人教新课标版数学高一-数学必修1练习 1.3.2函数奇偶性的应用

课时作业 15

一、选择题

1．[2014·荆州中学高一检测]下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是

( )

A ．y ＝x ＋1

B ．y ＝－x 3

C ．y ＝－1x

D ．y ＝x |x |

解析：A 中函数不具有奇偶性；B 中函数在定义域内为减函数；C 中函数在定义域内不具有单调性．

答案：D

2．[2014·哈师大附中高一联考]已知x >0时，f (x )＝x －2012，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x <0时，f (x )的解析式是( )

A ．f (x )＝x ＋2012

B ．f (x )＝－x ＋2012

C ．f (x )＝－x －2012

D ．f (x )＝x －2012

解析：由f (－x )＝－f (x )，可知f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )－2012]＝x ＋2012.选A. 答案：A

3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定是( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．既不是奇函数也不是偶函数

解析：因为F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝

f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )，

所以F (x )是奇函数．

答案：A

4．[2014·福建六校高一联考]偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)>f (π3

)>f (－π) B ．f (π3

)>f (－1)>f (－π)

C ．f (－π)>f (－1)>f (π3

) D ．f (－1)>f (π)>f (π3

) 解析：由f (x )为偶函数可知

f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)．

又因f (x )在[0,4]上递减，

∴f (1)>f (π3

)>f (π)， 即f (－1)>f (π3

)>f (－π)．选A. 答案：A

二、填空题

5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝________.

解析：当x ∈(0，＋∞)时，有－x ∈(－∞，0)，注意到函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．于是，有f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4＝f (x )．

答案：－x －x 4

6．f (x )，g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝－2009，则F (－a )＝________.

解析：由f (x )，g (x )都是定义在R 上的奇函数，知f (a )＋f (－a )＝0，g (a )＋g (－a )＝0. 所以F (a )＋F (－a )＝3f (a )＋5g (a )＋2＋3f (－a )＋5g (－a )＋2＝4，所以F (－a )＝4－F (a )＝4＋2009＝2013.

答案：2013

7．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则这四个不同交点的横坐标之和为________．

解析：由题意可知函数f (x )的图象关于y 轴对称．所以函数f (x )的图象与x 轴的四个不同交点关于y 轴对称，因此四个不同交点的横坐标之和为0.

答案：0

三、解答题

8．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数y ＝f (x )是奇函数，其部分图象如图所示．

(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象．

(2)比较f (1)与f (3)的大小．

解：(1)因为f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．

(2)观察图象，知f (3)＜f (1)．

9．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)＞0，求实数m 的取值范围．

解：由f (m )＋f (m －1)＞0，

得f (m )＞－f (m －1)，

即f (1－m )＜f (m )．

又∵f (x )在[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，

1－m ＞m ，

即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m ＜12，

解得－1≤m ＜12

. 因此实数m 的取值范围是[－1，12)．