任意角的概念与弧度制教案
《3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案
适用学科适用区域知识点教学目标任意角和弧度制及任意角的三角函数数学适用年级高三新课标课时时长（分钟）60任意角的概念；象限角的概念及表示；同终边角的概念及表示弧度的概念；角度与弧度的互化；扇形的弧长和面积公式任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的的求法三角函数值在各个象限的符号；诱导公式一（同终边角）；有向线段与三角函数线1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学重点教学难点三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定三角函数的定义及应用教学过程一、课堂导入在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？二、复习预习1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是________________．2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角的范围为________，钝角的范围为 ________，直角的度数为________．三、知识讲解考点 1角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角β＝α＋k·360°(k∈Z ) (或β＝α＋ k· 2，πk∈α与β角的终边相同Z )考点 2弧度的概念与公式在半径为 r 的圆中分类1 弧度的角角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式扇形的面积公式定义 (公式 )把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示l|α|＝r (弧长用 l 表示 )π180①1°＝180rad② 1 rad＝π°弧长 l＝ |α|r112S＝2lr ＝2|α| r·考点 3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义y 叫做α的正弦，记x 叫做α的余yx叫做α的正切，记作作 sin α弦，记作 cos αtan αⅠ正正正Ⅱ正负负各象限负负正Ⅲ符号负正负Ⅳ口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段 MP 为正弦有向线段 OM有向线段 AT 为正切线为余弦线线四、例题精析【例题 1】【题干】(1)已知角α＝ 2kπ－π，若角θ与角α的终边相同，则＝sin θ＋|cos θ|tan θ∈Z )＋的值为() 5(k y|sin θ|cos θ|tan θ|A ．1B．－ 1C．3D．－ 3(2)已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限π【解析】 (1)选 B由α＝2kπ－5(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.因此， y＝－ 1＋1－1＝－ 1.(2)选 B∵点P(tanα，cosα)在第三象限，tan α＜0，∴∴α是第二象限角 .cos α＜0，【例题 2】【题干】已知角α的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α的值．【解析】 ∵角 α的终边在直线 3x ＋4y ＝ 0 上，∴在角 α的终边上任取一点 P(4t ，－ 3t)(t ≠ 0)，则 x ＝ 4t ，y ＝－ 3t ， r ＝ x 2＋y 2＝ 4t 2＋ －3t 2＝5|t|.当 t ＞ 0 时，即 x>0 时， r ＝5t ， sin α＝ y＝ －3t ＝－3，cos α＝ x ＝4t ＝ 4， tan α＝ y＝ －3t ＝－ 3； r5t5 r 5t 5 x 4t 4 y －3t3 x 4t 4y －3t 3 当 t ＜ 0 时，即 x<0 时， r ＝－ 5t ，sin α＝ r ＝－5t ＝5，cos α＝ r ＝－ 5t ＝－ 5，tan α＝x ＝ 4t ＝－ 4.综上可知，当角 α的终边在直线3x ＋4y ＝0 的 x>0 部分时， sin α＝－ 3，cos α＝4，tan α＝－ 3；5 5 4 3 4 3 当角 α的终边在直线 3x ＋4y ＝0 的 x<0 部分时， sin α＝5，cos α＝－5， tan α＝－ 4.【例题 3】【题干】已知在半径为10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10，(1)求弦 AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)如图所示，过 O 作 OC ⊥AB 于点 C ，则 AC ＝ 5，在 Rt △ACO 中，AC 5 1sin ∠AOC ＝AO ＝10＝ 2，∴∠ AOC ＝ 30°，∴α＝2∠AOC ＝60°.π(2)∵60°＝3，10π∴ l ＝|α|r ＝3 .1 1 10π 50πS 扇 ＝ 2lr ＝2× 3 ×10＝ 3 . 1 π又 S △AOB ＝2×10× 10sin 3＝25 3，∴S ＝S －S AOB ＝ 50π 3＝50 π3弓形 扇3 － 253－ 2 .△【例题 4】【题干】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 (2,1)时，OP的坐标为 ________．【答案】 (2－sin 2,1－ cos 2)π π【解析】因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 PA ＝2，即∠ PCA ＝2，则∠ PCB ＝2－2，所以 PB ＝sin 2－2 ＝－ cos 2，CB ＝ cos 2－ π2 ＝sin 2，所以 x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝ 1＋ PB ＝1－cos 2，所以 OP ＝ (2－sin 2，1－ cos 2)．五、课堂运用【基础】1．若α＝ k·180°＋ 45°(k∈Z )，则α在()A ．第一或第三象限B．在第一或第二象限C．第二或第四象限D．在第三或第四象限解析：选 A当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k 为奇数时，α的终边与45 °角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．2．已知角α的终边经过点 (3a－ 9，a＋2)，且 cos α≤0， sin α＞ 0，则实数 a 的取值范围是 () A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]3a－ 9≤0，解析：选 A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有a＋2＞0，即－ 2＜ a≤ 3.2π3．点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 () 1331A. －2，2B.－2，－21331C. －2，－2D.－2，22π12πx＝cos 3 ＝－ 2，y＝sin 3 ＝3 2 .解析：选A由三角函数定义可知Q 点的坐标(x，y)满足【巩固】y4．若点 P(x，y)是 300°角终边上异于原点的一点，则x的值为________．y解析： x＝tan 300 ＝ tan(360°－°60 °)＝－ tan 60＝－° 3.答案：－345．已知角α的终边过点 P(－8m，－ 6sin 30 )，°且 cos α＝－5，则 m 的值为 ________．解析： ∵r ＝ 64m 2＋ 9， ∴cos α＝－8m 4 2 ＝－ 5， 64m ＋9∴m ＞ 0， ∴ 4m 2 1 1 ＝ ， ∴m ＝± .64m 2＋9 25 21 ∵m ＞ 0，∴m ＝2. 答案： 12【拔高】6．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞ 0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：∵扇形周长 C＝2R＋ l＝2R＋αR，∴R＝C，2＋α∴S 扇1α·21α·C2＝2R＝22＋αC2α·1C21C2＝22＝2·≤ 4 16，4＋4α＋α4＋α＋α2C2当且仅当α＝4，即α＝ 2 时，扇形面积有最大值16.7．角α终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称 (a＞ 0)，角β终边上的点 Q 与 A 关于直线 y＝x 对称，求 sin α·cos α＋sin β·cos β＋ tan α·tan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为 (a，－ 2a)，点 Q 的坐标为 (2a，a)．所以， sin α＝－ 2a＝－2，2－2a25a ＋cos α＝a＝1，5a2＋－ 2a2tan α＝－2a＝－，a2sin β＝a＝1，a2＋a25cos β＝2a＝2，a2＋a25a 1tan β＝2a＝2，故有 sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ－ 21121＝· ＋·＋(－2) ×＝－ 1.55552课程小结1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“ 锐角”“ 0°～90°的角” 不等同于“ 第一象限的角” ．其实锐角的集合是{ α|0 °<α<90°}，第一象限角的集合为 { α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z } ．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝ y， cos α＝ x， tanyα＝ x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则y x y sin α＝r ， cos α＝ r ， tan α＝x.这就像我们身处喧嚣的闹市，却在渴望山清水秀的僻静之地。
高中数学教案《任意角和弧度制》
教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。
2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。
二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。
●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。
●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。
●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。
2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。
●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。
●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。
3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。
●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。
●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。
4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。
任意角和弧度制备课说课稿
（1） ； （2） ； （3） .
例题5.把下列角度化成弧度：
（1） ；
例题6. 把下列弧度化成度：
例题7 用弧度表示：
（1）终边在 轴上的角组成的集合；
（2）终边在 轴上的角组成的集合；
例题8 分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为1m的圆中， 的圆心角所对的弧的长度（可用计算器）
变式：（1）写出终边落在y轴上的角的集合； （2）写出终边落在x轴上的角的集合
例题3.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式 的元素 写出来。
变式：写出终边在直线y=-x上的角的集合S。
例题4.若 是第二象限角，是分别确定 的终边所在的位置。
练习：
1.写出终边落在直线 上的角的集合；
任意角和弧度制备课说课稿
中心议题
1.1任意角和弧度制
授课节数
6节课
重点
任意角、弧度制的概念，终边相同的角构成的集合的表示，弧度制与角度制的互化，弧长、扇形的面积公式
难点
终边相同角构成的集合的表示，弧度制与角度制的互化
教学辅助手段
讲义
作业
同步练习
一、教学过程：知识要点：
1、任意角的相关概念：正角、负角、零角，象限角
2、终边相同的角构成的集合，找出在某个范围内与已知角终边相同的角
3、用弧度制表示角，弧度制与角度制的互化
4、弧长公式，扇形的面积公式
二、例题讲练：
例题1.在 ～ 间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角
（1） ； （2） ； （3） .
例题2.用集合表示：
（1）各象限的角的集合； （2）终边落在y轴右侧的角的集合．
1.1任意角和弧度制教学设计教案
1.1任意角和弧度制教学设计教案第一篇：1.1 任意角和弧度制教学设计教案教学准备1.教学目标1、知识与技能（1）推广角的概念、引入正角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念.2、过程与方法通过创设情境：“转体，逆（顺）时针旋转2周”，角有正角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.学会运用运动变化的观点认识事物.2.教学重点/难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.3.教学用具多媒体4.标签任意角教学过程【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”（即转体2周），“转体”（即转体3周）等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? [展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于；图1.1.3(2)中，正角，负角；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）,包括正角、负角和零角.为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。
任意角和弧度制教案
任意角和弧度制教案教案标题：任意角和弧度制教案教案目标：1. 了解任意角的概念，能够在坐标系中表示和定位任意角。
2. 理解弧度制的概念，能够在弧度制和度数制之间进行转换。
3. 掌握任意角的三角函数值的计算方法。
教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、笔记本电脑、教学PPT等。
2. 学生准备：纸和铅笔。
教学过程：Step 1: 引入1. 教师通过展示一张钟表图，引导学生思考角度的概念。
提问：你们平时见过哪些角度的度量方式？2. 学生回答后，教师解释度数制的概念，并引出本节课学习的内容：任意角和弧度制。
Step 2: 任意角的表示和定位1. 教师通过示意图和坐标系，解释任意角的表示方法。
提醒学生注意正角、负角和零角的特点。
2. 学生跟随教师的指导，在纸上练习绘制不同角度的示意图，并用坐标系表示和定位这些角。
Step 3: 弧度制的介绍和转换1. 教师给出弧度制的定义：1弧度是半径等于1的圆的弧所对应的角。
2. 教师通过示意图和实际物体（如一根铁丝弯成的圆弧），展示弧度制的概念和计算方法。
3. 教师引导学生进行度数制和弧度制之间的转换练习，提供一些常见的转换例题。
Step 4: 任意角的三角函数值的计算1. 教师复习正弦、余弦和正切的定义，并介绍任意角的三角函数值的计算方法。
2. 教师通过示例演示三角函数值的计算步骤，引导学生进行练习。
Step 5: 拓展应用1. 教师提供一些与任意角和弧度制相关的实际问题，引导学生运用所学知识解决问题。
2. 学生个别或小组合作完成拓展应用题。
Step 6: 总结和归纳1. 教师带领学生总结本节课所学内容，并强调重点和难点。
2. 学生将所学知识进行整理和归纳，完成课堂笔记。
Step 7: 作业布置1. 教师布置相关的课后作业，包括练习题和思考题。
2. 学生完成作业，以便巩固所学知识。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 教师检查学生完成的课堂练习和作业，评估学生的掌握情况。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案数学课程第7章第7.1.1节任意角的概念知识目标：1.了解角的概念推广的实际背景意义；2.理解任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。
教学备品：教学课件、研究演示用具（两个硬纸条一个扣钉）。
授课班级：海乘1601/轮机1601授课时间：10周授课方法：讲授法教学目的能力目标：1.能够判断角所在的象限；2.能够求指定范围内与已知角终边相同的角；3.培养观察能力和计算技能。
教学重点：终边相同角的概念。
教学难点：终边相同角的表示和确定。
教学过程】1.揭示课题：任意角的概念与弧度制。
2.创设情景兴趣导入：问题1：游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，___与___两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，___下了摩天轮，___继续乘坐一圈。
那么，___走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？问题2：用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转10周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角。
如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角。
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广。
3.动脑思考探索新知：任意角的概念：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α。
旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点。
4.讲解关键点：任意角的概念推广的实际背景意义，以及任意角、象限角、界限角、终边相同的角的概念。
5.结合图形讲解角的图形，并可以加入学生的举例。
6.练和讨论深化、巩固知识，培养能力。
7.反思交流中，总结知识，品味研究方法。
动轴转动，主动轴每分钟转速为1800转，从动轴每分钟转速为1200转，试求主动轴和从动轴之间的转速比。
任意角与弧度制教案
1、1任意角和弧度制一、教材说明：本节任意角和弧度制选自必修四第一章第一节二、三维目标（一）知识与技能（1）了解正、负角与零角的相关定义;（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合;（3）了解弧度制；（二）过程与方法（1）培养学生数型转化的思想；（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三;（3）培养学生思维的抽象与具体转化的过程；（三）情感态度与价值观（1）增强学生观察生活中事物的规律能力;（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去；三、教学重难点（一）重点（1）根据图形写出任意角度数；（2）根据已知图形终边位置写出该终边所表示的角的集合；（二）难点根据终边写角的集合（三）教学设计（1）情境设计（2）教学过程（3）给出相关定义（4）举出例题，深化正负角定义（5）提出要点（6）提出关于终边相同，写出所有角所在集合（7）通过练习（教师引导，并作为主体练习），能够独立进行习题练习（8）学生自主练习、教师个别指导、师生互动（9）习题讲解（10）归纳总结（11）引出下堂课知识点：弧度制（12）布置作业四、教学过程（一）创设情境（1）墙上挂钟，在某段时间内,指针转过角度；（2）当手表不准时,我们旋转指针使之准时，这是指针转过的角度是多少？方向如何？（二）揭示课题(1）1、1任意角和弧度制（2）1、1、1任意角（三）复习旧知识顺时针、逆时针（四）给出例题（1）当指针快速顺时针由“12”调至“6”，指针转过多少度?（2）指针由“6”又调回到“12”是,转过角度如何?方向又怎样呢？（五）给出正角、负角定义（1）正角:逆时针方向旋转形成的角叫做正角；（2）负角：顺时针方向旋转形成的角叫做负角；（六）注意要点如果一条射线没有做任何旋转,则称它为零角。
（七）复习旧知识(1）0°—180°内所有角（2）周角（3）平角的整数倍所有角（八）新知识（1）任意角的表示方法;（2）判断当角的始变何种变相同时，角度是否相同.（九）给出任意角及象限角概念注意角的终边在轴上不叫做象限角。
任意角和弧度制的教学设计
任意角和弧度制的教学设计5.1任意角和弧度制【考点梳理】大重点一：任意角考点一：任意角1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．2．角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角考点二角的加法与减法设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β.(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．考点三象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．考点四终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．大重点二：弧度制考点五：度量角的两种单位制1．角度制：(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．(2)1度的角：周角的1360.2．弧度制：(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．考点六：弧度数的计算考点七：角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad 2πrad＝360°180°＝πrad πrad＝180°1°＝π180 rad≈0.017 45 rad1 rad＝180π°≈57.30°度数×π180＝弧度数弧度数×180π°＝度数考点八：弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝12lR＝12αR2.课堂练习：P21，第1，2题作业：P22 第3题。
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四教案教案教学目标 1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 导入新课复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可以简记为?． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30?k?360??????k?Z?的形式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，所以，与?120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????所以，?95012?角终边相同的角是12948?角，它是第二象限角.??例 2 若??k?360??1575?,k?Z，试判断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边相同，所以，?在第三象限.?例 3 写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?Z??S中适合?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??所以，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴ 1?=?180rad???180 1rad??5718’.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式 S?注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把下列各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30’. 解：(1)/71? （2）? (3) ? (4) ? 56变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）?18720?；(3)?. 63例7 把下列各角从弧度化为度：（1）?；(2) ；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)；(3)；(4)45o. 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)任意角和弧度制任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
高中数学必修4《任意角和弧度制》教案
高中数学必修4《任意角和弧度制》教案一、教学目标1. 理解任意角的概念，掌握任意角的几何性质；2. 理解弧度制的概念，掌握弧度制的基本用法；3. 掌握任意角的三角函数及其基本性质。
二、教学内容1. 任意角的定义和性质；2. 弧度制的概念和计算公式；3. 三角函数的定义、性质及其图象。
三、教学方法1. 归纳法、演示法、讨论法；2. 短片展示、综合练习。
四、教学步骤步骤一：导入新课1. 充分利用素材，抛出有关问题，启发学生思考，激发探究兴趣，从而引出新课。
2. 展示台湾百事可乐的广告，提问：“你们觉得这是哪种角度？”3. 解释任意角的概念，举一些例子，使学生了解不同角度的概念。
步骤二：学习任意角的定义和性质1. 任意角的定义和表示方法。
2. 讲解任意角的性质。
步骤三：学习弧度制的概念和计算公式1. 弧度的概念和推导过程。
2. 弧度与角度的换算公式及例题。
步骤四：学习三角函数的定义、性质及图象1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象。
2. 三角函数的性质及相互关系。
步骤五：练习讲解1. 小组讨论，练习几何问题。
2. 练习弧度制的换算，解答相关问题。
3. 课后作业：巩固基础知识，拓展思维应用。
五、教学反思本节课的核心是任意角和弧度制，由于任意角和弧度制是高中数学必修课程，因此教学难度较大，需要遵循步步深入的原则，先从角度和任意角说起，再讲述弧度制及其换算公式，最后介绍三角函数及其相关性质。
在教学过程中，教师应运用多种教学方法，使学生更直观地理解这些概念和公式，同时也需要拓展学生的思维应用，使他们发现数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案一、任意角的概念：1.任意角的定义：在坐标平面上，如果将终边与正半轴之间的交点记作点A，即A=(1,0)，以正向旋转方向将终边与正半轴旋转到位时所转过的角叫做任意角。
任意角由初始边和终边两部分构成。
2.任意角的位置：任意角不限于0到360度之间，可以是任意大小的角度。
旋转方向可以是正向（逆时针）或反向（顺时针）。
3.任意角的度数：任意角的度数即为终边与正半轴的夹角的度数，用角度符号°表示。
4.任意角的象限：根据终边在哪个象限上，可以将任意角分为一、二、三、四象限。
二、弧度制的概念：1.弧度的定义：将半径等于1的圆的周长分成等份，每份叫做一个弧度。
如果圆上的一段弧的长度等于半径的长度，则该弧对应的角叫做一弧度。
2.弧度与度数的关系：360°对应的弧度为2π，即一周对应2π弧度。
所以，任意角对应的弧度数等于该角度数乘以π/180。
3.弧度制的优势：在三角函数的计算中，弧度制比度数制更为方便和精确，有利于进行各种数学计算。
三、教学步骤：教学目标：学生了解任意角的概念与弧度制的定义，掌握任意角的度数与弧度的转化关系。
教学步骤：Step 1：导入新知识通过出示一个角的图片，提问学生这个角是什么角，是否为任意角。
引导学生思考任意角的含义与特点。
Step 2：任意角的概念解释与举例教师对任意角的概念进行解释，并用实际生活中的例子来说明。
比如：针对绕场地跑的运动员，可以将终点的方向与正北方向之间的夹角视为任意角。
Step 3：弧度制的引入教师让学生回忆以前学过的圆的知识，引出弧度的概念。
通过实际的展示，向学生展示单位圆上的一个弧度与该弧度对应的角。
Step 4：弧度与度数的转化通过一个表格或示例，教师向学生解释弧度与度数之间的转化关系。
提醒学生要掌握好π、角度、弧度之间的换算。
Step 5：练习与巩固提供一些练习题，让学生进行弧度与度数之间的互相转化，巩固所学知识。
Step 6：拓展应用教师提出一些与弧度制相关的实际问题，让学生运用所学知识解决问题。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案一、概念解释任意角是指角的顶点可以位于坐标系中的任意位置，而不仅仅局限于角的顶点位于原点或坐标轴上。
在平面直角坐标系中，如果将角的顶点放在原点上，且不在坐标轴上，则该角为任意角。
在数学中，角的度量方式有两种，分别是度度量和弧度度量。
本教案将重点介绍弧度制的概念与应用。
二、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角的单位制度。
弧度制中，角的度量用弧长与半径相等的弧所对应的弧度数表示。
三、弧度制与度度量的转换1. 弧度制转度度量：角度(度) = 弧度数× (180°/π)2. 度度量转弧度制：弧度数 = 角度(度) × (π/180°)四、弧度制的优点1. 精确性：弧度制可以更精确地表示小角度，保证计算结果的准确性。
2. 便利性：在三角函数的计算中，弧度制更便于推导与计算，使得计算过程更加简洁。
3. 单位统一：由于弧度制是用弧长来度量角度的单位制度，使得角度和长度的单位得到了统一。
五、任意角的弧度表示在任意角中，以顺时针为正方向，角的弧度表示为正角度的弧度数。
六、弧度制在三角函数中的应用在三角函数中，弧度制是最常用的单位制度。
以下是几个常用三角函数值对应的弧度制表示：1. 正弦函数：sin(30°) = sin(π/6) = 0.52. 余弦函数：cos(45°) = cos(π/4) = 0.7073. 正切函数：tan(60°) = tan(π/3) = √3七、弧度制的练习与应用1. 练习一：求解以下各角的弧度制表示：a) 45°b) 60°c) 90°2. 练习二：根据题意求解下列三角函数的值（保留两位小数）：a) sin(π/4)b) cos(π/3)c) tan(π/6)3. 应用一：计算角度为45°的正弦值解答：sin(45°) = sin(π/4) = 0.7074. 应用二：计算角度为60°的余弦值解答：cos(60°) = cos(π/3) = 0.5八、总结通过本教案的学习，我们了解了任意角的概念以及其中的弧度制度量方式。
任意角的概念与弧度制教案
任意角的概念与弧度制教案导言：任意角是初中数学中一个重要的概念，它是我们研究三角函数的基础。
为了更好地理解任意角，我们需要引入弧度制这一概念。
本教案将从任意角的定义开始，逐步介绍弧度制的概念以及如何进行角度与弧度的转换，帮助学生深入理解和掌握这两个概念。
一、任意角的定义在平面直角坐标系中，通过原点O以及一条射线OA，可以确定一个角，这个角叫做任意角。
其中，射线OA称为角的始边，射线OB （OB ≠ OA）称为角的终边，O点叫做角的顶点。
二、弧度制的概念角度制是我们最常用的一种角度单位，但在一些高级数学和物理问题中，常常使用弧度制来度量角的大小。
弧度制定义如下：当半径为r 的圆的圆心角所对的弧长等于半径时，这个角的度数为1弧度，记作1 rad。
三、角度与弧度的转换1. 角度转弧度：已知角的度数α，可以使用如下公式将其转化为弧度：弧度数 = 角度数× π/1802. 弧度转角度：已知角的弧度数β，可以使用如下公式将其转化为角度：角度数 = 弧度数× 180/π四、任意角的性质1. 一个任意角可绘制无数个与之终边相同的角。
2. 一个任意角的终边在平面直角坐标系中的位置决定了该角在坐标系中的唯一性。
3. 弧度制中的任意角大小范围为0≤θ<2π，其中2π的意义相当于360°。
五、任意角的相关公式在三角函数的研究中，任意角的概念是非常重要的。
以下是一些与任意角相关的基本公式。
1. sin任意角和cos任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：sinθ = y/rcosθ = x/r其中，r为OP的长度。
2. tan任意角的定义：在平面直角坐标系中，给定角θ的终边上的点P（x,y），则有：tanθ = y/x注：当x=0时，tanθ不存在。
3. 值域：在上述公式中，可以发现sinθ、cosθ、tanθ的值与终边上的坐标有关，因此它们的值域都在[-1,1]之间。
任意角和弧度制—弧度制(教案)(同步讲义)
人教A版必修1第5章三角函数：任意角和弧度制—弧度制（教案）（同步讲义）【教学目标】一、知识与技能目标理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数。
二、过程与能力目标能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题三、情感与态度目标通过新的度量角的单位制（弧度制）的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美。
【教学重点】弧度的概念。
弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明。
【教学难点】“角度制”与“弧度制”的区别与联系。
【教学过程】一、复习角度制：初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？规定把周角的1360作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制。
二、新课：1．引入：由角度制的定义我们知道，角度是用来度量角的，角度制的度量是60进制的，运用起来不太方便。
在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？2．定义我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制。
在弧度制下，1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略。
3．思考：（1）一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？ （2）引导学生完成探究并归纳：弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为rr ππ=； ②整圆所对的圆心角为22r rππ=. ③正角的弧度数是一个正数。
④负角的弧度数是一个负数。
⑤零角的弧度数是零。
⑥角α的弧度数的绝对值l a r=. 4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：3602π︒=；180π︒=；10.01745rad 180π︒=≈；180n n rad π︒=。
②将弧度化为角度： 2360π=︒；180π=︒；180lrad 57.305718π︒︒︒'⎛⎫=≈= ⎪⎝⎭；180n n π⎛⎫= ⎪⎝⎭︒。
(教案5)1.1任意角和弧度制
1.1.2弧制度教学目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的 集合与实数集R 一一对应关系的概念。
教学重点：会将一个角度制的角化为弧度制，将弧度制角化为角度制角。
教学难点：1弧度角化为角度，1度角化为弧度角的理解。
教学过程一、复习提问任意角包括哪些角？有最大角、最小角吗？终边相同的角的集合如何表示？二、新课1、提出课题：弧度制－—另一种度量角的单位制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
它的单位是rad 读作 弧度。
如图：∠AOB=1rad ，∠AOC=2rad 周角=2πrad （1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r为半径）（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0），用角度制和 弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
2、角度制与弧度制的换算抓住：360︒=2πrad ∴180︒=π rad ∴ 1︒=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例1、 把'3067 化成弧度o r C2rad 1rad r l=2r oAAB解：⎪⎭⎫⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2、 把rad π53化成度。
解： 1081805353=⨯=rad π注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin π表示πrad 角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R 3、练习例3、 用弧度制表示：1︒终边在x 轴上的角的集合；2︒终边在y 轴上的角的集合3︒终边在坐标轴上的角的集合.解：1︒终边在x 轴上的角的集合 {}Z k k S ∈==,|1πββ2︒终边在y 轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ3︒终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 4、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化 5、作业：。
任意角弧度制教案
任意角弧度制教案教案标题：任意角弧度制教案教案目标：1. 理解任意角的概念和弧度制的基本原理。
2. 掌握任意角与弧度之间的转换关系。
3. 能够在解决相关问题时使用弧度制进行计算。
教学准备：1. 教师准备：黑板、白板、彩色粉笔/白板笔、教学投影仪等。
2. 学生准备：教科书、笔记本、计算器等。
教学过程：引入活动：1. 教师可以通过提问来引导学生思考：你们知道什么是角度吗？我们平时常用的角度单位是什么？有没有其他表示角度的方法呢？2. 学生回答后，教师可以简要介绍一下角度的概念和常用的度数制。
概念讲解：1. 教师通过示意图和实例，引导学生理解任意角的概念：任意角是指角的两条边可以是任意长度的角。
2. 教师引导学生思考：在解决一些数学问题时，角度单位常常不够灵活，有时候我们需要更精确的表示角度的方法。
这时，我们就可以使用弧度制。
3. 教师简要介绍弧度制的基本原理：弧度是角度的一种度量方式，表示角所对应的圆的弧长与半径的比值。
一个完整的圆周对应的弧度为2π。
转换关系讲解：1. 教师引导学生思考：如何将角度转换为弧度？如何将弧度转换为角度？2. 教师通过示意图和实例，讲解角度与弧度之间的转换关系：- 角度转弧度：弧度 = 角度× π / 180- 弧度转角度：角度 = 弧度× 180 / π练习活动：1. 学生进行练习题，巩固角度与弧度之间的转换关系。
2. 学生解决一些实际问题，应用弧度制进行计算。
总结：1. 教师对本节课的内容进行总结，强调任意角的概念和弧度制的重要性。
2. 学生回答问题，进行互动讨论。
拓展活动：1. 学生自主学习相关知识，扩展弧度制的应用领域。
2. 学生可以进行小组讨论，分享自己在实际生活中发现的弧度制的应用案例。
评估方式：1. 教师观察学生在课堂上的参与情况和回答问题的准确性。
2. 教师布置作业，检验学生对角度与弧度之间转换关系的掌握程度。
拓展阅读：1. 推荐学生阅读相关教材或网络资料，进一步了解角度与弧度制的应用。
《5.1 任意角和弧度制》公开课优秀教案教学设计(高中必修第一册)
【新教材】5.1.2弧度制教学设计（人教A版）前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入度量单位可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制，不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也可以用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本172-174页，思考并完成以下问题1． 1弧度的含义是？2．角度值与弧度制如何互化？3．扇形的弧长公式与面积公式是？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360．(2)弧度制①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．弧度数的计算3.角度制与弧度制的转算4．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π3π22πlrπ180(180π)°正数负数零5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则： (1)弧长公式：l ＝ αr ．(2)扇形面积公式：S ＝ 12lr ＝ 12αr 2 ．四、典例分析、举一反三 题型一 角度制与弧度制的互化例1 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.【答案】（1）－5π2 rad ；(2) 18°；(3) －240°；(4) 5π8 rad.【解析】(1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.解题技巧：（角度制与弧度制转化的要点）跟踪训练一1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.【答案】（1）π9 rad ；（2）－π12 rad ；（3）105°；（4）－396°.【解析】(1)20°＝20π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad.(3)7π12 rad ＝712×180°＝105°.(4)－11π5 rad ＝－115×180°＝－396°.题型二 用弧度制表示角的集合例2 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z； （2）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z ；（3）⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z. 【解析】用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪ －π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z. (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z. 解题技巧：(表示角的集合注意事项) 1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍． 2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤． (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. 跟踪训练二1．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②【答案】(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .【解析】(1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z. (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .题型三 扇形的弧长与面积问题例3一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 【答案】当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．【解析】设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ， 依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2rr.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25.此时l ＝10，α＝2， 故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大．解题技巧：（弧度制下解决扇形相关问题的步骤）(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12|α|r 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 跟踪训练三1、已知某扇形的圆心角为80°,半径为6 cm,则该圆心角对应的弧长为( ) A .480 cm B .240 cmC .8π3cm D.4π3cm【答案】C 【解析】:80°=π180×80=4π9,又r=6 cm,故弧长l=αr=4π9×6=8π3(cm).2、如图,已知扇形AOB 的圆心角为120°,半径长为6,求弓形ACB 的面积.【答案】12π-9√3 【解析】S 扇形AOB =12×120π180×62=12π,S △AOB =12×6×6×sin 60°=9√3,故S 弓形ACB =S 扇形AOB -S △AOB =12π-9√3. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本175页练习及175页习题5.1.本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生通过角度制与弧度制的转化将角与实数建立一一对应关系，切记：角度和弧度不可同时出现.。
任意角地概念与弧度制教案设计
【教学过程】
来
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．
运用知识强化练习
练习7-1
．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：
终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为
写出终边在y轴上的角的集合．
轴正半轴上；当
【教学过程】
若圆的半径为r ，圆心角∠AOB 所对的圆弧长为的大小就是 2r r
弧度弧度．
：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零． 由定义知道，角α的弧度数的绝对值等于圆弧长的比，即 l r
α=（）
． 半径为r 的圆的周长为，故周角的弧度数为 2π(rad)2π(rad)r
r
=
由此得到两种单位制之间的换算关系：
360°=2πrad ，即180°=πrad ．
1°=π(rad)0.01745rad ≈
378︒。
任意角的概念与弧度制教案
P6 练习 2 预习
教 学 思 路 、方 法 、手 段
（1）由问题引入弧度制的概念； （2）通过观察-—探究,明晰弧度制与角度制的换算关系; （3)在练习—-讨论中，深化、巩固知识，培养计算技能； （4）在操作-—实践中，培养计算工具使用技能; (5）结合实例了解知识的应用．
教学备品
教学课件
【教学过程】
6
教学
教师 学生 教学 时
过程
行为 行为 意图 间
＊揭示课题 7。2。。2 弧度制
*回顾知识 复习导入 问题
介绍 了解 利用 5 质疑 思考 复习 引领 明确 角度 讲解 思考 制为
角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决
说明 了解 新知 识的
将圆周的圆弧所对的圆心角叫做 1 度角，记作 1°． 1 度等于 60 分(1°=60′)，1 分等于 60 秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制． 扩展 计算：23°35′26″+31°40′43″ 角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位 换算上的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、 270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．
导学 生一 步步 自然 得出 强调 特殊 情况
＊运用知识 强化练习
提问 思考 反馈 40
练习 7—1
巡视 动手 学习
1．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象 指导
限的角: ⑴ 60°;
生加 强记 忆 简单 说明
数集之间，建立起了一一对应的关系．
对应
关系
＊巩固知识 典型例题 例 1 把下列各角度换算为弧度（精确到 0．001）：
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【教学过程】
过程行为行为意图间*揭示课题
7.1任意角的概念与弧度制
*创设情景兴趣导入
问题1
游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？
问题2
用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．
归纳
通过上面的三个实例，发现仅用锐角或0°360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．介绍
质疑
提问
说明
总结
了解
思考
求解
讨论
交流
理解
利用
实际
问题
引起
学生
的好
奇心
和求
知欲
生活
实例
有助
于学
生理
解角
的推
广的
意义
10
*动脑思考探索新知
概念
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针
（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．
规定：按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（如图（1）），按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（如图（2））．当射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角叫做零角．说明
仔细
分析
讲解
关键
点
思考
理解
结合
图形
讲解
角的
图形
可以
加入
学生
的举
例
过程行为行为意图间
（1）（2）
类型
经过这样的推广以后，角包含任意大小的正角、负角和零角．
表示
除了使用角的顶点与边的字母表示角，将角记为“∠AOB”或“∠O”外，本章中经常用小写希腊字母α、β、γ、来表示角．
概念
数学中经常在平面直角坐标系中研究角．将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角（或者说这个角在第几象限）．
如图所示，30°、390°、−330°都是第一象限的角，120°是第二象限的角，−120°是第三象限的角，−60°、300°都是第四象限的角．
终边在坐标轴上的角叫做界限角，例如，0°、90°、180°、270°、360°、−90°、−270°角等都是界限角．引导
强调
引导
展示
强调
记忆
明确
领会
观察
理解
明确
角的
类型
完成
角的
推广
象限
角可
以引
导学
生一
步步
自然
得出
强调
特殊
情况
30
*运用知识强化练习
练习7-1
1．在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：提问
巡视
指导
思考
动手
求解
反馈
学习
状态
巩固
360,k k +⋅∈Z ｝．终边相同的角（包括角(k ∈Z 终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为︱,k βα=∈Z 写出与下列各角终边相同的角的集合，并把其中在
在指定的范围内．角终边相同的角的集合是360,k k +⋅∈Z ｝．(1)360300+-⨯=-； 当k 60036060+⨯=；当1k =时，601360420+⨯=．所以在
360°～720°之间与60°角终边相同的角为300-、60和420． ⑵ 与−114°26′角终边相同的角的集合是
11426360,k k '+⋅∈Z ｝． 26036011426''+⨯=-； 26136024534''+⨯=； 11426236060534''+⨯=．
720°之间与11426'-角终边相同的角为11426'、24534'和60534'．
写出终边在y 轴上的角的集合．
在0°360°范围内，终边在 说明
90,n
+∈Z｝轴正半轴上；当
【教学过程】
过 程
行为 行为 意图 间
*揭示课题
7.2..2弧度制 *回顾知识 复习导入 问题
角是如何度量的？角的单位是什么？ 解决
将圆周的
1
360
圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°． 1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）． 以度为单位来度量角的单位制叫做角度制． 扩展
计算：23°35′26″+31°40′43″
角度制下，计算两个角的加、减运算时，经常会带来单位换算上的麻烦．能否重新设计角的单位制，使两角的加、减运算像10进位制数的加、减运算那样简单呢？ 介绍 质疑
引领 讲解 说明
了解 思考 明确 思考 了解
利用 复习 角度 制为 新知 识的 学习 做好 铺垫
5
*动脑思考 探索新知 概念
将等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作
1弧度或1rad ．以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．
若圆的半径为r ，圆心角∠AOB 所对的圆弧长为2r ，那
么∠AOB 的大小就是 22r r
=弧度弧度． 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角
的弧度数为零．
分析
由定义知道，角α的弧度数的绝对值等于圆弧长l 与半径
r 的比，即 l
r
α=（rad ）．
半径为r 的圆的周长为2πr ，故周角的弧度数为
说明
举例
仔细
分析 讲解
关键
理解 记忆 领会
弧度 概念 较为 抽象 讲解 时注 重分 析关 键点 弧长 与角 的对 应关 系
；
过 程
行为 行为 意图 间
的长度，那么，应用公式l
r
α=，从动轮B 转过的角就等于
'1005
128341407
π=π≈． 答 从动轮旋转5
π7
，用角度表示约为128°34′．
例4 如下图，求公路弯道部分AB 的长l （精确到0．1m ．图中长度单位：m ）．
分析 知道圆心角和半径，求弧长时，要首先将圆心角换算为弧度制．
解 60°角换算为π3
弧度， 因此 π453
l R α==⨯ 3.1421547.1≈⨯≈（m ）．
答 弯道部分AB 的长l 约为47.1 m ． 说明 提问 引领 介绍 分析
明确
求解 思考 理解 讨论 求解
应用 重点 分析 题目 中各 数据 的处 理 计算 部分 交给 学生 完成
65
*运用知识 强化练习 教材练习5.2.2 1．填空：
⑴ 若扇形的半径为10cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长
l = ，扇形面积S = ．
⑵ 已知1°的圆心角所对的弧长为1m ，那么这个圆的半径是 m ．
2．自行车行进时，车轮在1min 内转过了96圈．若车轮的半
径为0.33m ，则自行车1小时前进了多少米（精确到1m ）？ 提问
巡视
指导
思考 动手 求解 交流 及时 了解 学生 知识 掌握 情况
80 *归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
引导
回忆
培养 学生 总结。