指数与指数函数理北师大版
指数函数高一上学期数学北师大版(2019)必修1
x
(a 1)的图象和性质
恒过定点 (0,1)
定义域：R
值域：(0, )
单调性：单调递增
12
y
10
x
y=4
y = 3x
8
y = 2x
4
y=
3
()
y=1
10
6
x
4
2
5
O
2
5
10
奇偶性：非奇非偶
当x 0时，y 1 ;
当x 0时，0 y 1 .
在 y 轴右侧底数越
大，图象越高.
15
学生活动
x
x
1
1
探究2：画出函数 y , y 的图象，再在同一直角坐标系下比较.
2
3
y
描点法作图
列表
x
8
x
1
2
1
4
1
8
⋯
4
⋯ 3 2 1 0 1 2 3 ⋯
1 1 1
⋯ 27 9 3 1 3 9 27 ⋯
2
1
⋯ 8 4 2 1
x
1
y
x
x
y
描点法作图
列表
描点
作图
8
⋯ 3 2 1 0 1 2 3 ⋯
x
y2 ⋯
x
1
4
1
2
4
⋯ 3 2 1 0 1 2 3 ⋯
2
1
y 3 ⋯
x
1
8
1 2 4 8 ⋯
x
1
27
1
9
1
3
1 3 9 27 ⋯
3 2 1 O
1 2 3
高考北师大版数学总复习课件：2.6指数与指数函数
指数与指数函数
考纲解读 1．了解指数函数模型的实际背景． 2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指 数函数图像通过的特殊点． 4．知道指数函数是一类重要的函数模型．
考向预测 1．指数函数在高中数学中占有十分重要的地位，是高考重 点考查的对象，热点是指数函数的图像与性质的综合应用．同 时考查分类整合思想和数形结合思想． 2．幂的运算是解决与指数有关问题的基础，常与指数函数 交汇命题．
(2)根式的性质 ①当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数的 n n 次方根是一个负数，这时， a 的 n 次方根用符号 a 表示． ②当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有两个，它们互为相反 n 数，这时，正数的正的 n 次方根用符号 a 表示，负的 n 次方 n n 根用符号 － a 表示．正负两个 n 次方根可以合写为 ± a (a>0)．
7．若函数 f(x)＝ (a2－ 1)x 在 (－∞，＋∞ )上是减函数，求 a 的取值范围．
[解析] ∵0<a2－ 1<1，∴1<a2<2， ∴－ 2< a<－ 1 或 1<a< 2. 即 a 的取值范围是(－ 2，－1)∪(1， 2)．
幂式的化简与求值
[分析] 将根式化为分数指数幂，按分数指数幂的运算 性质进行运算．
1 C. － 1， 2
的单调递增区间是
B． [2，＋∞)
1 D. ， 2 2
[答案] D
[解析] 令 t＝－ x2＋ x＋ 2≥ 0，得函数定义域为 [－1,2]，所 以 t＝－ x
2
1 1 ＋ x＋ 2 在－ 1， 上递增， 在 ， 2上递减． 根据“同 2 2 1 的单调递增区间是 ， 2. 2
北师大版高一数学必修一指数函数的概念说课稿
指数函数的概念尊敬的各位考官大家好，我是今天的08号考生，今天我说课的题目是指数函数的概念。
接下来我将从教材分析、学情分析、教学过程（手势）等几个方面展开我的说课。
一、说教材《指数函数的概念》选自北师大版必修一第3章第三节，是在学生接触到的第一个基本初等函数。
它一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步学习对数函数、幂函数打下坚实的基础。
二、说学情深入了解学生是新课标要求下教师的必修课，学生在初中阶段已经掌握了用描点法画函数图象,并且通过前一阶段的学习,已经基本掌握了函数的基本性质，学习了指数和指数幂的运算，初步了解了数形结合的思想。
三、说教学目标依据学生的知识水平和年龄特点，以及本节课在教材中所处的地位及作用，我制定了以下教学目标：1、理解指数函数的定义，掌握指数函数的图象、性质及其简单应用。
2、体会数形结合和分类讨论思想，体验从特殊到一般的学习方法。
3、提升学生数学抽象素养和数学运算素养。
四、说教学重难点要上好一节数学课，在教学内容上一定要做到突出重点、突破难点。
根据本节课的内容，确定教学重点为指数函数的图像、性质及其运用。
教学难点为指数函数的图象和性质与底数a的关系。
五、说教法和学法结合本节课的内容和学生的认知规律，我主要采用讲授法、启发法、小组合作、自主探究等教学方法。
在学法上,我主要采用观察法、合作交流法、归纳总结法等教学方法。
六、说教学过程古语说“凡事预则立，不预则废”，为了更好的以学定教，我会让学生在课前完成一份前置作业（预习单），分为两部分：1.是旧知连接，出一些本课知识紧密相关的已经学过的练习题，这样可以很好的摸清学生基础。
2.是新知速递，是让学生自己先进行预习，完成一些与本课知识相关的基础的练习，从而培养学生的预习能力。
为了实现这节课的教学目标，突出重点，突破难点，整节课的教学分几个部分进行环节一：创设情境，引入新课以游戏导入，学生分组，通过动手折纸，观察对折的次数与所得的层数之间的关系，得出对折次数x与所得层数y的关系式。
高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册
知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】 画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数
高中数学北师大版必修1课件第三章指数函数和对数函数
A.a B.b
C.c D.d
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是变化最快的函数.当
运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数关系运动的
物体.
答案:D
题型一
题型二
题型三
题型三 函数的增长差异在实际中的应用
【例3】 某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激
励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进
这说明,按模型y=log7x+1进行奖励,奖金不超过利润的25%.
综上所述,模型y=log7x+1符合公司要求.
反思从这个例题可以看到,底数大于1的指数函数模型比一次项
系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多,而后者又比真数大
于1的对数函数模型增长速度要快,从而我们可以体会到对数增长、
直线上升、指数爆炸等不同函数类型增长的含义.
时,y>5,因此该模型不符合要求.
对于模型y=1.002x,利用计算器,可知1.002806≈5.005,由于y=1.002x
在(-∞,+∞)上是增函数,故当x∈(806,1 000]时,y>5,因此,也不符合题
意.
对于模型y=log7x+1,它在区间[10,1 000]上是增加的,且当x=1 000
是增函数,但它们增长的速度不同,而且不在一个“档次”上,随着x的
增大,y=ax(a>1)的增长速度会越来越快,会超过并远远大于
y=xn(x>0,n>1)和y=logax(a>1)的增长速度.由于指数函数值增长非
常快,人们常称这种现象为“指数爆炸”.
【做一做1】 当x(x>0)增大时,下列函数中,增长速度最快的是
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展2指数幂的运算性质课件北师大版必修第一册
1
1
典例已知 pa3=qb3=rc3,且 + + =1.
1
2
2
2
求证:(pa +qb +rc )3
=
1
3
+
1
3
+
1
3.
分析看见三个式子连等,立刻想到赋中间变量,通过中间变量去构
建能用到题干中已知值的式子.
探究一
探究二
探究三
探究四
证明:令pa3=qb3=rc3=k,
则 pa2=,qb2=,rc2= ,
2
1
(y>0).
反思感悟解与分数指数幂有关的方程时,一般是利用分数指数幂与
根式的对应关系,转化求解.
探究一
探究二
探究三
变式训练 1 已知 x>0,
2
3 =4,则
-
x 等于(
3
1
A.
8
B.8
C.
答案:A
2
3
1
1
1
-
解析:由 =4,得 3
3
探究四
x2
=4,
1
∴ 2 = 4,∴x2=64,∴x=8(x>0).
, ≥ 0,
算, =|a|=
-, < 0.
激趣诱思
知识点拨
二、指数幂的运算性质
对于任意正数a,b和实数α,β,指数幂均满足下面的运算性质:
aα·aβ=aα+β,
(aα)β=aαβ,
(a·b)α=aα·bα.
名师点析1.实数指数幂的运算性质除了上述三个外,还有如下两个
新教材高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的图象和性质课件北师大版必修第一册
①当 x＜0 时，__a__x＞__b_x_＞__1___； 大小 ②当 x＝0 时，ax＝bx＝1；
③当 x＞0 时，__0_＜__a_x_＜__b_x＜__1____
知识点4 指数函数的图象和性质 0＜a＜1
图象
a＞1
性质
0＜a＜1
a＞1
(1)定义域：R
(2)值域：(0,＋∞)
(3)过定点____(_0_,1_)___,即x＝0时,y＝_____1
(4)当x＜0时,____y_＞__1__；
(4) 当 x ＜ 0 时 , ____0_＜__y_＜__1__ ；
当x＞0时,_____0_＜__y_＜__1_
当x＞0时,_____y_＞__1_
(5)__减____函数
(5)定是指数函数的是
A．y＝2x＋1
(B) (C)
[解析] (1)函数 y＝(－4)x 的底数－4＜0，故 A 中函数不是指数函数；
函数 y＝πx 的系数为 1，底数 π＞1，故 B 中函数是指数函数；
函数 y＝－4x 的系数为－1，故 C 中函数不是指数函数；
函数 y＝ax＋2＝a2·ax 的系数为 a2，故 D 中函数不是指数函数，故选 B．
B．y＝x2
C．y＝3－x
D．y＝－2·3x
(C)
[解析] 只有 y＝3－x＝(31)x 符合指数函数的概念，A，B，D 选项中函 数都不符合 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的形式．
2．按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年息3%,5年后支取,
本利和为人民币
(B )
A．2(1＋0.3)5万元
基础知识
知识点1 指数函数 (1)定义：给定正数a,且a≠1时,_______y_＝__a是x 一个定义在实数集上的
高中数学必修一指数运算与指数函数
• 指数函数的定义表达式� = �� 中，�� 前的系
数必须是1。自变量x在指数的位置上。
• 比如� = 2�� , � = �� + 1, � = ��+1 等，都不
是指数函数；
• 有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，
如� = �−� (� > 0且� ≠ 1) ，因为它可以化为
�
1
期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝
五、比较幂值得大小
• 底数相同：利用函数的单调性进行比较；
• 指数相同：
• 方法一：可转化为底数相同进行比较；
• 方法二：可借助函数图像进行比较。指数函数在
同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如
下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底数按
逆时针方向由小变大。
• 指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。
合函数；
• ④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复
合函数，不是指数函数；
• ⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；
• ⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，
故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)是指数函数；
• ⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．
1 �
1
1
�=
，其中 > 0，且 ≠ 1 。
�
�
�
四、指数函数的图像和性质
四、指数函数的图像和性质
• 特别提醒：
• 角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的
关系有如下规律：
• 在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；
在y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变.
第三章-§3-指数函数高中数学必修第一册北师大版
根据在轴右侧③的图象在④的图象上方可知 > ；根据在轴左侧①的图象在②的
图象下方可知 > .
综上可知 < < 1 < < .
方法2 作直线 = 1（如图3-3-3），则直线 = 1与题中四个函数图象
例12 若方程 3 − 1 = 有一解，则的取值范围为_____________.
【解析】函数 = 3 − 1 的图象是由函数 = 3 的图象向下平
移一个单位长度后，再把位于轴下方的图象沿轴翻折到轴上
方得到的，函数图象如图3-3-6所示.
当 = 0或 ≥ 1时,直线 = 与函数 = 3 − 1 的图象有唯一的
所以2 − 3 + 3 = 1，解得 = 2或 = 1，又 > 0且 ≠ 1，所以 = 2.
题型2 求指数型函数的定义域或值域
例7 ［教材改编P91 A组T1］求下列函数的定义域和值域：
（1） = 1 − 3 ；
【解析】要使函数式有意义，则1 − 3 ≥ 0，即3 ≤ 1 = 30 .
1 −4
2
2
− 4 ≥ −4,
= 16.
0,所以函数 =
2
1 −2−3
的值域为(0,16].
2
题型3 指数函数的图象及应用
例8 利用函数 = = 2 的图象，作出下列各函数的图象：
（1） − 1 ；（2） ；（3） − 1；
（4）− ；（5） − 1 ．
【解析】作出函数 = |3 − 1| − 1的图象如图3-3-8所示.
由图象知 ≤ −1,
第四章-§4-指数函数、幂函数、对数函数增长的比较高中数学必修第一册北师大版
C.∀ > 0, > log
D.不一定存在0 ,当 > 0 时，总有 > > log
【解析】对于A，幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响，
幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较.对于B，C，当0 < < 1时，显然不
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
( D
)
A. = 2 − 2
B. =
1
2
C. = log 2
D. =
1
2
2 − 1
【解析】由于一次函数 = 2 − 2是均匀增加的，因此A不对；指数函数 =
1
是
2
单调递减的，也不符合要求，因此B不对；对数函数 = log 2 的增长速度先快后慢，
当 > 2 时， > ，
∴ 2 021 > 2 021 .
又 2 021 > 6 ，
∴ 2 021 > 2 021 > 6 > 6 .
题型2 函数增长模型的应用
例7 某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利
【答案】函数 = , = 和 = 在 , +∞ 上都是增函数，随着的增大，
= 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 = 和 = 的增长速度，而
= 的增长速度越来越慢, = 的增长速度介于两者之间.
新教材北师大版必修第一册 第三章指数运算与指数函数1指数幂的拓展 课件(31张)
2.根式
(1)式子 n a 叫作根式,n叫作根指数,a叫作被开方数. (2)性质:当n>1,n∈N*时,
①( n a )n=_a_;
② n an
=
__a_, n为奇数， _a__, n为偶数.
【思考】 式子( 4 a )4与 4 a4 中的a的范围一样吗?为什么? 提示:不一样,式子( 4 a )4中a≥0,4 a4 中a∈R.
1 a
.
【思考】 指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的? 提示:
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1) （4 －2）4 =-2.( )
(2)
－3
a4
1
.
(
)
3 a4
(3)5 3 是一个确定的实数. ( )
提示:(1)×. 4 (－2)4 4 24 2.
(2)×.
4.
4
89
答案: 4
9
课堂检测·素养达标
1.下列各等式中成立的是(a>0) ( )
3
2
A.a 2 3 a2 B.a 3 3 a2
2
C.a 5
5
a
2
D.a
1 2
a
【解析】选B.因为
3
a2
所以成立的是
2
a3
3
a2.
2
a3，a 3
3
2
a2，a 5
5
a
2，a
1 2
1，
a
2.若x<3,则 9 6x x2 -|x-6|的值是 (
A.10 2B. 10 2C. 210 D. 10 2
【解析】选D.因为m10=2,所以m是2的10次方根, 又因为10是偶数,所以2的10次方根有两个,且互为相反数,所以m=±10 2.
【优质课件】高中数学北师大版必修一3.3.1指数函数的概念 指数函数y=2x和y=12x的图像和性质优秀课件.ppt
• [规律总结] 前五个小题的图像变换方法我们 已在前边学过，后两个小题是图像翻折问 题．由y＝f(x)变到y＝|f(x)|，把x轴下方的图 像上翻；由y＝f(x)变到y＝f(|x|)，把y轴左边 图像删除，利用偶函数图像对称性补充完 整．
• 指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图像过点(3， π)，求f(0)，f(1)，f(－3)的值．
D．b<c<a
[答案] B [解析] 因为 y＝0.5x 在 R 上是减函数，
又12>13>14，
1
1
1
所以 0.52 <0.53 <0.54 ，即 a<b<c.
3．函数 y＝(12) x－1的值域是(
)
A．(－∞，0)
B．(0,1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
[答案] B
[解析] ∵ x－1≥0， ∴(21) x－1≤(12)0＝1，且(21) >0. x－1 ∴所求值域为(0,1]．
[解析]
由题意可得
a3＝π，∴a＝3
1
π＝π3
，
x
1
所以 f(x)＝π3 ，因此 f(0)＝π0＝1，f(1)＝π3 ，f(－3)＝π－1＝Leabharlann π.易错疑难辨析•
函数f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函
数，求实数a的值．
• [错解] 因为f(x)＝(a2－3a＋3)·ax为指数函 数，所以有a2－3a＋3＝1.
• (1)若函数f(x)＝(a2－a－1)·ax是一个指数函 数，则实数a的值为________；
• (2)若指数函数f(x)的图像经过点(－1,4)，则 f(2[答)＝案]__(_1)_2__(2_)1_16.
3.指数函数的概念-北师大版必修1教案
3.指数函数的概念-北师大版必修1教案1. 指数的定义指数是幂运算中的一个概念，表示一个数乘以自身多少次。
指数可以是正整数、负整数、分数或者小数。
其中，正整数指数表示将基数乘以多少个自己，负整数指数表示将基数除以多少个自己，分数和小数指数表示对基数进行开方或开根运算。
2. 指数函数的概念指数函数是将变量 x 作为指数的函数，可以表示为 f(x) = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。
指数函数是一种非常特殊的函数，因为它的自变量 x 实际上并不是一个实数，而是一个指数。
指数函数的图像通常是一个非常陡峭的曲线，只有一个水平渐近线。
指数函数有很多有趣的性质，例如：•当 a 大于 1 时，指数函数是增长的，它的图像远离 x 轴而逐渐趋近于 y 轴；当 a 小于 1 时，指数函数是衰减的，它的图像接近于 x 轴。
•指数函数的反函数是对数函数，在数学上也是非常重要的一种函数。
3. 指数函数的图像和性质3.1 指数函数图像指数函数如上图所示，当指数 a 大于 1 时，指数函数是向上增长的，且呈现出非常陡峭的曲线；当指数 a 介于 0 和 1 之间时，指数函数是向下衰减的，且曲线越来越平缓。
3.2 指数函数的性质指数函数有许多有趣的性质，如下所示：•对于 a 大于 1 的情况，指数函数的 y 坐标随着 x 的增加而迅速上升；当 a 小于 1 时，指数函数的 y 坐标随着 x 的增加而缓慢下降。
•指数函数的导数仍然是指数函数，可以通过求导的方法来证明。
•指数函数的反函数是对数函数，具有非常重要的数学性质。
4. 指数函数的应用指数函数在自然科学和社会科学中都有广泛的应用，例如：•在生物学中，指数函数可以用来表示微生物、动植物的增长趋势。
•在物理学中，指数函数可以用来表示弹性势能和电容充电过程的变化趋势。
•在经济学和金融学中，指数函数可以用来表示利率、通货膨胀率和股票价格等的变化趋势。
总之，指数函数是一种非常重要的数学概念，它在数学和各个学科中都有广泛的应用。
北师大版高中数学必修第一册3.3.1指数函数的概念及其图象课件
+1.
令2x=t, 则 t ∈[1,4], 且f(t)=(t+1)²+1, ∴f(1)≤f(t)≤f(4), 即 5 ≤f(t)≤26,
易知f(t)在[1,4]上单调递增，
即函数y=4x+2x+1+2 的值域为[5,26].
方法归纳 与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法(a>0, 且a≠1):
(1)函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同； (2)求函数y=af(x)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y= a 的单调性确定函数y=af(x)的值域；
(3)求函数y=f(a) 的定义域，需先确定y=f(u) 的定义域，即u的取值 范围，亦即u=a 的值域，由此构造关于x的不等式(组),确定x的取值 范围，得y=f(a) 的定义域；
解析：f(-1)=2-(-1)=2,∴f(-1)=f(2)=a ·2²=1,∴
6. (12分)设f(x)=3x,
垂
(1)在同一坐标系中作出f(x),g(x) 的图象；
解析：函 数f(x)与g(x)的图象如图所示.
(2)计算f(1)与g(一1),f(π) 与g(一π),f(m) 与g(-m) 的值，从中你能得 到什么结论?
例1求下列函数的定义域和值域：
(1)y=√ 1-3×;
解析：要使函数式有意义，则1-3x≥0, 即3*≤1=30,因为函数y=3×在R上是 增函数，所以x≤0, 故函数y =√1-3 ×的定义域为(一0,0).
因为x≤0, 所以0<3x≤1, 所以0≤1-3x<1, 所以 √1-3×∈[0,1],即函数y=√1-3× 的值域为[0,1].
D.[0,1]
答案：C 解析：因为指数函数y=3x 在区间[-1,1]上是增函数，所以3-¹ ≤3×≤3¹ ,于是
03-第三节 指数函数高中数学必修一北师大版
−2 + 1, < 0
如图1所示,则由图象易得 ∈ 0,1 .
（2）若曲线 = 2 − 1与直线 = 有两个公共点，则实数的取值范围
0, +∞
是________；
【解析】 作出曲线 = 2 − 1,如图2所示,则由图象易得 ∈ 0, +∞ .
（3）若曲线 = 2 + 1与直线 = 没有公共点，则实数的取值范围是
示,故 的图象不过第一象限. （【另解】也可由函数 = 2 − 3+1单调
递减且其图象过定点 0, −1 和 −1,1 知 的图象不过第一象限）故选A.
8.函数① = ；② = ；③ = ；④ =
的图象如图所示，，，，分别是下列四个
以函数 = − 的图象一定经过第二、三、四象限.故选D.
变式已知函数 = −3 + 1( > 0，且 ≠ 1)的图象恒过点 , ，
则函数 = − +1 的图象不经过( A )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】 在函数 = −3 + 1( > 0且 ≠ 1)中,当
5
数： ，
4
1 1
3， ， 中的一个，则，，，的值分
3 2
别是( C )
5
A. ，
4
1 1
3， ，
3 2
B.
5 1 1
3， ， ，
4 2 3
1 1
C. ， ，
2 3
5
3，
4
1 1 5
D. ， ， ，
3 2 4
3
【解析】 直线 = 1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为,,,,
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第五节 指数与指数函数1．正整数指数函数函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1，x ∈N ＋)，叫作正整数指数函数，其中x 是自变量，定义域是正整数集N ＋.2．分数指数幂 (1)分数指数幂：给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n＝a m ，我们把b 叫作a 的m n 次幂，记作b ＝a mn.(2)正分数指数幂：a m n＝na m(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)． (3)负分数指数幂：a －m n＝1a m n＝1na m(a ＞0，m 、n ∈N ＋，且n ＞1)．(4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． 3．指数幂的运算性质当a >0，b >0时，对任意实数m ，n ，都有： (1) a m a n ＝a m ＋n ；(2)(a m )n ＝a mn ；(3)(ab )n ＝a n b n .y ＝a xa ＞1 0＜a ＜1图 像定义域 R 值域(0，＋∞) 性 质(1)过定点(0,1)(1)过定点(0,1) (2)当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1 (2)当x ＞0时，0＜y ＜1； x ＜0时，y ＞1 (3)在R 上是 增函数(3)在R 上是 减函数1.na n＝a成立的条件是什么？2．如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d 与1之间的大小关系如何？你能得到什么规律？3．当a>0，且a≠1时，函数y＝a x，y＝a|x|，y＝|a x|，y＝⎝⎛⎭⎪⎫1ax之间有何关系？1．化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( )A．－9 B．－10 C．9 D．72．化简416x8y4(x<0，y<0)得( )A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y3．函数f(x)＝3x＋1的值域为( )A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)4．当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝a x－2－3的图象必过定点________．5．若指数函数f(x)＝(a－2)x为减函数，则实数a的取值范围为________．考点一指数幂的化简与求值[例1] 化简：(1)a3b23ab2a14b124a－13b13(a＞0，b＞0)；(2)⎝⎛⎭⎪⎫－278－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0.【方法规律】指数幂的运算规律指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行化简，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．计算：(1) 3a92a－3÷3a－73a13； (2)(0.027)－13－⎝⎛⎭⎪⎫17－2＋⎝⎛⎭⎪⎫27912－(2－1)0；(3)已知m12＋m－12＝4，求m32－m－32m12－m－12.考点二指数函数的图象[例2] (1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是( )A B C D(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．【互动探究】若将本例(2)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，求b 的取值范围．解：【方法规律】 指数函数图象的应用(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(2)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．1．若函数y ＝a x＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围分别是________．2．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围为________．高频考点考点三 指数函数的性质及应用1．高考常以选择题或填空题的形式考查指数函数的性质及应用，难度偏小，属中低档题． 2．高考对指数函数的性质的考查主要有以下几个命题角度： (1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)求解指数型函数中参数的取值范围．[例3] (1)(2012·天津高考)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a(2)(2014·宝鸡模拟)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x－4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6} D ．{x |x ＜－2或x ＞2}(3)(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.指数函数的性质及应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)指数型函数中参数的取值范围问题．在解决涉及指数函数的单调性或最值问题时，应注意对底数a 的分类讨论．1．设a ＝40.8，b ＝80.46，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≥0，则不等式－13≤f (x )≤13的解集为( )A ．[－1,2)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．(1， 3 ]∪[3，＋∞)3．设a ＞0且a ≠1，函数y ＝a 2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为________． —————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1个关系——分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2个注意点——应用指数函数性质时应注意的两点(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象和性质跟a 的取值有关，要特别注意应分a >1与0<a <1来研究．(2)对可化为a 2x＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x＋c ≥0(≤0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的取值范围．3个关键点——指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .前沿热点(三)指数函数与不等式的交汇问题1．高考对指数函数的考查多以指数与指数函数为载体，考查指数的运算和函数图象的应用，且常与函数性质、二次函数、方程、不等式等内容交汇命题．2．解决此类问题的关键是根据已知(或构造)指数函数或指数型函数的图象或性质建立相关关系式求解．[典例] (2012·浙江高考)设a ＞0，b ＞0，( )A ．若2a ＋2a ＝2b ＋3b ，则a ＞bB ．若2a ＋2a ＝2b＋3b ，则a ＜b C ．若2a －2a ＝2b －3b ，则a ＞b D ．若2a －2a ＝2b－3b ，则a ＜b[解题指导] 分析题目选项的特点，可构造函数f (x )＝2x＋2x ，然后利用其单调性解决． [解析] ∵a >0，b >0，∴2a ＋2a ＝2b ＋3b >2b ＋2b .令f (x )＝2x＋2x (x >0)，则函数f (x )为单调增函数．∴a >b .[答案] A[名师点评] 解决本题的关键有以下两点： (1)通过放缩，将等式问题转化为不等式问题； (2)构造函数，并利用其单调性解决问题．设函数f (x )＝32x－2×3x ＋a 2－a －5，当0≤x ≤1时，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝32x －2×3x ＋a 2－a －5＝(3x －1)2＋a 2－a －6，∵0≤x ≤1，∴1≤3x≤3，∴函数f (x )＝32x－2×3x ＋a 2－a －5在0≤x ≤1上是增函数，f (x )＞0恒成立⇔f (0)＞0，f (0)＝1－2＋a 2－a －5＝a 2－a －6＝(a －3)(a ＋2)＞0，∴a ＞3或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)[全盘巩固]1．化简a 23·b －1－12·a －12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2b D.1a2．函数y ＝a x－a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )A B C D3．设函数f (x )＝x 2－4x ＋3，g (x )＝3x－2，集合M ＝{x ∈R |f (g (x ))>0}，N ＝{x ∈R |g (x )<2}，则M ∩N 为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．(－∞，1)4．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a5．(2014·萍乡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －8x ＜0，x 2＋x －1x ≥0，若f (a )＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 6．(2014·瑞金模拟)设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 7．若x ＞0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.8．已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值为________．9．(2014·徐州模拟)已知过点O 的直线与函数y ＝3x的图象交于A ，B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数y ＝9x 的图象于C 点，当BC 平行于x 轴时，点A 的横坐标是________．10．函数f (x )＝2＋x x －1的定义域为集合A ，关于x 的不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫122x ＞2－a －x (a ∈R )的解集为B ，求使A ∩B ＝B 的实数a 的取值范围．11．已知f (x )＝e x －e －x ，g (x )＝e x ＋e －x(e ＝2.718 28…)． (1)求[f (x )]2－[g (x )]2的值； (2)若f (x )f (y )＝4，g (x )g (y )＝8，求g x ＋yg x －y的值．12．设函数f (x )＝ka x －a －x(a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f (1)＞0，求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x－4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．[冲击名校]1．若存在负实数使得方程2x －a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(0,2) D ．(0,1)2．对于函数f (x )，如果存在函数g (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数)，使得对于区间D 上的一切实数x 都有f (x )≤g (x )成立，则称函数g (x )为函数f (x )在区间D 上的一个“覆盖函数”，设f (x )＝2x ，g (x )＝2x ，若函数g (x )为函数f (x )在区间[m ，n ]上的一个“覆盖函数”，则|m －n |的最大值为________．[高频滚动]1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)2．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若存在实数a ，b ，使得f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3)keys1D 2C. 3D 4A 5B 6B 7.－23. 8.529．log 3210解：由2＋xx －1≥0，解得x ≤－2或x ＞1，于是A ＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，⎝⎛⎭⎫122x ＞2－a －x⇔⎝⎛⎭⎫122x ＞⎝⎛⎭⎫12a ＋x⇔2x ＜a ＋x ⇔x ＜a ，所以B ＝(－∞，a )．因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，所以a ≤－2， 即a 的取值范围是(－∞，－2]．11.解：(1)[f (x )]2－[g (x )]2＝(e x －e －x )2－(e x ＋e －x )2＝(e 2x－2＋e －2x)－(e 2x＋2＋e －2x)＝－4.(2)f (x )f (y )＝(e x －e －x )(e y －e －y )＝e x ＋y ＋e －x －y －e x －y －e －x ＋y＝[ex ＋y＋e－(x ＋y )]－[ex －y＋e－(x －y )]＝g (x ＋y )－g (x －y )，即g (x ＋y )－g (x －y )＝4.①同理，由g (x )g (y )＝8，可得g (x ＋y )＋g (x －y )＝8.② 由①②解得g (x ＋y )＝6，g (x －y )＝2，故g x ＋yg x －y＝3.12．解：∵f (x )是定义域为R 的奇函数，∴f (0)＝0，∴k －1＝0，∴k ＝1. 故f (x )＝a x－a －x.(1)∵f (1)＞0，∴a －1a＞0，又a ＞0且a ≠1，∴a ＞1，而当a ＞1时，y ＝a x 和y ＝－a －x在R 上均为增函数，∴f (x )在R 上为增函数，原不等式化为：f (x 2＋2x )＞f (4－x )，∴x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，∴x ＞1或x ＜－4，∴不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}．(2)∵f (1)＝32，∴a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，∴a ＝2或a ＝－12(舍去)，∴g (x )＝22x＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x)＋2.令t ＝2x－2－x (x ≥1)，则t ＝h (x )在[1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，即h (x )≥h (1)＝32.∴g (t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，∴当t ＝2时，g (x )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)，故当x ＝log 2(1＋2)时，g (x )有最小值－2.[冲击名校]1．解析：选C 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x－a 的图象，则由图知，当a ∈(0,2)时符合要求．2．解析：因为函数f(x)＝2x与g(x)＝2x的图象相交于点A(1，2)，B(2,4)，由图可知，[m，n]⊆[1,2]，故|m－n|max＝2－1＝1.答案：1[高频滚动]1．解析：选C 由题意f(1－x)＝f(1＋x)，得f(x)图象的对称轴为x＝1，则a＝2.易知f(x)在(－∞，1)上单调递增，当x∈[－1,1]时，f(x)＞0，故只需f(－1)＝b2－b－2＞0，解得b＞2或b＜－1.2．解析：选B 由题易知，函数f(x)的值域是(－1，＋∞)，要使得f(a)＝g(b)，必须使得－x2＋4x－3＞－1，即x2－4x＋2＜0，解得2－2＜x＜2＋ 2.。