组合数学第一章习题

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组合数学卢开澄课后习题答案

组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。

卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。

在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。

第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。

答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。

习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。

答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。

综上所述，B=C。

1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。

（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。

答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。

（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。

习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。

（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。

第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。

习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。

2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。

答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。

组合数学第一章习题

§ 1.2 排列
1.求在1000和9999之间各位数字不相同的奇数个数. 解由于它们之间的数都是4位数,所以可以先选个位,再选千位、百位和十位. 又所要的数为奇数,所以个位数字只能是1,3,5,7,9中的任何一个,即有5种选法,千位只有8种选法,百位也有8种选法,十位有7 种选法. 所以由乘法规则得所求奇数个数为 5×8×8×7=2240个.
N1

1
7! 4!2!

105.
然后将4个S插入8个位置当中共有 C(8,4)=140种,故由乘法规则
得排列数为 N1 140 14700.
7. 有多少种方法把字母a,a,a,a,b,c,d,e排成无两a相邻？
解先让b,c,d,e做全排列共有4!=24种 ,再让4个a插入5个间隔中共有C(5,4)=5,故由乘法规则得所求排列数为
是什么?
3.用组合分析的方法证明恒等式
n
2n

n k (1)k C(n,k)3k 的值是( (-2)n ).
k 0
5.设n为正整数,则
n
C(n, 2k)
等于 ( 2n-1
).
6.用组合分析法证明 k0

n l

C(250,1)C(250,1)C(250,1)=2503种; 故由加法规则得符合条件的选法共有
C(250,3)+ 3C(250,2)C(250,1)+ 2503
§ 1.3 组合
3.求方程 x1 x2 L xn r 的正整数解的个数.
解令 y1 x1 1, y2 x2 1,L , yn xn 1代入原方程得
6.用组合分析法证明

n l

组合数学第三版+卢开澄+习题答案

第1章排列与组合经过勘误和调整，已经消除了全部的文字错误，不过仍有以下几个题目暂时没有找到解答：1.8 1.9 1.161.41（答案略） 1.42（答案略）1.1 从{1,2,…,50}中找一双数{a,b}，使其满足：()5;() 5.a ab b a b -=-≤[解] (a) 5=-b a将上式分解，得到55a b a b -=+⎧⎨-=-⎩a =b –5，a=0时，b ＝5，6，7，…,50。

满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。

满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

1.2 5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？ (b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生A 和B 之间正好有3个女生的排列是多少？[解] (a) 女生在一起当作一个人，先排列，然后将女生重新排列。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。

将女生插入，有5!种方案。

故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≢n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起；分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

李凡长版组合数学课后习题答案习题1

1第一章排列组合1、在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10；千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。

2、在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？解：（1）串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。

（2）串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。

（或：()()4142*2+＝14）（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。

（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。

所以满足条件的串共48个。

3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。

如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*64、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。

求n 和m 。

解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。

以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。

因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。

因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。

组合数学课后习题答案

第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。

故符合要求的不同分组共有12)2()12(21111+-=-----=∑n k n k n k n 种。

组合数学第三版+卢开澄+习题答案

满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。

满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。

将女生插入，有5!种方案。

故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

(c) 先从5个女生中选3个女生放入A ，B 之间，有35C 种方案，在让3个女生排列，有3!种排列，将这5个人看作一个人，再与其余7个人一块排列，有 (7+1)! = 8!由于A ，B 可交换，如图**A***B** 或 **B***A**故按乘法原理，有：2×35C ×3!×8!=4838400（种）1.3 m 个男生，n 个女生，排成一行，其中m ，n 都是正整数，若(a) 男生不相邻(m ≤n+1)； (b) n 个女生形成一个整体； (c) 男生A 和女生B 排在一起；分别讨论有多少种方案.[解] (a) 先将n 个女生排列，有n!种方法，共有n+1个空隙，选出m 个空隙，共有m n C 1+种方法，再插入男生，有m!种方法，按乘法原理，有：n!×mn C 1+×m!＝n!×)!1(!)!1(m n m n -++×m!=)!1()!1(!m n n n -++种方案。

组合数学第一章习题

• 5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。解 • 6.试求从1到1000000的整数中，0出现了多少次？解 • 7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？解 • 8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为
5
• 7.解：把n个男、n个女分别进行全排列，然后
按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 2 再乘2,即方案数为2· (n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 2 根据圆排列法则，方案数为2 · (n!) /(2n)个.题
• 8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一
个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r个小球放入r个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有 C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。题
m m-2 +…+ n n-2
( )( ) ( )
m-n n m 0 =2 n
• 21.对于给定的正整数n,证明当 n-1 , n+1 若n是奇数 2 2
若n是偶数时，C(n,k)是最大值。解 (2n)! (3n)! • 22.(a)用组合方法证明 2n 和 2n·3n都是整数. (n2)! (b)证明 (n!) n+1 是整数. 解 • 23.(a)在2n个球中,有n个相同,求从这2n个球中选取n个的方案数。 (b)在3n+1个球中，有n个相同，求从这3n+1个球中选取n个的方案数。解

高中数学第1章组合及组合数公式同步练习北师大版选修23

组合及组合数公式同步练习【选择题】1、若m≠n，则组合数C mn 等于 ( ) A. !n A m n B.m n C m n 1- C.C 1+-m n m D. m n C mn n 1--2、200件产品中有3件是次品,现从中任意抽取5件,其中至少有两件次品的抽法有( )种.A 、C 210C 3197B 、C 23C 3197 C 、C 5200-C 5197D 、C 5200+ C 12C 41973、十棱柱的内部对角线共有 ( )A 、50条 .B 、60条C 、70条D 、80条4、空间9个点分布在异面直线l 1、l 2上，l 1有4个点，l 2上5个点，则由它们可确定异面直线 ( )A ．180对 B.21对 C.121对 D.60对5、把半圆弧分成九等份,以这些分点(包括直径端点)为顶点,作出的钝角三角形有( )A.120个B.112个C.165D.1566、6本相同的数学书和3本相同的语文书分给9个人,每人1本,共有不同分法( )A.C 39B.A 39C.A 69D.A 39·A 337、身高互不相同的6个人排成2横3纵列照相,在第一行的每个人都比他同列身后的人个子矮,则不同的排法种数为 ( )A.1B.15C.90D.548、马路上十盏路灯，为了节约用电可以关掉三盏路灯，但两端两盏不能关掉，也不能同时关掉相邻的两盏或三盏，这样的关灯方法有（）A 、56种B 、36种C 、20种D 、10种【填空题】9、从0、1、2、3、5、7、11七个数字中每次取出三个相乘，共有个不同的积。

10、甲、乙、丙、丁四个建筑公司承包8次工程，甲公司承包3项工程，乙公司承包1项，丙和丁各承包2项，则共有种承包方式。

11、平面上四条平行直线与另外五条平行直线垂直，则它们可以构成个矩形。

12、3个人坐在一排的8个座位上，若每人两边都是空位，则不同的坐法种数为。

13、2310的正约数有个，其中偶数有个。

组合数学初步课后答案

组合数学初步课后答案第一章排列与组合1．下列各数有多少个不同的正因子？（1）32435711;⨯⨯⨯ ()2620.解：设其任一正因子为321435711k k k k ⨯⨯⨯则k1可取0.1.2.3.4 K2可取0.1.2.3 K3可取0.1.2 K4可取0.1则其正因子个数为N= 54321⨯⨯⨯⨯=120个 (2)620= 22531⨯⨯设其任一正因子为3212531k k k ⨯⨯k1可取0.1.2. K2可取0.1. K3可取0.1.则其正因子个数为N= 322⨯⨯=12个2．一教室有两排，每排有8个座位，今有14名学生，5人总在前排，4人总在后排。

问学生入座方式有多少种？解：前排有5人共58A 种坐法后排有4人共48A 种坐法还剩下14-5-4=5人在剩余的座位16-5-4=7中任选座位57A 种坐法故总共有N=58A 48A 57A =8449792⨯1010种坐法3. 6位男孩与6位女孩围圆桌就做，如果男孩与女孩交替就做，有多少种个入座方式？解：6位女孩先入座，则有（6-1）！=5！种，6位男孩后入座，则有66A =6！种由乘法原理。

共有5！6！座法。

4. 给定空间25个点，任意4点不共面，它们可以确定多少个三角形？多少个四面体？解：（1）任意三点确定一个三角形，则共有325C =2300个三角形（2）任意不共面的四点可以确定一个四面体，则共可确定425C =12650个四面体5. 在有15个队参加的足球锦标赛中，前三名授予金杯、银杯、铜牌，而最后三个队被降级。

只要分别获得金、银、铜杯与降级的足球队是一样的，就认为比赛结果相同，问这次锦标赛有多少种不同的结果？解：法一：N=315A `312C法二：此问题等价于从15个人中选取6个人，再从6人中选3个排在1、2、3位，其余3人放入3个位子（不分次序）N=63156C C 33A 或615C 36A6 . 某人从他的住所步行L16条街段到大楼W 上班（见图1-2）。

组合数学第一章习题解答

1.16、n个完全一样的球放到r个有标志的盒中，无一空盒，试问有多少种方案？取r个球每盒放一个，然后n-r个放入r个不同盒中，同充许空盒的放法。 C(r+n-r-1,n-r)=C(n-1,n-r)=C(n-1,r-1)
1.18、8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？ 5!×6×5×4 1.19、n+m位由m个0，n个1组成的符号串，其中n≤m+1,试问不存在两个1相邻的符号串的数目？ (m+1)*m*...*(m-n+2)/n!=C(m+1,n) 1.20、甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，面且7人中男同志5位，试问有多少种方案？按甲单位： C(10,4)C(15,1)C(10,2)+C(10,3)C(4,1)C(15,2)C(10,1)+ C(10,2)C(4,2)C(15,3)
习题：1.15试求从1到1000000的整数中，0出现的次数。解：先将1到999999的整数都看作6位数,例如2就看作是 000002，这样从000000到999999。0出现了多少次呢？ 6×105，某一位取0，其它各位任取。 0出现在最前面的次数应该从中去掉 000000到999999中最左1位的0出现了105次， 000000到099999中左数第2位的0出现了104次， 000000到009999左数第3位的0出现了103次, 000000到000999左数第4位的0出现了102次, 000000到000099左数第5位的0出现了10次, 000000到000009左数第6位的0出现了1次。因此不合法的0的个数为105+104+103+102+101+1=111111，不合法的应该去掉，再加整数1000000中的6个0，这样，从1到 1000000的整数中0出现的次数为6×105-111111+6=488895。问题：在去掉多余的零的过程中，多减去了一部分，例如： 000000这种情况在每次减的过程中都出现。

组合数学习题解答

第一章：1.2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同，而且由奇数构成的整数个数。

解：由奇数构成的4位数只能是由1，3，5，7，9这5个数字构成，又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P(5,4)=120。

1.4. 10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。

如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9！种就坐方式。

而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。

故两人坐在一起的方式数共有2*9！，于是两人不坐在一起的方式共有 10！- 2*9！。

1.5. 10个人围圆桌而坐，其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解：这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。

两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！-2*8！。

1.14. 求1到10000中，有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：(1)在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0，例如235写成0235,则问题就变为求：x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有F （4，5）=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=515456 (2)分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F （4，3）=20x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解，其个数为F （4，2）=10x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解，其个数为F （4，1）=4x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1将它们相加即得，F （4，4）+F （4，3）+F （4，2）+F （4，1）+F （4，0）=70。

组合数学第一章课后习题答案

1.1 题（宗传玉）从{1，2，……50}中找两个数{a ，b}，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b|≤5；解：（1）：由|a-b|=5⇒a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|≤5⇒|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a-b|=1时，两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）……（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=520 1.2题（王星）解：（a ）可将5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为： 8！×5！，（b ）用x 表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有8个空缺， Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 在其中任取5个得到女生两两不相邻的排列数： C （8，5）×7！×5！（c ）先取两个男生和3个女生做排列，情况如下：6. 若A ，B 之间存在0个男生， A ，B 之间共有3个人，所有的排列应为 P6=C(5,3)*3!*8!*21．若A ，B 之间存在1个男生， A ，B 之间共有4个人，所有的排列应为 P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22．若A ，B 之间存在2个男生，A ，B 之间共有5个人，所有的排列应为 P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*23．2．若A ，B 之间存在3个男生，A ，B 之间共有6个人，所有的排列应为 P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24．若A ，B 之间存在4个男生，A ，B 之间共有7个人，所有的排列应为 P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25．若A ，B 之间存在5个男生，A ，B 之间共有8个人，所有的排列应为 P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2 所以总的排列数为上述6种情况之和。

组合数学讲义及课后答案 1章排列组合

8 1 6 3 5 7 4 9 2
2 7 6 9 5 1 4 3 8
图1.1.1 3 阶幻方奇数阶幻方的生成方法：奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是：把 1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的
1/69Leabharlann 《组合数学》第一章
组合数学基础
(n× n－1)个数 (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
算法分类：第一类：数值算法。主要解决数值计算问题，如方程求根、
3/69
《组合数学》
第一章
组合数学基础
解方程组、求积分等，其数学基础是高等数学与线性代数。第二类：组合算法，解决搜索、排序、组合优化等问题，其数学基础就是组合数学。按所研究问题的类型，组合数学所研究的内容可划分为：组合计数理论组合设计组合矩阵论组合优化本课程重点：以组合计数理论为主，部分涉及其它内容。（三）研究方法
A(0,0) 图1.1.3 最短路径
（2）对应为（元素可重复的）排列问题：一条从 A 到 B 的路线对应一个由 7 个 x，5 个 y 共 12 个元素构成的排列。蓝色路径 <——> ｘｙｙｘｘｙｙｘｘｘｘｙ反之，给定一个排列，按照 x、y 的含义，必对应一条从 A 到 B 的行走路线。例如，排列
一坐上行正中央，依次斜填切莫忘，上边出格往下填，右边出格往左填，右上有数往下填，右上出格往下填。例：将 2，4，6，8，10，12，14，16，18 填入下列幻方：

组合数学第三版+卢开澄+习题答案

满足a=b-5的点共50-4=46个点. a = b+5，a=5时，b ＝0，1，2，…,45。

满足a=b+5的点共45-0+1=46个点. 所以，共计92462=⨯个点. (b) 5≤-b a(610)511(454)1651141531+⨯+⨯-=⨯+⨯=个点。

（7＋1）!×5!=8!×5!＝40320×120=4838400(b) 先将男生排列有7!种方案，共有8个空隙，将5个女生插入，故需从8个空中选5个空隙，有58C 种选择。

将女生插入，有5!种方案。

故按乘法原理，有： 7!×58C ×5!=33868800(种)方案。

组合数学第一章习题

• 2.证：题
(n-1)! (r+1)· n! nC(n-1,r) = n ———— = ——————— r!· (n-r-1)! (r+1)· r!· (n-r-1)! (r+1)· n! = —————— = (r+1)C(n,r+1). (r+1)!· (n-r-1)!
组合意义：等式左边：n个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r个；等式右边：n个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。
• 4.解：设取的第一组数有a个,第二组有b个,而
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为 C(n,m)。从m个数中取第一组数共有 m-1中取法。 n n-1 总的方案数为∑( m-1)C(n,m)=n· 2 +1. 题 m=2
• 5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。解 • 6.试求从1到1000000的整数中，0出现了多少次？解 • 7.n个男n个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？解 • 8.n个完全一样的球，放到r个有标志的盒子,n≥r,要求无一空盒，试证其方案数为
5
• 7.解：把n个男、n个女分别进行全排列，然后
按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 2 再乘2,即方案数为2· (n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 2 根据圆排列法则，方案数为2 · (n!) /(2n)个.题
• 8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一

(完整word版)组合数学第一章答案.

１.１从{}5021，，，⋅⋅⋅中找两个数{}b a ,，使其满足（1） 5||=-b a ；（2）5||≤-b a解：（1）根据5||=-b a 可得 55-=-=-b a b a 或则有种种4545 共有90种。

（2）根据5||≤-b a 得 )50,,2,1(,55{⋅⋅⋅∈+≤≤-b a b a b则：当5≤b 时，有 1=b ， 61≤≤a ，则有 6种 2=b ， 71≤≤a ，则有7种 3=b ， 81≤≤a ，则有8种 4=b ， 91≤≤a ，则有 9种5=b ， 101≤≤a ，则有10种当455≤<b 时，有 6=b ， 111≤≤a ，则有 11种7=b ， 122≤≤a ，则有 11种. . . . . . . . .45=b ， 5040≤≤a ，则有11种当5045≤<b 时，有 46=b ， 5041≤≤a ，则有 10种 47=b ， 5042≤≤a ，则有 9种48=b ， 5043≤≤a ，则有 8种49=b ， 5044≤≤a ，则有 7种50=b ， 5045≤≤a ，则有 6种故：共种520)678910(21140=+++++⨯1.2 （1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进行排列，总方案数为5！×8！（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间的8个空位种的任意5个，总方案数为7！×58P（3）应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B 女生x 女生y 女生z A 的形式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为35P ，考虑A,B 可以换位，方案为2×35P ，然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男生，一共7个人进行排列，总方案数2×35P ×8！1.3 m 个男生,n 个女生,排成一行,其中m,n 都是正整数,若（a ）男生不相邻（m ≤n+1）；（b ）n 个女生形成一个整体；（c ）男生A 和女生B 排在一起；分别讨论有多少种方案。

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6.单词“MISSISSIPPI”中的字母有多少种不同的排列方法？
如果两个S不相邻，又有多少种排列方法？
解这是可重全排列问题. (1) 这相当于重集B={1·M,4·I,4·S,2·P}的全排列,故全排列数
为
N 11! 34650.
1 4! 4! 2!
§ 1.2 排列
(2) 先对重集B`={1·M,4·I,2·P}的做全排列,故全排列数为
§ 1.2 排列
1.求在1000和9999之间各位数字不相同的奇数个数. 解由于它们之间的数都是4位数,所以可以先选个位,再选千位、百位和十位. 又所要的数为奇数,所以个位数字只能是1,3,5,7,9中的任何一个,即有5种选法,千位只有8种选法,百位也有8种选法,十位有7 种选法. 所以由乘法规则得所求奇数个数为 5×8×8×7=2240个.
2.求在1000和9999之间各位数字不相同且由奇数构成的整数个数.
解由于它们之间的数都是4位数且要求各位都是奇数,故所求整数个数为 P45 5 4 3 2 120.
§ 1.2 排列
3.10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式?如果其中有两个人不愿坐在一起,又有多种就坐方式?
解这是全排列问题. (1) 所有就坐方式为: P(10,10)=10! (2) 所有就坐方式为: P(10,10)-2×P(9,9)=8×9! 4.10个人围园桌而坐,若两人不愿坐在一起,问有多少种就坐方式所?若以1由0乘人法是规5男则5得女所且求交奇替数就个坐数,有为多少5种×8就×坐8×方7式=2?240个. 解这显然是园排列问题. (1) 所有就坐方式为: 10!/10-2×9!/9=9!-2×8!=7×8!. (2) 先让5男围围桌就坐有 5!/5=4!=24;
y1 1 y2 1L yn 1 r
即
y1 y2 L பைடு நூலகம் yn r n
上式的非负整数解的个数等于原方程的正整数解的个数,故原方
程正整数解的个数为
F
(n,
r

n)

n
r r
n n
1

r r
1 n

r n
11.
解这是属于重集
B { 1分, 2分, 5分, 1角}
的6-组合数问题,故有
F
(4,
6)

4
6 6
1

9 6

9 3

=84.
§ 1.5 组合恒等式
1.用二项式定理展开 (2x 7)7.
2.在 (3x 2 y)18展开式中, x5 y13的系数是什么? x8 y10的系数
N1

1
7! 4!2!

105.
然后将4个S插入8个位置当中共有 C(8,4)=140种,故由乘法规则
得排列数为 N1 140 14700.
7. 有多少种方法把字母a,a,a,a,b,c,d,e排成无两a相邻？
解先让b,c,d,e做全排列共有4!=24种 ,再让4个a插入5个间隔中共有C(5,4)=5,故由乘法规则得所求排列数为
再让5女人就坐共有 5!=120; 故由乘法规则得5男5女交替就坐方式数为 24×120=2880.
§ 1.2 排列
5.在1和10,000,000,000之间的一百亿个数中,有多少个数含有数字1?又有多少个数不含数字1?
解 (1) 先计算不含数字1的个数.
不考虑10,000,000,000本身,把任何一个小于该数的不含1的正整数看作10位数,但全是0除外.相当于从{0,2,3,…,9} 9个数中选取,共有10个位置,故共有 910-1个. (2) 含1的数共有 1010-(910-1)+1 个.
C(250,1)C(250,1)C(250,1)=2503种; 故由加法规则得符合条件的选法共有
C(250,3)+ 3C(250,2)C(250,1)+ 2503
§ 1.3 组合
3.求方程 x1 x2 L xn r 的正整数解的个数.
解令 y1 x1 1, y2 x2 1,L , yn xn 1代入原方程得
§ 1.3 组合
1.空间中有30个点,这30个点无四个点共面,问它们能确定多少三角形?能确定多少四面体?
解由于任意三点可确定一个三角形,故有C(30,3)=4060个. 又由于无四点共面每四点可确定唯一一个四面体,故有 C(30,4)=22405个.
2.从整数1,2,…,1000中选取三个数使得它们的和是4的倍数, 求这样的选法有多少种?
4.有纪念章4枚,纪念册6本,分送给10位同学,问有多少种分法? 如果限制每人得一件物品,则又有多少种分法?
解 (1) 由于没有限制每一个同学可得纪念册和纪念章的本数和枚数,故此问题属于可重组合问题.
将4枚纪念章分给10位同学的方法有F(10,4)=C(13,4);
§ 1.3 组合
将6本纪念册分给10位同学的方法数为 F(10,6)=C(15,6);
解依据余数分别为[0],[1],[2],[3]把1000个数的集合分成四个子集B,C,D,E,且各为250个数.
(1) 从同一集合中选三个数只有B符合,有C(250,3)种; (2) 从两个集合中选三个数,C或E中选2个数,D中选1个数,或B中 1个,D中2个共有3C(250,2)C(250,1)种; (3) 从三个集合中各选1个数,从B,C和E中各选三个数,有
于是由乘法规则得所有的分法数为 N=C(13,4) C(15,6). (2) 由于每个人限制得一件物品,故此问题属于可重全排列问题.
它是重集B={4·纪念册,6 ·纪念章}的可重全排列,排列数为
M 10! C(10, 4). 4! 6!
5.为数众多的一分、二分、五分、一角硬币中有多少种方法选出六枚硬币？
24×5=120(种). 8. 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子里，每个盒子最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案?
解如果_O_O_O_O_O_,3个空盒可插在两个球之间,共有 C(6,3)=20种, 又5个有标志的球共有 5!=120种排法 , 故由乘法规则得所求排列数为 20×120=24 0(种).

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