正弦定理PPT教学课件

2x+y-4=0 (1)过点P且与直线l平行的直线方程为_x_-_2_y+__3_=_0__，
3x+y-5=0 或 x+3y(2)过点P且与直线l垂直的直线方程为7_=_0_________；
35 (3)过点P且直线l夹角为455°的直线方程5 为________；
10
2(4. )若点直P到线直l1线：L的mx距+离2为y+_6_=_0_，和 直 线 l2:x+(m-1)y+m21=0平行但不重合，-则1 m的值是______.
A1
设直线l与l1的夹角为θ，则
52
sin 2
2
52
B1
故θ=450
由直线l1：x+y+1=0的倾斜角为1350，
知直线l的倾斜角为00或900，
又由直线l过点P（3，1），故所求l的方程为x=3或y=1。
例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行
直 线 l1：x+y+1=0和 l2：x+y+6=0 段之长为5。求直线l的方程。 l2 l1 A
只
y1-
要有：点和
又斜由率直（线l可过点有P倾（3斜，角1）算，故，所也求可l的以方 、点P(4, 0) 关于直线5x 4 y 21 0
的对称点是 （ D ）
A（－6，8） B(－8，－6) C（6，8) D（－6，－
8解）：设点 P(4,0) 关于直线5x 4y 21 0
常依据上面结论去操作.
类型之二 两条直线所成的角及交点
例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行
直 线 l1：x+y+1=0 和 l2：x+y+6=0 截 得 的 线
段之长为5。求直线l的方程。
解:若直线l的斜率不存在，则
l2 l1 A
y P(3,1)
直线l的方程为x=3，
B
O
x
此时与l1、l2的交点分别是 A1（3，-4）和B1（3，-9）， 截得的线段AB的长
依逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的
角，l1到l2的角的范围是(0，π)．l1与l2所成的角是指不
大
tan θ k2 - k1
于直角的t角an，θ 简 称k2夹- k角1 .到角的公式是
1 k1k2 ，
夹
1 k1k2
角公式是 率都
，以上公式适用于两直线斜
点与直线的位置关系：
一、复习
1、a
b
a
b
cos
.
2、当a
b时
a
b
0.
3、如图，指出图中三向量的关系
ab c
c
b
a
二、引入
B
如图，Rt△ABC中，∠C=900，
c
三边分别为a、b、c
a
sinA= a c
c a sin A
sinB= b c
c b sin B
A
C
b
a bc
sin A sin B sin C
设点P（x0，y0）,直线L：Ax+By+C=0上，则有 （1）点在直线上：Ax0+By0+C=0； （2）点不在直线上，则有Ax0+By0+C≠0
（3）点 P(x0 , y0 ) 到直线l : Ax By C 0
为：
d Ax0 By0 C
A2 B2
的距离
（ 4 ） . 两 条 平 行 线 l1 ： Ax+By+C1=0 ， l2 ：
截得的线
y P(3,1)
〖解三〗设直线l与l1、l2分别相交于 B
O
x
A（x1，y1）、B（x2，y2），则
θ
x1+y1+1=0，x2+y2+6=0。
A1
两式相减，得（x1-x2）+（y1-y2）=5 ①联立 ① ②，可得 x1-x2=5 或
B1
x1-x2=0
y2y由)2〖2=上=5可思2知5维，点直②线又拨l的〗(倾x；斜1-角x要2为)求20+0直或y(1y9-线1y0-20=方，0程
课前热身
1、过点A(3，0)，且平行于直线2x 3y 0
的直线方程是_2_x___3_y__6_ 0
2、两直线 x 3y 2 0 与3x 3y 4 0
的夹角是___6_0_0 ______
3、两平行直线 y 2x 和y 2x 5
间的距离是 _____5_____
1、与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为 Ax+By+m=0 2、与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为 Bx-Ay+m=0
能力·思维·方法
类型之一 两条直线位置关系的判定与运用
1.已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0. 试确定 m、n的值，使 ①l1与l2相交于点P(m,-1)； ②l1∥l2； ③l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为-1.
【解题回顾】若直线l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2的必要条件是A1B2-A2B1=0， 而l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.解题中为避免讨论，
〖思维点拨〗 先讨论ｘ、ｙ系数为０的情况。
例2、(优化设计P105例1)等腰三角形一腰所
在直线l1 的方程是x 2y 2 0 ，底边所在直线l2
的方程是 x y 1 0 ，点（-2，0）在另一腰上， 求该腰所在直线 l3 的方程。
〖评述〗本题根据条件作出1 =2 的结论，
而后利用到角公式，最后利用点斜式求出l3
2、正弦定理 还有其他方法证明吗？
3、正弦定理 还可表示为
a b c ? sin A sin B sin C
（其中2R是△ABC的外接圆直径。）
1、课堂上，我们一起用向量证明了直角和锐角三角形 满足正弦定理 ，思考如何用向量证明钝角三角形 满足正弦定理 ？
2、正弦定理 还有其他方法证明吗？
3、正弦定理 还可表示为
B
解： b c sinB sin C
c
a
B 180 (A C)
A
b
C
180 (45 30)
105
b c sinB 10 sin105
sinC
sin 30
5( 6 2) 19
注：每个等式可视为一 个方程：知三求一
四、应用
2：在ABC中，已知a＝28 2 ，b＝28 3 ，A＝45°,求B和c.
x+y+1=0
得A 3k 2 , 4k 1
θ A1
（
k 1
k 1 ）
解方程组 y=k（x-3）+1 得B（ 3k 7 ， 9k 1 ）B1
x+y+6=0
k 1
k 1
由|AB|=5 (3k 2 3k 7)2 ( 4k 1 9k 1)2 52
得
k 1 k 1
k 1 k 1
解之，得k=0，即所求的直线方程为y=1
的方程。
例3(优化设计P105例3)已知点P（2，-1），
60°
A
B
四、应用
（1） b＝20，A＝60°，a＝20 3 ;
一解
（2） b＝20，A＝60°，a＝10 3 ;
一解
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
无解
C
20
20√3 60°
A
B
C
20
A 60°B C
20 A 60°
四、总结
0 A 90
A 90
条件
图形
解的 个数
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b ab
C
C
AD
C
D A B2 B1
C
AB
AD B
无解 一解 两解 一解
ab C
A
无解
a>b
C AB
一解
五、练习
ABC中，
（1）已知c＝ 3 ，A＝45°，B＝75°，则a＝__2__，
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2 3 ，则B＝_3_0_0_，
（3）已知c＝2，A＝45°， a＝2 6 ，则B＝_7_5_0_或__1_5_0.
综上可知，所求l的方程为x=3或y=1
例2、已知直线l经过点P（3，1），且被两平行
直 线 l1：x+y+1=0和 l2：x+y+6=0
段之长为5。求直线l的方程。 l2
〖解二〗由题意，直线l1、l2之间
l1 B
A
的距离为d= | 1 6 | 5 2
截得的线
y
P(3,1)
O
x
22
θ
且直线l被直线l1、l2所截的线段AB的长为5，
3
六、小结
1. 正弦定理
a bc sin A sin B sinC
是解斜三角形的工具之一.
注：每个等式可视为一 个方程：知三求一
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
如果已知两边及其夹角，如何解三角形呢？
1、课堂上，我们一起用向量证明了直角和锐角三角形 满足正弦定理 ，思考如何用向量证明钝角三角形 满足正弦定理 ？
a bc sin A sin B sinC
变形式：asinB=bsinA ，asinC=csinA ， csinB= bsinC
注：1、敢于从特殊中猜想一般规律。
2、向量是数学中解决问题的一