应用随机过程4.1 更新过程精讲

我们作如下的一个推广:
保留X1，X2， ...的独立性和同分布性，但是该分布 是任意的，不再仅仅是指数分布的.
由此得到的计数过程就是更新过程, 其定义如下:
定义 4.1 设{X n，n 1}是一列独立同分布的非负r.v.s, 分布函数为F(x)，且F(0)<1. 令 T0 0，Tn i 1 Xi .
有限次更新，从而 P(N(t)<)=1。
2). 两个等价事件： {N(t) n} {Tn t}； {N(t) n} {Tn t<Tn+1}；
下面我们来看N(t)的分布。
P(N(t) n)=P(Tn t<Tn+1 ) =P(Tn t)－P(Tn+1 t) =P( i=1 Xi t)－P( i=1 Xi t)
Fn (t ) P( i 1 X i t) P(
n
n (X t))=[F( t )] , i i 1
最后一个等号是由于{Xi，i 1}的独立同分布性.
再由定理4.1及F(t)<1知， M(t) n1 Fn (t ) n1[F(t)]n

F (t )(1 F (t )) 1 .
n n+1
=Fn(t)-Fn+1(t), 这里Fn 是F的n重卷积.
接下来我们讨论EN(t)的性质。
这里的EN(t)称为更新函数，记作M(t).
注：更新函数M(t)就是更新过程{N(t),t≥0}的均值函数， 它不是一个r.v.，而是关于t的函数。
定理 4.1
M(t ) i=1 Fn(t )．
n
n 证明 M(t ) EN(t ) i=1 P(N(t) n)
i=1 P(Tn t ) i=1 Fn (t ).
n n
定理 4. ２ M(t )是关于t不减的，且对0 t<, 有M(t)<． 证明 由于N(t )是关于t不减的，故M(t)也是不减的.下证
第四章
Renewal process
1. 2. 3. 4. 5. 定义及若干性质 更新方程及其应用 更新定理 Lundberg-Cramer 破产论 更新过程的推广
4.1 更新过程的定义及若干分布
4.1.1 更新过程的定义
首先回顾 Poisson 过程. 定义3.3告诉我们:
在Poisson过程中，相邻事件发生的时间间隔X1， X 2，...是一列独立同分布的随机变量，此时的 "同分布"是指他们服从同一个指数分布.

定义3.3: 如果事件发生Байду номын сангаас间间隔X1,X2,X3,…,是一列 独立的且指数分布的随机变量，那么{Nt， t>=0}是Poisson 过程.
如果我们将事件发生一次称为一次更新，那么 定义4.1中的X n 就是第n-1次和第n次更新的间隔 时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是 t时刻之前发生的更新次数.
更新过程可以模拟机器零件更换：
如在0时刻安装一零件，并开始工作，经过时间X1，在T1 时刻发生损坏，立即换新的零件并开始工作，又经过时 间X 2，在T2时刻有坏掉了，同样还第三个，依次下去， ... 我们可以认为这些零件的使用寿命是i.i.d.的，显然到 t时刻为之所更换的零件数目就构成一个更新过程.
n
对t 0, 记 N(t)= sup{n， Tn t}， 称{N(t)，t 0}为更新过程.
图示:
X1 X2 T1 T2 X3 T3 X4 T4 X5 T5 X6 t T6
T0
显然，更新过程亦是一个计数过程，并且是 Poisson 过程把时间间隔由指数分布推广到一般分布的情形.
定义4.1定义的过程为什么被称为更新过程呢？
M(t )的有限性。首先我们先确定一个结论，即
Fn (t ) [F(t )]n .
实际上，由{Xi，i 1}的非负性知，事件( i 1 X i t)
n
一定能推出( 所以，
n i 1
(X i t))，即( i 1 X i t) (
n n
n i 1
(X i t)).
4.1.2 N(t)的分布及EN(t)的性质
我们先讨论一下更新过程的一些性质：
1). 由{Ｘ ，n 1｝的独立同分布性及强大数律，知 ｎ Tn i 1 Xi EX1 0 以概率1成立。 n n 所以，当n 时，Tn ，换言之，无穷多次更新只
n
能发生在无限长时间内, 即在有限时间内最多只能发生