第八讲_有限元法(8)

b
q x b u (u
u * u ) E xa x
xa u
Lagrange 乘子法与原定解问题完全等效，代价就是引入了新的求解变量
有限元法的基本原理
• 解法2：罚函数法 • 构造新泛函
I * (u ) g ( x) u Eu u dx q u
偏微分方程分类： Auxx+2B uxy+Cuyy+D ux+Euy +f =0 Δ（=B2 – AC）> 0：双曲型，波动方程. Δ（= B2 – AC）= 0：抛物型，热传导方程. Δ（= B2 – AC）< 0：椭圆型， 位势方程.
• 定解问题：偏微分方程+ 定解条件（边界条件+ 初 始条件） • a) 初值问题 • n阶方程有n个初始条件，初始条件偏导数的最高阶 次是n – 1. • b) 边值问题
• • uxyz = 0, u = f1(x, y)+ f2 (x, z)+ f3 (y, z) utt –c2 uxx= 0, u = f1(x+ct)+ f2 (x– ct).
• • c) 定解问题的解：满足边界条件和初始条件的通解.
• • 线性叠加原理 • 解的存在、唯一性和稳定性
• 解的性质 • a） 椭圆形方程的极值只能在边界达到。解在内部没有 弱间断，解在边界上间断，在内部也是充分光滑的，边 界条件是封闭的. • b） 双曲型方程没有像椭圆形方程那样的极值原理，解 在内部可以有弱间断，边界条件不是封闭的。
小结：
等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。 加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。
伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。
伽辽金法是有限元法中使用最为普遍的。
（5）伽辽金法
简单地说，将近似解的试探函数作为权函数。
等效积分形式
伽辽金法的一般表达式
引入变分
更简洁的形式：
*
b
F
F

x b (u
* u ) u x a
x a
I * (u) g ( x) u Eu u dx q u
a
b
x b
(u
x a
u * ) u
xa
u Eu g udx E a x
d）单元平衡方程
4） 总体分析
a） 建立选择矩阵：
b) 组集单元刚度矩阵
c) 组集等效节点载荷
Al F Aqe ( x1e ) 2
e
Al e Aqe ( x2 ) 2
T
d） 解以节点为未知量的方程组
热传导问题的有限元方法
热传导方程
1. 一维问题
1）傅里叶定律
• i: 第一类边界条件（Dirichlet）, • ii: 第二类边界条件（Neuman）, • iii: 第三类边界条件（Robin）.
• • 偏微分方程的解 • a) 解：使偏微分方程两端恒等的有定义的函数叫偏微分方程的解. • b) 通解: 对于n 阶方程，未知函数有m个自变量，其通解由n个独立的 满足一定可微要求的函数组成，且每个函数有m – 1个自变量.
3．加权余量法弱形式：
伽辽金加权余量法
分部积分

b
a
(E
u w w)Adx qwA x x
x b
0
泛函取极值 变分等于零
可以看出，
伽辽金加权余量法弱形式与变分结果一致。
4．加辽金加权余量法
• • • • • • • • 取加权函数的试探函数与近似解的试探函数相同
加辽金有限元法解题过程 1） 构造加权残差积分方程 2） 离散化 3） 单元分析 4） 总体分析 5） 建立和求解有限元方程组
静态线弹性有限元定解问题
ij , j fi 0
ij n j Ti 0
u (
V i
ij , j
fi )dV ui ( ij n j Ti )dS 0
S
ui
高斯定律
真实位移的变分，连续可导。在给定位移的边界上，
ui 0
虚应变
张量形式
• 变分定义
a)容许函数的变分
i） 泛函的值由1个自变量的函数确定
ii）泛函的值由有3个自变量的函数确定
iii）泛函的值由有3个自变量的2个函数确定
d）变分运算
• • • •
3．变分问题 a) 函数的极值问题（无约束和约束） b) 变分问题：求泛函的极值函数 c) 泛函极值函数的必要条件
d) 欧拉方程
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理
• e) 定解问题与变分问题
i） 固定边界变分问题与基本边界条件 两端约束的弹性杆问题：
此式即杆的平衡方程，它就是变分的欧拉方程。
ii ）非固定边界变分问题与自然边界条件
泛函：
边界条件：
I (u ) u u dx q u a u u
本构关系
3）三维各向同性导热材料
矩阵形式
8/9/2013
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小结：
等效积分形式：与原有微分方程和定解条件完全等价。 加权余量法：对场函数进行近似，令加权余量等于零。
伽辽金法：加权函数与场函数的试探函数（基函数、形函数）相同。
伽辽金法是有限元法中使用最为普遍的。
基本概念
• 偏微分方程和偏微分方程组：
• 一个未知函数及其偏导数组成的方程叫偏微分方程，两 个以上未知函数及其偏导数组成的方程组叫偏微分方程 组。方程组中未知函数和方程个数相等，叫封闭的偏微 分方程组（或完全的）。 • 偏微分方程的阶和偏微分方程组的阶： • 方程中偏导数的最高阶次叫偏微分方程的阶; • 偏微分方程组的阶是方程组中各偏微分方程的阶数之和。
b a
b
F
F

x b

g ( x) u Eu u dx q u
x b
此式即杆的平衡方程
iii ）含有约束条件的变分问题
一端约束（指定位移）的弹性杆
解法1：Lagrange 乘子法构造新泛函
I (u) u u dx q u a u u
a
b
x b
k u

x a
u * u
* x a u E

u Eu g udx E a x
b
q u k u x b
u x
x a u
当k无穷大时，则满足第一类边界条件。不引入新的求解变量。
• 线性、非线性和拟线性偏微分方程:
• a) 方程中所有出现未知函数或其偏导数的项都是 未知函数的一次式的方程叫线性方程 • b) 未知函数项或未知函数偏导数项不是一次式的 方程叫非线性方程； • c) 非线性方程中所有未知函数的最高阶偏导数是 一次式的方程叫拟线性方程。
• 齐次和非齐次偏微分方程 • • • • •
q: 单位时间、单位面积流过的热量 热流密度与温度梯度成正比。
单位：W/(m· K)
2）平衡方程
Q=cpmΔT 比热容：cp 单位：W· s/(kg· K)
1千克的物质的温度上升 （或下降）1摄氏度所需 的能量。
扩散率的单位：m^2/s
x=13m, t=1y, theta=0.1 x=13m, t=6667y, theta=0.98
1） 构造加权余量积分方程
弱形式
2） 离散化
b）单元的总体节点编号和局部节点编号， 单元e=I， 总体节点编号：1，2，局部节点编号：1，2； 单元e=III，总体节点编号：3，4，局部节点编号： 1，2。
3） 单元分析
a) 在自然坐标系中构造单元近似解：
b） 构造加权函数
c） 单元坐标：
加权函数、近似解试探函数、坐标插值 函数的类型一致
u
x a
0
u E x
x b
q
对应泛函
泛函的变分
有限元法的基本原理
2．加权余量法
直接从微分方程出发的一种积分方法。
假设未知函数采用近似函数表达： 近似函数表示的微分方程的残差
u u Ni ai Na
i 1 n
边界条件的残差
其思想是使由近似函数表示的微分方程的残差和边界条件的残差的加权积分为零
有限元法的基本原理
•
泛函与变分（Functional and variation） 1． 泛函函数的函数 • a) 两端固定的曲线长度： • b) 弹性杆的总势能： • c) 温度场泛函：
曲线长度
总势能
温度场泛函
式中f, u, T叫做泛函的容许函数：满足一定边界条件和连续性的所有函数
有限元法的基本原理
小结：
1.定解问题（微分方程加定解条件）等价于相应泛函取极值。
I 0
2. 泛函取极值就是有限元方法的理论基础，将微分形式变成了积分形式。
3. 不是所有的定解问题都存在相应的泛函。 4. 不存在泛函的定解问题，可以直接用更广义的加权余量法。
弹性长杆的定解问题
微分方程 定解条件
Eu g 0