第八讲 传感器(2)

Y (S ) y(t)eSt dt S＝β+jw, β>0 0
Y (S)(an S n an1S n1 a1S 1 a0 ) X (S)(bm S m bm1S m1 b1S 1 b0 )
H(S)
Y (S ) X (S)
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传感器的静态特性——线性度
拟合直线方法
③ 最佳直线法：使实际
输出特性相对于所选
拟合直线的最大正偏
差等于最大负偏差的
一条直线作为拟合直
线
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eL

| max | | max | 100 % 2 yFS
2009-03-12
中国科学技术大学 快电子实验室 刘树彬
近代信息处理（第八讲）
——传感器（2）
刘树彬 2009.03.12
传感器的数学模型
可能用来检测静态量或者动态量 理论上应该用带随机变量的非线性微分方程作为数学
模型，但在数学上非常困难 输入信号的状态不同，传感器表现出来的输出特性也
不同，所以静态、动态特性可以分开来研究
当输入量为常量，或变化极慢时，这一关系称为静态特性 当输入量随时间较快地变化时，这一关系称为动态特性
对应不同性质的输入信号，传感器的数学模型有动态 和静态之分
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2
传感器的静态数学模型
是指在静态信号作用下（即输入量对时间t的 各阶导数为0）得到的数学模型
静态模型的一般式可用n次代数方程式表示：
y a0 a1x a2 x 2 an x n x为输入量； y为输出量； a0为零位输出（可先不考虑零位输出） a1为传感器线性灵敏度； a2，a3，……，an为非线性项的待定常数
在信息论和工程控制理论中，通常采用一些足以 反映系统动态特性的函数，将系统的输入输出联 系起来
传递函数
频率响应函数
阶跃响应函数
……
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传感器的动态数学模型
传递函数
设x、y的初始条件为零，对线性常微分方程两边逐项进行拉氏变换
反映的是校准数据的离散程度，
属于随机误差
eR

a max
y FS
100 %
σmax为各校准点正行程和反行程 输出值标准偏差中之最大值；a
为置信系数，通常取2或3
a=2时，置信概率为95.4%
a=3时，置信概率为99.73%
σ计算用贝塞尔公式或极差法
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又称非线性，是表征传感器输入－输出校准曲线与所选定的拟
合直线之间吻合（或偏离）程度的指标，通常用相对误差来表 示线性度
传感器的静态模型常为多项式 y = a0+a1x + a2x2 + a3x3 + ┅
在经过零点校正后（即a0 = 0） y = a1x + a2x2 + a3x3 + ┅
在测量中我们希望得到精确度高的结果
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（c）精确度高
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传感器的动态特性
动态特性指传感器对随时间变化的输入量的响应特性 被测量随时间变化的形式可能是各种各样的，只要输
入量是时间的函数，则其输出量也将是时间的函数 通常研究动态特性是根据标准输入特性来考虑传感器
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传感器的静态特性——线性度
拟合直线方法
i yi (b kxi )

要使
n

2i
最小
分别对i1 k和b求一阶偏导：

k
n
[ yi
i0
(b kxi )]2
0

b
n
[ yi
i0
(b
kxi )]2

0
求出：
n
k
xi yi
an2
d n2 y dt n2

a1
dy dt
a0 y
b0 x
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例
由弹簧阻尼器构成的压力传感器，系统输入量(压力) F 为F(t) = b0x(t)，输出量为位移y(t)，列出其微分方 程：
根据牛顿第二定律：{ f阻力+f弹力=F(t) }
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理想的线性特性
y
a0=a2 =a3=……=an=0
y=a1x
0
灵敏度:
x
s= y/x =a1=常数
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仅有偶次非线性项
y
y a1x a2 x2 a4 x4
的响应特性
正弦变化的输入 阶跃变化的输入 线性输入 ……
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传感器的动态数学模型
是指传感器在受到随时间变化的输入量作用时， 输入－输出之间的关系，通常称响应特性
大部分传感器在其工作点附近一定范围内，其动态 数学模型可用线性微分方程表示
包括零点漂移和灵敏度漂移
两种漂移又可分为“时间漂移 —— 零点或灵敏度随时间而发生缓慢的 变化”和“温度漂移 —— 零点或灵敏度随环境温度的变化而改变”
静态误差
是评价传感器静态特性的综合指标，指传感器在满量程内，任一 点输出值相对起理论值的可能偏离（逼近）程度

方根和表示法： 代数和表示法：
准确度高不一定精密度高
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关于精密度、准确度和精确度（精度）
精确度：是精密度与准确度两者的总和
在最简单的情况下，可取两者的代数和 常以测量误差的相对值表示
精确度高表示精密度和准确度都比较高
（a）准确度高而精密度低
（b）准确度低而精密度高
an
dny dt n

an1
d n1 y dt n1

a1
dy dt

a0 y

bm
bmx dt m

bm1
d n1 x dt m1

b1
dx dt

b0 x
对于传感器通常 b0≠0, b1～bn 均为零，所以：
an
dny dt n
an1
d n1 y dt n1

eL
max 100 % y FS
,△max为最大偏差，yFS为理论满量程输出
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传感器的静态特性——线性度
拟合直线方法
① 理论直线法：通常取 零点作为理论直线的 零点，满量程输出 100%为终点，两点连 线即为理论直线，所 以理论直线与实际测 试点无关
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传感器的静态特性——重复性
n
贝塞尔公式法

( yi yi )2
i 1
n(n 1)
yi为某校准点的输出值； yi为输出值的算术平均值；n为测

量次数
极差法


Wn dn
Wn为极差；dn为极差系数，其值与测量次数n有关
所谓极差是指某一点数据中的最大最小值之差
n
2
3
4
5
灵敏度误差es=(△S/S)×100％
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传感器的静态特性
分辨力
是指传感器在规定测量范围内所能检测出被测输入量的最小 变化量
有时用相对满量程之值百分数表示则称分辨率
阈值
是指能使传感器的输出端产生可测变化量的最小被输入量值， 即零点附近的分辨能力
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传感器的静态特性——线性度
拟合直线方法
④ 最小二乘法：按最小二乘原理求取拟合直线
y=b+kx 能保证传感器校准数据的误差平方和最小 但校准曲线相对于拟合直线的最大偏差的绝
对值并不一定最小，最大正、负偏差的绝对 值也不一定相等 推荐使用
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动态特性
频率响应特性
➢ 典型环节的动态响应：零阶 环节、一阶环节、二阶环节
阶跃响应特性 冲激响应特性 对任意输入x(t)所引起的响应
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传感器的静态特性——线性度
例如某测温传感器的精密度为0.5℃ 是随机误差大小的标志，精密度高，意味着随机误差小
精密度高不一定准确度高
准确度：说明传感器输出值与真值的偏离程度
如某流量传感器的准确度为0.3m3/s，表示该传感器的输出值 与真值偏离0.3m3/s
是系统误差大小的标志，准确度高意味着系统误差小
无对称性
0
线性范围较窄
x
一般传感器很少采用
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仅有奇次非线性项
y
y a1x a3x3 a5 x5
相对坐标原点对称
0
x 线性范围较宽
一般传感器较多采用
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优点是简单方便，缺 点是△max很大
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传感器的静态特性——线性度
拟合直线方法
② 端点直线法：将传感 器校准数据的零点输 出平均值和满量程输 出平均值连成直线作 为拟合直线，方程式 为y=b+kx
优点是简单方便，缺 点是△max很大
a1
dy dt

a0
y

b0
x
弹性系数
阻尼系数
在x(t)为已知的情况下，余下的问题归结到这个一阶常系数微分 方程的求解问题，我们可以利用传递函数（系统函数）来处理
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传感器的动态数学模型
理论上，线性常微分方程可求解，但是对复杂系
统和复杂的输入信号，非常困难，通常只能根据 “规律性”的输入来考察传感器的响应，因此，
有些传感器在零点附近存在严重的非线性 噪声电平的干扰（噪声电平的幅度超过了零点附近的输出）
稳定性
又称长期稳定性，即传感器在长时间工作的情况下仍保持其 原性能的能力
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传感器的静态特性
漂移
是指在一定时间间隔内传感器的输出存在着有与被测输入量无关 的、不需要的变化。
6
7
8
9
10
dn
1.41
1.91
2.24
2.48
2.67
2.88
2.96
3.08
3.18
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传感器的静态特性——灵敏度
是指传感器的输出增量与被测输入增量之比 s y / x
实际上无源传感器的输出量与供给传感器的电源电压有关，其 灵敏度的表达式往往需要包括电源电压的因素 纯线性传感器灵敏度为常数：Sn=a1 非线性传感器灵敏度Sn与x有关
6
包括所有项数的多项式模型
y
0
x
y a1x a2 x2 a3x3
考虑了非线性和随机等因素
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传感器的特性分析与技术指标
静态特性
线性度 迟滞（滞后） 重复性 灵敏度 分辨力（分辨率） 阈值 稳定性 漂移 静态误差 传感器系统静态误差
通常用正反行程中输出
的最大偏差量△Hmax与理 论满量程输出yFS之比的 百分数表示：
eH

H max 100 % y FS
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传感器的静态特性——重复性（不重复性）
衡量传感器在同一工作条件下，
输入量按同一方向作全量程连续 工作多次变动时，所得特性曲线 间一致程度的指标
xi •
yi
n xi2 ( xi )2
b xi2 • yi xi • xi yi n xi2 ( xi )2
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传感器的静态特性——迟滞（滞后）
是反映传感器正（输入 量增大）反（输入量减 小）行程过程中输入－ 输出曲线的不重合程度 的指标
E EL2 ER2 EH2 E EL ER EH
系统静态误差
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关于精密度、准确度和精确度（精度）
精密度：说明测量传感器输出值的分散性
即对某一稳定的被测量，由同一个测量者，用同一个传感器， 在相当短的时间内连续重复测量多次，其测量结果的分散程 度