人教新课标版数学高一-数学必修1练习 1.3.2函数奇偶性的应用
人教版高中数学必修一1.3.2.2课时练习习题(含答案解析)
1.3.2.2一、选择题1．已知定义域为R 的函数f (x )在(8，＋∞)上为减函数，且函数f (x ＋8)为偶函数，则( ) A ．f (6)>f (7) B ．f (6)>f (9) C ．f (7)>f (9)D ．f (7)>f (10)[答案] D[解析] ∵y ＝f (x ＋8)为偶函数， ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8对称， 又f (x )在(8，＋∞)上为减函数， ∴f (x )在(－∞，8)上为增函数， ∴f (10)＝f (6)<f (7)＝f (9)，故选D.2．(胶州三中2009～2010高一模块测试)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1,0)∪(0,1) [答案] D[解析] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x<0.由函数的图象得解集为(－1,0)∪(0,1)．3．f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )＝2x －1，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．2x －1B ．－2x ＋1C ．2x ＋1D ．－2x －1[答案] D[解析] x <0时，－x >0，∴f (－x )＝2·(－x )－1， ∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝－2x －1.4．偶函数f (x )＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，0]上递增，比较f (a －2)与f (b ＋1)的大小关系( ) A ．f (a －2)<f (b ＋1) B ．f (a －2)＝f (b ＋1) C ．f (a －2)>f (b ＋1)D ．f (a －2)与f (b ＋1)大小关系不确定 [答案] A[解析] 由于f (x )为偶函数，∴b ＝0，f (x )＝ax 2－1，又在(－∞，0]上递增，∴a <0，因此，a －2<－1<0<1＝b ＋1，∴f (a －2)<f (－1)＝f (1)＝f (b ＋1)，故选A.5．已知f (x )为奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x ＋2，则f (x )>0的解集为( ) A ．(－∞，－2) B ．(2，＋∞) C ．(－2,0)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(0,2) [答案] C[解析] 如图，∵x <0时，f (x )＝x ＋2，又f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可画出在(0，＋∞)上的图象，∴f (x )>0时，－2<x <0或x >2.6．对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2 (x ≥0)(x ＋1)2(x <0)，下列结论中正确的是( ) A ．是奇函数，且在[0,1]上是减函数 B ．是奇函数，且在[1，＋∞)上是减函数 C ．是偶函数，且在[－1,0]上是减函数 D ．是偶函数，且在(－∞，－1]上是减函数 [答案] D[解析] 画出函数图象如图，可见此函数为偶函数，在(－∞，－1]上为减函数．7．(曲师大附中2009～2010高一上期末)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (3)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－∞，3)∪(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(－3,3) [答案] D[解析] ∵f (x )为偶函数，f (3)＝0，∴f (－3)＝0，又f (x )在(－∞，0]上是减函数，故－3<x ≤0时，f (x )<0.x <－3时，f (x )>0，故0<x <3时，f (x )<0，x >3时，f (x )>0，故使f (x )<0成立的x ∈(－3,3)．[点评] 此类问题画示意图解答尤其简便，自己试画图解决．8．(09·浙江)若函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R)，则下列结论正确的是( )A ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数B ．∀a ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃a ∈R ，f (x )是偶函数D ．∃a ∈R ，f (x )是奇函数 [答案] C[解析] 显见当a ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选C.[点评] 本题是找正确的选项，应从最简单的入手，故应从存在性选项考察．若详加讨论本题将变得复杂．对于选项D ，由f (－x )＝－f (x )得x ＝0，故不存在实数a ，使f (x )为奇函数；对于选项B ，令a ＝0，则f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调增，故B 错；对于选项A ，若结论成立，则对∀x 1，x 2∈R ，x 1<x 2时，有f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝(x 1－x 2)[x 1＋x 2－a x 1x 2]<0恒成立，∴x 1＋x 2>ax 1x 2恒成立，这是不可能的．9．(2010·安徽理，6)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )[答案] D[解析] 若a <0，则只能是 A 或B 选项，A 中－b 2a <0，∴b <0，从而c >0与A 图不符；B 中－b2a >0，∴b >0，∴c <0与B 图也不符；若a >0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，则当b >0时，有c >0与C 、D 不符．当b <0时，有c <0，此时－b2a>0，且f (0)＝c <0，故选D.10．(2010·广东文，10)在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算、⊗如下： 那么d ⊗(ac )＝( )A ．aB ．bC ．cD ．d[答案] A[解析] 要迅速而准确地理解新规则，并能立即投入运用，a c ＝c ，d ⊗c ＝a ，故选A. 二、填空题11．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (0，－5)，B (5,0)，它的对称轴为直线x ＝2，则这个二次函数的解析式为________．[答案] y ＝x 2－4x －5[解析] 设解析式为y ＝a (x －2)2＋k ，把(0，－5)和(5,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧－5＝4a ＋k0＝9a ＋k ，∴a ＝1，k ＝－9，∴y ＝(x －2)2－9，即y ＝x 2－4x －5.12．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ [解析] 解法1：f (x )＝a ＋1－2a x ＋2可视作反比例函数y ＝1－2ax 经平移得到的．由条件知1－2a <0，∴a >12.解法2：∵f (x )在(－2，＋∞)上为增函数，故对于任意x 1，x 2∈(－2，＋∞)且x 1<x 2， 有f (x 1)<f (x 2)恒成立，而 f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)∵－2<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0， 若要f (x 1)－f (x 2)<0，则必须且只需2a －1>0，故a >12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 三、解答题13．设函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c 是奇函数(a 、b 、c ∈Z )，且f (1)＝2，f (2)<3，求a 、b 、c 的值．[解析] 由条件知f (－x )＋f (x )＝0，∴ax 2＋1bx ＋c ＋ax 2＋1c －bx ＝0，∴c ＝0又f (1)＝2，∴a ＋1＝2b ， ∵f (2)<3，∴4a ＋12b <3，∴4a ＋1a ＋1<3，解得：－1<a <2，∴a ＝0或1，∴b ＝12或1，由于b ∈Z ，∴a ＝1、b ＝1、c ＝0.14．已知f (x )是定义在(－1,1)上的偶函数，且在(0,1)上为增函数，若f (a －2)－f (4－a 2)<0，求实数a 的取值范围．[解析] 由f (a －2)－f (4－a 2)<0得 f (a －2)<f (4－a 2)又f (x )在(－1,1)上为偶函数，且在(0,1)上递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －2<1－1<4－a 2<10<|a －2|<|4－a 2|，解得3<a <5，且a ≠2. 15．设f (x )为定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ；当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式； (2)在图中的直角坐标系中画出函数f (x )的图象； (3)写出函数f (x )的值域和单调区间． [解析] (1)当x >2时，设f (x )＝a (x －3)2＋4. ∵f (x )的图象过点A (2,2)，∴f (2)＝a (2－3)2＋4＝2，∴a ＝－2， ∴f (x )＝－2(x －3)2＋4. 设x ∈(－∞，－2)，则－x >2， ∴f (－x )＝－2(－x －3)2＋4.又因为f (x )在R 上为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝－2(－x －3)2＋4，即f (x )＝－2(x ＋3)2＋4，x ∈(－∞，－2)． (2)图象如图所示．(3)由图象观察知f (x )的值域为{y |y ≤4}． 单调增区间为(－∞，－3]和[0,3]． 单调减区间为[－3,0]和[3，＋∞)． *16.已知函数f (x )＝2x x 2＋1(1)求函数的定义域；(2)判断奇偶性；(3)判断单调性；(4)作出其图象，并依据图象写出其值域．[解析](1)函数的定义域为R.(2)∵f(－x)＝－2x1＋x2＝－f(x)∴f(x)是奇函数，其图象关于原点O对称，故在区间(0，＋∞)上研究函数的其它性质．(3)单调性：设x1、x2∈(0，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x11＋x21－2x21＋x22＝2(x1－x2)(1－x1x2) (1＋x21)(1＋x22)当0<x1<x2≤1时，可知f(x1)－f(x2)<0，∴f(x)在(0,1]上是增函数．当1<x1<x2时，f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上是减函数，由于f(x)是奇函数，且f(0)＝0，因此，f(x)的减区间为(－∞，－1]、[1，＋∞)，增区间为[－1,1]．并且当x→＋∞时，f(x)→0，图象与x轴无限接近．其图象如图所示．可见值域为[－1,1]．。
高中数学人教A版必修1练习：1.3.2 奇偶性 课堂强化
1．函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：∵函数f (x )＝x 2(x ＜0)的定义域为(－∞，0),不关于原点对称，∴函数f (x )＝x 2(x ＜0)为非奇非偶函数．答案：D2．若函数f (x )满足f （－x ）f （x ）＝1，则f (x )图像的对称轴是 ( ) A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定解析：∵f （－x ）f （x ）＝1， ∴f (x )＝f (－x )，∴f (x )为偶函数，其图像关于y 轴对称．答案：B3．下列函数中是偶函数的是 ( )A ．y ＝x 3(x >0)B ．y ＝|x ＋1|C ．y ＝2x2＋2D ．y ＝3x －1解析：A 中定义域不关于原点对称；B 中f (－x )＝|－x ＋1|，非奇非偶；C 中f (－x )＝2（－x ）2＋2＝2x2＋2＝f (x )，∴y ＝2x2＋2为偶函数． 答案：C4．函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (3)＋f (－3)＝________．解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－3)＝－f (3)，∴f (3)＋f (－3)＝0.答案：05．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋1, 则f (－3)＝________． 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－3)＝－f (3)＝－(9＋1)＝－10.答案：－106．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上为增函数，若f (1－a )＋f (12－2a )＜0，求实数a 的取值范围．解：∵f (x )为R 上的奇函数，且在[0，＋∞)为增函数， ∴f (x )在R 上为增函数．又f (1－a )＋f (12－2a )＜0，∴f (1－a )＜－f (12－2a )＝f (2a －12)．∴1－a ＜2a －12，即a ＞12.∴实数a 的取值范围为(12，＋∞)．。
2019—2020年最新人教版高中数学必修一1.3.2《奇偶性》练习题.doc
1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为3 2．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时， .6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则； .7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x 2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤. 而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].。
高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定课件新人教A版必修1
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课标要求
1.理解奇函数、偶函数的定义. 2.了解奇函数、偶函数图象的特征. 3.掌握判断函数奇偶性的方法.
通过本节内容的学习,使学生学会利用图象理解和研究 素养达成
函数性质,提高学生直观想象、逻辑推理的能力.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
x 1
规 得x范2=解1答,即:(x2=)由±1.1x2
x2 1
0, 0
因此函数的定义域为{-1,1},关于原点对称. ……………………4分
又f(1)=f(-1)=-f(-1)=0,所以f(x)既是奇函数又是偶函数. …6分
(3)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞), …………………7分 不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数. ………9分
所以 f(x)为奇函数. ………………………………………………12 分
变式探究:本例中函数 f(x)= 1 x2 + x2 1 可化简为 f(x)=0,则该函数既是奇 函数又是偶函数,若将函数变形为 f(x)= x 1 + 1 x ,则函数的奇偶性如何?
解:由于
x 1 1 x
0, 0,
则
x=1,故
【情境导学】 导入 函数①f(x)=x2-1,②f(x)=- 1 ,③f(x)=2x的图象分别如图所示.
x
想一想 1:(1)导入中三个函数的定义域分别是什么?它们有什么共同特点?
(R;(-∞,0)∪(0,+∞);R.关于原点对称) (2)对于导入中的三个函数计算f(-x),视察对定义域内每个x,f(-x)与f(x) 有怎样的关系? (①f(-x)=x2-1,f(-x)=f(x).
1.3.2奇偶性(1)
滨城区第一中学 高一 、数学科目 人教A 版 导学案编号NO ：10 编写人：过乃钟 审核人： 班级： 小组： 姓名： 教师评价：课题： 1.3.2奇偶性（1）【学习目标】1. 掌握函数的奇偶性的定义和判断方法，理解奇函数和偶函数的图象的特点．2.在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察,归纳能力,同时渗透数形结合和特殊到一般的思想方法.3.学生感受数学美的同时,激发学习的兴趣,培养学生乐于求索的精神.【使用说明及学法指导】1、先精读一遍教材P33-P36，用红色笔进行勾画；在针对导学案预习部分问题二次阅读并回答；时间不超过20分钟；2、限时完成导学案合作探究部分，书写规范，A 层完成所有题目，选做题BC 层可以不做；3、找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论；4、必须记住的内容：奇偶性的概念，奇函数和偶函数的图象的特点 。
预 习 案【教材助读】1．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做偶函数． 2．一般地，如果对于函数f (x )的定义域内 一个x ，都有 ，那么函数f (x )就叫做奇函数． 3．奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称 理解函数的奇偶性要注意以下四点：(1)函数的奇偶性与单调性的差异．奇偶性是函数在定义域上的对称性，单调性是反映函数在某一区间上函数值的变化趋势．奇偶性是相对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同，从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对定义域中的每一个x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇(偶)函数．(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．由函数奇偶性的定义知，若x 是定义域中的一个数值，则－x 必然在定义域中，因此，函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域在数轴上所示的区间关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则函数一定不具有奇偶性．如函数y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是奇函数，但在[－2,3]上则无奇偶性可言．(3)既奇又偶函数的表达式是f (x )＝0，x ∈A ，定义域A 是关于原点对称的非空数集． (4)若奇函数在原点处有定义，则有f (0)＝0.【预习自测】 1.判断下列函数的奇偶性（1）()4x x f = （2）()5x x f = （3）()x x x f +=1 （4）()21xx f =2. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整。
高中数学：第一章 1.3.2 函数奇偶性 (42)
1.3.2奇偶性课标要点课标要点学考要求高考要求1.奇函数、偶函数的概念b b2.奇函数、偶函数的性质c c知识导图学法指导1.要深挖函数“奇偶性”的实质，也就是图象的对称性：是关于原点的中心对称还是关于y轴的轴对称．2．学习本节知识注意结合前面所学的知识，如单调性、函数图象、解析式等，加强它们之间的联系．3．学习奇偶性时不能忘记函数的定义域，奇偶性是函数整个定义域上的性质，忽略定义域是一个易错点.知识点奇、偶函数1．偶函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数的定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3．奇、偶函数的图象特征(1)奇函数的图象关于原点成中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．(2)偶函数的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象关于(0,0)对称．()(2)奇函数的图象关于y轴对称．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．下列函数为奇函数的是()A．y＝|x|B．y＝3－x C．y＝1x3D．y＝－x2＋14解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．答案：C3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为()A．－2 B．2 C．0 D．不能确定解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.答案：B4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．答案：(2)(4)(1)(3)类型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝1－x2＋x2－1；(3)f(x)＝2x2＋2xx＋1；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x－1，x<0，0，x＝0，x＋1，x>0.【解析】(1)函数的定义域为R，关于原点对称．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数．(2)由⎩⎨⎧1－x2≥0，x2－1≥0得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x－1，－x<0，0，－x＝0，－x＋1，－x>0，即f(－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x＋1)，x>0，0，x＝0，－(x－1)，x<0.于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)为奇函数．满足f(－x)＝f(x)是偶函数，f(－x)＝－f(x)是奇函数．方法归纳函数奇偶性判断的方法(1)定义法：(2)图象法：若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．跟踪训练1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x＋1，x>0，－x＋1，x<0.解析：(1)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，∴－x∈R.又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]．即有－1≤x≤1且x≠0，则－1≤－x≤1，且－x≠0，又∵f(－x)＝1－(－x)2－x＝－1－x2x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．根据函数奇偶性定义判断．类型二函数奇偶性的图象特征例2设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)<0的解集是________．【解析】由奇函数的性质知，其图象关于原点对称，则f(x)在定义域[－5,5]上的图象如图，由图可知不等式f(x)<0的解集为{x|－2<x<0或2<x≤5}．【答案】{x|－2<x<0或2<x≤5}根据奇函数的图象关于原点对称作图，再求出f(x)<0的解集．方法归纳根据奇偶函数在原点一侧的图象求解与函数有关的值域、定义域、不等式问题时，应根据奇偶函数图象的对称性作出函数在定义域另一侧的图象，根据图象特征求解问题．跟踪训练2如图，给出了偶函数y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小．解析：方法一因函数f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，补全图如图．由图象可知f (1)<f (3)．方法二 由图象可知f (－1)<f (－3)． 又函数y ＝f (x )是偶函数， 所以f (－1)＝f (1)，f (－3)＝f (3)，故f (1)<f (3)．方法一是利用偶函数补全图象，再比较f(1)与f(3)的大小； 方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，观察图象判断大小．类型三 利用函数奇偶性求参数例3 (1)设函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x为奇函数，则a ＝________； (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.【解析】 (1)方法一(定义法) 由已知 f (－x )＝－f (x )，即(－x ＋1)(－x ＋a )－x＝－(x ＋1)(x ＋a )x . 显然x ≠0得，x 2－(a ＋1)x ＋a ＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ， 故a ＋1＝0，得a ＝－1.方法二(特值法) 由f (x )为奇函数得 f (－1)＝－f (1)，即(－1＋1)(－1＋a )－1＝－(1＋1)(1＋a )1， 整理得a ＝－1.(2)(特值法) 由f (x )为奇函数， 得f (－1)＝－f (1)，[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 3 C ．y ＝x 2，x ∈[0,1] D ．y ＝x解析：对于A ，f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，∴f (x )是偶函数，B ，D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：∵f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )解析：选项A 中的图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故排除；选项C ，D 中函数的定义域不关于原点对称，也排除．选项B 中的函数图象关于y 轴对称，是偶函数，故选B.答案：B4．下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过(－a ，f (a ))．表述正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：偶函数的图象一定关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，例如，函数f (x )＝x 0，其定义域为{x |x ≠0}，故其图象与y 轴不相交，但f (x )＝x 0＝1(x ≠0)是偶函数，从而可知①是错误的，③是正确的． 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过坐标原点，例如，函数f (x )＝1x ，其定义域为{x |x ≠0}，可知其图象不经过坐标原点，但f (x )＝1x 是奇函数，从而可知②是错误的．若点(a ，f (a ))在奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象上，则点(－a ，－f (a ))也在其图象上，故④是错误的．答案：A5．如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，则k 等于________．解析：由于函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋3是偶函数，因此k －1＝0，k ＝1.答案：17．给出下列四个函数的论断： ①y ＝－|x |是奇函数；②y ＝x 2(x ∈(－1,1])是偶函数；解得b＝0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3－x2x－1；(2)f(x)＝x2－x3；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x2＋ax(x≠0，a∈R)．解析：(1)∵函数f(x)＝x3－x2x－1的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法)函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4，x≥2，－2x，－2<x<2，4，x≤－2，画出图象如图所示，图象关于原点对称，因此函数f(x)是奇函数．(4)当a＝0时，f(x)＝x2为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0，即f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数；当a＝0时，函数f(x)为偶函数．10．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，综上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－2x，(x>0)0，(x＝0)－x2－2x，(x<0)(2)图象如图：[能力提升](20分钟，40分)11．定义两种运算：a b＝a2－b2，a⊗b＝(a－b)2，则函数f(x)＝2x(x⊗2)－2为()A．奇函数B．偶函数C．奇函数且为偶函数D．非奇函数且非偶函数解析：由定义知f(x)＝4－x2(x－2)2－2＝4－x2|x－2|－2，由4－x2≥0且|x－2|－2≠0，得－2≤x<0或0<x≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，关于原点对称；f(x)＝4－x22－x－2＝－4－x2x，f(－x)＝－4－x2－x＝－f(x)．故f(x)是奇函数．故选A.答案：A12．若f(x)是[－2,2]上的偶函数，在(0,2]上为增函数，且f(m－1)>f(m＋1)，则m的取值范围为________．解析：∵f(x)为偶函数，。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
函 数 的 奇 偶 性
函数的奇偶性邵一中杜海光一、教学背景分析1、教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学1》（人教A版）第一章第三节第二课《1.3.2奇偶性》。
奇偶性是函数的重要性质之一:一方面,奇偶性是初中学习的图象对称性内容的延伸, 另一方面,学习性质也为进一步研究基本初等函数等内容做好准备。
而奇偶性是在学生学习了函数的有关概念和单调性的基础上，对函数知识进一步深入和拓广。
2、学情分析：我所教学的学生是我校高一的学生，学生还处在适应期，大部分学生的抽象思维能力和演绎推理能力较弱，所以在授课时注重从具体的例子出发，即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观获得函数奇偶性的感性认识,然后在这个基础上形成概念.教学过程中注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
二、教学目标1、知识与技能：（1）建立奇偶性的概念通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。
然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。
（2）掌握函数奇偶性的判别方法。
通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，进一步形成判断的方法步骤，从而能应用到例题中去。
（3）函数奇偶性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。
在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力。
2、过程与方法：通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用几何画板、实物投影仪等辅助教学，激发学生积极主动地参与教学活动。
使学生学会数学思考，学会反思与感悟，形成良好的数学观。
本节课,通过动手实践,观察图象创设问题情境引导学生概括出图象特点并抽象出奇偶性的概念；通过典型例子，学生探索质疑，加深对奇偶性概念实质的理解；接着就奇偶性概念的特点，概括出判断的方法步骤，最后通过例子练习加深巩固。
专题1.3.2 函数的奇偶性重难点题型(举一反三)(解析版)
1.3.2 函数的奇偶性重难点题型【举一反三系列】知识链接举一反三【考点1 判断一般函数的奇偶性】【练1】下列函数为偶函数的是（）A．f（x）＝x2（﹣1＜x＜3）B．f（x）C．f（x）＝x4﹣1 D．f（x）＝x【思路分析】根据偶函数的定义和性质分别进行判断．【答案】解：A．函数f（x）的定义域关于原点不对称，∴函数f（x）为非奇非偶函数．B．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，当f（x），为奇函数，不满足条件．C．函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）＝x4﹣1＝f（x），∴f（x）是偶函数，满足条件．D．函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数，不满足条件．故选：C．【练1.2】下列函数中是奇函数的为（）A．y＝x3﹣x2B．y＝|x﹣1| C．y＝﹣3x3+x D．y【思路分析】运用函数的奇偶性的定义，即可判断各个选项的奇偶性．【答案】解：对于A，y＝f（x）＝x3﹣x2，由f（﹣x）＝﹣x3﹣x2≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于B，y＝f（x）＝|x﹣1|，f（﹣x）＝|﹣x﹣1|≠﹣f（x），且f（﹣x）≠f（x），可得f（x）为非奇非偶函数；对于C，y＝f（x）＝﹣3x3+x，由f（﹣x）＝3x3﹣x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；对于D，y＝f（x）|x|，由f（﹣x）＝|﹣x|＝f（x），则f（x）为偶函数．故选：C．【练1.2】判断下列函数的奇偶性（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|（2）f（x）（3）f（x）（4）f（x）＝x2，x∈[﹣2，3]．【思路分析】由题设条件可以看出，可以用函数奇偶性的定义对这个函数进行验证，以确定其性质．【答案】解：（1）∵函数f（x）＝|1+x|+|x﹣1|的定义域为R，关于原点对称，又f（﹣x）＝|﹣x+1|+|﹣x﹣1|＝|x+1|+|x﹣1|＝f（x）∴f（x）是偶函数；（2）定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数；（3）定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，非奇非偶函数；（4）定义域为{x∈[﹣2，3]，不关于原点对称，非奇非偶函数．【练1.3】判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|（2）f（x）＝x（3）f（x）（4）f（x）（5）f（x）（6）f（x）（7）f（x）（8）f（x）【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系，可得结论．【答案】解：（1）f（x）＝|x﹣2|+|x+2|，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（2）f（x）＝x的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1）∪（1，+∞），不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（3）f（x）的定义域为{1}，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数；（4）f（x）的定义域为{﹣1，1}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数；（5）f（x）的定义域为[﹣2，2]，但f（﹣x）＝﹣f（x）与f（﹣x）＝f（x）均不恒成立，故为非奇非偶函数；（6）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，为奇函数；（7）f（x）的定义域为[﹣2，2]，满足f（﹣x）＝f（x）恒成立，为偶函数；（8）f（x）的定义域为{﹣2，2}，且f（x）＝0 恒成立，故函数即是奇函数，又是偶函数．【考点2 判断分段函数的奇偶性】【练2】判断函数f（x），，，，的奇偶性．【思路分析】先判断函数的定义域是否关于原点对称，再逐段判断f（x）与f（﹣x）的关系，进而根据偶函数的定义，得到结论．【答案】解：函数f（x），，，，的定义域（﹣6，﹣1]∪[1，6）关于原点对称，当x∈（﹣6，﹣1]时，﹣x∈[1，6），此时f（x）＝（x+5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x﹣5）2﹣4＝（x+5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；当x∈[1，6）时，﹣x∈（﹣6，﹣1]，此时f（x）＝（x﹣5）2﹣4，f（﹣x）＝（﹣x+5）2﹣4＝（x﹣5）2﹣4，即f（x）＝f（﹣x）；综上，f（x）＝f（﹣x）在定义域内恒成立，故数f（x），，，，为偶函数【练2.1】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，有﹣x＜0，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数．【答案】解：∵函数f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，有﹣x＜0，∴f（﹣x）＝（﹣x）[1﹣（﹣x）]＝﹣x（1+x）＝﹣f（x）（x＞0）．当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝﹣x（1﹣x）＝﹣f（x）（x＜0）．故函数f（x）为奇函数．【练2.2】判断函数f（x），＞，＜的奇偶性．【思路分析】根据奇函数和偶函数的定义，思路分析函数是否满足定义，可得结论．【答案】解：f（x），＞，＜的定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，当x＞0时，﹣x＜0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，此时f（x），f（﹣x），满足f（﹣x）＝﹣f（x），故函数f（x），＞，＜为奇函数．【练2.3】判断函数f（x）＜＞的奇偶性．【思路分析】按照函数的奇偶性的判断，首先求出函数的定义域，然后判断是否关于原点对称，如果对称，再利用奇偶性的定义判断f（﹣x）与f（x）的关系；如果不对称，函数是非奇非偶的函数．【答案】解：定义域为R，当x＜﹣1时，∵﹣x＞1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）+3＝x+3＝f（x）；当x＞1时，∵﹣x＜﹣1，∴f（﹣x）＝﹣x+3＝f（x）；当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）＝f（x）＝0，∴f（x）为偶函数．【考点3 判断抽象函数的奇偶性】【练3】函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，有下列结论：①f（x）+g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；②f（x）﹣g（x）在区间[﹣a，a]上是奇函数；③f（x）•g（x）在区间[﹣a，a]上是偶函数．其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路分析】运用奇偶性的定义，注意变形运算，对选项一一加以判断即可得到．【答案】解：函数f（x），g（x）在区间[﹣a，a]上都是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝﹣g（x），①令F（x）＝f（x）+g（x），则F（﹣x）＝f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣f（x）﹣g（x）＝﹣F（x），则为奇函数，故①对；②令H（x）＝f（x）﹣g（x），则H（﹣x）＝f（﹣x）﹣g（﹣x）＝﹣f（x）+g（x）＝﹣H（x），则为奇函数，故②对；③令R（x）＝f（x）•g（x），则R（﹣x）＝f（﹣x）g（﹣x）＝（﹣f（x））•（﹣g（x））＝R（x），则为偶函数，故③对．则正确个数为3，故选：D．【练3.1】设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（﹣x）是奇函数D．|g（x）|是奇函数【思路分析】由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．【答案】解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴f（﹣x）为奇函数，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）g（x）为奇函数，|f（x）|g（x）为奇函数，故选：C．【练3.2】已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）＝f（x）+f（y），求证：f（x）是奇函数；【思路分析】利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论．【答案】解：∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0，得：f（0）＝f（0）+f（0），∴f（0）＝0，令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数．【练3.3】已知函数f（x），当a，b∈R时，恒有f（a）＝f（）+f（）．（1）若f（1）＝﹣2，求f（2），f（3）的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性．【思路分析】（1）对于，可令，，则x+y＝a，从而得出f（x+y）＝f（x）+f（y），再根据f（1）＝﹣2即可求出f（2），f（3）的值；（2）根据上面，f（x+y）＝f（x）+f（y），令x＝y＝0即可求出f（0）＝0，而令y＝﹣x即可求出f（﹣x）＝﹣f（x），即得出f（x）是奇函数．【答案】解：（1）令，，则x+y＝a；∴f（x+y）＝f（x）+f（y）；∵f（1）＝﹣2；∴f（2）＝2f（1）＝﹣4，f（3）＝f（2）+f（1）＝﹣4﹣2＝﹣6；（2）由（1）知f（x+y）＝f（x）+f（y）；令x＝y＝0，得f（0+0）＝f（0）+f（0）；∴f（0）＝0；令y＝﹣x，得f（x﹣x）＝f（x）+f（﹣x）；∴f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；∴f（x）是奇函数．【考点4 利用函数的奇偶性求解析式】【练4】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2+2x，求函数f（x）（x∈R）的解析式；【思路分析】根据偶函数的性质进行转化求解即可．【答案】解：∵f（x）是偶函数，∴若x＞0，则﹣x＜0，则当﹣x＜0时，f（﹣x）＝x2﹣2x＝f（x），即当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x．即f（x），，＞．【练4.1】已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．（1）求f（0）及f（f（1））的值；（2）求函数f（x）在（﹣∞，0）上的解析式；【思路分析】（1）根据题意，由函数的解析式，将x＝0代入函数解析式即可得f（0）的值，同理可得f（1）的值，利用函数的奇偶性思路分析可得f（f（1））的值；（2）设x＜0，则﹣x＞0，由函数的解析式思路分析f（﹣x）的解析式，进而由函数的奇偶性思路分析可得答案；【答案】解：（1）根据题意，当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x；则f（0）＝0，f（1）＝1﹣2＝﹣1，又由函数f（x）为偶函数，则f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，则f（f（1））＝f（﹣1）＝﹣1；（2）设x＜0，则﹣x＞0，则有f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x，又由函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝x2+2x，则当x＜0时，f（x）＝x2+2x，【练4.2】已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x），求函数f（x）在R上的解析式；【思路分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，结合函数的奇偶性与奇偶性思路分析可得f（x）在（0，+∞）上的解析式，综合可得答案；【答案】解：根据题意，f（x）为定义在R上的函数f（x）是奇函数，则f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x），又由f（x）为R上的奇函数，则f（x）＝﹣f（x），则f（x），＜，，＞；【练4.3】已知f（x）是实数集R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝﹣2x2+3x+1．（1）求f（0）的值；（2）求当x＜0时，f（x）的解析式；（3）求f（x）在R上的解析式．【思路分析】（1）直接利用函数的奇偶性求出函数的值．（2）利用函数的奇偶性求出函数的关系式．（3）利用分类讨论的思想求出函数的关系式．【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣0）＝﹣f（0），∴f（0）＝﹣f（0），∴2f（0）＝0，∴f（0）＝0…（4分）（2）当x＜0，即﹣x＞0时，f（﹣x）＝﹣2（﹣x）2+3（﹣x）+1＝﹣2x2﹣3x+1．由于f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），∴﹣f（x）＝﹣2x2﹣3x+1，∴f（x）＝2x2+3x﹣1（x＜0）…（8分）（3）在实数集R上函数f（x）的解析式为：f（x）＞＜【考点5 利用函数的奇偶性求参数】【练5】设函数f（x）为奇函数，则a＝﹣1．【思路分析】一般由奇函数的定义应得出f（x）+f（﹣x）＝0，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为f（x）+f（﹣x）＝0是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a的值．【答案】解：∵函数为奇函数，∴f（x）+f（﹣x）＝0，∴f（1）+f（﹣1）＝0，即2（1+a）+0＝0，∴a＝﹣1．故应填﹣1．【练5.1】已知函数是奇函数，则实数a的取值范围是[﹣2，0）∪（0，2]．【思路分析】先求函数的定义域{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}，由题意可得g（x）＝|x+2|﹣2为奇函数，由奇函数的定义可得g（﹣x）＝﹣g（x）代入整理可得|x﹣2|+|x+2|＝4，结合函数的定义域可求a的范围【答案】解：由题意可得，函数的定义域为{x|﹣a≤x≤a，且x≠0，且x≠﹣4}∵函数是奇函数，且y是偶函数令g（x）＝|x+2|﹣2，则g（x）为奇函数∴g（﹣x）＝﹣g（x）即|﹣x+2|﹣2＝﹣|x+2|+2∴|x﹣2|+|x+2|＝4∴﹣2≤x≤2∴﹣2≤a≤2且a≠0故答案为：[﹣2，0）∪（0，2]【练5.2】若函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，则实数a的值为（）A．1 B．C．1或D．0【思路分析】根据函数为偶函数，得到f（﹣x）＝f（x），建立方程即可求解a．【答案】解：∵函数f（x）＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即f（﹣x）＝ax2﹣（2a2﹣a﹣1）x+1＝ax2+（2a2﹣a﹣1）x+1，即﹣（2a2﹣a﹣1）＝2a2﹣a﹣1，∴2a2﹣a﹣1＝0，解得a＝1或a，故选：C．【练5.3】已知函数f（x）的定义域为（3﹣2a，a+1），且f（x﹣1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A．B．2 C．4 D．6【思路分析】根据f（x﹣1）为偶函数，便知f（x﹣1）的定义域关于原点对称，而由f（x）的定义域即可求出函数f（x﹣1）的定义域为（4﹣2a，a+2），从而有4﹣2a+a+2＝0，这样即可求出a的值．【答案】解：f（x﹣1）为偶函数；∴f（x﹣1）的定义域关于原点对称；由3﹣2a＜x﹣1＜a+1得4﹣2a＜x＜a+2；∴4﹣2a+a+2＝0；∴a＝6．故选：D．【考点6 函数奇偶性与单调性综合】【练6】函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（2）＜f（π）＜f（5）B．f（π）＜f（2）＜f（5）C．f（2）＜f（5）＜f（π）D．f（5）＜f（π）＜f（2）【思路分析】根据函数f（x+3）是偶函数，即函数图象关于直线x＝3对称，将三个自变量转化到同一单调区间上，进而可得答案．【答案】解：∵函数y＝f（x）在[1，3]上单调递减，且函数f（x+3）是偶函数，∴f（π）＝f（6﹣π），f（5）＝f（1），∵f（6﹣π）＜f（2）＜f（1），∴f（π）＜f（2）＜f（5）故选：B．【练6.1】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且有f（3）＞f（1）．则下列各式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＜f（5）C．f（3）＞f（2）D．f（2）＞f（0）【思路分析】根据函数奇偶性的性质进行求解即可．【答案】解：∵函数f（x）是偶函数，∴由f（3）＞f（1）．得f（3）＞f（﹣1）．故选：A．【练6.2】若函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2﹣x）＞0的解集为（）A．{x|x＞4或x＜0} B．{x|﹣2＜x＜2} C．{x|x＞2或x＜﹣2} D．{x|0＜x＜4}【思路分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性、二次函数的性质，求得f（2﹣x）＞0的解集．【答案】解：函数f（x）＝（x﹣2）（ax+b）＝ax2+（b﹣2a）x﹣2b为偶函数，∴b﹣2a＝0，b＝2a，f（x）＝ax2﹣4a．再根据f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴a＞0．令ax2﹣4a＝0，求得x＝±2，则由f（2﹣x）＞0，可得2﹣x＞2，或2﹣x＜﹣2，求得x＜0，或x＞4，故f（2﹣x）＞0的解集为{x|x＞4或x＜0}，故选：A．【练6.3】已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，若f（x﹣2）＞0，则x的取值范围是（0，4）．【思路分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化为f（|x﹣2|）＞0，进行求解即可．【答案】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0，∴f（2）＝f（﹣2）＝0，则不等式f（x﹣2）＞0，等价为f（|x﹣2|）＞f（2），则|x﹣2|＜2，即﹣2＜x﹣2＜2，即0＜x＜4，即x的取值范围是（0，4），故答案为：（0，4）【考点7 函数性质的综合应用】【练7】已知函数f（x）的定义域是{x|x≠0}的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0，f（2）＝﹣1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）解不等式f（x2﹣1）＜2．【思路分析】（1）利用赋值法，结合函数奇偶性的定义进行证明即可．（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．【答案】解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2），令x1＝1，x2＝﹣1，代入上式得f（﹣1）＝f（﹣1）+f（1），解得f（1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝﹣1，得，f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）＝0，解得f（﹣1）＝0，令x1＝﹣1，x2＝x代入上式，∴f（﹣x）＝f（﹣1•x）＝f（﹣1）+f（x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．（2）y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．证明：设x1，x2是（0，+∞）任意两个变量，且x1＜x2，设x2＝tx1，（t＞1），则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1）﹣f（tx1）＝f（x1）﹣f（x1）﹣f（t）＝﹣f（t）∵当x＞1时，f（x）＜0；∴f（t）＜0，即f（x1）﹣f（x2）＝﹣f（t）＞0，∴f（x1）＞f（x2），即y＝f（x）在（0，+∞）上的单调递减．（3）∵f（2）＝﹣1，∴令x1＝2，x2，则f（2）＝f（2）+f（）＝f（1）＝0，则f（）＝﹣f（2）＝﹣（﹣1）＝1．f（）＝f（）＝f（）+f（）＝2f（）＝2×1＝2．则不等式f（x2﹣1）＜2等价为不等式f（x2﹣1）＜f（），∵f（x）在（0，+∞）上是减函数且函数f（x）是偶函数，∴x2﹣1＜或x2﹣1＞，即x2＜或x2＞，即＜x＜或x＞或x＜，即不等式的解集为{x|＜x＜或x＞或x＜}．【练7.1】设函数y＝f（x）的定义域为R，并且满足f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），且f（2）＝1，当x＞0时，f（x）＞0．（1）求f（0）的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）如果f（x）+f（x+2）＜2，求x的取值范围．【思路分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），即可得出f（0）．（2）任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．根据当x＞0时，f（x）＞0．可得f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴即可得出单调性．（3）由f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y），可得f（x）＝f（x﹣y）+f（y），可得2＝f（2）+f（2）＝f（4），于是f（x）+f（x+2）＜2，转化为：f（x）+f（x+2）＜f（4）．即f（x+2）＜f（4﹣x）．再利用函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，即可得出．【答案】解：（1）令x＝y＝0，则f（0﹣0）＝f（0）﹣f（0），∴f（0）＝0．（2）函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，理由如下：任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则x1﹣x2＞0．∵当x＞0时，f（x）＞0．∴f（x1﹣x2）＝f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数y＝f（x）在定义域R上单调递增．（3）∵f（x﹣y）＝f（x）﹣f（y）．∴f（x）＝f（x﹣y）+f（y），∴2＝1+1＝f（2）+f（2）＝f（2）+f（4﹣2）＝f（4），∵f（x）+f（x+2）＜2，∴f（x）+f（x+2）＜f（4）．∴f（x+2）＜f（4）﹣f（x）＝f（4﹣x）．∵函数y＝f（x）在定义域R上单调递增，∴x+2＜4﹣x，从而x＜1．∴x的取值范围为{x|x＜1}．【练7.2】已知关于x的函数f（x）＝x2﹣2ax+5．（1）若函数f（x）是偶函数，求实数a的值；（2）当a＞1时，对任意t∈[1，a]，记f（t）的最小值为n，f（t）的最大值为m，且n+m＝3，求实数a的值．【思路分析】（1）根据题意，由偶函数的性质可得f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，解可得a 的值，即可得答案；（2）根据题意，思路分析f（x）在[1，a]上单调递减，据此可得n、m的表达式，则有5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解可得a的值，即可得答案．【答案】解：（1）根据题意，因为函数f（x）＝x2﹣2ax+5是偶函数，则有f（﹣x）＝f（x），即x2+2ax+5＝x2﹣2ax+5，变形可得a＝0．（2）根据题意，当a＞1时，函数f（x）＝x2﹣2ax+5在[1，a]上单调递减，所以n＝f（a）＝a2﹣2a•a+5＝5﹣a2，m＝f（1）＝1﹣2a+5＝6﹣2a，又n+m＝3，所以5﹣a2+6﹣2a＝3，即a2+2a﹣8＝0，解得a＝2，a＝﹣4（舍），所以a＝2．【练7.3】设函数y＝f（x）（x∈R且x≠0）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）（1）求证：f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）求证：y＝f（x）是偶函数；（3）若f（x）为（0，+∞）上的增函数，解不等式．【思路分析】（1）对定义域内任意的x1，x2恒有f（x1•x2）＝f（x1）+f（x2）分别对x1＝x2＝1赋值，即可证f（1）＝f（﹣1）＝0；（2）根据函数的奇偶性定义，只需要找到f（﹣x）与f（x）的关系即可答案问题，操作时可以令y＝﹣x 进行思路分析；（3）首先应充分利用好前两问题的结论对（3）问进行转化，再结合所给不等式找到抽象不等式：，结合单调性思路分析即可获得问题的答案．【答案】解：（1）令x1＝x2＝1，则f（1）＝f（1）+f（1）∴f（1）＝0令x1＝x2＝﹣1，则f（1）＝f（﹣1）+f（﹣1）∴f（﹣1）＝0（2）x∈{x|x∈R且x≠0}关于原点对称，令x1＝x，x2＝﹣1∴f（﹣x）＝f（x）+f（﹣1）＝f（x）∴f（x）＝f（﹣x）所以f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数．（3）不等式．即∵f（x）在{x|x∈R且x≠0}上是偶函数且f（x）为（0，+∞）上的增函数，∴，解得：＜或＜或0＜x＜．。
高一年级数学人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案
高一年级人教版必修一3.2.2函数的奇偶性教案年级：高一年级版本：人教版模块：必修一【教材分析】在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系。
它既是函数概念的拓展和深化，是继函数单调性后的又一个重要性质，又是后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数的必备知识。
因此本节课起着承上启下的重要作用。
奇偶性的教学无论在知识上还是在能力上对学生的教育起着非常重要的作用。
【核心素质培养目标】1.结合具体函数的图像和解析式，深刻理解奇函数、偶函数的定义。
2.通过画图，分析图像了解奇函数、偶函数图象的特征，培养直观想象核心素养。
3.通过例题学习，归纳并掌握判断（证明）函数奇偶性的方法，培养逻辑推理核心素养。
【教学重难点】教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判定教学难点：判断函数奇偶性的方法与格式【教学方法】师生共同探究，从代数的角度来严格推证。
【教学过程】一、情景引入，提出问题对称美是大自然的一种美，对称美在数学中随处可见，今天我们学习数学中的对称美。
师：复习函数的三要素和三种表示法。
生：三要素是：定义域、值域、对应关系；三种表示方法是：解析法、图象法、列表法。
师：结合的三要素和三种表示方法想一想（1）这个函数图象有什么特征？生：答定义域关于原点对称且图像关于y轴对称。
（2）当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值什么关系？生：从函数值对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
（3）你能尝试用函数解析式描述图象的对称特征吗？生：对于定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)。
师：这时我们称f(x)=x2为偶函数，设计意图：启发学生由图象获取函数性质的直观认识，从而引入新课。
二、获取新知，生成概念（板书）偶函数:一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
师：研究函数优先考虑定义域，把f(x)=x2定义域改成（0，+∞），仍然是偶函数吗？生：不是师：判断函数是偶函数的前提什么？生：函数的定义域关于原点对称。
人教版数学必修一 第一章 1.3.2 奇偶性
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－ 2；(偶) ＝－x ＝ ＋ 奇 ＝－ 偶 (3) h (x)＝x3＋1； (非奇非偶 非奇非偶) ＝ ； 非奇非偶 1 (4) k ( x ) = 2 x ∈ [1, 2]； (非奇非偶 非奇非偶) 非奇非偶 x +1 (偶) (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； ＝ ＋ ； 偶 (6) g (x)＝x (x＋1)； ＝ ＋ ； (7) h( x ) = x + x ； 1 (8) k ( x ) = 2 . x 1
1.3 函数的基本性质 ——奇偶性 奇偶性
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？ 图形的定义是什么？
复习回顾
1. 在初中学习的轴对称图形和中心对称 图形的定义是什么？ 图形的定义是什么？ 2. 请分别画出函数 (x)＝x3与g(x)＝x2的 请分别画出函数f ＝ ＝ 图象. 图象
练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－ 2； ＝－x ＝ ＋ 奇 ＝－ (3) h (x)＝x3＋1； ＝ ； 1 (4) k ( x ) = 2 x ∈ [1, 2]； x +1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； ＝ ＋ ； (6) g (x)＝x (x＋1)； ＝ ＋ ； (7) h( x ) = x + x ； 1 (8) k ( x ) = 2 . x 1
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练 习 1. 判断下列函数的是否具有奇偶性 (1) f (x)＝x＋x3；(奇) (2) f (x)＝－ 2；(偶) ＝－x ＝ ＋ 奇 ＝－ 偶 (3) h (x)＝x3＋1； ＝ ； 1 (4) k ( x ) = 2 x ∈ [1, 2]； x +1 (5) f (x)＝(x＋1) (x－1)； ＝ ＋ ； (6) g (x)＝x (x＋1)； ＝ ＋ ； (7) h( x ) = x + x ； 1 (8) k ( x ) = 2 . x 1
人教课标版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案-新版
1.3 第三课时 函数的奇偶性一、教学目标（一）核心素养函数的奇偶性从图形观察开始,发现图象典型特征,猜想出相关结论,通过数据验证,给出证明全过程,最后生成概念.这一过程包含了发现、猜想、证明的数学思维方式,也培育了学生数学抽象、直观想象、逻辑推理、数据分析等数学核心素养.（二）学习目标1.了解奇函数、偶函数的定义2. 运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性3. 结合函数单调性,解决函数的综合问题（三）学习重点1.理解奇函数、偶函数的概念2. 判断函数的奇偶性（四）学习难点函数奇偶性的应用二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）偶函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做偶函数.（2）奇函数:一般地,如果对于函数()f x 的定义域内____一个x ,都有_______,那么函数()f x 就叫做奇函数.详解:（1）任意,()()f x f x =-;（2）任意,()()f x f x =--2．预习自测（1）作函数,y x y x ==的图象,初步判断函数为奇函数还是偶函数.详解:由图象初步判断y x =为偶函数,y x =为奇函数(二)课堂设计1.知识回顾（1）函数的定义（2）函数的单调性2.问题探究探究一偶函数、奇函数的概念生成=图象,探求对称关系本质●活动①观察函数2y x=,y x师:同学初中数学学习过图形的对称关系,请说出上图的对称关系=函数图象关于y轴对称.生:2y x=,y x=图象的对称关系？师:如何验证2=,y xy x生:可以把图象画在一张白纸上,沿着y轴对折,y轴两边的图象重合.师:作图会有误差的情况出现,有更严谨的验证方法吗？（提示点的坐标）生:可以在图象上取若干个点来验证.师:图象是由点构成的,研究图象对称关系,其实质是研究点的坐标对应关系.因此,我们在图象上取点验证,就涉及到以下几个问题:第一,如何取点？不妨先取部分特殊点（整数点方便计算）:我们由函数解析式,取x为整数时,计算相应y的值,对应整数点(,)x y在图象中的位置进行观察.2y x=:(-1,1),(-2,4),(-3,9),(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)=:(-1,1),(-2,2),(-3,3),(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)如下表:y x可以发现:(,)x y为坐标的整数点位于函数图象上,且这些整数点在图象上的位置是关于y轴对称.第二,如何验证？这些整数点关于y 轴对称,从“形”上观察:对折后“重合”,即点与点对折后合为一个点.因此在坐标系中这些点不是孤立的,是成对出现的,而且它们的相对位置“远近高低”相同一致.“远近”相同,是指点与y 轴的距离,即横坐标的绝对值x 相等.“高低”一致,高度相等,是指点与x 轴的距离,即纵坐标的绝对值y 相等.从“数”上分析:由表中数据,“远近”相同时,相应整数点横坐标是互为相反数;“高低”一致时,相应整数点纵坐标是相等的.第三,严谨性.刚才我们对部分整数点进行了验证,由特殊到一般的思想,我们可以验证:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且A B y y =时,它们对折之后才能重合.由A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于y 轴对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称.师:由以上探究发现,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.若我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且A B y y =（两点任意、横相反、纵相等）,就可以说该图象关于y 轴对称,我们称这类函数为偶函数.【设计意图】图象的对称实质的研究,让学生更深层次体会函数图象与数量关系的本质联系,进一步加深了函数对应关系这一核心思想的理解.●活动② 偶函数概念的生成师:按照函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的思想,及“两点任意、横相反、纵相等”的原则,能否定义偶函数.生:图象关于y 轴对称的函数为偶函数.师:函数以定义域优先的原则,从数量关系上定义更严谨,参考函数单调性的定义. 生:一般地,函数()y f x =,定义域内任取12,x x ,满足120x x +=且12()()f x f x =时,称()y f x =为偶函数.师:这位同学抓住了“两点任意、横相反、纵相等”的原则,我们在此基础上进行提炼,“任取12,x x 满足120x x +=”可以变形为12x x =-.可把这个关系简化为“x 与x -”,因此我们如下定义偶函数:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()f x f x =-时,那么称()y f x =为偶函数.师:若()y f x =为偶函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于y 轴对称.函数的定义域关于(0,0)O 对称.师:这样说可以吗？（1）偶函数图象关于y 轴对称.（2）图象关于y 轴对称的函数是偶函数.（3）偶函数的定义域关于(0,0)O 对称.（4）定义域关于(0,0)O 对称的函数是偶函数.生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）函数()f x x =,定义域R 关于原点对称,图象不关于y 轴对称,不正确.【设计意图】图象的对称关系的实质探究,让学生从“形”定性的认识,到 “数”的定量分析;研究图象,就研究其构成元素所有点的坐标关系,由特殊点再到任意点,由函数对应关系的本质,深入到定义域,值域层面研究.整个探究过程由外到内、由形到数、由整体到局部、由特殊到一般的思想,体现了数学概念生成过程趣味横生. ●活动③奇函数的概念生成师:由（4）知,并不是所有的函数都是偶函数,偶函数只是众多函数中较典型的一类.请同学们观察函数y x =,1y x=图象,完成下面两个函数值对应表.师:请观察y x =,1y x =图象,及函数值对应表特征,上图有何对称关系？如何验证？生:y x =,1y x=图象关于原点成中心对称关系,函数图象整体围绕着(0,0)O 旋转0180与原图象重合.师:由上面的推导,函数图象对称关系的本质,是由点的坐标数量关系决定的.同学们能总结关于图象关于原点对称的本质关系吗？生:在图象上任取一点(,)A A A x y 时,图象上有一个点(,)B B B x y 与之对应,当AB 两点的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=时,它们对折之后才能重合.由点A 的任意性,确定了相对应点B 的任意性,只有这样我们才能说整个函数图象关于原点对称.当AB 两点投影到x 轴时,,A B x x 的取值范围就是函数的定义域,其相互制约关系0A B x x +=,也说明了定义域也有对称关系,即定义域关于原点对称,0A B y y +=也说明了值域也有对称关系,即值域关于原点对称.师:我们在图象上任意取两个点AB ,若它们的坐标满足0A B x x +=且0A B y y +=（两点任意、横相反、纵相反）,就可以说该图象关于原点对称,我们称这类函数为奇函数.师:由偶函数定义,及“两点任意、横相反、纵相反”的原则,能否定义奇函数.生:一般地,函数()y f x =定义域I ,x I ∀∈（x I -∈）都有()()(()()0)f x f x f x f x -=-+-=时,那么称()y f x =为奇函数.师:若()y f x =为奇函数,图象满足哪些性质呢？对应到函数的定义域呢？ 生:图象关于原点对称.函数的定义域关于原点对称.师:这样说可以吗？（1）奇函数图象关于原点对称（2）图象关于原点对称的函数是奇函数（3）奇函数的定义域关于原点对称（4）定义域关于原点对称的函数是奇函数生:（1）由定义是正确的;（2）是定义推导的起源是正确的;（3）由图象在x 轴投影的对应关系,或由定义“两点任意、横相反”知,是正确的;（4）也可能是偶函数,不正确.师:我们对偶函数、奇函数的定义作了介绍,我们称函数的这类性质为奇偶性.奇偶性是一部分函数的性质,因此我们在判断函数是否奇偶性？第一,图象法.可以从图象特征观察:若图像关于y 轴对称,我们称之为偶函数,否则该函数不是偶函数;若图像关于原点对称,我们称之为奇函数,否则该函数不是偶函数;因此,从奇偶性的角度可以将函数分类:奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数又不是偶函数（简称非奇非偶函数）.第二,定义法.也可以从数量特征观察:首先判定函数定义域是否关于原点对称, 若不对称,则该函数为非奇非偶函数;若对称,再判断()f x 与()f x -关系:如果()()f x f x =-,则该函数为偶函数.如果()()0f x f x +-=,则该函数为奇函数.【设计意图】偶函数的概念生成,为奇函数的概念引入奠定了基础,有共同的思维方式,也有不同的内在体现,让学生对函数奇偶性的概念生成过程,及本质内涵有更深的理解.探究二:函数奇偶性的判断.●活动①定义法判断函数奇偶性.例1 判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）()f x =（2）1()1f x x =- 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）()f x ={}1不关于原点对称. ()f x ∴为非奇非偶函数（2）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞关于原点对称. 11()()11f x f x x x -===--- ()f x ∴为偶函数 【思路点拨】由定义法判断【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数同类训练:判断下列函数的奇偶性,并说明理由.（1）1()1f x x =-（2）()f x = 【知识点】函数奇偶性【数学思想】【解题过程】解：（1）1()1f x x =-函数的定义域(,1)(1,)-∞⋃+∞不关于原点对称 ()f x ∴为非奇非偶函数（2）()f x =函数的定义域{1}{1}-⋃关于原点对称()()f x f x -=== ()f x ∴为偶函数【思路点拨】定义法灵活运用【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数【设计意图】让学生明确定义法判断函数奇偶性的步骤.●活动②定义法、图象法判断函数奇偶性.例2:判断函数(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的奇偶性 【知识点】分段函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：(1),0()(1),0x x x f x x x x -<⎧=⎨+>⎩的定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞关于原点对称.当0x >时,0x -<()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=---=-+=->当0x <时,0x ->()()[1()](1)()(0)f x x x x x f x x ∴=-+-=--=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数.【思路点拨】定义法、用图象法【答案】奇函数同类训练 判断函数2223,0()23,0x x x f x x x x ⎧-+<=⎨--->⎩的奇偶性 【知识点】函数奇偶性【数学思想】化归思想、数形结合思想【解题过程】解：当0x >时,0x -<22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=---+=++=->当0x <时,0x ->22()()2()323()(0)f x x x x x f x x ∴=-----=-+-=-<综上所述,()()f x f x -=-,()f x 奇函数【思路点拨】对于较熟悉的函数,可以作函数图象法判断单调性.【答案】奇函数【设计意图】定义法、图象法灵活运用, 判断函数奇偶性.●活动③利用性质法判断函数奇偶性.例3 判断函数24()f x x x =+奇偶性.【知识点】性质法:对于两个函数在定义域关于原点对称的情形下,函数的奇偶性质,偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）仍为奇（偶）函数;一个奇函数与偶函数的积为奇函数,这样的方法称为性质法.【数学思想】化归思想【解题过程】解：24()f x x x =+函数的定义域R 关于原点对称.记:21()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.211()()()f x x f x -=-=,21()f x x ∴=为偶函数;42()f x x =,函数的定义域R 关于原点对称.422()()()f x x f x -=-=,42()f x x ∴=为偶函数.性质法:24()f x x x =+为偶函数.【思路点拨】函数12()()f x f x 、的定义域必须满足定义域关于原点对称,且12()()f x f x 、定义域的交集为()f x 的定义域也必须关于原点对称,判断各分函数的奇偶性,再判断复合后的奇偶性.【答案】偶函数同类训练 判断35()f x x x x =++奇偶性.【知识点】奇偶性判断【数学思想】化归思想【解题过程】35()f x x x x =++函数的定义域R 关于原点对称35()()()()()f x x x x f x -=-+-+-=- ()f x ∴为奇函数.【思路点拨】可由性质法证明【答案】奇函数【设计意图】在部分题目特别是选择题、填空题判断奇偶性时,性质法方便快捷,但此部分涉及到复合函数定义域的问题,对学生能力要求较高.探究三: 函数综合问题●活动①奇偶函数图象问题例4如图所示为偶函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：作()x∈--的图象关于y轴对称的图象．=在[3,1]y f x由图象知(3)(1)>f f【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)>f f同类训练如图所示为奇函数()f的大小．f与(3)y f x=的局部图象,试比较(1)【知识点】函数奇偶性【数学思想】数形结合思想【解题过程】解：法一:由图象知(3)(1)->-,又()f x是奇函数.f f∴<f ff f f f(3)(3),(1)(1)∴-=--=-,(3)(1)法二:因为()y f x =是奇函数,故由对称性可作出[1,3]x ∈时的图象,由图象知(3)(1)f f <．【思路点拨】利用奇偶性，找出另一区间的图象【答案】(3)(1)f f <【设计意图】由于奇函数、偶函数图象的对称性,因而如果知道一个函数是奇函数或偶函数,只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出这个函数在另一部分上的性质和图象．●活动②函数奇偶性的应用例5若()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x <时,()(2)f x x x =-,求函数()f x 的解析式．【知识点】利用奇偶性求解析式【数学思想】转化与化归思想【解题过程】解：法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.当0x >时,0x -<,()()(2)f x f x x x ∴=--=+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.法二:()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f x f x ∴-=-,(0)0f =.令t x =-,若0x <,则0t >,且x t =-.()(2)(0)f x x x x =-<,()(2)f t t t ∴-=-+,即()(2)f t t t -=-+．()(2)f t t t ∴=+,0x ∴>时,()(2)f x x x =+．∴函数()f x 的解析式为(2),0()0,0(2),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩.【思路点拨】在未知范围内取值，利用转化到已知范围内的函数解析式求解；也可以用图象对称关系，待定系数法求解析式。
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数奇偶性》教学设计(杨瑞)
《函数奇偶性》教学设计科目：数学教学对象：高一学生课时：第一课时提供者：杨瑞单位：开封市第二十五中学一、教学内容分析：奇偶性是既函数的单调性之后学生接触到的又一重要性质,在高考中占有重要的地位，也是高考中的热点，它常常会在和函数的单调性、周期性相结合的情况下出现在高考题中。
为了今后更加优化对本部分内容的教学，二、教学目标：1.了解函数的奇偶性及其含义；2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3.了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系；三、学习者特征分析（说明学习者在知识与技能、过程与方法、情感态度等三个方面的学习准备（学习起点），以及学生的学习风格。
最好说明教师是以何种方式进行学习者特征分析，比如说是通过平时的观察、了解；或是通过预测题目的编制使用等）四、教学策略选择与设计：多媒体辅助教学，合作探究的教学方法；五、教学重点及难点：教学重点：函数的奇偶性及其含义；教学难点：判断函数的奇偶性的方法；易混点：函数奇偶性与图象的对称性之间的关系。
六、教学过程：一、课堂引入“对称”是大自然的一种美，请大家欣赏一组图片，并判断图形是否具有对称性？四川曹家大院一景通过观察，同学们发现了这些图形有的关于一条直线对称，有的关于一个点对称，而这样的对称在数学中也有体现。
二、 新课探究观察下列两个函数图象并思考以下问题： （1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？结论：这两个函数的解析式都满足：f(-3)=f(3); f(-2)=f(2); f(-1)=f(1). 可以发现对于函数定义域内任意的两个相反数，它们对应的函数值相等，也就是说对于函数定义域内任意一个x ，都有f(-x)=f(x). 定义：1．偶函数一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．雪铁龙 奔驰观察函数f(x)=x 和f(x)=x1的图象，类比偶函数的推导过程，给出奇函数的定义和性质？2．奇函数一般地，对于函数()f x 的定义域的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．思考:偶函数与奇函数图象有什么特征呢?偶函数的图象关于y 轴对称, 反过来，如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数为偶函数且()(||)f x f x =奇函数的图象关于原点对称；反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数为奇函数.且f(0)=0注意：1、如果函数()y f x =是奇函数或偶函数，我们就说函数()y f x =具有奇偶性；函数的奇偶性是函数的整体性质；2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数；3、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个先决条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．如果一个函数的定义域不关于“0”（原点）对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；4、可以利用图象判断函数的奇偶性，这种方法称为图象法，也可以利用奇偶函数的定义判断函数的奇偶性，这种方法称为定义法 用定义判断函数奇偶性的步骤是(1)、先求定义域，看是否关于原点对称；(2)、再判断()()f x f x -=- 或 ()()f x f x -= 是否恒成立； （3）、作出相应结论.若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--=或则是偶函数； 若()()()()0,()f x f x f x f x f x -=--+=或则是奇函数 三、 巩固应用例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性例2．判断下列函数的奇偶性（1）2()[1,2]f x x x =∈- 为非奇非偶函数（2）32()1x x f x x -=-为非奇非偶函数（3）x x x f +=3)( 奇函数 常用结论：(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数. (2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数. (4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. (5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数. 四、知识小结• 奇偶性定义:对于函数f(x),在它的定义域内，把任意一个x 换成-x ，(x,-x 均在定义域内）xxx]2,1[,)(2-∈=x x x f x偶奇奇偶①若有f(-x)=-f(x), 则f(x)叫做奇函数；②若有f(-x)=f(x), 则f(x)叫做偶函数。
浙江省温州中学人教版高一数学必修一 1-3-2 函数奇偶性 教学设计
1.3.2函数的奇偶性教学设计一、 学习内容分析本节选自《一般高中课程标准数学教科书——数学必修1》（人教A 版）第一章集合与函数概念的第三节函数的基本性质其次小节内容，函数的奇偶性是继函数的单调性之后函数的其次大性质，它既是函数概念的连续和拓展，也是今后争辩三角函数、二次曲线等学问的重要铺垫，而且机敏的应用函数的奇偶性常使简单的不等式问题、方程问题、作图问题等变得简洁明白。
此外具有奇偶性的函数格外有美感,因此本节课是数学美的集中体现。
二、 教学目标1. 理解偶函数、奇函数的概念，会用奇偶函数的定义去推断一个函数是否具有奇偶性；2. 把握偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于原点对称的特性，了解函数具有奇偶性时，其定义域具有的特点；3. 通过函数奇偶性概念的形成过程，培育观看、比较、分析概括的力量和数形结合、从特殊到一般的数学思想方法；4. 通过函数奇偶性的学习，感受数学之美。
三、 教学重难点1. 教学重点：函数奇偶性的定义及图像特征。
2. 教学难点：函数奇偶性概念的形成。
四、 教学过程（一） 情境导航，引入新课呈现生活中具有轴对称、中心对称特点的事物的图片，让同学体会其美感，再让同学举例其它的具有轴对称和中心对称特点的事物。
预设：同学回答剪纸、蝴蝶、课桌、黑板…… 追问：什么是轴对称图形？什么是中心对称图形？预设：把一个图形沿着某一条直线对折，这条直线两侧的图形能完全重合，则是轴对称图形。
把一个图形围着某个点旋转180度，这个图形能和原来的图形重合，则是中心对称图形。
（二） 构建概念，突破难点数学中也有很多具有对称性的例子，下面我们观看2个函数图象，来看看它们的图象有什么特性。
① 2(),f x x x R =∈ ② ()2,f x x x R =-∈师生活动：同学观看函数图像，老师提问。
问题1：认真观看，这两个函数图象有什么共同特征？ 问题2：相应的两个函数值表示如何体现这些特征的？ 师生活动：同学思考、争辩后，老师请同学回答。
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课复习(第4课时函数奇偶性的应用)
第三章 函数的概念与性质
利用奇偶性求函数解析式的思路 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间 内． (2)利用已知区间的解析式代入． (3)利用 f(x)的奇偶性写出－f(x)或 f(－x)，从而解出 f(x)．
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第三章 函数的概念与性质
1．设 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求 函数 f(x)，g(x)的解析式． 解：因为 f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， 所以 f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由 f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x 代替 x 得 f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2， 所以 f(x)－g(x)＝－2x＋x2，② (①＋②)÷2，得 f(x)＝x2. (①－②)÷2，得 g(x)＝2x.
条件 当 x1＜x2 时
都有 f(x1)＜f(x2)
都有 f(x1)＞f(x2)
那么就说函数 f(x)在区间 D 上 那么就说函数 f(x)在区间 D 上
结论
是增函数
是减函数
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思考 1：增(减)函数定义中的 x1，x2 有什么特征？
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第三章 函数的概念与性质
2．(2019·襄阳检测)已知偶函数 f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，
则满足 f(2x－1)>f13的实数 x 的取值范围是(
)
A.13，23
人教版高中数学必修1《函数的奇偶性》教案
§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。
能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。
反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。
问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。
人教新课标版数学高一-必修一 1.3.2奇偶性
数学人教A 必修1第一章1．3.2 奇偶性1．了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义． 2．了解奇函数、偶函数图象的对称性． 3．会用定义判断函数的奇偶性．1．偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f (x )的定义域内______一个x ，都有f (－x )＝______ f (－x )＝______结论 函数f (x )叫做偶函数 函数f (x )叫做奇函数 图象特征 图象关于______对称 图象关于______对称(1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f (－x )与f (x )有意义，则－x 与x 同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．(2)函数f (x )是偶函数对定义域内任意一个x ，有f (－x )－f (x )＝0f (x )的图象关于y 轴对称．(3)函数f (x )是奇函数⇔对定义域内任意一个x ，有f (－x )＋f (x )＝0f (x )的图象关于原点对称．【做一做1－1】 函数y ＝f (x )，x [－1，a ](a ＞－1)是奇函数，则a 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定【做一做1－2】下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是()．A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f (x)C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)2．奇偶性基本初等函数的奇偶性如下：【做一做2－1】函数y＝x是()．A．奇函数B．偶函数C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【做一做2－2】函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__________.答案：1．任意f(x)－f(x)y轴原点【做一做1－1】 C【做一做1－2】D2．奇偶性【做一做2－1】A【做一做2－2】0理解函数的奇偶性剖析：函数f (x )的奇偶性的定义是用f (－x )＝±f (x )来刻画函数f (x )的图象的特征(图象关于原点或y 轴对称)的；函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同．从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的局部性质，而奇偶性是函数的整体性质．只有对函数f (x )的定义域的每一个值x ，都有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，才能说f (x )为偶函数或奇函数；定义中要求“对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量x ，都有f (－x )＝f (x ) (f (－x )＝f (x ))”成立，其前提为f (－x )和f (x )都有意义，所以－x 也属于f (x )的定义域，即自变量x 的取值要保持关于原点的对称性，于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集，这是函数存在奇偶性的前提．例如将函数f (x )＝x 2＋1，f (x )＝x 的定义域分别限定为(0，＋)与(－3,3]，那么它们都为非奇非偶函数；函数的奇偶性定义中的等式f (－x )＝－f (x )〔或f (－x )＝f (x )〕是其定义域上的恒等式，而不是对部分x 成立．如：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，|x |≤1，x ＋1，|x |>1，尽管当|x |≤1时，都有f (－x )＝f (x )，但当|x |＞1时，f (－x )≠f (x )，所以它不是偶函数．题型一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 4＋x 2＋1.分析：先求出定义域，再判断f (－x )与f (x )的关系． 反思：判断函数奇偶性的方法： (1)定义法：(2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．本题(1)容易错解为：由题意得f (x )＝2x 2＋2xx ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2xx ＋1是奇函数．其错误原因是没有讨论该函数的定义域．避免出现此类错误的方法是在讨论函数的奇偶性时，要遵循定义域优先的原则．题型二 利用函数奇偶性作图 【例2】 已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请在坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，并说明作图依据．分析：先证明f (x )是偶函数，再依据其图象关于y 轴对称作图．反思：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．题型三 利用函数的奇偶性求函数的解析式【例3】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (1－x )，求函数f (x )的解析式．反思：(1)若f (x )是奇函数，f (0)有意义，则f (0)＝0；(2)已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．题型四 易混易错题易错点 分段函数奇偶性的判断【例4】 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0的奇偶性．答案：【例1】 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＋1＝x 4＋x 2＋1＝f (x )，所以f (x )是偶函数．【例2】 解：∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．【例3】 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0， ∴f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x >0，0，x ＝0，x (1－x )，x <0.【例4】 错解：∵当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )；当x ≥0时，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴当x ＜0时，函数f (x )是偶函数；当x ≥0时，函数f (x )是奇函数．错因分析：“当x ＜0时，函数是偶函数；当x ≥0时，函数是奇函数”这种说法是错误的．函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断．正解：显然f (x )的定义域关于原点对称．当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3，f (x )＝x 2，于是f (－x )≠±f (x )，故函数f (x )既不是奇函数又不是偶函数．1函数f (x )＝x 4＋x 2( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2函数y ＝2(1)1x x x ++( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 3若函数f (x )满足()()f x f x -＝1，则f (x )图象的对称轴是( )．A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 4已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝21x +，试求f (x )的解析式． 5定义在[－3，－1][1,3]上的函数f (x )是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象． (2)比较f (1)与f (3)的大小．答案：1． B 定义域是R ，f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＝x 4＋x 2＝f (x )，所以函数是偶函数． 2． D 定义域是(－，－1)∪(－1，＋)，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数．3． B 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称． 4．解：当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝f (－x )＝21x -+， ∴f (x )＝2,0,12,0,1x x x x ⎧≥⎪⎪+⎨⎪<⎪-+⎩即f (x )＝21x +.5．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f (3)＜f (1)．。
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课时作业 15
一、选择题
1．[2014·荆州中学高一检测]下列各函数在其定义域中，既是奇函数，又是增函数的是
( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝－x 3
C ．y ＝－1x
D ．y ＝x |x |
解析：A 中函数不具有奇偶性；B 中函数在定义域内为减函数；C 中函数在定义域内不具有单调性．
答案：D
2．[2014·哈师大附中高一联考]已知x >0时，f (x )＝x －2012，且知f (x )在定义域上是奇函数，则当x <0时，f (x )的解析式是( )
A ．f (x )＝x ＋2012
B ．f (x )＝－x ＋2012
C ．f (x )＝－x －2012
D ．f (x )＝x －2012
解析：由f (－x )＝－f (x )，可知f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )－2012]＝x ＋2012.选A. 答案：A
3．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定是( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数也不是偶函数
解析：因为F (－x )＝f (－x )－f [－(－x )]＝
f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )，
所以F (x )是奇函数．
答案：A
4．[2014·福建六校高一联考]偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( ) A ．f (－1)>f (π3
)>f (－π) B ．f (π3
)>f (－1)>f (－π)
C ．f (－π)>f (－1)>f (π3
) D ．f (－1)>f (π)>f (π3
) 解析：由f (x )为偶函数可知
f (－1)＝f (1)，f (－π)＝f (π)．
又因f (x )在[0,4]上递减，
∴f (1)>f (π3
)>f (π)， 即f (－1)>f (π3
)>f (－π)．选A. 答案：A
二、填空题
5．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 4，则当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝________.
解析：当x ∈(0，＋∞)时，有－x ∈(－∞，0)，注意到函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．于是，有f (－x )＝－x －(－x )4＝－x －x 4＝f (x )．
答案：－x －x 4
6．f (x )，g (x )都是定义在R 上的奇函数，且F (x )＝3f (x )＋5g (x )＋2，若F (a )＝－2009，则F (－a )＝________.
解析：由f (x )，g (x )都是定义在R 上的奇函数，知f (a )＋f (－a )＝0，g (a )＋g (－a )＝0. 所以F (a )＋F (－a )＝3f (a )＋5g (a )＋2＋3f (－a )＋5g (－a )＋2＝4，所以F (－a )＝4－F (a )＝4＋2009＝2013.
答案：2013
7．已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个不同的交点，则这四个不同交点的横坐标之和为________．
解析：由题意可知函数f (x )的图象关于y 轴对称．所以函数f (x )的图象与x 轴的四个不同交点关于y 轴对称，因此四个不同交点的横坐标之和为0.
答案：0
三、解答题
8．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数y ＝f (x )是奇函数，其部分图象如图所示．
(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象．
(2)比较f (1)与f (3)的大小．
解：(1)因为f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．
(2)观察图象，知f (3)＜f (1)．
9．设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)＞0，求实数m 的取值范围．
解：由f (m )＋f (m －1)＞0，
得f (m )＞－f (m －1)，
即f (1－m )＜f (m )．
又∵f (x )在[0,2]上为减函数且f (x )在[－2,2]上为奇函数，∴f (x )在[－2,2]上为减函数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，
1－m ＞m ，
即⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤m ≤3，－2≤m ≤2，m ＜12，
解得－1≤m ＜12
. 因此实数m 的取值范围是[－1，12)．。