函数的定义与正比例函数B(教师版)

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沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计

沪教版数学八年级上册18.1《函数的概念及正比例函数》教学设计一. 教材分析《函数的概念及正比例函数》是沪教版数学八年级上册第18.1节的内容。

本节主要介绍函数的概念和正比例函数的定义、性质及图像。

通过本节的学习，学生应能理解函数的基本概念，掌握正比例函数的性质和图像，并为后续学习函数的其他类型打下基础。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的基础知识，具备一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。

但是对于函数这一概念，学生可能还比较陌生，难以理解函数的本质。

因此，在教学过程中，需要通过具体实例让学生感受函数的意义，逐步引导学生理解和掌握函数的概念。

三. 教学目标1.了解函数的概念，知道函数的定义要素。

2.掌握正比例函数的定义、性质和图像。

3.能够运用函数的知识解决实际问题。

四. 教学重难点1.函数的概念及正比例函数的定义。

2.正比例函数的性质和图像。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体实例引入函数的概念，让学生感受函数的意义。

2.讲授法：讲解函数的定义、性质和图像，引导学生理解和掌握。

3.实践操作法：让学生动手绘制正比例函数的图像，加深对函数的理解。

4.问题驱动法：设计一系列问题，引导学生思考和探索，提高学生的思维能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含实例、图片、动画和练习题的PPT，辅助教学。

2.教学素材：准备一些实际问题，用于引导学生应用函数的知识。

3.黑板、粉笔：用于板书和标注。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体实例引入函数的概念，如“汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶时间与所经过的路程之间的关系”。

让学生思考和讨论，引导学生感受函数的意义。

2.呈现（10分钟）讲解函数的定义，阐述函数的三个要素：定义域、值域、对应关系。

通过PPT 展示函数的图像，让学生直观地理解函数的概念。

3.操练（10分钟）讲解正比例函数的定义、性质和图像。

让学生动手绘制一些简单的正比例函数图像，加深对正比例函数的理解。

八年级同步第14讲：正比例函数的图像及性质-教师版

1 / 22正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．一、正比例函数的图像1、一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =； 2、图像画法：列表、描点、连线．正比例函数的图像及性质知识结构模块一：正比例函数的图像知识精讲内容分析2/ 22【例1】已知正比例函数2y x =．x…… 2- 1.5--1 0.5-0 0.51 1.52 …… 2y x =……-4-3-2-11234……描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点．连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接．【难度】★【答案】见表格；见图．【解析】考查正比例函数图像的画法．【例2】在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）4y x =；（2）14y x = ；（3）32y x =-；（4）32y x =．【难度】★ 【答案】见图．【解析】考查正比例函数图像的画法．例题解析【例3】函数15y x =-的图像是经过点________、________的________．【难度】★【答案】()00，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-511，，一条直线．【解析】考查正比例函数图像的特点．【例4】（1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．（2）函数y kx =(0)k ≠的图像经过点1(5)2A -，，写出函数解析式，并说明函数图像经过哪几个象限？【难度】★★【答案】（1）一条直线，()00，，()k ，1；（2）x y 10-=，经过二、四象限．【解析】考查正比例函数解析式的解法和图像性质．【例5】已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4；（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．【难度】★★【答案】（1）2+=x y ；（2）-5．【解析】（1）设kx y =-2，将x =2时，y =4代入其中可得：1=k ，则2+=x y ；（2）点(m ，2m +7)在这个函数的图象上，则272+=+m m ，解得：5-=m ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求函数解析式，另一方面考查根据函数解析式求函数值或者是自变量的值．【例6】已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函数的解析式是________________．【难度】★★【答案】x y 21=或x y 21-=．【解析】由题意可知，该点的横坐标的绝对值是纵坐标绝对值的两倍，然后再求解析式．【总结】注意距离需要分正负．【例7】如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明(416)-，是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像．【难度】★★【答案】x y 2-=，(416)-，不在这个图像上，图像略．【解析】设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，将点(24)-，代入，可得：2k =-，所以该正比例函数的解析式为x y 2-=．当4x =-时，2(4)816y =-⨯-=≠，所以点(416)-，不在该函数的图像上．【总结】考查正比例函数解析式的求法、图像的画法．【例8】已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【难度】★★【答案】21=t ；x y 47-=．【解析】函数2(2)21y t x t =-+-经过原点，则012=-t ，解得：21=t ．代入表达式中可得，函数解析式为：x y 47-=．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．【例9】一个正比例函数的图像经过点A (13)-，，B (1)a a ---，，求a 的值．【难度】★★【答案】41-=a ．【解析】设正比例函数的解析式为(0)y kx k =≠， ∵图像经过点A (13)-，， ∴3=-k ，则3-=k ．∵图像经过点B (1)a a ---，，∴a a 31=--，则41-=a ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，另一方面考查利用解析式求图像上点的坐标．【例10】已知y 是x 的正比例函数，且当6x =时，2y =-．(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问点A (62)-，关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？【难度】★★★【答案】（1）x y 31-=；（2）图略；（3）12-=a ；（4）在．【解析】（1）设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，当6x =时，2y =-，代入可得：13k =-．所以这个函数的解析式为x y 31-=；（2）图略；（3）将（a ，4）代入x y 31-=中，得：12-=a ；（4）易得点B 坐标为2)(6-，，将6x =代入x y 31-=，得2y =-，所以点B 也在这个函数的图像上．【总结】考查正比例函数图像上的点坐标需要满足函数解析式．【例11】已知点(60)A -，，并且点(1)B m -，在直线3y x =-上，求OAB ∆的面积．【难度】★★★ 【答案】9．【解析】∵点(1)B m -，在直线3y x =-上， ∴3=m ．∴93621=⨯⨯=OAB S △．【总结】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换．【例12】正比例函数的图像经过点（-2，5），过图像上一点A 作y 轴的垂线，垂足B 的坐标是（0，-3），求点A 的坐标与AOB ∆的面积．【难度】★★★【答案】95．【解析】∵正比例函数的图像经过点（-2，5），∴正比例函数的解析式为x y 25-=．∵过图像上一点A 作y 轴的垂线，垂足B 的坐标是（0，-3）， ∴A 点的纵坐标为-3，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-356A ．∴5935621=⨯⨯=OAB S △．【解析】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换．【例13】已知直线y kx =过点1(3)2，，A 是直线y kx =上一点，若过点A 向x 轴引垂线，垂足为B ，且5AOB S ∆=，求点B 的坐标．【难度】★★★【答案】0⎫⎪⎪⎝⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【解析】∵直线y kx =过点1(3)2，，∴321=k ，∴6=k ，∴x y 6=． ∵A 是直线x y 6=上一点， ∴可设()m m A 6,， ∴5621=⋅⋅m m ．∴315±=m ．∴B点坐标为0⎫⎪⎪⎝⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【总结】注意点坐标与线段长之间的转换．7 / 22PCB AOy x【例14】如图，长方形OABC 的边BC = 6，AB = 3， (1) 直线y kx =交边AB 于点P ，求k 的取值范围；(2) 直线y kx =把矩形OABC 的面积分成两部分，靠近x 轴的一部分记作S ，试写出S 关于k 的解析式．【难度】★★★【答案】（1）当直线y kx =经过点()63B ，时，x y 21=． ∴210≤<k ；（2）由图可知：()66P k ，，∴k k PA OA S 18662121=⨯⨯=⋅⋅=．【解析】注意点坐标与线段长度之间的转换．二、正比例函数(0)y kx k k =≠是常数，的性质：（1）当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．（2）当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值则随着逐渐减小．【例15】直线(2)y m x =-经过一、三象限，则m ________．【难度】★ 【答案】2<m ．【解析】考查()0>=k kx y 的图像经过一、三象限．例题解析知识精讲模块二：正比例函数的性质【例16】已知正比例函数()52y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围．【难度】★ 【答案】25>k ．【解析】由题意，可得：520k -<，解得：25>k ．【总结】考查()0<=k kx y 的图像经过二、四象限．【例17】若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______．【难度】★ 【答案】3<m ．【解析】由题意，可得：30m -<，解得：3m <．【总结】考查()0<=k kx y 的图像性质y 的值随x 的增大而减小．【例18】 (3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______．【难度】★【答案】一、三；增大．【解析】由题意，可得：30π->，所以图像过一、三象限．【总结】考查()0>=k kx y 的图像y 的值随x 的增大而增大．【例19】当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限．【难度】★【答案】3-；二、四．【解析】因为正比例函数，所以29030a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得：3a =-，所以图像过二、四象限．【总结】考查()0<=k kx y 的图像y 的值随x 的增大而减小．【例20】已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？【难度】★★ 【答案】2<k ．【解析】当12x x >时，12y y <，可以理解成y 的值随x 的增大而减小．【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【例21】已知正比例函数25(3)mm y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限．【难度】★★ 【答案】一、三．【解析】∵152=-+m m ，∴3-=m 或2=m ，又∵03≠+m ，∴2=m ．∴图像过一、三象限．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例22】正比例函数2mmy mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值．【难度】★★ 【答案】215-．【解析】由题意，可得：12=+m m ，则251±-=m ． ∵正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，∴0>m ，∴215-=m ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例23】已知0mn <，那么函数my x n=经过______象限，y 的值随x 的值增大而______．【难度】★★【答案】二、四；减小．【解析】∵0mn <，∴0mn <，所以图像过二、四象限，并且y 的值随x 的值增大而减小．【总结】考查()0<=k kx y 的图像y 的值随x 的增大而减小．【例24】函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意，可得：()122=-k ，则3=k 或1=k ．∵y 的值随着x 的减小而增大，∴02<-k ，∴1=k ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例25】如果正比例函数y kx =(0)k ≠的自变量增加5，函数值减少2，那么当3x =时，y =_______．【难度】★★ 【答案】56-．【解析】∵正比例函数y kx =(0)k ≠的自变量增加5，函数值减少2，∴52-=k∴正比例函数解析式为x y 52-=．∴当3x =时，26355y =-⨯=-．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例26】（1）已知y ax =在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数()21y m x =+的值随自变量x 的值增大而增大，且函数()31y m x =+的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围．【难度】★★【答案】（1）03<≤-a ；（2）3121-<<-m ．【解析】（1）由题意，可得：030a a <⎧⎨+≥⎩，所以30a -≤<；（2）由题意，可得：210310m m +>⎧⎨+<⎩，解得：1213m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，所以1123m -<<-．【总结】考查正比例函数图像的性质．【例27】正比例函数()41y m x =-的图像经过点11(,)A x y 和22(,)B x y ，且该图像经过第二、四象限． (1)求m 的取值范围；(2)当12x x >时，比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【难度】★★ 【答案】（1）41<m ；（2）1y 2y <，正比例函数y 的值随着x 的增大而减小．【解析】考查正比例函数图像的变化情况．【例28】已知函数2y x =-，自变量x 的取值范围是4556x <<，求y 的取值范围．【难度】★★★【答案】5835y -<<-．【解析】∵4556x <<， ∴85253x << ，∴58235x -<-<-，∴5835y -<<-．【总结】本题还可以画出正比例的函数图像，利用图像求y 的取值范围．【例29】已知在正比例函数()()22723mf x m x -=-中，y 随x 的值减小而减小．（1）求m 的值；（2）求23f ⎛⎫⎪⎝⎭（3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x 取何值时，2y ≤-？【难度】★★★ 【答案】（1）2；（2）32；（3）图略；2-≤x ．【解析】（1）由题意，得：1722=-m ，则2±=m ．∵y 随x 的值减小而减小，∴032>-m ，∴2=m ；（2）由（1）可得：x y =，∴3232=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ；（3）2-≤=x y ，∴2-≤x ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例30】已知正比例函数过(24)A -，，点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B （0，4），且8ABP S ∆=，求：点P 的坐标．【难度】★★★【答案】()24-，或()612-，．【解析】因为正比例函数过(24)A -，，则正比例函数解析式为x y 2-=．设P 的坐标为()2m m -，，当P 在OA 反向延长线上时，则()82421421=⨯⨯+-⨯⨯=+=m S S S BOA BOP ABP △△△， ∴2-=m ，∴P 的坐标为()24-，；当P 在OA 延长线上时，则82421421=⨯⨯-⨯⨯=-=m S S S BOA BOP ABP △△△， ∴6=m ，∴P 的坐标为()612-，．∴P 的坐标为()24-，或()612-，．【总结】本题综合性较强，主要考查面积与函数的关系，主要两种情况的分类讨论．13 / 22【例31】两个正比例函数11y k x =与22y k x =，当2x =-时，122y y +=，当2x =时，12y y -=52．(1) 求这两个函数的解析式；(2) 当x = 3时，求2212y y -的值．【难度】★★★【答案】（1）12y x =，23y x =-；（2）45-．【解析】（1）由题意，可知：⎩⎨⎧=-=--25222222121k k k k ， ∴⎩⎨⎧-==3221k k ．∴这两个函数的解析式为：12y x =与23y x =-；（2）当x = 3时，126y x ==，239y x =-=-，∴()2222126945y y -=--=-．【总结】本题主要考查复合函数的运用，注意对题目条件的准确理解．【习题1】在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：3y x =-与13y x =-．【难度】★ 【答案】图像略．【解析】考查正比例函数图像的画法．随堂检测【习题2】若点P在直线y =上，且点P 的横坐标为1，那么点P 的坐标是________．【难度】★ 【答案】()21-，．【解析】将1x =代入y =，得y =，所以点P 的坐标是()21-，．【总结】本题主要考查函数图像上的点与函数解析式间的关系．【习题3】若正比例函数的图像经过（-1，3），则正比例函数的解析式是________．【难度】★ 【答案】x y 3-=．【解析】设正比例函数解析式为：(0)y kx k =≠，将（-1，3）代入，得：3k =-．所以此正比例函数的解析式为：x y 3-=．【总结】本题主要考查利用待定系数法求正比例函数的解析式．【习题4】已知11(,)x y 和22(,)x y 是直线4y x =-上的两点，且12x x >，则1y 与2y 的大小关系是（）．A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．以上都有可能【难度】★★ 【答案】B【解析】因为比例系数为40-<，所以y 随x 的增大而减小．故选B ．【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题5】正比例函数y kx =（k 为常数，0k <）的图象经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．【难度】★【答案】二、四；减小．【解析】考查正比例函数图像的性质．【习题6】正比例函数(0)y kx k =≠的图像经过一、三象限，且经过点(221)k k ++，，则k =_______．【难度】★★ 【答案】1．【解析】设正比例函数解析式为：(0)y kx k =≠，经过点(221)k k ++，则()122+=+k k k ，则1±=k∵正比例函数(0)y kx k =≠的图像经过一、三象限，∴0>k ，∴1=k ．【解析】考查正比例函数图像的性质．【习题7】如果正比例函数(0)y kx k =≠的自变量取值增加1，函数值相应地减少4，则k =________．【难度】★★ 【答案】4-．【解析】考查正比例函数的变化情况．【习题8】已知y 是x的正比例函数，且当x =时，y =2，求y 与x 之间的比例系数，写出函数解析式，并求当y =x 的值．【难度】★★【答案】2，x y 2=，62=x ．【解析】设正比例函数解析式为：(0)y kx k =≠，将x =y =2代入，得：k =故函数解析式为：x y 2=，当y ==，解得：x =【总结】本题主要考查正比例函数解析式的求法．【习题9】已知23y -与45x +成正比例，且当x =1时，y =15，求y 与x 的函数关系式．【难度】★★ 【答案】96+=x y ．【解析】设()5432+=-x k y (0)k ≠，当x =1时，y =15，则()5143152+⨯=-⨯k ，解得：3=k ． ∴()54332+=-x y ，∴96+=x y ．【总结】本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式．【习题10】如图，在同一直角坐标系内，已知函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，函数2y k x =，满足120k k +=，则1y k x =与2y k x =的图像大致为( )．A BC D【难度】★★★ 【答案】B【解析】∵函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，∴01<k ，且此函数经过二、四象限∵120k k +=，∴02>k ，此函数经过一、三象限．【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题11】已知正比例函数的图像经过点(28)-，，经过图像上一点A 作x 轴的垂线，垂足为点B (06)，，求：（1）点A 的坐标；（2）AOB ∆的面积．【难度】★★★【答案】(1)362A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）29．【解析】（1）由题意，可得：正比例函数的解析式为x y 4-=． ∵经过图像上一点A 作x 轴的垂线，垂足为点B (06)，， ∴A 点的纵坐标为6，∴⎪⎭⎫⎝⎛-623A ．（2）2923621=⨯⨯=AOB S △．【总结】本题主要考查利用待定系数法求正比例函数的解析式以及利用点的坐标确定三角形的面积．【习题12】已知平面直角坐标系内一点(23)P a a ，，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点H ，如果15POH S ∆=．求：(1) 点P 的坐标；(2) 直线OP 的解析式．【难度】★★★【答案】（1）(，(--；（2）x y 23=．【解析】（1）153221=⋅⋅=a a S POH △，∴5±=a ．∴点P的坐标为(，(--；（2）将(，(--随便一个点代入kx y =中可得：x y 23=．【总结】本题主要考查函数与面积的关系，注意距离与坐标间的关系转化．DPA 【习题13】如果正比例函数的图像经过点(43)-，，请判别(24)A -，、3(2)2B -，中哪一点离这个正比例函数的图像距离近？【难度】★★★【答案】B 点离这个正比例函数的图像距离近．【解析】正比例函数的图像经过点(43)-，，则此函数解析式为x y 43-=．经过检验，B 点在此正比例函数图像上．【总结】本题主要考查正比例函数的图像与图像上点的关系．【习题14】如图，已知长方形ABCD 的长AB = 4cm ，宽BC = 3cm ，动点P 从点B 出发，沿BC 、CD 、DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为xcm ，△ABP 的面积为y 2cm ， (1) 当动点P 在BC 上运动时，求y 关于x 的解析式及其定义域； (2) 当动点P 在DC 上运动时，怎样表示y ？并求x 的取值范围；(3) 当x 取何值时，△ABP 的面积为22cm ？【难度】★★★【答案】（1）()302≤<=x x y ；（2）()736≤<=x y ；（3）1或9．【解析】（3）∵△ABP 的面积为22cm ，∴△ABP 的高为1，则1=x 或9．【总结】本题主要考查动点与函数关系式的结合，注意观察动点的运动轨迹．19 / 22【作业1】在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：4y x =与12y x =-．【难度】★ 【答案】如图．【解析】考查正比例函数图像的画法．【作业2】已知点A （m ，-3）在直线3y x =上，那么m =________．【难度】★ 【答案】3-．【解析】考查正比例函数图像上的点坐标与解析式之间的关系．【作业3】已知正比例函数(64)y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围．【难度】★ 【答案】23>k ．【解析】∵正比例函数(64)y k x =-的图像经过第二、四象限，∴640k -<，即23>k ．【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【作业4】已知函数2(1)m y m x =-是正比例函数，m =________；函数的图象经过________象限；y 随x 的减少而________．【难度】★★【答案】-1；二、四；增大．【解析】考查正比例函数图像的性质．课后作业【作业5】已知y 与x 成正比例，且x = 2时y = -6，则y = 9时x =________．【难度】★★ 【答案】3-．【解析】设(0)y kx k =≠，将x = 2，y = -6代入，可得：3k =-，所以3y x =-．当y = 9时，39x -=，所以3x =-．【总结】考查正比例函数解析式的求法．【作业6】点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3．6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短ycm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围．【难度】★★【答案】0.6y x =(035x ≤≤)．【解析】点燃6分钟后，缩短3.6cm ，则每分钟缩短0.6cm ．当0.621x =时，可得35x =．所以x 的取值范围为：035x ≤≤．【总结】本题主要考查正比例函数在实际问题中的应用，注意定义域的求解．【作业7】在函数5y x =的图象上取一点P ，过P 点作P A ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为2-，求POA S ∆的面积（O 为坐标原点）．【难度】★★★ 【答案】10．【解析】由题意可得()102--，P ，则1010221=⨯⨯=POA S △．【总结】本题主要考查函数图像与几何图形面积的关系．x【作业8】如图，在直角坐标系中，OA = 3，OB = 4，直线OP 与线段AB 相交于点P ，(1) 求△ABO 的面积；(2) 若直线OP 将△ABO 的面积等分，求直线OP 的解析式； (3) 若点P 是直线OP 与线段AB 的交点，是否存在点P ，使△AOP 与△BOP 中，一个面积是另一个面积的4倍？若存在，求直线OP 的解析式；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）6；（2）x y 2-=；（3）存在，解析式为：x y 16-=或x y 1-=．【解析】（1）64321=⨯⨯=ABO S △；（2）∵621321⨯=⨯⨯y P ，621421⨯=⨯⨯x P ， ∴2=y P ，23=x P ． ∵点P 在第二象限， ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-323P ． ∴直线OP 的解析式为x y 2-=．（3）存在．直线OP 的解析式为x y 316-=或x y 31-=当△AOP 面积是△BOP 面积的4倍时，则△AOP 面积是△AOB 面积的54， △BOP 面积是△AOB 面积的51． ∵654321⨯=⨯⨯y P ，651421⨯=⨯⨯x P ，∴516=y P ，53=x P ． ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-51653，P ， ∴直线OP 的解析式为x y 316-=；当△BOP 面积是△AOP 面积的4倍时，则△AOP 面积是△AOB 面积的51， △BOP 面积是△AOB 面积的54． ∵651321⨯=⨯⨯y P ，654421⨯=⨯⨯x P ，∴54=y P ，512=x P ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-54512，P ，∴直线OP 的解析式为x y 31-=．【总结】本题综合性较强，主要考查函数与几何图形面积间的关系，解题时注意点坐标与线段长度之间的转化，还要注意分类讨论思想的运用．。

正比例函数ppt课件

。
当k>0时，图像位于第一象限和第三象限；当k<0时，图像位于
第二象限和第四象限。
正比例函数的情势
正比例函数的一般情势为y=kx，其中k是比例常数。
当x=0时，y=0，这是正比例函数图像上的一个重要点。
当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。
正比例函数的图像
05 练习与问题解答
CHAPTER
基础练习题
总结词：理解正比例函数的定义和性质
ห้องสมุดไป่ตู้
什么是正比例函数？
正比例函数的图像是怎样的？
详细描写
正比例函数的一般情势是什么？
正比例函数有哪些性质？
进阶练习题
总结词：掌握正比例函数的解析式和图像变换
01
02
详细描写
如何确定正比例函数的解析式？
03
04
如何通过平移得到正比例函数的图像？
在经济中的应用
收入与工作量的关系
价格与需求量的关系
在一定范围内，工资与工作量成正比，即收入 = 基本工资 + 计时工资 × 工作量。
在供需平衡下，价格与需求量成正比，即需求量 = 价格 / 边际效用。
成本与产量的关系
在规模经济下，单位产品的成本与产量成反比，即成本 = 固定成本 + 可变成本 / 产量。
在日常生活中的应用
身高与体重的关系
一般来说，身高越高的人体重也越重，但这并不是严格的正比关系。
光照强度与植物生长的关系
在适宜的光照条件下，植物的生长速度与光照强度成正比。
药物剂量与疗效的关系
在一定范围内，药物剂量越大，疗效越好，但这也不是绝对的，需要斟酌到副作用和个体差异等因素。

正比例函数讲义含答案

正比例函数一、教学目标1．理解函数的定义以及函数的定义域、值域. 2．掌握正比例函数的概念、图像和性质.二、重点难点重点：正比例函数的概念、图像和性质的应用.难点：利用正比例函数的相关知识解决实际问题，学会数形结合.三、考点分析：这部分的知识应用性较强，一般以填空、判断、选择、读图题、解答题的形式考查四、提分技巧1、学会读图，加强数形结合思想2、考虑问题要全面，还要善于从问题情境中抽象出数学知识（一）函数的意义【例1】1、如果函数：()x x x f 22-=，试求：（1）()1-a f ；（2）()12+a f 【解析】（1）()1-a f ()1212---=a a（2）()12+a f ()122122+-+=a a2、如果函数：()112-=-x x f ,试求：（1）()2f ；（2）()x f【解析】（1）()2f ()813132=-=-=f（2）()1-x f ()()()()[]()()121211112-+-=+--=+-=x x x x x x()x x x f 22+=∴【拓展1】如果函数：()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12，,试求)(x f 的解析式【解析】()x x f x f =⎪⎭⎫⎝⎛+12x x f x f 11121=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛⇒()xx f x f 112=⎪⎭⎫ ⎝⎛+② 联立①②，解得()332x x x f -=【拓展2】如果，()b ax x f +=,其中a 和b 是两个常数。

（1）()()34-=x x f f ，试求()x f 的表达式；（2）()()()78+=x x f f f ,求()x f 的表达式。

【解析】（1）()b ax x f +=∴()()()()342-=++=++=+=x b ab x a b b ax a b x af x f f⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧-==∴3212b a b a 或 ()()3212+-=-=∴x x f x x f 或（2） ()()()()()782322+=+++=+++=++=x b ab b a x a b b ab x a a b ab x a f x f f f⎪⎩⎪⎨⎧=++=∴7823b ab b a a ⎩⎨⎧==⇒12b a ()12+=∴x x f（二）正比例函数解析式【例2】已知y 与x －1成正比例，且当x =3时，y =4，求：（1）函数解析式；（2）x =1-时，y 的值【解析】设()1-=x k y ，代入x =3，y =4，解得2=k （1）所以函数解析式为22-=x y （2）当x =1-时，y =-4【拓展1】y 与3x 成正比例，当x =8时，y =－12，则y 与x 的函数解析式为___________. 【解析】设kx y 3=，代入x =8，y =－12，解得21-=k 所以函数解析式为x y 23-=【拓展2】已知2y －3与3x ＋1成正比例，且x=2时，y=5,求：（1）求y 与x 之间的函数关系式（2）若点（a ，2）在这个函数的图象上，求a . 【解析】设()133-2+=x k y ，代入x=2时，y=5，解得1=k（1）所以函数解析式为223+=x y （2）当2=y 时，0=a三）正比例函数的图像及性质【例3】已知直线y =kx 过点（-2，1），A 是直线y =kx 图象上的点，若过A 向x 轴作垂线，垂足为B ，且ABO S ∆=9，求点A 的坐标。

19.2.1正比例函数的概念(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正比例函数的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对正比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了正比例函数的概念，我观察到学生们对这一新知识充满了好奇。他们对于如何将现实生活中的问题转化为数学模型表现出了浓厚的兴趣。我尝试通过实际例子和直观的图像来解释正比例函数的定义和性质，希望这样的教学方法能够帮助他们更好地理解抽象的数学概念。
我注意到，在讲解正比例函数的图像特点时，有些学生对k值的正负与图像斜率的关系感到困惑。在今后的教学中，我需要更加细致地解释这一部分，或许可以通过更多的互动提问和实际操作来加深学生的理解。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.培养学生的数学抽象能力：通过正比例函数的概念引入，使学生能够从具体实例中抽象出函数的一般规律，理解并掌握正比例函数的表达式及其特点。
2.培养学生的逻辑推理能力：在探讨正比例函数性质的过程中，引导学生运用逻辑推理，分析k值与函数图像之间的关系，提高学生的推理能力。
3.培养学生的数学建模素养：鼓励学生运用所学知识解决实际问题，将现实情境中的正比例关系抽象为数学模型，培养学生建立数学模型解决问题的能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-正比例函数的定义：准确理解正比例函数表达式y=kx（k为常数，k≠0）的意义，明确k的取值范围及对函数图像的影响。
-正比例函数图像的特点：掌握正比例函数图像是一条通过原点的直线，并理解k值与图像斜率的关系。

一次函数与正比例函数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与正比例函数的定义1.定义若两个变量x,y的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.2.一次函数与正比例函数的关系(1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中b=0的特例,即正比例函数都是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,(2)若已知y与x成正比例,则可设函数关系式为y=kx(k≠0);若已知y是x的一次函数,则可设函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)【知识点2】一次函数的关系式列一次函数的步骤(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题,还要考自变量的取值要使实际问题有意义.特别提醒（1）确定一次函数关系式的方法：（2）按相等关系写出含有两个变量的等式；（3）将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.【考点一】一次函数与正比例函数的定义【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？2πC r =，22003y x =+，200t v =，2(3)y x =-，(50)s x x =-．【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成形如y kx =的函数（k 为常数，x 的次数为1，且0k ≠），那么y kx =就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数y kx b =+中k b 、为常数，0k ≠，自变量次数为1．解：2πC r =，是正比例函数，2πk =；22003y x =+是一次函数，23k =，200b =；200t v=不是一次函数，也不是正比例函数；2(3)y x =-26x =-+，是一次函数，2k =-，6b =；(50)s x x =-250x x =-+，不是正比例函数也不是一次函数．【点拨】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若y 关于x 的函数(4)y a x b =-+是正比例函数，则a ，b 应满足的条件是（）A ．4a ≠且0b ≠B ．4a ≠-且0b =C ．4a =且0b =D ．4a ≠且0b =【答案】D【分析】正比例函数的解析式为y kx =，其中0k ≠，据此求解．解： (4)y a x b =-+是正比例函数，∴40a -≠且0b =，∴4a ≠且0b =．故选D ．【点拨】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）下列关系式：①6x y =；②321y x =+；③25y x =-+；④221y x =+；⑤5y x =-．其中y 是x 的一次函数的有个．【答案】3【分析】形如y kx b =+（0k ≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．解：函数①6xy =，③25y x =-+，⑤5y x =-是一次函数，共有3个，②321y x =+，④221y x =+，不是一次函数，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．【考点二】一次函数与正比例函数的参数【例2】（2022秋·安徽安庆·八年级校考阶段练习）已知函数1012y m x m =-+-（）．（1）m 为何值时，这个函数是一次函数；（2）m 为何值时，这个函数是正比例函数．【答案】（1）10m ≠；（2）12m =【分析】（1）根据一次函数的定义求解；（2）根据正比例函数的定义求解．解：（1）根据一次函数的定义可得：100m -≠，∴当10m ≠时，这个函数是一次函数；（2）根据正比例函数的定义，可得：100m -≠且120m -=，∴12m =时，这个函数是正比例函数．【点拨】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如()0y kx b k =+≠的函数叫做一次函数，特别的，当0b =时，()0y kx k =≠叫做正比例函数，熟知概念是关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，且当213x x =+时，211y y =-，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【分析】分别把点()11,A x y ，()22,B x y 代入一次函数y kx b =+，根据213x x =+，211y y =-时，即可得出结论．解：一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，∴1122y kx b y kx b =+=+，，∴1212y y kx kx -=-，213x x =+ ，211y y =-，∴121213x x y y -=-=-，，31k ∴-=，即13k =-．故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知()2835my m x m -=++-是关于x 的一次函数，则m =.【答案】3【分析】根据一次函数的定义得到281m -=且30m +≠，据此求出m 的值即可．解：()2835my m x m -=++- 是关于x 的一次函数，281m ∴-=且30m +≠，解得：3m =，故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如()0y kx b k =+≠的函数，叫做一次函数，会利用x 的指数构造方程，会利用k 限定字母的值是解题关键．【考点三】求一次函数的自变理或函数值【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数()()2324m y m x m -=++-，（1）当m 是何值时函数是一次函数．（2）当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当1x =时的函数值．（3）点(),2A n 在此一次函数图象上，则n 的值为多少．【答案】（1）2m =；（2）42y x =-，当1x =时，2y =；（3）1n =【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m 得值求出对应的函数关系式，再把1x =代入对应的函数关系式求出此时y 的值即可；（3）代入2y =，求出此时x 的值即可得到答案．（1）解：∵函数()()2324my m x m -=++-是一次函数，∴22031m m +≠⎧⎨-=⎩，∴2m =，∴当2m =时，函数()()2324my m x m -=++-是一次函数；（2）解：由（1）得()()232442my m x m x -=++-=-，∴当1x =时，4122y =⨯-=；（3）解：在42y x =-中，当422y x =-=时，1x =，∴()1,2A ，∴1n =．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如y kx b =+（其中k 、b 都是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．【举一反三】【变式1】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）不论实数k 取何值，一次函数3y kx =-的图象必经过的点是（）A ．()0,3-B ．()0,3C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】令0x =，求出y 值即可得解．解：一次函数3y kx =-，当0x =时，=3y -，∴不论k 取何值，函数图象必过点(0,3)-．故选：A ．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线34y x =+过点(,)P a b ，则32023a b -+的值为．【答案】2019【分析】把(,)P a b 代入34y x =+即可得到34a b +=，代入32023a b -+即可求解．解：直线34y x =+过点(,)P a b ，34b a ∴=+，34a b ∴-=-，32023420232019a b ∴-+=-+=，故答案为：2019．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系y kx b =+是解题的关键．【考点四】列函数解析式及求函数值【例4】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x （人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用-支出费用）y （元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）x （人)50010001500200025003000⋯y （元)3000-2000-1000-010002000⋯请回答下列问题：（1）自变量为，因变量为；（2）y 与x 之间的关系式是；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润；（2）24000y x =-；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；（3）把x =4000代入函数关系式求出y 的值即可．（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．故答案为：每月的乘车人数，公交车每月的利润．（2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，∴每位乘客坐一次车需要10005002÷=（元)，即函数关系式为：2(500)300024000y x x =--=-．（3）解：当4000x =时，2400040004000y =⨯-=（元)．答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．【点拨】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ．()1203004S t t =-≤≤B ．()3004S t t =≤≤C ．()120300S t t =->D ．()304S t t ==【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t =-，∵120304÷=，∴自变量t 的取值范围是04t ≤≤，故选：A ．【点拨】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）一根长为24cm 的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm ，则其剩余长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】y =24-1.2x0≤x ≤20【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经燃烧的长度=每分钟缩短长度×燃烧时间，即可写出解析式；列出关系式，根据蜡烛最长的燃烧时间可得自变量的取值范围；解：由题意可得：函数关系式为：y=24-1.2x ，∵x 0≥，y 0≥∴24-1.2x 0≥∴x 20≤．∴自变量x 的取值范围是0≤x≤20．故答案为：y=24-1.2x ，0≤x≤20．【点拨】本题目考查一次函数的实际应用，正确理解题意，找到实际问题中的等量关系是解题的关键．。

北师大版数学八年级上册《正比例函数的图象与性质》教学设计2

北师大版数学八年级上册《正比例函数的图象与性质》教学设计2一. 教材分析《正比例函数的图象与性质》是北师大版数学八年级上册第6章第1节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了正比例函数的定义和基本性质的基础上进行教学的。

教材通过实例引入正比例函数的图象与性质，让学生通过观察、分析、归纳等过程，掌握正比例函数的图象特点和性质，培养学生的数形结合思想，提高学生解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了正比例函数的基本知识，具备了一定的观察、分析、归纳能力。

但部分学生对正比例函数的图象与性质的理解还不够深入，容易与一次函数混淆。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解，帮助学生巩固知识，提高解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握正比例函数的图象特点和性质，能够运用这些性质解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生数形结合的思想，提高学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：正比例函数的图象特点和性质。

2.难点：如何运用正比例函数的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生掌握正比例函数的图象与性质。

2.实例分析法：教师通过列举实例，让学生观察、分析，从而归纳出正比例函数的性质。

3.小组讨论法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作精神。

六. 教学准备1.教学课件：制作正比例函数的图象与性质的课件，以便于学生直观地了解正比例函数的性质。

2.实例：准备一些与正比例函数相关的实例，以便于学生分析。

3.练习题：准备一些练习题，以便于学生在课后巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾正比例函数的基本知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）教师利用课件展示正比例函数的图象，让学生观察并描述正比例函数的图象特点。

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教学设计一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要介绍了正比例函数和一次函数的定义、性质和应用。

本节课的内容是学生进一步学习函数的基础，对于学生理解函数的概念、掌握函数的性质、提高解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在七年级时已经学习了比例和方程，对比例的概念和方程的解法有一定的了解。

但他们对函数的概念和性质还不够清晰，特别是对于函数图像的理解和应用。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已有的知识与函数内容相结合，通过实例和练习让学生感受函数的意义和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解正比例函数和一次函数的定义，掌握它们的性质和图象特征，能运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和问题，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神，使学生感受数学与生活的密切联系。

四. 教学重难点1.重点：正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征。

2.难点：一次函数和正比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过设置问题情境，引导学生观察、分析和解决问题；通过案例教学，让学生感受数学与生活的联系；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和问题，以便在教学中进行案例分析和问题讨论。

2.准备一次函数和正比例函数的图象和性质的PPT，以便进行讲解和展示。

3.准备一些练习题，以便进行课堂练习和巩固。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？让学生思考和讨论，引导学生认识到函数是数学建模的基础。

2.呈现（10分钟）介绍正比例函数和一次函数的定义、性质和图象特征，通过PPT展示相关图象，让学生直观地感受函数的性质。

八年级同步第13讲：函数的概念及正比例函数的概念_-教师版

1 / 17函数的概念及正比例函数的概念是八年级数学上学期第三章第一节、第二节内容，主要对函数和正比例函数的概念进行讲解，重点是函数的概念理解，难点是函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正反比例函数提供依据．1、函数的概念a) 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量； b) 2.在某个变化过程中有两个变量，设为x 和y ，如果在变量x 允许的取值范围内，变量y随着x 变化而变化，他们之间存在确定的依赖关系，那么变量y 叫做变量x 的函数，x 叫做自变量.函数用记号()y f x =表示，()f a 表示x a =时的函数值；表示两个变量之间依赖关系的数学式子称为函数解析式．函数的概念及正比例函数的概念知识结构模块一：函数的概念知识精讲内容分析2/ 17【例1】（1）瓜子每千克12元，买x 千克瓜子需付款y 元，用x 的代数式表示y ,并指出这个问题中的变量和常量；（2）写出圆周长公式，并指出公式中每个字母所表示的量是常量还是变量．【难度】★【答案】（1）12y x =，x 、y 为变量，12为常量；（2）2C r π=，C 、r 为变量，π为常量．【解析】（1）总价=单价×数量，可得y 与x 的关系式为12y x =，根据变量与常量的概念和区别，可知x 、y 为变量，12为常量；（2）圆周长公式为2C r π=，其中C 表示圆的周长，r 表示圆的半径，π表示圆周率，根据变量与常量的概念和区别，可知C 、r 为变量，π为常量．【总结】考查变量与常量的概念．【例2】已知汽车驶出A 站3千米后，以40千米∕小时的速度行驶了40分，请将这段时间内汽车与A 站的距离S （km ）表示成t （时）的函数．【难度】★【答案】240303S t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．【解析】根据路程=速度×时间，可知汽车后面所行驶的路程40s vt t ==，则汽车与A 站的距离3403S s t =+=+，同时汽车行驶时间不超过40分钟，即23h ，可知203t ≤≤．【总结】根据所学相关公式，即可得到其中一些量之间的关系，三个量相互关联的量中一个量一定的情况下，另两个量之间则有函数关系．【例3】扇形的面积公式是2360nS r π=，其中S 表示面积，n 表示圆心角，r 表示半径，π表示圆周率，则其中常量是————．【难度】★★ 【答案】360、π．【解析】常量即为保持数值不变的量，故为360和π．【总结】考查常量的概念，即为保持数值不变的量．例题解析3 / 17【例4】某厂有一水池，可贮水900吨，池内原有水100吨，现在以每小时15吨的速度注水，t 时后，池内贮水量是Q 吨，注满为止，求Q 与t 之间的函数关系式．【难度】★★★【答案】1601510003Q t t ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭．【解析】注入水池水量=时间×每小时注入量，可知注入水池水量15V t =，则池内贮水量 10015100Q V t =+=+，同时水池最多贮水900吨，注满为止，可知100900Q ≤≤，即得16003t ≤≤．【总结】根据相关等量关系即可确定对应函数解析式，同时注意实际问题中自变量取值范围．1.函数的定义域和函数值a) 函数自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域．b) 函数自变量取遍定义中的所有值，对应的函数值的全体叫做这个函数的值域．【例5】求下列函数的定义域. （1）10y x =-；（2）2y x =+；（3）11y x =+；（4）22x y x -=-+．【难度】★【答案】（1）全体实数；（2）2x ≥-；（3）1x ≠-；（4）2x < 【解析】（1）x 为任意值，y 都有意义，即函数定义域为全体实数；（2）202x x +≥≥-由，得；（3）101x x +≠≠-由，得；（4）202x x -+><由，得．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可．例题解析知识精讲模块二：函数的定义域和函数值【例6】求函数20(2)y x =-+的定义域．【难度】★★【答案】x ≠0x ≠．【解析】由题意，可得：2220x x ⎧-≠⎪⎨≠⎪⎩，解得：x ≠0x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例7】求函数y =的定义域．【难度】★★【答案】4x ≥且29x ≠．【解析】由题意，可得：4050x -≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得：4x ≥且29x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例8】若函数1y =2211556y x x =++，求函数12y y y =⋅中自变量x 的取值范围．【难度】★★【答案】5x ≤且7x ≠-且8x ≠-【解析】由题意，可得：2153015560x x x -≥⎧⎨++≠⎩，解得：5x ≤且7x ≠-且8x ≠-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一个式子都有意义．【例9】已知13()21xf x x -=+．（1）求(0)f ，(1)f ，1(3f ，1()(2f a a ≠-；（2）当x 为何值时，()f x 没有意义？（3）当x 为何值时，()2f x =-？【难度】★★【答案】（1）()01f =，()213f =-，103f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1321a f a a -=+；（2）12x =-；（3）3x =-．【解析】（1）()1301012011f -⨯===⨯+，()131********f -⨯-===-⨯+，11313013213f -⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭⨯+，()1321a f a a -=+；（2）()f x 没有意义，可知210x +=，即得12x =-；（3）()2f x =-，即13221xx -=-+，解得3x =-．【总结】()f a 表示x a =时的函数值，代值进行相应化简计算即可．【例10】等腰三角形的周长是10厘米，腰长是x 厘米，底边长是y 厘米，求y 关于x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围．【难度】★★★【答案】510252y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．【解析】三角形周长为10，可得210x y +=，由此可得102y x =-，三角形边长必为正数，则有1020y x =->，由此可得5x <，同时根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，则有1022y x x =-<，可得52x >，即自变量x 取值范围是552x <<．【总结】解决实际问题，注意实际问题中量的取值范围，同时考虑实际问题中的隐含条件，本题中隐含条件即三角形三边关系．【例11】已知：2()34()53f x x x g x x =+=-，，求：（1）()()f x g x +；（2）(1)(2)f g -+；（3）(1)(1)f a g a +--．【难度】★★★【答案】（1）2483x x +-；（2）8；（3）24615a a ++．【解析】（1）()()223453483f x g x x x x x x +=++-=+-；（2）()()()2131411f -=⨯-+⨯-=，()25237g =⨯-=，()()12178f g -+=+=；（3）()()()22131414117f a a a a a +=+++=++，()()151358g a a a -=--=-，()()()()22114117584615f a g a a a a a a +--=++--=++．【总结】()f a 表示x a =时的函数值，代值进行相应化简计算，合并同类项即可．【例12】收割机的油箱里盛油65kg ，使用时，平均每小时耗油6kg ．（1）如果收割机工作了4小时，那么油箱还剩多少千克的油？（2）如果油箱里用掉36kg 油，那么使用收割机工作的时间为多少小时？（3）写出油箱里剩下的油y 与使用收割机时间t 之间的函数关系式？（4）在此函数关系式中，求函数定义域？【难度】★★★【答案】（1）41kg ；（2）6h ；（3）656y t =-；（4）6506t ≤≤．【解析】（1）工作4小时用油量为4624kg ⨯=，则剩余油量为652441kg -=；（2）每小时耗油6kg ，可知工作时间为3666h ÷=；（3）收割机耗油量=工作时间×每小时耗油量，耗油量6V t =，则剩余油量65656y V t =-=-；（4）收割机工作最长时间即为油箱中油耗尽的时刻，此时有6560t -=，解得656t =，可知函数定义域为6506t ≤≤．【总结】根据相关公式进行求解即可，注意实际问题中自变量的取值范围．7 / 171．正比例函数的概念a) 如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x 、y 成正比例，就是yk x=，或表示为y kx =（x 不等于0），k 是不等于零的常数.b) 解析式形如y kx =（k 是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k 叫做比例系数.正比例函数y kx =的定义域是一切实数.确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式.【例13】下列那些函数是正比例函数？哪些不是？如果是，请指出比例系数．（1）2x y =；（2）12y x =；（3）2y x =+；(4)2y x =．【难度】★【答案】（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为12和2；（2）（3）不是正比例函数．【解析】形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，其中k 即为其比例系数，可知（1）（4）是正比例函数，比例系数分别为12、2；（2）（3）不是正比例函数．【总结】考查正比例函数和其相关比例系数的概念．例题解析知识精讲模块三：正比例函数的概念【例14】（1）已知2()(3)f x m x =-是正比例函数，求m 的取值范围；（2）若函数2()(3)3f x m x m =-+-是正比例函数，那么m 的值是多少？【难度】★★【答案】（1）m ≠；（2）3m =．【解析】（1）函数是正比例函数，可知其自变量系数230m -≠，即取值范围是m ≠；（2）函数是正比例函数，则其常数项30m -=，解得3m =．【总结】考查正比例函数的概念理解，自变量系数不为0，常数项为0．【例15】已知y 是x 的正比例函数，且当3x =时，24y =，求y 与x 之间的比例系数，并写出函数解析式和函数定义域．【难度】★★【答案】8，8y x =，函数定义域为全体实数．【解析】y 是x 的正比例函数，可知其比例系数2483k ==，则函数解析式为8y x =，函数定义域为全体实数．【总结】考查比例系数的定义，怎样快速求出正比例函数比例系数．【例16】如果23(23)t y t x +=-是正比例函数，求出函数解析式，当x 取何值时，12y <？【难度】★★【答案】3y x =，4x <．【解析】函数是正比例函数，则231t +=，解得13t =-，函数解析式为12333y x x ⎡⎤⎛⎫=-⨯-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，12y <，即312x <，解得4x <．【总结】根据正比例函数概念可知正比例函数自变量次数为1，代入求值即可．【例17】已知函数221(2)mm y m m x +-=+(m 是常数)，当m 是什么数时221(2)mm y m m x +-=+是正比例函数？并求出解析式．【难度】★★【答案】1m =，3y x =．【解析】函数是正比例函数，则有211m m +-=且220m m +≠，解得1m =，代入可得函数解析式为3y x =．【总结】函数为正比例函数，则其自变量次数为1，且其系数不为0．【例18】已知122y y y =-，1y 与3x 成正比例，2y 与()5x +成正比例，且1x =时，12y =，1x =-时2y =-，求y 与x 的函数解析式．【难度】★★ 【答案】75y x =+．【解析】设113y k x =⋅，()225y k x =+，(1200k k ≠≠，)，则()()121212226565y y y k x k x k k x k =-=-+=--，1x =时，12y =，1x =-时，2y =-；即得：12126612642k k k k -=⎧⎨--=-⎩，解得：1211k k =⎧⎨=-⎩．代入即得：y 与x 的函数解析式是：75y x =+．【总结】待定系数法转化为方程求函数解析式．【例19】点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短y cm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围．【难度】★★【答案】()0.6035y x x =≤≤．【解析】蜡烛点燃6分钟，缩短3.6cm ，可知蜡烛每燃烧一分钟缩短3.660.6cm ÷=，则蜡烛点燃x 分钟后缩短长度0.6y x =，蜡烛可燃烧的最长时间为210.635÷=分钟，可知蜡烛燃烧时间的取值范围是035x ≤≤．【总结】根据相关公式进行求解即可，注意实际问题中自变量的取值范围．10/ 17【例20】已知21()(2)kk f x k x +-=+是正比例函数，求k 的值，写出这个正比例函数的解析式，并求出当变量x 分别取-3，0，5时的函数值．【难度】★★【答案】1k =，函数解析式为()3f x x =，分别取3-，0，5时函数值分别为9-，0，35．【解析】函数是正比例函数，则有211k k +-=且20k +≠，解得1k =，代入可求得函数解析式为()3f x x =，自变量分别取3-，0，5时可分别求得：()()3339f -=⨯-=-，()0300f =⨯=，()53535f=⨯=．【总结】函数是正比例函数，则自变量次数为1，且自变量系数不为0．【例21】已知y 与2x 成正比例，并且25x =时，4y =．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当58x =-时，求y 的值；（3）当12y =-时，求x 的值．【难度】★★【答案】（1）10y x =；（2）254y =-；（3）65x =- 【解析】（1）设22y k x kx =⋅=，25x =时，4y =，可得2245k ⨯=，解得5k =，即y 与x 函数关系式为10y x =；（2）58x =-时，5251084y ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭；（3）12y =-，即1012x =-，解得65x =-．【总结】待定系数法求函数解析式，根据函数解析式可对应求值．师生总结1. 求正比例函数的解析式用什么方法？2. 一个正比例函数需要注意的地方有哪些？11 / 17【习题1】东方超市鲜鸡蛋每个0.4元，那么所付款y 元与买鲜鸡蛋个数x （个）之间的函数关系式是______________．【难度】★ 【答案】0.4y x =．【解析】根据总价=单价×数量，可知y 与x 之间函数关系式是0.4y x =．【总结】根据实际问题中的等量关系即可确定函数关系式．【习题2】平行四边形相邻的两边长为x 、y ，周长是30，则y 与x 的函数关系式是___________．【难度】★ 【答案】15y x =-【解析】根据平行四边形的性质，可得()230x y +=，由此可得y 与x 之间函数关系式是15y x =-．【总结】根据实际问题中的等量关系即可确定函数关系式．【习题3】写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数？（1）圆面积y （cm 2）与半径x （cm ）的关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km ，气温下降5℃，则气温y （℃）与高度x （km ）的关系；（3）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y （元）与字数x （个）之间的函数关系．【难度】★【答案】（1）2y x π=，不是正比例函数；（2）285y x =-，不是正比例函数；（3）0.1y x =，是正比例函数．【解析】（1）根据圆的面积公式可知2y x π=，（2）中随高度升高，降低的温度为5x ，则实际气温285y x =-，（3）中根据等量关系总价=单价×数量，可知0.1y x =，根据正比例函数定义，形如()0y kx k =≠的函数是正比例函数，可知（1）（2）不是正比例函数，（3）是正比例函数．【总结】根据实际问题等量关系可求出函数解析式，再根据正比例函数定义和特征相应判断．随堂检测【习题4】出租车收费按路程计算，3km 内（包括3km ）收费8元；超过3km 每增加1km加收1元，则路程x ≥3km 时，车费y （元）与x (km )之间的函数关系式是_____________．【难度】★★ 【答案】5y x =+．【解析】x ≥3km 时，超过3km 部分里程数为()3x km -，前3km 部分收费8元，则两部分合计收费()()3853y x x x =-+=+≥．【总结】根据实际问题进行分段计算即可得出结果．【习题5】求下列各式的定义域：（1）y ；（2）0(1)y x =-+．【难度】★★【答案】（1）46x ≤≤且5x ≠；（2）3x ≥-且1x ≠【解析】（1）由题意，可得：604010x x ⎧-≥⎪-≥⎨≠，则46x ≤≤且5x ≠；（2）由题意，可得：1030x x -≠⎧⎨+≥⎩，则3x ≥-且1x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义，满足三个条件：（1）根号内的式子不小于0；（2）分母不为0；（3）零没有零次方．【习题6】若x 、y 是变量，且函数2(1)k y k x =+是正比例函数，则k =_________．【难度】★★ 【答案】1．【解析】函数是正比例函数，则有21k =且10k +≠，解得1k =．【总结】正比例函数即其自变量次数是1，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．【习题7】已知函数2(1)56y k x k k =++--是正比例函数，求k 的值．【难度】★★ 【答案】6．【解析】函数是正比例函数，可知2560k k --=，即()()610k k -+=，同时一次函数未知数系数不为0，可知10k +≠，由此60k -=，解得6k =．【总结】正比例函数常数项为0，注意自变量系数不为0的隐含条件．【习题8】一种豆子在市场上出售，豆子的总售价与所售豆子的数量之间的数量关系如下（1）上表反映的变量是_____和_____，___________是自变量，___________是因变量，_____ 随_____的变化而变化，___________是___________的函数．（2）若出售2.5千克豆子，售价应为_____元．（3）根据你的预测，出售_____千克豆子，可得售价21元．（4）请写出售价与所售豆子数量的函数关系式. ________________（解析式）．【难度】★★★【答案】（1）所售豆子数量，售价，所售豆子数量，售价，售价，所售豆子数量，售价，所售豆子数量；（2）5；（3）10.5；（4）2y x =【解析】（1）根据变量和函数的相关定义，即可判定x 和y 是变量，其中x 是自变量，y 是因变量，y 随x 的变化而变化，y 是x 的函数；（2）查看上表可知 2.5x =，5y =；（3）根据上表，可知每1kg 豆子的价格应为2元，21元可购得21210.5kg ÷=豆子；（4）依据上表，可知豆子的单价为2元，根据总价=单价×数量，可知售价与所售豆子关系式为2y x =．【总结】把握相关定义，根据实际问题等量关系可求出函数解析式作出相应判断．14/ 17【习题9】已知y 与x 成正比例，且2x =时6y =-；则y =9时，x =________．【难度】★★★ 【答案】3-．【解析】方法一：设正比例函数解析式为()0y kx k =≠，2x =时，6y =-，则有26k =-，解得3k =-，即一次函数解析式为3y x =-；9y =时，即有39x -=，解得3x =-；方法二：函数为正比例函数，则相对应的y 与x 值对应成比例，即有692x-=，解得3x =-．【总结】考查待定系数法求函数解析式，同时可直接用相对应的比例系数相等进行求解．【作业1】设(1)(2)1x y +-=，写出y 关于x 的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【难度】★ 【答案】231x y x +=+，1x ≠-．【解析】由(1)(2)1x y +-=，可得121y x -=+，由此123211x y x x +=+=++，函数有意义，则有10x +≠，即自变量x 的取值范围是1x ≠-．【总结】求函数解析式，通过相关变形把式子一边变成只有函数，另一边表示成相应自变量的式子化简即可，注意变形过程中相应条件，即其相应取值范围．【作业2】在函数xy =中，自变量x 的取值范围是______________．【难度】★★【答案】0x ≥且1x ≠．【解析】由题意，得：2020x x x ≥⎧⎨+-≠⎩，则0x ≥且1x ≠．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．课后作业【作业3】已知2244x y x x -=-+的定义域为______________，当函数值为0时，自变量x 的取值为______________．【难度】★★【答案】2x ≠，2x =-．【解析】函数有意义，可得()224420x x x -+=-≠，即得2x ≠；函数值为0，则有20x -=，根据2x ≠，可得2x =-．【总结】函数的定义域，即满足代数式有意义的条件即可，让每一部分都有意义．【作业4】矩形的周长为20，矩形面积S 与其一边长x 之间的函数关系式______________，自变量x 的取值范围是______________．【难度】★★【答案】210S x x =-+，010x <<．【解析】设矩形另一边长为y ，其周长为20，则有()220x y +=，可得10y x =-，则矩形面积()21010S xy x x x x ==-=-+，同时在实际问题中矩形的边长都大于0，由此可得自变量x 的取值范围是010x <<．【总结】运用相关公式即可进行求解计算，同时注意实际问题中自变量的取值范围．【作业5】等腰三角形中，底角的度数用x 表示，顶角的度数用y 表示，写出y 关于x 的函数解析式及函数的定义域．【难度】★★【答案】()1802090y x x =-<<．【解析】根据三角形内角和180︒，且等腰三角形两底角相等，可知2180x y +=，由此可得 1802y x =-，同时在实际问题中角的度数都大于0，由此可得自变量x 的取值范围是090x <<．【总结】运用三角形内角和即可进行求解计算，同时注意实际问题中自变量的取值范围．【作业6】已知23y -与45x +成正比例，且当1x =时，15y =，求y 与x 的函数关系式．【难度】★★ 【答案】69y x =+．【解析】23y -与45x +对应成比例，可设()2345y k x -=+(0k ≠)，当1x =时，15y =，即()2153415k ⨯-=⨯+，解得：3k =，则有()23345y x -=+，整理得69y x =+．【总结】式子对应成比例，依题意可按照待定系数法的方法进行求解．【作业7】函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，求k 的值．【难度】★★ 【答案】3或1．【解析】函数是正比例函数，依题意有()221k -=且20k -≠，解得3k =或1k =．【总结】正比例函数即其自变量次数是1，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．【作业8】已知()226y k x k k =-++-为正比例函数．（1）求k 的值及函数解析式；（2）当x．【难度】★★【答案】（1）3k =-，5y x =-；（2）x =．【解析】（1）函数为正比例函数，则有260k k +-=且20k -≠，解得3k =-，代入计算得函数解析式为5y x =-；（2，即有5x -=x =．【总结】函数为正比例函数则其常数项为0，同时注意相关隐含条件即自变量系数不为0．【作业9】甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离为S（km）和行驶时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）AB的路程是多少？（2）甲比乙先出发多长时间？（3）整个过程中甲的平均速度是多少？（4）大约在乙出发多长时间时两人相遇，相遇时距离A地多远？【难度】★★★【答案】（1）18km；（2）0.5h；（3）7.2/km h；（4）0.75h，9km【解析】（1）函数纵轴表示的形成，可知AB两地之间的路程是18km；（2）函数的横轴表示时间，可知乙出发时间在0.5h，即甲比乙先出发0.5h；（3）函数倾斜程度表示两学生的运动速度，甲运动函数图像是一条直线，可知甲运动速度保持不变，即甲在2.5h运动了18km，可知甲的平均速度是18 2.57.2/÷=；km h（4）乙运动函数图像是一条直线，即乙的运动速度保持不变，乙在1.5h运动了18km，知乙的平均速度是18 1.512/÷=，甲、乙相遇，可转化为追及问题，可知乙出发km h的时间为()⨯÷-=，相遇时相遇地点与A地的距离为7.20.5127.20.75h()⨯+=．7.20.50.759km【总结】函数倾斜程度表示速度，由此可求出相关函数解析式，同时两函数交点即表示相遇，即由函数表示的图像法转化为函数解析式的表示法，主要考查对相关函数图像表示意义的理解．17/ 17。

正比例函数的定义

老张讲数学
正比例函数的定义
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数。
1、形式上是一个一次单项式，单项式系数就是比例系数k
2、正比例函数的特征：（1）k≠0；（2）自变量的指数为“1”
3、一般情况下正比例函数自变量取值范围为一切实数，但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同
一、设所求的正比例函数解析式。二、把已知的自变量的值和对应的函数值代入所设的解析式，得到以比例系数k为未知数的方程，解这个方程求出比例系数k。三、把k的值代入所设的解析式。
不是正比例函数
是正比例函数，正比例系数为2
判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！
待 4、已知y与x成正比例，当x=4时，y=8，试求
定系数
y与x的函数解析式
解：∵y与x成正比例又∵当x=4时，y=8
∴y=kx ∴8=4k
法 ∴k=2
∴y与x的函数解析式为：y=2x
待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤
正比例函数的定义
3.下列式子，哪些表示y是x的正比例函的）值y ．2x
是正比例函数，正比例系数为-0.1
是正比例函数，正比例系数为0.5
（3）y=2x2
（4）y2=4x
不是正比例函数
不是正比例函数
（5）y=-4x+3
（6） y=2(x－x2 )+2x2
正比例函数的定义
正比例函数的定义：形如 y=kx(k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫比例系数。
4、y与x成正比例函数 y=kx(常数k≠0)
5、从函数关系看，关键是比例系数k，比例系数k一确定，正比例函数就确定了；只需知

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》说课稿一. 教材分析《一次函数与正比例函数》这一节的内容，主要出现在北师大版八年级数学上册第4章第2节。

本节课的主要内容是让学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用。

在教材中，通过丰富的实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，进而探究其性质。

教材还提供了大量的练习题，以便学生巩固所学知识。

二. 学情分析在八年级的学生中，他们已经具备了一定的代数基础，对于图形的认识也有一定的了解。

但是，对于一次函数与正比例函数的定义、性质及其应用，他们可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，我需要从学生的实际出发，引导他们从具体的问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，并通过大量的练习，使学生能够熟练地运用所学知识解决实际问题。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生了解一次函数与正比例函数的定义、性质，能够运用一次函数与正比例函数解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例，引导学生从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系，培养学生的抽象思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探究、积极向上的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数与正比例函数的定义、性质。

2.教学难点：一次函数与正比例函数的图像特征，以及如何从实际问题中抽象出一次函数与正比例函数的关系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些生活中的实例，如商品价格与数量的关系，引导学生思考如何用数学模型来描述这种关系。

2.新课导入：介绍一次函数与正比例函数的定义，并通过实例使学生理解一次函数与正比例函数的关系。

3.性质探究：引导学生通过观察、实验、总结等方法，探究一次函数与正比例函数的性质。

4.应用拓展：提供一些实际问题，让学生运用一次函数与正比例函数的知识解决问题。

一次函数与正比例函数教案

一次函数与正比例函数教案第一章：一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义引导学生了解一次函数的定义，即形如y = kx + b （k、b 为常数，k 不等于0）的函数。

通过实际例子，让学生理解一次函数的组成和意义。

1.2 一次函数的图像引导学生了解一次函数图像是一条直线，并掌握直线的斜率和截距的概念。

1.3 一次函数的性质引导学生掌握一次函数的增减性和过原点性质。

举例说明一次函数在实际生活中的应用，如成本与数量的关系等。

第二章：正比例函数的概念与性质2.1 正比例函数的定义引导学生了解正比例函数的定义，即形如y = kx （k 为常数）的函数。

通过实际例子，让学生理解正比例函数的组成和意义。

2.2 正比例函数的图像引导学生了解正比例函数图像是一条通过原点的直线。

2.3 正比例函数的性质引导学生掌握正比例函数的单调性和过原点性质。

举例说明正比例函数在实际生活中的应用，如速度与时间的关系等。

第三章：一次函数与正比例函数的关系3.1 一次函数与正比例函数的联系引导学生了解一次函数和正比例函数之间的关系，即一次函数可以看作是正比例函数的一种特殊形式。

3.2 一次函数与正比例函数的转化引导学生掌握如何将一次函数转化为正比例函数，以及如何将正比例函数转化为一次函数。

3.3 一次函数与正比例函数的应用通过实际例子，让学生了解一次函数和正比例函数在实际生活中的应用，如商品价格与数量的关系等。

第四章：一次函数与正比例函数的图像解析4.1 一次函数图像的解析引导学生掌握如何从一次函数的图像中获得斜率和截距的信息。

4.2 正比例函数图像的解析引导学生掌握如何从正比例函数的图像中获得斜率的信息。

4.3 一次函数与正比例函数图像的比较引导学生了解一次函数图像和正比例函数图像的异同，并掌握如何判断一个函数是一次函数还是正比例函数。

第五章：一次函数与正比例函数的综合应用5.1 实际问题转化为一次函数与正比例函数的问题引导学生学会将实际问题转化为一次函数与正比例函数的问题，并利用相关性质解决。

北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)

另外，教学过程中，我对学生们的鼓励和表扬还不够，导致部分学生在面对困难时显得不够自信。在以后的教学中，我要更加关注学生们的情感需求，多给予鼓励和支持，帮助他们建立自信心。
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案

北师大版八年级数学上册：4.2《一次函数与正比例函数》教案一. 教材分析《一次函数与正比例函数》是北师大版八年级数学上册第4章的内容，主要包括一次函数和正比例函数的定义、性质和图象。

这一部分内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力具有重要意义。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了初中数学的一些基本概念和运算，对于图象和方程有一定的认识。

但是一次函数和正比例函数的概念和性质可能对学生来说较为抽象，需要通过具体例子和实际问题来帮助学生理解和掌握。

三. 教学目标1.理解一次函数和正比例函数的定义和性质。

2.学会绘制一次函数和正比例函数的图象。

3.能够运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

四. 教学重难点1.一次函数和正比例函数的定义和性质。

2.绘制一次函数和正比例函数的图象。

3.运用一次函数和正比例函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法和案例教学法，通过实际问题和具体例子引导学生理解和掌握一次函数和正比例函数的概念和性质，通过绘制图象和解决实际问题来巩固知识。

六. 教学准备1.教学PPT或者黑板。

2.教学案例和实际问题。

3.绘图工具，如直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入一次函数和正比例函数的概念，例如：某商品的原价是100元，打8折后的价格是多少？引导学生思考如何用数学模型来解决这个问题。

2.呈现（15分钟）通过PPT或者黑板，呈现一次函数和正比例函数的定义和性质，结合实际例子进行解释和说明。

引导学生积极参与，提出问题和困惑。

3.操练（15分钟）让学生分组合作，通过绘制一次函数和正比例函数的图象来加深对概念和性质的理解。

可以给出一些具体的函数表达式，让学生根据性质来判断图象的形状和位置。

4.巩固（10分钟）通过解决一些实际问题，让学生运用一次函数和正比例函数的知识。

可以设置一些选择题、填空题或者解答题，检查学生对知识的掌握情况。

5.拓展（10分钟）引导学生思考一次函数和正比例函数的应用场景，例如：经济学中的成本和收益模型、物理学中的速度和时间模型等。

一次函数和正比例函数

一次函数和正比例函数一次函数和正比例函数是初中数学中常见的两种函数类型，它们在数学中具有重要的地位和作用。

本文将分别从理论和实际应用的角度对一次函数和正比例函数进行详细的介绍，并分析它们之间的联系和区别。

一、一次函数的基本概念1.1一次函数的定义一次函数又称为线性函数，其一般形式可以表示为y = kx + b，其中k和b分别为常数，且k ≠ 0。

其中x称为自变量，y称为因变量。

一次函数的图像是一条直线，因此又称为线性函数。

1.2一次函数的性质一次函数的图像是一条直线，因此具有以下性质：（1）经过直线上的任意两点(x1, y1)和(x2, y2)，连接这两点的直线段都在函数的图像上。

（2）一次函数的图像不会与x轴平行也不会与y轴平行。

（3）一次函数的图像的斜率k表示为函数y = kx + b的k，即斜率表示了函数图像的倾斜程度。

（4）一次函数的图像在b轴上的截距b表示为函数y = kx + b 的b，即截距表示了函数图像与y轴之间的距离。

1.3一次函数的应用一次函数在实际生活中有着广泛的应用，例如直线运动、成本与产量的关系、温度随时间的变化等。

另外，一次函数还是其他函数的基础，更多复杂的函数都可以通过一次函数进行逼近和分析。

二、正比例函数的基本概念2.1正比例函数的定义正比例函数又称为比例函数，其一般形式可以表示为y = kx，其中k为常数，且k ≠ 0。

正比例函数的图像是一条直线通过原点。

2.2正比例函数的性质正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此具有以下性质：（1）正比例函数的图像过原点。

（2）正比例函数的图像经过直线上的任意两点(x1, y1)和(x2, y2)，连接这两点的直线段都在函数的图像上。

（3）正比例函数的图像的斜率k表示为函数y = kx，即斜率表示了函数图像的倾斜程度。

2.3正比例函数的应用正比例函数在实际生活中同样有着广泛的应用，例如单位换算、图像相关性质分析、物体的数量与质量的关系等。

人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例

人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，正比例函数是学生接触到的第一个具有明显线性特征的函数类型，对于培养他们的数学思维与解决实际问题的能力具有重要意义。本教学案例以人教版数学八年级下册19.2第1课时正比例函数为主题，通过设计丰富多样的教学活动，旨在帮助学生理解正比例函数的概念、图像及性质，并能将其应用于解决生活中的实际问题。
在教学正比例函数这一课时，我将通过创设贴近学生生活的情景，激发他们的学习兴趣。例如，可以引入购买商品时的单价与总价关系、速度与时间关系等实例，让学生在具体情境中感知正比例函数的存在。这样既能帮助学生理解正比例函数的定义，又能使他们体会到数学知识在实际生活中的应用。
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，可以引导学生主动探究、积极思考。在教学中，我将设计一系列具有启发性和挑战性的问题，如“如何表示两个变量的正比例关系？”“正比例函数的图像有什么特点？”等。通过这些问题，让学生在解答过程中掌握正比例函数的知识点，培养他们分析问题和解决问题的能力。
4.反思与评价的有机结合
本案例注重学生的反思与评价，引导他们在学习过程中及时总结经验教训，调整学习策略。同时，教师采用多元化的评价方式，关注学生的全面发展。这种反思与评价的有机结合，有助于提高学生的学习效率，增强他们的自信心。
5.丰富的教学内容与过程设计
本案例在教学内容与过程设计方面，充分考虑了学生的认知规律和教学目标。从导入新课、讲授新知、小组讨论、总结归纳到作业小结，各个环节紧密相连，层层递进。这种设计有助于学生系统、全面地掌握正比例函数的知识，提高他们的数学素养。
3.引导学生运用数形结合的思想，将正比例函数的图像与性质相结合，提高他们解决问题的直观想象和逻辑推理能力。

第19章《课时精讲1 正比例函数的概念》名师优秀教案

第19章第2单元正比例函数课时精讲一正比例函数的概念内容分析正比例函数是继“变量与函数〞单元之后学习的第一种函数，学生已经对变量、常量、函数等根本概念，函数的三种表示方法及函数图象的画法有了根本的认识正比例函数是初中数学中最根底、最简单的函数，这节课不仅要探究正比例函数的概念，还要向学生渗透研究函数的一般流程此外，正比例函数作为一次函数的特殊情况，是学习一次函数的根底，本课时教学过程的设置，符合学生的认知规律也充分表达了知识螺旋上升的特点，因此本节课起到承上启下的作用正比例函数是刻画现实世界变化规律的一个重要模型，表达了从常量数学向变量数学的转变；正比例函数也是代数中的“纽带〞，因为方程、不等式等都与函数知识有直接的联系；同时正比例函数在物理、化学等自然科学中也有着广泛的应用，因此本课时内容在初中数学中有着非常重要的地位学生分析学生在小学已经学习了比例的意义与性质，在这个根底上，学生很容易接受正比例的概念，接着从正比例关系过渡到正比例函数的学习然而，对于初次接触函数的学生而言，理解函数的意义是个难点，因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量，及变量之间的对应关系，使学生对函数的定义有进一步的理解目标确定1理解正比例及正比例函数的意义2能根据正比例的意义判断两个变量之间是否成正比例关系3能识别正比例函数，根据条件求正比例函数解析式或比例系数重点难点重点：理解正比例和正比例函数的意义难点：判定两个变量之间是否存在正比例的关系评价设计“正比例函数的概念〞学习评价量表活动设计环节1 创设情境教师活动1 学生活动1引言：本节课开始，我们开始研究具体函数，初中阶段我们主要研究三类函数，分别是一次函数、二次函数、反比例函数在研究一个具体函数之前，我们先学习一下研究一般函数的流程研究一个函数，首先要研究它的定义，包括解析式中各字母的含义及自变量的取值范围、定义的结构特征、如何求一个函数的解析式；其次研究函数的图象及性质：函数的图象是什么？它分布在哪几个象限？函数图象特征由什么决定？再结合图象特征研究函数的性质，初中阶段主要研究函数的单调性、对称性〔关于轴对称、关于点对称〕及一些图象特学生思考，结合所学，先组内讨论交流，再由小组代表答复以下问题征〔如最值、渐近线、图象开口方向、大小、图象倾斜程度等〕本节课我们按照此流程研究正比例函数，首先请大家看下面这个实例结合生活实际，教师提出四个问题问题1：考虑以下问题：〔1〕乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时〔结果保存小数点后一位〕？〔2〕如果从小学学习过的比例观点看，列车在运行过程中，行程〔单位：m〕和运行时间t〔单位：h〕之间有什么关系？〔3〕如果从函数的观点看，京沪高铁列车的行程〔单位：m〕是运行时间t〔单位：h〕的函数吗？能写出这个函数的解析式，并写出自变量的取值范围吗？〔4〕乘京沪高铁列车从北京南站出发后，是否已经过了距始发站1100m的南京南站？活动意图说明从生活实际出发，以列车的行驶问题为背景，用4个小问题，逐步深入，不仅复习了小学时学过的比例关系，也复习了前一单元的函数关系，为进一步引出正比例函数做铺垫问题中的变量在数量关系上具有典型性，且是学生喜闻乐见的，比拟容易理解，通过从数学的角度研究这类问题让学生思考，可以激发学生的探究热情环节2 问题再现教师活动2 学生活动2问题2：以下问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式学生思考：学生根据题目中的数量关系列出表达式，结合之前学的函数的定义，即“对〔1〕圆的周长ι随半径r的变化而变化；〔2〕铁的密度为cm3，铁块的质量m〔单位：g〕随它的体积V〔单位：cm3〕的变化而变化；〔3〕每个练习本的厚度为，一些练习本摞在一起的总厚度h〔单位：cm〕随练习本的数量n〔单位：本〕的变化而变化；〔4〕冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体温度T〔单位：℃〕随冷冻时间t 〔单位：min〕的变化而变化问题探究：借助函数解析式：ι＝2πr，m＝，h＝，T＝－2t，探究以下问题〔1〕以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数〔2〕认真观察自变量和常量是运用什么运算符号连接起来的这些常量可以取哪些值？〔3〕这4个函数表达式与问题1的函数表达式＝ 300t有何共同特征？请你用语言加以归纳〔4〕函数值与对应的自变量的值的比有什么特点？学生讨论时，教师巡视并进行指导，学生答复完问题之后，教师要及时点评，多用一些鼓励性的语言任一自变量，有唯一确定函数值与之对应〞，判断是否满足函数关系（1）ι＝2πr；〔2〕m＝；〔3〕h＝；〔4〕T＝－2t学生探究：学生列出函数关系式之后，以小组为单位谈论，总结归纳，得出结论结论：〔1〕含有2个变量；〔2〕自变量的次数为1；〔3〕函数的次数为1；〔4〕等号的左边只有一个字母〔变量〕；〔5〕等号的右边是常数与自变量的乘积函数值与对应的自变量的值的比是一个常数活动意图说明环节3 形成概念教师活动3学生活动3教师设计问题串，引发学生思考，你能用数学式子表达吗？有何要求呢？为什么？3你能尝试给这类特殊函数下个定义吗？ 4这个函数表达式在形式上是一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？＝的自变量的取值范围是什么？这与问题1和问题2中的函数自变量的取值范围有何不同？与工成正比例函数？反之，＝〔为常数，≠0〕表示什么意义？＝中，关键是确定哪个量？比例系数一经确定，正比例函数确定了吗？怎样确定呢？待定系数法求比例系数：设、列、求、写1〔1〕ι＝r ；〔2〕m ＝V ；〔3〕h ＝n ；〔4〕T ＝t不能为0，如果为0，对于任意自变量，相应的函数值都是0，它代表的是轴，是常值函数，而不是正比例函数 3正比例函数的定义：一般地，形如＝〔是常数，≠0〕的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数 4结构特征：等式右边是一次单项式形式，系数是，次数为1的取值范围是全体实数不同之处在于前面问题中自变量的取值范围要符合实际情境6成正比例：正比例函数的函数值与对应的自变量的值的比值是一个非零常数＝中，关键是确定比例系数，通过给定一组满足条件的，的值，代人解析式＝〔为常数，≠0〕中，即可求出比例系数的值活动意图说明1思考栏目给出更多的实际问题，通过这些实际问题使学生逐步加深对函数概念的理解，也为导出正比例函数概念做好铺垫2有效的提问对于提高数学课堂教学效率非常重要，问题探究环节，通过4个问题的设置，引导学生通过观察、分析和归纳，发现正比例函数的特征，理解其解析式的特点从而为水到渠成地得到正比例函数的概念打根底，同时培养学生的观察、总结归纳能力3安排小组合作，一方面加强学生间的互动，活泼课堂气氛，另一方面突破教学重点教师通过设计一系列问题串，引导学生通过观察式子的结构特征，猜测出正比例函数的定义，并且通过追问，深入剖析正比例函数的意义，易于帮助学生突破难点环节4 辨析概念教师活动4 学生活动4的正比例函数吗？如果是，请你指出比例系数的值〔1〕＝－；〔2〕＝22；〔3〕2＝4；〔4〕＝－4＋3；〔5〕＝2〔－2〕＋22分析：判断是否是正比例函数，要根据函数的结构特征，－－次项系数不为0，次数为1注意要根据化简之后的结果判断之间的函数关系，并指出哪些是正比例函数〔1〕正方形的边长为 cm，周长为 cm；〔2〕某人一年内的月平均收入为工元，他这年〔12 个月〕的总收人为元；〔3〕－－个长方体的长为2 cm，宽为 cm，高为cm，体积为 cm33判断正误正确的打“√〞，错误的打“×〞〔1〕假设＝，那么是的正比例函数〔〕〔2〕假设＝22，那么是的正比例函数〔〕〔3〕假设＝2〔－1〕＋2，那么是的正比例函数〔〕〔4〕假设＝2〔－1〕，那么是－1的正比1根据正比例函数的概念，判断第1题，并写出比例系数〔1〕是，比例系数是－；〔5〕是，比例系数是22根据等量关系列式：〔1〕＝4，是正比例函数；〔2〕＝12，是正比例函数；〔3〕＝3，是正比例函数3〔1〕×〔2〕×〔3〕√〔4〕√例函数〔〕分析：第3题中，判断是不是正比例函数时，要强调在化简之后判断，比方〔3〕；而且要关注谁是自变量，即关于谁的函数，注意整体思想的应用，比方〔4〕活动意图说明及时的练习有利于学生稳固新知，反应学习效果，设计的题目由易到难，层层递进，易于学生接受，符合学生的认知水平，第1题，根据正比例函数的结构特征判断，排除不是正比例函数的选项，让学生正确认识怎样的函数是正比例函数，并会写出具体函数的比例系数第2题，通过建模列出式子，并判断是否是正比例函数，加深对正比例函数概念的认识第3题，定义变形，难度加大环节5 稳固练习活动意图说明通过练习，深化学生对正比例函数意义的理解，练习一方面考查学生根据定义求满足条件的参数的值；另一方面考查学生对待定系数法求解析式的应用，并标准解题过程环节6 课堂小结教师活动6 学生活动61教师和学生一起回忆本节课所学主要内容，并请学生答复以下问题你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？2思考：学习了正比例函数的定义后，接下来我们要研究什么？1在教师的引导下，回忆反思本节课所掌握的知识、技能、思想方法师生共同总结：〔1〕从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积〔2〕从结构特征看：①一般情况下＝〔常数≠0〕；②在特定条件下自变量可能不单独是了，要注意问题中自变量的变化〔3〕从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认是否为正比例函数〔4〕从函数关系看：比例系数一确定，正比例函数就确定了；只需知道两个变量，的一对对应值即可确定（5）从方程角度看：如果三个量，，中其中两个量，那么一定可以求出第三个量2图象、性质、应用等活动意图说明引导学生把握研究问题的根本策略和方法，从不同角度理解同一问题，深入剖析正比例函数的概念，培养学生发散思维，加深学生理解通过思考题，引出研究函数的一般流程：实例一定义一图象一性质一应用，激发学生的学习兴趣和探究热情，为下一－课时研究正比例函数的图象和性质做铺垫板书设计正比例函数的概念1正比例函数定义：2结构特征：3典型例题：4归纳总结：5函数研究一般流程：练习诊断A级1以下函数中哪些是正比例函数？〔1〕；〔2〕〔3〕＝＋1；〔4〕＝2；〔5〕＝〔a2＋1〕〔a为常数〕；〔6〕＝2－〔－3〕2以下问题中，与成正比例函数关系的是〔〕，面积为B某地月租费为10元，通话收费标准为元/min，某月通话时间为min，该月通话费用为元C把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入本，第二个抽屉放入本D长方形的一边长为4，另一边长为，面积为3关于，以下说法正确的选项是〔〕是关于的正比例函数，比例系数为－2是关于的正比例函数，比例系数为－是关于＋3的正比例函数，比例系数为－2是关于＋3的正比例函数，比例系数为－B级1假设为正比例函数，那么m为＋2与－2成正比例，且当＝5时，＝之间的函数关系式＝〔m＋2〕＋|m|－2，当m为何值时，是的正比例函数？的正比例函数，当＝3时，＝－9，那么与之间的函数关系式为的正比例函数，试求的值，并指出正比例系数－2的正比例函数，当＝3时，＝－的函数关系式反思与改良本节课教学的主要任务是：理解正比例函数及正比例的意义；能根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系；会识别正比例函数，并能根据条件求正比例函数的解析式或比例系数由于本节课内容概念性强，所以教师借助学生熟悉的行程问题导入正比例函数的概念，学生易于接受教学环节设计，采取“创设情境一观察思考—形成概念一辨析概念一深化应用概念一归纳小结〞这样循序渐进的流程在教学设计时，注重了学生的模拟和尝试，同时重视教师的引导、指导和示范，如在概念形成时进行必要的板书，对关键之处的启发、点拨和讲解，有利于学生对概念的理解。