全国高中数学联赛山东赛区预赛试题

全国高中数学联赛山东赛区预赛试题

一、选择题（每小题6分，共60分） 1．数集{x x x -2

,}中x 的取值范围是 （ ）

A ．),(+∞-∞

B ．),0()0,(+∞⋃-∞

C ．),2()2,(+∞⋃-∞

D ．),2()2,0()0,(+∞⋃⋃-∞ 2．若012=++z z ，则2005z 的值是 （ ）

A ．1

B ．1-

C ．

i 2321±D ．i 2

321±- 3．函数x x y 2

4sin cos +=的最小正周期为 （ ）

A ．

4πB ．2

π

C ．π

D ．π2 4．随机抛掷一颗6个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点的骰子，其出现（即向上一面）的 点数的数学期望值为 （ ） A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5

5．函数cx bx ax x f ++=2

3

)(的图像如图，则下面关于c b a ,,符号判断正确的是 （ ）

A ．0,0,0<<>c b a

B ．0,0,0>>>c b a

C ．0,0,0><

D ．0,0,0<>

61011921110

1

1111

-++++C C C 被8除所得余数是

（ ）

A ．0

B ．2

C ．3

D ．5 7．不等式3

1

|1log 1|

3

1>+x 的解集为

（ ）

A ．)81,91(

B ．)27,31(

C ．)27,3()3,3

1(⋃ D ．)81,3()3,9

1(⋃

8．当2

2

π

π

≤

≤-

x 时，函数)(x f 满足x x f x f 2sin )(sin 3)sin (2=+-，则)(x f 是

（ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．既奇又偶函数

9．点P 在双曲线2

22a y x =-的右支上，21,A A

21122A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ）

A ．

30B ．

5.27 C ． 25D ． 5.22

10．正四面体ABCD 中，CD CF AB AE 4

1

,41==，则直线DE 和BF 所成角是 （ ） A ．134arccos B ．133arccos C ．134arccos -πD ．13

3

arccos -π

二、填空题（每小题6分，共24分） 11．已知函数⎩⎨

⎧≤<+-<≤---=1

0,101,1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为.

12．数列{n a }的前n 项和n S 满足n n a n S 2

=，若10031=a ，则2005a 等于.

13．设平面内的两个向量,12==，又k 与t 是两个不同时为零的实数，

若向量t )3(-+=与t k 2+-=互相垂直，则k 的极大值为.

14．在某次商品的有奖销售活动中，有n 人获三等奖（4≥n ），三等奖的奖品共有四种，每

个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的概率是. 三、解答题（共5小题，计66分）

15．（12分）某人购房向银行贷款s 元，年利率为p ，每两年向银行返还一次本息，十年

还清，要求每次向银行的付款数相同，那么十年付款的总额是多少？

16．（12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -的侧面C C AA 11的面积为

2

3

的菱形，1ACC ∠ 为锐角，侧面11A ABB ⊥侧面C C AA 11，且11===AC AB B A .

B

C

1

B 1

C

（1）求证11BC AA ⊥； （2）求11B A 到平面ABC 的距离.

17．（12分）设c bx x x f ++=2

)(（c b ,为常数），方程x x f =)(的两个实数根为

21,x x ，且满足01>x ，112>-x x .

（1）求证：)2(22

c b b +>；（2）若10x t <<，比较1x 与)(t f 的大小.

18．（15分）如图，过原点O 作抛物线px y 22

=（0>p ）的两条互相垂直的弦

OB OA ,，

再作AOB ∠的平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程.

19．（15分）圆周上有800个点，依顺时针方向标号依次为800,,2,1 .它们将圆周分成

800个间隙.任意选定一点染成红色，然后按如下规则逐次染红其余的一些点：若第k 号点已被染红，则可按顺时针方向经过k 个间隙，将所到达的那个点染红.如此继续下去，试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质

1．(·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )

A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a⊂α，b⊂β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l⊄β，且l∥α，则l∥β.

其中正确的命题是( )

A．①②B．②③C．②④D．③④

3．给出命题：

(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；

(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．

其中正确命题个数是( )

A．0B．1C．2D．3

4.(·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝

90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

5.(·曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平

面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中

点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距

离等于线段BC的长．其中正确的是( )

A．①②B．①②③C．①D．②③