鞅理论
第6章 鞅论
X n和Z n 相互独立，则 {X n Z n , n 0}
关于 {Yn , n 0} 是鞅。
关于 代数的鞅
定义2
设 (, F , P) 是完备概率空间，{Fn , n 0} 是F上 的一列 子代数，若 Fn Fn1, n 0 ，则称 {Fn , n 0} 为单调递增子 代数族，或称为 子代数流。
• 定理 （Kolmogorov）设分布函数族
{Ft1 ,tn ( x1 , xn ),t1,tn T , n 1}
满足对称性和相容性，则必存在某一随机过程， 使得此分布函数族恰好是这一随机过程的有限 维分布族。
2.3 随机过程的分类 • 1、平稳过程 • 如果随机过程 { X (t ), t dT } 对任意 t1, , tn T , h (t h T ) ( X (t1 h), X (t1 h)) ( X (t1 ),, X (t1 )) 有 则称 { X (t ), t T } 为严平稳过程。 2、宽平稳过程（二阶平稳过程） 如果随机过程 { X (t ), t T } 的所有二阶矩都存在，且 E[ X (t )] , 协方差函数 （s，t）只与时间差 t s有关
• 6.1基本概念
定义1
{Yn , n 0} 是两个随机过程， • 设 {X n , n 0} ，
如果满足：
（ 1）n 0, X n是(Y0 , Y1 , , Yn )的函数； （2） E (| X n |) ; (3) E ( X n 1 | Y0 , Y1 , , Yn ) X n
(3) E( X nk | Y0 , Y1,, Yn ) X n , k 0.
（4）如果 {X n , n 0}和 {Z n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅，则 {X n Z n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅。 （5）如果 {X n , n 0}和 {Z n , n 0} 关于 {Yn , n 0} 是鞅，且
商 鞅变法如何体现法家理论
商鞅变法如何体现法家理论商鞅变法是战国时期秦国的一次重大变革，对秦国的崛起乃至最终统一六国产生了深远的影响。
商鞅变法的诸多举措充分体现了法家的理论思想，以下将从几个主要方面进行阐述。
法家强调以法治国，主张通过明确而严格的法律来规范人们的行为，维护社会秩序。
商鞅变法中，“改法为律”，制定了严密而细致的法律条文。
这些法律涵盖了政治、经济、军事等各个方面，对百姓的日常生活和社会活动都有着详细的规定。
例如，在农业生产方面，规定了百姓必须按时耕种，否则将受到处罚；在军功授爵方面，明确了根据杀敌数量和战功大小给予相应的爵位和赏赐。
这种严格的法律制度，使得秦国上下有法可依，一切行为都受到法律的约束和规范，从而保证了社会的稳定和秩序。
法家主张“法不阿贵，绳不挠曲”，即法律面前人人平等，不偏袒权贵。
商鞅变法坚决贯彻了这一原则。
在变法过程中，商鞅不顾秦国贵族的反对，坚决依法处置了违法的贵族。
太子犯法，商鞅也对其师傅进行了处罚。
这种不避权贵、一视同仁的执法态度，打破了传统的贵族特权，树立了法律的权威。
使得法律不再是一纸空文，而是真正具有约束力和执行力的准则，让百姓相信法律的公正性，增强了对法律的敬畏之心。
法家重视赏罚分明，认为只有通过合理的赏罚才能激励人们积极进取，为国家效力。
商鞅变法中的军功授爵制就是这一思想的典型体现。
在过去，秦国的爵位大多是世袭的，普通百姓很难有晋升的机会。
商鞅废除了世卿世禄制，实行军功授爵，无论出身贵贱，只要在战场上立下战功，就能够获得爵位和赏赐，包括土地、房屋、财物等。
这极大地激发了百姓参军作战的积极性，使得秦国军队的战斗力迅速提升。
同时，对于那些在农业生产中表现出色的百姓，也给予相应的奖励，如免除赋税、徭役等。
而对于违法犯罪者，则予以严厉的惩罚，如酷刑、流放等。
这种明确的赏罚机制，让人们清楚地知道自己的行为会带来什么样的后果，从而引导人们为了获得奖励而努力工作，为了避免惩罚而遵守法律。
法家强调加强中央集权，主张将权力集中于君主手中，以实现国家的统一和强大。
第6章 鞅论
鞅的基本性质
(1) E( X n | Y0 , Y1 ,, Yn ) X n
(2) E ( X n1 ) E ( X n ) E ( X 0 ) E ( X n1 ) E[ E ( X n1 | Y0 , Y1 ,, Yn )] E ( X n ) E ( X 0 )
（1）适应列 {X n , Fn , n 0} 是下鞅，当且仅当 { X n , Fn , n 0} 是上鞅。
{Yn , Fn , n 0} 是两个下鞅。 （2）如果 {X n , Fn , n 0} ， a，b是两个正常数，则 {aXn bYn , Fn , n 0} 是下鞅。 （3）如果 {X n , Fn , n 0} ，{Yn , Fn , n 0} 是两个下鞅（或上 ( X n , Yn ), Fn , n 0} (或{min(X n , Yn ), Fn , n 0}) 鞅）。则 {man 是下鞅（或上鞅）。
• 例1.设
Xn
一维直线上的简单随机游动
0
1 Y1=1
2 Y2=1
3 Y3=－1
4 Y4=1
5 Y5=1
6 Y6=－1
7 Y7=1
8 Y8=－1
9 n Y9=1
N(t)
第三个信号到达 … … … …
第二个信号到达 第一个信号到达
0
S1
S2
S3
S4
S5
S6
t
2.2 有限维分布及相应函数
有限维分布族的性质： 1、对称性 2、相容性
定义3 随机过程 {X n , n 0}称为适应的，如果 n 0, X n 是 F n 可测的，即 x R,{X n x} Fn ，此时 称 {X n , Fn , n 0} , n 0} 为单调递增子 代数族 随机过程 {X n , n 0} 称为关于 {Fn , n 0} 的鞅，如果 { X n } 是 {Fn } 适应的， E(| X n |) 且n 0, E( X n1 | Fn ) X n 称为下鞅。如果 E( X n ) 且n 0, E( X n1 | Fn ) X n 且n 0, E( X n1 | Fn ) X n E ( X 称为上鞅。如果 n )
鞅不等式证明
鞅不等式证明鞅（martingale）是概率论和统计学中一个重要的概念，用于描述随机过程的性质。
鞅不等式（martingale inequality）是关于鞅序列的一个重要不等式，它在概率论和数学统计中有广泛的应用。
鞅不等式是由数学家以及统计学家于20世纪初提出的，具体说明了鞅序列的性质。
它在描述随机变量的发展过程中的不确定性方面发挥了重要作用。
鞅理论是概率论和统计学中非常重要的一个分支，通过对鞅序列的研究，我们可以了解和描述随机过程中的随机变量的动态变化过程。
鞅不等式的证明是基于条件期望的性质和性质的推导。
首先，我们需要了解条件期望的定义和性质。
条件期望是对随机变量的期望进行的条件化，即在给定某些条件的情况下进行的期望计算。
条件期望的性质包括线性性、无偏性、塔区性、蒙特卡洛性质等，这些性质是证明鞅不等式的基础。
设{Xn}是一个鞅序列，即对于任意的n，E(Xn|X1,X2,...,Xn-1)=Xn-1。
鞅不等式的基本形式为：P(max{X1,X2,...,Xn}≥a)≤E(1/(a-X0)), a>X0证明鞅不等式时，我们需要先证明涉及的条件期望E(Xn|X1,X2,...,Xn-1)=Xn-1的性质，这是鞅序列的基本性质。
然后，我们通过引入指示函数和条件期望性质，对不等式的左侧和右侧分别进行研究和推导。
首先，我们对左侧进行研究，利用条件期望的线性性和塔区性质，得到：P(Xn≥a,Xk=a)=E(1_{Xn≥a}Xn)=E(E(1_{Xn≥a}Xn|X1,X2,...,Xn-1))≤E(E(1_{Xn≥a}Xn|X1,X2,...,Xn-1)=E(1_{Xn≥a}E(Xn|X1,X2,...,Xn-1))=E(1_{Xn≥a}Xn-1)我们进一步进行推导，使用条件期望的蒙特卡洛性质，得到：E(1_{Xn≥a}Xn-1)=E(E(1_{Xn≥a}Xn-1|X1,X2,...,Xn-2))≤E(1_{Xn≥a}E(Xn-1|X1,X2,...,Xn-2))=E(1_{Xn≥a}Xn-2)我们继续类似的推理，得到：E(1_{Xn≥a}Xn-2)≤E(1_{Xn≥a}Xn-3)≤...≤E(1_{Xn≥a}X0)将这些推导的结果汇总，可以得到：P(Xn≥a,Xk=a)≤E(1_{Xn≥a}Xn-1)≤E(1_{Xn≥a}Xn-2)≤...≤E(1_{Xn≥a}X0)左侧的最大值不大于右侧的期望值，由此得到鞅不等式的最终结果：P(max{X1,X2,...,Xn}≥a)≤E(1/(a-X0))这就是鞅不等式的证明过程。
esscher鞅测度 -回复
esscher鞅测度-回复关于esscher鞅测度的介绍和应用。
鞅理论是概率论和随机过程领域中的一个重要分支，在金融衍生品定价和风险管理等领域有广泛应用。
而esscher鞅测度是鞅理论中的一个特殊类型，本文将从介绍鞅的基本概念开始，逐步讲解esscher鞅测度的定义和性质，并探讨其在金融领域中的应用。
鞅（martingale）是概率论中一组随机变量的序列，满足一个重要的条件——在给定过去的信息下，未来的预期值等于当前值。
鞅的概念首先由法国数学家保罗·莱维（Paul Lévy）在20世纪初提出，并在之后由一系列数学家进一步发展完善。
为了更好地理解鞅的定义和性质，我们以一个股票价格模型为例。
假设现在有一只股票价格为S_t，在t时刻进行观察，我们希望根据已有的信息预测其在未来时刻的价格。
如果该股票价格满足鞅的条件，即E[S_{t+1} S_0,S_1,...,S_t]=S_t，则我们可以说该价格是一个鞅。
这个条件实际上是指在给定过去的所有价格信息后，未来价格的预期值等于当前价格。
在金融领域中，我们经常考虑随机过程的贴现因子。
贴现因子是用于将未来的现金流折算到当前时刻的一个经济量。
常见的贴现因子有风险中性测度，它是在这个测度下股票价格是鞅。
不过，在实际应用中，风险中性测度往往难以计算或者不一定存在，这时esscher鞅测度就成为一个很有用的工具。
esscher鞅测度是一种基于鞅的概率测度，其定义是对鞅的原始测度进行调整，使得股票价格在新测度下依然成为鞅。
具体来说，对于每个时刻t，esscher鞅测度的调整是通过乘以一个补偿项来实现的。
这个补偿项通常取为贴现因子的一个函数，其形式为exp(-λS_t)，其中λ是一个正的调整参数。
通过这样的调整，我们在新的测度下得到的股票价格序列依然满足鞅的条件。
esscher鞅测度的应用主要在金融衍生品定价和风险管理中。
在金融衍生品定价中，我们经常需要对未来现金流进行折现，而esscher鞅测度提供了一种对未来现金流进行折现的方法，从而可以确定一个较为合理的价格范围。
鞅收敛定理
鞅收敛定理鞅收敛定理，在概率论领域中具有重要地位。
在许多概率论的定理和应用中，鞅的概念及其收敛都是十分重要的。
该定理表明，由一系列随机变量构成的鞅在一定条件下，能够收敛于一个确定的极限值。
鞅收敛定理是鞅理论中的核心定理之一，可以用于解决很多实际中的问题。
一、鞅的定义与性质鞅是一种非常重要的概率过程，它涉及到许多重要的概率定理和实际应用。
鞅的定义相对比较简单，如果一个随机过程M = {M_n}是一列随机变量的序列，并且满足以下三个条件：1）M_n是一个可测的随机变量；2）对于n≥0，E[M_n] < ∞；3）对于n≥0，E[M_n+1 | M_0,M_1,...,M_n] = M_n则我们称之为鞅。
上面的第一个条件保证了鞅可以被测量，第二个条件保证了内部的随机性，第三个条件保证了鞅的期望性质。
鞅有许多重要的性质：1）鞅是一种无偏的估计，即E[M_n] = E[M_0]，其中M_0是鞅的起始点，通常为0；2）鞅通常用来表示一种刻意的结构，以反映出随时间的增长或下降的模式；3）鞅满足马尔科夫性质，即在给定M_n的条件下，未来的发展只取决于M_n，而与之前的结果无关。
二、鞅的收敛与鞅收敛定理由于鞅是一个任意序列的条件期望，因此它可能会收敛到一个确定的极限值。
鞅收敛定理指出，当一个鞅满足Lim E[M_n] < ∞时，则它在一定的条件下可以收敛。
鞅收敛定理有两种形式，分别是条件收敛和几乎处处收敛。
条件收敛是指，在一定的概率空间中，鞅以一定的概率收敛于一个值。
而几乎处处收敛是指，在概率空间上几乎每次试验，鞅以概率1收敛于一个值。
在鞅的收敛过程中，我们需要关注以下两点：1）鞅序列的逐点有界性；2）鞅序列的逐点收敛性。
对于一系列的随机变量构成的鞅序列，若能满足上述两点条件，那么在某些条件下，鞅可以达到收敛。
其中最常见的条件就是马尔科夫条件。
马尔科夫条件是指，鞅的未来值仅仅取决于当前的值，而并不取决于它的过去值。
随机过程的鞅理论基础
随机过程的鞅理论基础随机过程是描述在随机现象下发生的过程的数学工具。
鞅是随机过程理论中的一个重要概念，在概率论和统计学中有着广泛的应用。
鞅是指一个随机过程，其条件期望在给定任何时刻前的信息下都是已知的，即能够在未来给定以往信息来对未来的情况进行合理预测。
鞅理论是随机过程的重要分支，它为我们提供了一种强大的工具，用于研究各种随机现象，比如金融市场、生态系统、通信网络等领域中的随机过程。
随机过程和鞅的定义随机过程是由一系列随机变量组成的数学模型，表示随机现象随着时间的演化。
在一个随机过程中，每个时间点都会有一个随机变量与之对应。
而鞅则是一种特殊类型的随机过程，它满足以下两个条件：1.鞅在任意时刻的期望都是已知的，即给定过去的信息时，可以预测未来的情况。
2.鞅在任意时刻都是渐近有界的，即它在任意时间都不会远离某个固定值。
鞅理论的基本性质和应用鞅具有许多重要的性质和应用，其中一些包括：•停止定理：停止定理指出，如果一个随机过程是鞅，并且在某一时间点停止后仍然是鞅，那么在该时间点后的条件期望与该随机过程的值相等。
•鞅的收敛定理：鞅的收敛定理是鞅理论中的一个基本结果，它描述了鞅序列的极限存在性和性质。
•鞅在金融领域的应用：在金融市场中，鞅理论被广泛应用于定价、风险管理和衍生品定价等方面。
例如，鞅理论可以用来描述股票价格的演变和预测未来价格走势。
总结随机过程的鞅理论是概率论和统计学中重要的理论分支，它为我们提供了一种强大的工具，用于研究各种随机现象。
鞅的定义和基本性质为我们理解随机过程的特性和行为提供了基础，而鞅在金融领域等实际应用中也发挥着重要作用。
通过深入学习和理解鞅理论，我们可以更好地理解和分析各种随机现象，为实际问题的解决提供有力支持。
鞅差中心极限定理
鞅差中心极限定理鞅差中心极限定理（Yoneda’s Lemma）是范畴论中经常被引用的定理之一。
它是由日本数学家Yoneda实性（Y.A. Uyehara）于1954年提出的，并由日本数学家Nobuo Yoneda在1955年推广和证明。
该定理在数学研究中提供了一种方法，通过研究与对象之间的关联来研究对象的性质。
这篇文章将介绍鞅差中心极限定理的概念和应用。
先介绍一下范畴论的基本概念。
范畴（category）是由对象（objects）和态射（morphisms）组成的mathcal{C}=(Obj({mathcal{C}),Hom({mathcal{C})}。
每个态射都有一个源对象（source object）和一个目标对象（target object）。
对于任意两个对象A, B于范畴mathcal{C}，Hom({mathcal{C})(A,B）表示从A到B的所有可能的态射的集合。
态射之间可以进行复合（composition），并且满足结合律。
鞅差中心极限定理是关于范畴Hom-Set的性质的一个结果。
给定范畴mathcal{C}和一个对象X于mathcal{C}，鞅差中心极限定理的陈述如下：对于任意对象A于mathcal{C}，Hom({mathcal{C})(A,X)与Hom({mathcal{C})(A,X+n)之间存在一个自然变换。
其中n表示任意对象。
这个定理的关键在于“中心极限”（central limit）。
直观的来说，这个定理说明了给定一个对象A于范畴mathcal{C}和一个差n，在Hom-Set Hom({mathcal{C})(A,X)和Hom({mathcal{C})(A,X+n)之间存在一个特殊的变换。
它将每个态射映射到一个稍微偏移一点的态射，表示了A到X的“鞅差”或“波动”。
在实际应用中，鞅差中心极限定理可以帮助数学家在给定了一个对象A时，研究从A到X的态射的性质。
这些态射在形式上可能非常复杂，但鞅差中心极限定理提供了一种方法，将这些态射转化为一种更简单的形式。
补充章 期权定价的鞅方法
• 一、鞅（martingale）与等价鞅测度 • 鞅是随机过程的一种，它的显著特点是未来的 期望等于现在。一个随机过程一般伴随着一个 测度。等价鞅测度即是把不是鞅的随机过程转 化成鞅的测度。这一测度和原来随机过程伴随 的测度等价。转化成鞅后，可是直接采用求数 学期望的方法来获得金融衍生产品的价格，如 期权，而不用解偏微分方程了。
dS dt S rdt dz Q Q ur dz dt
• 显然，由于转换后的漂移项从风险u转换 成了无风险r,则 Q是风险中性下的概率测 Q dz 度， 则是风险中性下的布朗运动 • 3 风险中性下概率测度的转换 • 可以从2中风险中性下的Q测度转换成风 险中性下的另一概率测度。
令：dz Q dz R dt , 代入可得： dS R rdt dz dt S (r+ 2 )dt dz R
• 4 小结 • a、每个随机过程都对应着一个概率测度 ｂ、在概率测度转换过程时，各概率测度约束 下的随机变量期望值都相等。 • 三、Girsanov 定理 T 1 T 2 1 T 2 Q exp dz dt , 且 E exp( dt ) , t • 若 t t 0 0 2 2 0 • 则新测度R与原测度Q之间的对应关系为：
• 二、风险中性下的资产价格随机过程 • 1、在B-S模型中，资产价格服从Ito过程，即： dS dt dz P S
P dz • 此处， 代表在概率测度P下的布朗运动，P是
风险环境下的概率测度。 • 2、该过程可以转换为风险中性下的随机过程： • 令 dz P dz Q u r dt , 代入可得：
PR ( A) T dPQ
随机过程的鞅与鞅收敛定理
随机过程的鞅与鞅收敛定理在概率论与数理统计中，鞅（Martingale）是一类非常重要的随机过程。
它具有很多优秀的性质和应用，并且相关的鞅收敛定理也是概率论研究的热点之一。
一、鞅的定义和性质鞅是一种随机过程，具有无偏性和零相对增殖的特点。
对于一个随机过程X(t)，如果满足以下条件，即可称为鞅：1. 期望有限：E[|X(t)|] < ∞，对于所有的t；2. 可测性：对于任意的s < t，X(t)是关于{X(s), X(s+1), … , X(t-1)}可测的；3. 无偏性：对于任意的s < t，E[X(t) | X(s), X(s+1), … , X(s-1)] =X(s)；4. 零相对增殖：对于任意的s < t，E[X(t) - X(s) | X(s), X(s+1), … ,X(s-1)] = 0。
鞅的定义保证了它在每个时刻的期望都是已知的，且在未来的增量不可被预测。
鞅是许多重要的随机过程的核心组成部分，如布朗运动、泊松过程等。
二、鞅的应用鞅在概率论和数理统计中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 金融市场：鞅在金融领域中有着重要的应用，特别是在期权定价、投资组合管理、风险评估等方面。
其中最著名的例子就是黑-斯科尔斯模型，该模型中的股价就可以看作是一个连续时间的鞅。
2. 数理统计：鞅是统计推断和假设检验的基础之一，它在最大似然估计、贝叶斯估计等方法中发挥着重要的作用。
鞅收敛定理也为统计学家提供了一种判断估计量的一致性的方法。
3. 随机优化：鞅是随机优化中的一个重要工具，可以用来描述随机系统的动态变化过程，并为优化问题的求解提供有效的方法。
例如，在随机最优控制中，鞅可以用来建立随机系统的动态规划方程。
三、鞅收敛定理鞅收敛定理是鞅理论中的重要结果，它研究了鞅序列的收敛性质。
其中最经典的是鞅收敛定理的两种形式：鞅收敛定理一和鞅收敛定理二。
1. 鞅收敛定理一：如果{X_n, n ≥ 1}是对于某个概率空间（Ω, F, P）中的鞅序列，并且满足以下条件：(a) X_n以概率1收敛于一个随机变量X：P(lim n→∞ [X_n = X]) = 1；(b) 存在一个函数g(·)使得E[|X_n - X|] ≤ g(n)，对于所有的n；(c) 存在一个随机变量Y，使得E[|Y|] < ∞，并且E[|X_n - X|] ≤E[|Y|]，对于所有的n；那么，X_n以期望收敛于X，即lim n→∞ [E(X_n)]=E(X)。
鞅课程总结
鞅课程总结1. 简介鞅课程是一门关于概率与统计学的基础课程，主要介绍了随机变量的概念、性质以及相关的数学方法和理论。
本文将对鞅课程进行总结，从课程内容、学习收获以及未来应用等方面进行分析和总结。
2. 课程内容鞅课程主要分为以下几个部分：2.1 随机变量的概念课程首先介绍了随机变量的概念，包括离散随机变量和连续随机变量。
通过示例和案例分析，讲解了随机变量的定义、特性以及常见的概率分布，如二项分布、正态分布等。
2.2 鞅的定义和性质接下来，课程讲解了鞅的概念和基本性质。
通过引入条件期望的概念，深入探讨了鞅的定义、鞅的停时、鞅的逆序平均等重要概念。
同时，课程还介绍了鞅的基本性质，如鞅的线性性质、鞅的停时定理等。
2.3 鞅的收敛性理论在此部分，课程介绍了鞅的收敛性理论，包括鞅收敛的定义、方法以及相应的收敛定理。
通过实例和证明，深入讲解了鞅收敛的充要条件，并探讨了鞅收敛在实际问题中的应用。
2.4 鞅在金融领域的应用最后，课程将鞅的理论与金融领域相结合，介绍了鞅在金融领域的应用。
课程涵盖了金融市场的随机过程、鞅在金融衍生品定价中的应用等内容，为学生提供了将鞅理论应用于实际问题的思路和方法。
3. 学习收获在学习鞅课程的过程中，我获得了以下几方面的收获：首先，我对随机变量的概念和性质有了更深入的理解。
通过学习不同的概率分布和统计方法，我能更好地理解和分析随机现象，并能够利用随机变量进行建模和预测。
其次，我掌握了鞅的基本概念和性质。
通过学习鞅的定义和特性，我能够将其应用于实际问题中，并能够用鞅的理论解决一些实际的随机过程问题。
此外，我还学会了运用鞅的收敛性理论。
鞅的收敛理论对于研究随机过程的极限性质非常重要，通过学习收敛的定义、方法和定理，我能够更好地理解和分析随机过程的稳定性和收敛性。
最后，鞅在金融领域的应用给我提供了新的思路和方法。
通过将鞅理论与金融领域相结合，我能够将鞅的理论运用于金融市场的建模和分析，为实际问题提供有效的解决方案。
随机过程的鞅不等式应用
随机过程的鞅不等式应用在概率论和随机过程中，鞅是一类特殊的随机过程，具有许多重要的性质和应用。
其中，鞅不等式是鞅理论中的一个重要结论，它在概率论和统计学中有着广泛的应用和意义。
本文将介绍随机过程的鞅不等式及其应用。
什么是鞅在概率论中，鞅是一类特殊的随机过程，通常用来描述随机过程中的平稳性质。
具体来说，一个离散时间的鞅是一个随机过程，对于每个固定的时刻，其数学期望都是已知的，而且在未来的任意时刻，这个数学期望仍然是已知的。
鞅的名称来自法语“鞅”，意为系在工作畜身上防止其逃跑的绳索，表示鞅在一定程度上控制了过程的行为。
鞅不等式随机过程的鞅不等式是鞅理论中的一个重要结果，它给出了随机过程中随机变量的上界和下界的概率估计。
具体来说，设M t是一个鞅，T是一个停时，那么对于任意$t \\geq 0$，下面的不等式成立：$P(\\max_{0 \\leq s \\leq t}M_s \\geq x) \\leq \\frac{E[M_t]}{x}$这个不等式说明了M t的取值超过给定阈值x的概率受到了E[M t]的控制，即鞅的数学期望。
随机过程的鞅不等式在概率论和统计学中有着广泛的应用，特别是在随机过程的极限理论、随机分析和风险管理等领域中。
鞅不等式的应用在金融领域中的应用在金融领域中，随机过程的鞅不等式被广泛应用于风险管理和金融工程中。
例如，通过对金融资产价格的鞅不等式估计，可以对金融市场的波动性和收益率进行预测和控制，从而有效地降低投资组合的风险。
在统计学中的应用在统计学中，随机过程的鞅不等式被用来推导统计量的渐近性质，比如极限定理和大数定律等。
通过鞅不等式的应用，可以更好地理解和分析随机过程中的波动性和收敛性，为统计推断和模型选择提供理论基础。
在信号处理中的应用在信号处理领域中，随机过程的鞅不等式常常用于分析和处理信号的随机性和稳定性。
通过鞅不等式的应用，可以设计出更有效和稳定的信号处理算法，提高信号处理的准确性和性能。
6 鞅论初步(Martingale)
,Yn
E X n | Y0 , ,Yn E bn1Yn1 | Y0 , ,Yn
X n bn 1E Yn 1 | Y0 , ,Yn
X n bn1E Yn1 X n bn 1 p q
当p＝q时，公平赌博， X n , n 0是鞅；
当p q时，有利赌博， X n , n 0是下鞅；
当p q时，不利赌博， X n , n 0是上鞅；
特例：
例6.1.2独立同分布随机变量和
随 设Y0＝0， Yn , n 1 i.i.d ., EYn 0, X n Yi ,
则 X n , n 0 关于Yn , n 0 Fn Y0 ,
n
表示赌博者在第n次赌博的策略 即下的赌注，则bn取决于前 , Yn 1 .设初始资本为X 0，则他在
X n＝X 0 bkYk , n 1,2,
k 1
取Y0＝0，则 X n : n 0关于Yn : n 0是什么鞅？
随 机 过 程
n 1 E X n 1 | Y0 , ,Yn E X 0 bkYk 1 | Y0 , k 1 E X n bn 1Yn 1 | Y0 , ,Yn
, Yn E Xn
E X0
这说明鞅在任何时刻期望都相等。
例6.1.1
随 机 过 程
设Yn , n 0 是i.i.d .r.v列，P Yn 1 p, P Yn 1 1 p q 赌博者在第n次赌博时，Yn 1表示赢，Yn －1表示输。用bn 面的赌博结果，即bn bn Y1 , 第n次赌博后的资金为：
随 机 过 程
k P X n 1 k 1| X n k n2
鞅的极限定理
鞅的极限定理鞅的极限定理是概率论中的重要定理之一，它有着广泛的应用。
下面我们将通过生动的例子和全面的解释来介绍鞅的极限定理。
首先，我们来了解什么是鞅。
在概率论中，鞅是一类随机过程，它具有一定的性质。
简单来说，鞅是一个随机变量序列，其中每个随机变量的期望值在给定过去的信息下是恒定的。
也就是说，鞅的每一步都是“公平”的，不论过去发生了什么，未来的期望值都不会改变。
现在，我们来解释鞅的极限定理。
鞅的极限定理是说，如果一个随机变量序列是鞅，并且满足一定条件，那么这个序列在某种意义上将以一定的速率收敛到一个确定的随机变量。
换句话说，随着序列的不断增长，它将越来越接近于一个确定的值。
为了更好地理解这个定理，我们举一个例子来说明。
假设有一位赌徒在进行赌博游戏，他每次抛掷一个公平的硬币。
如果硬币正面朝上，他得到1元；如果硬币反面朝上，他失去1元。
我们假设他初始资金为0元，游戏进行了n轮。
鞅的极限定理告诉我们，随着游戏轮数的增加，赌徒在长期中将趋近于一均衡状态，即资金不会出现明显的上涨或下跌。
接下来，我们来详细解释鞅的极限定理的几个重要方面。
首先是鞅收敛的速率。
鞅的极限定理告诉我们，鞅在某种意义上会以一定的速率收敛到一个确定的值。
这个速率取决于随机变量序列的性质，以及满足的条件。
通常情况下，如果序列满足更严格的条件，收敛速率将更快。
其次是鞅的极限定理的应用领域。
鞅的极限定理在金融学、统计学和经济学等领域有着广泛的应用。
例如，在金融市场中，投资者可以利用鞅的极限定理来预测某个证券价格的趋势，并做出相应的投资决策。
最后，我们来总结一下鞅的极限定理的指导意义。
鞅的极限定理告诉我们，在某些条件下，随机变量序列在某种意义上将收敛于一个确定的值。
这种收敛可以帮助我们预测未来的趋势，指导我们做出合理的决策。
同时，鞅的极限定理也提醒我们，在进行随机事件的决策时，应该考虑到过去的信息，而不仅仅关注当前的结果。
综上所述，鞅的极限定理是概率论中的一条重要定理，它告诉我们随机变量序列在某种意义上将以一定的速率收敛到一个确定的值。
martingale鞅论
martingale鞅论
鞅论是由杜布提出的一门数学理论。
杜布是美国数学家·年10月27日生于辛辛那提·年6月7日卒于伊利诺伊。
杜布毕业于哈佛大学，年获博士学位·他是美国国家科学院和美国科学艺术研究院院士·伊利诺伊大学教授。
杜布
鞅（martingale）于博弈论中的则表示公平角力的数学模型，在概率论中就是满足用户下列条件的随机过程：未知过去某一时刻s以及之前所有时刻的观测值，若某一时刻t 的观测值的条件期望等同于过去某一时刻s的观测值，则表示这一随机过程就是鞅。
“杜布创立了鞅论.” ──摘自《中国大百科全书》(数学卷)
杜布的主要贡献就是概率论.他深入研究了随机过程理论，得出结论了任一的随机过
程都具备可以分后修正，创建了随机函数理论的公理结构.他就是鞅学说的奠基人，虽然
莱维等人早在年刊登了一些孕育出着鞅学说的工作，年维尔引入“鞅”(martingale)这个名称，但对鞅展开系统研究并使之沦为随机过程学说的一个关键分支的，则应当归因于杜布.他还引入了半鞅的概念.在鞅学说中存有以他的姓氏命名的知名的杜布暂停定理、杜布──迈耶上鞅水解定理等.鞅学说并使随机过程的研究进一步抽象，不仅多样了概率论的
内容，而且为其它数学分支例如调和分析、微分函数、位势理论等提供更多了有力的工具.
对马尔可夫过程，杜布关于轨道的严密处理进行了系统的研究.
他对代数函数中的聚值集的理论也做出了贡献.他还对霍普夫的个体结点定理的特定
情形得出了证明.在数学中以他的姓氏命名的除了：杜布定理、杜布不等式、杜布收敛性
等等.
杜布的著作有《随机过程》(年)等.。
鞅论总结范文
鞅论总结引言鞅论是概率论和随机过程的重要分支之一，它研究的是随机过程中随时间变化的加权平均值的极限行为。
在现代数学中，鞅论被广泛应用于金融工程、风险管理、统计学等领域。
本文将对鞅论的基本概念、主要结果和应用进行总结和介绍。
什么是鞅？在鞅论中，我们首先需要了解什么是鞅。
鞅是指具有“无记忆性”的随机过程，即在给定过去的信息下，未来的预期值等于当前的值。
换句话说，鞅是一种没有趋势的随机过程。
具体来说，对于一个离散时间鞅（discrete-time martingale），其定义为一个随机过程{X_t}，其中t表示时间，满足以下条件：1.对于所有的t，X_t是可测的（measurable）；2.对于所有的t，X_t的期望存在且有限（E[|X_t|] < ∞）；3.对于任意的s ≤ t，条件期望（conditional expectation）满足 E[X_t |F_s] = X_s，其中F_s表示t时刻之前的信息集合。
类似地，对于连续时间鞅（continuous-time martingale），定义也类似，只是时间变量是连续的。
鞅的性质鞅的定义给出了它的基本性质。
此外，鞅还具有其他一些重要的性质，如鞅的停时是一个鞅、鞅的和仍然是一个鞅等等。
下面介绍其中几个常见的性质：•鞅的停时是一个鞅：如果{X_t}是一个鞅，{τ}是一个停时（stopping time），那么{X_{τ∧t}}也是一个鞅，其中τ∧t表示τ和t的较小值。
•鞅的和仍然是一个鞅：如果{X_t}和{Y_t}都是鞅，那么它们的和{X_t + Y_t}也是一个鞅。
•鞅的递归式：对于一个鞅{X_t}，如果存在一个可测函数f，使得X_t+1 = f(X_t, X_{t-1}, …)，那么{X_t}是一个鞅。
这些性质为我们研究鞅的行为和性质提供了有力的工具和方法。
鞅论的应用鞅论在金融工程和风险管理中有着广泛的应用。
例如，在期权定价中，使用鞅论方法可以导出期望增值过程，从而计算期权的价值。
金融模型中的鞅方法
金融模型中的鞅方法
金融模型，指的是利用数学和统计方法来研究金融市场或资产管理等活动的经济系统，金融模型通常都利用某种数学方法，结合金融学理论知识，建立起模拟金融市场活动的数学模型。
其中最常用的一种方法就是金融模型中的鞅方法，它是一种用来计算财务专业人士对复杂金融产品和金融行为的经济学理论。
鞅方法最早由德国数学家卡尔马克思贝尔（KarlMarxBell）在他的著作《金融模型理论》中提出，指的是一种基于金融即时价值的系统性分析模型，用来计算一定时间内金融产品或服务的价值，以及在一定时间内内对该金融产品或服务投入资金，收取多少报酬的可持续性报酬。
鞅方法在金融模型中有着重要的作用。
它用于确定投资者获得报酬、风险损失和可支配资产等投资报酬情况。
它可以帮助投资者做出正确的决定，进行有效的资本管理。
同时，它也为研究方法的发展提供了可能性。
鞅方法的应用实践包括了理财、保险、融资、股权投资等。
- 1 -。
第5章 鞅
性质1 常数序列{c n } 为鞅。 c n c
证 E (cn 1|Y 0, ,Y n)E (c|Y 0,,Y n)c cn
性质2 若 { X n } 为 鞅 ， 则 对 任 意 n 0 ， 有
EXn EX0
即 X n 的 数 学 期 望 E n 是 一 常 数 E 0 X
证
X
0
是初始赌资，则赌博者第n次赌博后的赌资为 n
Xn X0 biYi
i1
则 E [X n 1Y 1,K ,Y n]X n
即{Xn} 关于 {Yn}是鞅。
定理1 { X n } 关 于 { Y n } 是 鞅 的 充 要 条 件 为 ，
m n m n
E (X m |Y 0 , ,Y n ) X n （1）
例 公平赌博
考虑一个赌博者正在进行的一系列赌博
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1, ------赌博者在第n次赌博时赢 Yn 1, ------赌博者在第n次赌博时输
{Yn}独立同分布，且
P (Y n 1 ) P (Y n 1 ) 12
b n b n(Y 1 ,Y 2,L,Y n 1 )------第n次赌注
E [E (X |||Y 0 , ,Y n)]E| X|
（2） E (X n 1|Y 0, ,Y n) E [ E ( X |Y 0 , ,Y n 1 ) |Y 0 , ,Y n ]
E [ E ( X |Y 0 , ,Y n ) |Y 0 , ,Y n 1 ]
（3） { X n ， n 0 , 1 , 2 , } 是 鞅 的 充 要 条 件 是 p q
证
设 X n X 0 1 2 n
其中 X 0 { n } X 0 { n ， n 0 , 1 , 2 , } 相 互 独 立 ， 且 具 有 同 分 布 ： P(n1)p P(n1)q n 1
鞅在经济学中的含义
鞅在经济学中的含义1 鞅的概念鞅（Martingale）是概率论和统计学中常用的一个概念，也是经济学中非常重要的一个概念。
在经济学中，鞅主要用于研究随机过程，有着广泛的应用。
2 鞅的定义鞅是一类随机过程，其特点是在未来的任何时刻，其期望值等于当前时刻的值。
数学上，鞅的定义可以表示为：设概率空间（Ω，F，P）上的随机过程 {Xn} 是以 Fn 为生成 sigma 代数的可测空间上的可测随机变量序列，若对一切 n，期望E (|Xn|) < ∞，并且对一切 n，有 E (Xn | Fn-1) = Xn-1 (几乎处处)，则称 {Xn} 是鞅。
3 鞅的作用鞅是随机过程中的一种特殊形式，具有很强的限制条件。
在经济学中，鞅主要用于研究随机过程的性质。
鞅的相关理论可以用来解释资产价格变动、金融市场波动等现象。
例如，股票价格是一个随机过程，使用鞅理论可以描述其期望随着时间的变化情况。
又如，在金融衍生品的定价和风险管理中，鞅理论也有着广泛的应用。
这些都表明鞅理论是金融学和经济学中非常重要的工具。
4 鞅的示例在随机游走模型中，价格变动是一个随机过程，具有鞅的特征。
一个典型的随机游走模型是布朗运动模型，该模型是一个基于随机漫步的连续时间随机过程。
在布朗运动模型中，股票价格的变动是一个随机过程。
该过程具有鞅的特征，即其期望值等于当前的价格。
在模拟股票价格变动时，可以使用鞅理论来定义模型，解释不同价格变动情况下的期望值和波动性。
5 鞅理论的应用鞅理论在金融学和经济学中有着广泛的应用，可用于风险管理、资产定价、金融衍生品定价等领域。
例如，鞅理论可用于研究随机收益率序列的统计性质和长期平稳特性，帮助分析资产价格的变化趋势。
在金融衍生品定价中，鞅的定义和基本性质可用于衍生品的风险度量和定价。
6 鞅理论的局限虽然鞅理论在金融学和经济学中应用广泛，但其也存在一些局限。
例如，如果计算期望值时忽略了极端情况，得到的结果可能会出现不准确的情况。
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鞅定义
• 1、存在一概率空间{Ω,F ,P}，要求σ-代数F 是P-完备的，即对于任何A∈ F 且P(A) = 0， 对一切N ⊂ A都有N ∈ F 成立。 • 2、给定一个滤波（filter）。 • 3、如果对于任何n ≥ 0， Sn 的值被包含在 Fn 中，就称Sn 是Fn 可测的，或者使用梅 耶(Meyer)的术语，称Sn为Fn 适应的( Fn – adapted)。
• 一个随机变量的时间序列没有表现出任何 的趋势性(trend)，就可以称之为鞅； • 而如果它一直趋向上升，则称之为下鞅 (submartingale)；反之如果该过程总是在减 少，则称之为上鞅(supermartingale)。 • 实际上鞅是一种用条件数学期望定义的随 机运动形式，或者说是具有某种可以用条 件数学期望来进行特征描述的随机过程。
e rt ct
是否就是它在t时刻的“公平”市场价值， 就取决于在滤波Ft和测度P下是不是一个鞅。
ct e
r (T t )
E Max(ST K ,0) | Ft
P t
• 如果假设投资者是风险厌恶的，则对于任何 一种风险资产，一般要求： P r (T t ) Et e ST | Ft St
• t 是时间， Ft代表积累到t时刻的信息。停 时可以理解为某一随机事件第一次发生的 时刻。不妨假想我们对某些特定现象的发 生感兴趣：例如某个“黑色星期五”的出 现，我们对这些特定现象第一次出现的时 刻T (ω)给予特别的注视。很明显事件{ω,T (ω) ≤ t}的发生，当且仅当这一现象出现在t 时刻上或者t 时刻之前。应当是积累到那个 时刻的信息集的一部分。
第六章 鞅理论及其应用
第一节鞅的简单介绍
• 鞅这个术语早在20 世纪30 年代首先由 Ville(1939)引进，但是基本概念来自于法国 概率学家列维(Levy，1934)。但是真正把 鞅理论发扬光大的则是美国数学家多布 (Doob)，他于1953 年的名著《随机过程》 一书中介绍了(包括上鞅分解问题在内的)他 对于鞅论的系统研究成果。它引起了一般 过程理论的研究，从此鞅成为现代概率和 随机过程的基础，而且在决策和控制模型 等方面有着重要应用，并得到快速发展。
• 即证明 e
1 aWt 2t 2
是鞅。
平方可积鞅
• 如果一个鞅具有有限的二阶矩，即
E(M )
2 n
• 称之为平方可积鞅。
金融资产价格运动和鞅
• 一般说来，风险资产的价格变化，在给定 信息集下，并非完全不可预测的。比方说 折扣发行的零息票债券(zero coupon bond) 的价格B 会随着到期日的临近，越来越接近 其面值，即越来越大，显然这是一个下鞅。 类似的，股票通常会有一个正的预期收益， 因而也不具有鞅性。例如期权有时间价值， 并且会随着到期日的临近不断地衰减，这 是上鞅的一个特征。
• 假设Wt代表一个赌徒在t 时刻的财富，他连 续的参加“公平”的赌博，现在的问题是： • 他能不能通过精心的选择停止赌博的次数 来最大化他的个人财富呢？答案是否定的。 这就是著名的多布有界停时定理(Doob’s bounded stopping time theorem)
• 定理：如果(Mn )n∈Z+ 是在随机基{ ,F ,P,F} Ω 上的一个Fn -适应的离散鞅；T < ∞ 是一个有界停时，则有E{MT|F0}=MT，以及 E(MT)=E(M0)
• 鞅的定义是基于特定概率分布和信息集合的， 通过对信息集和概率测度的适当处理，就可 以把上(下)鞅转化为鞅。 • 比方说我们能不能找到某一种概率分布Q ， 它把资产的未来价格用无风险收益率贴现后 的值，转变成一个鞅，即：
E (e
Q n
r ( N n )
SN | Fn ) Sn
nN
停时(stopping time)
• 多布分解(Doob decomposition)定理(又称 为下鞅分解定理)就显示了下鞅、鞅和可料 增量过程相互之间的关系。
Doob-Meyer定理
• 如果 ( St )t(0,) 是一个Ft -适应的右连续的下鞅， • E St < ∞,∀t ，则对于任何0 ≤ t ≤ ∞， St 都可以分 解为下列形式： St = Mt + At • Mt是右连续鞅， At是一个Ft -可料的增量过程。
连续时间
• 假定 (St )t∈[0,∞)是滤波空间{Ω,F ,P,F}上的 一个适应过程，如果： • 1) E(St ) < ∞,t ∈[0,∞) ； • 2) Et (ST | Ft ) = St , ∀T > t 。 • 则称St 为连续时间鞅或者简称鞅。
• 可证明维纳过程（布朗运动）Wt是一个连 续鞅。 Wt 2 t 也是鞅。 • • 反过来说也是正确的，即如果 Wt 2 t 是一 个连续时间鞅，而Wt也是连续时间鞅，则 Wt必然是布朗运动。（参考Elliot & Kopp 1999）
a(Wt t Wt ) 项服从0均值和 a 2 t 方差的正 • exp[ 态概率分布。 a(Wt t Wt )]服从对数正态 exp(a 2t / 2) 分布，期望是 • 那么 EX t t | Ft
1 2 1 2 X t exp( a t ) exp( a t ) 2 2 Xt
• 也就是说 e St 是一个鞅。但根据DoobMeyer定理可从 e rt St 中减去一个可以预测的 趋势，即抵消股票价格运动中向上的单边趋 势，而使得剩下的部分获得鞅性，即：
rt
M t e St At
• 其中Mt是Ft下的鞅，At则是一个Ft可测的递增 的随机变量。
rt
多布分解定理
• 在微观金融学中有一系列的重要定理表明 当市场上不存在套利机会时，所有资产价 格都是均衡价格测度(equilibrium price measure)下的鞅。 • 上(下)鞅中有一种向上或者向下趋势，只要 从它们之中分离出这种趋势，就可以得到 一个纯粹的鞅。
• Doob分解定理：令(X n )n∈Z+为一个Fn 适应的下鞅，则它可以唯一的分解为一个 鞅和可料递增随机序列的和： X n = Mn + An , ∀n∈ Z
• 4、存在条件数学期望E (SN)=E (SN|Fn)， n<N • 这意味着在n 时刻对N 时刻的价格预期是基 于在该时刻已确知的特定信息集合Fn的。 • 注意在这里我们在期望算子上加的P 代表 这种期望是基于特定概率测度（或者分布） 的，在不混淆的情况下它也可以被省略。
p
p
• 假定(Sn )n∈Z+ 是滤波空间{Ω,F ,P,F}上的一 个Fn -适应过程，如果： 1)无条件的数学期望是有限的，E(Sn ) < ∞, n∈ Z 2)对下一时刻的预测就是现在观察到的数据， 即： En (Sn+1 | Fn ) = Sn ,n∈Z+ • 则称(Sn )n∈Z+ 为（ F 下的）离散时间鞅或 者简称离散鞅。
• “鞅”一词来源于法文martingale 的意译， 原意是指马的笼套或者船的索具，同时也 指一种逢输就加倍赌注，直到赢为止的恶 性赌博方法(double strategy)。 • 简单的说，鞅是“公平”赌博(fair game)的 数学模型。
• 假设一个人在参加赌博，他已经赌了n 次， 正准备参加第n +1 次赌博。如果不做什么手 脚，他的运气应当是同他以前的赌博经历无 关的，用Xn表示他在赌完第n次后拥有的赌 本数，如果对于任何n都有 E( X n | X n1 ) X n1 成立，即赌博的期望收获为0，仅能维持原 有财富水平不变，就可以认为这种赌博在统 计上是公平的le） 1
EX t t | Ft
• 随机过程 e 也是鞅，其中a是任意实 数，Wt为维纳过程。
aWt 2t 2
1 2 E exp[aWt t a (t t )] | Ft 2 1 2 E X t exp[a(Wt t Wt ) a t ] | Ft 2 1 2 X t E exp[a(Wt t Wt ) a t ] | Ft (条件期望性质 ) 2 1 2 X t exp( a t ) Eexp[a(Wt t Wt )] | Ft（Wiener过程独立性） 2
• 模拟股票价格路径的二项树模型。现在假定 n 时刻的股票价格为Sn，而在n +1时刻，股 票价格将以：p = (1− d) /(u − d)的概率上涨 到uSn ；或者以1− p的概率下降到dSn则下一 时刻股票价格的数学期望？是鞅？
E (Sn1 | Sn ) Sn
• 遵循这种二项过程的股票价格运动是一个鞅
• 例如一个赌徒决定在他赌赢100 次后就收手， 那么他停止赌博的时刻就是一个随机变量T = n ，就是说当他赌到n次时，他才赢足100 次， Fn是他赌到第n次的所能掌握的全部 信息。故T 是否等于n 是依赖他赌到第n 次 才能知道的。从这里体会它似乎有点“你 到那就知道了”那种无奈的意味。
• 停时是一个定义在滤波空间{Ω,F ,P,F}上的 随机变量T :Ω→[0,∞)∪{∞}对于任何t ∈R ， 它满足 {T t} {, T () t} Ft
• 在金融分析中，投资者通常会根据过去发 生的事件来指导未来的投资决策，我们可 以把X 设想为对由于信息发布而产生波动的 金融资产价格(过程)，而EXn就是对这种价 格运动的预测，而恰好鞅就是用条件数学 期望来定义的，这种相似性就激发了使用 鞅和与之相关的数学概念来描述金融资产 价格运动过程特征的热情，鞅在20 世纪80 年代以后迅速成为主流金融经济学研究中 标准的时髦。
例
• 考虑一个欧式看涨期权，到期日收益函数为， cT Max(ST K ,0) • 在 t 时刻(t<T)，该期权价格ct是待定的，但 可根据t 时刻的信息预测它在到期日的期望 价值： EtP cT | Ft EtP Max(ST K ,0) | Ft • 假定r是无风险利率，那么