数列的极限、函数的极限与连续性教案

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考点42 数列的极限、函数的极限与连续性

一、选择题

1、(2011·重庆高考理科·T3)已知x 2ax 1lim 2x 13x →∞-⎛⎫+= ⎪-⎝

⎭,则=a ( )

(A) -6 (B) 2 (C) 3 (D)6

【思路点拨】对小括号内的表达式进行通分化简利用极限的相关性质求出a 的值.

【精讲精析】选D. x x 2x 16x (ax 1)(x 1)lim lim x 13x 3x(x 1)→∞→∞⎡⎤-+--⎛⎫+= ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦ 22x ax (5a)x 1a lim 2,3x 3x 3

→∞⎡⎤+-+===⎢⎥-⎣⎦所以.6=a 2、（2011·四川高考理科·Ｔ11）已知定义在[0，+∞?)上的函数()f x 满足()f x =3(2)f x +，

当[0,2)x ∈时，()f x =22x x -+，设()f x 在[22,2)n n -上的最大值为*([0,)n a n N ∈且

{}n a 的前n 项和为S n

，则lim n n S →∞=（ ）. （A ）3 （B ）52 (C) 2 （D ）32

【思路点拨】 首先需要确定数列{}n a .先由1n =求出1a ，当2n =时，由()3(2)

f x f x =+可推得

1()(2)3

f x f x =-，先求出(2)f x -的最大值，在求()f x 的最大值，即求得2a ， 3,4,...n =依次求

解.

【精讲精析】选D ，

[)[)[)22122,20,2,0,2()2(1)1n n n x f x x x x =-=∈=-+=--+时，时，，

()=(1)1f x f =最大值，1 1.a ∴=

[)[)[)[)222,22,4,2,420,2n n n x x =-=∈-∈时，若，则，

2(2)22(2)f x x x -=--+-（）

把2x -看做一个整体，则21x -=时，(2)=(1) 1.f x f -=最大值

[)12,4=

(2)3x f x f x ∴∈-时，（）211()=.33f x a ∴=最大值，即 同理，2

3341

1(),(),...33a a == 数列{}n a 是首项为1，公比为13

的等比数列， 由等比数列的前n 项和公式可得11()3313()122313

n

n n s -==-⨯-， 故3lim .2

n n S →∞= 故选D. 二、填空题

3、（2011·上海高考理科·T14）已知点O (0,0)、Q 0(0,1)和点R 0(3,1)，记Q 0R 0的中点为P 1，取Q 0P 1和P 1R 0中的一条，记其端点为Q 1、R 1，使之满足，记Q 1R 1的中点为P 2，取Q 1P 2和P 2R 1中的一条，记其端点为Q 2、R 2，使之满足.依次下去，得到，则 .

【思路点拨】此题考查极限问题，紧紧围绕各点的临界位置展开求解，是解决本题的精髓所在，能起到事半功倍的效果。

【精讲精析】的极限点就是以原点为圆心，以2为半径与的交点，

4、（2011·上海高考文科·T2）计算3lim(1)3

n n n →∞-

+= 【思路点拨】本题考查极限知识，lim n c c →∞

=，1lim 0n n →∞=等公式灵活求解。 【精讲精析】33lim(1)lim1lim 13233n n n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=-++