一次函数与方程不等式的关系

一次函数与方程、不等式的关系

一次函数与一元一次方程的关系：

一般的一元一次方程0kx b +=的解就是一次函数y kx b =+的图象与x 轴交点的横坐标。

直线与坐标轴的交点坐标的求法：

（1）直线y kx b =+与y 轴交点的横坐标是0，当x=0时，一次函数y kx b =+的函数值y b =，b 就是交点的纵坐标，即直线y kx b =+与y 轴的交点为（0,b ）

； （2）直线y kx b =+与x 轴交点的纵坐标是0，故令y=0，得到方程0kx b +=，解方程得

b x k =-，b

k -就是直线y kx b =+与x 轴交点的横坐标，即直线y kx b =+与x 轴的交点

为(,0)b

k

-.

一次函数与一元一次不等式的关系：

（1）一般的，一元一次不等式0(0)kx b kx b +>+<或的解集，就是使一次函数y=kx+b 的函数值大于0（或小于0）时自变量x 的取值范围。

（2）从图象上看，一元一次不等式0kx b +>的解集是直线y=kx+b 位于x 轴上方的部分所对应的自变量x 的取值范围；一元一次不等式0kx b +<的解集是直线y=kx+b 位于x 轴下方的部分所对应的自变量x 的取值范围； 一次函数与二元一次方程的关系：

（1）一次函数y=kx+b 图象上任意一点的坐标都是二元一次方程kx y b -=-的一组解； （2）以二元一次方程kx y b -=-的解为坐标的点都在一次函数y kx b =+的图象上 （3）对于同一个数学模型()y=kx+b k 0≠，若将其中的x 、y 看做变量，则它表示一个一次函数；若将x 、y 看做未知数，则它就是一个二元一次方程，二者本质相同 一次函数与二元一次方程组的关系：

两条直线1l ：11y k x b =+ ()10k ≠，2l ：22y k x b =+()20k ≠的交点坐标就是关于x 、y

的方程组11

22

y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解

用图象法解方程组：

画出二元一次方程组中的两个一次函数的图象，找出他们的交点，该交点坐标就是二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解的情况与对应的两条直线的位置关系之间的联系： 对于由两个二元一次方程组成的二元一次方程组111

222

a x

b y

c a x b y c +=⎧⎨

+=⎩，有以下规律：

（1）当

111

222

a b c a b c ==时，方程组有无数个解，对应的两直线重合； （2）当

111

222

a b c a b c =≠时，方程组无解，对应的两直线平行； （3）当

11

22

a b a b ≠时，方程组有唯一解，对应的两直线相交 对于直线11y k x b =+与22y k x b =+，有如下规律： （1）当1212,k k b b ==时，两直线重合； （2）当1212,k k b b =≠时，两直线平行； （3）当12,k k ≠时，两直线相交

练习题

1、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）

A 203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，

B 2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩，

C 2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，

D 20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，

2.一次函数y =kx +b （k ,b 是常数，k ≠0）的图象如图所示，则不等式kx +b ＞0的解集是（ ） A ．x ＞-2 B ．x ＞0 C ．x ＜-2 D ．x ＜0 y kx b =+

y

3、已知直线y kx b =+经过A （-2，-1）和B （-3,0）两点，则不等式组

1

02

x kx b <+<的解集为 。

4、已知一次函数的图象过点A （1，4），B （-1，0），求函数表达式，并画出它的图象，再利用图象求：

（1）当x 为何值时，0,0,0y y y >=<； （2）当30x -<<时，y 的取值范围； （3）当22x -≤≤时，y 的取值范围； 5、已知一次函数(24)(3)y m x n =++-，求

（1）m ，n 满足什么条件时，y 随x 的增大而增大？

（2）m ，n 满足什么条件时，函数的图象与y 轴的交点在x 轴下方？ （3）m ，n 满足什么条件时，函数的图象经过原点？ 6、画出函数21y x =+的图象，利用图象求： （1）方程210x +=的解； （2）不等式210x +≥的解集； （3）当3y ≤时，x 的取值范围； （4）当33y -≤≤时，x 的取值范围。

7、如图所示，直线y kx b =+经过点A （-1，-2）和B （-2,0），直线2y x =过点A,则不等式组20x kx b <+<的解集为 。 8、画出函数39y x =-的图象，结合图象； （1）求方程390x -=的解； （2）求不等式390x -≤的解集； （3）当3y =时，求x 的值； （4）当3y >时，求x 的范围。

9、作出函数31y x =+的图象，根据图象回答： （1）x 取什么值时，函数值y 大于零？ （2）x 取什么值时，函数值y 小于零？ （3）x 取什么值时，函数值y 小于-2？

7、若点A （2,a ）,B （,3b ）,C （,4c -）都在直线23y x =-上，试求,,a b c 的值，并判断这三个点的坐标是否为方程23y x -=-的解。（一次函数与二元一次方程的关系） 8、画出函数36y x =-与4y x =-+的图象，并利用图象解决下列问题：