比较实数大小的八种方法

合集下载

实数大小比较

实数大小的比较一、数轴比较法数轴上的点与实数成一一对应的关系，数轴上的靠右边的点表示的数大于靠左边的点表示的数。

例1、已知a、b是实数，且。

试比较a，b，－a，－b的大小关系。

解析：因为，故可将a、b两数在数轴上表示出来。

又因为a与与互为相反数，根据相反数的几何意义，a与,在数轴上可表示为图2。

所以的大小关系是。

二、法则比较法正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数反而较小。

例2、已知a、b是实数，且a<0<b，c≠0，试比较的大小。

解析：因为a<0,b>0，则ab<0。

又c≠0，则，所以，为负数。

而b>0，，所以，为正数。

所以。

三、比较被开方数法一般地，当a>0，b>0时，如果a>b，那么。

也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大。

反之也成立。

例3、比较大小：（1）；（2）。

解析：若要比较形如的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

（1）因为，且，所以，因此，。

（2）因为，且，所以，所以。

因此，。

四、添加根号法若a>0，则。

在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。

例4、比较的大小。

解析：因为，又因为，于是，即。

五、乘方法（平方法或立方法）如果a>0，b>0，若，那么a>b；若，那么a>b。

例5、比较大小：（1）；（2）。

解析：（1）因为，而12<18，所以。

（2）因为，而，所以。

六、作差法作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差。

当时，得到a>b；当时，得到a<b；当时，得到a=b。

例6、比较的大小。

解析：因为，所以。

七、作商法作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a与b的商。

当时，a<b；当时，a>b；当时，a=b。

例7、比较的大小。

初中数学实数(原理、规律方法技巧总结)大小的比较

初中数学实数（原理、规律方法技巧总结）大小的比较一、实数的大小比较的原理1）正负数：正数>0>负数，正数大于一切负数；2）数轴：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；3）绝对值：两个正数，绝对值大的就大；两个负数，绝对值大的反而小。

二、实数大小比较常见方法实数大小比较常见方法有：数轴法、倒数法、作差法、作商法、放缩法、平方法、估算法、分母有理化等.三、实数大小的比较常见方法举例及其规律方法1、数轴法例1、a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，且|a|＝|b|.(1)比较a，－a，－c的大小；(2)化简：|a＋b|＋|a－b|＋|a＋c|＋|b－c|.打开百度APP看高清图片数轴解：(1)可以依次标出a，－a，－c在数轴上的位置易得－a＜a＜－c；(2)原式＝0＋2a＋[－(a＋c)]＋(b－c)＝2a－a－c＋b－c＝2a－a－a－c－c＝－2c.2、倒数法规律方法：两个无理数的差，被开方数的差相同，因此可取这两个数的倒数，再进行分母有理化，先比较它们倒数的大小，然后再比较它们本身的大小。

3、做差法规律方法：把两数的差与“0”做比较即可，做差法是最常用的比较方法。

4、作商法规律方法：当两个含二次根式的数或式（均为正数）都是分式形式时，常用作商比较它们的大小，将它们的商与1做比较5、放缩法原理：不等式的传递性。

规律方法：即把要比较的两个数适当的放大或缩小，使复杂的问题简单化，进而达到比较两个实数的大小的目的。

6、平方法原理：当a>0,b>0时，若a>b，则a>b；若a=b，则a=b；若a 规律方法:此种方法一般适用于四个无理数两两之和(或差)之间比较大小,且其中两个被开方数的和等于另两个被开方数的和.7、估算法规律方法：当要比较的实数含有平方根容易算出时，可考虑使用估算法，使用这种方法需8、根号内比较法规律方法：对于一些简单的含根号的数字，有时可以直接把数化入到根号里面，然后比较根号内数字的大小即可。

实数的求值和大小比较

课题实数的比较与求值方法实数大小进行比较的常用方法:方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a －b ﹥0时，得到a ﹥b 。

当a －b ﹤0时，得到a ﹤b 。

当a －b ＝0，得到a=b 。

例1：（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1－2与1－3的大小。

方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b 。

来比较a 与b 的大小。

例2：比较513-与51的大小。

解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法三：倒数法倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b1时，a ＜b 。

来比较a 与b 的大小。

例3：比较2004－2003与2005－2004的大小。

方法四：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

例5：比较62+与53+的大小解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215。

又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+。

方法五：估算法估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4：比较8313-与81的大小方法六：移动因式法（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当a ＞0，b ＞0，若要比较形如a d b c 与的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

例6：比较27与33的大小方法七：取特值验证法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。

例7：当10 x 时，2x ，x ，x1的大小顺序是______________。

实数比较大小的具体方法知识点

实数比较大小的具体方法知识点实数比较大小的具体方法知识点集锦任意两个实数之间都存在着大小关系,比较实数大小的方法有很多，本文是店铺整理实数比较大小的具体方法知识点集锦的资料，仅供参考。

实数比较大小的具体方法(1)求差法：设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a-b<0时，a0时，a>b”来比较a与b的大小。

(2)求商法：设a，b(b≠0)为任意两个正实数，先求出a与b的.商，再根据“当<1时，a1时，a>b”来比较a与b的大小;当a，b(b≠0)为任意两个负实数时，再根据“当<1时，a>b;当=1时，a=b;当>1时，a(3)倒数法：设a，b(a≠0，b≠0)为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据“当<时，a>b;当>时，a<b。

”来比较a与b的大小。

< p=""> </b。

”来比较a与b的大小。

<>(4)平方法：比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a>0，b>0时，可由a2>b2 得到a>b”比较大小。

也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。

还有估算法、近似值法等。

两个实数的大小比较，形式有多种多样，只要我们在实际操作时，有选择性地灵活运用上述方法，一定能方便快捷地取得令人满意的结果。

(5)数轴比较法：实数与数轴上的点一一对应。

利用这条性质，将实数的大小关系转化为点的位置关系。

设数轴的正方向指向右方，则数轴上右边的点所表示的数比左边的点所表示的数要大。

如图，点A表示数a，点B表示数b。

因为点A在点B的右边，所以数a大于数b，即a>b.实数的比较大小法则正实数都大于0，负实数都小于0;正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小;在数轴上，右边的数要比左边的大。

实数比较大小的基本方法与技巧

实数比较大小的基本方法与技巧在现实生活与生产实际中，我们经常会遇到比较两个或几个数的大小。

怎样比较实数与实数之间的大小呢?比较两个实数的大小通常有以下几种方法：一、求差法求差法——设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据“当a-b<0时，a<b ；当a-b=0时，a=b ；当a-b>0时，a>b.”来比较a 与b 的大小.例1.比较大小：(1)513-与51；(2)1-2与1-3 解：(1)∵513-－51=523-<0, ∴513-<51. (2) ∵(1-2)-(1-3)=3-2>0, ∴1-2>1-3二、求商法求商法——设a ，b 为任意正两个实数，先求出a 与b 的商，再根据“当b a <1时，a<b ；当ba=1时，a=b ；当ba>1时，a>b.”来比较a 与b 的大小. 例2．比较大小：(1)513-与51；解：(1) ∵513-÷51=3-1<1，∴513-<51. 三、倒数法倒数法——设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据“当a 1<b1时，a>b ；当a 1>b1时，a<b.”来比较a 与b 的大小.例3．比较20032004-与20042005-的大小.解：∵200320041-=20032004+,200420051-=20042005+,又∵20032004+<20042005+,∴200320041-<200420051-,∴20032004->20042005-.四、估算法估算法——设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a, b 两数或两数中某部份的取值范围，再进行比较.例4．比较大小：(1)8313-与81；(2) 23-+3与447-解：(1)∵3<13<4, ∴13-3<1, ∴8313-<81. (2) ∵-4<23-<-5, ∴-1<23-+3<-2；又∵-6<47-<-7, ∴-2<447-<-3.∴23-+3>447-.五、平方法平方法——比较含有无理数的式子的大小时，先将要比较的两个数分别平方，再根据“在a ＞0，b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b ”比较大小.也就是说，两个正数比较大小时，如果一个数的平方比另一个数的平方大，则这个数大于另一个数。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法生活中,我们经常会遇到下面的问题:比较一个企业不同季度的产值,国家去年与前年的国民生产总值等实际问题的大小,转化成数学问题,就就是比较两个或多个实数的大小,比较实数大小的方法比较多,也比较灵活,现采撷几种常用的方法供大家参考。

一、法则法比较实数大小的法则就是:正数都大于零,零大于一切负数,两个负数相比较,绝对值大的反而小。

例1 比较与的大小。

析解:由于,且,所以。

说明:利用法则比较实数的大小就是最基本的方法,对于两个负数的大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小的依据就是:对任意正实数a、b有:。

例2 比较与的大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面的因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数的大小,目的就是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据就是:在同一数轴上,右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

例3 若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示,试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性,先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来,容易得到结论:四、估算法用估算法比较实数的大小的基本思路就是:对任意两个正实数a、b,先估算出a、b两数的取值范围,再进行比较。

例4 比较与的大小。

析解:由于,故,所以五、倒数法用倒数法比较实数的大小的依据就是:对任意正实数a、b有:例5 比较与的大小析解:因为,又因为,所以所以说明:对于两个形如(,且k就是常数)的实数,常采用倒数法来比较它们的大小。

六、作差法用作差法比较实数的大小的依据就是:对任意实数a、b有:例6 比较与的大小。

析解:设,则所以七、作商法用作商法比较实数的大小的依据就是:对任意正数a、b有:例7 比较与的大小。

析解:设,,则即八、放缩法用放缩法比较实数的大小的基本思想方法就是:把要比较的两个数进行适当的放大或缩小,使复杂的问题得以简化,来达到比较两个实数的大小的目的。

带有根式实数的大小比较方法

带有根式实数的大小比
较方法
本页仅作为文档封面，使用时可以删除
This document is for reference only-rar21year.March
2 带有根式实数的大小比较方法
（1）、根式变形法
当0,0a b >>时，①如果a b >
>；②如果a b <
< 例1
、比较
与的大小。

（2）、平方法、立方法
当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。

例2
、比较
（3）、分母有理化法
通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

例3
的大小。

（4）、分子有理化法
通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

例4、。

（5）、倒数法
例5
的大小。

（6）、媒介传递法
适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

例6
3
3的大小。

（7）、作差比较法
在对两数比较大小时，经常运用如下性质：
①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
例7
（8）、求商比较法
它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①1a a b b >⇔>； ②1a
a b b <⇔< 例8
、比较5-
2+的大小。

比较实数大小的八种方法

比较实数大小的八种方法在数学中，比较实数的大小是常见的一种操作。

实数是包括有理数和无理数的数集，比较实数大小的方法也因此有很多种。

下面将介绍八种常见的比较实数大小的方法。

1.图像法图像法是一种直观比较实数大小的方法。

在数轴上，将要比较的实数表示出来，然后观察它们在数轴上的位置，靠近原点的实数较小，远离原点的实数较大。

通过观察数轴上的相对位置，可以快速比较实数的大小。

2.对比法对比法是将两个实数进行比较，通过计算它们的差值，判断差值的正负来确定实数的大小。

例如，如果两个实数相减的结果为正数，则被减数较大，反之则较小。

3.分数比较法对于有理数，可以将其表示为分数的形式，比较实数的大小可以通过比较其分数形式的大小。

将两个实数的分数形式进行通分后，比较它们的分子的大小，分母相同的情况下，分子较大的实数较大。

4.无理数逼近法无理数是不能表示为有理数的分数形式的数，对于无理数的比较可以利用它们的逼近性质。

即找到两个有理数序列，一个逼近于要比较的无理数的上界，一个逼近于下界，然后通过比较这两个有理数序列的最后一项和无理数的大小来判断实数的大小。

5.指数法当实数以指数形式表示时，比较实数的大小可以通过比较其底数和指数的大小来判断。

如果底数相同，指数较大的实数较大；如果指数相同，底数较大的实数较大。

6.对数法当实数以对数形式表示时，比较实数的大小可以通过比较其底数和对数的大小来判断。

如果底数相同，对数较大的实数较大；如果对数相同，底数较大的实数较大。

7.泰勒展开法泰勒展开是一种将一个函数在一些点附近进行多项式逼近的方法。

通过将实数表示为泰勒展开的形式，可以比较实数的大小。

较高次项系数较大的实数较大。

8.近似值法对于无法进行精确比较的实数，可以通过近似值进行比较。

比较实数的近似值，较接近给定值的实数较大。

这八种方法是比较实数大小常用的方法，每种方法都有其适用的场景。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较，以得到准确的比较结果。

初中数学实数大小进行比较的10种方法大全解析

实数比较大小常见10中方法大全讲解实数的大小比较是中考及数学竞赛中的常见题型，不少同学感到困难。

“实数”是初中数学的重要内容之一，也是学好其他知识的基础。

为帮助同学们掌握好这部分知识，本文介绍几种比较实数大小的常用方法，供同学们参考。

模块一：比较大小会用到的一些基本事实和方法：模块二：方法讲解与举例方法一.运用方根定义法例1、比较5-m 和34m -的大小解：根据平方根的定义可知：m －5≥0，即m ≥5，则4-m <0，34m -<0，又因为5-m ≥0，由此可得：5-m >34m -．（注：实质上此题是运用了一个基本事实，即正数>负数）小结：该法适用于被开方数中含有字母的二次根式和三次根式的大小比较，解答时要注意二次根式中的隐含条件．方法二：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。

当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。

当a-b ＝0，得到a=b 。

例2：（1）比较513-与51的大小。

（2）比较1-2与1-3的大小。

解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜51。

解 ∵（1-2）-（1-3）=23-＞0 ， ∴1-2＞1-3。

方法三：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。

当b a ＜1时，a ＜b ；当b a ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b 。

来比较a 与b 的大小。

例3：比较513-与51的大小。

解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法四：倒数法倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a 1＞b1时，a ＜b 。

来比较a 与b 的大小。

例4：比较2004-2003与2005-2004的大小。

解∵200320041-=2004+2003 ， 200420051-=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004方法五：中间值法：基本思路是：要比较的两个数都接近于一个中间数，其中一个数大于中间数，另一个数小于中间数，就可以比较出两个数的大小例5：比较456998和7481084的大小解：456998＜12 ， 7481084＞12 所以：456998＜7481084方法六：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。

实数的大小比较题目

实数的大小比较题目一、实数大小比较的基本方法1. 数轴比较法- 基本原理：在数轴上，右边的数总比左边的数大。

- 例如：比较-3和2的大小。

- 解析：在数轴上，-3位于原点左边距离原点3个单位长度处，2位于原点右边距离原点2个单位长度处。

因为数轴上右边的数比左边的数大，所以2> - 3。

2. 作差比较法- 基本原理：设a,b是两个实数，则a - b>0Leftrightarrow a> b；a - b =0Leftrightarrow a=b；a - b<0Leftrightarrow a< b。

- 例如：比较5和3的大小。

- 令a = 5，b = 3，则a - b=5 - 3=2>0，所以5>3。

- 再如：比较x^2+1和2x的大小（x∈ R）。

- 令a=x^2 + 1，b = 2x，则a - b=x^2+1 - 2x=(x - 1)^2。

- 因为(x - 1)^2≥slant0，当且仅当x = 1时取等号。

所以x^2 + 1≥slant2x。

3. 作商比较法（适用于a,b同号的情况）- 基本原理：设a,b是两个正实数，则(a)/(b)>1Leftrightarrow a> b；(a)/(b)=1Leftrightarrow a = b；(a)/(b)<1Leftrightarrow a< b。

如果a,b是两个负实数，则(a)/(b)>1Leftrightarrow a< b；(a)/(b)=1Leftrightarrow a = b；(a)/(b)<1Leftrightarrow a> b。

- 例如：比较4和2的大小。

- 因为4和2都是正数，(4)/(2)=2>1，所以4>2。

- 再如：比较-2和-4的大小。

- 因为-2和-4都是负数，(-2)/(-4)=(1)/(2)<1，所以-2> - 4。

比较实数大小的技巧

一、比较被开方数法当a>0，b>0时，如果a>b，那么。

也就是说，两个正数，较大的正数的算术平方根也较大，其立方根也较大，反之也成立。

例1、比较大小：（1）；（2）。

解析：若要比较形如的两数的大小，可先把根号外的因数a与c移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。

（1）因为，且，所以，因此，。

（2）因为，且，所以，所以。

因此，。

二、添加根号法若a>0，则。

在比较一个有理数和一个无理数的大小时，常选用此式。

例2、比较的大小。

解析：因为，又因为，于是，即。

三、乘方法（平方法或立方法）如果a>0，b>0，若，那么a>b；若，那么a>b。

例3、比较大小：（1）；（2）。

解析：（1）因为，而12<18，所以。

（2）因为，而，所以。

四、取近似值法（估算法）在比较两个无理数的大小时，如果有计算器，可以先用计算器求出它们的近似值。

不过取近似值时，要使它们的精确度相同。

再通过比较它们的近似值的大小，从而确定它们的大小。

如果没有计算器，则可用估算法。

先估算出两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例4、比较大小：（1）；（2）。

（1）因为所以。

又因为，解析：所以。

（2）因为，所以，所以。

五、作差法作差法的基本思路是，设a、b为任意两个实数，先求出a 与b的差。

当时，得到a>b；当时，得到a<b；当时，得到a=b。

例5、比较的大小。

解析：因为，所以。

六、作商法作商法的基本思路是，设a、b为任意两个正实数，先求出a 与b的商。

当时，a<b；当时，a>b；当时，a=b。

例6、比较的大小。

解析：因为，所以。

七、放缩法（中间值法）如果a<c，c<b，那么a<b。

若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法。

例7、比较的大小。

解析：因为，所以。

所以，即。

八、不等式性质法例8、比较大小：。

解析：因为，所以，因此。

八年级数学实数大小比较的八种方法

八年级数学实数大小比较的八种方法一、实数的大小比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然适用：法则1：在数轴上表示的两个数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大；法则2：正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

二、比较两个实数的大小的常用方法：（1）定义比较法；例题1、比较解：∵ 10 - a ≥ 0 , ∴ a ≤ 10 , a - 11 <>（2）作商比较法；例题、比较解：（3）取近似值比较法；常用三个无理数的估算（精确到千分位）√2 ≈ 1.414 ，√3 ≈ 1.732 ，√5 ≈ 2.236 。

例题、比较√5 + 2 与 4.2 的大小。

解：∵ √5 ≈ 2.236 ，∴ √5 + 2 ≈ 4.236又∵4.236 > 4.2∴ √5 + 2 > 4.2（4）平方比较法；例题、比较√6 + √10 与√14 + √2 的大小。

解：∵ （√6 + √10）^2 = 16 + 4√15 , （√14 + √2）^2 = 16 + 4√7 ;又∵ √15 > √7∴ （√6 + √10）^2 > （√14 + √2）^2∴ √6 + √10 > √14 + √2（5）放缩比较法；例题、比较√6 + 2 与√53 - 2 的大小。

解：∵ 2 < √6="">< 3="" ,="" 7="">< √53="">< 8="">∴ √6 + 2 < 3="" +="" 2="5">< √53="" -="">∴ √6 + 2 < √53="" -="">（6）倒数比较法；例题、已知a = √2019 - √2017 , b = √2018 - √2016 , 试比较a , b 之间的大小。

【数学知识点】实数的大小比较

【数学知识点】实数的大小比较
1、法则法，比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相
比较，绝对值大的反而小。

2、平方法，用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有a²＞b²，则a＞b。

3、数形结合方法，用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在
同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

实数，是有理数和无理数的总称。

数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。

实数
可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

但仅仅以列举的方式
不能描述实数的整体。

实数和虚数共同构成复数。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。

实数集通常用黑正体字
母R表示。

R表示n维实数空间。

实数是不可数的。

实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。

任何一个完
备的阿基米德有序域均可称为实数系。

在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。

由于
R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数
点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数
经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n位，n为正整数）。

在计算机领域，由于计
算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

初中数学实数大小的判断方法

初中数学实数大小的判断方法
一、平方法
先将两个要比较的数分别平方，再根据“当时，（1）若，则；（2）若，则”来比较大小。

例1、比较的大小。

分析：本题的依据是：当，则。

解析：。

因为，所以。

二、因数内移法
先把根号外的正因数移至根号内，再根据“当时，（1）若，则；（2）若，则”来比较大小。

例2、比较的大小。

分析：当时，若要比较形如的两数大小，则平方法及因数内移法都可以。

解析：将两个二次根式作变形，得
三、近似估值法
通过近似估值，确定无理数的范围，再比较其大小。

例3、比较的大小。

分析：对于一些复杂的数的大小比较，同学们可以利用估算求其近似值，再进行比较。

解析：因为。

所以，
则，
所以。

四、作差法
先求出a与b的差，再根据“若；若，则”来比较a与b的大小。

例4、比较的大小。

分析：与“作差法”相对应的还有“作商法”，需要注意的是用“作商法”求出两数的商后应与1相比较。

解析：因为
五、倒数法
当a、b为任意两个正实数时，先分别求出a与b的倒数，再根据“若，则；若”来比较a与b的大小。

例5、比较的大小。

分析：在比较两个无理数的差的大小时，通常利用其倒数的大小来判断，特别是当被开方数的差相等时。

解析：因为，所以
，。

而，所以。

▍ ▍
▍。

实数比较大小的方法

实数比较大小的方法在数学中，我们经常会涉及到实数的大小比较，比如说两个数的大小关系、多个数的大小顺序等等。

那么，实数比较大小的方法有哪些呢？接下来，我们将详细介绍实数比较大小的方法。

首先，我们来讨论两个实数的大小比较。

对于两个实数a和b，我们可以通过以下几种方法来比较它们的大小：1. 直接比较法，即直接比较a和b的大小关系。

如果a大于b，则记作a>b；如果a小于b，则记作a<b；如果a等于b，则记作a=b。

2. 差值比较法，计算a和b的差值，即a-b，然后根据差值的正负来判断a和b的大小关系。

若差值大于0，则a大于b；若差值小于0，则a小于b；若差值等于0，则a等于b。

3. 绝对值比较法，分别计算a和b的绝对值，即|a|和|b|，然后比较它们的大小关系。

如果|a|大于|b|，则a大于b；如果|a|小于|b|，则a小于b；如果|a|等于|b|，则a等于b。

以上三种方法是比较两个实数大小的常用方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。

接下来，我们将讨论多个实数的大小比较方法。

对于多个实数a1、a2、a3、...、an，我们可以通过以下方法来确定它们的大小顺序：1. 直接比较法，两两比较，逐个确定它们的大小关系。

这种方法适用于较少数量的实数比较。

2. 排序比较法，将多个实数按照大小顺序排列，然后逐个比较它们的大小关系。

这种方法适用于大量实数的比较，可以通过排序来简化比较过程。

3. 区间比较法，将多个实数分别构成区间，然后比较区间的大小关系。

这种方法适用于实数范围的比较，可以直观地表示实数的大小关系。

在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的比较方法，以便更准确地确定实数的大小关系。

同时，需要注意的是，比较大小时要考虑到实数的精度和误差，避免由于精度问题导致比较结果不准确。

总的来说，实数比较大小的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行比较。

通过合理选择比较方法，可以更准确地确定实数的大小关系，为数学和实际问题的解决提供帮助。

实数比较大小的方法

∴0.20.3＜0.30.2（本题主要是找到一个中间数 0.20.2）【另解】∵(0.20.3)10＝0.23＝0.008，(0.30.2)10＝0.32＝0.09 ∵0.008＜0.09，即(0.20.3)10＜(0.30.2)10 ∴0.20.3＜0.30.2 【例17】（2006 天津文 4）设 P＝log23，Q＝log32，R＝log2(log32)，则 · · · · · · · · · · · · · · · · · · （ A. R＜Q＜P B. P＜R＜Q C. Q＜P＜R D. R＜P＜Q ）
3
a a
【例15】比较 sin 4 与 cos 4 的大小 5 【解】∵cos 4＝sin( －4)＝sin(2＋－4)＝sin( －4)， 2 2 2 5 3 5 ∵ －4≈3.85，且＜－4＜4＜， 2 2 2 2 3 而函数 y＝sin x 在[ ， ]上是减函数 2 2 5 ∴sin( －4)＞sin 4，即 sin 4＜cos 4 2
五、利用函数的单调性：
【例13】比较 0.75
－0.33
与 0.750.32 的大小.
【解】∵0＜0.75＜1，所以函数 y＝0.75x 在 R 上为减函数 ∴由－0.33＜0.32 得，0.75
－0.33
＞0.750.32
a
【例14】已知 0＜a＜1，试比较 a，aa 与 aa 的大小. 【解】∵0＜a＜1，所以函数 y＝ax 在 R 上为减函数 ∵0＜a＜1， ∴a0＞aa＞a1，即 1＞aa＞a 由此得 a1＜aa ＜aa，即 a＜aa ＜aa
5π 4
y
8
π 4
8
O
x
由单位圆及三角函数线知 tan 4＞1，又 cos 4＜0， ∴sin 4＜cos 4 【例9】若 a、b∈(0，＋∞)，试比较 aabb 和 abba 的大小；

实数大小比较的常用方法

实数得大小比较得常用方法一、法则法比较实数大小得法则就就是:正数都大于零,零大于一切负数，两个负数相比较,绝对值大得反而小。

例1 比较与得大小。

析解:由于,且,所以。

说明：利用法则比较实数得大小就就是最基本得方法,对于两个负数得大小比较,可将它转化成正数进行比较。

二、平方法用平方法比较实数大小得依据就就是:对任意正实数a、ｂ有：。

例2 比较与得大小。

析解:由于,而,所以。

说明:本题也可以把外面得因数移到根号内,通过比较被开方数大小来比较原数得大小,目得就就是把含有根号得无理数得大小比较实数转化成有理数进行比较。

三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小得理论依据就就是:在同一数轴上,右边得点表示得数总比左边得点表示得数大。

例3 若有理数a、b、ｃ对应得点在数轴上得位置如图1所示,试比较ａ、-a、b、－b、c、－ｃ得大小。

析解:如图2,利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－ａ、b、－b、c、－c表示得点画出来,容易得到结论:四、作差法:差值比较法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个实数,先求出a与b得差,再根据当a－b﹥0时,得到a﹥b。

当ａ－b﹤0时，得到ａ﹤b。

当ａ-b=0,得到a=ｂ。

例1:(１）比较与得大小。

（2)比较1－与1－得大小。

解 ∵－＝＜0 , ∴<。

解 ∵(1－）-(１-)=＞0 , ∴1－>1-。

例2、比较得大小。

解析:因为,所以。

五、作商法比较实数得大小得依据就就是:对任意正数a 、b 有:来比较ａ与b 得大小。

例1：比较与得大小。

解:∵÷=<1 ∴<例2 比较与得大小。

析解:设,,则即例3：比较与得大小解:÷＝×=﹤1所以﹤六、倒数法倒数法得基本思路就就是设a,ｂ为任意两个正实数,先分别求出ａ与b 得倒数，再根据当>时,a ＜ｂ。

来比较a 与b 得大小。

例１：比较-与－得大小。

解∵=+ , =+又∵+<+∴-＞－,n m ,11a 2a 1a a a n m ,1a 2a 1a a a ,a 2a a ,0)1a (a a 2a a ,1a 2a 1a a a 1a 1a 1a 1a n m ,1a 1a n ,1a 1a m 2434434232232434232322>∴>+++++=∴++>+++∴>+∴>-=-++++++=++⋅++=∴++=++=∴2例2、已知a﹥1，b﹥２，试比较与得大小解：=＋=2＋因为a﹥1,所以２+﹤3=+=3＋因为b﹥２,所以3+﹥3因为﹤所以﹥例3、设，则ａ、b、ｃ得大小关系就就是( )。