角。

△EAK 和△FBM 相等，皆为铅垂等腰直角三角形，
解：（1）取节点A 为研究对象，
0=∑y F ，045sin 3=+F P ο
，
P F 22
3-=； 0=∑x F ，045cos 45cos 21=-ο
οF F ，
21F F =；
0=∑z F ， 045cos 45cos 45cos 21=++ο
οοP F F ，
P F F 2
1
21-==。

（2）取节点B 为研究对象，
0=∑y F ，045sin 36=-F F ο
， P F =6；
0=∑x F ，045cos 45cos 54=-οοF F ， 54F F =；
0=∑z F ， 045cos 45cos 45cos 654=++οοοF F F ，
P F F 2
1
54-==。

代入数据得：
kN 521-==F F ，kN 07.73-=F ，kN 554-==F F ，kN 106=F 。

题3-16图 重物的受力图
题3-17图
节点的受力图
3-18三脚圆桌的半径r=50 cm ，重为G=600 N ，圆桌的三脚A 、B 和C 形成一等边三角形。

如在中线CO 上距圆心为a 的点M 处作用一铅垂力P =1500 N ，求使圆桌不致翻倒的最大距离a 。

解：取三脚圆桌为研究对象，
∑=0
AB m ，
()()0
30sin 30sin 30sin =--++⋅οο
οGr r a P r r F NC ，
圆桌不致翻倒的条件：0≥NC F ，
(
)
30sin 30sin ≥--ο
ο
r a P Gr ，
()P G P
r
a +≤
2 代入数据，得使圆桌不致翻倒的最大距离为cm 35max =a 。

3-19 手摇钻由支点B 、钻头A 和一个弯曲的手柄组成。

当支点B 处加压力z F 和y x F F ,，以及手柄上加力F 后，即可带动钻头绕轴AB 转动而钻空。

已知：N 50=z F ，N 150=F ，求：（1）钻头受到的阻抗力偶矩M ；（2）材料对钻头的约束力Az Ay Ax F F F ,,的值；（3）力
y x F F ,的值。

解:取手摇钻为研究对象, 钻头在A 点受到阻碍其移动的约束力和阻碍其绕z 轴转动的约束力偶作用,受力图如图示.
∑=0z F , 0=-z Az F F , N 50==z Az F F ; ∑=0z m , 015.0=⨯-F M A ,
m N 5.2215.0⋅=⨯=F M A ; ∑=0y m , 02.04.0=⨯-⨯F F x ,
N 752
==
F
F x . ∑=0x F , 0=-+F F F x Ax , N 75=+-=F F F x Ax . ∑=0x m , 04.0=⨯y F , N 0=y F . ∑=0y
F
, 0=+y Ay F F , N 0=Ay F
3-20 图示水平轴AB 作匀速转动，其上装有齿轮C 及带轮D ，齿轮直径为240mm 。

已知胶带紧边的拉力为200 N ，松边的拉力为100 N ，尺寸如图示。

求啮合力F 及轴承A 和B
处的约束力。

解: 取水平轴连同齿轮及带轮为研究对象, ∑=0y m ,
008.0)100200(12.020cos =⨯--⨯οF ， N 9.70=F ； ∑=0z m ，
035.01.020cos =⨯-⨯-Bx F F ο，
N 19-=Bx F ；
题3-18图 圆桌受力图
题3-19图 摇钻受力图
题3-20图 水平轴连同齿轮及
带轮受力图
∑=0x F ， 020cos =++Bx Ax F F F ο
，N 6.47=Ax F ；
∑=0x m ，035.025.0)100200(1.020sin =⨯-⨯++⨯-Bz F F ο
， N 4.207=Bz F
∑=0z F ，0)100200(20sin =++++-Az Bz F F F ο
， N 4.68-=Az F 。

3-21一端有绳子拉住的重100 N 的物体A 置于重200 N 的物体B 上如图示，B 置于水平面上并作用一水平力F 。

若各接触面的静摩擦因数均为0.35,试求B 即将向右运动时力F 的大小。

解：根据题意，设物体系统处于临界平衡状态，此时各接触面间的摩擦力均达到最大值。

（1）取物体A 为研究对象，
∑=0x F ， 030cos mA =-ο
T F F ， ∑=0y F ， 030sin NA =-+A T G F F ο
，
补充方程：NA s F f F =mA 。

解得：
A s NA G f F 3
3+=
，A s s
G f f F 33mA +=。

（2）取物体B 为研究对象，
∑=0y F ， 0NA NB =--B G F F ， A s B G f G F 3
3
NB ++=；
∑=0x F ， 0mB mA =-+F F F ， 补充方程：NB s F f F =mB 。

解得：B s A s s
G f G f f F F F ++=+=3
32mB mA 。

代入数据得，N 23.128=F 。

3-22 重物A 与B 用一不计重量的连杆铰接后放置如图示。

已知B 重1 kN ，A 与水平面、B 与斜面间的摩擦角均为15°。

不计铰链中的摩擦力，求平衡时A 的最小重量。

解：根据题意，此时物体系统处于临界平衡状态，各接触面间的摩擦力均达到最大值。

（1）取重物B 为研究对象， ∑=0x F ，
045sin 15cos mB =+--F G F B AB οο， ∑=0y F ，
045cos 15sin NB =+-F G F B AB ο
ο，
补充方程：NB s F f F =mB ， 其中s s f ϕtan =.
题3-21图 物体A 和B 的受力图
题3-22图 物体A 和B 的受力图
解得：B s s AB G f f F ο
οο
ο15
sin 15cos 45cos 45sin +--=。

代入数据得：kN 5.0-=AB F 。

（2）取重物A 为研究对象，
∑=0x F ， 030cos mA =+F F AB ο
， ∑=0y F ， 030sin NA =+-F G F A AB ο
，
补充方程： NA s F f F =mA ，
解得：⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=οο30sin 30cos s AB A f F G 。

将数据代入，得：kN 37.1=A G 。

3-23利用劈尖原理升高重物的装置如图示。

设重物重20 kN ，各接触面间的摩擦角均为12°，不计劈尖的重量，计算图示情况升高重物所需的最小水平力F 。

解：当重物有上升趋势时，劈尖B 有向右运动趋势。

各接触面间的摩擦力都达到最大值。

（1）取重物连同劈尖A 为研究对象，
∑=0x F ， 018sin 12cos 21=-ο
οRA RA F F ，
∑=0y F ，
018cos 12sin 21=-+-A RA RA G F F ο
ο，
解得：A RA G F ο
ο
30cos 12cos 2=
， 即 kN 59.222=RA F 。

（2）取劈尖B 为研究对象，
∑=0y F ，018cos 12cos 2=-ο
οRA RB F F ，
∑=0x F ，018sin 12sin 2=--ο
οRA RB F F F ，
解得： 2
12
cos 30sin RA F F οο
=。

代入数据，得：kN 55.11=F 。

3-24起重绞车的制动装置由带动制动块的手柄和制动轮组成。

已知制动轮半径R=50cm ，鼓轮半径r=30 cm ，制动轮与制动块间的摩擦因数4.0=s f ，被提升的重物重G=1000 N ，手柄长cm 10b cm,60,cm 300===a l ，不计手柄和制动轮的重量，求能够制动所需。

解：当力F 为最小值时，制动轮有逆时针转动趋势，触面间的摩擦力达到最大值。

（1）取制动轮为研究对象， 0=∑O m ,0=⋅-⋅r G R F m ,
G R
r F m =
, 摩擦定律：N s m F f F =
G Rf r
F s
N =∴。

(2) 取手柄连同制动块为研究对象，
题3-23图 物体A 和B 的受力图
题3-24图 制动轮和手柄的受力图
0=∑A m ，0=⋅-⋅+⋅-L F a F b F N m ， ()G bf a LRf r
F s s
-= 代入数据，得：N 280=F 。

3-25砖夹的宽度为250 mm ，曲杆AGB 与GCED 在G 点铰接，尺寸如图所示。

设砖重P =120 N ，提起砖的力F 作用在砖夹的中线上，砖夹与砖间的摩擦因数5.0=s f 。

求距离d 为多大时才能把砖夹起。

解：当距离d 取最大值时，系统处于临界平衡状态，此时，全反力与正压力之间的夹角为摩擦角。

（1）折杆GCED 为研究对象，此折杆为二力构件，其约束力一定沿着GD 连线。

因此，平衡条件为：
s ϕϑ≤，即，s f b
≤-=
30
250tan ϑ，
mm 110≤b .
(2)取图示折杆AGB 连同折杆GCED 为研究对象，由三力平衡汇交定理知，A 处全反力必与D 处全反力对称地交于一点。

因此，当D 处不滑动时A 处必也不滑动。

3-26图示重100 N 、高H =20 cm 、底面直径d =10 cm 的正圆锥体放在斜面上。

静摩擦因数5.0=s f ，质心C 的位置h=H /4。

求锥体在斜面上保持静止时作用于圆锥顶点的水平力P
F 的大小。

解：取圆锥体为研究对象。

（1）设力P F 较小，圆锥体有下滑或逆时针翻倒趋势。

0=∑x F ，0sin cos =-+ϑϑG F F P ，
ϑϑcos sin P F G F -=； 0=∑y F ，
0cos sin =--ϑϑG F F P N ，
解得： ϑϑcos sin G F F P N +=；
其中ϑ为斜面倾角。

最大静滑动摩擦力 N s m F f F =。

不滑动条件：N s m F f F F =≤。

解得：)tan(s P G F ϕϑ-≥，其中s ϕ为摩擦角。

0=∑O m ，0sin cos =⨯+⨯--h G H F b F P N ϑϑ，
()()[]s s s
H
b ϕϑϑϕϑϑϕ---=
sin cos 4cos sin cos 4.
代入数据，得：cm 52
cm 63.1=<<=d
b ，所以，圆锥在滑动临界状态时不会翻倒。

P F 的
题3-25图 受力图（1） 受力图（2）
题3-26图 受力图（1） 受力图（2）
下限要求 N 0.6≥P F 。

（2）设力P F 较大，圆锥体有上滑或顺时针翻倒趋势。

0=∑x F ，0sin cos =-+-ϑϑG F F P ， ϑϑcos sin P F G F +-=， 0=∑y F ，0cos sin =--ϑϑG F F P N ， ϑϑcos sin G F F P N +=； 最大静滑动摩擦力 N s m F f F =。

不滑动条件：N s m F f F F =≤。

解得：)tan(s P G F ϕϑ+≤。

0=∑O m ，0sin cos =⨯+⨯-h G H F b F P N ϑϑ，
()()[]s s s
H
b ϕϑϑϕϑϑϕ+++-=
sin cos 4cos sin cos 4. 代入数据，得：cm 52
cm 62.14=>>=d
b 。

因此，在没有达到滑动临界状态时，圆锥已
经。

不翻倒的条件是2
d
b ≤，即 24cos sin sin cos 4d H G F G F b P P ≤+-=
ϑϑϑϑ 由此得，G d H H d F P ϑ
ϑϑ
ϑsin 2cos 4sin cos 2-+≤
，代入数据，得N 1.46≤P F 。

综上分析，P F 的取值范围为 N 1.46N 0.6≤≤P F 。

3-27攀登电线杆的脚套钩如图示。

设电线杆的直径d=300 mm ，A 和B 之间的的垂直距离b=-100 mm 。

若套钩与电线杆之间的摩擦因数5.0=s f 。

求工人操作时，为了安全，站在套钩上的最最小距离l 应为多大。

解：取套钩为研究对象，在平衡状态下，A 和B 点处的全反力作用线的交点只可能落在图示阴影区域内，按三力平衡汇交定理，第三个力的作用线必须穿过这个阴影区域，最最小距离l 是过C 点。

由几何关系得
b d l d l s s =⎪⎭⎫
⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+
ϕϕtan 2tan 2， 解得 s
f b
l 2=。

实际设计时，考虑到安全因素，
须 s
f b
l 2>，代入数据，得cm 100>l 。

3-28不计自重的拉门与上下滑道之间的静摩擦因数为s f ，门高为h 。

若在门上2 h /3处用水平力F 拉门而不致被卡住，求门宽b 的最小值。

问门的自重对不被卡住的门宽最小
值有否影响？
解：取门为研究对象，当门太窄时，在水平力作用下门有顺时针的角位移，使门的A 和E 点与门的上下滑道接触，设门处于滑动的临界平衡状态，受力图如图示，
0=∑E m ，03
2
2=+++h F b G h F b F mA NA ，
题3-27图 套购的受力图
题3-28图 门的受力图
0=∑x F ， 0=-+F F F mE mA ， 0=∑y F ，0=-+-G F F NE NA ，
补充方程：NA s mA F f F =，NE s mE F f F =。

以上5个方程联立，解得：h F
G f h f b s s 231+=。

由于门被卡住时平衡已与力F 的大小无关，令∞→F ，导出门不被卡住时的门宽b 的最小
值h f b s 3
1
min =，此时与门重无关。

3-29一半径为R 、重为P 1的轮静止在水平面上，如图示。

在轮上半径为r 的轴上绕有细绳，此绳跨过滑轮A ，在端部系一重为P 2的物体。

绳的AB 部分与铅直线成ϑ角。

求轮与水平面接触点C 处的滚阻力偶矩、滑动摩擦力和法向反力。

解：取轮为研究对象，2P F T =。

列平衡方程：
0=∑x F ，0sin =-ϑT F F ， 滑动摩擦力：ϑsin 2P F =； 0=∑y F ，0cos 1=+-ϑT N F P F ，
法向反力： ϑcos 21P P F N -=；
0=∑E m ，0=+-r F FR M T C ， 滚阻力偶矩：()r R P M C -=ϑsin 2。

3-30钢管车间的钢管运转台架，钢管依靠自重缓慢无滑动地滚下，钢管直径50mm 。

设钢管与台架间的滚阻系数mm 5.0=δ。

试决定台架的最小倾角ϑ的大小。

解：取钢管为研究对象，设钢管重为G ，且钢管处于临界滚动状态，
0=∑y F ，0cos =-ϑG F N ， ϑcos G F N =；
0=∑C m ，0sin =⋅-R G M C ϑ ϑsin GR M C =
在临界滚动状态，滚动摩阻力偶达到最
大值max ,f C M
M =。

其中，N f F M δ=max
,。

将N F 代入，得R
δ
ϑ=tan ，代入数据，'91min ο
=ϑ。

3-31汽车P =15 KN ， 车轮的直径为600 mm ，轮自重不计。

问发动机应给予后轮多大的力偶矩，方能使前轮越过高为80 mm 的阻碍物？并问此时后轮与地面的静摩擦因数应为多大才不致打滑？
解：（1）取汽车为研究对象。

设汽车处于将要翻过阻碍物的临界平衡状态，此时，前轮恰好与地面脱离，后轮的滑动摩擦力取最大值。

∑=0E m ，
()()())
(,
0sin 3.02.1cos 13.0sin 3.04.2a P F F mB NB =+--⋅-+ϑϑϑ
题3-29图 轮的受力图
题3-30图 钢管的受力图 题3-31图和汽车的受力图
其中1511cos =
ϑ，2615
2sin =ϑ。

（2）取车身为研究对象，设M 为驱动力偶。

∑=0A m ，02.14.2=-⨯-⨯M P F By 。

（b ）
（3）取车轮B 为研究对象，
∑=0B m ， 03.0=-⨯M F mB ， （c ）
0=∑y F ， 0=-By NB F F ， （d ）
补充方程： NB s mB F f F =， （e ）
将方程（a ）~（e ）联立，解得：752.0,m kN 867.1=⋅=s f M 。

即，发动机应给予后轮的力偶矩为m kN 867.1⋅≥M ，此时后轮与地面的静摩擦因数须752.0≥s f 。

3-32试指出图示桁架中的零杆。

解：对节点进行受力分析，可以判断出零杆，
研究对象 零杆号 研究对象 零杆号 节点A 1、4 节点D 13 节点B
7 整体 14 节点C
9
节点E
11
3-33计算图示桁架中标号的各杆的内力。

各垂直载荷的大小均为F ，已知：m 3=a ，
，。

解：（1）取整体为研究对象，
∑=0
B m ，
()0123456=++++-Fa aF A ， F F A 5.2=。

（2）取图示截面为研究对象， ∑=0C m ，
()02131=+-+aF a F b F A s ，
F b
a
F s 5
.41-=。

∑=0D m ，023=⋅+⋅-a F a F b F A s ，
F b
a F s 43=。

∑=0x F ，0sin 321=++s s s F F F ϑ， F b a
F s ϑ
sin 5.02=。

其中，5
3
sin =ϑ。

代入数据，得：
kN 0.15,kN 1.3,kN 9.16321==-=s s s F F F 。

题3-32图 节点A 、B 、C
题3-33图和整体和截面的受力图
3-34试指出图示桁架中的零杆，并求出AB 杆的内力。

解：（1）由节点的受力分析知，零杆为1、2、3、4号杆。

（2）取整体为研究对象， ∑=0D m ，
022=⋅+⋅a
F a F Cy ， 4
F
F Cy -=；
（3）取桁架的左半部（去掉零
杆）为对象，
∑=0E m ，045sin 2
5=++a F a F a
F Cy AB ο， 2
25F
F F AB =+； （a ）
（4） 取节点G 为对象，
∑=0y F ，02
2
8=-
F F ； （b ） （5）取三角形BHI 为对象，
∑=0B m
02
22285=+a F a F ， 085=+F F ， （c ）
联立方程（a ）~（c ），解得2
F
F AB -=。

3-35平面悬臂桁架受力如图示。

求杆1、2和3的内力。

解：(1)取Ⅰ截面右半部分为研究对象，
∑=0
D m ，()024662=++-⨯F F ，
F F 22=；（拉）
（2）取Ⅱ截面右半部分为研究对象，
∑=0
C m ，()064243
31=+++⨯⨯F F ，
F F F 33.53
16
1-=-=；
（3）取节点E 为研究对象，
∑=0y F ，0sin 23=-+F F F ϑ，
其中， ο87.36,2
5
.1tan ==
ϑϑ。

解得
F F 67.13-=
题3-34图和受力图
题3-35图和截面受力图
3-36平面桁架受力如图示。

ABC 为等边三角形，且AD=DB 。

求杆CD 的内力。

解：（1）取整体为研究对象，
∑=0B m ，060sin 2=+ο
Fa a F Ay ，
F F Ay 4
3
-
=； （2）取三角形ADE 为研究对象，
∑=0D m ，060sin 1=⨯+⨯a F a F Ay ο
，
2
1F
F =
； （3）取节点C 为研究对象，
∑=0x F ，030sin 30sin 41=-ο
οF F ， 41F F =；
∑=0
y F ，
030cos 30cos 41=++CD F F F οο，
解得：F F F CD 866.02
3
-=-
=。

题3-34图和截面受力图。