2021-2022年高一下学期第二次月考数学试题

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南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题(原卷+解析)

C选项，由于平面 , 平面，所以平面，所以点P到平面的距离是一个常数.
D选项，正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积是，D错误.
故选：ABC
三．填空题
13.化简：＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】化简得原式为，再进一步化简即得解.
【详解】原式＝
.
故答案为：1
【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
14.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
A.-6B.6C.8iD.-8i
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得，由此求得 .
【详解】依题意，
所以 .
故选：B
2.已知向量，，若，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得，根据平面向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】解：因为，，且，所以，解得
2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研
数学学科
一．单选题
1.设复数在复平面内的对应点关于实轴对称，则（）

山东省六校2020-2021学年高一6月“山东学情”联考数学试题(含参考答案)

山东学情2021年高一下学期第二次月考数学试题时间：120分钟分值：150分命题学校：聊城一中注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡指定位置一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一项符合题目要求.1.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则( ) A ． B ．5 C ．D ． 2.目前正开展新冠疫苗接种，接种重点人群是年龄在18-59岁的健康人员.某单位300名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取30名职工作为样本了解新冠疫苗的接种情况，则40岁以下年龄段应抽取（）A.6人B.9人C.15人D.20人3.已知向量则a 在b 上的投影向量坐标为（） 2525.(,0) .(,0) .(1,0) .(1,0)55A B C D -- 4.若一个圆锥和一个圆柱的轴截面分别是边长为m 的正三角形和边长为m 正方形，则这两个旋转体的侧面积之比为( )A. 1:3B.1:2C.3:4D.3:25.已知向量(3,1),O (1,2),O (6,5)OA B C x x =-=-=-+，若点A,B,C 能构成三角形，则x 的值不可以为（）. 2 . 1 .1 .2A B C D --6.四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，点Q 满足3PC PQ =，设四棱锥P ABCD -的体积为V ，则三棱锥Q PBD -的体积为（） (4836)VVVV A B C D (1,2),(2,0),a b ==-7. 已知向量,a b 满足：,601,(3,1),a b a b <>===-，则2a b -=( ) A.0 B.2 C.23.5D8.如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，12, 4.,,AD AA AB E M N ===分别是棱11,,C D AB BC 的中点，若点P 是平面11A ADD 内的动点，且满足1//PE B MN 平面，则线段PE 长度的最小值为( )A.5B.6C.2305D.22 二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，错选得0分，部分选对得2分.9.下列命题正确的是（）A ．复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2互为共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)D ．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i (i 是虚数单位)，它们对应的点分别为A ，B ，C ， O 为坐标原点，若OC xOA y OB →→→=+(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝510. 下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1；B.已知一组数据1, 2，m ，6, 7的平均数为4，则这组数据的方差是5；C.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23；D.若样本数据1021,,,x x x 的标准差为8，则数据12,,12,121021---x x x 的标准差为16.11.在空间中，,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列说法一定正确的是( )A.若//,//,//,m n αβαβ则//m nB.若α内的两条相交直线分别垂直于β内的两条相交直线，则αβ⊥C.若,m αβα⊥⊥，则存在n β⊂使得//m nD.若,m n 是异面直线，,,//,//m n m n αββα⊂⊂，则//αβ12.已知,,a b c 分别是三角形ABC 三内角A,B,C 的对边，且满足()(),3,a c b a b c ac b +-++==则下列说法正确的是（）.3A B π∠= 2.3B B π∠= .C △ABC 的面积最大值为34 .D △ABC 的面积最大值为334三.填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知i 是虚数单位，复数z ＝m 2(1＋i )－m (2＋3i )－4(2＋i )，当实数m =____时，z 是纯虚数.14.为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60m ；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m ，由此可推断我国13岁男孩的平均身高为_____________.15.如图，平面四边形,90,120,2ABCD B D A AB AD ∠=∠=∠===，将ACD ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，此时二面角B AC P --的大小为60，连接BP ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为 ;（2分）三棱锥P ABC -的体积为___________.（3分）16.正方形ABCD 棱长为1，点P 是边AD 上的动点，BE ⊥CP 于E,则PE PC ⋅的取值范围是 .四.解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)（1）已知关于x 的实系数方程20x mx n ++=，若12i +是方程20x mx n ++=的一个复数根，求出m ，n 的值；（2）已知z C ∈，3z i +，3z i-均为实数，且复数()2z ai +在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围.18.(12分)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解.某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛.现把50名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题：（1）求a 的值；（2）这50名党员成绩的众数、中位数及平均成绩；（3）试估计此样本数据的第90百分位数.19.(12分) 已知，，是ABC ∆中三内角，，所对的边，设ABC ∆面积为S ，22344S b c =+-，．（1）求角的值;（2）若ABC ∆的面积为3，求ABC ∆的周长．20.(12分) 如图，正三棱锥1111,2,1,ABC A BC AB AA M -==为棱BC 的中点. （1）证明：11//A B AMC 平面；（2）证明：平面1AMC ⊥平面11BCC B ；（3）求直线11AA AMC 与平面所成角的正弦值.21.（12分）如图，四棱锥P ABCD -，平面平面⊥PAD ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90,//,333BAD CD AB CD AB AD ∠====，PAD ∆为正三角形，,,E F G 在线段,,BC CD AP 上，2,2,2DF FC BE EC PG GA ===.（1）证明：//GBD PEF 平面平面；（2）求锐二面角G BD A --的正切值.22.（12分）三角形ABC 中，13AB =,点E 是边BC 上的动点，当E 为BC 中点时，3,150.AE AEB =∠=(1) 求AC 和ACB ∠;(2) F 是EA 延长线上的点，=EA AF ，当E 在BC 上运动时,求CE CF ⋅的最大值.a b c A B C 2a =A山东学情2021年高一下学期第二次月考数学试题参考答案一. 选择题：每小题5分，共40分1.A2.C3.D4.B5.B6.D7.B8.C二.多选题：每小题5分，共20分9.BCD 10.ACD 11.CD 12.BC三.填空题：每小题5分，共20分.13.-2 14. 1.56m 15.16π 16. 3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦四.解答题：本题共6个小题，共70分17.(10分)（1）由题得()()21110m n m n ++=-++++=，……2分100m n -++=⎧⎪∴⎨=⎪⎩解得23m n =-⎧⎨=⎩ ……5分（韦达定理亦可）（2）(),i z x y x y =+∈R ()33z i x y i R +=++∈3y ∴=-……6分.()()()()31133339331010z x i x i i x x i i i -==-+=++-⎡⎤⎣⎦--为实数，9x ∴=，……7分 93z i ∴=-.()()()()222813183726183z ai a a i a a a i +=--+-=+-+-，……8分 ∴由已知得27260,18(3)0,a a a ⎧+->⎨->⎩解得312a <<，即a 的取值范围是()3,12………10分18.（12分）（1）根据频率分布直方图得：()110016.0024.0030.0006.0004.0=⨯+++++a ，解得020.0=a . ………4分（2）有众数概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数为7528070=+， 3.010020.010006.010004.0=⨯+⨯+⨯∴前三个小矩形的面积的和为3.0，而第四个小矩形的面积为5.06.03.03.0,3.010030.0>=+=⨯∴中位数应位于[)80,70内，中位数=7.763230103.03.05.070≈=⨯-+……6分平均成绩为 ()()()()()()2.7610016.09510024.08510030.07510020.06510006.05510004.045=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ………8分（3）前5个小组的频率之和是()84.010024.0030.0020.0006.0004.0=⨯++++，…10分所以第90百分位数在第五小组[]100,90内，为75.9343751084.0184.090.090==⨯--+ ……12分 19.（12分）（1）由22344S b c =+-得2243(4)S b c =+-，又，得2222sin 3()23cos bc A b c a bc A =+-=，……3分tan 3A =，(0,)3A A ππ∈∴=． ………6分（2）因为三角形的面积为3，所以13322bc ⨯=，则4bc =，……8分又，3A π=，由余弦定理可得，即22224()3()12b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，所以4b c +=， ……10分因此ABC ∆的周长为6a b c ++=． ……12分20.（12分）（1）证明：如图，连接1AC 交1AC 于点N ，则N 为1AC 的中点M BC 是的中点 11//A BC MN A B ∴∆在中，111,MN AMC A B AMC ⊂⊄平面平面11//A B AMC ∴平面……4分（2）证明：ABC M BC ∆在是正三角形，是的中点AM BC ∴⊥1CC ABC ⊥平面1CC AM ∴⊥ ……6分111111,=CC BCC B BC BCC B CC BC C ⊂⊂⋂平面平面,且11AM BCC B ∴⊥平面 ……7分2a =ABC 2a =2222cos a b c bc A =+-1AM AMC ⊂平面111AMC BCC B ∴⊥平面平面 ……8分（3）111AMC BCC B ⊥平面平面，且交线为1MC11BCC B ∴在平面内作1,CP MC ⊥则1CP AMC ⊥平面11//AA CC 1CC P ∴∠即为直线11AA AMC 与平面所成角……10分在1Rt MC C ∆中，111,12C C MC BC === 112sin sin 2CC M CC P ∴∠=∠= ∴直线11AA AMC 与平面所成角的正弦值为22 ……12分 21.（12分）（1）证明：2,2DF FC BE EC ==BCD ∴∆在中//EF BD ,EF PEF BD PEF ⊂⊄平面平面//BD PEF ∴平面……2分连接,AF BD 交于点H ，由题意得1,2AB ABH FDH FD ∆∆=∽且 11,22AH HF AG GP ∴==又//AFP GH PF ∴∆在中 ,PF PEF GH PEF ⊂⊄平面平面//GH PEF ∴平面……4分 ,,=GH GBD BD GBD GH BD H ⊂⊂⋂平面平面且//GBD PEF ∴平面平面 ……6分（2）过点G 作GM AD ⊥，平面PAD ABCD ⊥平面GM ABCD ∴⊥平面易得133326GM =⨯=……8分在平面ABCD 内作MN BD ⊥，垂足为N ，易证BD MNG ⊥平面 ,GN GBD MN ABD ⊂⊂平面平面MNG ∴∠即为二面角G BD A --的平面角或其补角 ……10分5tan 6MN Rt MNG MNG ==∴∆∠=在中 ∴锐二面角G BD A --的正切值为5……12分 22.(12分)(1),E BE x =解：当为中点时，设则由余弦定理得2+cos 2x AEB x -⋅∠==解得， …….3分 =230CE AEC ∠=此时，1,60AC ACB =∠=由余弦定理得……6分(2),,EA AF CE CA AE CF CA AF CA AE ==+=+=-由得，………8分22()()CE CF CA AE CA AE CA AE ⋅=+⋅-=-所以，21AE =- ………10分 AE AE BC ⊥所以，当最小即时上式最大， min 31,.24AECE CF =⋅此时所以的最大值为 ………12分 (3)。

2021-2022学年上海市七宝中学高一下学期3月月考数学试卷(含详解)

七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C .3144+AB ACD.1344+AB AC15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15m αβ-=-．七宝中学2021学年第二学期高一年级3月练习数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分60分，每题5分）1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=__________【答案】35-##0.6-【解析】【分析】根据已知直线得到tan θ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出2cos θ的值，然后根据二倍角余弦公式即可求解．【详解】根据题意可知：tan 2θ=，所以22222cos 11cos sin cos tan 15θθθθθ===++，所以213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=-.故答案为：35-.2.函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】 2π.【解析】【分析】将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.【详解】函数()2sin 2f x x ==142cos x -,周期为2π【点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.3.设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3sin 5sin b c a A B +==，则角C =__________.【答案】23π【解析】【分析】根据正弦定理到35a b =，75c a =，再利用余弦定理得到1cos 2C =-，得到答案.【详解】3sin 5sin A B =，则35a b =，2b c a +=，故75c a =.根据余弦定理：22222294912525cos 32225a a a abc C ab a a +-+-===-⋅，故23C π=.故答案为：23π.【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.4.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴,则ϕ=.【答案】4π【解析】【详解】因为直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图象的两条相邻的对称轴，所以5244T πππ=-=，所以22T ππω==，1ω=，所以()sin()f x x φ=+，又因为4x π=是()f x 的一条对称轴，所以,42k k Z ππϕπ+=+∈，而0φπ<<，所以4πφ=．5.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.【答案】1【解析】【详解】由题意知：()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+=()()sin[]2sin cos x x ϕϕϕϕ++-+=()sin cos x ϕϕ++()cos sin x ϕϕ+-()2sin cos x ϕϕ+=()cos sin x ϕϕ+-()sin cos x ϕϕ+=()sin[]x ϕϕ+-=sin x ，即()sin f x x =，因为x R ∈，所以()f x 的最大值为1.考点：本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解，熟练公式是解答好本类题目的关键.6.若向量a 与b共线，且1==a b r r ，则+= a b ______．【答案】0或2【解析】【分析】由题可知a 与b相等或互为相反向量，据此即可求a b + 【详解】向量a 与b 共线，且a b = ，∴a 与b相等或互为相反向量，当a 与b相等时，22a a b ==+ ，当a 与b互为相反向量时，0=0a b =+ ．故答案为：0或2．7.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为___________．【答案】8【解析】【详解】试题分析：因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.考点：余弦定理及三角形面积公式的运用．【易错点晴】本题的设置将面积与余弦定理有机地结合起来,有效地检测了综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力.求解时先借助题设条件和三角形的面积公式及余弦定理探究出三边的关系及,先求出,在运用余弦定理得到.8.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则a b +的值等于______．【答案】56【解析】【分析】作出y ＝πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在[－1，1]上的图像，作出符合题意的y ＝x a b --的图像即可求出a 、b ，从而得到答案．【详解】设函数y=πsin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，下面分析它们的性质，以作出它们的图像.①对函数y=πsin π6x ⎛⎫+⎪⎝⎭，[]1,1x ∈-时，π5π7ππ[,666x +∈-，∴当5πππ066x -+ 或π7πππ66x + ，即116x -- 或516x时，πsin π06x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当π0ππ6x <+<，即1566x -<<时，πsin π06x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭．②对(),,x a b x a f x x a b x a b x a -+-<⎧=--=⎨--⎩，则()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),a +∞上单调递增，且()f x 的图像关于直线x a =对称.若不等式()πsin π06x a b x ⎛⎫--+⎪⎝⎭对[]1,1x ∈-恒成立，则当116x --或516x时，0x a b -- ；当1566x -<<时，0x a b -- ．为使f (x )满足上述条件，其图像仅能如图所示：15066f f ⎛⎫⎛⎫∴-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1516623a -+∴==，又5510663f b ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则12b =，115326a b ∴+=+=﹒故答案为：56﹒9.已知函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>,x ∈R ,若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为________．【答案】π2【解析】【详解】由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ422ωω+=⇒=考点:本题主要考查三角函数的性质.10.已知函数()tan()(0,2f x A x πωϕωϕ=+><，()y f x =的部分图像如下图，则()24f π=____________.【解析】【分析】先求出周期，从而可得ω，代入38x π=函数值为0，结合已知ϕ的范围，可求得ϕ，最后由(0)1f =可得A ．【详解】由题意3()2882T πππ=-⨯=，∴22T ππωπ===，又3tan(2)08πϕ⨯+=，3()4k k Z πϕπ+=∈，而2πϕ<，∴4πϕ=，(0)tan(20)14f A π=⨯+=，1A =，∴()tan(2)4f x x π=+，∴(tan(2)tan 242443f ππππ=⨯+==．【点睛】本题考查正切函数的图象与性质，解题时必须掌握正切型函数的周期、零点等知识．本题属于基础题型．11.函数2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+的零点个数为_________．【答案】2【解析】【详解】因为2π()4coscos()2sin ln(1)22x f x x x x =---+所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数有2个零点．考点：二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点．12.给出下列四个命题：①在ABC 中，若π2C >，则sin cos A B <；②已知点()0,3A ，则函数3sin y x x =-的图象上存在一点P ，使得1PA =；③函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关；其中真命题的序号是______．（把你认为是真命题的序号都填上）【答案】①③【解析】【分析】根据三角形为锐角三角形，结合三角函数的单调性，可判断①；化简3sin y x x =-，结合其图象，可判断②；谈论b 是否为0，分析函数的周期情况，判断③.【详解】对于①，在ABC 中，若π2C >，则π2A B +<,故π022A B π<<-<，故sin sin()cos 2A B B π<-=,故①正确；对于②，3sin 2cos()6y x x x π=-=+，作出其靠近y 轴部分图象如图示：由图象可知，函数3sin y x x =-的图象上不存在点P ，使得1PA =，故②错；对于③，当0b =时，211cos cos 222y x c x c =+=++，该函数的周期为π，与c 无关，当0b ≠时，211cos 2cos cos 22cos 22y x b x c x b x c =++=+++，该函数的周期为2π，与c 无关，故函数2cos 2cos y x b x c =++是周期函数，且周期与b 有关，与c 无关，③正确，故答案为：①③二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A.f (x )=│cos 2x │B.f (x )=│sin 2x │C.f (x )=cos│x │D.f (x )=sin│x │【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos 2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间(,)42ππ单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；14.在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144+AB ACD.1344+AB AC【答案】A 【解析】【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+ ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC=+=+=++1113124444BA BA AC BA AC=++=+，所以3144EB AB AC =-，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.15.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A 处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东21 方向，且塔顶的仰角为81 ，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达B 处，此时测得塔底位于北偏西39 方向，则该塔的高度约为（）A.265米B.279米C.292米D.306米【答案】C 【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用三角形的边角关系，即可求出该塔的高度．【详解】如图所示，△ABC 中，AB ＝1000，∠ACB ＝21°+39°＝60°，∠ABC ＝90°﹣39°＝51°；由正弦定理得，10005160AC sin sin =︒︒，所以AC 10005160sin sin ⋅︒=︒；Rt △ACD 中，∠CAD ＝18°，所以CD ＝AC •tan 18°10005160sin sin ⋅︒=⨯︒tan 18°10000.77710.8660⨯=⨯0.3249≈292（米）；所以该塔的高度约为292米．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的边角关系的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．16.已知函数21(),()sin 4f x xg x x =+=，则图象为如图的函数可能是（）A.1()()4y f x g x =+- B.1()()4y f x g x =--C.()()y f x g x = D.()()g x y f x =【答案】D【解析】【分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ；对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C.故选：D.三、解答题（本大题共有4题，满分70分）17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+055-0（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值．【答案】（Ⅰ）π()5sin(26f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】【详解】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ12π37π125π613π12sin()A x ωϕ+0505-0且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(26f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18.在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝2A ．（1）求cos A 的值；（2）求c 的值．【答案】（1）3；（2）．【解析】【详解】(1)因为a ＝3，b ＝，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得sin a A ＝sin 2A.所以2sin cos sin A A A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B)＝sin Acos B ＋cos Asin B ＝9.所以c ＝sin sin a CA＝5.19.为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD ，30AB m =，15AD m =．为保护D 处的一棵古树，有关部门划定了以D 为圆心、DA 为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB 边上的点E ，出线口为CD 边上的点F ，施工要求EF 与封闭区边界相切，EF 右侧的四边形地块BCFE 将作为绿地保护生态区（计算长度精确到0.1m ，计算面积精确到20.01m ）（1）若20ADE ∠=︒，求EF 的长；（2）当入线口E 在AB 上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）23.3m（2）AE =2255.14m .【解析】【分析】（1）作DH EF ⊥，结合三角函数的顶柜表示出EF ，即可求出结果；（2）设ADE θ∠=，结合三角函数的顶柜表示出,AE FH ，然后表示出面积，结合诱导公式以及正切的二倍角公式进行化简，进而结合不等式即可求出结果.【小问1详解】作DH EF ⊥，垂足为H ，连接DE ，则EF EH HF =+15tan 2015tan 50=+ 23.3m ≈，【小问2详解】设ADE θ∠=，则()15tan ,15tan 902AE FH ==-θθ，2ADEF ADE DFHS S S =+ ()1121515tan 1515tan 90222=⨯⨯⨯+⨯⨯- θθ15130tan 152tan 2⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ2151tan 30tan 1522tan ⎛⎫-=+⨯ ⎝⎭θθθ22513tan 4tan ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭θθ，因为tan 0θ>，所以13tan tan +≥θθ，当且仅当13tan tan θθ=，即3tan 3θ=时，等号成立，此时2ADEF S =，且15tan AE ==θ，所以最大面积为222531530255.14m 2⨯-≈.20.已知函数()f x 的图象是由函数()cos g x x =的图象经如下变换得到：先将()g x 图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π2个单位长度．（1）求函数()f x 的解析式，并求其图象的对称轴方程；（2）已知关于x 的方程()()f x g x m +=在[)0,2π内有两个不同的解α，β．求实数m 的取值范围；（3）在第（2）的条件下，证明：()22cos 15mαβ-=-．【答案】（1）()2sin f x x =；对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈（2）(（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律可得：()2sin f x x =，从而可求对称轴方程．（2）由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得()())f x g x x ϕ+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=，从而可求|1<，即可得解．（3）由题意可得sin()αϕ+=sin()βϕ+=．当0m ≤<可得2()αβπβϕ-=-+，当0m <<时，可得32()αβπβϕ-=-+，利用三角函数诱导公式以及倍角公式即可证明结论.【小问1详解】将()cos g x x =的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图象，再将2cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到2cos()2y x π=-的图象，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图象的对称轴方程为(Z)2x k k ππ=+∈．【小问2详解】()()2sin cos ))f xg x x x x x x ϕ+=+=+=+（其中sin ϕ=cos ϕ=依题意，sin()x ϕ+=[0，2)π内有两个不同的解α，β，当且仅当|1<，故m 的取值范围是(．【小问3详解】因为α，β)x m ϕ+=在区间[0，2)π内的两个不同的解，所以sin()αϕ+=，sin()βϕ+=．当0m ≤<2()2παβϕ+=-，即2()αβπβϕ-=-+；当0m <<时，32()2παβϕ+=-，即32()αβπβϕ-=-+；所以2222cos()cos 2()2sin ()1115m αββϕβϕ-=-+=+-=-=-．。

精品解析：福建师范大学第二附属中学2022-2023学年高一3月月考数学试题(解析版)

福建师大二附中2021-2022学年第二学期高一年段月考数学试题一､选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,3,5}M =,{3,4}U N =ð,则M N = （）A. {1} B. {1,2}C. {1,5}D. {1,2,5}【结果】C 【思路】【思路】依据集合地交集和补集地概念即可求出结果.【详解】由题意可得{1,2,5}N =,则{1,5}M N ⋂=.故选：C.2. 已知向量()7,6AB = ,()3,BC m =- ,()1,2AD m =-,若A ,C ,D 三点共线,则m =（）A.32B.23C. 32-D. 23-【结果】D 【思路】【思路】依据三点共线地向量表示即可求解.【详解】(4,6)AC AB BC m =+=+,因为A ,C ,D 三点共线,所以AC 与AD共线,所以42(6)m m ⨯=-+,解得m =23-．故选：D.3. 下面表达正确地个数为（）①面积，压强，速度，位移这些物理量都是向量②零向量没有方向③向量地模一定是正数 ④非零向量地单位向量是唯一地A. 0B. 1C. 2D. 3【结果】A 【思路】【思路】依据向量地定义和性质,逐项判断正误即可.【详解】①错误,只有速度,位移是向量．②错误,零向量有方向,它地方向是任意地．③错误,|0|0.=④错误,非零向量a 地单位向量有两个,一个与a 同向,一个与a反向．故选：A.4. 已知弧长为3π地弧所对地圆心角为6π,则该弧所在地扇形面积为（）A.B.1π3C.2π3D.4π3【结果】B 【思路】【思路】先求得扇形地半径,由此求得扇形面积.【详解】依题意,扇形地半径为π32π6=,所以扇形面积为1ππ2233⋅⋅=.故选：B5. 在ABC 中,内角,,A B C 地对边分别为,,a b c ,已知5c =,23B π=,ABC,则b =（）A. B. 7C. D. 6【结果】B 【思路】【思路】依据5c =,23B π=,ABC,求得a ,再利用余弦定理求解.【详解】因为5c =,23B π=,ABC,所以112sin 5sin 223ABC πS ac B a ==⨯⨯=,解得3a =,由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-,2925253cos493π=+-⨯⨯⨯=,所以7b =,故选：B6. 已知函数()f x 是定义在R 上地奇函数,()(4)f x f x =+,且(1)1f -=-,则(2020)(2021)f f +=（）A. 1- B. 0C. 1D. 2【结果】C 【思路】【思路】由()(4)f x f x =+得函数地周期性,由周期性变形自变量地值,最后由奇函数性质求得值．【详解】∵()f x 是奇函数,∴(0)0,(1)(1)1f f f ==--=,又()(4)f x f x =+,∴()f x 是周期函数,周期为4．∴(2020)(2021)(0)(1)011f f f f +=+=+=．故选：C ．7. 如图,圭表是中国古代通过测量日影长度来确定节令地仪器,也是作为指导汉族劳动人民农事活动地重要依据,它由“圭”和“表”两个部件组成,圭是南北方向水平放置测定表影长度地刻板,表是与圭垂直地杆,正午时太阳照在表上,通过测量此时表在圭上地影长来确定节令.已知冬至和夏至正午时,太阳光线与圭所在平面所成角分别为α,β,测得表影长之差为l ,那么表高为（）A.tan tan tan tan l αβαβ- B.()tan tan tan tan l βαβα- C.tan tan tan tan l βαβα- D.()tan tan tan tan l αβαβ-【结果】C【思路】【思路】由题意画出图形,找出线面角,设AB x =,然后求解三角形得结果.【详解】如图,设表高AB x =,在ACD △中,CAD βα∠=-,由正弦定理有sin sin sin()AC CD lCAD αβα==∠-,所以sin sin()l AC αβα⋅=-,在直角三角形ABC 中,sin ABACβ=,即sin sin sin sin sin sin()sin cos cos sin l x AC l αβαβββαβαβα⋅=⋅==⋅--tan 1tan tan 1tan tan tan l l ββαααβ-==-.故选：C8. 已知△ABC 地内角A ,B ,C 地对边分别为a ,b ,c ,若2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）,则当角C 得到最大值时,B =（）A.3πB.56πC.2πD.23π【结果】D 【思路】【思路】利用正弦定理, 把2sin ()(sin sin )c C a b B A =+-转化成只含有边地等式, 然后利用余弦定理及基本不等式求得cos C 地最小值, 即可求解.【详解】2c sin C =（a +b ）（sin B -sin A ）中利用正弦定理, 得22()()c a b b a =+- ,即2222b a c -=,则由余弦定理得222223cos 24a b c a b C ab ab+-+==,由均值不等式得2234a b ab +=…当且仅当b =时等号成立, 则易知角C 地最大值为6π.当b =时, 22232a a c -=,则a c =,所以2,6663A CB πππππ===--=, 故选：D.二､多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分9. 下面结论正确地是（）A. 在ABC 中,若A B >,则sin sin A B>B. 在锐角三角形ABC 中,不等式2220b c a +->恒成立C. 在ABC 中,若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D. 在ABC 中,若360b A ==︒，,三角形面积S =,【结果】ABC 【思路】【思路】利用三角形“大角对长边”和正弦定理即可判断A 。

安徽省阜阳市红旗中学2023-2024学年高一下学期第二次月考(5月)数学试题(含答案)

2023—2024学年高一年级第二学期第二次月考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。

选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.2.在中，D 是BC 边上的中点，则（）A. B. C. D.3.已知m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则4.如图，的斜二测画法的直观图是腰长为2的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（）A. B.4 C. D.5.在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A.，，B.，C.，， D.，，6.已知不共线平面向量，在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（）A. B. C. D.z ()1i z 12i +=-z 3i 2-32-12-1i2-ABC △AB = 2AD AC - 2AD AC - 2AD AC + 2AD AC +αβ//m α//n α//m n //m α//m n n α⊥//αβm α⊥//n βm n ⊥//m n n α⊂//m αOAB △y 'A B ''AB =ABC △4a =5b =6c =a =2b =45A =︒10a =45A =︒70B =︒3a =2b =60A =︒a b c ()a b c +⊥ ()a b c -⊥ ()//a b c + ()//a b c -7.已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，平面ABC ，，，若三棱锥P -ABC，则球O 的表面积为（）A. B. C. D.8.在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术可以视为将一个圆内按正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 越大，等腰三角形的面积之和越近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到的近似值为（）（取近似值3.14）A.0.039 B.0.079 C.0.157 D.0.314二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高一下学期第二次月考数学试题(含答案)

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二学期第二次月考高一年级数学试题满分150 时间：120分钟一、单项选择题（每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 以3i 2-的虚部为实部，以23i 2i +的实部为虚部的复数是（）A. 33i - B. 3i + C. 22i -+ D. 22i+【答案】A 【解析】【分析】确定所求复数的实部和虚部，即可得解.【详解】复数3i 2-的虚部为3，复数23i 2i 32i +=-+的实部为3-，故所求复数为33i -，故选：A.2. 下列命题中，正确的是（）A. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B. 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C. 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D. 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱【答案】D 【解析】【分析】根据直棱柱，正棱锥，长方体，正棱柱的结构特征及定义逐一判断即可.【详解】解：对于A ，因为侧棱都垂直于底面的棱柱叫直棱柱，当两个侧面是矩形时，不能保证所有侧棱都垂直于底面，这样的棱柱不是直棱柱，故A 错误；对于B ，侧棱都相等且底面是正多边形的棱锥叫做正棱锥，故B 错误；对于C ，当底面不是矩形时，这样的四棱柱不是长方体，故C 错误；对于D ，因为棱柱的侧棱平行，则相邻两个侧面与底面垂直，可得所有的侧棱与底面都垂直，所以底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱，故D 正确.故选：D .3. 已知ABC V 中，4,30a b A ===°，则B 等于（）A. 60°或120°B. 30°或150°C. 60°D. 30°【答案】A 【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得解.【详解】解：ABC V 中，因为4,30a b A ===°，所以B A >，因为sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a ==，又0180A <<°°，所以60B =°或120°.故选：A .4. 若复数z 满足()212i z i +=-，则复数z 所对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【详解】解：由题意可得：122iz i -====+ ,据此可知：复数z 所对应的点位于第四象限.本题选择D 选项.5. 已知平面向量,a b rr 满足3,2a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60°,若()a mb a -^r r r ,则实数m 的值为（）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】,a b r r的夹角为60o ，且3,2a b ==r r ，则·32cos 603a b =´´=o r r ，又由()a mb a -^r r r ，可得()·0a mb a -=r r r ，变形可得2·a ma b=r r r ，即93m =´ ，解可得3m = ，故选D.6. ABC D 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B p=，4C p=，则ABC D 的面积的为A. 2+B.1+C. 2-D.1-【答案】B 【解析】详解】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．7. 已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥体积的最大值为36,则球的表面积为（）A. 36πB. 64πC. 144πD. 256π【答案】C 【解析】【详解】如图所示，当点C 位于垂直于面AOB 的直径端点时，三棱锥O ABC -的体积最大，设球O 的半径为R ，此时2311136326O ABC C AOB V V R R R --==´´==，故6R =，则球O 的表面积为24144S R p p ==，故选C ．考点：外接球表面积和椎体的体积．8. 向量()1,1a =-r ，且向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则a b ×r r 的取值范围是（）A. ()1,1- B. ()1,-+µ【C. ()1,+µD. (),1-µ【答案】B 【解析】【分析】根据共线向量定理，结合条件列出方程，即可得到结果.【详解】因向量a r与向量2a b +r r 方向相同，则存在实数,0l l >，使得()2a a bl =+r r r 即()12a bl l -=r r所以12b a l l -=r r，因为()1,1a =-r ，所以22a =r 所以2112ab a l ll l --×=×=r r r 因为0l >，所以1a b ×>-r r故选:B .二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9. 在ABC V 中，222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，则A 可以是（）A.π12B.6p C.π3D.2π3【答案】ABC 【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求得cos A 的取值范围，可求得角A 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】在ABC V 中，设内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，因为222sin sin sin sin sin A B C B C +-≤，可得222b c a bc +-³，则2221cos 22b c a A bc +-=³，0πA <<Q ，π03A \<£.故选：ABC.10. 下列命题中错误的有（）A. 若平面内有四点A B C D 、、、，则必有AC BD BC AD +=+uuu r uuu r uuu r uuu r；为B. 若e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =r r r ；C. 3a a a a =r r r r g g ；D. 若a r 与b r 共线，又b r 与c r 共线，则a r 与c r必共线；【答案】BCD 【解析】【分析】利用平面向量的减法化简判断选项A ；由向量共线以及单位向量的性质判断选项B ；由数量积的运算判断选项C ，由向量共线以及零向量的性质判断选项D ．【详解】对于A ，AC BD BC AD -=-uuu r uu uuu r Q u r uuu r ，AC BD BC AD \+=+uuu r uuu r uuu r uuu r，正确；对于B ，e r为单位向量，且//a e r r ，则a a e =±r r r ，错误；对于C ，23a a a a a a =¹r r r r r r g g g ，错误；对于D ，若0b =r r ，则a r 与b r 共线，b r 与c r 共线，而a r 与c r不确定，错误；故选：BCD11. 在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，则下列结论中正确的是（）A. 平面PAB ^平面PADB. 平面PAB ^平面PBCC. 平面PBC ^平面PCDD. 平面PCD ^平面PAD【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA AB AB AD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以AB ^平面PAD ，又由AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ^平面PAD ，所以A 正确；对于B 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA BC AB BC ^^，且PA AB A =I ,,PA AB Ì平面PAB ，所以BC ^平面PAB ，又由BC Ì平面PBC ，所以平面PAB ^平面PBC ，所以B 正确；对于C 中，假设平面PBC ^平面PCD ，过点B 作BE PC ^，可得BE ^平面PCD ，因为CD Ì平面PCD ，所以BE CD ^，又由CD BC ^，且BE BC B =I ，所以CD ^平面PBC ，可得CD PC ^，这与CD PD ^矛盾，所以平面PBC 与平面PCD 不垂直，所以C 不正确；对于D 中，由已知PA ^底面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以,PA CD AD CD ^^，且PA AD A Ç=,,PA AD Ì平面PAD ，所以CD ^平面PAD ，又由CD Ì平面PCD ，所以平面PCD ^平面PAD ，所以D 正确.故选：ABD.12. 已知函数()sin f x x x =,则下列命题正确的是（）A. 函数π()(0,)2f x x éùÎêúëû的单调递增区间是π0,6éùêúëû；B. 函数()f x 的图象关于点π(,0)6-对称；C. 函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π6；D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1237π3x x x ++=．【答案】ACD 【解析】【分析】根据辅助角公式把函数的关系变形为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质应用即可判断各选项.【详解】由()sin f x x x =，得()π2sin 3f x x æö=+ç÷èø.对于A ，当π0,2x éùÎêëû时，ππ56π,33x éù+Îêúëû，当πππ332x £+£即π06x ££时，函数()f x 单调递增，所以函数()f x 单调递增区间为π0,6éùêúëû，故A 正确；对于B ，当π6x =-时，ππππsin sin f æöæö-=-+==¹ç÷ç÷èøèø22106636，故B 不正确；对于C ，函数()f x 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，得到()πsin g x x m æö=++ç÷èø23所得的图象关于y 轴对称，所以πππ(Z)m k k +=+Î32,解得ππ(Z)m k k =+Î6，当0k =时，m 的最小值是π6，故C 正确；对于D ，如图所示，实数m 使得方程()f x m =在[]02π，上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则必有0x =，或2πx =，此时()πsin f x x æö=+=ç÷èø23π3.所以1237π3x x x ++=，故D 正确.故选：ACD.5分，共20分）13. 计算100的结果为______.【答案】1-【解析】【分析】先求出41=-，所以100425´=，代入即可得出答案.)i 1==+，)()221i 12i i 2ù=+==úû，42i 1==-，所以()1004252511´==-=-.故答案为：1-14. 在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______ .【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF ，DF ，则AF BC ^，DF BC ^，即AFD Ð为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC V 中，sin 60AF AB==o sin 60DF BD ==o由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-Ð===××.故答案为：13.15. 若向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p，则a b -=rr ________．【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律求得2a b -r r的值，进而可求得a b -r r 的值.【详解】由于向量a r 、b r 满足1a =r ，2b =r ，且a r 与b r 的夹角为3p ，则cos 13a b a b p ×=×=r r r r ，()222223a b a ba ab b -=-=-×+=r r r rr r r r Q，因此，a b -=r r .【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，考查计算能力，属于基础题.16. ABC V 中60B =o，AC =2AB BC +最大值______．【答案】【解析】【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案.详解】设AB c =，AC b =，BC a =，由余弦定理：222cos 2a c b B ac+-=，所以2223a c ac b +-==，设2c a m +=，则2c m a =-，代入上式得227530a am m -+-=，方程有解，所以28430m D =-³，故m £，当m =时，此时a =，c =，符合题意，因此最大值为.故答案为：.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应有文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知三个点A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．（1）求证：AB uuu r ⊥AD uuu r；（2）要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标．【答案】（1）证明见解析（2）(0，5)【解析】【分析】（1）计算AB AD ×uuu r uuu r得其为0可证；（2）由AB uuu r ＝DC uuu r可得C 点坐标．【小问1详解】证明：A (2，1)，B (3，2)，D (－1，4)．∴AB uuu r ＝(1，1)，AD uuu r＝(－3，3)．【又∵AB uuu r ·AD uuu r ＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB uuu r ⊥AD uuu r .【小问2详解】∵AB uuu r ⊥AD uuu r ，若四边形ABCD 为矩形，则AB uuu r ＝DC uuu r.设C 点的坐标为(x ，y )，则有(1，1)＝(x ＋1，y －4)，∴11,41,x y +=ìí-=î∴0,5.x y =ìí=î∴点C 的坐标为(0，5)．18. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，D 是1CC 的中点，F 是1A B 的中点.（1）求证：//DF 平面ABC ；（2）求证：AF BD ^ .【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，证明出四边形CDFE 为平行四边形，可得出//DF CE ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出CE ^平面11AA B B ，可得出CE AF ^，可得出AF DF ^，再证明出1AF A B ^，利用线面垂直的判定定理与性质定理可证得结论成立.【小问1详解】证明：取AB 的中点E ，连接CE 、EF ，如下图所示：在正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，因为E 、F 分别为AB 、1A B 的中点，则1//EF AA 且112EF AA =，D Q 为1CC 的中点，则1CD AA //且112CD AA =，//CD EF \且CD EF =，所以，四边形CDFE 为平行四边形，故//DF CE ，DF ËQ 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，因此，//DF 平面ABC .【小问2详解】证明：1AA ^Q 平面ABC ，CE Ì平面ABC ，1CE AA \^，ABC Q V 为等边三角形，E 为AB 的中点，则CE AB ^，1AB AA A Ç=Q ，AB 、1AA Ì平面11AA B B ，CE \^平面11AA B B ，AF ÌQ 平面11AA B B ，则AF CE ^，//DF CE Q ，AF DF \^，1AB AA =Q ，F 为1A B 的中点，则1AF A B ^，1A B DF F =Q I ，1A B 、DF Ì平面1A BD ，AF \^平面1A BD ，BD ÌQ 平面1A BD ，AF BD \^.19. 当实数m 为何值时，复数()()2281532i 8z m m m m -+-+=+在复平面内的对应点满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于实轴负半轴上（不含原点）；（3）在上半平面（含实轴）．【答案】（1）73m -<<（2）4m =（3）7m £-或4m ≥【解析】【分析】（1）由实部大于0且虚部小于0列出不等式组求解；（2）由实部小于0且虚部等于0列式求解；（3）由虚部大于或等于0列出不等式求解．【小问1详解】要使点位于第四象限，则有228150,3280,m m m m ì-+>í+-<î∴35,74,m m m <>ìí-<<î或∴73m -<<；【小问2详解】要使点位于实轴负半轴上（不含原点），则有228150,3280,m m m m ì-+<í+-=î∴35,74,m m m <<ìí=-=î或∴4m =；【小问3详解】要使点在上半平面（含实轴），则有20328m m +-³，解得7m £-或4m ≥．20. 已知ABC V 的三边长分别是3AC =，4BC =，5AB =，以AB 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．【答案】845p ，485p 【解析】【分析】根据旋转体的定义，明确组合体是由同底的两个圆锥组成的，结合圆锥的侧面积和体积公式可得答案.【详解】如图，在ABC V 中，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D .由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，知AC 2＋BC 2＝AB 2，则AC ⊥BC ，∵BC ·AC ＝AB ·CD ，∴CD ＝125，记为r ＝125，那么ABC V 以AB 所在直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r ＝125，母线长分别是AC ＝3，BC ＝4，所以S 表面积＝πr ·(AC ＋BC )＝π×125×(3＋4)＝845π，V ＝13πr 2(AD ＋BD )＝13πr 2·AB ＝13π×12()52×5＝485π.21. 在锐角三角形ABC V 中，角,,A B C 对边分别为,,a b c2sin 0b A -=．（1）求角B 的大小；（2）若5a c +=，且,a c b >=，求AB AC ×u u u r u u u r的值．的【答案】（1）3B p=；（2）1AB AC ×=uuu r uuu r ．【解析】【分析】（1）利用正弦定理，直接计算求解即可.（2）利用余弦定理，计算求出cos A ，然后，利用向量的内积公式，即可求解.【小问1详解】2sin 0b A -=2sin sin 0A B A -=，因为sin 0A ¹，所以sin B =，又B 为锐角，所以3B p =．【小问2详解】由（1）知，3B p =，因为b =，所以根据余弦定理得2272cos 3a c ac p =+-，整理得2()37a c ac +-=，又5a c +=，所以6ac =，又a c >，所以3,2a c ==，于是222cos 2b c a A bc +-===所以||||cos 21AB AC AB AC A ×===uuu r uuu r uuu r uuu r ．22. 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ======（1）求证：AO ^平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；（3）求点E 到平面ACD 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）（3【解析】【分析】（1）根据线面垂直判定定理，结合勾股定理和等腰三角形的性质，可得答案；（2）根据异面直线夹角的定义，结合中位线性质和余弦定理，可得答案；（3）根据等体积法，结合三角形面积公式，可得答案.【小问1详解】证明：,,.BO DO AB AD AO BD ==\^Q 则222AO BO AB +=，即1AO =，,,.BO DO BC CD CO BD ==\^Q 则222CO BO BC +=，即CO =，在AOC △中，由已知可得2222,AC AO CO AC =\+=，.AO OC ^BD OC O Ç=Q ，,BD OC Ì平面BCD ，AO \^平面BCD【小问2详解】取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知,ME AB OE DC ////\直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角在OME V 中，111,22EM AB OE DC ====OM Q 是直角AOC △斜边AC 上的中线，11,2OM AC \==222cos 2OE EM OM OEM OE EM +-\Ð==××\异面直线AB 与CD 所成角的大小为；【小问3详解】设点E 到平面ACD 的距离为.h 11,.33E ACD A CED ACDCED V V h S AO S --=\××=××V V Q 在ACD △中，2,CA CD AD ===12ACD S ==\V 而11,12CED AO S ===V，AC CED D AO S h S ×\===V V \点E 到平面ACD。

2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一(下)月考数学试卷(6月份)(含答案解析)

2021-2022学年河北省保定市唐县一中高一（下）月考数学试卷（6月份）1. 已知复数z 满足(z −1)(1+2i)=−2+i ，则|z|=( ) A. √2B. 2√2C. 2D. 12. 为调整学校路段的车流量问题，对该学校路段1∼15时的车流量进行了统计，折线图如图，则下列结论错误的是( )A. 9时前车流量在逐渐上升B. 车流量的高峰期在9时左右C. 车流量的第二高峰期为12时D. 9时开始车流量逐渐下降 3. 在△ABC 中，若b =2，A =120∘，三角形的面积S =√3，则三角形外接圆的半径为( ) A. √3B. 2C. 2√3D. 44. 设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( ) A. 若m//α，n//β，且α//β，则m//n B. 若α⊥β，m ⊥α，则m//β C. 若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n D. 若m//α，n ⊥β，且α⊥β，则m//n5. 如图，圆锥的轴截面ABC 为等边三角形，D 为弧AB ⏜的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AC 和DE 所成角的余弦值为( )A. √33 B. √63 C. √22 D. √246. 在△ABC 中，∠B =900，BC =6，AB =4，点D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，点E为边AC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 7B. −7C. 2D. −27. 已知sinα+2sinβ=1，cosα+2cosβ=√3，则cos2(α−β)=( )A. 12B. −12C. −78D. 788. 已知三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 969. 已知a⃗，b⃗ ，c⃗是三个平面向量，则下列叙述错误的是( )A. 若|a⃗|=|b⃗ |，则a⃗=±b⃗B. 若a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，且a⃗≠0，则b⃗ =c⃗C. 若a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，则a⃗//c⃗D. 若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |10. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有( )A. 若A>B，则sinA>sinBB. 若acosA=bcosB，则△ABC一定为等腰三角形C. 若acosB−bcosA=c，则△ABC一定为直角三角形D. 若a 2+b 2>c 2，则△ABC 一定为锐角三角形11. 在对某中学高一年级学生身高(单位：cm)的调查中，随机抽取了男生23人、女生27人，23名男生的平均数和方差分别为170和10.84，27名女生的平均数和方差分别为160和28.84，则( )A. 总样本中女生的身高数据比男生的离散程度小B. 总样本的平均数大于164C. 总样本的方差大于45D. 总样本的标准差大于712. 已知函数f(x)=sin(2x +π3)，将f(x)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)的图象向左平移π24个单位后对应的函数是偶函数 B. g(x)在[π12,π3]上单调递减 C. 当x =7π24时，g(x)取最大值 D. 直线y =12与g(x)(0<x <3π2)图象的所有交点的横坐标之和为19π413. 如图所示为一个平面图形的直观图，则它的原图形四边形ABCD 的面积为______.14. 已知sin(π6+α)=13，则cos(2π3−2α)=______.15. 已知非零向量a⃗，b⃗ ，c⃗满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗，a⃗与c⃗的夹角为2π，|c⃗|=2，则向量b⃗ 在向量a⃗上3的投影向量的模为______.16. 已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC，E，F分别是AB，AA1的中点，且AC= BC=2，AC⊥BC，AA1=4，过点E作一个截面与平面BFC1平行，则截面的周长为__________.17. 已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(x,3)，c⃗=(y,2)，且a⃗//b⃗ ，a⃗⊥c⃗ .(1)求b⃗ 与c⃗；(2)若m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ ，n⃗=a⃗+c⃗，求向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角的大小．18. 已知函数f(x)=(√3sinωx−cosωx)⋅cosωx+1(其中ω>0)，若f(x)的一条对称轴离2.最近的对称中心的距离为π4(1)求y=f(x)解析式；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(2b−a)cosC=ccosA，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC的形状．19. 某校100名学生期中考试化学成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生化学成绩的平均分及中位数；(3)若这100名学生化学成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x：y1：12：13：24：520. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，A，B是邛海水面上位于东西方向相距3+√3公里的两个观测点，现位于A点北偏东60∘、B点西北方向的D点有一艘渔船发出求救信号，位于B点南偏西75∘且与B点相距3√6公里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30公里/小时．求：(1)观测点B与D点处的渔船间的距离；(2)C点的救援船到达D点需要多长时间？21. 如图，四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF//CE，BF⊥BC，BF<CE，BF=2，AB=1，AD=√5(Ⅰ)求证：BC⊥AF(Ⅰ)求证：AF//平面DCE(Ⅰ)若二面角E−BC−A的大小为120∘，求直线DF与平面ABCD所成的角．22. 已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，(1)证明：平面BEF⊥平面PAD；(2)试探究F在棱PC何处时使得PA//平面BEF.答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵复数z满足(z−1)(1+2i)=−2+i，∴z=(−2+i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)+1=1+i，∴|z|=√12+12=√2.故选：A.根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由折线图知，9时前车流量在逐渐增加，选项A正确；车流量的高峰期在9时左右，选项B正确；12时是车流量的第二高峰期，选项C正确；12时左右车流量又有些回升，所以9时开始车流量逐渐下降错误，选项D错误．故选：D.根据题意由折线图，对应分析题目中的命题是否正确即可．本题考查了折线图的应用问题，也考查了数据分析和处理能力的数学核心素养．3.【答案】B【解析】【分析】由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．【解答】解：△ABC中，∵b=2，A=120∘，三角形的面积S=√3=12bc⋅sinA=c⋅√32，∴c=2=b，∴△ABC是等腰三角形，故B=12(180∘−A)=30∘，再由正弦定理可得bsinB =2R=2sin30∘=4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B.4.【答案】C【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．在A中，m与n平行或异面；在B中，m//β或m⊂β；在C中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n；在D中，m与n相交、平行或异面．【解答】解：在A中，若m//α，n//β，且α//β，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故C正确；在D中，若m//α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：C.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查异面直线所成角，圆锥的性质，属于基础题．底面圆的圆心为O，由OE//AC得异面直线AC和DE所成角等于直线OE与直线DE所成角．【解答】解：设底面圆的圆心为O，半径为R.连接EO，DO.因为O，E分别为BA，BC的中点，所以OE//AC，OE=R.因为D为弧AB中点，所以DO⊥AB，又平面ABC⊥平面ABD，所以DO⊥平面ABC.所以DO⊥OE，又OD=R，所以△ODE为等腰直角三角形，所以∠OED=45∘..因为OE//AC，所以异面直线AC和DE所成角为∠OED，故余弦值为√22故选：C.6.【答案】D【解析】解：如图建立平面直角坐标系：所以B(0,0)，A(0,4)，C(6,0)，所以D(2,0)，E(3,2)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−4)⋅(3,2)=2×3+(−4)×2=−2，故选：D.对Rt △ABC 建立平面直角坐标系，得出点的坐标，再计算AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出答案．本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：将sinα+2sinβ=1两边平方，得sin 2α+4sinαsinβ+4sin 2β=1①；将cosα+2cosβ=√3两边平方，得cos 2α+4cosαcosβ+4cos 2β=3②； ①+②得1+4cos(α−β)+4=4，所以cos(α−β)=−14. 所以cos2(α−β)=2cos 2(α−β)−1=2×(−14)2−1=−78. 故选：C.将条件中的两个等式两边平方，相加得cos(α−β)的值，再利用二倍角公式求cos2(α−β)的值．本题三角恒等变换中的平方和关系、和差角公式、二倍角公式，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ， ∴以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球， ∴三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =√23+9+162=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ，则R =√3a2=2√3，解得a =4，∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V =a 3=43=64. 故选：C.以AB ，AC ，AP 为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P −ABC 的外接球，三棱锥P −ABC 的外接球的半径R =2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a ，则R =√3a2=2√3，解得a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABC【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及向量平行、向量垂直、向量模的运算性质，属于中档题．对A：举反例即可进行判断；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直时，满足条件，但结论不一定成立；对C：取b⃗ =0⃗，即可进行判断；对D：利用向量垂直性质，结合模的运算即可进行判断．【解答】解：对A：当a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)时，满足|a⃗|=|b⃗ |，但a⃗≠±b⃗ ，故A错误；对B：当a⃗与b⃗ ，a⃗与c⃗垂直且a⃗≠0⃗时，满足a⃗⋅b⃗ =a⃗⋅c⃗=0，但结论不一定成立，故B错误；对C：取b⃗ =0⃗，则a⃗//b⃗ ，b⃗ //c⃗，但a⃗与c⃗不一定平行，故C错误；对D：当a⃗⊥b⃗ 时，即a⃗⋅b⃗ =0，则|a⃗+b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²+2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，|a⃗−b⃗ |²=|a⃗|²+|b⃗ |²−2a⃗⋅b⃗ =|a⃗|²+|b⃗ |²，即a⃗⊥b⃗ 时，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，故D正确；故选：ABC.10.【答案】AC【解析】解：选项A中，由A>B，可得a>b，根据正弦定理得sinA>sinB，即选项A正确；选项B中，结合正弦定理及acosA=bcosB，知sinAcosA=sinBcosB，所以sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=π，即A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰或直角三角形，即选项B错误；选项C中，由余弦定理及acosB−bcosA=c，知a⋅a 2+c2−b22ac−b⋅b2+c2−a22bc=c，化简得a2=b2+c2，即选项C正确；选项D中，由余弦定理知，cosC=a 2+b2−c22ab>0，所以角C为锐角，但角A，B不确定，所以选项D错误．故选：AC.选项A中，结合“大角对大边”与正弦定理，可判断；选项B 中，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角公式，可判断；选项C 中，利用余弦定理化角为边，再结合勾股定理，可判断；选项D 中，由余弦定理可得角C 为锐角，但角A ，B 不确定．本题主要考查三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理，余弦定理，二倍角公式是解题的关键，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：因为方差越小，数据的离散程度越小，所以总体样本中女生的身高数据比男生的离散程度大，A 错误；由已知可得样本的平均数为23×170+27×16050=164.6，B 正确；设23名男生的身高分别为a 1，a 2，…，a 23，27名女生的身高分别为b 1，b 2…b 27，则a 1+a 2+…+a 23=23×170，123[(170−a 1)2+…+(170−a 23)2]=10.84， b 1+b 2+…+b 27=27×160，127[(160−b 1)2+…+(160−b 27)2]=28.84，∴23×1702−2×170×23×170+(a 12+⋯+a 232)=23×10.84， ∴a 12+⋯+a 232=23×10.84+23×1702，同理b 12+b 22+⋯+b 272=27×28.84+27×1602，故总体方差150[(164.6−a 1)2+⋯+(164.6−a 23)2+((164.6−b 1)2+…+(164.6−b 27)2]，=150[50×164.62−2×164.6×50×164.6+(a 12+⋯+a 232)+(b 12+b 22+⋯+b 272)]，=150×[50×164.62−2×164.6×50×164.6+23×10.84+23×1702+27×28.84+27×1602]， =45.4，C 正确；由C 可知标准差约为6.7，D 错误．故选：BC.对于A ，利用方差的性质即可判断；对于B ，利用平均数的计算公式即可判断；对于C ，利用方差计算公式即可判断；对于D ，利用标准差公式即可判断．本题主要考查了方差及平均数的计算，属于基础试题．12.【答案】AD【解析】解：由已知：函数f(x)=sin(2x +π3)图象上每一点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，可得g(x)=sin(4x +π3)，对于A ：函数g(x)向左平移π24个单位，得到g(x +π24)=sin(4x +π6+π3)=cos4x ，显然g(−x)=g(x)，故g(x)为偶函数，A 正确；对于B ：因为x ∈[π12,π3]，故2π3≤4x +π3≤5π3，显然y =sinx 在[2π3,5π3]上不单调，亦即函数g(x)=sin(4x +π3)在[π12,π3]上不单调，B 错误；对于C ：当x =7π24时，g(7π24)=sin(7π6+26π)=sin(3π2)=−1是最小值，C 错误；对于D ：令g(x)=12，即sin(4x +π3)=12，(0<x <3π2)，令4x +π3=2kπ+π6(k ∈Z)或4x +π3=2kπ+5π6(k ∈Z)，解得x =kπ2−π24或x =kπ2+π8(k ∈Z)，当k =0时，x =π8，当k =1时，x =11π24或5π8，当k =2时，x =23π24或9π8，当k =3时，x =35π24，故所有的交点的横标之和为：π8+11π24+5π8+23π24+9π8+35π24=19π4，故选项D 正确．故选：AD.首先利用三角函数的平移变换求出函数的解析式，根据三角函数的性质可判断A ；求出 4x +π3整体的范围，即可判断B ；将x =7π24代入解析式中求值，即可判断C ；令g(x)=12，求出0<x <3π2内的所有的根，即可判断D.本题考查三角函数的据图求式问题，同时考查了三角函数的图象与性质间的联系，属于中档题．13.【答案】4【解析】解：根据题意，由直观图知，四边形A′B′C′D′是平行四边形，且边A′B′、A′D′分别在x′轴、y′轴上，∠B′A′D′=45∘，故四边形ABCD 是平行四边形，AB =A′B′=2，AD =2A′D′=2，∠BAD =90∘，则ABCD 是边长为2的正方形，所以四边形ABCD 面积为4. 故答案为：4.根据题意，分析原图的性质，进而计算可得答案．本题考查斜二测画法的应用，涉及平面图形的直观图，属于基础题．14.【答案】−79【解析】【分析】本题主要考查诱导公式和余弦的二倍角公式，属于中档题．因为cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，利用二倍角公式求得cos(2π3−2α)的值．【解答】解：因为 cos(π3−α)=sin(π6+α)=13，∴cos(2π3−2α) =2cos 2(π3−α)−1=2×19−1=−79，故答案为−79.15.【答案】1【解析】【分析】本题考查向量的数量积，解题中需要理清思路，属于基础题．由向量的数量积的可得向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ |=a⃗ ⋅c ⃗ |a⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >，即可得出答案．【解答】解：向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ⋅c ⃗ |a ⃗ |=|c ⃗ |cos <a ⃗ ，c ⃗ >=2×cos 2π3=−1，所以向量b ⃗ 在向量a ⃗ 上的投影向量的模为1，故答案为：1.16.【答案】√3+2√2+2√5【解析】【分析】本题考查面面平行的判定定理等基础知识，考查直观想象、数学运算、逻辑推理等数学核心素养，是中档题．取AF 的中点G ，分别在CC 1，BC 上取点H ，M ，使HC 1=14CC 1，BM =14BC ，连接EG ，GH ，HM ，EM.推导出GH//平面BFC 1，MH//平面BFC 1，从而可得平面EGHM//平面BFC 1.依次求出四条边的长度，由此能求出所求的截面周长．【解答】解：如图，取AF的中点G，分别在CC1，BC上取点H，M，使HC1=14CC1，BM=14BC，连接EG，GH，HM，EM.又F，G分别是AA1，AF的中点，∴FG=14AA1.又AA1//CC1，AA1=CC1，∴FG//HC1，FG=HC1，∴四边形FGHC1为平行四边形，∴GH//FC1，GH=FC1，GH⊄平面BFC1,FC1⊂平面BFC1,∴GH//平面BFC1.∵HC1=14CC1，BM=14BC，∴MH//BC1，MH=34BC1，MH⊄平面BFC1,BC1⊂平面BFC1,∴MH//平面BFC1.又MH∩GH=H，MH，GH⊂平面EGHM，∴平面EGHM//平面BFC1.又AA1⊥平面ABC，AC=BC=2，E，F分别是AB，AA1的中点，AC⊥BC，AA1=4，∴AB=2√2，AF=A1F=2，∴EG=12BF=12√AF2+AB2=√3，GH=FC1=√A1F2+A1C12=2√2，HM=34BC1=34√BB12+B1C12=32√5.在△BEM中，BM=14BC=12，BE=√2，∠EBM=45∘，∴EM2=BM2+BE2−2BM⋅BEcos45∘=14+2−2×12×√2×√22=54，∴EM=√52，∴平面EGHM的周长为EG+GH+HM+EM=√3+2√2+32√5+√52=√3+2√2+2√5，即所求的截面周长为√3+2√2+2√5.故答案为：√3+2√2+2√5.17.【答案】解：(1)由a⃗//b⃗ 得，2×3−1×x=0，所以x=6，即b⃗ =(6,3)，由a⃗⊥c⃗得，2×y+1×2=0，所以y=−1，即c⃗=(−1,2).(2)由(1)得m⃗⃗⃗ =2a⃗−b⃗ =2(2,1)−(6,3)=(−2,−1)，n⃗=a⃗+c⃗=(2,1)+(−1,2)=(1,3)，所以m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=(−2)×1+(−1)×3=−5，|m⃗⃗⃗ |=√(−2)2+(−1)2=√5，|n|⃗⃗⃗⃗⃗ =√12+32=√10，所以cos⟨m⃗⃗⃗ ,n⃗ ⟩=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗|m⃗⃗⃗ ||n⃗|=√5×√10=−√22，所以向量m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为3π4.【解析】(1)利用向量共线的坐标运算，求出x，然后利用向量垂直，数量积为0，求解y，即可得到结果．(2)求出向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，然后求解向量m⃗⃗⃗ 与n⃗的夹角即可．本题考查向量共线以及向量垂直条件的应用，向量的数量积的求法，夹角的求法，是中档题．18.【答案】解：(1)由于函数f(x)=√3sinωx⋅cosωx−cos2ωx+12=√32sin2ωx−12(2cos2ωx−1)=√32sin2ωx−122cos2ωx=sin(2ωx−π6)，∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为π4，∴T=π，∴2π2ω=π，故ω=1，∴f(x)=sin(2x−π6)；(2)由于(2b−a)cosC=ccosA，由正弦定理得(2sinB−sinA)cosC=sinC⋅cosA，∴2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)，∵sin(A+C)=sin(π−B)=sinB>0，2sinBcosC=sinB，∴sinB(2cosC−1)=0，∴cosC=12，∵0<C<π，∴C=π3；∴0<B<2π3，∴−π6<2B−π6<7π6，根据正弦函数的性质可知，f(B)是f(x)的最大值1，此时2B−π6=π2，即B=π3，∴A=π3，∴△ABC为等边三角形．【解析】(1)利用三角恒等变换化简函数，根据正弦型函数的性质求周期即可得解；(2)利用正弦定理及三角恒等变换可得C=π3，再由正弦型函数的性质及题意知f(B)=1求出B，即可判断三角形的形状．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，三角形形状的判定，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意，10×(2a+0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005，(2)这100名学生化学成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05= 73(分)，化学成绩在区间[50,70)内的频率为0.45，在区间[50,80)内的频率为0.75，则化学成绩的中位数x0∈(70,80)，则有(x0−70)×0.03=0.05，解得x0≈71.67，所以这100名学生化学成绩的中位数为71.67.(3)由频率分布直方图知，化学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，40人，30人，20人，由数表知，数学成绩在[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)的人数分别为：5人，20人，20人，25人，所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100−5−20−20−25=30(人).【解析】(1)利用给定的频率分布直方图的各小矩形面积和为1，计算作答．(2)利用频率分布直方图计算平均数、中位数的方法求解作答．(3)求出化学成绩在各分组区间内的人数，再按给定人数比的关系即可计算作答．本题考查了频率分布直方图，学生的数学运算能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)在△ABD中，∠BAD=30∘，∠ABD=45∘，则∠ADB=105∘，∴sin∠ADB=sin105∘=sin(60∘+45∘)=sin60∘cos45∘+cos60∘sin45∘=√6+√24，由正弦定理BDsin∠BAD =ABsin∠ADB，∴BD=ABsin30∘sin105∘=√6(公理).(2)在△BCD中，BC=3√6，BD=√6，∠CBD=15∘+45∘=60∘，由余弦定理得CD=√BC2+BD2−2BC⋅BDcos60∘=√42，∴救援船所需时间为t=√4230(小时).【解析】(1)求出△ABD的三个内角，利用正弦定理可求出BD的长；(2)利用余弦定理求出CD，结合救援船行驶的速度可求得所需的时间．本题考查有关三角形知识的运算，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥BC，又∵BF⊥BC，AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴BC⊥平面ABF.∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF.(2)∵BF//CE，BF⊄平面CDE，CE⊂平面CDE，∴BF//平面CDE.∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，∴AB//平面CDE，又AB，BF⊂平面ABF，AB∩BF=B，∴平面ABF//平面CDE，∵AF⊂平面ABF，∴AF//平面DCE.(3)如图过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.∵BC⊥AB，BC⊥BF，∴∠ABF就是二面角E−BC−A的平面角，∴∠ABF=120∘，∠FBN=60∘.∴BN=1BF=1，FN=√3，2∵AB=1，AD=√5，∠BAD=90∘，∴DN=√AD2+AN2=3.∵BC⊥平面ABF，BC⊂平面ABCD，∴平面ABF⊥平面ABCD，又平面ABF∩平面ABCD=AB，FN⊥AB，∴FN⊥平面ABCD，∴∠FDN是直线DF与平面ABCD所成的角，∴tan∠FDN=FNDN =√33，∴∠FDN=30∘.∴直线DF与平面ABCD所成的角为30∘.【解析】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，线面角的计算，属于中档题．(1)由BC⊥BF，BC⊥AB得出BC⊥平面ABF，故BC⊥AF；(2)由AB//CD，BF//CE得平面ABF//平面CDE，于是AF//平面CDE；(3)过F作FN与AB的延长线垂直，N是垂足，连结DN.则可证明FN⊥平面ABCD，于是∠FDN为所求角，利用勾股定理求出FN，DN计算tan∠FDN即可得出∠FDN的大小．22.【答案】(1)证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60∘，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD.∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE.又AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD.(2)解：连结AC交BE于M，连结FM.∵PA//平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FM，∴PA//FM.∴PFFC=AMCMPFFC=AMMC,又△AME∽△CMB，∴AMCM=AEBC=12AMCM=AEBC=12,∴PFFC=12PFFC=12.∴F在棱PC靠近P的三等分点时，PA//平面BEF.【解析】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的性质，属于中档题．(1)根据BE⊥AD，BE⊥PD可得BE⊥平面PAD，故而平面BEF⊥平面PAD；(2)连结AC交BE于M，连结FM，根据线面平行可得PA//FM，于是PFFC PFFC=AMMC=AEBC=12.。

陕西省西安高新第一 2021-2022学年高一下学期月考2数学试题

高一数学试题一、选择题：（共大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a =（）A.1- B.1C.3D.72.若点(1,3)和(4,2)--在直线20x y m ++=的两侧，则m 的取值范围为（）A.(,5)(10,)-∞-+∞∪ B.[5,10)- C.(5,10)- D.[5,10]-3.已知直线l 过点(2,3)P ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 的条数为（）A.1B.2C.3D.44.数列{}n a 满足11a =，且对任意的*,m n ∈N 都有m n m n a a a mn +=++，则1232011111a a a a ++++= （）A.201101B.400201C.200201D.1992005.在直角梯形ABCD 中，90ABC ︒∠=，22AB BC CD ==，则cos DAC ∠=（）A.5B.5C.10D.106.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是()A.B.C.(1)-D.(-7.若点(cos ,sin )P θθ在直线1x ya b+=上，则下列不等式正确的是（）A.221a b +≤ B.221a b +≥ C.22111a b +≤ D.22111a b +≥8.,,a b c 是ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，若2222022a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+（）A.1011B.2022C.2020D.20219.已知,x y 满足约束条件10,0,0,x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩若1y x +的最大值为2,则m 的值为（）A.4B.5C.8D.910．若M ，N 分别为圆()()221:654C x y ++-=与圆()()222:211C x y -+-=上的动点，P 为直线50x y ++=上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.3-B.6C.9D.1211.已知,,a b c 三个数成等差数列，直线0bx ay c -+=恒过定点A ，且A 在直线40mx ny ++=上，其中0mn >，则121m n++的最小值为()A.23B.43C.2D.412.已知数列{}n a 满足113a =，21n n n a a a +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则12201111111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：（共大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知两直线12:2)(3)50,:6(21)5l m x m y l x m y +++-=+-=（，若12//l l ，则实数m =_______.14.已知圆E 的圆心在y 轴上，且与圆2220x y x +-=的公共弦所在直线的方程为0x =，则圆E 的标准方程为.15.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，且x 和y 必须满足条件51122239,211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则1010z x y =+的最大值为_________.16.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(2)(1)5C x y -+-=，线段AB 是圆222:(4)(2)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =，线段AB 的中点为Q ，则直线OQ 被圆1C 截得的弦长的取值范围是.三、解答题：（本大题共5小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）如图，面积为8的平行四边形ABCD ，A 为原点，点B 的坐标为(2,1)-，点C ，D 在第一象限.（1）求直线CD 的方程；（2）若||BC =，求点D 的横坐标.18.（10分）数列{}n a 的前n 项和n S ，满足13122n n S a a =-，且13a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设32log 1n n na b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T．19.（12分）设函数()2sin 22cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC △中，若5264A f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且2CD DA = ，BD =cos ABD ∠=BC 长．20．（12分）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆；②锐角三角形ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x ，y 满足方程244x y +=，记其构成的平面图形为W ，平面图形W 为中心对称图形，()0,A t ，()2,0B ，(C ，()2,0D -为平面图形W 上不同的四点．（1）求实数t 的值及ABC △的最小覆盖圆的方程；（2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程；（3）求平面图形W 的最小覆盖圆的方程．21.（12分）如图，设直线1:0l x =，2:340,l x y -=点A 的坐标为()31,4a a ⎛⎫>⎪⎝⎭．过点A 的直线l 的斜率为k ，且与1l ，2l 分别交于点M ，N （M ，N 的纵坐标均为正数）．（1）设1a =，求MON △面积的最小值；（2）是否存在实数a ，使得11OM ON+的值与k 无关？若存在，求出所有这样的实数a ；若不存在，说明理由．。

高一数学下学期第二次月考试题A

柘木中学2021-2021学年高一下学期第二次月考数学试题制卷人：打自企；成别使；而都那。

审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。

一、选择题〔每一小题5分，一共50分〕1、在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( )．A．11 B．12 C．13 D．142、在△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，那么角B等于( )．A．30° B．60° C．90° D．120°3、在△ABC中，a＝1，A＝30°，B＝60°，那么b等于( )．A.32B.12C. 3 D．24、在△ABC中，假设a＝5，b＝3，C＝120°，那么sin A∶sin B的值是( )．A.53B.35C.37D.575、在△ABC中，a＝4，b＝43，角A＝30°，那么角B等于( )．A．30° B．30°或者150°C．60° D．60°或者120°6、在△ABC中，假设a＝7，b＝43，c＝13，那么C为( )．A.π3B.π6C.π4D.π127、在△ABC中，a＝9，b＝23，C＝150°，那么c等于( )．A.39 B．8 3 C．10 2 D．7 38、有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，那么坡底要延长 ( )．A．5 m B．10 mC．10 2 m D．10 3 m9、在等差数列{a n}中，假设a1 003＋a1 004＋a1 005＋a1 006＝18，那么该数列的前2 008项的和为( )．A．18 072 B．3 012 C．9 036 D．12 04810、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数可以表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378二、填空题〔每一小题5分，一共25分〕11、在△ABC中，假设B＝60°，a＝1，S△ABC＝32，那么csin C＝________.12、a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．假设a＝4，b＝5，S＝53，求c 的长度．13、在△ABC中，假设acos A＝bcos B＝ccos C，那么△ABC的形状是。

安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测(月考)数学试题(含解析)

安徽省合肥市第七中学2022-2023学年高一下学期第二次单元检测（月考）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．24 55 a b-C．2455a b-+(sin2sinA A=A．4B．37．鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔别测塔顶的仰角为30 、45 、A．20米B．70 3米C．803米D．30米8．刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，A ．383rB ．38π3rC ．3163r 二、多选题9．已知平面向量()1,0a =，()1,23b = ，则下列说法正确的是（）A ．16a b +=B ．()2a b a +⋅= C ．3cos ,3a b =D ．向量+a b 在a 上的投影向量为,m n ,a βA ．当点P 运动到1BC 中点时，直线B ．无论点P 在1BC 上怎么运动，都有C ．当点P 运动到1BC 中点时，才有D ．当点P 在1BC 上运动时，直线三、填空题14．在正方体111ABCD A B C D -111113A H C G A D ==，则异面直线15．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为16．已知SAB ∆是边长为2的等边三角形，45ACB ︒∠=其外接球的表面积为__________．(1)如图，若四边形OACB为平行四边形，求点(2)若点P为线段AB的靠近点中，内角A，19．在ABC(1)求角A的大小；(1)证明：PC∥平面EFG；==(2)若22PC PD CD===，AC AD AP21．如图所示，在海岛A上有一座海拔0.5高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西(1)求船的航行速度是每小时多少千米？(2)若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的22．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥线BD 将ABD △折至A BD ' 的位置，记二面角(1)当90θ=︒时，求证：平面A CD '⊥平面A BD '；(2)若E 为BC 的中点，当120θ=°时，求二面角A DE B '--的正切值．参考答案：对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故对C，如图所示的三棱锥中有形，但它不是正三棱锥，故对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故故选：A则G是DE的中点，且1124 GF EC BC ==14GF AD∴=，对②，因为F ，M ，N ，Q 分别为AB CD ，则FN AB ，故F ，N 错误；对②，E 在过F ，N ，A ，B 四点的平面外，故直线对③，N ，Q 重合，故直线BQ 与直线设建筑物的高为m PO h =，则PA =由余弦定理可得2cos 2PB PBA PB +∠=22223cos 22h PB BC PC PBC PB BC +-∠==⋅因为PBA PBC π∠+∠=，故cos PBA ∠即22222230h AB AB h +-+=，可得对于C ，在长方体111ABCD A B C -平面ABCD ，平面11CDD C 分别为平面显然满足,ααβ⊥⊥m ，而m β⊂【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算即EP ⊥平面111A B C ，所以直线1A P 与平面111A B C 所成的角的正切值，因为112EP BB =，1AE A B =所以15tan 5PA E ∠=，故A 正确；由题意知，11B BCC 为正方形，即有所以111A B BC ⊥，又111A B B C 所以1BC ⊥面11A B C ，1OB ⊂面同理可证：11A B OB ⊥，又1A B所以Q 为中线的交点，即Q 为所以根据重心的性质有1PQ QA =对于D ：由于11//A B AB ，直线结合下图分析知，点P 在BC 当P 在B 或1C 上是，11B A P ∠当P 在1BC 的中点时，11B A P ∠所以11B A P ∠不可能是30︒，故故选：AB ．13．414．513.【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为则有(0,0,0)D ，(3,3,0)B 1315．32/1.5【分析】根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论．【详解】棱柱的体积公式是V =在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，棱柱底面的14，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的。

2021-2022学年北京市海淀区教师进修学校高一(下)月考数学试卷(6月份)(含答案解析)

2021-2022学年北京市海淀区教师进修学校高一（下）月考数学试卷（6月份）1. cos390∘=( ) A. −√32B. −12C. 12D. √322. 已知向量a ⃗ =(3,1),b ⃗ =(1,x)，且a ⃗ ⊥b⃗ ，那么x 的值是( ) A. 13 B. −13 C. 3 D. −33. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =5，b =3，c =2√5，则cosC =( )A. 115B. 715C. 815D. 14154. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若a =√2b ，sinA =13，则sinB =( ) A. √23B. √73C. √26D.√3465. 设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m//β“是“α//β”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 在△ABC 中，a =bsinA ，则△ABC 一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7. 若函数f(x)=2sin(2x −π3+φ)是奇函数，则φ的值可以是( ) A. 5π6B. π2C. −2π3D. −π28. 如图，△AOB 为等腰直角三角形，OA =1，OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. −1B. −18 C. −14 D. −129. 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥AD,CD ⊥CB,∠ABC =60∘,AB =2,AD =√3，E 为线段CD 的中点，F 为线段AB 上一动点(包括端点)，且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列说法正确的是( )A. BC =52B. 若F 为线段AB 的中点，则λ+μ=1C. FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为154D. μ的最大值比最小值大8510. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则以下四个命题中错误的是( )A. 直线A 1C 1与AD 1为异面直线B. A 1C 1//平面ACD 1C. BD 1⊥ACD. 三棱锥D 1−ADC 的体积为8311. 已知向量a ⃗ =(−3,2),b ⃗ =(−1,λ)，且a ⃗ //b ⃗ ，则实数λ的值为______. 12. 棱长为2的正方体外接球的表面积是______.13. 已知圆锥的侧面积是底面积的54倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为______. 14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”一一由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图1所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF =2，FD =4，则AB =______.15. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是______.①函数f(x)的图象关于直线x =π2对称； ②函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称；③函数f(x)在区间[−π3,π6]上单调递增；④y=1与y=f(x)(−π12≤x≤23π12)的图象所有交点的横坐标之和为8π3.16. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是AD1的中点，N是DC1的中点．(1)求证：MN//平面ABCD；(2)若AB=2，求：棱锥A−MND体积．17. 如图所示，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将△ABC绕AD旋转180∘，求阴影部分形成的几何体的表面积与体积．18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=π3，b=√13，c=3，D为BC 的中点．(1)求AD的长；(2)求sin∠ADB的值．19. 在△ABC中，acosB+bcosA=√2ccosC.(Ⅰ)求∠C；(Ⅰ)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求c 和sinA 的值．条件①：a =2√2，AC 边上中线的长√5；条件②：b =6，△ABC 的面积为6；条件③：cosB =−√1010，AC 边上的高BD 的长为2.20. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示，点B ，D ，F 为f(x)与x 轴的交点，点C ，E 分别为f(x)的最高点和最低点，而函数f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为2，且其在x =−12处取得最小值． (1)求参数ω和φ的值；(2)若A =1，求向量2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值；(3)若点P 为函数f(x)图象上的动点，当点P 在C ，E 之间运动时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥1恒成立，求A 的取值范围．21. 设A 是如下形式的2行3列的数表，a b c def满足性质P ：a ，b ，c ，d ，e ，f ∈[−1,1]，且a +b +c +d +e +f =0.记r i (A)为A 的第i 行各数之和(i =1,2)，C j (A)为A 的第j 列各数之和(j =1,2,3)；记k(A)为|r 1(A)|，|r 2(A)|，|c 1(A)|，|c 2(A)|，|c 3(A)|中的最小值． (1)对如下数表A ，求k(A)的值 11−0.8 0.1−0.3−1(2)设数表A 形如 1 1 −1−2d dd−1其中−1≤d ≤0.求k(A)的最大值；(Ⅰ)对所有满足性质P 的2行3列的数表A ，求k(A)的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：cos390∘=cos(360∘+30∘)=cos30∘=√32.故选：D.直接利用诱导公式以及特殊角的三角函数化简求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，基本知识的考查．2.【答案】D【解析】解：由向量a⃗=(3,1),b⃗ =(1,x)，且a⃗⊥b⃗ ，可得a⃗⋅b⃗ =3+x=0，解得x=−3.故选：D.运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示，解方程可得所求值．本题考查向量垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由余弦定理得cosC=a 2+b2−c22ab=25+9−202×5×3=715.故选：B.由已知结合余弦定理即可直接求解．本题主要考查了余弦定理，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．由已知结合正弦定理即可直接求解．【解答】解：因为a=√2b，所以ba =√22，由正弦定理得asinA =bsinB，所以sinB=bsinAa =√22×13=√26.故选：C.5.【答案】B【解析】【分析】本题考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．m//β并得不到α//β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α//β，并且m⊂α，显然能得到m//β，这样即可找出正确选项．【解答】解：m⊂α，m//β得不到α//β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m//β；α//β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m//β，即α//β能得到m//β；∴“m//β”是“α//β”的必要不充分条件．故选：B.6.【答案】B【解析】解：∵在△ABC中，a=bsinA，∴由正弦定理可得sinA=sinBsinA，同除以sinA可得sinB=1，B=π2∴△ABC一定是直角三角形，故选：B.由正弦定理可得sinA=sinBsinA，可得sinB=1，B=π2，可作出判断．本题考查三角形形状的判断，涉及正弦定理的应用，属基础题．7.【答案】C【解析】解：若函数f(x)=2sin(2x−π3+φ)是奇函数，则−π3+φ=kπ,k∈Z，得φ=π3+kπ,k∈Z⇒k=−1,φ=−2π3，故选：C.由三角函数的性质求解．本题考查三角形函数的奇偶性的应用，考查计算能力，是基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面向量的三角形法则，向量数量积的运算性质以及二次函数的单调性问题，是综合性题目．根据平面向量的线性运算与数量积运算，设|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，利用t 表示AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求二次函数的最小值即可．【解答】解：由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，设|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=t ，t ≥0，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗=t 2−1×t ×cos π4=t 2−√22t=(t −√24)2−18；所以，当t =√24时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值为−18.故选：B.9.【答案】ABD【解析】解：如图，补全图形，则在直角△ABG 中，AG =AB ⋅tan∠B =2√3，则GD =√3，CD =12GD =√32，CG =√32×√3=32，又BG =2AB =4，所以BC =52，故A 正确； EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两式相加得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB⃗⃗⃗⃗⃗ )，则λ+μ=1，故B 正确；FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF 2−CE 2=EF 2−316，因为C 到AB 的距离d =52×√32=5√34，所以E 到AB 的距离EF′=12(d +DA)=9√38，所以(FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ )max =24364−316=23164，故C 错误； EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λDA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边同乘以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 得EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ×52×12×2=52，根据投影(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )max −(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )min =2×2=4，则μmax −μmin =85，故D 正确．故选：ABD.利用平面向量，结合每个选项的条件进行计算判断即可．本题考查平面向量基本定理，考查向量的数量积的运算，属中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．在A 中，由异面直线判定定理得直线A 1C 1与AD 1为异面直线；在B 中，由A 1C 1//AC ，得A 1C 1//平面ACD 1；在C 中，由AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，得AC ⊥面BDD 1，从而BD 1⊥AC ；在D 中，三棱锥D 1−ADC 的体积为43. 【解答】解：由正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，知：在A 中，直线A 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，D 1∈平面A 1B 1C 1D 1，A ∉平面A 1B 1C 1D 1，D 1∉直线A 1C 1，由异面直线判定定理得直线A 1C 1与AD 1为异面直线，故A 正确；在B 中，∵A 1C 1//AC ，A 1C 1⊄平面ACD 1，AC ⊂平面ACD 1，∴A 1C 1//平面ACD 1，故B 正确；在C 中，∵正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ⊥DD 1，∵BD ∩DD 1=D ，∴AC ⊥面BDD 1，BD 1⊂面BDD 1，∴BD 1⊥AC ，故C 正确；在D 中，三棱锥D 1−ADC 的体积：V D 1−ADC =13×12×2×2×2=43，故D 错误．故选D.11.【答案】23【解析】【分析】由向量平行的坐标表示计算．解：∵向量a ⃗ =(−3,2),b ⃗ =(−1,λ)，且a ⃗ //b ⃗ ， ∴−3λ−2×(−1)=0，解得λ=23，故答案为：23.由题意，利用向量平行的坐标表示及运算法则，计算可得结论．本题主要考查向量平行的坐标表示及运算法则，属于基础题．12.【答案】12π【解析】解：正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，所以，球的直径为：2√3，半径为：√3 球的表面积为：4πr 2=12π 故答案为：12π直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的体积，本题考查球的体积和表面积，考查球的内接体问题，考查空间想象能力，是基础题．13.【答案】8π5【解析】解：设圆锥底面半径为r ，母线为l ，则圆锥的侧面积为πrl ，由题意得πrl πr 2=54，解得l =5r 4，所以圆锥底面圆的周长即侧面展开图扇形的弧长为2πr ，所以该扇形的圆心角α=2πr l=2πr5r 4=8π5. 故答案为：8π5.设圆锥底面半径为r ，母线为l ，根据题意可得4l =5r ，代入圆心角公式，即可得答案．本题考查旋转体的侧面积的求法，扇形面积的求法，考查计算能力，是基础题．14.【答案】2√13【解析】解：由题意∠ADB =120∘，BD =AF =2，AD =6，所以AB =√AD 2+BD 2−2AD ⋅BDcos∠ADB =√36+4−2×6×2cos120∘=2√13. 故答案为：2√13.分析条件，结合余弦定理计算．本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，是中档题．15.【答案】②③④【解析】解：由图象最低点(2π3,−2)，可得A =2，由函数最小正周期T =4(2π3−5π12)=π，可得ω=2ππ=2，又由2×2π3+φ=3π2，可得φ=π6，则f(x)=2sin(2x +π6)，由f(π2)=2sin(2×π2+π6)=−1≠±2，可知函数f(x)的图象不关于x =π2直线对称． ①错误；由f(−π12)=2sin(−2×π12+π6)=0，可知函数f(x)的图象关于点(−π12,0)对称，②正确；由x ∈[−π3,π6]，可得2x +π6∈[−π2,π2]⊆[−π2+2kπ,π2+2kπ],k∈Z ，可知函数f(x)在区间[−π3,π6]上单调递增，③正确；由2sin(2x +π6)=1，可得2x +π6=2kπ+π6，或2x +π6=2kπ+5π6，则x =kπ或x =kπ+π3,k ∈Z ，又−π12≤x ≤23π12，则x =0，或x =π，或x =π3，或x =4π3，则y =1与y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的图象所有交点的横坐标之和为8π3.④正确．故答案为：②③④．先由题给图象求得函数f(x)的解析式，再利用代入法判断①②③的正确性；求得y =1与y =f(x)(−π12≤x ≤23π12)的图象所有交点的横坐标之和判断④．本题考查三角函数图象变换，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】(1)证明：如图所示，连接AC ，则MN 是△AD 1C 底边AC 上的中位线， ∴MN//AC ，∵AC ⊂平面ABCD ，MN ⊄平面ABCD ，∴MN//平面ABCD ；(2)解：取DD 1的中点K ，连接NK ，则NK 是△DCD 1的中位线，∴NK//DC ，并且NK =12DC =1，NK ⊥平面A 1ADD 1，三棱锥A −MND 也可以看作三棱锥N −AMD ，△AMD 是底面，NK 是高，取AD 的中点L ，连接ML ，则ML 是△ADD 1底边DD 1上的中位线， ∴ML//DD 1，ML =12DD 1=1，ML ⊥AD ， ∴V N−AMD =13S △AMD ⋅NK =13×12×2×1×1=13；综上：三棱锥A −MND 的体积为13.【解析】(1)分析图中的几何关系，MN 是中位线，所以平行于AC ，所以平行于平面ABCD ； (2)取DD 1的中点K ，连接NK ，则NK ⊥平面A 1ADD 1，所以NK 是N −AMD 底面AMD 的高，从而可以求得体积．本题考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于基础题．17.【答案】解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为4，高为4√3，圆柱的底面半径为2，高为2√3. 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面． S 圆锥的底面=16π，S 圆锥侧=32π，S 圆柱的侧=8√3π.故所求几何体的表面积为：16π+32π+8√3π=48π+8√3π.∴阴影部分形成的几何体的体积：V=V圆锥−V圆柱=13×π×16×4√3−π×4×2√3=40√33π.【解析】旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，根据数据利用面积公式公式，可求其表面积与体积．本题考查组合体的面积问题，考查空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．18.【答案】解：(1)∵B=π3，b=√13，c=3，∴由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，可得：13=9+a2−2×3×a×12，解得：a=4，…3分∵D为BC的中点，∴BD=2，∴在△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=9+4−2×3×2×12=7，…9分∴AD=√7…9分(2)在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠ABD =ABsin∠ADB，可得：sin∠ADB=AB⋅sin∠ABDAD =3√2114…12分【解析】(1)由余弦定理可求a的值，由D为BC的中点，可求BD=2，在△ABD中，由余弦定理可得AD的值．(2)在△ABD中，由正弦定理可得sin∠ADB=AB⋅sin∠ABDAD的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)由正弦定理得，sinAcosB+sinBcosA=√2sinCcosC，即sin(A+B)=√2sinCcosC，即sinC=√2sinCcosC，即cosC=√22，故∠C=π4；(Ⅰ)若选条件①，由余弦定理得，BD 2=a 2+CD 2−2×a ×CD ×cosC ，即5=8+CD 2−4CD ，解得CD =1或CD =3；故△ABC 存在但不唯一，不满足条件；若选条件②，∵S △ABC =12×b ×a ×sinA =6，即12×6×a ×√22=6，∴a =2√2，故c =√62+(2√2)2−2×6×2√2×√22=2√5，∵asinA =c sinC， ∴sinA =asinCc =2√2×√222√5=√55；若选条件③，由题意知，△BCD 为等腰直角三角形，∴CD =BD =2，a =BC =2√2，∵cosB =−√1010，∴sinB =3√1010，∴sin∠ABD =sin(∠ABC −π4)=sin∠ABCcos π4−cos∠ABCsin π4=3√1010×√22−(−√1010)×√22 =2√55，故sinA =cos∠ABD =√55；c =AB =2sinA =2√5. 【解析】(Ⅰ)利用正弦定理化简acosB +bcosA =√2ccosC ，结合三角恒等变换求角C 即可； (Ⅰ)若选条件①，作图，利用余弦定理可求得CD 的长度有2个值，故不满足唯一性；若选条件②，由三角形面积公式可求a ，结合余弦定理求c ，再利用正弦定理求sinA 即可；若选条件③，作图，可判断△BCD 为等腰直角三角形，利用直角三角形求解即可．本题考查了解三角形与三角恒等变换的综合应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为f(x)的相邻两条对称轴之间的距离为2，所以T =4∴T =2πω=4⇒ω=π2，∴g(x)=Asin(π2x +φ)，又x =−12时，g(x)取最小值，则φ−π4=−π2+2kπ，k ∈Z ，∴φ=2kπ−π4，k ∈Z ，又∵|φ|<π，则k =0⇒φ=−π4，即ω=π2，φ=−π4；(2)因为A =1，所以f(x)=sin(π2x −π4)，则B(12,0)，C(32,1)，D(52,0)，则2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3)BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−2)，则cosθ=(2BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|2BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√210，即向量2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角的余弦值为−√210；(3)因为P 是f(x)上动点，f(x)=Asin(π2x −π4)，B(12,0)，F(92,0)，又∵BP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥1恒成立，设P(x,Asin(π2x −π4))，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −12,Asin(π2x −π4))，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(92−x,−Asin(π2x −π4))，则BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −12)(92−x)−Asin(π2x −π4)⋅Asin(π2x −π4)=−x 2+5x −94−A 2sin 2(π2x −π4)，易知y =−x 2+5x −94,x ∈[32,72]在x =32或x =72处有最小值，y =A 2sin 2(π2x −π4),x ∈[32,72]在x =32或x =72处有最大值，所以当x =32或x =72时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值，即当P 在C 或E 时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ 有最小值，此时P(32,A)或P(72,−A)，当P 为(32,A)时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,A)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−A)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ =3−A 2≥1，得−√2≤A ≤√2，又A >0，则0<A ≤√2，当P 为(72,−A)时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,A)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,A)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ =3−A 2≥1，解得0<A ≤√2，综上，A ∈(0,√2],即A 的取值范围为(0,√2].【解析】(1)由对称轴之间的距离可得周期，根据周期求出ω，利用在x =−12处取得最小值求出φ；(2)由函数解析式求出零点，根据向量的坐标求夹角即可；(3)设P(x,y)，利用向量数量积的坐标表示出BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF⃗⃗⃗⃗⃗ ，观察取最小值时点P 位置，然后根据最小值大于等于1可得A 的取值范围．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数的性质，属中档题．21.【答案】解：(1)因为r 1(A)=1.2，r 2(A)=−1.2，c 1(A)=1.1，c 2(A)=0.7，c 3(A)=−1.8，所以k(A)=0.7(2)r 1(A)=1−2d ，r 2(A)=−1+2d ，c 1(A)=c 2(A)=1+d ，c 3(A)=−2−2d因为−1≤d ≤0，所以|r 1(A)|=|r 2(A)|≥1+d ≥0，|c 3(A)|≥1+d ≥0所以k(A)=1+d ≤1当d =0时，k(A)取得最大值1(III)任给满足性质P 的数表A(如下所示)或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A ∗仍满足性质P ，并且k(A)=k(A ∗)因此，不防设r 1(A)≥0，c 1(A)≥0，c 2(A)≥0，由k(A)的定义知，k(A)≤r 1(A)，k(A)≤c 1(A)，k(A)≤c 2(A)，从而3k(A)≤r 1(A)+c 1(A)+c 2(A)=(a +b +c)+(a +d)+(b +e)=(a +b +c +d +e +f)+(a +b −f)=a +b −f ≤3所以k(A)≤1由(2)可知，存在满足性质P的数表A使k(A)=1，故k(A)的最大值为1.【解析】(1)根据r i(A)为A的第i行各数之和(i=1,2)，C j(A)为A的第j列各数之和(j=1,2,3)；记k(A)为|r1(A)|，|r2(A)|，|c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值可求出所求；(2)k(A)的定义可求出k(A)=1+d，然后根据d的取值范围可求出所求；(III)任意改变A三维行次序或列次序，或把A中的每个数换成它的相反数，所得数表A∗仍满足性质P，并且k(A)=k(A∗)因此，不防设r1(A)≥0，c1(A)≥0，c2(A)≥0，然后利用不等式的性质可知3k(A)≤r1(A)+c1(A)+c2(A)，从而求出k(A)的最大值．本题主要考查了进行简单的演绎推理，同时分析问题的能力以及不等式性质的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．。

2021-2022学年山东省青岛莱西市第一中学高一下学期3月(网课)月考数学试题(含答案解析)

2021-2022学年山东省青岛莱西市第一中学高一下学期3月（网课）月考数学试题1. 已知向量a ⃗ =(4,−2)，向量b ⃗ =(x,5)，且a ⃗ //b⃗ ，那么x 的值等于( ) A. 10B. 5C. −52D. −102. 已知sin(θ−π4)=√33，则sin2θ=( )A. 13 B. −13 C.2√23D. −2√233. 设单位向量a ⃗ ,b ⃗ 满足|a ⃗ −2b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |，则向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为( )A. π6B. π4C. π3D. π24. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ =(3,0)，b ⃗ =(0,4)，c ⃗ =λa ⃗ +(1−λ)b ⃗ (λ∈R )，则|c ⃗ |的最小值为( )A. 56 B. 125C. 365D. 4855. 在△ABC 中，角A ，C 的对边分别为a ，c ，C =2A ，cosA =34，则ca 的值为( ) A. 2B. 12C. 32D. 16. 圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为( ) A.28√53π B. 28π C. 28√5π D.28√73π 7. 若棱长分别为√3，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( ) A. 64πB. 16πC.643π D.163π 8. 已知一个直三棱柱的高为2，如图，其底面ABC 水平放置的直观图(斜二测画法)为A′B′C′，其中O′A′=O′B′=O′C′=1，则此三棱柱的表面积为( )A. 4+4√2B. 8+4√2C. 8+4√5D. 8+8√59. 将函数y =sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到函数y =g (x )的图象，若函数g (x )是偶函数，则φ的可能取值为( )A. π4 B. π2 C. 3π4D. π10. 在△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，下列命题为真命题的有( )A. 若|a ⃗ |>|b ⃗ |，则sinA >sinBB. 若a ⃗ ⋅b⃗ >0，则△ABC 为锐角三角形 C. 若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则△ABC 为直角三角形D. 若(b ⃗ +c ⃗ −a ⃗ )⋅(b ⃗ +a ⃗ −c ⃗ )=0，则△ABC 为直角三角形11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a:b:c =4:5:6，则下列结论正确的是( )A. sinA:sinB:sinC =4:5:6B. △ABC 是钝角三角形C. 若c =6，则△ABC 内切圆半径为√72 D. 若c =6，则△ABC 外接圆半径为8√7712. 将正弦曲线y =sinx(x ∈R)上所有的点向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. 函数g(x)的图象关于(−π12,0)对称 B. 函数g(x)在(π6,π2)上单调递减 C. 函数g(x)在[0,π4]上的最大值为√32D. 函数g(x)的最小正周期是4π13. tan10∘+tan35∘+tan10∘tan35∘=__________.14. 已知一个圆锥的母线长为2√3，侧面展开是半圆，则该圆锥的体积是__________.15. 已知△ABC 中，AB =7，BC =5，CA =3，则BC⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是__________. 16. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为__________. 17. 如图，圆锥的底面直径和高均是4，过PO 的中点O′作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱.(1)求原圆锥的表面积； (2)求剩余几何体的体积.18. (1)已知平面向量a ⃗ 、b ⃗ ，其中a ⃗ =(√5,−2).若|b ⃗ |=3√2，且a ⃗ //b ⃗ ，求向量b ⃗ 的坐标表示；(2)已知平面向量a ⃗ 、b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为2π3，且(a ⃗ +λb ⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )，求λ的值.19. 已知函数f(x)=cos(2x+π)−2cos2x，x∈R3(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的对称中心；(3)当x∈[0,π)时，求f(x)的最大值和最小值.320. 在△ABC中，cos B(√3a−bsin C)=bsin Bcos C.(1)求B；(2)若c=2a，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．321. 已知函数f(x)=sin (ωx+φ)−cos (ωx+φ)(|φ|<π,ω>0)为偶函数，且函数y=2f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为π.)的值；(1)求f(π4(2)求函数y=√3f(x)+f(x+π)的最大值及对应的x的值．222. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且(a−b)(sinA+sinB)=sinC(c−√3b).(1)求角A；(2)若△ABC的面积S△ABC=2+√3，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查向量平行关系的坐标表示，属于基础题.若a ⃗ =(x 1,y 1)，b ⃗ =(x 2,y 2)，a ⃗ //b ⃗ ，则x 1y 2=x 2y 1，利用该结论求解即可. 【解答】解：若a ⃗ //b ⃗ ，则−2x =20，则x =−10，故选D.2.【答案】A【解析】【分析】本题考查二倍角公式及其应用，属于基础题. 由sin2θ=cos(2θ−π2)=1−2sin 2(θ−π4)即可求解. 【解答】解：∵sin(θ−π4)=√33，∴cos(2θ−π2)=1−2sin 2(θ−π4)=13，∴sin2θ=cos(2θ−π2)=13.故选A.3.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题.将等式|a ⃗ −2b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |两边平方，可求得a ⃗ 与b ⃗ 夹角的余弦值，结合向量夹角的取值范围可求得结果. 【解答】解：设向量a ⃗ ,b ⃗ 的夹角为θ，|a ⃗ −2b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |两边平方有：a ⃗ 2+4b ⃗ 2−4a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ ，化简得6|a ⃗ ||b⃗ |cosθ=3，所以cosθ=12，因为θ∈[0,π]，所以θ=π3.故选C.4.【答案】B【解析】【分析】本题考查向量模的坐标表示，向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 首先求向量c ⃗ 的坐标，再利用坐标运算求模，转化为二次函数求最小值. 【解答】解：由条件可知c ⃗ =(3λ,4−4λ)，则|c ⃗ |=√9λ2+(4−4λ)2=√25λ2−32λ+16 =√25(λ−1625)2+14425，当λ=1625时，|c ⃗ |min =125. 故选B.5.【答案】C【解析】【分析】本题考查正弦定理以及二倍角公式，属于基础题.首先根据正弦定理以及二倍角公式可得到ca =sinCsinA =sin2AsinA =2cosA ，代值即可得解. 【解答】解：由正弦定理，得ca =sinCsinA =sin2AsinA =2sinAcosAsinA=2cosA =2×34=32.故选C.6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆台的体积计算公式，属简单题.先计算圆台高，再由圆台体积V =π3(r 2+R 2+Rr)ℎ即可求解. 【解答】解：设圆台的上、下底面半径分别为r 和R ， ∵r =2和R =4，母线长为3， ∴圆台高ℎ=√32−(4−2)2=√5，∴此圆台体积V=π3(r2+R2+Rr)ℎ=28√53π.故选A.7.【答案】B【解析】【分析】本题考查球的内接多面体，球的表面积的求法，解题的关键是确定长方体的对角线的长度就是外接球的直径.过长方体的各顶点都在球的表面上，求出长方体的对角线的长度就是外接球的直径，求出直径，即可求解球的表面积.【解答】解：因为长方体的各顶点都在球的表面上，长方体的对角线的长度就是外接球的直径，又长方体的长、宽、高分别为√3,2,3，所以长方体的对角线长度为：√(√3)2+22+32=4.所以球的半径为：2所以球O的表面积4π×22=16π.故选B.8.【答案】C【解析】【分析】本题考查棱柱的表面积，考查斜二测画法，属于基础题.根据斜二测画法的知识可得底面平面图，然后可解.【解答】解：由斜二测画法可得底面平面图如图所示，其中OA=2OB=2OC=2，所以AB=AC=√5，所以此三棱柱的表面积为S=2×12×2×2+(2+2√5)×2=8+4√5.故选C.9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查正弦型函数的奇偶性，正弦型函数的图象变换，属于基础题.由函数的图象变换得到g(x)=sin (2x +2φ)，再利用三角函数奇偶性知φ=π4+kπ2,k ∈Z ，即可得出选项. 【解答】解：由函数y =sin2x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位，得到函数y =g (x )的图象，可知g(x)=sin2(x +φ)=sin (2x +2φ)，又函数g (x )是偶函数，∴2φ=π2+kπ,k ∈Z ，即φ=π4+kπ2,k ∈Z ，当k =0时，φ=π4；当k =1时，φ=3π4；当k =2时，φ=5π4，故选AC.10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查正弦定理，余弦定理，数量积的运算性质，属于一般题.利用正弦定理判断选项A ，利用数量积的性质判断选项B 和C ，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D. 【解答】解：A ：若|a ⃗ |>|b⃗ |，由正弦定理得2RsinA >2RsinB(R 为△ABC 外接圆半径)，∴sinA >sinB ，则 A 正确；B ：若a ⃗ ⋅b ⃗ >0，则cos(π−∠ACB)>0， ∴cos∠ACB <0，即∠ACB 为钝角， ∴△ABC 为钝角三角形，故 B 错误； C ：若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则AC ⊥BC ， ∴△ABC 为直角三角形，故 C 正确；D ：若(b ⃗ +c ⃗ −a ⃗ )⋅(b ⃗ +a ⃗ −c ⃗ )=0，则b ⃗ 2−(a ⃗ −c ⃗ )2=0， ∴a ⃗ 2+c ⃗ 2−b ⃗ 2=2a ⃗ ⋅c ⃗ ，a⃗ 2+c ⃗ 2−b ⃗ 22|a⃗||c ⃗ |=−cosB ，由余弦定理知|a ⃗ |2+|c ⃗ |2−|b⃗ |22|a⃗ ||c ⃗ |=cosB ，∴cosB =−cosB ，则cosB =0，∵B ∈(0,π)，∴B =π2，△ABC 为直角三角形，故 D 正确．故选ACD.11.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，属于一般题.根据正弦定理知A 正确，计算最大角为锐角，B 错误，根据面积公式得到C 正确，根据正弦定理得到D 正确，得到答案. 【解答】解：sinA:sinB:sinC =a:b:c =4:5:6，A 正确； cosC =a 2+b 2−c 22ab =16+25−3640=18>0，三角形最大角为锐角，B 错误；cosC =18，故sinC =√1−cos 2C =3√78，S =12absinC =12×4×5×3√78=15√74，设内切圆半径为r ，则S =12r (a +b +c )=152r =15√74，故r =√72，C 正确；设外接圆半径为R ，则csinC =3√78=16√77=2R ，R =8√77，D 正确.故选ACD.12.【答案】AB【解析】【分析】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于基础题. 可先求出函数g(x)的解析式，再对选项进行判断. 【解答】解：将正弦曲线y =sinx(x ∈R)上所有的点向左平移π6个单位得图象对应解析式为y =sin (x +π6)，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到g(x)=sin (2x +π6)，选项A ，因为g (−π12)=sin (−π6+π6)=0，所以正确；选项B ，由x ∈(π6,π2)得2x +π6∈(π2,7π6)，因为函数y =sinx 在(π2,7π6)上单调递减，所以函数g(x)在(π6,π2)上单调递减，所以正确；选项C ，由x ∈[0,π4]得2x +π6∈[π6,2π3]，所以当2x +π6=π2时，取最大值为1，所以错误；选项D ，因为函数g(x)的最小正周期为2π2=π，所以错误.故选AB.13.【答案】1【解析】【分析】本题考查两角和的正切公式，属于基础题.由1=tan45∘=tan (10∘+35∘)，利用两角和的正切公式计算即可. 【解答】解：因为1=tan45∘=tan (10∘+35∘)=tan10∘+tan35∘1−tan10∘tan35∘，所以tan10∘+tan35∘+tan10∘tan35∘=1. 故答案为1.14.【答案】3π【解析】【分析】本题考查圆锥的体积，圆锥的侧面展开图，属于基础题.先求得圆锥底面圆半径以及圆锥的高，再利用圆锥体积公式即可求得结果. 【解答】解：设圆锥的底面圆半径为r ，圆锥的高为h ，根据题意可得：2πr =12×2π×2√3，故可得r =√3，则ℎ=√(2√3)2−r 2=3，故圆锥的体积V =13×πr 2×ℎ=3π.故答案为3π.15.【答案】π3【解析】【分析】本题主要考查了向量的夹角，考查了余弦定理，属于基础题. 利用余弦定理求出C ，即可求出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角【解答】解：∵AB =7，BC =5，CA =3 ∴△ABC 中，cosC =AC 2+BC 2−AB 22AC⋅BC=9+25−492×3×5=−12，因为0<C <π，所以C =2π3， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是π−C =π3故答案为：π316.【答案】2:3【解析】【分析】本题考查圆柱与球的体积，属于基础题.设球的半径为R ，则由题意可表示出圆柱的底面半径和高，从而可表示两几何体的体积，进而可得答案【解答】解：设球的半径为R ，则由题意可得圆柱的底面半径为R 和高为2R ，所以球与圆柱的体积之比为43πR 3:(πR 2⋅2R)=43πR 3:(2πR 3)=23. 故答案为2:3.17.【答案】解：设圆锥底面半径为r ，圆柱底面半径为r′，则r =2，r′=1.又可知圆柱母线长l =2，圆锥母线长l =√42+22=2√5. (1)圆锥的表面积为S =π⋅r 2+π⋅r ⋅l =π×22+π×2×2√5=(4+4√5)π(2)由题意知，因为O′为PO 的中点，所以挖去圆柱的底面半径为1，高为2，剩下几何体的体积为圆锥的体积减去挖去小圆柱的体积，剩下几何体的体积V =13πr 2⋅OP −πr′2⋅OO′=13⋅π×22×4−π×12×2=103π.【解析】本题考查圆柱与圆锥的结构特征及表面积与体积，考查分析推理能力与计算能力，属于中档题.(1)根据题干所给条件，利用圆锥的表面积公式求出即可； (2)利用圆锥与圆柱的体积公式进行求解即可.18.【答案】解：(1)∵a ⃗ =(√5,−2)，a ⃗ //b ⃗ ，∴设b ⃗ =λ(√5,−2)，且|b ⃗ |=3√2， ∴3|λ|=3√2，解得λ=±√2， ∴b ⃗ =(√10,−2√2)或(−√10,2√2)；(2)∵|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=1，<a ⃗ ,b ⃗ >=2π3，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，又(a ⃗ +λb ⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )，∴(a ⃗ +λb ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=2a ⃗ 2−λb ⃗ 2+(2λ−1)a ⃗ ⋅b⃗ =8−λ−2λ+1=0，解得λ=3. 【解析】本题考查了共线向量基本定理，根据向量的坐标求向量的长度的方法，非零向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．(1)根据a ⃗ =(√5,−2)，a ⃗ //b ⃗ 即可设b ⃗ =λ(√5,−2)，然后根据|b ⃗ |=3√2即可求出λ的值，进而可得出向量b ⃗ 的坐标；(2)可先求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−1，然后根据(a ⃗ +λb ⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )即可得出(a ⃗ +λb ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=0，然后进行数量积的运算即可求出λ的值．19.【答案】解：(1)f(x)=cos(2x +π3)−2cos 2x=cos2xcos π3−sin2xsin π3−1−cos2x =12cos2x −√32sin2x −1−cos2x =−√32sin2x −12cos2x −1=−sin (2x +π6)−1.即f (x )=−sin (2x +π6)−1 所以f(x)的最小正周期为T =2π2=π.(2)令2x +π6=kπ，k ∈Z ，解得x =−π12+kπ2，k ∈Z ，所以函数的对称中心为(kπ2−π12,−1)，k ∈Z. (3)当x ∈[0,π3)时，π6≤2x +π6<5π6，所以12≤sin (2x +π6)≤1则当2x +π6=π2，即x =π6时，f(x)min =−2；当2x +π6=π6，即x =0时，f(x)max =−32.【解析】本题考查三角恒等变换的应用，考查正弦型函数的周期性、对称中心与值域，属于一般题.(1)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，利用周期公式求得函数的最小正周期． (2)根据正弦函数的性质计算可得；(3)利用x 的范围求得2x +π6的范围，再根据正弦函数的性质求出函数在区间上最大值和最小值．20.【答案】解：(1)由cos B(√3a −bsin C)=bsin Bcos C ，得√3acos B −bcos Bsin C =bsin Bcos C ，∴√3acos B =bsin Bcos C +bcos Bsin C ，即√3acos B =bsin (B +C)，∴√3acos B =bsin A.由正弦定理，得√3sin Acos B =sin Bsin A ，又sin A ≠0， ∴√3cos B =sin B ，即tan B =√3，又0<B <π，∴B =π3. (2)由c =2a,△ABC 的面积为2√33，得S △ABC =12acsin B =12×a ×2a ×√32=2√33，解得a =2√33，即c =2a =4√33. 由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accos B ，可得b 2=(2√33)2+(4√33)2−2×2√33×4√33×12=4，解得b =2.∴△ABC 的周长为C △ABC =a +b +c =2√33+2+4√33=2+2√3.【解析】本题主要考查两角和与差的三角函数、正弦定理、余弦定理及三角形面积，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.(1)由已知三角函数的等量关系，结合两角和正弦公式得√3acos B =bsin A ，根据正弦定理、三角形内角的性质，即可求B ；(2)由三角形面积公式求出a 、c ，再根据余弦定理求b ，即可求△ABC 的周长．21.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=−√2×[√22cos(ωx +φ)−√22sin(ωx +φ)]=−√2cos(ωx +φ+π4).因为f(x)为偶函数，所以φ+π4=kπ(k ∈Z)，解得φ=−π4+kπ(k ∈Z). 又|φ|<π2，所以φ=−π4，所以f(x)=−√2cos(ωx)，由题意得2πω=2×π，所以ω=1，所以f(x)=−√2cosx.故f(π4)=−√2cos π4=−1.(2)y =√3f(x)+f(x +π2) =−√2×(√3cosx +cos(x +π2))=−2√2×(√32cosx −12sinx)=2√2sin(x −π3)，当x −π3=2kπ+π2(k ∈Z)，即x =2kπ+5π6(k ∈Z)时，y 有最大值2√2.【解析】本题考查三角函数解析式的求解，三角函数的最值，属于中档题. (1)利用已知结合三角函数的性质即可求解函数解析式，即可求解f(π4)的值； (2)求得y =√3f(x)+f(x +π2)=2√2sin(x −π3)，即可求解最大值及对应的x 的值.22.【答案】解：(1)因为(a −b)(sinA +sinB)=sinC(c −√3b)，由正弦定理得(a −b)(a +b)=c(c −√3b)，整理得a 2=b 2+c 2−√3bc.即b 2+c 2−a 2=√3bc 由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=√3bc 2bc =√32，因为A ∈(0,π)，所以A =π6; (2)由(1)得A =π6，所以S △ABC =12bcsinA =12bcsin π6=2+√3，所以bc =8+4√3.由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−2bccos π6=b 2+c 2−√3bc ≥2bc −√3bc =(2−√3)bc =(2−√3)(8+4√3)=4，当且仅当b =c =√2+√6时取等号，所以a 2≥4，因为a >0，所以a ∈[2,+∞).【解析】本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式，考查利用基本不等式求最值，考查分析与计算能力，属于中档题.(1)因为(a −b)(sinA +sinB)=sinC(c −√3b)，由正弦定理得a 2=b 2+c 2−√3bc ，再由余弦定理计算得A 即可;(2)由(1)得A=π，由三角形面积公式计算得bc=8+4√3，由余弦定理得a2=b2+c2−6=b2+c2−√3bc≥2bc−√3bc=4，所以a2≥4，即可求解.2bccosπ6。