备战中考数学圆的综合综合练习题.docx
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(附答案)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题（附答案）班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．在平面直角坐标系xOy中以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离2．如图，在平面直角坐标系xOy中以原点O为圆心的圆过点A(13,0)直线y=kx-3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为()A．22B．24C．10√5D．12√33．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DCB等于（）A．90°B．100°C．130°D．140°4．如图，在正五边形ABCDE中连接AD，则∠DAE的度数为（）A．46°B．56°C．36°D．26°5．如图，PA、PB为∠O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交∠O 于点D．下列结论不一定成立的是（）A．△BPA为等腰三角形B．AB与PD相互垂直平分C．点A，B都在以PO为直径的圆上D．PC为△BPA的边AB上的中线6．如图，四边形ABCD内接于半径为6的∠O中连接AC，若AB＝CD，∠ACB＝45°，∠ACD＝12∠BAC，则BC的长度为（）A．6 √3B．6 √2C．9 √3D．9 √27．如图，点A，B，D，C是∠O上的四个点，连结AB，CD并延长，相交于点E，若∠BOD=20°，∠AOC=90°，则∠E的度数为()A．30°B．35°C．45°D．55°8．∠ABC中∠C=Rt∠，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB，BC分别交于点E，D，则AE的长为()A．95B．125C．185D．3659．如图，AB为∠O的直径，点C在∠O上，若∠B=60°，则∠A等于（）A．80°B．50°C．40°D．30°10．两个圆的半径分别是2cm和7cm，圆心距是5cm，则这两个圆的位置关系是() A．外离B．内切C．相交D．外切11．已知正三角形的边长为12，则这个正三角形外接圆的半径是()A．B．C．D．12．一个扇形的弧长为4π，半径长为4，则该扇形的面积为（）A．4πB．6πC．8πD．12π二、填空题13．在Rt∠ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，求内切圆半径14．如图，∠C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO=120°，则∠C的半径为．15．一个立体图形的三视图如图所示，根据图中数据求得这个立体图形的侧面积为.16．一个半径为5cm的球形容器内装有水，若水面所在圆的直径为8cm，则容器内水的高度为cm.17．如图，在直角坐标系中以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，已知P（4，2）和A（2，0），则点B的坐标是．18．下面是“作一个30°角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A=30°．作法：如图①作射线AB；②在射线AB取一点O，以O为圆心，OA为半径作圆，与射线AB相交于点C；③以C为圆心，OC C为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠DAB即为所求的角．请回答：该尺规作图的依据是．三、综合题19．如图，在△ABC中AC=BC=BD，点O在AC边上，OC为⊙O的半径，AB是⊙O 的切线，切点为点D，OC=2，OA=2√2．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求阴影部分的面积．20．如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG=∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD=54，求EFAC的值．21．如图，四边形ABCD 内接于∠O，BD是∠O的直径，过点A作∠O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE∠CD；（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求∠O的半径．22．如图，∠O是∠ABC的外接圆，BC为∠O的直径，点E为∠ABC的内心，连接AE并延长交∠O 于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为∠O的切线．23．公元前5世纪，古希腊哲学家阿那克萨哥拉因“亵渎神灵罪”而被投人监狱，在狱中他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣．他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大，于是伟大的古希腊尺规作图几何三大问题之--的化圆为方问题诞生了：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积（1）设有一个半径为√3的圆，则这个圆的周长为，面积为，作化圆为方得到的正方形的边长为(计算结果保留π)（2）由于对尺规作图的限制(只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图)，包括化圆为方在内的几何三大问题都已被证明是不可能的．但若不受标尺的限制，化圆为方并非难事。
中考数学专项复习《圆的综合题》练习题(附答案)
中考数学专项复习《圆的综合题》练习题(附答案)一、单选题1．连接圆上的任意两点的线段叫做圆的（）.A．半径B．直径C．弦D．弧2．如图为△ABC和一圆的重叠情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70∘，∠B=60°，则CD̂的度数为何（）A．50∘B．60∘C．100∘D．120∘3．挂钟分针的长10cm，经过20分钟，它的针尖转过的路程是() A．20π3cm B．10πcm C．20πcm D．5πcm 4．已知，AB是∠O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（）A．∠A+∠B=900B．∠A=∠BC．∠A+∠B＞900D．∠A+∠B的值无法确定5．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2√3B．3√3C．4√3D．6√3 6．若一圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是()A．40°B．80°C．120°D．150°7．如图，AB是∠O的直径，∠CDB=40°，则∠ABC=（）A．40°B．50°C．60°D．80°8．如图，在平面直角坐标系中已知B(2，0)，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆⌢的长为（）.上，则FCA．√5πB．√5πC．5π2D．5π29．如图所示，矩形纸片ABCD中AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 10．如图，半径为5的⊙O中有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB=CD=8，则OE的长为（）A．3B．√3C．2 √3D．3 √2 11．已知在∠ABC中AB=AC=13，BC=10，那么∠ABC的内切圆的半径为（）A．103B．125C．2D．3 12．如图，AB为∠O直径，∠BCD＝30°，则∠ABD为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题13．在∠O中已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为. 14．如图，AB是∠O的直径，AC是∠O的切线，OC交∠O于点D，若∠C=40°，⌢的长为．（结果保留π）OA=9，则BD15．如果圆O的半径为3，圆P的半径为2，且OP=5，那么圆O和圆P的位置关系是．16．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为．17．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为cm2．（结果保留π）18．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB =.三、综合题19．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是AB⌢上异于A、B 的动点，过点C作CD∠OA于点D，作CE∠OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；⌢上运动时在CD、CG、DG中是否存在长度不变的线段？若存（2）当点C在AB在，请求出该线段的长度；（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．20．如图，∠ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与∠O相切于点D，OB与∠O相交于点E．（1）求证：AC是∠O的切线；（2）若BD= √3，BE=1．求阴影部分的面积．21．在数学活动课中同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知∠ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．22．如图，是一个地下排水管的横截面图，已知∠O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指AB⌢的中点到弦AB的距离）．求：（1）水面的宽度AB．（2）横截面浸没在水中的AB⌢的长（结果保留π）．23．如图，AB是∠O的直径，CD与∠O相切于点C，与AB的延长线交于D．（1）求证：∠ADC∠∠CDB；（2）若AC=2，AB= 32CD，求∠O半径．24．如图1，BC是∠O的直径，点A在∠O上，AD∠BC，垂足为D，AE⌢=AB⌢BE 分别交AD、AC于点F、G.（1）判断∠FAG的形状，并说明理由；（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】A 12．【答案】D 13．【答案】3 14．【答案】132π15．【答案】外切 16．【答案】2317．【答案】270π 18．【答案】28°19．【答案】（1）证明：连接OC 交DE 于M ．由矩形得OM ＝CM ，EM ＝DM ． ∵DG ＝HE ．∴EM ﹣EH ＝DM ﹣DG ． ∴HM ＝GM ．∴四边形OGCH 是平行四边形 （2）解：DG 不变．在矩形ODCE 中∵DE ＝OC ＝3． ∴DG ＝1（3）证明：设CD ＝x ，则CE ＝ √9−x 2 ．过C 作CN∠DE 于N ． 由DE•CN ＝CD•EC 得CN ＝ x √9−x 23 ．∴√x 2−(x √9−x 23)2＝ x 23 ．∴HN ＝3﹣1﹣ x 23 ＝ 6−x 23．∴3CH 2＝3[（ 6−x 23 ）2+（ x √9−x 23 ）2]＝12﹣x 2． ∴CD 2+3CH 2＝x 2+12﹣x 2＝12．20．【答案】（1）证明：连接OD ，作OF∠AC 于F ，如图，∵∠ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点 ∴AO∠BC ，AO 平分∠BAC ∵AB 与∠O 相切于点D ，∴OD∠AB 而OF∠AC ∴OF=OD∴AC 是∠O 的切线（2）解：在Rt∠BOD 中设∠O 的半径为r ，则OD=OE=r ，∴r 2+（ √3 ）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt∠AOD 中AD= √33 OD= √33∴阴影部分的面积=2S∠AOD ﹣S 扇形DOF=2× 12 ×1× √33 ﹣ 60⋅π⋅12360= √33 ﹣ π621．【答案】（1）解：如图所示：扇形CEF 为所求作的图形；（2）解：∵∠ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4∴AB= 4√2由（1）可知CD平分∠ACB∴CD∠AB∴CD= 2√2设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr= 90π×2√2180∴r= √22答：所制作圆锥底面的半径长为√2222．【答案】（1）解：过O作OH∠AB于H，并延长交∠O于D∴∠OHA＝90°，AH＝12AB∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm又∵OA＝OD＝50cm∴OH＝OD-HD＝25cm∴AH＝√OA2−OH2=√502−252=25√3cm ∴AB＝50 √3cm；（2）解：连接OB∵OA ＝50cm ，OH ＝25cm∴OH ＝ 12OA∵∠OHA ＝90° ∴∠OAH ＝30° ∴∠AOH ＝60° ∵OA ＝OB ，OH∠AB ∴∠BOH ＝∠AOH ＝60° ∴∠AOB ＝120°∴AB⌢ 的长是： 120π×50180=100π3 cm ． 23．【答案】（1）证明：如图，连接CO∵CD 与∠O 相切于点C ∴∠OCD=90° ∵AB 是圆O 的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ACO=∠BCD ∵∠ACO=∠CAD ∴∠CAD=∠BCD 在∠ADC 和∠CDB 中{∠CAD =∠BCD ∠ADC =∠CDB∴∠ADC∠∠CDB ． （2）解：设CD 为x则AB= 32 x ，OC=OB= 34 x∵∠OCD=90°∴OD= √OC 2+CD 2 = √(34x)2+x 2 = 54 x∴BD=OD ﹣OB= 54x ﹣ 34 x= 12 x由（1）知，∠ADC∠∠CDB∴AC CB = CD BD即 2CB =x 12x解得CB=1∴AB= √AC 2+BC 2 = √5∴∠O 半径是 √5224．【答案】（1）解：结论：∠FAG 是等腰三角形；理由：如图1∵BC 为直径∴∠BAD +∠CAD =90° ∴∠BAD =∠C ∵AE⌢=AB ⌢ ∴∠ABE =∠C ∴∠ABE =∠BAD ∴AF =BF∵∠BAD +∠CAD =90° ∴∠DAC =∠AGB ∴FA =FG∴△FAG 是等腰三角形； （2）解：（1）中的结论成立； ∵BC 为直径∴∠BAD +∠CAD =90°∴∠BAD=∠C∵AE⌢=AB⌢∴∠ABE=∠C∴∠ABE=∠BAD∴AF=BF∵∠BAD+∠CAD=90°∴∠DAC=∠AGB∴FA=FG∴△FAG是等腰三角形；（3）解：由（2）得：AF=BF=FG∵BG=26∴FB=13∴{BD−DF=7BD2+DF2=169解得：BD=12∴AD=AF−DF=13−5=8∴AB=√AD2+BD2=√82+122=4√13.第11页共11。
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案
中考数学《圆》专项复习综合练习题-附带答案一、单选题1．如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠BOC的大小是（）A．22°B．32°C．136°D．68°2．已知两圆半径分别为4和7，圆心距为3 ，那么这两个圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切3．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB 点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是A．90°B．60°C．45°D．30°4．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2 √5，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．√21B．√41C．4 √5D．3 √55．如图，点D E F分别在△ABC的三边上，AB=AC∠A=∠EDF=90°与∠EFD=30°AB=1下列结论正确的是（）A．BD可求BE不可求B．BD不可求BE可求C．BD BE均可求D．BD BE均不可求6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° AC=3，以点C为圆心， CA为半径的圆与AB交于点D，若点D恰好为线段AB的中点，则AB的长度为（）B．3 C．9 D．6A．327．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，AE=DE， BC=CE，过点O作OF⊥AC于点F，延长FO 交BE于点G ，若DE=6，EG=4，则AB的长为（）A．4√5B．8√3C．13 D．148．如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形…，重复上述过程，经过2018次后所得到的正六边形边长是原正六边形边长的（）A．（√2）2016倍B．（√3）2017倍C．（√3）2018倍D．（√2）2019倍二、填空题9．如图，PA、PB切⊙O于点A、B ，已知⊙O半径为2 且∠APB=60°，则AB= ．10．如图，矩形ABCD中，BC＝4 CD＝2 以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为.（结果保留π）11．如图，两边平行的刻度尺在圆上移动当刻度尺的一边与直径为6.5cm的圆相切时另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm）则刻度尺的宽为 cm．12．如图，两圆相交于A、B两点小圆经过大圆的圆心O 点C D分别在两圆上若∠ADB＝100°则∠ACB的度数为。
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(带答案)
中考数学总复习《圆的综合题》练习题(带答案)班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，⊙O与矩形ABCD的边AB，CD，AD相切，切点分别为E，F，G，边BC与⊙O交于M，N两点．下列五组条件中，能求出⊙O半径的有①已知AB，MN的长；②已知AB，BM的长；③已知AB,BN的长；④已知BE，BN的长；⑤已知BM，BN的长．（）A．2组B．3组C．4组D．5组2．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，则圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有（）个．A．1B．2C．3D．03．嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为()A．3m B．134m C．154m D．5m4．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是() A．120°B．180°C．240°D．300°5．半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB2+CD2＝（）A．28B．26C．18D．356．如图，⊙O与⊙ABC的边AB，AC相切于点B，D，若圆心O在BC边上，⊙C=30°，OC=2，则图中阴影部分的面积是（）A．π6B．π3C．2π3D．4π37．如图，小明从点A出发沿直线前进9米到达点B，向左转45∘后又沿直线前进9米到达点C，再向左转45∘后沿直线前进9米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（）A．72米B．80米C．100米D．64米8．已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为A．1⊙2B．2⊙1C．1⊙4D．4⊙19．已知四个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并且与直线y=√33x相切，设半圆C1、C2、C3、C4的半径分别是r1、r2、r3、r4，则当r1=1时，r4=（）A．3B．32C．33D．3410．如图，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，OP交⊙O于点C，点D是优弧ABC∧上不与点A、点C重合的一个动点，连接AD、CD，若⊙APB=80°，则⊙ADC的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°11．如图，AB是⊙O的直径，C为圆内一点，则下列说法正确的是（）A．∠BOC是圆心角B．AC是⊙O的弦C．∠C是圆周角D．AC+OC<12AB12．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A．2π3B．2 √3﹣π3C．2 √3﹣2π3D．4 √3﹣2π3二、填空题13．如图，半径为2的⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A，D，C，且与AB相切于点A，则菱形的边长为．14．若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长．15．如图，则⊙ABC中，⊙BAC=100°，AB=AC=4，以点B为圆心，BA长为半径作圆弧，交BC于点D，则AD̂的长为．（结果保留π）16．某个正多边形有一个外角是36°，则这个正多边形是边形.17．有一扇形的铁皮，其半径为30cm，圆心角为60∘，若用此扇形铁皮围成一个圆锥形的教具（不计接缝），则此圆锥的高是．18．如图，⊙O的半径为4，AB为⊙O的直径，⊙ABC=90°，直线CE与⊙O相切于点D，交BA的延长线于点E，A为OE的中点，则AC的长是.三、综合题19．如图，AB为⊙ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．（1）求证：⊙PAE⊙⊙PEC；（2）求证：PE为⊙O的切线；（3）若⊙B=30°，AP= 12AC，求证：DO=DP．20．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（3，0），B（-3，0），D是y轴上的一个动点，⊙ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的OM交于点E，DE平分⊙ADC，连结AE，BD。
备战中考数学圆的综合综合练习题含详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．（1）OC的长为；（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t （秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．【答案】（1）4；（2）35；（3）点E的坐标为（1，2）、（53，103）、（4，2）．【解析】分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，∴tan∠BAH=BHHA=1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．故答案为4．（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．由（1）得：OH =2，BH =4．∵OC 与⊙M 相切于N ，∴MN ⊥OC ．设圆的半径为r ，则MN =MB =MD =r ．∵BC ⊥OC ，OA ⊥OC ，∴BC ∥MN ∥OA ．∵BM =DM ，∴CN =ON ，∴MN =12（BC +OD ），∴OD =2r ﹣2，∴DH =OD OH -=24r -．在Rt △BHD 中，∵∠BHD =90°，∴BD 2=BH 2+DH 2，∴（2r ）2=42+（2r ﹣4）2．解得：r =2，∴DH =0，即点D 与点H 重合，∴BD ⊥0A ，BD =AD ．∵BD 是⊙M 的直径，∴∠BGD =90°，即DG ⊥AB ，∴BG =AG ．∵GF ⊥OA ，BD ⊥OA ，∴GF ∥BD ，∴△AFG ∽△ADB ， ∴AF AD =GF BD =AG AB =12，∴AF =12AD =2，GF =12BD =2，∴OF =4，∴OG同理可得：OB AB ，∴BG =12AB ．设OR =x ，则RG x ．∵BR ⊥OG ，∴∠BRO =∠BRG =90°，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=BG 2﹣RG 2，∴（2﹣x 2=（）2﹣（x ）2．解得：x =5，∴BR 2=OB 2﹣OR 2=（2﹣（5）2=365，∴BR =5．在Rt △ORB 中，sin ∠BOR =BR OB35． 故答案为35． （3）①当∠BDE =90°时，点D 在直线PE 上，如图2．此时DP =OC =4，BD +OP =BD +CD =BC =2，BD =t ，OP =t ． 则有2t =2．解得：t =1．则OP =CD =DB =1．∵DE ∥OC ，∴△BDE ∽△BCO ，∴DE OC =BD BC =12，∴DE =2，∴EP =2， ∴点E 的坐标为（1，2）．②当∠BED =90°时，如图3．∵∠DBE =OBC ，∠DEB =∠BCO =90°，∴△DBE ∽△OBC ，∴BEBC =2DB BE OB ∴，∴BE =5t ． ∵PE ∥OC ，∴∠OEP =∠BOC ．∵∠OPE =∠BCO =90°，∴△OPE ∽△BCO ，∴OEOB =25OPBC∴，=2t，∴OE=5t．∵OE+BE=OB=255，∴t+5t=25．解得：t=53，∴OP=53，OE=55，∴PE=22OE OP-=103，∴点E的坐标为（51033，）．③当∠DBE=90°时，如图4．此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．则有OD=PE，EA=22PE PA+=2（6﹣t）=62﹣2?t，∴BE=BA﹣EA=42﹣（62﹣2t）=2t﹣22．∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．在Rt△DBE中，cos∠BED=BEDE=2，∴DE=2BE，∴t=22（t﹣22）=2t﹣4．解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（51033，）、（4，2）．点睛：本题考查了圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义、平行线分线段成比例、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，还考查了分类讨论的数学思想，有一定的综合性．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D在BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形．（1）求证：AC=CE；（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；（3）已知⊙O的半径为3．①若ABAC=53，求BC的长；②当ABAC为何值时，AB•AC的值最大？【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2；②3 2【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF∽△BGA得BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，将BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；（3）①设AB=5k、AC=3k，由BC2-AC2=AB•AC知6k，连接ED交BC于点M，Rt△DMC中由DC=AC=3k、MC=126k求得22CD CM-3，可知OM=OD-3，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2可得答案．②设OM=d，则MD=3-d，MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=（2MC）2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d）2+9-d2，由（2）得AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．详解：（1）∵四边形EBDC为菱形，∴∠D=∠BEC，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠A+∠D=180°，又∠BEC+∠AEC=180°，∴∠A=∠AEC，∴AC=CE；（2）以点C为圆心，CE长为半径作⊙C，与BC交于点F，于BC延长线交于点G，则CF=CG，由（1）知AC=CE=CD，∴CF=CG=AC，∵四边形AEFG是⊙C的内接四边形，∴∠G+∠AEF=180°，又∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠G=∠BEF，∵∠EBF=∠GBA，∴△BEF∽△BGA，∴BE BGBF BA=，即BF•BG=BE•AB，∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即BC2﹣AC2=AB•AC；（3）设AB=5k、AC=3k，∵BC2﹣AC2=AB•AC，∴6k，连接ED交BC于点M，∵四边形BDCE是菱形，∴DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，在Rt△DMC中，DC=AC=3k，MC=126k，∴223CD CM k-=，∴OM=OD﹣DM=33k，在Rt△COM中，由OM2+MC2=OC2得（33）2+6k）2=32，解得：k=33或k=0（舍），∴62；②设OM=d，则MD=3﹣d，MC2=OC2﹣OM2=9﹣d2，∴BC 2=（2MC ）2=36﹣4d 2，AC 2=DC 2=DM 2+CM 2=（3﹣d ）2+9﹣d 2，由（2）得AB•AC=BC 2﹣AC 2=﹣4d 2+6d+18=﹣4（d ﹣34）2+814， ∴当d=34，即OM=34时，AB•AC 最大，最大值为814， ∴DC 2=272， ∴AC=DC=362， ∴AB=964，此时32AB AC =． 点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．3．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切（2）如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．4．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，⊙O 交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ．过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若AB ＝4，∠C ＝30°，求劣弧BE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）43π 【解析】分析：（1）连接AD 、OD ，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD ，再根据中位线的性质求出OD ⊥DF ，进而根据切线的判定证明即可；（2）连接OE ，根据三角形的外角求出∠BAE 的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE 的度数，根据弧长公式求解即可.详解：（1）连接AD 、OD ．∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°．∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD ，又∵OA ＝OB ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF即∠ODF ＝90°．∴DF 为⊙O 的切线；（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，∴＝·4π＝π．点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．5．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝12，求AB和FC的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ，403 CF【解析】分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.6．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．（1）尺规作图：求作△ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB的垂直平分线；②作线段BC的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆．如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC＝3，如图弦AC所对的圆周角是∠ABC=30°，所以圆心角∠AOC=60°，所以∆AOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．（2）连接OA，OB．∵AC=3，∠ABC=30°，∴∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴圆的半径是3，∴圆的面积是S=πr2=9π．7．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．（1）当t=0时，点F的坐标为；（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标；（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论； （3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论；（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°，∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t =，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，t 的值为245或325． 点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO =30°，解（3）的关键是判断出当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt △FAE ∽Rt △ABD ，是一道中等难度的中考常考题．8．如图1，等边△ABC 的边长为3，分别以顶点B 、A 、C 为圆心，BA 长为半径作AC 、CB 、BA ，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l 为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A 与线段MN 作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A 与端点N 重合，则线段MN 的长为 ； （2）如图3，将这个图形的顶点A 与等边△DEF 的顶点D 重合，且AB ⊥DE ，DE =2π，将它沿等边△DEF 的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B 与⊙O 的圆心O 重合，⊙O 的半径为3，将它沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为 （请用含n 的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AC BC AB ==，∴AC BC l l ==AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为AC BC AB l l l ++=3π．故答案为3π；（2）如图1．∵等边△DEF的边长为2π，等边△ABC的边长为3，∴S矩形AGHF=2π×3=6π，由题意知，AB⊥DE，AG⊥AF，∴∠BAG=120°，∴S扇形BAG=21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S矩形AGHF+S扇形BAG）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI并延长交AC于D．∵I是△ABC的重心也是内心，∴∠DAI=30°，AD=12AC=32，∴OI=AI=3230ADcos DAI cos∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I所经过的路径是以O为圆心，OI为半径的圆周，∴当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为n•2π•3=23nπ．故答案为23nπ．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出AC的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I第一次回到起点时，I的路径，是一道中等难度的题目．9．如图1，是用量角器一个角的操作示意图，量角器的读数从M点开始（即M点的读数为0），如图2，把这个量角器与一块30°（∠CAB＝30°）角的三角板拼在一起，三角板的斜边AB与量角器所在圆的直径MN重合，现有射线C绕点C从CA开始沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转到与CB，在旋转过程中，射线CP与量角器的半圆弧交于E．连接BE．（1）当射线CP经过AB的中点时，点E处的读数是，此时△BCE的形状是；（2）设旋转x秒后，点E处的读数为y，求y与x的函数关系式；（3）当CP旋转多少秒时，△BCE是等腰三角形？【答案】（1）60°，直角三角形；（2）y＝4x（0≤x≤45）；（3）7.5秒或30秒【解析】【分析】（1）根据圆周角定理即可解决问题；（2）如图2﹣2中，由题意∠ACE＝2x，∠AOE＝y，根据圆周角定理可知∠AOE＝2∠ACE，可得y＝2x（0≤x≤45）；（3）分两种情形分别讨论求解即可；【详解】解：（1）如图2﹣1中，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴OA＝OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOE＝60°，∴点E处的读数是60°，∵∠E＝∠BAC＝30°，OE＝OB，∴∠OBE＝∠E＝30°，∴∠EBC＝∠OBE+∠ABC＝90°，∴△EBC是直角三角形；故答案为60°，直角三角形；（2）如图2﹣2中，∵∠ACE＝2x，∠AOE＝y，∵∠AOE＝2∠ACE，∴y＝4x（0≤x≤45）．（3）①如图2﹣3中，当EB＝EC时，EO垂直平分线段BC，∵AC⊥BC，∵EO∥AC，∴∠AOE＝∠BAC＝30°，∠AOE＝15°，∴∠ECA＝12∴x＝7.5．②若2﹣4中，当BE＝BC时，易知∠BEC＝∠BAC＝∠BCE＝30°，∴∠OBE＝∠OBC＝60°，∵OE＝OB，∴△OBE是等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠AOB＝120°，∠ACB＝60°，∴∠ACE＝12∴x＝30，综上所述，当CP旋转7.5秒或30秒时，△BCE是等腰三角形；【点睛】本题考查几何变换综合题、创新题目、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．10．如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．【答案】(1) B（，2）．(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；（2）连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），∴AN=4，∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，∴AB=2AN=8，∴由勾股定理可知：NB=，∴B（，2）．（2）连接MC，NC∵AN是⊙M的直径，∴∠ACN=90°，∴∠NCB=90°，在Rt△NCB中，D为NB的中点，∴CD=NB=ND，∴∠CND=∠NCD，∵MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∵∠MNC+∠CND=90°，∴∠MCN+∠NCD=90°，即MC⊥CD．∴直线CD是⊙M的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．。
备战中考数学圆的综合综合练习题附答案解析
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；（3）求DEBE的值.【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 2 -【解析】试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，DH=21-, 然后根据相似三角形的性质可求解.试题解析：（1）∵D是的中点∴AD=DC∴∠CBD=∠ABD∴BD平分∠ABC（2）提示：延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,BE=AF=2AD（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，2，21, DEBE=DHBCDE BE =2122．如图AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若⊙OD半径为3，AE=5，（1）求证：CM⊥AD；（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）5【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接OC∵CM切⊙O于点C，∴∠OCE=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD=BC，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD，∴∠B=∠D∵∠B=∠OCB∴∠D=∠OCB∴OC∥AD∴∠CED=∠OCE=90°∴CM⊥AD.（2）∵OA=OB，BC=CD∴OC=12AD∴AD=6∴DE=AD-AE=1易证△CDE～△ACE∴CE DEAE CE∴CE2=AE×DE∴CE=5点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间的关系是解题关键，是中档题.3．如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．（1）求证：DA是⊙O切线；（2）求证：△CED∽△ACD；（3）若OA=1，sinD=13，求AE的长．【答案】（1）证明见解析；（22【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；（3）在Rt△AOD中，OA=1，sin D=13，∴OD=OAsinD=3，∴CD=OD﹣OC=2．∵AD=22OD OA-=22．又∵△CED∽△ACD，∴AD CDCD DE=，∴DE=2CDAD=2，∴AE=AD﹣DE=22﹣2=2．点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得△DEC∽△DCA是解题的关键．4．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O 于点M，连接MD，ME．求证：（1）DE⊥AB；（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．详解：证明：（1）连接OC，∵HC=HG，∴∠HCG=∠HGC；∵HC切⊙O于C点，∴∠OCB+∠HCG=90°；∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵∠HGC=∠BGF，∴∠OBC+∠BGF=90°，∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；（2）连接BE，由（1）知DE ⊥AB ，∵AB 是⊙O 的直径， ∴，∴∠BED=∠BME ；∵四边形BMDE 内接于⊙O ，∴∠HMD=∠BED ，∴∠HMD=∠BME ；∵∠BME 是△HEM 的外角，∴∠BME=∠MHE+∠MEH ，∴∠HMD=∠MHE+∠MEH ．点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．5．如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明;(2)求证:AE BF =;(3)若3(22)OG DE =-，求⊙O 的面积.【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π【解析】试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可；（2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明；（3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =12AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴BD DE AD DB=，即BD 2=AD •DE ，∴22622BD AD DE OG DE =⋅=⋅=-（）．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得22222422x -=-（）（），∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x ==⋅=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π•（6）2=6π．点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．6．如图，AB 是⊙O 的直径，D 、D 为⊙O 上两点，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，且CE=CF.（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）连接CD 、CB ，若AD=CD=a ，求四边形ABCD 面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB 是等边三角形，在Rt △CFB 中，CF ＝， ∴S 四边形ABCD ＝ （DC ＋AB ）•CF ＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．7．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA 上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO.(1)求⊙M 的半径；(2)求证：BD 平分∠ABO ；(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．【答案】（1）M 的半径r 2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为262)． 【解析】 试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 6，0），点B 为（02） ∴62 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：2∴M 的半径r=122. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴2∴2－22在Rt △AOB 中，3OA OB=∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，263=∴点E 262）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.8．AB 是⊙O 直径，在AB 的异侧分别有定点C 和动点P ，如图所示，点P 在半圆弧AB 上运动（不与A 、B 重合），过C 作CP 的垂线CD ，交PB 的延长线于D ，已知5AB =，BC ∶CA ＝4∶3．（1）求证：AC ·CD ＝PC ·BC ；（2）当点P 运动到AB 弧的中点时，求CD 的长；（3）当点P 运动到什么位置时，PCD ∆的面积最大？请直接写出这个最大面积．【答案】(1)证明见解析；（2）CD 142；（3）当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=503. 【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠PCD=∠ACB=90°，可证△ABC ∽△PCD ，可得AC BC CP CD =,即可得证．（2）由题意可求BC=4，AC=3，由勾股定理可求CE 的长，由锐角三角函数可求PE 的长，即可得PC 的长，由AC•CD=PC•BC 可求CD 的值；（3）当点P 在AB 上运动时，12PCD S PC CD =⨯⨯，由（1）可得：43CD PC =，可得2142233PCD SPC PC PC =⨯⨯=，当PC 最大时，△PCD 的面积最大，而PC 为直径时最大，故可求解．【详解】证明：（1）∵AB 为直径，∴∠ACB =90°∵PC ⊥CD ，∴∠PCD =90°∴∠PCD =∠ACB ，且∠CAB =∠CPB ∴△ABC ∽△PCD ∴AC BC CP CD= ∴AC •CD =PC •BC（2）∵AB =5，BC ：CA =4：3，∠ACB =90° ∴BC =4，AC =3，当点P 运动到AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E ∵点P 是AB 的中点， ∴∠PCB =45°，且BC =4∴CE =BE =22BC 2 ∵∠CAB =∠CPB∴tan ∠CAB =43=BC AC =tan ∠CAB =BE PE ∴PE =322∴PC =PE +CE =3222=22 ∵AC •CD =PC •BC ∴3×CD =22×4∴CD =1423 （3）当点P 在AB 上运动时，S △PCD =12×PC ×CD ， 由（1）可得：CD =43PC ∴S △PCD =1423PC PC ⨯⨯=23PC 2， ∴当PC 最大时，△PCD 的面积最大， ∴当PC 为⊙O 直径时，△PCD 的最大面积=23×52=503 【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC 的长是本题的关键．9．如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线PA 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C 、D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM 交CD 于点N ，连接AC 、CM ．（1）求证：CM 2=MN.MA ；（2）若∠P=30°，PC=2，求CM 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）由CM DM =知CAM DCM ∠=∠，根∠CMA=∠NMC 据证ΔAMC ∽ΔCMN 即可得；（2）连接OA 、DM ，由直角三角形PAO 中∠P=30°知()1122OA PO PC CO ==+，据此求得OA=OC=2，再证三角形CMD 是等腰直角三角形得CM 的长．【详解】（1）O 中，M 点是半圆CD 的中点， ∴ CM DM =，CAM DCM ∴∠=∠，又CMA NMC ∠=∠，AMC CMN ∽∴∆∆，∴ CM AM MN CM =，即2·CM MN MA =； （2）连接OA 、DM ，PA 是O 的切线，90PAO ∴∠=︒，又30P ∠=︒， ()1122OA PO PC CO ∴==+， 设O 的半径为r ，2PC =，()122r r ∴=+， 解得：2r =，又CD 是直径，90CMD ∴∠=︒，CM DM =，CMD ∴∆是等腰直角三角形，∴在Rt CMD ∆中，由勾股定理得222CM DM CD +=，即()222216CM r ==， 则28CM =， 22CM ∴=．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质，解题的关键是掌握切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质等知识点10．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②27；（2）31312PQ PQ -≤≤+≠且；【解析】【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 的最小值为3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB ≌△AMN ，△APM 是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22+=，BC BN27∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．∴≤≤≠的取值范围是且PQ31PQ31PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
人教备战中考数学圆的综合综合练习题及详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，过点E 的切线与AB 的延长线交于点D ，连接BE ，过点O 作BE 的平行线，交⊙O 于点F ，交切线于点C ，连接AC （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）连接EF ，当∠D= °时，四边形FOBE 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）30. 【解析】 【分析】（1）由等角的转换证明出OCA OCE ∆∆≌，根据圆的位置关系证得AC 是⊙O 的切线. （2）根据四边形FOBE 是菱形，得到OF=OB=BF=EF ，得证OBE ∆为等边三角形，而得出60BOE ∠=︒，根据三角形内角和即可求出答案. 【详解】（1）证明：∵CD 与⊙O 相切于点E ， ∴OE CD ⊥， ∴90CEO ∠=︒， 又∵OC BE ，∴COE OEB ∠=∠，∠OBE=∠COA ∵OE=OB ，∴OEB OBE ∠=∠， ∴COE COA ∠=∠， 又∵OC=OC ，OA=OE ， ∴OCA OCE SAS ∆∆≌（）， ∴90CAO CEO ∠=∠=︒， 又∵AB 为⊙O 的直径， ∴AC 为⊙O 的切线；（2）解：∵四边形FOBE 是菱形， ∴OF=OB=BF=EF ， ∴OE=OB=BE ，∴OBE ∆为等边三角形， ∴60BOE ∠=︒，而OE CD ⊥， ∴30D ∠=︒． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键.2．如图，在ABC 中，90ACB ∠=，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O ．()1求证：BC 是O 的切线；()2若3AC =，4BC =，求tan EDB ∠的值．【答案】（1）见解析；（2）1tan 2EDB ∠=． 【解析】 【分析】()1连接OD ，如图，先证明OD//AC ，再利用AC BC ⊥得到OD BC ⊥，然后根据切线的判定定理得到结论；()2先利用勾股定理计算出AB 5=，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，OB 5r =-，再证明BDO ∽BCA ，利用相似比得到r ：()35r =-：5，解得15r 8=，接着利用勾股定理计算5BD 2=，则3CD 2=，利用正切定理得1tan 12∠=，然后证明1EDB ∠∠=，从而得到tan EDB ∠的值．【详解】()1证明：连接OD ，如图，AD 平分BAC ∠， 12∴∠=∠，OA OD =， 23∴∠=∠， 13∴∠=∠， //OD AC ∴， AC BC ⊥， OD BC ∴⊥，BC ∴是O 的切线；()2解：在RtACB 中，5AB ==，设O 的半径为r ，则OA OD r ==，5OB r =-，//OD AC ，BDO ∴∽BCA ，OD ∴：AC BO =：BA ，即r ：()35r =-：5，解得158r =， 158OD ∴=，258OB =，在Rt ODB 中，52BD ==， 32CD BC BD ∴=-=， 在Rt ACD 中，312tan 132CD AC ∠===， AE 为直径，90ADE ∴∠=， 90EDB ADC ∴∠+∠=， 190ADC ∠+∠=，1EDB ∴∠=∠，1tan 2EDB ∴∠=．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．3．如图，在RtΔABC 中，∠ABC=90°，AB=CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.（1）求证：AE=BF；（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.【答案】（1）（2）见解析；（3）9【解析】分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=12AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=12AC，∠CBD=∠C=45°，∴∠A=∠FBD．∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，A FBDAD BDEDA FDB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AED≌△BFD（ASA），∴AE=BF；（2）连接EF，BG．∵△AED ≌△BFD ，∴DE =DF ．∵∠EDF =90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF =45°． ∵∠G =∠A =45°，∴∠G =∠DEF ，∴GB ∥EF ，∴∠FEB =∠GBA ． ∵∠GBA =∠GDA ，∴∠FEB =∠GDA ；（3）∵AE =BF ，AE =2，∴BF =2．在Rt △EBF 中，∠EBF =90°，∴根据勾股定理得：EF 2=EB 2+BF 2．∵EB =4，BF =2，∴EF =2242+=25．∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =DEEF． ∵EF =25，∴DE =25×22=10． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴GE AE =EBED，即GE •ED =AE •EB ，∴10•GE =8，即GE =4105，则GD =GE +ED =9105． ∴1191011092252S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=．点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．4．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝33，求FC 的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案； （2）根据正切的性质求出EC 的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，∴∠OCB ＋∠ACO ＝90°. ∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCB. 又∵∠FCA ＝∠B ，∴∠FCA ＝∠OCB ， ∴∠FCA ＋∠ACO ＝90°，即∠FCO ＝90°， ∴FC ⊥OC ， ∴FC 是⊙O 切线．(2)解：∵AB ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴EC=AE tan ACE ∠== 设OA ＝OC ＝r ，则OE ＝OA －AE ＝r －4. 在Rt △OEC 中，OC 2＝OE 2＋CE 2，即r 2＝(r －4)2＋2，解得r ＝8. ∴OE ＝r －4＝4＝AE. ∵CE ⊥OA ，∴CA ＝CO ＝8， ∴△AOC 是等边三角形， ∴∠FOC ＝60°，∴∠F ＝30°. 在Rt △FOC 中，∵∠OCF ＝90°，OC ＝8，∠F ＝30°， ∴OF ＝2OC ＝16，∴FC=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC 的长是解题关键．5．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。
中考数学总复习《圆的综合题》练习题-附带答案
中考数学总复习《圆的综合题》练习题-附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，若∠BAC=20°.则∠D的大小为()A．100°B．110°C．120°D．130°2．如图，矩形ABCD为∠O的内接四边形，AB=2，BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交∠O于点F，则线段AF的长为（）A．B．5C．+1D．3．如图，在⊙O中∠AOB=90°，点C是优弧AB上一点，则∠ACB的度数为（）A．35°B．45°C．50°D．60°4．如图，∠O中弦AD∠BC，DA＝DC，∠AOC＝160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°5．如图，∠O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°6．已知AB，CD是两个不同圆的弦，如AB=CD，那么AB⏜与CD⏜的关系是（）A．AB=CD B．AB>CD C．AB<CD D．不能确定7．如图，在△ABC中∠C=90°，AB=7 ，AC=4以点C为圆心、CA为半径的圆交AB于点D，求弦AD的长为（）A．4√337B．327C．2√337D．1678．如图，AB是∠O的直径，弦MN∠AB，分别过M，N作AB的垂线，垂足为C，D．以下结论：①AC＝BD；②AM⌢=BN⌢；③若四边形MCDN是正方形，则MN＝12AB；④若M为AN⌢的中点，则D为OB中点；所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①②④C．①②D．①②③④9．将一个半径为8cm，面积为32πcm2的扇形铁皮围成一个圆锥形容器（不计接缝），那么这个圆锥形容器的高为（）A．4B．4√3C．4√5D．2√14 10．如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（）m．A．4√2B．5 C．√30D．2√1511．如图，在矩形ABCD中AB=3cm，AD=4cm若以点B为圆心，以4cm长为半径作OB，则下列选项中的各点在⊙B外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D 12．如图，⊙O的直径AB=6，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP= 1：5，则CD的长为（）．A．3B．4C．2√5D．√5二、填空题(共6题；共7分)13．若圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆弧的半径为．14．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，AB⌢m__=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为．15．如图，点E（0，3），O（0，0），C（4，0）在∠A上，BE是∠A上的一条弦．则sin∠OBE=．16．如图，在平面直角坐标系xOy中A（4，0），B（0，3），C（4，3），点I是∠ABC 的内心，则点I的坐标为；点I关于原点对称的点的坐标为．17．如图：P是∠O的直径BA延长线上一点，PD交∠O于点C，且PC=OD，如果∠P=24°，则∠DOB=18．已知AB是⊙O的弦，AB=8cm，OD⊥AB于点C，OC=3cm，则⊙O的半径是cm.三、综合题(共6题；共69分)19．如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作∠O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，此时有OA∠PE．（1）求证：AP=AO；（2）若tan∠OPB= 12，求弦AB的长；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 ．20．如图，PA 、PB 是∠O 的切线，A 、B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与∠O交于C 点，连接AC ，BC ．（1）求证：四边形ACBP 是菱形；（2）若∠O 半径为1，求菱形ACBP 的面积．21．已知，如图，在Rt∠ABC 中∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ．（1）按要求尺规作图：作AD 的垂直平分线(保留作图痕迹）；（2）若AD 的垂直平分线与AB 相交于点O ，以O 为圆心作圆，使得圆O 经过AD 两点．①求证：BC 是∠O 的切线；②若 CD =2√2，AD =2√6 ，求∠O 的半径．22．如图，已知AB 是∠O 的直径，弦CD 与直径AB 相交于点F ．点E 在∠O 外，作直线AE ，且∠EAC=∠D ．（1）求证：直线AE 是∠O 的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF 的长．23．如图，AH 是∠O 的直径，AE 平分∠FAH ，交∠O 于点E ，过点E 的直线FG∠AF ，垂足为F ，B 为半径OH 上一点，点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD上．（1）求证：直线FG是∠O的切线（2）若CD=10，EB=5，求∠O的直径24．如图，∠O是∠ABC的外接圆，AB为直径，D是∠O上一点，且弧CB=弧CD，CE∠DA交DA的延长线于点E.（1）求证：∠CAB＝∠CAE；（2）求证：CE是∠O的切线；（3）若AE＝1，BD＝4，求∠O的半径长.参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】D 12．【答案】C 13．【答案】1814．【答案】（32+48π）cm² 15．【答案】3516．【答案】（3，2）；（-3，-2） 17．【答案】72° 18．【答案】519．【答案】（1）证明：∵PG 平分∠EPF∴∠DPO=∠BPO ∵OA∠PE ∴∠DPO=∠POA ∴∠BPO=∠POA ∴PA=OA（2）解：过点O 作OH∠AB 于点H ，则AH=HB= 12AB∵tan∠OPB= OH PH =12，∴PH=2OH设OH=x ，则PH=2x由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH ﹣PA=2x ﹣10 ∵AH 2+OH 2=OA 2，∴（2x ﹣10）2+x 2=102 解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=8 ∴AH=6，∴AB=2AH=12（3）P、A、O、C；A、B、D、C；P、A、O、D；P、C、O、B 20．【答案】（1）证明：连接AO，BO，∵PA、PB是∠O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO= 1 2∠APB=30°∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，∴∠ACO=30°∴∠ACO=∠APO，∴AC=AP同理BC=PB，∴AC=BC=BP=AP，∴四边形ACBP是菱形（2）解：连接AB交PC于D∴AD∠PC，∴OA=1，∠AOP=60°，∴AD= √32OA= √32∴PD= 32，∴PC=3，AB= √3∴菱形ACBP的面积= 12AB•PC=2√32．21．【答案】（1）解：如图所示：（2）①证明：如图，连接OD，∵AD为∠BAC的角平分线∴∠CAD=∠BAD∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA∴∠CAD=∠ODA∴OD∠AC∴∠ODB=∠C=90°∴OD∠BC∵OD为∠O半径∴BC是∠O的切线．②如图，过点D作DH∠AB于H∵∠C=90°∴DC∠AC∵AD为∠BAC的角平分线∴DH=CD= 2√2在Rt∠ADH中AH=√AD2−DH2=√(2√6)2−(2√2)2=4设∠O半径为r，∴OA=OD=r∴OH=AH-OA=4-r在Rt∠OHD中∴r2=(4−r)2+(2√2)2∴r=3即∠O的半径为3．22．【答案】（1）解：连接BD ，如图∵AB 是∠O 的直径∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90° ∵∠EAC=∠ADC ，∠CDB=∠BAC ∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90° ∴直线AE 是∠O 的切线； （2）解：∵AB 是∠O 的直径∴∠ACB=90°在Rt∠ACB 中∠BAC=30° ∴AB=2BC=2×4=8由勾股定理得：AC=√82−42=4√3 在Rt∠ADB 中cos∠BAD =34=ADAB∴34=AD 8 ∴AD=6∴BD=√82−62 =2√7∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ∴∠DFB∠∠AFC ∴BF FC =BD AC∴BF103=2√74√3∴BF=5√219． 23．【答案】（1）【解答】解：如图1，连接OE∵OA=OE∴∠EAO=∠AEO∵AE 平分∠FAH∴∠EAO=∠FAE∴∠FAE=∠AEO∴AF∠OE∴∠AFE+∠OEF=180°∵AF∠GF∴∠AFE=∠OEF=90°∴OE∠GF∵点E 在圆上，OE 是半径∴GF 是∠O 的切线．（2）【解答】∵四边形ABCD 是矩形，CD=10∴AB=CD=10，∠ABE=90°设OA=OE=x ，则OB=10﹣x在Rt∠OBE 中∠OBE=90°，BE=5由勾股定理得：OB 2+BE 2=OE 2∴（10﹣x ）2+52=x 2∴x =54AH =2×254=254∴∠O 的直径为252．24．【答案】（1）证明：连接BD∵弧CB=弧CD∴∠CDB＝∠CBD，CD＝BC∵四边形ACBD是圆内接四边形∴∠CAE＝∠CBD，且∠CAB＝∠CDB∴∠CAB＝∠CAE（2）证明：连接OC∵AB为直径∴∠ACB＝90°＝∠AEC又∵∠CAB＝∠CAE∴∠ABC＝∠ACE∵OB＝OC∴∠BCO＝∠CBO∴∠BCO＝∠ACE∴∠ECO＝∠ACE+∠ACO＝∠BCO+∠ACO＝∠ACB＝90°∴EC∠OC∵OC是∠O的半径∴CE是∠O的切线（3）证明：过点C作CF∠AB于点F又∵∠CAB＝∠CAE，CE∠DA∴AE＝AF在∠CED和∠CFB中∵∠DEC=∠BFC=90°∠EDC=∠BFCCD=BC∴∠CED∠∠CFB（AAS）∴ED＝FB设AB＝x，则AD＝x﹣2在∠ABD中由勾股定理得，x2＝（x﹣2）2+42解得，x＝5∴∠O的半径的长为5 2。
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷-附参考答案
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷-附参考答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内C．点P在⊙O外D．无法确定2．如图，△ABC内接于⊙O，∠C=46°，连接OA，则∠OAB=（）A．44°B．45°C．54°D．67°3．下列命题：①三点确定一个圆；②相等的圆周角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；④等弧所对的圆心角相等；其中真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．34．若圆锥的底面半径长是5，母线长是13，则该圆锥的侧面面积是（）A．60B．60πC．65D．65π5．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（）A．3π2B．4π3C．4D．2+ 3π26．下列命题正确的个数有（）①长度相等的弧叫做等弧；②三点确定一个圆；③平分弦的直径垂直于弦；④弧相等，则弧所对的圆心角相等．A．1B．2C．3D．47．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（）A．πcm2B．2 πcm2C．6πcm2D．3πcm28．如图，AB是⊙O的直径，DB、DE分别切⊙O于点B、C，若⊙ACE=25°，则⊙D的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°9．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600米，E 为弧CD上一点，且OE⊙CD，垂足为F，OF=300√3米，则这段弯路的长度为A．200π米B．100π米C．400π米D．300π米10．如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点，AE=6，BE=2，CD=2 ，则⊙AED的度数是（）A．30°B．60°C．45°D．36°11．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，⊙CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（）A．√32B．12C．√33D．√312．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若⊙BOD=⊙BCD，则BD̂的长为（）A．πB．32πC．2πD．3π二、填空题(共6题；共7分)13．如图，△ABC中AB=2，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，AB1恰好经过点C，则阴影部分的面积为．14．如图，Rt⊙ABC中⊙C=90°，⊙A=30°，AB=4，以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O，若⊙O与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段AO的取值范围是．15．如图所示一张圆形光盘，已知光盘内直径为2cm，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，则另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的外直径是cm，该光盘的面积是cm2．16．如图，⊙O是△ABC的外接圆OB=√13，BC=4则tanA的值为．R，则AC 17．已知半径为R的半圆O，过直径AB上一点C，作CD⊙AB交半圆于点D，且CD=√32的长为18．如图，在矩形ABCD中AB=2，BC=4点E为BC上一动点，过点B作AE的垂线交AE于点F，连接DF则DF的最小值是．三、综合题(共6题；共60分)19．如图，在△ABC中以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点D，DE是⊙O的切线，且DE⊥BC 垂足为点E.（1）求证：AB=BC；（2）若DE=3，CE=6，求直径AB长.20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D.（1）若⊙BAD＝80°，求⊙DAC的度数；（2）如果AD＝6，AB＝8，求AC的长.21．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，AB=8cm，⊙BAC=30°，点D是弦AC上的一点.（1）若OD⊙AC，求OD长；（2）若CD=2OD，判断△ADO形状，并说明理由.22．如图，以⊙ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）设⊙CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan⊙BAC的值．23．如图，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，点D是弧BC的中点，连接并延长BD、CD，分别交AC、AB的延长线于点E、F.（1）求证：DF=DE（2）若BD=6，CE=8求⊙O的半径.24．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是弧BC的中点，过点D作EF垂直于直线AC,垂足为F，交AB的延长线于点E．（1）求证: EF是⊙O的切线；（2）若AF=6,EF=8，求⊙O的半径．参考答案1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】23π14．【答案】√3≤OA ≤43√3 15．【答案】10；24π 16．【答案】2317．【答案】12R 或32R 18．【答案】√17−119．【答案】（1）证明：连接OD .∵DE 是⊙O 的切线 ∴OD ⊥DE ∵DE ⊥BC ∴OD ∥BC ∴∠ODA =∠C又∵OD=OA∴∠ODA=∠OAD ∴∠OAD=∠C∴AB=BC（2）解：连接BD ∵AB为直径∴∠BDA=90°∴∠BDC=90°∴△DEB∼△CED∴DEBE=CEDE∴3BE=63∴BE=3 2∴BC=15 2∴AB=15 220．【答案】（1）解：如图，连接OC∵DC切⊙O于C∴OC⊙CF∴⊙ADC＝⊙OCD＝90°∴AD //OC∴⊙DAC＝⊙OCA∵OA＝OC∴⊙OAC＝⊙OCA∴⊙DAC＝⊙OAC∵⊙BAD＝80°∴⊙DAC＝12⊙BAD＝12×80°＝40°（2）解：连接BC.∵AB是直径∴⊙ACB＝90°＝⊙ADC ∵⊙DAC＝⊙BAC∴⊙ADC⊙⊙ACB∴ACAB=ADAC∵AD＝6，AB＝8∴AC8=6AC∴AC＝4 √3.21．【答案】（1）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∵AB=8cm，⊙BAC=30°∴BC=4∵OD⊙AC∴OD//BC∵OA=OB∴OD=12BC=2（2）△ADO是等腰三角形.理由如下：如图，过O作OQ⊥AC于Q,连接OC,∵AB=8,∠BAC=30°∴AC=AB·cos30°=8×√32=4√3∴CQ=AQ=2√3∴OQ=12OA=2设OD=x,则CD=2OD=2x∴DQ=2x−2√3由勾股定理可得：x2=(2x−2√3)2+22∴(√3x−4)2=0∴x1=x2=4√3 3∴AD=4√3−2×4√33=4√33=OD∴△ADO是等腰三角形.22．【答案】（1）证明：连接OD∵OD＝OB∴⊙ODB＝⊙OBD．∵AB是直径∴⊙ADB＝90°∴⊙CDB＝90°．∵E为BC的中点∴DE＝BE∴⊙EDB＝⊙EBD∴⊙ODB＋⊙EDB＝⊙OBD＋⊙EBD 即⊙EDO＝⊙EBO．∵BC是以AB为直径的⊙O的切线∴AB⊙BC∴⊙EBO ＝90°∴⊙ODE ＝90°∴DE 是⊙O 的切线（2）解：连接AE∵S 2＝5S 1，E 为BC 的中点∴S ⊙ACE ＝3S 1∴S ⊙ADE ＝2S 1∴AD =2DC∵⊙CBO ＝90°，⊙CDB ＝90° ∴⊙BDC⊙⊙ADB∴AD BD =DB DC∴DB 2＝AD •DC ，即 DB =√2DC∴DB AD =√2DC 2DC =√22∴tan⊙BAC ＝ DB AD =√2223．【答案】（1）解： ∵AB =AC AB ⏜=AC ⏜ ∵ 点 D 是 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点∴BD ⏜=CD ⏜∴AB ⏜+BD ⏜=AC ⏜+CD ⏜∴ABD ⏜=ACD ⏜∴∠ACD =∠ABD =90°在 △ACF △ABE 中{∠A =∠A AB =AC ∠ABE =∠ACF∴△ACF ≌△ABE(ASA)∴CF =BE又 ∵BD ⏜=CD ⏜∴BD =CD∴CF −CD =BE −BD ，即 DF =DE （2）解：连接 AD由（1）知 ∠ACD =90°∴AD 是 ⊙O 的直径∴∠DCE =90°又 ∵CD =BD =6在 Rt △DCE 中令 AB =AC =x ，在 Rt △ABE 中由 AB 2+BE 2=AE 2 ，得 x 2+(6+10)2=(x +8)2 解得 x =12 ，即 AC =12在 Rt △ACD 中∴⊙O 的半径为 12AD =3√5 24．【答案】（1）证明：连接OD ．∵EF⊙AF∴⊙F ＝90°．∵D 是 BC⌢ 的中点，∴BD ⌢=CD ⌢ ． ∴⊙EOD ＝⊙DOC ＝ 12⊙BOC ∵⊙A ＝ 12⊙BOC ，∴⊙A ＝⊙EOD ∴OD⊙AF ．∴⊙EDO ＝⊙F ＝90°．∴OD⊙EF∴EF 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt⊙AFE 中∵AF ＝6，EF ＝8 ∴AE =√AF 2+EF 2 ＝ √62+82 ＝10 设⊙O 半径为r ，∴EO ＝10﹣r ． ∵⊙A ＝⊙EOD ，⊙E ＝⊙E∴⊙EOD⊙⊙EAF ，∴OD AF ＝ OE EA ∴r 6=10−r 10 ．∴r ＝ 154 ，即⊙O 的半径为 154 ．。
中考数学总复习《圆的综合题》专题测试卷-含答案
中考数学总复习《圆的综合题》专题测试卷-含答案班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB=4，DE=CE+3，则CD的长为（）A．4B．5C．8D．102．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是（）A．4B．5C．6D．83．在平面直角坐标系xOy中，以点(3,4)为圆心，4为半径的圆（）A．与x轴相交，与y轴相切B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交D．与x轴相切，与y轴相离4．如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定5．如图，点P是⊙O外的一点，PA、PC是⊙O的切线，切点分别为A，C，AB是⊙O的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（）A．PO∥BCB．PD=2ODC．若∠ABC=2∠CPO，则⊙PAC是等边三角形D．若⊙PAC是等边三角形，则∠ABC=2∠CPO6．如图，AB是⊙O的直径，⊙C=15°，则⊙BAD的度数为（）A．45°B．55°C．60°D．75°7．如图，⊙O是⊙ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知⊙A=100°，⊙C=30°，则⊙DFE的度数是（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．在半径为12的⊙O中，150°的圆心角所对的弧长等于()A．10πB．12πC．24πD．5π9．如图，⊙A是⊙O的圆周角，⊙A=40°，则⊙BOC的度数为（）A．50°B．80°C．90°D．120°10．如图，在圆O中，半径OA=√61，弦BC=10，点Q是劣弧AC上的一个动点，连接BQ，作CP⊥BQ，垂足为P．在点Q移动的过程中，线段AP的最小值是（）A．6B．7C．8D．911．如图，点C、D在以AB为直径的半圆上，点O为圆心∠DCO=55°则∠CAD的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°12．如图，在矩形ABCD中AB＝3，BC＝2 √3以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则DE⌢的长为（）A．√33πB．πC．2√33πD．√3π二、填空题(共6题；共7分)13．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD=CD若⊙CAB=40°，则⊙CAD=．14．如图，OA是⊙O的一条半径，点P是OA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PB，点B为切点．若PA=1，PB=2则sin∠OPB=．15．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则⊙PCD的周长等于cm．16．现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）.餐桌两边AB 和CD平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝2米，AB＝1米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米.（结果保留π）17．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是弧BC上任意一点（不与B，C重合）AH=1CH=2.延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交⊙O于点N，连结BN交CE于点F，则OC=，HE⋅HF=.18．如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于E点，⊙O的半径是r，⊙PCD周长为4r，则tan⊙APB=三、综合题(共6题；共60分)19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，连接AC，过A作AF⊥AC，交⊙O于点F，连接DF，过B作BG⊥DF，交DF的延长线于点G．（1）求证：BG是⊙O的切线；（2）若∠DFA=30°，DF=4，求FG的长．20．如图，⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DF⊙AC于点F．（1）试说明DF是⊙O的切线；（2）若AC=3AE=6，求tanC．⌢的中点，连结CE交AB于21．如图，已知⊙ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为AD点F，且BF＝BC.（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为2，sinB＝45，求CE的长.22．如图，AB为⊙O的直径，C、F为⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，过点C作AF的垂线，交AF的延长线于点E，交AB的延长线于点D.（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE＝3，DE＝4，求⊙O的半径的长.23．如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分⊙BAD，连接BF（1）求证：AD⊙ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．24．如图，在Rt⊙ABC中，⊙ABC＝90o，以BC为直径的半圆⊙O交AC于点D，点E是AB的中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F．（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若CF＝8，DF＝4，求⊙O的半径和AC的长．参考答案1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】D 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】B 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】C 13．【答案】25° 14．【答案】3515．【答案】1416．【答案】2π3 ﹣ √3217．【答案】2.5；4 18．【答案】4319．【答案】（1）证明：∵ C ，A ，D ，F 在⊙O 上，⊙CAF=90°∴ ⊙D=⊙CAF=90°． ∵ AB⊙CE ，BG⊙DF ∴ ⊙BED=⊙G=90°．∴ 四边形BEDG 中，⊙ABG=90°． ∴ 半径OB⊙BG ． ∴ BG 是⊙O 的切线． （2）解：连接CF∵ ⊙CAF=90°∴ CF是⊙O的直径．∴ OC=OF．∵直径AB⊙CD于E∴ CE=DE．∴ OE是⊙CDF的中位线．∴OE=12DF=2．∵AD⌢=AD⌢，⊙AFD=30°∴ ⊙ACD=⊙AFD=30°．∴∠CAE=90°−∠ACE=60°．∵ OA=OC∴ ⊙AOC是等边三角形．∵ CE⊙AB∴ E为AO中点∴ OA=2OE=4，OB=4．∴BE=BO+OE=6．∵ ⊙BED=⊙D=⊙G=90°∴四边形BEDG是矩形．∴ DG=BE=6．∴FG=DG−DF=2．20．【答案】（1）证明：连接OD，∵OB=OD，∴⊙B=⊙ODB，∵AB=AC，∴⊙B=⊙C，∴⊙ODB=⊙C，∴OD⊙AC，∵DF⊙AC，∴OD⊙DF，∴DF是⊙O的切线；（2）解：连接BE，AD∵AB是直径∴⊙AEB=90°∵AB=AC，AC=3AE=6∴AB=3AE=6，AE=2∴CE=4AE=8∴BE= √AB2−AE2=4 √2∴tanC= BECE=√22．21．【答案】（1）BC与⊙O相切证明：连接AE∵AC是⊙O的直径∴⊙E＝90°∴⊙EAD+⊙AFE＝90°∵BF＝BC∴⊙BCE＝⊙BFC∵E为弧AD中点∴⊙EAD＝⊙ACE∴⊙BCE+⊙ACE＝90°∴AC⊙BC∵AC为直径∴BC是⊙O的切线.（2）解：∵⊙O的半为2 ∴AC＝4∵sinB＝45=ACAB∴AB＝5∴BC＝√AB2−AC2＝3∵BF＝BC∴BF＝3，AF＝5﹣3＝2∵⊙EAD＝⊙ACE，⊙E＝⊙E ∴⊙AEF⊙⊙CEA∴EAEC=AFAC=12∴EC＝2EA设EA＝x，EC＝2x由勾股定理得：x2+4x2＝16x＝4√55（负数舍去）即CE＝8√55.22．【答案】（1）证明：连接OC∵点C为弧BF的中点∴弧BC=弧CF.∴∠BAC=∠FAC.∵OA=OC∴∠OCA=∠OAC.∴∠OCA=∠FAC.∵AE⊙DE∴∠CAE+∠ACE=90°.∴∠OCA+∠ACE=90°.∴OC⊙DE.∴DE是⊙O的切线.（2）解：由勾股定理得AD=5∵∠OCD=∠AEC=90°⊙D=⊙D∴⊙OCD⊙⊙AED∴ODAD=OCAE即5−r5=r3解得r= 15 8∴⊙O的半径长为15 8.23．【答案】（1）证明：连接OC，如图∵AC平分⊙BAD∴⊙1=⊙2∵OA=OC∴⊙1=⊙3∴⊙2=⊙3∴OC⊙AD∵ED切⊙O于点C∴OC⊙DE∴AD⊙ED（2）解：OC交BF于H，如图∵AB为直径∴⊙AFB=90°易得四边形CDFH为矩形∴FH=CD=4，⊙CHF=90°∴OH⊙BF∴BH=FH=4∴BF=8在Rt⊙ABF中，AB= √AF2+BF2=√22+82=2√17∴⊙O的半径为√17．24．【答案】（1）解：相切证明：连接OD，OE∵点E是AB中点，点O是BC中点∴OE是⊙ABC的中位线，∴OE⊙AC∴⊙1＝⊙4，⊙2＝⊙3∵OC＝OD，∴⊙3＝⊙4，∴⊙1＝⊙2∵OB＝OD，OE＝OE，∴⊙OBE⊙⊙ODE∴⊙ODE＝⊙OBE＝90o∴OD⊙DE，∴直线DF与⊙O相切.（2）解：设⊙O半径为x，则OD＝x，OF＝8－x在Rt⊙FOD中OD2+FD2=OF2∴x2+42=(8−x)2，∴x＝3∴⊙O半径为3∵⊙FBE＝⊙FDO＝90°，⊙F＝⊙F，∴⊙FBE⊙⊙FDO，∴BFDF=BEOD∵BF＝FC－BC＝2，OD＝3，DF＝4，∴BE＝32，∵点E是AB中点，∴AB＝2BE＝3在Rt⊙ABC中，AC＝√AB2+BC2＝3√5。
中考数学总复习《圆的综合题》专题测试卷-有答案
中考数学总复习《圆的综合题》专题测试卷-有答案班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题(共12题；共24分)1．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，OF⊙BC于点点F，⊙BOF=65°，则⊙AOD为（）A．70°B．65°C．50°D．45°2．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35∘，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于（）A．15∘B．20∘C．25∘D．30∘3．三角形两边的长分别是8 和6，第三边的长是方程x2﹣12x+20＝0 的一个实数根，则三角形的外接圆半径是()A．4B．5C．6D．84．如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°则∠BCD的度数为（）A．32°B．58°C．64°D．16°5．如图，已知⊙O的半径是4，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分面积为()A．83π−8√3B．163π−8√3C．163π−4√3D．83π−4√36．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，⊙AOC=84°，则⊙E等于（）A．42°B．28°C．21°D．20°7．如图，在平面直角坐标系中C(0，4)和A(3，0)，⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E 是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1B．32C．2D．√28．在圆内接四边形ABCD中，⊙A⊙⊙B⊙⊙C⊙⊙D的度数之比可能是( ) A．1⊙2⊙3⊙4B．4⊙2⊙1⊙3C．4⊙2⊙3⊙1D．1⊙3⊙2⊙49．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别是A、B，如果OP=4，PA=2 √3，那么∠APB等于（）A．90°B．100°C．60°D．110°10．如图，⊙O的半径OD⊙AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则cos⊙OCE为（）A．35B．3√1313C．23D．2√131311．如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，若⊙O＝58°，则⊙C的度数为（）A．23°B．26°C．29°D．32°12．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BĈ的度数是（）A．120°B．135°C．150°D．165°二、填空题(共6题；共6分)13．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升（假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动），若滑轮旋转了150°，则砝码上升了cm.（结果保留π）14．如图，⊙O的弦AB、CD相交于点E，若CE：BE=2：3，则AE：DE=．15．如图，⊙O中，BD为⊙O直径，弦AD长为3，AB长为5，AC平分⊙DAB，则弦AC的长为．16．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A 、∠B 、∠C 的度数之比为2:4:7，则∠D=.17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB，垂足为E，连接AC．若⊙CAB=22.5°，CD=6cm，则⊙O 的半径为cm．18．将一把直尺，一块含有60°的直角三角板和一张光盘如图摆放，已知点A为三角板60°角与直尺的交点，点B为直尺与光盘的交点AB=2，则光盘直径是.三、综合题(共6题；共61分)19．如图，在Rt⊙ABO中，⊙O＝90°，以点O为圆心，OB为半径的圆交AB于点C，交OA于点D.（1）若⊙A＝25°，则弧BC的度数为.（2）若OB＝3，OA＝4，求BC的长.20．如图，在⊙ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，⊙D＝2⊙EAC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若⊙D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）21．如图，某零件的截面为弓形．（1）请用直尺和圆规作出该弓形的圆心．（2）若AB=2 √3，弓形的高为1．①求弓形的半径．②求AB⌢的长．22．如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为(−4，0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60∘的角，且交y轴于C点，以点O2(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D.（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间.23．如图，⊙ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分⊙BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD= 43DC，求DFCF的值．24．如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为A n（n为1~12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．⌢长度哪个更长；（1）通过计算比较直径和劣弧A7A11（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；（3）求切线长PA7的值．参考答案1．【答案】C2．【答案】B3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】B7．【答案】B8．【答案】B9．【答案】C10．【答案】B11．【答案】C12．【答案】C13．【答案】5π14．【答案】2：315．【答案】4√216．【答案】100°17．【答案】3 √218．【答案】4√319．【答案】（1）50°（2）如图，作OH⊙BC于H.在Rt⊙AOB中，∵⊙AOB＝90°，OA＝4，OB＝3∴AB＝√OA2+OB2＝√32+42＝5∵S⊙AOB＝12•OB•OA＝12•AB•OH∴OH ＝3×45 ＝ 125∴BH ＝ √OB 2－OH 2 ＝ √32－(125)2 ＝ 95∵OH⊙BC ∴BH ＝CH ∴BC ＝2BH ＝185.20．【答案】（1）证明：由题意可得： ∠EOC =2∠EAC又∵∠D =2∠EAC ∴∠EOC =2∠EAC =∠D ∵⊙O 与CD 相切于点E ∴∠OEC =90° 又∵∠OCE =∠DCA ∴∠DAO =∠OEC =90° 又∵OD 为半径 ∴AD 是⊙O 的切线； （2）解：∵∠D =60° ∴∠C =30°在 Rt △OEC 中 OE =4 ∴OC =2OE =8 由勾股定理得 ∴S扇形EOB=60×π×42360=8π3S 阴影=S △OEC −S 扇形EOB =8√3−8π321．【答案】（1）解：在圆弧AB 上取点C ，作AC 和BC 的垂直平分线EF ，MN ，两垂直平分线交于点O（2）解：① 作OD⊙AB 交弧AB 于点D ，交AB 于点H∴BH =12AB =√3∵弓形的高为1 ∴HD=1设OB=r ，则OH=r-1 在Rt⊙OBH 中 (r-1)2+( √3 )2=r 2 解之：r=2． ②∵OB=2，OH=1 ∴OB=2OH∴⊙HBO=30°，⊙HOB=60° ∵OH⊙AB ∴弧AB=2弧BD ∴⊙AOB=2⊙BOH=120° ∴弧AB 的长为120π×2180=4π322．【答案】（1）解：由题意得 OA =|−4|+|8|=12∴A 点坐标为 (−12，0) ∵在 RtΔAOC 中OC =OAtan∠OAC =12×tan60°=12√3 ∴C 点的坐标为 (0，−12√3) 设直线 l 的解析式为 y =kx +b 由 l 过 A 、 C 两点得 {−12√3=b 0=−12k +b,解得 {b =−12√3k =−√3 ∴直线 l 的解析式为： y =−√3x −12√3 （2）解：如图设 ⊙O 2 平移 t 秒后到 ⊙O 3 处与 ⊙O 1 第一次外切于点 P ⊙O 3 与 x 轴相切于 D 1 点，连接 O 1O 3 和 O 3D 1 . 则 O 1O 3=O 1P +PO 3=8+5=13 ∵O 3D 1⊥x 轴，∴O 3D 1=5 在 RtΔO 1O 3D 1 中 O 1D 1=√O 1O 32−O 3D 12=√132−55=12∵O 1D =O 1O +OD =4+13=17 ∴D 1D =O 1D −O 1D 1=17−12=5∴t =51=5 （秒） ∴⊙O 2 平移的时间为5秒 23．【答案】（1）证明：如图∵BC 为直径∴⊙BDC=⊙ADC=90°∴⊙1+⊙3=90°∵AE 平分⊙BAC ，CE=CF∴⊙1=⊙2，⊙4=⊙5∴⊙2+⊙3=90°∵⊙3=⊙4∴⊙2+⊙5=90°∴⊙ACB=90°即AC⊙BC∴直线CA 是⊙O 的切线（2）解：由（1）可知，⊙1=⊙2，⊙3=⊙5 ∴⊙ADF⊙⊙ACE∴AD AC =DF CE =DF CF∵BD= 43DC ∴tan⊙ABC= CD BD =34∵⊙ABC+⊙BAC=90°，⊙ACD+⊙BAC=90° ∴⊙ABC=⊙ACD∴tan⊙ACD= 34∴sin⊙ACD=AD AC =35 ∴DF CF =AD AC =35． 24．【答案】（1）劣弧 A 7A 11⌢=412×2π×6=4π直径 2r =12因为 4π>12 ，故劣弧更长． （2）如下图所示连接 A 1、A 7 和 A 7、A 11 由图可知 A 1A 7 是直径∴对应的圆周角 ∠A 7A 11A 1=90°∴A7A11和PA1互相垂直．（3）如上图所示∵PA7是⊙O的切线∴∠PA7A1=90°∴PA7=A1A7⋅tan∠A11OA7=12×√3=12√3．。
备战中考数学圆的综合综合练习题附答案
备战中考数学圆的综合综合练习题附答案一、圆的综合1．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，2而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣23）；劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣23）；劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，23）；优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，23）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣23）、M2（﹣2，﹣23）、M3（﹣2，23）、M4（2，23）．【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．2．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E．（1）求证：AE⊥DE；（2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE；（2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案．试题解析：（1）证明：连接OC，∵OC=OA，∴∠BAC=∠OCA，∵∴∠BAC=∠EAC，∴∠EAC=∠OCA，∴OC∥AE，∵DE切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AE⊥DE；（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴△ABC是直角三角形，∵∠CBA=60°，∴∠BAC=∠EAC=30°，∵△AEC为直角三角形，AE=3，∴AC=2，连接OF，∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，∴△OAF为等边三角形，∴AF=OA=AB ，在Rt △ACB 中，AC=2，tan ∠CBA=，∴BC=2，∴AB=4，∴AF=2．考点：切线的性质．3．已知O e 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______o ；()2如图②，若m 6=．①求C ∠的正切值；②若ABC V 为等腰三角形，求ABC V 面积．【答案】()130；()2C ∠①的正切值为34；ABC S 27=V ②或43225. 【解析】【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB V 是等边三角形，即可得出结论；()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结论；②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论．【详解】()1如图1，连接OB ，OA ，OB OC 5∴==，AB m 5==Q ，OB OC AB ∴==，AOB ∴V 是等边三角形，AOB 60∠∴=o ， 1ACB AOB 302∠∠∴==o ， 故答案为30；()2①如图2，连接AO 并延长交O e 于D ，连接BD ，AD Q 为O e 的直径，AD 10∴=，ABD 90∠=o ，在Rt ABD V 中，AB m 6==，根据勾股定理得，BD 8=，AB 3tan ADB BD 4∠∴==， C ADB ∠∠=Q ，C ∠∴的正切值为34； ②Ⅰ、当AC BC =时，如图3，连接CO 并延长交AB 于E ，AC BC =Q ，AO BO =，CE ∴为AB 的垂直平分线，AE BE 3∴==，在Rt AEO V 中，OA 5=，根据勾股定理得，OE 4=，CE OE OC 9∴=+=，ABC 11S AB CE 692722∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅱ、当AC AB 6==时，如图4，连接OA 交BC 于F ，AC AB =Q ，OC OB =，AO ∴是BC 的垂直平分线，过点O 作OG AB ⊥于G ，1AOG AOB 2∠∠∴=，1AG AB 32==， AOB 2ACB ∠∠=Q ，ACF AOG ∠∠∴=，在Rt AOG V 中，AG 3sin AOG AC 5∠==， 3sin ACF 5∠∴=， 在Rt ACF V 中，3sin ACF 5∠=， 318AF AC 55∴==，24CF 5∴=， ABC 111824432S AF BC 225525∴=⨯=⨯⨯=V ； Ⅲ、当BA BC 6==时，如图5，由对称性知，ABC 432S 25=V ．【点睛】圆的综合题，主要圆的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形的面积公式，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．4．四边形 ABCD 的对角线交于点 E ，且 AE ＝EC ，BE ＝ED ，以 AD 为直径的半圆过点 E ，圆心 为 O ．（1）如图①，求证：四边形 ABCD 为菱形；（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点 F ，且直径 AD ＝6，求弧AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）π2【解析】 试题分析：（1）先判断出四边形ABCD 是平行四边形，再判断出AC ⊥BD 即可得出结论； （2）先判断出AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ，进而得出∠CDA =30°，最后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（1）∵四边形ABCD 的对角线交于点E ，且AE =EC ，BE =ED ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵以AD 为直径的半圆过点E ，∴∠AED =90°，即有AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是菱形；（2）由（1）知，四边形ABCD 是菱形，∴△ADC 为等腰三角形，∴AD =DC 且DE ⊥AC ，∠ADE =∠CDE ．如图2，过点C 作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接FO ．∵BF 切圆O 于点F ，∴OF ⊥AD ，且132OF AD ==，易知，四边形CGOF 为矩形，∴CG =OF =3．在Rt△CDG中，CD=AD=6，sin∠ADC=CGCD=12，∴∠CDA=30°，∴∠ADE=15°．连接OE，则∠AOE=2×∠ADE=30°，∴¶3031802 AEππ⋅⨯==．点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．5．已知：AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D，BD=CD,连接AD、AC．(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H，交AB于点K,求证AK=2OF；(3)如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.图1 图2 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)1210 5【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角等于90°，得到∠ADB=90°，再证明△ABD≌△ACD即可得到结论；（2）连接BE．由同弧所对的圆周角相等，得到∠GAB=∠BEG．再证△KFE≌△BFE，得到BF=KF=BK．由OF=OB-BF，AK=AB-BK，即可得到结论．（3）连接CO并延长交AG于点M，连接BG．设∠GAB=α．先证CM垂直平分AG，得到AM=GM，∠AGC+∠GCM=90°．再证∠GAF=∠GCM =α．通过证明△AGB≌△CMG，得到BG=GM=12AG．再证明∠BGC=∠MCG=α．设BF=KF=a，可得GF=2a，AF=4a．由OK=1，得到OF=a+1，AK=2（a+1），AF= 3a+2，得到3a+2=4a，解出a的值，得到AF，AB，GF，FC的值．由tanα=tan∠HAK=12HKAH=，AK=6，可以求出AH的长．再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠，得到∠GAD =45°，则AL =2AH ，即可得到结论．试题解析：解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠ADC =90°．∵BD =CD ，∠BDA =∠CDA ，AD =AD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD =∠CAD ．（2）连接BE ．∵BG =BG ，∴∠GAB =∠BEG ．∵CF ⊥AB ，∴∠KFE =90°．∵EH ⊥AG ，∴∠AHE =∠KFE =90°，∠AKH =∠EKF ，∴∠HAK =∠KEF =∠BEF ．∵FE =FE ，∠KFE =∠BFE =90°，∴△KFE ≌△BFE ，∴BF =KF =BK ．∵ OF =OB -BF ，AK =AB -BK ，∴AK =2OF ．（3）连接CO 并延长交AG 于点M ，连接BG ．设∠GAB =α．∵AC =CG ， ∴点C 在AG 的垂直平分线上．∵ OA =OG ，∴点O 在AG 的垂直平分线上， ∴CM 垂直平分AG ，∴AM =GM ，∠AGC +∠GCM =90°．∵AF ⊥CG ，∴∠AGC +∠GAF =90°，∴∠GAF =∠GCM =α．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AGB = 90°，∴∠AGB =∠CMG =90°．∵AB =AC =CG ，∴△AGB ≌△CMG ，∴BG =GM =12AG ．在Rt △AGB 中， 1tan tan 2GB GAB AG α∠=== ． ∵∠AMC =∠AGB = 90°，∴BG ∥CM ， ∴∠BGC =∠MCG =α．设BF =KF =a ， 1tan tan 2BF BGF GF α∠===，∴GF =2a ，1tan tan 2GF GAF AF α∠=== ，AF =4a ．∵OK =1，∴OF =a +1，AK =2OF =2（a +1），∴AF =AK +KF =a +2（a +1）=3a +2，∴3a +2=4a ，∴a =2， AK =6，∴AF =4a =8，AB =AC =CG =10，GF =2a =4，FC =CG -GF =6．∵tanα=tan ∠HAK =12HK AH =，设KH =m ，则AH =2m ，∴AK=22(2)m m +=6，解得：m =655，∴AH =2m=1255．在Rt △BFC 中，1tan 3BF BCF FC ∠== ．∵∠BAD +∠ABD =90°， ∠FBC +∠BCF =90°，∴∠BCF =∠BAD ，1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ，∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠⋅∠=1123111123+=-⨯，∴∠GAD =45°，∴HL=AH ，AL =2AH = 1210．6．如图，在以点O 为圆心的两个同心圆中，小圆直径AE 的延长线与大圆交于点B ，点D 在大圆上，BD 与小圆相切于点F ，AF 的延长线与大圆相交于点C ，且CE ⊥BD ．找出图中相等的线段并证明．【答案】见解析【解析】试题分析：由AE 是小⊙O 的直径，可得OA=OE ，连接OF ，根据切线的性质，可得OF ⊥BD ，然后由垂径定理，可证得DF=BF ，易证得OF ∥CE ，根据平行线分线段成比例定理，可证得AF=CF ，继而可得四边形ABCD 是平行四边形，则可得AD=BC ，AB=CD ．然后连接OD 、OC ，可证得△AOD ≌△EOC ，则可得BC=AD=CE=AE ．试题解析：图中相等的线段有：OA=OE，DF=BF，AF=CF，AB=CD，BC=AD=CE=AE．证明如下：∵AE是小⊙O的直径，∴OA=OE．连接OF，∵BD与小⊙O相切于点F，∴OF⊥BD．∵BD是大圆O的弦，∴DF=BF．∵CE⊥BD，∴CE∥OF，∴AF=CF．∴四边形ABCD是平行四边形．∴AD=BC，AB=CD．∵CE：AE=OF：AO，OF=AO，∴AE=EC．连接OD、OC，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD．∵∠AOD=∠ODC，∠EOC=∠OEC，∴∠AOC=∠EOC，∴△AOD≌△EOC，∴AD=CE．∴BC=AD=CE=AE．【点睛】考查了切线的性质，垂径定理，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法，小心不要漏解．7．如图，OB是以（O，a）为圆心，a为半径的⊙O1的弦，过B点作⊙O1的切线，P为劣弧»OB上的任一点，且过P作OB、AB、OA的垂线，垂足分别是D、E、F．（1）求证：PD2=PE•PF；（2）当∠BOP=30°，P点为OB的中点时，求D、E、F、P四个点的坐标及S△DEF．【答案】（1）详见解析；（2）D（﹣3a，34a），E（﹣33a，34a），F（﹣3a，0），P（﹣3a，2a）；S△DEF=33a2．【解析】试题分析：（1）连接PB，OP，利用AB切⊙O1于B求证△PBE∽△POD，得出PB PEOP PD=，同理，△OPF∽△BPD，得出PB PDOP PF=，然后利用等量代换即可．（2）连接O1B，O1P，得出△O1BP和△O1PO为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D、E、F、P四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF的面积．试题解析：（1）证明：连接PB，OP，∵PE⊥AB，PD⊥OB，∴∠BEP=∠PDO=90°，∵AB切⊙O1于B，∠ABP=∠BOP，∴△PBE∽△POD，∴=，同理，△OPF∽△BPD∴=，∴=，∴PD2=PE•PF；（2）连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=30°，∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，∵O1B=O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B=BP，∵P为弧BO的中点，∴BP=OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P=OP=a，∴∠O1OP=60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，∴O1D=a，OD=a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，∴D（﹣a， a），∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°∴∠POF=30°，∵PE⊥OA，∴PF=OP=a，OF=a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=∠BOP=30°，∵PE⊥AB，PB=a，∴∠EPB=60°∴PE=a，BE=a，∵P为弧BO的中点，∴BP=PO，∴∠PBO=∠BOP=30°，∴∠BPO=120°，∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，即OPE三点共线，∵OE=a+a=a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA=30°，∴EM=OE=a，OM=a，∴E（﹣a， a），∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，DE边上的高为： a，∴S△DEF=×a×a=a2．故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．8．如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M 为⊙O上一点，并且∠BMC=60°．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且∠EDF=120°，⊙O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2）BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．【解析】试题分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得OD⊥BC，∠BOD=∠COD，即可得到∠BOD=∠M=60°，则∠OBD=30°，所以∠ABO=90°，于是得到AB是⊙O的切线；（2）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，由△ABC为正三角形，D为BC 的中点，得到AD平分∠BAC，∠BAC=60°，利用角平分线性质得DM=DN，得∠MDN=120°，由∠EDF=120°，得到∠MDE=∠NDF，于是有△DME≌△DNF，得到ME=NF，得到BE+CF=BM+CN，由BM=12BD，CN=12OC，得到BE+CF=12BC，即可判断BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．试题解析：（1）连结OB、OD，如图1，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，∴∠ODB=90°，∵∠BMC=12∠BOC，∴∠BOD=∠M=60°，∴∠OBD=30°，∵△ABC为正三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABO=60°+30°=90°，∴AB⊥OB，∴AB是⊙O的切线；（2）BE+CF的值是为定值．作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，连结AD，如图2，∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴DM=DN，∠MDN=120°，∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF，在△DME和△DNF中，∵∠DME=∠DNF．DM=DN，∠MDE=∠NDF，∴△DME≌△DNF，∴ME=NF，∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，在Rt△DMB中，∵∠DBM=60°，∴BM=12BD，同理可得CN=12OC，∴BE+CF=12OB+12OC=12BC，∴BE+CF的值是定值，为等边△ABC边长的一半．考点：1．切线的判定；2．等边三角形的性质；3．定值问题；4．探究型；5．综合题；6．压轴题．9．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧»OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为262)．【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.试题解析：（1）∵点A 为（6，0），点B 为（0，－2） ∴OA=6OB=2 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：AB=22∴e M 的半径r=12AB=2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=2633BH =∴点E 的坐标为（263，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.10．已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ．点E 为CD 边上一点，AE 与BE 分别为∠DAB 和∠CBA 的平分线．（1）请你添加一个适当的条件 ，使得四边形ABCD 是平行四边形，并证明你的结论；（2）作线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，并以AB 为直径作⊙O （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）在（2）的条件下，⊙O 交边AD 于点F ，连接BF ，交AE 于点G ，若AE=4，sin ∠AGF=45，求⊙O 的半径．【答案】（1）当AD=BC 时，四边形ABCD 是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O 的半径为2.5．【解析】分析：（1）添加条件AD=BC ，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可； （2）作出相应的图形，如图所示；（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：证明：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形；故答案为：AD=BC；（2）作出相应的图形，如图所示；（3）∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠AEB=90°，∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，∴∠AFB=90°，∴∠FAG+∠FGA=90°，∵AE平分∠DAB，∴∠FAG=∠EAB，∴∠AGF=∠ABE，∴sin∠ABE=sin∠AGF=45AE AB ，∵AE=4，∴AB=5，则圆O的半径为2.5．点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．11．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23【解析】【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.∠EOC=∠DAO=105°，在OCE②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=2，∠OCE=45°.等腰直角三2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23则EF=GE-FG=23【试题解析】（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG∵OC=2∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=3∴EF=GE-FG=23【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.12．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=60°,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,过点B作☉O 的切线BD,与CA的延长线交于点D,与半径AO的延长线交于点E,过点A作☉O的切线AF,与直径BC的延长线交于点F.(1)连接EF,求证:EF是☉O的切线;(2)在圆上是否存在一点P,使点P与点A,B,F构成一个菱形?若存在,请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）过O作OM⊥EF于M,根据SAS证明△OAF≌△OBE，从而得到OE=OF,再证明EO平分∠BEF，从而得到结论;（2）存在，先证明△OAC为等边三角形，从而得出∠OAC=∠AOC=60°,再得到AB=AF，再证明AB=AF=FP=BP，从而得到结论.【详解】(1)证明:如图,过O作OM⊥EF于M,∵OA=OB,∠OAF=∠OBE=90°,∠BOE=∠AOF,∴△OAF≌△OBE,∴OE=OF,∵∠EOF=∠AOB=120°,∴∠OEM=∠OFM=30°,∴∠OEB=∠OEM=30°,即EO平分∠BEF,又∠OBE=∠OME=90°,∴OM=OB,∴EF为☉O的切线.(2)存在.∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°,∵∠ACB=60°,∴∠ABC=30°,又∵∠ACB=60°,OA=OC,∴△OAC为等边三角形,即∠OAC=∠AOC=60°,∵AF为☉O的切线,∴∠OAF=90°,∴∠CAF=∠AFC=30°,∴∠ABC=∠AFC,∴AB=AF.当点P在(1)中的点M位置时,此时∠OPF=90°,∴∠OAF=∠OPF=90°,又∵OA=OP,OF为公共边,∴△OAF≌△OPF,∴AF=PF,∠BFE=∠AFC=30°.又∵∠FOP=∠OBP=∠OPB=30°,∴BP=FP,∴AB=AF=FP=BP,∴四边形AFPB是菱形.【点睛】考查了切线的判定定理和菱形的判定，经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．13．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且10，CH52.（1）求证：AH是⊙O的切线；（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；（3）在（2）的条件下，求EF的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）102【解析】【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是»CE的中点，可得∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；（3）由切割线定理可得EH=2，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10-2．【详解】（1）如图1所示：连接AC．∵AB⊥CB，∴AC是⊙O的直径，∵∠C=∠D，∴tanC=3，∴AB=3BC=3×2=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，又∵AH2=10，CH2=50，∴AC2+AH2=CH2，∴△ACH为直角三角形，∴AC⊥AH，∴AH是圆O的切线；（2）如图2所示：连接DE 、BE ，∵AH 是圆O 的切线，∴∠ABD=∠HAD ，∵D 是»CE的中点， ∴»»CDED =， ∴∠CED=∠EBD ，又∵∠ABE=∠ADE ，∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED ，∴∠ABD=∠AFE ，∴∠HAF=∠AFH ，∴AH=HF ；（3）由切割线定理可知：AH 2=EH•CH ，即（10）2=52EH ，解得：EH=2，∵由（2）可知AF=FH=10，∴EF=FH ﹣EH=10-2．【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.14．如图，AB 是O e 的直径，DF 切O e 于点D ，BF DF ⊥于F ，过点A 作AC //BF 交BD 的延长线于点C .（1）求证：ABC C ∠∠=；（2）设CA 的延长线交O e 于E BF ，交O e 于G ，若¼DG的度数等于60o ，试简要说明点D 和点E 关于直线AB 对称的理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）作辅助线，连接OD，由DF为⊙O的切线，可得OD⊥DF，又BF⊥DF，AC∥BF，所以OD∥AC，∠ODB=∠C，由OB=OD得∠ABD=∠ODB，从而可证∠ABC=∠C；（2）连接OG，OD，AD，由BF∥OD，»GD=60°，可求证»BG=»»==60°，由平行线GD AD的性质及三角形的内角和定理可求出∠OHD=90°，由垂径定理便可得出结论．【详解】（1）连接OD，∵DF为⊙O的切线，∴OD⊥DF．∵BF⊥DF，AC∥BF，∴OD∥AC∥BF．∴∠ODB=∠C．∵OB=OD，∴∠ABD=∠ODB．∴∠ABC=∠C．（2）连接OG，OD，AD，DE，DE交AB于H，∵BF∥OD，∴∠OBG=∠AOD，∠OGB=∠DOG，∴»»==»BG．GD AD∵»GD=60°，∴»BG=»»GD AD==60°，∴∠ABC=∠C=∠E=30°，∵OD//CE∴∠ODE=∠E=30°．在△ODH中，∠ODE=30°，∠AOD=60°，∴∠OHD=90°，∴AB⊥DE．∴点D和点E关于直线AB对称．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理及垂径定理，解答此题的关键是作出辅助线，利用数形结合解答．15．如图，已知,,BAC AB AC O ∆=为ABC ∆外心，D 为O e 上一点，BD 与AC 的交点为E ，且2·BC AC CE =．①求证：CD CB =；②若030A ∠=，且O e 的半径为33+，I 为BCD ∆内心，求OI 的长．【答案】①证明见解析； ②3【解析】【分析】①先求出BC CE AC BC=，然后求出△BCE 和△ACB 相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A =∠CBE ，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A =∠D ，然后求出∠D =∠CBE ，然后根据等角对等边即可得证；②连接OB 、OC ，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC =60°，然后判定△OBC 是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC 经过点I ，设OC 与BD 相交于点F ，然后求出CF ，再根据I 是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF ，然后求出CI ，最后根据OI =OC ﹣CI 计算即可得解．【详解】 ①∵BC 2=AC •CE ，∴BC CE AC BC=．∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；②连接OB、OC．∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则CF=BC×sin30°12=BC，BF=BC•cos30°3=BC，所以，BD=2BF=23⨯BC3=BC，设△BCD内切圆的半径为r，则S△BCD12=BD•CF12=（BD+CD+BC）•r，即12•3BC•12BC12=（3BC+BC+BC）•r，解得：r3223=+（）BC2332-=BC，即IF2332-=BC，所以，CI=CF﹣IF12=BC233--BC=（23-）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（23-）BC=（3-1）BC．∵⊙O的半径为33+，∴BC=33+，∴OI=（3-1）（33+）=33+3﹣3323-=．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形的内心的性质，（2）作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC经过△BCD的内心I是解题的关键．。
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(带有答案)
中考数学总复习《圆的综合题》专项测试卷(带有答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________类型一 与圆的性质有关的证明与计算典例精讲例 (一题多设问) 如图，在⊙O 中，AC 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，点E 是AC ︵的中点，过点E 作AB 的垂线，交AB 于点M ，交⊙O 于点N ，分别连接EB ，CN . (1)EM 与BE 的数量关系是________； (2)求证：EB ︵＝CN ︵；(3)若AM ＝3，MB ＝1，求阴影部分图形的面积．例题图拓展设问(4)若∠BAC ＝15°，AM ＝3，求⊙O 的半径及EN 的长．针对演练1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点M，过点D作DE⊥CD交⊙O于点E，连接AD，OE，若M为CD的中点．(1)求证：DE∥AB；(2)若OE∥AD①连接AC，求证：AC＝DE；②若CD＝23，求图中阴影部分的面积．第1题图类型二与切线有关的证明与计算典例精讲例(一题多设问) 如图①，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线DF，与AC交于点F.(1)求证：CF＝EF；【思维教练】要证CF＝EF，可连接OD、DE，利用切线的性质及AB＝AC可证明DF⊥AC，则只需证明△CDE是等腰三角形，利用三线合一的性质即可求证．例题图①(2)如图②，连接BE，求证：DF∥BE；【思维教练】根据AB是⊙O的直径，可以得到BE⊥AC，要证DF∥BE，只需证明DF⊥AC 即可，由(1)即可得知．例题图②(3)如图③，若③O的半径为4，③CDF＝30°，求CF的长；【思维教练】要求CF的长，可将其放在Rt△CDF中，利用三角函数求解，连接AD，由⊙O 的半径可得CD的长，即可求解．例题图③(4)如图④，若tan C＝2，CE＝4，求⊙O的半径；【思维教练】要求⊙O的半径，只需求出AB的长，连接BE，构造出Rt△ABE，在直角三角形中求解即可．例题图④(5)如图③，若③A ＝45°，AB ＝4，求阴影部分的面积．【思维教练】要求阴影部分的面积，可将其分为△AOE 、△BOD 及扇形DOE 三部分，利用和差法求解即可．例题图⑤针对演练1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以点B 为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB 、BC 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径作弧，两弧交于点P ，作射线BP ，交AC 于点F .点O 是斜边AB 上一点，以点O 为圆心，OB 的长为半径的圆恰好与AC 相切于点F .第1题图(1)若∠A ＝30°，求证：△ABF 是等腰三角形；(2)若BC ＝6，tan A ＝34，求⊙O 的半径．参考答案类型一 与圆的性质有关的证明与计算典例精讲例 (1)解：BE ＝2EM ；(2分)【解法提示】∵AC 为⊙O 的直径，E 是AC ︵的中点，∴∠ABE ＝45°.∵AB ⊥EN ，∴△EMB 为等腰直角三角形，∴BE ＝2EM . (2)证明：如解图①，连接EO∵AC 是⊙O 的直径，点E 是AC ︵的中点 ∴∠AOE ＝90°∴∠ABE ＝12∠AOE ＝45°.∵EN ⊥AB ，垂足为M ∴∠EMB ＝90° ∴∠ABE ＝∠BEN ＝45° ∴AE ︵＝BN ︵. ∵点E 是AC ︵的中点 ∴AE ︵＝EC ︵ ∴EC ︵＝BN ︵∴EC ︵－BC ︵＝BN ︵－BC ︵ ∴EB ︵＝CN ︵；(7分)例题解图①(3)解：如解图①，连接AE ，OB ，ON ∵EN ⊥AB ，垂足为M ∴∠AME ＝∠EMB ＝90°.∵BM ＝1，由(2)得∠ABE ＝∠BEN ＝45° ∴EM ＝1，BE ＝ 2.∵在Rt △AEM 中，EM ＝1，AM ＝3 ∴tan ∠EAB ＝13＝33∴∠EAB ＝30°. ∵∠EAB ＝12∠EOB∴∠EOB ＝60°. 又∵OE ＝OB∴△EOB 是等边三角形 ∴OE ＝BE ＝ 2. 又∵EB ︵＝CN ︵∴CN ＝BE ＝2，∠CON ＝∠BOE ＝60°.又∵S 扇形CON ＝60π×（2）2360＝π3，S △OCN ＝12CN ·32CN ＝12×2×32×2＝32∴S 阴影＝S 扇形CON －S △OCN ＝π3－32.(12分)拓展设问(4)解：如解图②，连接AE ，AN ，OE ∵点E 是AC ︵的中点 ∴∠AOE ＝90°.∵OA＝OE∴∠EAC＝45°.∵∠BAC＝15°∴∠EAB＝45°－15°＝30°.∵EM⊥AB∴在Rt△AEM中，EM＝AM·tan30°＝3，AE＝AMcos30°＝23∴在Rt△AOE中，OA＝AE·cos45°＝ 6.∵∠BAN＝∠BEN＝45°，EM⊥AB∴在Rt△AMN中，MN＝AM＝3∴EN＝EM＋MN＝3＋3∴⊙O的半径为6，EN的长为3＋3.例题解图②针对演练1. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，CM＝DM∴AB⊥CD.∵DE⊥CD∴∠CMB＝∠CDE＝90°∴DE∥AB；(2)①证明：∵OE∥AD，OA∥DE∴四边形AOED是平行四边形．∵OA＝OE∴四边形AOED是菱形∴AD＝DE.∵AB⊥CD∴AD＝AC∴AC＝DE；②解：如解图，连接OC ∵DE ⊥CD∴CE 为⊙O 的直径，即点O 在CE 上． ∵M 为CD 的中点∴CM ＝12CD ＝3，AC ＝AD ＝OE ＝OA ＝OC∴△AOC 是等边三角形∴∠AOC ＝60°，OC ＝CMsin ∠AOC ＝2.∵AD ∥OE∴∠OAD ＝∠AOC ，∠ADC ＝∠DCE . ∵AD ＝OC ∴△ADM ≌△OCM∴S 阴影＝S 扇形AOC ＝60π×22360＝2π3.第1题解图类型二 与切线有关的证明与计算典例精讲例 (1)证明：如解图①，连接OD ，DE ∵AB ＝AC ∴∠ABC ＝∠ACB . ∵OB ＝OD ∴∠OBD ＝∠ODB ∴∠ODB ＝∠ACB ∴OD ∥AC . ∵DF 是⊙O 的切线 ∴DF ⊥OD ∴DF ⊥AC .∵∠DEC ＝∠ABC ∴∠DEC ＝∠ACB ∴DE ＝CD ∴CF ＝EF ；例题解图①(2)证明：由(1)知DF ⊥AC ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB ＝90°，即BE ⊥AC ∴DF ∥BE ；(3)解：如解图②，连接AD ∵∠CDF ＝30°，DF ⊥AC ∴∠ACB ＝60°∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°. ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝90° ∴BD ＝CD .在Rt △ABD 中，∵AB ＝2AO ＝8 ∴BD ＝AB ·cos ∠ABC ＝4 ∴CD ＝4在Rt △CDF 中，∵∠CDF ＝30° ∴CF ＝12CD ＝2；例题解图②(4)解：如解图③，连接BE∵CE ＝4，点F 是CE 的中点 ∴CF ＝2 ∵tan C ＝DFCF ＝2∴DF ＝4 ∴BE ＝2DF ＝8设AE ＝x ，则AB ＝AC ＝x ＋4在Rt △ABE 中，由勾股定理得AB 2＝AE 2＋BE 2，即(x ＋4)2＝x 2＋82 解得x ＝6 ∴AB ＝x ＋4＝10 即⊙O 的半径为5；例题解图③(5)解：如解图④，连接OE 、OD ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ∵∠A ＝45°，OA ＝OE ，AB ＝AC ∴∠AEO ＝∠A ＝45°，∠AOE ＝90°. ∵AC ∥OD∴∠DOE ＝∠AEO ＝45°，∠BOD ＝∠A ＝45° ∴DH ＝22OD ＝2 ∴S 阴影＝S △AOE ＋S 扇形DOE ＋S △BOD ＝12OA 2＋45π×22360＋12OB ·DH ＝2＋π2＋2∴阴影部分的面积为2＋π2＋ 2.例题解图④针对演练1. (1)证明：∵∠A ＝30°，∠C ＝90°第 11 页 共 11 页 ∴∠ABC ＝60°由作图步骤可知，BP 是∠ABC 的平分线 ∴∠ABF ＝12∠ABC ＝30°∴∠A ＝∠ABF ，即AF ＝BF∴△ABF 是等腰三角形；(2)解：∵BC ＝6，tan A ＝34∴tan A ＝BC AC ＝34，即AC ＝8∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10如解图，连接OF∵AC 是⊙O 的切线∴∠AFO ＝90°∴△AOF ∽△ABC∴OF BC ＝AO AB ，即OF 6＝10－OF 10解得OF ＝154∴⊙O 的半径为154.第1题解图。
中考数学总复习《圆的综合题》练习题附带答案
中考数学总复习《圆的综合题》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图，在等边△ABC中，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB、BC相交于点D、E、F是AC上的点，判断下列说法错误的是（）A．若EF⊥AC，则EF是⊙O的切线B．若EF是⊙O的切线，则EF⊥ACC．若BE=EC，则AC是⊙O的切线EC，则AC是⊙O的切线D．若BE= √322．如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，若∠O＝58°，则∠C的度数为（）A．23°B．26°C．29°D．32°3．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8B．10C．4√3D．4√5 4．数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A．勾股定理B．直径所对的圆周角是直角C．勾股定理的逆定理D．90°的圆周角所对的弦是直径5．如图，点O是半径为6的正六边形ABCDEF的中心，则扇形AOE的面积是（）A．2πB．4πC．12πD．24π6．如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，AB⊥CD，点E在圆上，若OF＝DF，则∠AEB的度数为（）A．135°B．120°C．150°D．110°7．如图，⊙O的半径长6cm，点C在⊙O上，弦AB垂直平分OC于点D，则弦AB的长为（）A．9cm B．6√3cm C．92cm D．3√3cm8．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=（)A．90°B．180°C．270°D．360°9．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°10．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（）A．8B．10C．13D．14 11．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，则∠CAB的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°12．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧PQ,交射线OB于点D，连接CD；（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于弧PQ点M，N；（3）连接OM，MN. 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠COM=∠COD B．若OM=MN，则∠AOB=20°C．MN∥CD D．MN=3CD二、填空题(共6题；共6分)13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为．14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2√3，分别以点A，D为圆心，以AB，DC为半径作扇形ABF，扇形DCE．则图中阴影部分的面积是．（结果保留根号和π）15．如图所示，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=15，则△PCD的周长为.16．如图，将弧AC沿弦AC折叠交直径AB于圆心O，则弧AC的度数是.17．如图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1为半径的扇形，并且所有多边形的每条边长都＞2，则第n个多边形中，所有扇形面积之和是．（结果保留π）18．如图，扇形AOB中OB=4,∠AOB=90°点E为AB的中点，过点E作AO的平行线DF，则阴影部分的面积为.三、综合题(共6题；共65分)19．如图，已知AB是⊙O的直径，弦AC与半径OD平行.⌢的中点.（1）求证：点D是BC（2）若AC=OD=6，求阴影部分（弓形AC）的面积.20．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长;（2）∠COD的度数．21．如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点AC⌢=CB⌢．（1）求证：CD=CE．（2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式．22．如图，一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝3 x（x＞0）的图象交于点B（3，b）．点C是线段AB上的动点（与点A、B不重合），过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D，O为坐标原点．（1）求△OCD面积为32时，则点D的坐标；（2）求△OCD面积的最大值；（3）当△OCD面积最大时，则以点O为圆心，r为半径画⊙O，是否存在r的值，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内？如果存在，求出r的取值范围；如果不存在，请说明理由．23．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形24．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D 作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．（1）求证：AC∥DE；（2）连接CD，若OA=AE=a，写出求四边形ACDE面积的思路．参考答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】π4−1214．【答案】18√3−8π 15．【答案】30 16．【答案】120° 17．【答案】nπ218．【答案】8π3−2√3−219．【答案】（1）证明：连接BC 交OD 于E∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵AC ∥OD∴∠OEB=∠ACB=90° 即OD ⊥BC ∵OD 过圆心O∴CD⌢=BD ⌢ ∴点D 是BC⌢的中点. （2）解：作CE ⊥AB 于E 如图2，∵AC =OD =OC =OA∴△AOC 是等边三角形∴∠AOC =60°∴S 扇形AOC =60π×62360=6π∴∠OCE =30°∴OE =12OC =12×6=3∴CE =√3OE =3√3∴S △AOC =12AO ⋅CE =12×6×3√3=9√3 ∴S 阴影=S 扇形AOC −S △AOC =6π−9√3.20．【答案】（1）解：∵CA ，CE 都是圆O 的切线 ∴CA=CE同理DE=DB ，PA=PB∴三角形PDE 的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12 即PA 的长为6. （2）解： ∵∠P=60°∴∠PCE+∠PDE=120°∴∠ACD+∠CDB=360°﹣120°=240° ∵CA ，CE 是圆O 的切线∴∠OCE=∠OCA=12∠ACD ；同理：∠ODE=12∠CDB∴∠OCE+∠ODE=12（∠ACD+∠CDB ）=120°∴∠COD=180﹣120°=60°.21．【答案】（1）证明：连接OC∵弧AC=弧CB ∴∠COA=∠COB∵D 和E 为OA 和OB 的中点 ∴OD=OE ∴△COD ≌△COE ∴CD=CE （2）连接AC ∵∠AOB=120°∴∠AOC=60°，∵OA=OC ∴△AOC 为等边三角形 ∵点D 为OA 的中点 ∴CD ⊥OA ，OD=12OA=12x在直角三角形COD 中，CD=OD ×tan ∠COD=√32x∴四边形ODCE 的面积y=12×OD ×CD ×2=√34x 222．【答案】（1）解：∵点B （3，b ）在反比例函数y ＝ 3x的图象上∴3b ＝3 ∴b ＝1 ∴B （3，1）∵点B （3，1）在一次函数y ＝kx ﹣2（k ≠0）的图象上 ∴3k ﹣2＝1 ∴k ＝1∴直线AB 的解析式为y ＝x ﹣2设点C 的坐标为（m ，m ﹣2）（0＜m ＜3）∵C 且平行于y 轴的直线CD 交这个反比例函数的图象于点D ∴D （m ， 3m）∴CD ＝ 3m ﹣（m ﹣2）＝ 3m+2﹣m∴S △OCD ＝ 12 CD •m ＝ 12 （ 3m +2﹣m ）×m ＝﹣ 12（m 2﹣2m ﹣3）∵△OCD面积为3 2∴﹣12（m2﹣2m﹣3）＝32∴m＝0（舍）或m＝2∴D（2，3 2）（2）解：由（1）知，S△OCD＝﹣12（m2﹣2m﹣3）＝﹣12（m﹣1）2+2∵0＜m＜3∴m＝1时，则△OCD面积的最大值为2（3）解：存在理由：∵直线AB的解析式为y＝x﹣2∴A（0，﹣2）∴OA＝2由（1）知，B（3，1）∴OB＝√32+12＝√10由（2）知，m＝1∴C（1，﹣1），D（1，3）∴OC＝√12+12＝√2，OD＝√12+32＝√10∴OC＜OA＜OB＝OD∵以点O为圆心，r为半径画⊙O，使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内．∴2＜r≤√1023．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A+∠BCD=180°∵∠DCE+∠BCD=180°∴∠A=∠DCE∵DC=DE∴∠DCE=∠AEB∴∠A=∠AEB（2）证明：∵∠A=∠AEB∴△ABE是等腰三角形∵EO⊥CD∴CF=DF∴EO是CD的垂直平分线∴ED=EC∵DC=DE∴DC=DE=EC∴△DCE是等边三角形∴∠AEB=60°∴△ABE是等边三角形．24．【答案】（1）证明：∵ED与⊙O相切于D∴OD⊥DE∵F为弦AC中点∴OD⊥AC∴AC∥DE．（2）解：作DM⊥OA于M，连接CD，CO，AD．首先证明四边形ACDE是平行四边形，根据S平行四边形ACDE=AE•DM，只要求出DM即可．∵AC∥DE，AE=AO∴OF=DF∵AF⊥DO∴AD=AO∴AD=AO=OD∴△ADO是等边三角形，同理△CDO也是等边三角形∴∠CDO=∠DOA=60°，AE=CD=AD=AO=DD=a∴AO∥CD，又AE=CD∴四边形ACDE是平行四边形，易知DM= √3a2a2．∴平行四边形ACDE面积= √32。
备战中考数学圆的综合综合练习题含答案解析
备战中考数学圆的综合综合练习题含答案解析一、圆的综合1．已知AB ，CD 都是O e 的直径，连接DB ，过点C 的切线交DB 的延长线于点E ． ()1如图1，求证：AOD 2E 180∠∠+=o ；()2如图2，过点A 作AF EC ⊥交EC 的延长线于点F ，过点D 作DG AB ⊥，垂足为点G ，求证：DG CF =；()3如图3，在()2的条件下，当DG 3CE 4=时，在O e 外取一点H ，连接CH 、DH 分别交O e 于点M 、N ，且HDE HCE ∠∠=，点P 在HD 的延长线上，连接PO 并延长交CM 于点Q ，若PD 11=，DN 14=，MQ OB =，求线段HM 的长．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）837+【解析】【分析】（1）由∠D +∠E =90°，可得2∠D +2∠E =180°，只要证明∠AOD =2∠D 即可；（2）如图2中，作OR ⊥AF 于R ．只要证明△AOR ≌△ODG 即可；（3）如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT ⊥CL 于T ，作NK ⊥CH 于K ，设CH 交DE 于W ．解直角三角形分别求出KM ，KH 即可；【详解】()1证明：如图1中，O Q e 与CE 相切于点C ，OC CE ∴⊥，OCE 90∠∴=o ，D E 90∠∠∴+=o ，2D 2E 180∠∠∴+=o ，AOD COB ∠∠=Q ，BOC 2D ∠∠=，AOD 2D ∠∠=，AOD 2E 180∠∠∴+=o ．()2证明：如图2中，作OR AF ⊥于R ．OCF F ORF 90∠∠∠===o Q ，∴四边形OCFR 是矩形，AF//CD ∴，CF OR =，A AOD ∠∠∴=，在AOR V 和ODG V 中，A AOD ∠∠=Q ，ARO OGD 90∠∠==o ，OA DO =，AOR ∴V ≌ODG V ，OR DG ∴=，DG CF ∴=，()3解：如图3中，连接BC 、OM 、ON 、CN ，作BT CL ⊥于T ，作NK CH ⊥于K ，设CH 交DE 于W ．设DG 3m =，则CF 3m =，CE 4m =，OCF F BTE 90∠∠∠===o Q ，AF//OC//BT ∴，OA OB =Q ，CT CF 3m ∴==，ET m ∴=，CD Q 为直径，CBD CND 90CBE ∠∠∠∴===o ，E 90EBT CBT ∠∠∠∴=-=o ，tan E tan CBT ∠∠∴=， BT CT ET BT ∴=， BT 3m m BT ∴=， BT 3m(∴=负根已经舍弃)，3m tan E 3m∠∴==， E 60∠∴=o ，CWD HDE H ∠∠∠=+Q ，HDE HCE ∠∠=，H E 60∠∠∴==o ，MON 2HCN 60∠∠∴==o ，OM ON =Q ，OMN ∴V 是等边三角形，MN ON ∴=，QM OB OM ==Q ，MOQ MQO ∠∠∴=，MOQ PON 180MON 120∠∠∠+=-=o o Q ，MQO P 180H 120∠∠∠+=-=o o ， PON P ∠∠∴=，ON NP 141125∴==+=，CD 2ON 50∴==，MN ON 25==，在Rt CDN V 中，2222CN CD DN 501448=-=-=，在Rt CHN V 中，CN 48tan H 3HN HN∠===， HN 163∴=，在Rt KNH V 中，1KH HN 832==，3NK HN 242==， 在Rt NMK V 中，2222MK MN NK 25247=-=-=，HM HK MK 837∴=+=+．【点睛】本题考查圆综合题、全等三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，添加常用辅助线，构造全等三角形或直角三角形解题的关键.2．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠APB=60°，连接PO 并延长与⊙O 交于C点，连接AC、BC．（Ⅰ）求∠ACB的大小；（Ⅱ）若⊙O半径为1，求四边形ACBP的面积．33【答案】（Ⅰ）60°；（Ⅱ）【解析】分析：（Ⅰ）连接AO，根据切线的性质和切线长定理，得到OA⊥AP，OP平分∠APB，然后根据角平分线的性质和三角形的外角的性质，30°角的直角三角形的性质，得到∠ACB的度数；（Ⅱ）根据30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，结合等底同高的性质求三角形的面积即可．详解：（Ⅰ）连接OA，如图，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OP平分∠APB，∠APB=30°，∴∠APO=12∴∠AOP=60°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠ACO=1AOP=30°，2同理可得∠BCP=30°，∴∠ACB=60°；（Ⅱ）在Rt△OPA中，∵∠APO=30°，∴33，OP=2OA=2，∴OP=2OC，而S△OPA=12×1×3，∴S△AOC=12S△PAO=34，∴S△ACP=334，∴四边形ACBP的面积=2S△ACP=33．点睛：本题考查了切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键．3．已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB12=，求点P的坐标②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y43=x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，23）（3）（953-，1255）【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，∠PAB即为所求；（2）①由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC22AC AB-3，∴C（6，3∴K（4，2），∴P（0，3案为：（0，3（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=43x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA•MB，∴MP5PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴ONPK=OMMK=NMMP，∴4PK=3MK=35，∴PK=1255，MK=95，∴OK=95﹣3，∴P（95﹣3，125）．点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题．4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC 交AC于点E，交PC于点F，连结AF．(1)判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若AC＝24，AF＝15，求sin B．【答案】(1) AF与⊙O相切理由见解析；（2）3 5【解析】试题分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式OA AEAF EF，可求出半径，进而求出直径，由三角函数的定义即可得出结论．试题解析：解：（1）AF与⊙O相切．理由如下：连接OC．如图所示．∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCF=90°．∵OF∥BC，∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF．∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AOF=∠COF．在△OAF和△OCF中，∵OA=OC，∠AOF=∠COF，OF=OF，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF=∠OCF=90°，∴AF与⊙O相切；（2）∵△OAF≌△OCF，∴∠OAE=∠COE，∴OE⊥AC，AE=12AC=12，∴EF =2215129-=．∵∠OAF =90°，∴△OAE ∽△AFE ，∴OA AE AF EF =，即12159OA =，∴OA =20，∴AB =40，sin B =243405AC AB ==．点睛：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．5．如图，OB 是以（O ，a ）为圆心，a 为半径的⊙O 1的弦，过B 点作⊙O 1的切线，P 为劣弧»OB上的任一点，且过P 作OB 、AB 、OA 的垂线，垂足分别是D 、E 、F ． （1）求证：PD 2=PE•PF ；（2）当∠BOP=30°，P 点为OB 的中点时，求D 、E 、F 、P 四个点的坐标及S △DEF ．【答案】（1）详见解析；（2）D （﹣3a ，34a ），E （﹣33a ，34a ），F （﹣3a ，0），P （﹣32a ，2a ）；S △DEF =3316a 2． 【解析】 试题分析：（1）连接PB ，OP ，利用AB 切⊙O 1于B 求证△PBE ∽△POD ，得出 PB PE OP PD = ，同理，△OPF ∽△BPD ，得出PB PD OP PF= ，然后利用等量代换即可． （2）连接O 1B ，O 1P ，得出△O 1BP 和△O 1PO 为等边三角形，根据直角三角形的性质即可解得D 、E 、F 、P 四个点的坐标．再利用三角形的面积公式可直接求出三角形DEF 的面积．试题解析：（1）证明：连接PB ，OP ，∵PE ⊥AB ，PD ⊥OB ，∴∠BEP=∠PDO=90°，∵AB 切⊙O 1于B ，∠ABP=∠BOP ，∴△PBE ∽△POD ，∴=，同理，△OPF∽△BPD∴=，∴=，∴PD2=PE•PF；（2）连接O1B，O1P，∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=30°，∴∠O1BP=90°﹣30°=60°，∵O1B=O1P，∴△O1BP为等边三角形，∴O1B=BP，∵P为弧BO的中点，∴BP=OP，即△O1PO为等边三角形，∴O1P=OP=a，∴∠O1OP=60°，又∵P为弧BO的中点，∴O1P⊥OB，在△O1DO中，∵∠O1OP=60°O1O=a，∴O1D=a，OD=a，过D作DM⊥OO1于M，∴DM=OD=a，OM=DM=a，∴D（﹣a， a），∵∠O1OF=90°，∠O1OP=60°∴∠POF=30°，∵PE⊥OA，∴PF=OP=a，OF=a，∴P（﹣a，），F（﹣a，0），∵AB切⊙O1于B，∠POB=30°，∴∠ABP=∠BOP=30°，∵PE⊥AB，PB=a，∴∠EPB=60°∴PE=a，BE=a，∵P为弧BO的中点，∴BP=PO，∴∠PBO=∠BOP=30°，∴∠BPO=120°，∴∠BPE+∠BPO=120°+60°=180°，即OPE三点共线，∵OE=a+a=a，过E作EM⊥x轴于M，∵AO切⊙O1于O，∴∠EOA=30°，∴EM=OE=a，OM=a，∴E（﹣a， a），∵E（﹣a， a），D（﹣a， a），∴DE=﹣a﹣（﹣a）=a，DE边上的高为： a，∴S△DEF=×a×a=a2．故答案为：D（﹣a， a），E（﹣a， a），F（﹣a，0），P（﹣a，）；S△DEF=a2．6．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，»»．AB CD（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABE≌△DCE；（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．【答案】（1）BE=CE ，理由见解析；（2）证明见解析；（3）833． 【解析】 分析：（1）由A 、B 、C 、E 四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC ，所以»»BECE =，则弦相等；（2）根据SSS 证明△ABE ≌△DCE ； （3）作BC 和BE 两弦的弦心距，证明Rt △GBO ≌Rt △HBO （HL ），则∠OBH=30°，设OH=x ，则OB=2x ，根据勾股定理列方程求出x 的值，可得半径的长．本题解析：（1）解：BE=CE ，理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，∴∠BCE=∠EAC ，∴»»BECE =， ∴BE=CE ；（2）证明：∵»»AB CD =，∴AB=CD ，∵»»BE CE =，»»AE ED=，∴AE=ED ， 由（1）得：BE=CE ，在△ABE 和△DCE 中，∵AE DE AB CD BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△DCE （SSS ）；（3）解：如图，∵过O 作OG ⊥BE 于G ，OH ⊥BC 于H ，∴BH=12BC=12×8=4，BG=12BE ， ∵BE=CE ，∠EBC=∠EAC=60°， ∴△BEC 是等边三角形，∴BE=BC ，∴BH=BG ，∵OB=OB ，∴Rt △GBO ≌Rt △HBO （HL ），∴∠OBH=∠GBO=12∠EBC=30°， 设OH=x ，则OB=2x ， 由勾股定理得：（2x ）2=x 2+42，43∴OB=2x=833，∴⊙O的半径为833．点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.7．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是»AC上一动点，点E是CD中点，连接BD 分别交OC，OE于点F，G．（1）求∠DGE的度数；（2）若CFOF＝12，求BFGF的值；（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若CFOF＝k，求12SS的值．（用含k的式子表示）【答案】(1)∠DGE＝60°；(2)72；(3)12SS=211k kk+++.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；（2）过点F作FH⊥AB于点H设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3,根据勾股定理求出BF的长度，再证得△FGO∽△FCB，进而求得BFGF的值；（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出12SS的值．【详解】解：(1)∵BC ＝OB ＝OC ，∴∠COB ＝60°，∴∠CDB ＝12∠COB ＝30°， ∵OC ＝OD ，点E 为CD 中点，∴OE ⊥CD ，∴∠GED ＝90°，∴∠DGE ＝60°；(2)过点F 作FH ⊥AB 于点H设CF ＝1，则OF ＝2，OC ＝OB ＝3∵∠COB ＝60°∴OH ＝12OF ＝1， ∴HFHB ＝OB ﹣OH ＝2，在Rt △BHF 中，BF ==由OC ＝OB ，∠COB ＝60°得：∠OCB ＝60°，又∵∠OGB ＝∠DGE ＝60°，∴∠OGB ＝∠OCB ，∵∠OFG ＝∠CFB ，∴△FGO ∽△FCB ， ∴OF GF BF CF=， ∴， ∴BF GF =72. (3)过点F 作FH ⊥AB 于点H ，设OF ＝1，则CF ＝k ，OB ＝OC ＝k+1，∵∠COB ＝60°，∴OH ＝12OF=12，∴HF=，HB ＝OB ﹣OH ＝k+12， 在Rt △BHF 中，BF =由(2)得：△FGO ∽△FCB ， ∴GO OFCB BF =，即1GO k =+，∴GO211kk k+=++，过点C作CP⊥BD于点P∵∠CDB＝30°∴PC＝12CD，∵点E是CD中点，∴DE＝12CD，∴PC＝DE，∵DE⊥OE，∴12SS=BFGO=22111k kkk k+++++=211k kk+++【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．8．如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；（2）若3tan2AED∠=，求AE的长；（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值.【答案】（1）62ADES=2）1655AE=3）23m=，22m=71m =-. 【解析】【分析】（1）作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，则EH ＝OH ＝2+a ，根据Rt △AEB 中，EH 2＝AH•BH ，即可求出a 的值，即可求出S △ADE 的值；（2）作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE ，设EF ＝2x ，DF ＝3x ，根据DF ∥BE 故AF AD EF BD=，得出AF ＝6x ，再利用Rt △AFD 中，AF 2+DF 2＝AD 2，即可求出x ，进而求出AE 的长； （3）根据等腰直角三角形的不同顶点进行分类讨论，分别求出m 的值.【详解】解：（1）如图，作EH ⊥AB ，连接OE ，EB ，设DH ＝a ，则HB ＝2﹣a ，OH ＝2+a ，∵点E 是弧BC 中点，∴∠COE ＝∠EOH ＝45°，∴EH ＝OH ＝2+a ，在Rt △AEB 中，EH 2＝AH •BH ，（2+a ）2＝（6+a ）（2﹣a ），解得a ＝222±-，∴a ＝222-，EH=22，S △ADE ＝1622AD EH =n n ;（2）如图，作DF ⊥AE ，垂足为F ，连接BE设EF ＝2x ，DF ＝3x∵DF ∥BE∴AF ADEF BD =∴622AFx ==3∴AF＝6x在Rt△AFD中，AF2+DF2＝AD2（6x）2+（3x）2＝（6）2解得x＝25 5AE＝8x＝165 5（3）当点D为等腰直角三角形直角顶点时，如图设DH＝a由DF=DE,∠DOF=∠EHD=90°，∠FDO+∠DFO=∠FDO+∠EDH，∴∠DFO=∠EDH∴△ODF≌△HED∴OD＝EH＝2在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（2）2＝（6+a）•（2﹣a）解得a＝±232-m＝23当点E为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFG≌△DEH设DH＝a，则GE＝a，EH＝FG＝2+a在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（2+a）2＝（6+a）（2﹣a）解得a＝222±∴m＝2当点F为等腰直角三角形直角顶点时，如图同理得△EFM≌△FDO设OF＝a，则ME＝a，MF＝OD＝2∴EH＝a+2在Rt△ABE中，EH2＝AH•BH（a+2）2＝（4+a）•（4﹣a）-解得a＝±71m＝71-【点睛】此题主要考查圆内综合问题，解题的关键是熟知全等三角形、等腰三角形、相似三角形的判定与性质.9．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作¶AC、¶CB、¶BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，设点l为对称轴的交点．（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）【答案】（1）3π；（2）27π；（3）3．【解析】试题分析：（1）先求出¶AC 的弧长，继而得出莱洛三角形的周长为3π，即可得出结论； （2）先判断出莱洛三角形等边△DEF 绕一周扫过的面积如图所示，利用矩形的面积和扇形的面积之和即可；（3）先判断出莱洛三角形的一个顶点和O 重合旋转一周点I 的路径，再用圆的周长公式即可得出．试题解析：解：（1）∵等边△ABC 的边长为3，∴∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，¶¶¶AC BC AB ==，∴¶¶AC BC l l ==¶AB l =603180π⨯=π，∴线段MN 的长为¶¶¶AC BC ABl l l ++=3π．故答案为3π； （2）如图1．∵等边△DEF 的边长为2π，等边△ABC 的边长为3，∴S 矩形AGHF =2π×3=6π，由题意知，AB ⊥DE ，AG ⊥AF ，∴∠BAG =120°，∴S 扇形BAG =21203360π⨯=3π，∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为3（S 矩形AGHF +S 扇形BAG ）=3（6π+3π）=27π；（3）如图2，连接BI 并延长交AC 于D ．∵I 是△ABC 的重心也是内心，∴∠DAI =30°，AD =12AC =32，∴OI =AI =3230AD cos DAI cos ∠=︒=3，∴当它第1次回到起始位置时，点I 所经过的路径是以O 为圆心，OI 为半径的圆周，∴当它第n 次回到起始位置时，点I 所经过的路径长为n •2π•3=23n π．故答案为23n π．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，莱洛三角形的周长，矩形，扇形面积公式，解（1）的关键是求出¶AC 的弧长，解（2）的关键是判断出莱洛三角形绕等边△DEF 扫过的图形，解（3）的关键是得出点I 第一次回到起点时，I 的路径，是一道中等难度的题目．10．如图，线段BC 所在的直线 是以AB 为直径的圆的切线，点D 为圆上一点，满足BD ＝BC ，且点C 、D 位于直径AB 的两侧，连接CD 交圆于点E . 点F 是BD 上一点，连接EF ，分别交AB 、BD 于点G 、H ，且EF ＝BD .(1)求证：EF ∥BC ；(2)若EH ＝4，HF ＝2，求»BE的长.【答案】(1)见解析；(2) 233【解析】【分析】（1）根据EF＝BD可得»EF＝»BD，进而得到»»BE DF=，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出∠BHG，进而求出∠BDE的度数，确定»BE所对的圆心角的度数，根据∠DFH＝90°确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)∵EF＝BD，∴»EF＝»BD∴»»BE DF=∴∠D＝∠DEF又BD＝BC，∴∠D＝∠C，∴∠DEF=∠CEF∥BC(2)∵AB是直径，BC为切线，∴AB⊥BC又EF∥BC，∴AB⊥EF，弧BF=弧BE,GF＝GE＝12(HF+EH)=3，HG=1DB平分∠EDF，又BF ∥CD ，∴∠FBD ＝∠FDB ＝∠BDE ＝∠BFH∴HB ＝HF ＝2∴cos ∠BHG ＝HG HB ＝12，∠BHG ＝60°. ∴∠FDB ＝∠BDE ＝30° ∴∠DFH ＝90°，DE 为直径，DE ＝43，且弧BE 所对圆心角＝60°.∴弧BE ＝16×43π＝233π【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.11．如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D 作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°．⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ；⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）【答案】⑴ 222；⑵ 见解析；⑶ y =2x【解析】【分析】（1）如图，连接OD ，则有∠AOD=45°，所以△DOC 为等腰直角三角形，又OC=2，所以2,故可求出AC 的长；（2）连接AD ，DP ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF ，证DP=DE证PF=EF=12PE ，故可证出PE =2AC ； （3）首先求出22OD CD x ==，再求AB=22x ,再证△DGE ≌△DBA,得GE =AB =2x ，由PE=2AC 得PE =2(2)x x -，再根据GP =GE －PE 可求结论.【详解】（1）连接OD ，如图，∵∠B=22.5°，∴∠DOC=45°,∵DC⊥AB∴△DOC为等腰直角三角形，∵OC=2，∴2∴2，∴AC=AO-OC=222.⑵连接AD，DP，过点D作DF⊥OP，垂足为点F.∵OP⊥AB,∴∠POD=∠DOC=45°，∴AD=PD，∵△DOC为等腰直角三角形，∴DC=CO,易证DF=CO，∴DC=DF，∴Rt△DAC≌Rt△DPF,∴PF=AC,∵DO=AO,∠DOA=45°∴∠DAC=67.5°∴∠DPE=67.5°,∵OD=OB，∠B=22.5°，∴∠ODE=22.5°∴∠DEP=22.5°+45°=67.5°∴∠DEP=∠DPE∴PF=EF=12PE ∴PE =2AC（3）如图2，由∠DCO =90°，∠DOC =45°得22OD CD x == ∴ AB =2OD=22x∵AB 是直径，∴∠ADB=∠EDG=90°，由（2）得AD=ED,∠DEG=∠DAC∴△DGE ≌△DBA∴ GE =AB =22x∵ PE =2AC∴ PE =2(2)x x -∴ GP =GE －PE =222(2-)x x x -即：y =2x【点睛】本题是一道圆的综合题，涵盖的知识点较多，难度较大，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握并运用这些知识是解题的关键.12．已知AC ＝DC ，AC ⊥DC ，直线MN 经过点A ，作DB ⊥MN ，垂足为B ，连结CB ．[感知]如图①，点A 、B 在CD 同侧，且点B 在AC 右侧，在射线AM 上截取AE ＝BD ，连结CE ，可证△BCD ≌△ECA ，从而得出EC ＝BC ，∠ECB ＝90°，进而得出∠ABC ＝ 度；[探究]如图②，当点A 、B 在CD 异侧时，[感知]得出的∠ABC 的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出∠ABC 的大小．[应用]在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当∠BCD ＝30°，BD ＝时，直接写出BC 的长． 【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC 的长为+1或﹣1． 【解析】【分析】[感知]证明△BCD ≌△ECA （SAS ） 即可解决问题；[探究]结论不变，证明△BCD ≌△ECA （SAS ） 即可解决问题；[应用]分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：【感知】，如图①中，在射线AM上截取AE＝BD，连结CE．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°．∴∠CDB+∠CAB＝180°，∵∠CAB+∠CAE＝180°∴∠D＝∠CAE，∵CD＝AC，AE＝BD，∴△BCD≌△ECA（SAS），∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．故答案为45【探究】不改变．理由如下：如图，如图②中，在射线AN上截取AE＝BD，连接CE，设MN与CD交于点O．∵AC⊥DC，DB⊥MN，∴∠ACD＝∠DBA＝90°，∵∠AOC＝∠DOB，∴∠D＝∠EAC，CD＝AC，∴△BCD≌△ECA（SAS），∴BC＝EC，∠BCD＝∠ECA，∵∠ACE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠DCB＝90°，即∠ECB＝90°，∴∠ABC＝45°．【拓展】如图①﹣1中，连接AD．∴∠ACD+∠ABD＝180°，∴A，C，D，B四点共圆，∴∠DAB＝∠DCB＝30°，∴AB ＝BD＝，∴EB＝AE+AB＝+，∵△ECB是等腰直角三角形，如图②中，同法可得BC＝﹣1．综上所述，BC的长为+1或﹣1．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．13．如图, Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F， (1)设AB=c, BC=a, AC=b, 求证: 内切圆半径r＝12(a+b-c).(2) 若AD交圆于P, PC交圆于H, FH//BC, 求∠CPD;(3)若r=310, PD＝18, PC=272. 求△ABC各边长.【答案】（1）证明见解析（2）45°（3）91010,1510，12【解析】【分析】（1）根据切线长定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易证四边形BDOF为正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC为等量关系列式．（2）∠CPD为弧DH所对的圆周角，连接OD，易得弧DH所对的圆心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和r=310,联想到垂径定理基本图形，故过圆心O作PD的垂线OM，求得弦心距OM=3，进而得到∠MOD的正切值．延长DO得直径DG，易证PG∥OM，得到同位角∠G=∠MOD．又利用圆周角定理可证∠ADB=∠G，即得到∠ADB的正切值，进而求得AB．再设CE=CD=x，用x表示BC、AC，利用勾股定理列方程即求出x．【详解】解：（1）证明：设圆心为O，连接OD、OE、OF，∵⊙O分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四边形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（a+b-c）（2）取FH中点O，连接OD ∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB与圆相切于点F，∴FH为圆的直径，即O为圆心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12∠DOH=45°（3）设圆心为O ，连接DO 并延长交⊙O 于点G ，连接PG ，过O 作OM ⊥PD 于M ∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12PD=9 ∵10 ∴22OD DM -22(310)9-9081-3∴tan ∠MOD=DM OM ＝3 ∵DG 为直径∴∠DPG=90°∴OM ∥PG ，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan ∠ADB=AB BD=tan ∠MOD=3 ∴10 ∴10−10＝10设CE=CD=x ，则10+x ，10+x∵AB 2+BC 2=AC 2 ∴10)2．10+x)2＝10+x)2 解得：10∴10，10∴△ABC 各边长10，10，10【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，正方形的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理．切线长定理的运用是解决本题的关键，而在不能直接求得线段长的情况下，利用勾股定理作为等量关系列方程解决是常用做法．14．如图，AB是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，点F是DA延长线上的一点，过⊙O上一点C作⊙O的切线交DF于点E，CE⊥DF．(1)求证：AC平分∠FAB；(2)若AE＝1，CE＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）5 2【解析】试题分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA=∠OAC与∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB(2)连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE.∵AE ＝1，CE ＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE =+=+= ∴()22551AC AB AE ===，∴⊙O 的半径为52．15．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQ k CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ．（1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值．②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”．（2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ，①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值．②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<． 【解析】【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQ k CQ=计算即可解决问题；②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，可得当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<．【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，2212122k +∴==，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥．(1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =时，3DQ =，此时221CD CQ DQ =-=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
备战中考数学圆的综合综合题附答案
备战中考数学圆的综合综合题附答案一、圆的综合1．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，AD 平分∠BAC ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AE ＝8，⊙O 的半径为5，求DE 的长．【答案】（1）直线DE 与⊙O 相切（2）4【解析】试题分析：（1）连接OD ，∵AD 平分∠BAC ，∴EAD OAD ∠∠＝，∵OA OD ＝，∴ODA OAD ∠∠＝，∴ODA EAD ∠∠＝，∴EA ∥OD ，∵DE ⊥EA ，∴DE ⊥OD ，又∵点D 在⊙O 上，∴直线DE 与⊙O 相切（2）如图1，作DF ⊥AB ，垂足为F ，∴DFA DEA 90∠∠︒＝＝，∵EAD FAD ∠∠＝，AD AD ＝，∴△EAD ≌△FAD ，∴AF AE 8＝＝，DF DE ＝，∵OA OD 5＝＝，∴OF 3＝，在Rt △DOF 中，22DF 4OD OF -＝＝，∴AF AE 8＝＝ 考点：切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系点评：本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A 作出直径BC 所在射线的垂线．【答案】画图见解析.【解析】【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.【详解】解：画图如下：【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.3．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒ 2,AB AC ==AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D 的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．【答案】(1)见解析;(2)24π.【解析】 分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC 2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．详解：（1）如图，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵AD⊥BC，AB=AC，∴∠1=12∠BAC=45°，BD=CD，∠ADC=90°．又∵∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=CD．又∵∠EAF=90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠EDF=90°，∴∠2+∠4=90°．又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE和△CDF中．∵123CAD CD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADE≌△CDF（ASA）．（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=2，∴sin∠C=ADAC，∴AD=AC sin∠C=1，∴⊙O的半径为12，∴⊙O的面积为24π．点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若AE＝4，tan∠ACD＝33，求FC的长．【答案】（1）见解析【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出∠OCF=90°，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可．详解：(1)证明：连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCB＋∠ACO＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB.又∵∠FCA＝∠B，∴∠FCA＝∠OCB，∴∠FCA＋∠ACO＝90°，即∠FCO＝90°，∴FC⊥OC，∴FC是⊙O切线．(2)解：∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，∴EC=AE43 tan ACE3∠==，设OA＝OC＝r，则OE＝OA－AE＝r－4.在Rt△OEC中，OC2＝OE2＋CE2，即r2＝(r－4)2＋(43)2，解得r＝8.∴OE＝r－4＝4＝AE.∵CE⊥OA，∴CA＝CO＝8，∴△AOC是等边三角形，∴∠FOC＝60°，∴∠F＝30°.在Rt△FOC中，∵∠OCF＝90°，OC＝8，∠F＝30°，∴OF＝2OC＝16，∴FC＝22OF OC83-=.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键．5．如图，已知AB为⊙O直径，D是»BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴»»DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．6．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC =24=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=1 2OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．7．四边形ABCD内接于⊙O，点E为AD上一点，连接AC，CB，∠B=∠AEC．（1）如图1，求证：CE=CD；（2）如图2，若∠B+∠CAE=120°，∠ACD=2∠BAC，求∠BAD的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，延长CE交⊙O于点G，若tan∠BAC= 5311，EG=2，求AE的长．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）7.【解析】试题分析：(1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠CDE.(2) 作CH⊥DE于H, 设∠ECH=α，由（1）CE=CD，用α表示∠CAE，∠BAC，而∠BAD=∠BAC+∠CAE.（3）连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，先证明∠CAG=∠BAC，设NG=3m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m的值并求出AE长.试题解析：（1）解：证明：∵四边形ABCD内接于⊙O.∴∠B+∠D=180°，∵∠B=∠AEC，∴∠AEC+∠D=180°，∵∠AEC+∠CED=180°，∴∠D=∠CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥DE于H．设∠ECH=α，由（1）CE=CD，∴∠ECD=2α，∵∠B=∠AEC，∠B+∠CAE=120°，∴∠CAE+∠AEC=120°，∴∠ACE=180°﹣∠AEC﹣∠ACE=60°，∴∠CAE=90°﹣∠ACH=90°﹣（60°+α）=30°﹣α，∠ACD=∠ACH+∠HCD=60°+2α，∵∠ACD=2∠BAC，∴∠BAC=30°+α，∴∠BAD=∠BAC+∠CAE=30°+α+30°﹣α=60°．（3）解：连接AG，作GN⊥AC，AM⊥EG，∵∠CED=∠AEG，∠CDE=∠AGE，∠CED=∠CDE，∴∠AEG=∠AGE，∴AE=AG，∴EM=MG=1EG=1，2∴∠EAG=∠ECD=2α，∴∠CAG=∠CAD+∠DAG=30°﹣α+2α=∠BAC，∵tan∠BAC53，∴设NG=3，可得AN=11m，AG22-14m，AG AM∵∠ACG=60°，∴CN=5m，AM3，MG22-m=1，AG AM∴m=1，2∴CE=CD =CG ﹣EG =10m ﹣2=3，∴AE =22AM EM +=221+43（）=7．8．如图1，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BA=BC ，直线MN 是过点A 的直线CD ⊥MN 于点D ，连接BD ．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC ，AD ，BD 之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ，进而得出：DC+AD= BD ．（2）探究证明将直线MN 绕点A 顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC ，AD ，BD 之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN 绕点A 旋转的过程中，当△ABD 面积取得最大值时，若CD 长为1，请直接写BD 的长．【答案】（12；（2）AD ﹣2BD ；（3）2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形， ∴DE=2BD ，∴DC+AD=2BD ，故答案为2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠， ∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =． ∵DE AD AE AD CD =-=-，∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，∴21BD AD ==+．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.9．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析 （2）233π- 【解析】 【分析】（1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题． 【详解】 （1）连接OD ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．∵¶¶AE DE=，∴OE ⊥AD ． ∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=-． 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．如图①，抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过点A （﹣2，0）、B （4，0）、C （0，3）三点．（1）试求抛物线的解析式；（2）点P 是y 轴上的一个动点，连接PA ，试求5PA+4PC 的最小值；（3）如图②，若直线l 经过点T （﹣4，0），Q 为直线l 上的动点，当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l 的解析式． 【答案】（1）233384y x x =-++；（2）5PA+4PC 的最小值为18；（3）直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--.【解析】 【分析】（1）设出交点式，代入C 点计算即可 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，易证△CDP ∽△COB ，得到比例式PC PD BC OB =，得到PD=45PC ，所以5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ），当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小，利用等面积法求出AE=185，即最小值为18 （3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°，即∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q ，∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个；此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ，利用cos ∠QFT 求出QG ，分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时，分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】解：（1）∵抛物线与x 轴交点为A （﹣2，0）、B （4，0） ∴y ＝a （x+2）（x ﹣4） 把点C （0，3）代入得：﹣8a ＝3 ∴a ＝﹣38∴抛物线解析式为y ＝﹣38（x+2）（x ﹣4）＝﹣38x 2+34x+3 （2）连接AC 、BC ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP ＝∠COB ＝90° ∵∠DCP ＝∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴PC PDBC OB= ∵B （4，0），C （0，3）∴OB ＝4，OC ＝3，BC ∴PD ＝45PC ∴5PA+4PC ＝5（PA+45PC ）＝5（PA+PD ） ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时，5PA+4PC ＝5（PA+PD ）＝5AE 最小 ∵A （﹣2，0），OC ⊥AB ，AE ⊥BC ∴S △ABC ＝12AB•OC ＝12BC•AE ∴AE ＝631855AB OC BC ⨯==n ∴5AE ＝18∴5PA+4PC 的最小值为18．（3）取AB 中点F ，以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90°时，即AQ 或BQ 垂直x 轴，∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ ＝90°或∠ABQ ＝90° ∴∠AQB ＝90°时，只有一个满足条件的点Q∵当Q 在⊙F 上运动时（不与A 、B 重合），∠AQB ＝90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时，满足∠AQB ＝90°的点Q 只有一个 此时，连接FQ ，过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT ＝90°∵F 为A （﹣2，0）、B （4，0）的中点 ∴F （1，0），FQ ＝FA ＝3∵T （﹣4，0） ∴TF ＝5，cos ∠QFT ＝35FQ TF = ∵Rt △FGQ 中，cos ∠QFT ＝35FG FQ =∴FG＝35FQ ＝95∴x Q ＝1﹣9455=-，QG ＝2222912FQ 355FG ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭①若点Q 在x 轴上方，则Q （41255-，） 设直线l 解析式为：y ＝kx+b∴4041255k b k b -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：343k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴直线l ：334y x =+ ②若点Q 在x 轴下方，则Q （41255--，） ∴直线l ：334y x =-- 综上所述，直线l 的解析式为334y x =+或334y x =--【点睛】本题是二次函数与圆的综合题，同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点，综合度比较高，需要很强的综合能力，第三问能够找到满足条件的Q点是关键，同时不要忘记需要分情况讨论11．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23【解析】【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.∠EOC=∠DAO=105°，在OCE②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=2，∠OCE=45°.等腰直角三2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23则EF=GE-FG=23【试题解析】（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG∵OC=2∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt △OGE 中，∠E=30°，∴GE=23. ∴EF=GE-FG=23-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.12．如图①，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作O e ，过C 作CE 切O e 于E ，交AB 于F .（1）若O e 的半径为2，求线段CE 的长； （2）若AF BF =，求O e 的半径；（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.【答案】(1)42CE =(2)O e 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6. 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得； （2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到OE BC =OC BA ，即r 8-r=610，解得即可；（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GEAB AC=，即12108GE =，解得即可．【详解】 (1)如图，连结OE . ∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒.∵8AC =，O e 半径为2， ∴6OC =，2OE =.∴2242CE OC OE =-=； (2)设O e 半径为r .在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =， ∴226BC AB AC =-=.∵AF BF =， ∴AF CF BF ==. ∴ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ，∴90OEC ∠=︒. ∴OEC ACB ∠=∠， ∴OEC BCA ∆~∆. ∴OE OCBC BA =， ∴8610r r -=， 解得3r =. ∴O e 的半径为3；(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，由对称性可知，CB CG =.又CE CB =， ∴CE CG =. ∴EGC GEC ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ， ∴90GEC OEG ∠+∠=︒. 又90EGC GMC ∠+∠=︒，∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠， ∴OEG OME ∠=∠. ∴OE OM =. ∴点M 与点D 重合.∴G 、D 、E 三点在同一条直线上. 连结AE 、BE ， ∵AD 是直径，∴90AED ∠=︒，即90AEG ∠=︒. 又CE CB CG ==， ∴90BEG ∠=︒.∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒， ∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.∴E 、F 两点重合.∵90GEB ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠， ∴GBE ABC ∆~∆. ∴GB GE AB AC =，即12108GE=. ∴9.6GE =.故G 、E 两点之间的距离为9.6. 【点睛】本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G 、D 、E 三点共线以及A 、E 、B 三点在同一条直线上是解题的关键.13．如图所示，ABC ∆内接于圆O ，CD AB ⊥于D ； （1）如图1，当AB 为直径，求证：OBC ACD ∠=∠；（2）如图2，当AB 为非直径的弦，连接OB ，则（1）的结论是否成立？若成立请证明，不成立说明由；（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于E ，交CD 于点F ，连接ED ，且2AD BD ED =+，若3DE =，5OB =，求CF 的长度．【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）145【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ACB=90°，求出∠ADC=90°，再根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠BOC=2∠A ，求出∠OBC=90°-∠A 和∠ACD=90°-∠A 即可； （3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，在AD 上取DG=BD ，延长CG 交AK 于M ，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ，求出关于a 的方程，再求出a 即可． 【详解】（1）证明：∵AB 为直径， ∴ACB 90∠=︒，∵CD AB ⊥于D ，∴ADC 90∠=︒，∴OBC A 90∠∠+=︒，A ACD 90∠∠+=︒， ∴OBC ACD ∠∠=；（2）成立， 证明：连接OC ，由圆周角定理得：BOC 2A ∠∠=， ∵OC OB =， ∴()()11OBC 180BOC 1802A 90A 22∠∠∠∠=︒-=︒-=︒-， ∵ADC 90∠=︒，∴ACD 90A ∠∠=︒-，∴OBC ACD ∠∠=；（3）分别延长AE 、CD 交⊙O 于H 、K ，连接HK 、CH 、AK ，∵AE BC ⊥，CD BA ⊥，∴AEC ADC 90∠∠==︒，∴BCD CFE 90∠∠+=︒，BAH DFA 90∠∠+=︒， ∵CFE DFA ∠∠=， ∴BCD BAH ∠∠=，∵根据圆周角定理得：BAH BCH ∠∠=， ∴BCD BAH BCH ∠∠∠==，∴由三角形内角和定理得：CHE CFE ∠∠=，∴CH CF =， ∴EH EF =， 同理DF DK =， ∵DE 3=， ∴HK 2DE 6==，在AD 上取DG BD =，延长CG 交AK 于M ，则AG AD BD 2DE 6=-==，BC GC =，∴MCK BCK BAK ∠∠∠==， ∴CMK 90∠=︒，延长KO 交⊙O 于N ，连接CN 、AN ， 则NAK 90CMK ∠∠=︒=， ∴CM //AN ， ∵NCK ADK 90∠∠==︒，∴CN //AG ，∴四边形CGAN 是平行四边形， ∴AG CN 6==， 作OT CK ⊥于T ， 则T 为CK 的中点， ∵O 为KN 的中点， ∴1OT CN 32==，∵OTC 90∠=︒，OC 5=，∴由勾股定理得：CT 4=，∴CK 2CT 8==，作直径HS ，连接KS ，∵HK 6=，HS 10=，∴由勾股定理得：KS 8=， ∴3tan HSK tan HAK 4∠∠==， ∴1tan EAB tan BCD 3∠∠==， 设BD a =，CD 3a =， ∴AD BD 2ED a 6=+=+，11DK AD a 233==+， ∵CD DK CK +=，∴13a a 283++=， 解得：9a 5=， ∴113DK a 235=+=， ∴2614CF CK 2DK 855=-=-=． 【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质、圆周角定理、勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，综合性比较强，难度偏大．14．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线上的一点，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线交DF 于点E ，CE ⊥DF ．(1)求证：AC 平分∠FAB ；(2)若AE ＝1，CE ＝2，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）52【解析】 试题分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA =∠OAC 与∠CAE=∠OCA，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB∽△AEC，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC.∵CE是⊙O的切线，∴∠OCE =90°∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB(2)连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE=.∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE=+=+=∴()22551ACABAE===，∴⊙O的半径为52．15．如图，已知等边△ABC，AB=16，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求FG的长；（3）求tan∠FGD的值．【答案】(1)证明见解析；（2）6；（3）．【解析】试题分析：(1)连接OD，根据等边三角形得出∠A=∠B=∠C=60°，根据OD=OB得到∠ODB=60°，得到OD∥AC，根据垂直得出切线；(2)根据中位线得出BD=CD=6，根据Rt△CDF的三角函数得出CF的长度，从而得到AF的长度，最后根据Rt△AFG的三角函数求出FG的长度；(3)过点D作DH⊥AB，根据垂直得出FG∥DH，根据Rt△BDH求出BH、DH的长度，然后得出∠GDH的正切值，从而得到∠FGD的正切值.试题解析：(1)如图①，连结OD，∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠A＝∠B＝60°，而OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∠ODB＝60°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线(2)∵OD∥AC，点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴BD＝CD＝6.在Rt△CDF中，∠C＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝3，∴AF＝AC－CF＝12－3＝9 在Rt△AFG中，∵∠A＝60°，∴FG＝AF·sinA＝9×＝(3)如图②，过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG∥DH，∴∠FGD＝∠GDH.在Rt△BDH中，∠B＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝3，DH＝BH＝3.∴tan∠GDH＝＝＝，∴tan∠FGD＝tan∠GDH＝考点：(1)圆的基本性质；(2)三角函数.。
备战中考数学圆的综合综合练习题及详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．2．定义：有一个角是其邻角一半的圆内接四边形叫做圆内倍角四边形．（1）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求证：四边形ABCD为圆内接倍角四边形；（2）在（1）的条件下，⊙O半径为5．①若AD为直径，且sinA=45，求BC的长；②若四边形ABCD中有一个角为60°，且BC=CD，则四边形ABCD的面积是；（3）在（1）的条件下，记AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求证：d2﹣b2=ab+cd．【答案】（1）见解析；（2）①BC＝6，②7534或754；（3）见解析【解析】【分析】（1）先判断出∠ADC=180°﹣2∠A．进而判断出∠ABC=2∠A，即可得出结论；（2）①先用锐角三角函数求出BD，进而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出结论；②分两种情况：利用面积和差即可得出结论；（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，进而得出CE=d﹣c，再判断出△EBC∽△EDA，即可得出结论．【详解】（1）设∠A=α，则∠DCB=180°﹣α．∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四边形ABCD是⊙O内接倍角四边形；（2）①连接BD．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=45，∴BD=8，根据勾股定理得：AB=6，设∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；②若∠ADC=60°时．∵四边形ABCD是圆内接倍角四边形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．Ⅰ、当∠BCD=120°时，如图3，连接OA，OB，OC，OD．∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=12∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O 的直径，（为了说明AD是直径，点O没有画在AD上）∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等边三角形，∴S四边形ABCD=3S△AOB 32753．Ⅱ、当∠BAD=30°时，如图4，连接OA，OB，OC，OD．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=12∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．连接AC，∴∠DAC=12∠BAD=15°．∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．过点C作CH⊥OB于H．在Rt△OCH中，CH=12OC=52，∴S四边形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB=1522×5+12×5×5=754．故答案为：34或754；（3）延长DC ，AB 交于点E ．∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCE =∠A =12∠ABC ． ∵∠ABC =∠BCE +∠A ，∴∠E =∠BCE =∠A ，∴BE =BC =b ，DE =DA =b ，∴CE =d ﹣c ． ∵∠BCE =∠A ，∠E =∠E ，∴△EBC ∽△EDA ，∴CE BC AE AD =，∴d c b a b d-=+，∴d 2﹣b 2=ab +cd ．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的内接四边形的性质，新定义，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．3．如图,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB=CD ．(1)如图(1),求证:AD ∥BC ；(2)如图(2),点F 是AC 的中点,弦DG ∥AB,交BC 于点E,交AC 于点M,求证:AE=2DF ；(3)在(2)的条件下,若DG 平分∠ADC,GE=53,tan ∠ADF=43,求⊙O 的半径。
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备战中考数学圆的综合综合练习题一、圆的综合1．如图， AB 是半圆的直径，过圆心O 作 AB 的垂线，与弦AC 的延长线交于点D，点 E 在OD上DCE B．（1）求证： CE是半圆的切线；（2）若 CD=10 ，tan B 2，求半圆的半径．3【答案】（ 1）见解析； (2) 4 13【解析】分析 : （ 1）连接 CO，由DCE B 且OC=OB,得 DCE OCB ,利用同角的余角相等判断出∠ BCO+∠ BCE=90°，即可得出结论；（2）设 AC=2x，由根据题目条件用x 分别表示出 OA、AD、 AB，通过证明△AOD∽ △ ACB，列出等式即可 .详解：（ 1）证明：如图，连接CO.∵AB 是半圆的直径，∴∠ ACB=90 °.∴∠ DCB=180 -°∠ACB=90 .°∴∠ DCE+∠ BCE=90. °∵O C=OB,∴∠ OCB=∠ B.∵DCE= B，∴∠ OCB=∠ DCE.∴∠ OCE=∠ DCB=90 .°∴OC⊥CE.∵OC 是半径，∴CE是半圆的切线.（2）解：设AC=2x，AC 2∵在 Rt△ ACB中，tanB,BC 3∴B C=3x.∴ AB2x 223x13x .∵OD⊥ AB,∴∠ AOD=∠ACB=90 .°∵∠ A=∠ A，∴△ AOD∽△ ACB.∴AC AO.AB AD113∵OA AB x ，AD=2x+10,22∴ 2x 113x. 213x2x10解得 x=8.∴OA 138 4 13. 2则半圆的半径为413 .点睛：本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形.2．如图，在△ ABP 中 ,C 是 BP 边上一点 ,∠PAC=∠ PBA,⊙ O 是△ABC 的外接圆 ,AD 是⊙O 的直径 ,且交 BP 于点 E.（1）求证： PA 是⊙ O 的切线；（2）过点 C 作 CF⊥ AD，垂足为点 F，延长 CF交 AB 于点 G，若 AG?AB=12，求 AC的长．【答案】（ 1）证明见解析（ 2）2 3【解析】试题分析：（ 1）根据圆周角定理得出∠ ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90 进°而得出答案；（2）首先得出△ CAG∽ △ BAC，进而得出A C2=AG·AB，求出 AC 即可 .试题解析：（ 1）连接 CD,如图 ,∵AD 是⊙O 的直径 ,∴∠ ACD=90 ,°∴∠ CAD+∠ D=90 ，°∵∠ PAC=∠ PBA，∠ D=∠ PBA，∴∠ CAD+∠ PAC=90 ，°即∠ PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA 是⊙O 的切线；（2）∵ CF⊥ AD，∴∠ ACF+∠ CAF=90 ，°∠CAD+∠ D=90 ，°∴∠ ACF=∠ D，∴∠ ACF=∠ B，而∠ CAG=∠ BAC，∴△ ACG∽ △ABC，∴AC： AB=AG： AC，2∴AC =AG?AB=12，uuur3．在⊙ O 中，点 C 是AB上的一个动点 (不与点 A， B 重合 )，∠ ACB=120°，点 I 是∠ ABC 的内心， CI 的延长线交⊙ O 于点 D，连结 AD,BD．（1）求证： AD=BD．（2）猜想线段 AB 与 DI 的数量关系，并说明理由．（3）若⊙ O 的半径为 2，点 E， F 是?的三等分点，当点 C 从点 E 运动到点 F 时，求点 IAB随之运动形成的路径长．2 3【答案】（ 1）证明见解析；（2） AB=DI，理由见解析（3）9【解析】分析：（ 1）根据内心的定义可得CI 平分∠ ACB，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；（2）根据∠ ACB=120°，∠ ACD=∠ BCD，可求出∠ BAD 的度数，再根据AD=BD，可证得△ABD 是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠ BID=∠ IBD，得出ID=BD，再根据 AB=BD，即可证得结论；（3）连接 DO，延长 DO 根据题意可知点I 随之运动形成的图形式以 D 为圆心， DI1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD 的长，再根据点 E，F 是弧 AB ?的三等分点，△ ABD 是等边三角形，可证得∠ DAI1=∠ AI1D，然后利用弧长的公式可求出点I随之运动形成的路径长.详解：（ 1）证明：∵点 I 是∠ ABC的内心∴CI 平分∠ ACB∴∠ ACD=∠ BCD∴弧 AD=弧 BD∴AD=BD（2） AB=DI理由：∵ ∠ ACB=120°，∠ ACD=∠ BCD∴∠ BCD=× 120=60° °∵弧 BD=弧 BD∴∠ DAB=∠ BCD=60 °∵AD=BD∴△ ABD 是等边三角形，∴A B=BD，∠ ABD=∠ C∵I是△ABC的内心∴BI 平分∠ ABC∴∠ CBI=∠ ABI∵∠ BID=∠ C+∠ CBI，∠ IBD=∠ ABI+∠ABD∴∠ BID=∠ IBD∴I D=BD∵A B=BD∴A B=DI（3）解：如图，连接DO，延长 DO 根据题意可知点I 随之运动形成的图形式以 D 为圆心， DI1为半径的弧∵∠ ACB=120 ，°弧 AD=弧 BD∴∠ AED=∠ ACB=× 120=60° °∵圆的半径为2， DE 是直径∴D E=4，∠ EAD=90 °∴A D=sin∠ AED× DE= × 4=2∵点 E， F 是弧 AB ?的三等分点，△ABD是等边三角形，∴∠ ADB=60 °∴弧 AB 的度数为120 ，°∴弧 AM 、弧 BF 的度数都为为40 °∴∠ ADM=20 °=∠ FAB∴∠ DAI1=∠ FAB+∠DAB=80°∴∠ AI1D=180°-∠ ADM- ∠ DAI1 =180 °-20 °-80 °=80 °∴∠ DAI1=∠ AI1D∴A D=I1D=2∴弧 I1I2的长为：点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.4．四边形ABCD 的对角线交于点E，且AE＝ EC， BE＝ ED，以AD 为直径的半圆过点E，圆心为O．（1）如图①，求证：四边形ABCD 为菱形；（2）如图②，若 BC 的延长线与半圆相切于点F，且直径AD＝6，求弧AE 的长．【答案】（ 1）见解析；（2）【解析】π2试题分析：（ 1）先判断出四边形ABCD是平行四边形，再判断出AC⊥ BD 即可得出结论；（2）先判断出 AD=DC 且 DE⊥ AC，∠ ADE=∠ CDE，进而得出∠CDA=30°，最后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（ 1）∵四边形 ABCD的对角线交于点 E，且 AE=EC，BE=ED，∴四边形ABCD是平行四边形．∵以AD为直径的半圆过点E，∴∠ AED=90 °，即有 AC⊥BD，∴四边形 ABCD是菱形；（2）由（ 1）知，四边形 ABCD是菱形，∴ △ ADC为等腰三角形，∴ AD=DC 且 DE⊥ AC，∠ADE=∠ CDE．如图 2，过点 C 作 CG⊥AD，垂足为 G，连接 FO．∵ BF 切圆 O 于点 F，∴OF⊥ AD，且OF1 AD 3 ，易知，四边形CGOF为矩形，∴CG=OF=3．2在 Rt△ CDG中， CD=AD=6， sin∠ADC= CG=1，∴∠ CDA=30°，∴ ∠ ADE=15°．CD2?303连接 OE，则∠ AOE=2×∠ADE=30°，∴AE180．2点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．5．如图，⊙ O 是△ABC 的外接圆， AC 为直径， BD＝ BA， BE⊥ DC 交 DC 的延长线于点E(1)求证： BE是⊙O 的切线(2)若 EC＝ 1， CD＝ 3，求 cos∠ DBA【答案】（ 1）证明见解析；（ 2）∠ DBA35【解析】分析：（ 1）连接 OB， OD，根据线段垂直平分线的判定，证得BF 为线段 AD 的垂直平分线，再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ ADC=90°，证得四边形 BEDF是矩形，即∠EBF=90 ，°可得出结论 .（2）根据中点的性质求出 OF 的长，进而得到 BF、DE、 OB、OD 的长，然后根据等角的三角函数求解即可 .详解：证明： (1) 连接 BO 并延长交AD 于 F，连接 OD∵BD＝BA， OA＝ OD∴B F 为线段 AD 的垂直平分线∵AC 为⊙O 的直径∴∠ADC＝90 °∵BE⊥DC∴四边形 BEDF为矩形∴∠ EBF＝90 °∴BE 是⊙O 的切线(2)∵ O、 F 分别为 AC、AD 的中点13∴OF＝CD＝2 2∵B F＝ DE＝ 1＋ 3＝ 43 5∴OB＝ OD＝42 23OF 23∴cos∠ DBA＝ cos∠ DOF＝OD 552点睛：此题主要考查了圆的切线的判定与性质，关键是添加合适的辅助线，利用垂径定理和圆周角定理进行解答，注意相等角的关系的转化.6．如图 1，在 Rt△ ABC中， AC=8cm， BC=6cm， D、 E 分别为边点 P 从点 A 出发，沿折线 AD﹣DE 运动，到点 E 停止，点 P 在AB、 BC 的中点，连结AD 上以 5cm/s 的速度运DE，动，在DE 上以1cm/s的速度运动，过点P 作 PQ⊥ AC于点Q，以PQ 为边作正方形PQMN．设点 P 的运动时间为t （ s）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 _____cm．（用含t 的代数式表示）（2）当正方形PQMN 与△ ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求 S 与 t的函数关系式，并写出t 的取值范围．（3）如图 2，若点 O 在线段BC上，且 CO=1，以点 O 为圆心， 1cm 长为半径作圆，当点 P 开始运动时，⊙ O 的半径以0.2cm/s 的速度开始不断增大，当⊙ O 与正方形 PQMN 的边所在直线相切时，求此时的t 值．【答案】（ 1） t﹣ 1；（ 2）S=﹣3t 2+3t +3（1＜ t＜ 4）；（ 3） t=10s．83【解析】分析：（ 1）根据勾股定理求出 AB，根据 D 为 AB 中点，求出 AD，根据点 P 在 AD 上的速度，即可求出点 P 在 AD 段的运动时间，再求出点P 在 DP 段的运动时间，最后根据DE 段运动速度为 1cm/s ，即可求出 DP；（ 2）由正方形 PQMN 与△ ABC重叠部分图形为五边形，可知点P 在 DE上，求出 DP=t﹣1，PQ=3，根据 MN ∥BC，求出 FN 的长，从而得到FM 的长，再根据 S=S 梯形FMHD+S 矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；（ 3）当圆与边 PQ 相切时，可求得r=PE=5﹣ t ，然后由 r 以 0.2cm/s 的速度不断增大，r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN 相切时， r =CM=8﹣ t=1+0.2t，从而可求得t 的值．详解：（ 1）由勾股定理可知： AB=AC2BC2=10．∵ D、 E 分别为 AB 和 BC的中点，11∴D E= AC=4， AD= AB=5，225∴点 P 在 AD 上的运动时间 = =1s，当点 P 在线段 DE上运动时， DP 段的运动时间为（t﹣51）s．∵DE段运动速度为 1cm/s ，∴ DP=（ t ﹣ 1）cm．故答案为 t ﹣1．（ 2）当正方形PQMN 与△ ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，∴ 3＞ t ﹣ 1， t ＜ 4， DP ＞ 0， ∴ t ﹣ 1＞ 0， 解得： t ＞ 1， ∴1＜ t ＜ 4．∵ △DFN ∽△ABC ，∴DN =AC = 8 = 4．FNBC 6 3∵ DN=PN ﹣ PD ， ∴ DN=3﹣（ t ﹣ 1） =4﹣ t ，4 t 4，∴ FN=（34 t ）∴= 3 4，FN∴FM=3﹣ （34 t ） 3t4=，4S=S 梯形 FMHD +S 矩形 DHQP ，∴ S= 1 ×（3t+3） ×（ 4﹣t ） +3（ t ﹣ 1） =﹣ 3t 2 +3t+3（ 1＜t ＜4）．2 48（ 3）① 当圆与边 PQ 相切时，如图：当圆与 PQ 相切时， r=PE ，由（ 1）可知， PD=（ t ﹣ 1）cm ，∴ P E=DE ﹣ DP=4﹣（ t ﹣1） =（ 5﹣ t ） cm ．∵ r 以 0.2cm/s 的速度不断增大， ∴ r=1+0.2t ，10 ∴ 1+0.2t=5﹣ t ，解得： t= s ．3② 当圆与 MN 相切时， r=CM ．由（ 1）可知， DP=（ t﹣ 1）cm，则 PE=CQ=（ 5﹣ t） cm，MQ=3cm，∴MC=MQ+CQ=5﹣ t+3=（8﹣ t） cm，35∴1+0.2t=8﹣ t，解得： t=s．6∵ P 到 E 点停止，∴ t ﹣ 1≤4，即 t ≤5，∴ t=35s（舍）．6综上所述：当 t =10s 时，⊙O 与正方形 PQMN 的边所在直线相切．3点睛：本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质，直线和圆的位置关系，依据题意列出方程是解题的关键．7．如图，△ ABC 中，∠ A=45°， D 是 AC边上一点，⊙O 经过 D、 A、 B 三点， OD∥ BC．（1）求证： BC与⊙ O 相切；（2）若 OD=15， AE=7，求 BE的长．【答案】(1)见解析;(2)18.【解析】分析：（1）连接OB，求出∠ DOB 度数，根据平行线性质求出∠ CBO=90°，根据切线判定得出即可；（2）延长 BO 交⊙ O 于点 F，连接 AF，求出∠ ABF，解直角三角形求出BE．详解：（ 1）证明：连接OB．∵∠ A=45 ，°∴∠ DOB=90 ．°∵OD∥BC，∴∠ DOB+∠CBO=180 ．°∴∠ CBO=90 ．°∴直线 BC 是⊙O 的切线．（2）解：连接 BD．则△ ODB是等腰直角三角形，∴∠ ODB=45 ，°BD= OD=15 ，∵∠ODB=∠A，∠DBE=∠DBA，∴△ DBE∽ △ ABD，∴BD2=BE?BA，∴（ 15）2=（7+BE）BE，∴B E=18 或﹣ 25（舍弃），∴B E=18．点睛：本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大．8．四边形 ABCD内接于⊙O，点 E 为 AD 上一点，连接AC，CB，∠ B=∠ AEC．（1）如图 1，求证： CE=CD；（2）如图 2，若∠ B+∠ CAE=120°，∠ ACD=2∠ BAC，求∠ BAD 的度数；（3）如图 3，在（ 2）的条件下，延长CE交⊙ O 于点 G，若 tan∠BAC= 5 3，EG=2，求11AE 的长．【答案】（ 1）见解析；（2） 60°；（ 3） 7.【解析】试题分析： (1)利用圆的内接四边形定理得到∠CED=∠ CDE.(2) 作 CH⊥ DE 于 H, 设∠ ECH=α，由（ 1）CE=CD，用α表示∠ CAE，∠BAC，而∠B AD=∠ BAC+∠ CAE.（ 3）连接 AG，作 GN⊥AC， AM⊥ EG，先证明∠CAG=∠ BAC，设NG=5 3 m，可得AN=11m，利用直角n AGM,n AEM，勾股定理可以算出m 的值并求出AE 长.试题解析：（1）解：证明：∵ 四边形ABCD内接于⊙O.∴∠ B+∠D=180 ，°∵∠ B=∠AEC，∴∠ AEC+∠ D=180 ，°∵∠ AEC+∠ CED=180 ，°∴∠ D=∠ CED，∴CE=CD．（2）解：作CH⊥ DE 于 H．设∠ ECH=α，由（ 1）CE=CD，∴∠ ECD=2α，∵∠ B=∠AEC，∠ B+∠ CAE=120 ，°∴∠ CAE+∠ AEC=120 ，°∴∠ ACE=180 ﹣°∠AEC﹣∠ ACE=60 °，∴∠ CAE=90 °﹣∠ ACH=90 ﹣°（ 60 °+α）=30 ﹣°α，∠A CD=∠ ACH+∠ HCD=60 +2°α，∵∠ ACD=2∠BAC，∴∠ BAC=30 °+α，∴∠ BAD=∠ BAC+∠ CAE=30 +°α+30 ﹣°α=60 ．°（ 3）解：连接 AG ，作 GN ⊥ AC ， AM ⊥ EG ，∵∠ CED=∠AEG ， ∠CDE=∠ AGE ， ∠ CED=∠ CDE ，∴∠ AEG=∠AGE ，∴ A E=AG ，1 ∴EM=MG=EG=1，2∴∠ EAG=∠ ECD=2 α，∴∠ CAG=∠ CAD+∠ DAG=30 ﹣°α+2α=∠ BAC ，∵ t an ∠ BAC=5 3，11∴设 NG=5 3 m ，可得 AN=11m ， AG= AG2AM 2=14m ，∵∠ ACG=60 ，°∴CN=5m ， AM=83 m ，MG= AG 2AM 2 =2m=1，∴m= 1 ，2∴CE=CDCG ﹣ EG=10m ﹣ 2=3，∴AE= AM 2EM 2= 221 +（43） =7．9．如图， AN 是 ⊙ M 的直径， NB ∥ x 轴， AB 交 ⊙M 于点 C ．（1）若点 A （ 0， 6）， N （ 0， 2）， ∠ ABN=30°，求点 B 的坐标；（2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线CD 是⊙ M 的切线．【答案】 (1) B （， 2）． (2)证明见解析 .【解析】试题分析：（ 1）在 Rt△ ABN 中，求出AN、 AB 即可解决问题；（2）连接 MC， NC．只要证明∠MCD=90°即可试题解析：（ 1）∵ A 的坐标为（ 0，6）， N（ 0， 2），∴AN=4，∵∠ ABN=30 ，°∠ANB=90 ，°∴AB=2AN=8，NB=，∴由勾股定理可知：∴B（，2）．（2）连接 MC， NC∵AN 是⊙ M 的直径，∴∠ ACN=90 ，°∴∠ NCB=90 ，°在Rt△NCB中，D 为NB 的中点，∴CD= NB=ND，∴∠ CND=∠ NCD，∵MC=MN ，∴∠ MCN=∠ MNC，∵∠ MNC+∠ CND=90 ，°∴∠ MCN+∠ NCD=90 ，°即 MC⊥ CD．∴直线 CD 是⊙M 的切线．考点：切线的判定；坐标与图形性质．10．问题发现．(1)如图①， Rt△ ABC中，∠C＝90°， AC＝ 3，BC＝ 4，点 D 是AB 边上任意一点，则CD 的最小值为______．(2)如图②，矩形 ABCD中， AB＝ 3，BC＝ 4，点 M、点 N 分别在 BD、 BC上，求 CM+MN 的最小值．(3)如图 ③ ，矩形 ABCD 中， AB ＝ 3，BC ＝ 4，点 E 是 AB 边上一点，且 AE ＝ 2，点 F 是 BC 边上的任意一点，把 △BEF 沿 EF 翻折，点 B 的对应点为 G ，连接 AG 、 CG ，四边形 AGCD 的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF 的长度．若不存在，请说明理由．【答案】 (1) CD12 CMMN 的最小值为96 15;(2) .(3)2525【解析】试题分析：（ 1）根据两种不同方法求面积公式求解；（2 ）作 C 关于 BD 的对称点 C ，过C 作 BC 的垂线，垂足为 N ，求 C N 的长即可 ;(3) 连接 AC ，则S 四AGCDSV ADCS V ACG ， GB EB AB AE 3 2 1，则点 G 的轨迹为以 E 为圆心， 1为半径的一段弧．过E 作 AC 的垂线，与 ⊙ E 交于点 G ，垂足为 M ，由 VAEM ∽VACB 求得 GM 的值，再由S四边形AGCDS V ACDS V ACG 求解即可 . 试题解析：（ 1）从 C 到 AB 距离最小即为过 C 作 AB 的垂线，垂足为D ，CD ABAC BC S VABC，22∴ CDAC BC3 4 12AB5，5（ 2 ）作 C 关于 BD 的对称点 C ，过 C 作 BC 的垂线，垂足为N ，且与 BD 交于 M ，则 CMMN 的最小值为 C N 的长，设CC 与BD 交于 H ，则 CHBD ，∴ VBMC ∽VBCD ，且 CH12 ，5 ∴ CCBBDC ， CC24 ，5∴ VC NC ∽VBCD ，∴CC BC24 496 ， C N5BD525即 CMMN 的最小值为96．25（ 3）连接 AC ，则 S 四 AGCDSV ADCSV ACG，GB EB AB AE 3 2 1，∴点 G 的轨迹为以 E 为圆心， 1为半径的一段弧． 过 E 作 AC 的垂线，与 ⊙ E 交于点 G ，垂足为 M ，∵ VAEM ∽VACB ，EMAE，∴ACBC∴ EMAE BC24 8 AC5，5∴ GMEM EG8 1 3 ，55∴S四边形AGCDSV ACDS V ACG ，1 3 4 1 5 3 ，2 2 515．2【点睛】本题考查圆的综合题、最短问题、勾股定理、面积法、两点之间线段最短等知识，解题的关键是利用轴对称解决最值问题，灵活运用两点之间线段最短解决问题．11． 如图， AB 是 ⊙ O 的直径，弦 ?E 是 CD 中点，连接BC ＝ OB ，点 D 是 AC 上一动点，点BD 分别交 OC ， OE 于点 F ， G ． （1）求 ∠ DGE 的度数；（2）若CF＝1，求BF的值；OF2GF（3）记△ CFB，△ DGO 的面积分别为CF＝ k，求S1的值．（用含k 的式子表S1， S2，若S2OF示）【答案】 (1)∠ DGE＝ 60°； (2) 7；(3)S1= k 2k 1 . 2S2k1【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；（2）过点 F 作 FH⊥AB 于点 H 设 CF＝ 1，则 OF＝2， OC＝ OB＝3,根据勾股定理求出 BF 的长度，再证得△ FGO∽ △ FCB，进而求得BF的值；GF（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k 的式子表示出S1的值．S2【详解】解： (1)∵ BC＝ OB＝ OC，∴∠ COB＝60 °，∴∠ CDB＝1∠COB＝30 °，2∵OC＝ OD，点 E 为 CD 中点，∴OE⊥CD，∴∠ GED＝ 90 °，∴∠ DGE＝ 60 °；(2)过点 F 作 FH⊥ AB 于点 H设 CF＝ 1，则 OF＝ 2，OC＝ OB＝3∵∠ COB＝ 60 °1∴OH＝OF＝ 1，2∴HF＝ 3 OH＝ 3 ，HB＝OB﹣OH＝2，在 Rt△ BHF 中， BF HB2HF27 ，由 OC＝ OB，∠ COB＝ 60°得：∠ OCB＝60°，又∵ ∠ OGB＝∠ DGE＝ 60°，∴∠ OGB＝∠ OCB，∵∠ OFG＝∠ CFB，∴△ FGO∽△ FCB，OF GF∴，BF CF2∴GF=，7BF 7∴= .GF 2(3)过点 F 作 FH⊥ AB 于点 H，设 OF＝ 1，则 CF＝ k， OB＝ OC＝ k+1，∵∠ COB＝ 60 °，∴OH＝1OF=1 ，22∴HF＝30H 3，HB＝ OB﹣OH＝k+1 ，22在 Rt△ BHF 中，BF＝HB 2HF2k 2k 1，由(2) 得：△ FGO∽△ FCB，GO OF GO∴BF，即k 1CB∴GOk1k 2，k 1过点 C 作 CP⊥BD于点 P ∵∠ CDB＝ 30 °1k2k1，1∴PC＝CD，2∵点 E是 CD中点，1∴DE＝CD，2∴PC＝ DE，∵DE⊥ OE，S1BF k 2k1k 2k 1∴==k1=1 S2GOk 2k1k【点睛】圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似和勾股定理、数形结合的思想解答．12．如图，在Rt△ ABC中， C90 ，AD平分∠ BAC BC于点D，点O在AB上，，交⊙O 经过 A、 D 两点，交 AC于点 E，交 AB 于点 F．（1）求证： BC是⊙ O 的切线；（2）若⊙O 的半径是 2cm， E 是弧 AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（ 1）证明见解析（ 2）23 3【解析】【分析】（1）连接 OD，只要证明 OD∥ AC即可解决问题；（2）连接 OE，OE 交 AD 于 K．只要证明△AOE是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）连接 OD．∵OA=OD，∴∠ OAD=∠ ODA．∵∠ OAD=∠ DAC，∴ ∠ODA=∠ DAC，∴ OD∥ AC，∴∠ ODB=∠ C=90 °，∴ OD⊥BC，∴ BC 是⊙O 的切线．（2）连接 OE，OE 交 AD 于 K．∵ ??，∴OE⊥ AD．AE DE∵∠ OAK=∠ EAK， AK=AK，∠ AKO=∠ AKE=90 ，°∴ △ AKO≌ △ AKE，∴AO=AE=OE，∴△ AOE是等边三角形，∴ ∠AOE=60° ∴ S 阴=S 扇形OAE S△60223222，﹣AOE4 3 ．3603【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在 Rt△ ABC中，点 O 在斜边 AB 上，以 O 为圆心， OB 为半径作圆，分别与BC， AB 相交于点 D，E，连接 AD．已知∠ CAD＝∠ B．（1）求证： AD 是⊙ O 的切线；（2）若 CD＝2，AC＝ 4， BD＝ 6，求⊙ O 的半径．【答案】（ 1）详见解析；（2）35. 2【解析】【分析】(1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠ 3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD⊥AD ，从而证明AD 为圆 O 的切线； (2) 根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD，∵OB＝ OD，∴∠ 3＝∠B，∵∠ B＝∠1，∴∠ 1＝∠3，在 Rt△ ACD中，∠ 1+∠2＝ 90°，∴∠ 4＝ 180 ﹣°（∠2+∠ 3）＝ 90 °，∴OD⊥ AD，则 AD 为圆 O 的切线；（2）过点 O 作 OF ⊥ BC ，垂足为 F ，∵OF ⊥ BD1 ∴ D F ＝ BF ＝ BD ＝ 32∵AC ＝ 4， CD ＝ 2， ∠ ACD ＝90 °∴AD ＝AC 2 CD 2 ＝2 5∵∠ CAD ＝ ∠ B ， ∠ OFB ＝ ∠ACD ＝ 90 °∴△ BFO ∽ △ ACDBFOB∴=ACAD即3=OB 42 5∴OB ＝352∴⊙O 的半径为35．2【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键14． 在 △ ABC 中，连 PA,PB ,PC ．（1）如图 1,已知，ACB 900 , BAC 600 ， AC=2， P 为 △ ABC 所在平面内一点，分别APB BPC APC ，以 A 为旋转中心，将 APB 顺时针旋转60 度，得到AMN .① 请画出图形，并求证： C 、 P 、 M 、N 四点在同一条直线上；② 求 PA+PB+PC 的值 .（2）如图 2，如果点P 满足BPC 900，设Q为AB边中点，求PQ 的取值范围 .【答案】（ 1）①详见解析；②；（）31PQ 3 1且PQ 2；2【解析】【分析】（1）①欲证明 C、P、M 、 N 四点在同一条直线上，只要证明∠ APC+∠APM=180°，∠AMN+ ∠ AMP=180 °即可；②只要证明 PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在 Rt△ CBN 中，利用勾股定理求出 NC 即可；（2）如图 2 中，由∠ BPC=90°，推出点 P 在以 BC为直径的圆上（ P 不与 B、 C 重合），设BC 的中点为O，作直线OQ 交⊙O 与 P 和 P′，可得 PQ 的最小值为 3 -1，PQ的最大值为3+1， PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△ APB≌ △AMN ，△ APM 是等边三角形，∴∠ APM=∠ APM=60 ，°∵∠ APB=∠ BPC=∠ APC=120 ，°∴∠ APB=∠ BPC=∠ APC=∠AMN=120 °，∴∠ APC+∠APM=180 ，°∠ AMN+∠ AMP=180 ，°∴C、 P、M 、 N 四点在同一条直线上；②解：连接 BN ,易得ABN 是等边三角形∴∠ ABN=60 ，°∵∠ABC=30 ，°∴∠ NBC=90 ，°∵A C=2，∴A B=BN=4， BC=2 3，∵PA=PM， PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在 Rt△ CBN中， CN=BC2BN2 2 7，∴P A+PB+PC=2 7．(2)如图 2中，∵∠ BPC=90 ，°∴点 P 在以 BC 为直径的圆上（P 不与 B、 C 重合），设 BC的中点为O，作直线OQ 交⊙ O 与 P 和 P′，可得 PQ 的最小值为 3 -1，PQ的最大值为 3 +1，PQ≠2，∴3 -1≤ PQ≤3 +1 且 PQ≠2．PQ的取值范围是 3 1 PQ 3 1且 PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．15．已知 AB 是半圆 O 的直径，点C在半圆 O 上.(1)如图 1，若 AC＝ 3，∠ CAB＝ 30°，求半圆O的半径；(2)如图 2，M 是BC?的中点， E 是直径 AB 上一点， AM 分别交 CE，BC 于点 F， D. 过点 F 作FG∥AB 交边 BC 于点 G，若△ ACE与△ CEB相似，请探究以点 D 为圆心， GB 长为半径的⊙ D与直线 AC 的位置关系，并说明理由 .【答案】（ 1）半圆 O 的半径为 3 ；（2）⊙ D 与直线 AC 相切，理由见解析【解析】试题分析： (1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠ C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2)依据△ ACE与△ CEB相似证出∠ AEC＝∠ CEB＝ 90°,再依据 M 是?的中点,证明CF＝CD,过BC点 F 作 FP∥GB 交于 AB 于点 P, 证出△ ACF≌ △ APF,得出 CF=FP,再证四边形 FPBG是平行四边形,得到 FP＝ GB 从而 CD＝GB,点 D 到直线 AC 的距离为线段 CD 的长 . 试题解析：（1）∵ AB 是半圆 O 的直径，∴ ∠C＝90 °．AC在 Rt△ ACB中， AB＝＝cos CAB 3cos30＝23 ．∴OA＝3（2）⊙D 与直线 AC 相切 .理由如下：由（ 1）得∠ ACB＝ 90°．∵ ∠AEC＝∠ ECB＋∠ 6，∴ ∠AEC＞∠ ECB，∠ AEC＞∠6．∵ △ACE与△ CEB相似，∴ ∠AEC＝∠ CEB＝ 90 °．在 Rt△ ACD， Rt△AEF 中分别有∠1＋∠ 3＝ 90 °，∠2＋∠ 4＝ 90 °．∵M 是BC ?的中点，∴ ∠COM＝∠ BOM．∴ ∠1＝∠2，∴ ∠3＝∠4．∵∠4＝∠ 5，∴ ∠3＝∠5．∴CF＝ CD．过点 F 作 FP∥ GB 交于 AB 于点 P，则∠ FPE＝∠6．在 Rt△ AEC， Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ ACE＝ 90 °，∠ CAE＋∠ 6＝ 90 °．∴ ∠ACE＝∠ 6＝∠FPE．又∵ ∠ 1＝∠2， AF＝AF，∴ △ACF≌ △APF．∴CF＝ FP．∵FP∥ GB， FG∥ AB，∴四边形 FPBG是平行四边形．∴FP＝ GB．∴CD＝GB．∵CD⊥AC，∴点 D 到直线 AC 的距离为线段 CD的长∴⊙D 与直线 AC 相切 .。