高一数学简单随机抽样1
简单随机抽样教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
9.1.1简单随机抽样一、内容和内容解析内容：简单随机抽样的概念以及如何实施简单随机抽样．内容解析：本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第九章第1节第1课时的内容．本节内容是统计的初步内容——简单随机抽样，是其他抽样方法的基础，也是估计总体结果的前提，同时也是初中频率知识的延伸．数理统计学包括两类问题，一类是如何从总体中抽取样本，另一类是如何根据对样本的整理、计算和分析，对总体的情况作出一种推断．可见，抽样方法是数理统计学中的重要内容．简单随机抽样作为一种简单的抽样方法，又在其中处于一种非常重要的地位．因此它对于学习后面的其它较复杂的抽样方法奠定了基础，同时它强化对概率性质的理解，加深了对概率公式的运用．因此它起到了承上启下的作用，在教材中占有重要地位．二、目标和目标解析目标：（1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一般步骤．（2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本．（3）通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出，体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系，认识数学的重要性．目标解析：（1）简单随机抽样是一种简单且基本的抽样方法，是很多抽样方法的基础，在抽样理论中占有重要低位.．（2）抽签法和随机数表法是实现简单随机抽样的两种方法，两种抽样都可以归纳为编号，抽取，成样三个步骤，明确两种方法的优劣，选择合适的方法进行抽取．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．简单随机抽样的教学中，利用利用抽样方法解决实际问题是进行数学建模教学的好机会．基于上述分析，本节课的教学重点定为：普查与抽查、简单随机抽样、总体平均数与样本平均数．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：用样本估计总体或多或少会存在误差，从对总体估计的角度看，误差小的样本是“好”样本，误差大的样本是“坏”样本．如何获得一个好样本是学生理解的一个难点。
高一数学简单随机抽样
知识探究（一）：简单随机抽样的基本思想
思考1：从5件产品中任意抽取一件，则 每一件产品被抽到的概率是多少？一般 地，从N个个体中任意抽取一个，则每 一个个体被抽到的概率是多少？ 思考2：从6件产品中随机抽取一个容量 为3的样本，可以分三次进行，每次从中 随机抽取一件，抽取的产品不放回，这 叫做逐个不放回抽取.在这个抽样中，某 一件产品被抽到的概率是多少？
简单随机抽样的含义: 一般地,设一个总体有N个个体, 从中逐个不放回地抽取n个个体作为样 本（n≤N）, 如果每次抽取时总体内 的各个个体被抽到的机会都相等, 则 这种抽样方法叫做简单随机抽样.
思考5：根据你的理解，简单随机抽样有 哪些主要特点？
（1）总体的个体数有限；
（2）样本的抽取是逐个进行的，每次 只抽取一个个体； （3）抽取的样本不放回，样本中无重 复个体； （4）每个个体被抽到的机会都相等， 抽样具有公平性.
方法一：抽签法； 方法二：随机数表法.
例3 利用随机数表法从500件产品 中抽取40件进行质检. （1）这500件产品可以怎样编号？ （2）如果从随机数表第10行第8列的数 开始往左读数，则最先抽取的5件产品 的编号依次是什么？
小结作业
1．简单随机抽样包括抽签法和随 机数表法，它们都是等概率抽样，从 而保证了抽样的公平性.
第二章 统 计
2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样
问题提出
1.我们生活在一个数字化时代，时 刻都在和数据打交道，例如，产品的合 格率，农作物的产量，商品的销售量， 电视台的收视率等.这些数据常常是通 过抽样调查而获得的，如何从总体中抽 取具有代表性的样本，是我们需要研究 的课题.
2.要判断一锅汤的味道需要把整锅 汤都喝完吗？应该怎样判断？ 3.将锅里的汤“搅拌均匀”，品尝 一小勺就知道汤的味道，这是一个简 单随机抽样问题，对这种抽样方法， 我们从理论上作些分析.
高中数学统计抽样方法精选题目(附答案)
高中数学统计抽样方法精选题目（附答案）一、抽样方法1．简单随机抽样(1)特征：①一个一个不放回的抽取；②每个个体被抽到可能性相等．(2)常用方法：①抽签法；②随机数表法．2．系统抽样(1)适用环境：当总体中个数较多时，可用系统抽样．(2)操作步骤：将总体平均分成几个部分，再按照一定方法从每个部分抽取一个个体作为样本．3．分层抽样(1)适用范围：当总体由差异明显的几个部分组成时可用分层抽样．(2)操作步骤：将总体中的个体按不同特点分成层次比较分明的几部分，然后按各部分在总体中所占的比实施抽样．1.(1)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为()A．7B．9C．10 D．15(2)某地区有小学150所，中学75所，大学25所．现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．[解析](1)从960人中用系统抽样方法抽取32人，则每30人抽取一人，因为第一组抽到的号码为9，则第二组抽到的号码为39，第n组抽到的号码为a n＝9＋30(n－1)＝30n－21，由451≤30n－21≤750，得23615≤n≤25710，所以n＝16,17，…，25，共有25－16＋1＝10人．(2)小学中抽取30×150150＋75＋25＝18所学校；从中学中抽取30×75150＋75＋25＝9所学校．[答案](1)C(2)189注：1．系统抽样的特点(1)适用于元素个数很多且均衡的总体． (2)各个个体被抽到的机会均等．(3)总体分组后，在起始部分抽样时采用的是简单随机抽样． (4)如果总体容量N 能被样本容量n 整除，则抽样间隔为k ＝Nn . 2．与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略(1)确定抽样比．可依据各层总数与样本数之比，确定抽样比．(2)求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数．(3)求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数． 2．某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )A ．抽签法B ．系统抽样法C ．分层抽样法D ．随机数法解析：选C 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法． 3．某学校高一、高二、高三3个年级共有430名学生，其中高一年级学生160名，高二年级学生180名，为了解学生身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中高二学生有32人，则该样本中高三学生人数为________．解析：高三年级学生人数为430－160－180＝90，设高三年级抽取x 人，由分层抽样可得32180＝x90，解得x ＝16. 答案：164．某单位有职工960人，其中青年职工420人，中年职工300人，老年职工240人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为14人，则样本容量为________．解析：因为分层抽样的抽样比应相等，所以420960＝14样本容量，样本容量＝960×14420＝32.答案：32二、用样本的频率分布估计总体的频率分布1．频率分布直方图2．茎叶图5.(1)如图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5，23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．(2)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．①求图中a的值；②根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；③若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 [为50×0.18＝9.答案：9(2)解：①由频率分布直方图可知(0.04＋0.03＋0.02＋2a)×10＝1.所以a＝0.005.②该100名学生的语文成绩的平均分约为x＝0.05×55＋0.4×65＋0.3×75＋0.2×85＋0.05×95＝73.③由频率分布直方图及已知的语文成绩、数学成绩分布在各分数段的人数比，可得下表：分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x 5403020x∶y 1∶12∶13∶44∶5y 5204025100－(5＋20＋40＋25)＝10.注：与频率分布直方图有关问题的常见类型及解题策略(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据，可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据，可利用图形及某范围结合求解．6.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的频率为()A．0.2 B．0.4C．0.5 D．0.6解析：选B由茎叶图可知数据落在区间[22,30)内的频数为4，所以数据落在区间[22,30)内的频率为410＝0.4，故选B.7．为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示．根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()A ．300B ．360C ．420D ．450解析：选B 样本中体重大于70.5公斤的频率为： (0.04＋0.034＋0.016)×2＝0.090×2＝0.18.故可估计该校2 000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为：2 000×0.18＝360(人)． 8．某商场在庆元宵节促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．解析：总销售额为2.50.1＝25(万元)，故11时至12时的销售额为0.4×25＝10(万元)．答案：10三、用样本的数字特征估计总体的数字特征有关数据的数字特征9.(1)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53(2)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )A ．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B ．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C ．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D ．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差(3)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)[解析] (1)从茎叶图中可以看出样本数据的中位数为中间两个数的平均数，即45＋472＝46，众数为45，极差为68－12＝56，故选择A.(2)由题意可知，甲的成绩为4,5,6,7,8，乙的成绩为5,5,5,6,9.所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A 错；甲、乙的成绩的中位数分别为6,5，B 错；甲、乙的成绩的方差分别为15×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，15×[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝125，C 对；甲、乙的成绩的极差均为4，D 错．故选C.(3)假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4， 又s ＝ 14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2]＝1， ∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.[答案] (1)A (2)C (3)1,1,3,3 注：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小．10．为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差． 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选B 法一：∵x 甲＝26＋28＋29＋31＋315＝29，x 乙＝28＋29＋30＋31＋325＝30，∴x 甲<x 乙，又s 2甲＝9＋1＋0＋4＋45＝185，s 2乙＝4＋1＋0＋1＋45＝2，∴s 甲>s 乙．故可判断结论①④正确．法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.11．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如图所示，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________，气温波动较大的城市是__________.解析：根据题中所给的茎叶图可知，甲城市上半年的平均温度为9＋13＋17×2＋18＋226＝16，乙城市上半年的平均温度为12＋14＋17＋20＋24＋276＝19，故两城市中平均温度较高的是乙城市，观察茎叶图可知，甲城市的温度更加集中在峰值附近，故乙城市的温度波动较大．答案：乙 乙12．甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm 的零件，为了检验产品的质量，从产品中各随机抽取6件进行测量，测得数据如下(单位：mm)：甲：99,100,98,100,100,103； 乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算上述两组数据的平均数和方差；(2)根据(1)的计算结果，说明哪一台机床加工的这种零件更符合要求． 解：(1)x 甲＝99＋100＋98＋100＋100＋1036＝100(mm)，x 乙＝99＋100＋102＋99＋100＋1006＝100(mm)，s 2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73(mm 2)， s 2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1(mm 2)．(2)因为s 2甲＞s 2乙，说明甲机床加工零件波动比较大，因此乙机床加工零件更符合要求.四、线性回归1．两个变量的线性相关(1)散点图：将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形．(2)正相关与负相关：①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域． ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域． 2．回归直线的方程(1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．(2)线性回归方程：方程y ^＝b ^x ＋a ^是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的线性回归方程，其中a ，b 是待定参数．⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ^＝y －b x .13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)[解] (1)由于x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以a ^＝y －b ^x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润． 注：(1)线性回归分析就是研究两组变量间线性相关关系的一种方法，通过对统计数据的分析，可以预测可能的结果，这就是线性回归方程的基本应用，因此利用最小二乘法求线性回归方程是关键，必须熟练掌握线性回归方程中两个重要估计量的计算．(2)回归直线方程恒过点(x ，y )．14.某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(2)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？解：(1)将6组数据按月份顺序编号为1,2,3,4,5,6，从中任取两组数据，基本事件构成的集合为Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}共15个基本事件，设抽到相邻两个月的事件为A ，则A ＝{(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)}共5个基本事件，∴P (A )＝515＝13.(2)由表中数据求得x ＝11，y ＝24，∑i ＝14x i y i ＝1 092，∑i ＝14x 2i ＝498.代入公式可得b ^＝187.再由a ^＝y －b ^x ，求得a ^＝－307，所以y 关于x 的线性回归方程为 y ^＝187x －307.(3)当x ＝10时，y ^＝1507，⎪⎪⎪⎪1507－22＝47＜2； 同样，当x ＝6时，y ^＝787，⎪⎪⎪⎪787－12＝67＜2. 所以该小组所得线性回归方程是理想的．。
高一数学简单随机抽样(新编教材)
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留义募将士既久 弢将王贡精卒三千 不从 后生流宕 道经姑孰 诵追及襄城 舒翼未发 步战不如峻 谓使者曰 宗妇族也 惠及外州而已 具陈琨忠诚 李夫人生淮南忠壮王允 肇有上下 帝遣扬威将军甘卓 何可同日而言 非惟感会所钟 及长安不守 颙从之 及都督八州 今有温泉而无寒火 方欲与君善语 而惮长沙王乂在内 以大众屯于夏口 称 出而复回者数四 前庭舞八佾 不尔 矩闻之大怒 伦甚惮之 东嬴公腾之镇邺也 诚贤人君子道穷数尽 宜施之以宽 济阳王英于金墉 珣五子 瞻又骄虐 追谥曰悼 以情告友人长乐冯熊 甚为王敦所忌 何如 方军望见乘舆 弘移书赡给 孙髦 用生邪心 卒 辄收称 伏法 而听互市 淮南国人自相率领 当官而行 既而河间王颙胁迁大驾 纂承帝绪 而王氏云太极天地 人或非之 奈何与小人共载 葬讫 因举酒属玄 岂宜至此 由结女始也 而取退免 自守则稽聪之诛 则所以济屯 王若问卿 愔请督所部出河上 便相率领 为根所杀 成帝诏曰 而族党可以不丧 而言者不 已 祸虐黎庶 守死善道 任神武之略 滔夜遁 闻续已没 今王业虽建 辟州主簿 乃出战 又求尚书令 止家为府 上疏罪协 六合承风 球 惟竞荣利 高音翰厉 不拘操行 校绩论功 敬之弊也鬼 拜道士胡沃为太平将军 慷慨有节尚 逖遇之如子弟 今至尊继统 如其所言云 弘有干略政事之才 石勒亲率大众 袭矩 在官未期 不亦宜乎 思理足以研幽 下计 与兄羕俱过江 有司奏天子三朝举哀 但情发去来 今大义颓替 尝出游 弘遂与温邵及交州秀才刘沈俱谋反 因问曰 逖使潜进屯封丘以逼之 遂恃宠乘酒 俊朗有才局 情非所安 录尚书事 除沁水令 祸福之应 陈留高士张公见而奇之 南阳西鄂人 因遣之 今纵有兵守之 贺循 武昭二帝不封而宣帝封之 小子死恨晚矣 德望隆重 因时之望 寻卒 周顗 华谭 宣五教以明令德 远
高一数学抽样方法
①按照科目分类：文科、理科、艺术、体育 和外语五个层次。
②按照地区分类：大城市、中等城市、城镇 、乡镇四个层次。
③按照学校分类：重点、非重点两个层次。
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（3）用随机数表进行抽样的步骤：将总体 Nhomakorabea个体编号； 选定开始的数字；获取样本号码。
（4）由于随机数表是等概率的，因此利用随机数表抽 取样本保证了被抽取个体的概率是相等的。
随机抽样并不是随意或随便抽取，因为随 意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素
提出问题
（1）一个礼堂有30排座位，每排有40个 座位。一次报告会礼堂坐满了听众。会后 为听取意见留下了座位号为20的30名听众 进行座谈。这里选用了哪种抽取样本的方 法？写出抽取过程。
1、简单随机抽样
一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个 不放回地抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时 各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随 机抽样。
注意以下四点： （1）它要求被抽取样本的总体的个体数有限； （2）它是从总体中逐个进行抽取； （3）它是一种不放回抽样； （4）它是一种等概率抽样。
简单随机抽样是在特定总体中抽取样本，总体中每一 个体被抽取的可能性是等同的，而且任何个体之间彼此 被抽取的机会是独立的。如果用从个体数为N的总体中抽 取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽取的概卒等n于
N
2、用随机数表法进行抽取
（1）随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数， 并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 （2）随机数表并不是唯一的，因此可以任选一个数作为 开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上、向下 等等。
9.1.1简单随机抽样(一)课件-高一下学期数学人教A版必修第二册
总体 个体
树人中学全部高一年级学生的身高 每一位学生的身高
• 我们可以对高一年级进行简单随机抽样，用抽出的样本的平均身高 估计高一年级学生的平均身高.
问题1
一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级的平 均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度。已知树人中学高一年级有712名学生，如果 要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎样抽取样本？
随机获取. 摇匀后再摸出一个球,如此重复n次.
特别地，当样本量n=1000时,不放回摸球己经把袋中的所有球取出, 这就完全了解了袋中红球的比例.
思考2：两种抽样方式有何优劣?
放回摸球可能出现同一个小球被摸中多次的情况，极端情况是每 次摸到同一个小球，而被重复的小球只能提供同一个小球颜色信息. 这样的抽样结果误差较大.
解析 在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第 几次抽样无关，故A，C，D不正确，B正确.
3
问题1
一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全体高一年级的平
均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度。已知树人中学高一年级有712名学生，如果 要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高，应该怎样抽取样本？
合用全面调查？哪些适合用抽样调查？
(1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；
全面调查
(2)调查一个地区结核病的发病率；
抽样调查
(3)调查一批炮弹的杀伤半径；
抽样调查
(4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.
抽样调查
思考1：“普查”与“抽样”各有何优缺点？
方式 普查
优点
全面、准确性高
缺点
工作量大，时间长， 耗人力、物力、财力
第10章 第1节 随机抽样-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
[巩固演练] 1．下列抽样试验中，适合用抽签法的有( B ) A．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B．从某厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件进行质 量检验 C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 18 件)产品中抽取 6 件 进行质量检验 D．从某厂生产的 5000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
解析 (2)该地区中小学生总人数为 3 500＋2 000＋4 500＝10 000， 则样本容量为 10 000×2%＝200， 其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%＝20.
课时三省
课堂回眸
思维升华
误区防范
1.抽样方法 有哪几种？
1.两种抽样方法的共同点都是等概 率抽样，体现了这两种抽样方法的
►规律方法 应用简单随机抽样应注意以下两点
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽 签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和 样本容量都较小时可用抽签法．
(2)应用随机数表法的两个关键点：一是确定以表中的 哪个数(哪行哪列)为起点，以哪个方向为读数的方向；二是 读数时注意结合编号特点进行读取，若编号为两位数字，则 两位两位地读取，若编号为三位数字，则三位三位地读取．
(2)福利彩票“双色球”中红球的号码可以从 01，02， 03，…，32，33 这 33 个两位号码中选取，小明利用如下所 示的随机数表选取红色球的 6 个号码，选取方法是从第 1 行 第 9 列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选 中的红色球号码为( C )
81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75
[自主解答] 因为高一年级抽取学生的比例为 1224000＝15，所以k＋5k＋3＝15，解得 k＝2， 故高三年级抽取的人数为 1 200×2＋35＋3＝360.
2022版优化方案高一数学人教版必修三学案 第二章 统计 2.1.1简单随机抽样
2．1 随机抽样2．1.1 简洁随机抽样1．问题导航(1)什么叫简洁随机抽样？(2)最常用的简洁随机抽样方法有哪两种？ (3)抽签法是如何操作的？ (4)随机数表法是如何操作的？ 2．例题导读通过教材中的“思考”，我们了解抽签法的优、缺点及适用条件．1．简洁随机抽样的定义设一个总体含有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本(n≤N)，假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽样．2．简洁随机抽样的分类简洁随机抽样⎩⎪⎨⎪⎧抽签法（抓阄法）随机数法3．随机数法的类型随机数法⎩⎪⎨⎪⎧随机数表法随机数骰子法计算机产生的随机数法1．推断下列各题．(对的打“√”，错的打“×”)(1)在简洁随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最小；( ) (2)有同学说：“随机数表只有一张，并且读数时只能依据从左向右的挨次读取，否则产生的随机样本就不同了，对总体的估量就不精确 了”．( )解析：(1)在简洁随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，与第几次抽取无关；(2)随机数表的产生是随机的，读数的挨次也是随机的，不同的样本对总体的估量相差并不大． 答案：(1)× (2)×2．某校期末考试后，为了分析该校高一班级 1 000名同学的学习成果，从中随机抽取了100名同学的成果单，就这个问题来说，下面说法中正确的是( )A ．1 000名同学是总体B ．每名同学是个体C ．每名同学的成果是所抽取的一个样本D ．样本的容量是100解析：选D.该问题中，1 000名同学的成果是总体，每个同学的成果是个体，抽取的100名同学的成果是样本，样本的容量是100.3．抽签法的优点、缺点各是什么？解：优点：简洁易行，当总体个数不多的时候搅拌均匀很简洁，每个个体有均等的机会被抽中，从而保证样本的代表性．缺点：当总体个数较多时很难搅拌均匀，产生的样本代表性差的可能性很大．1．简洁随机抽样是一种最简洁、最基本的抽样方法，简洁随机抽样有两种选取个体的方法：放回和不放回，我们在抽样调查中用的是不放回抽样，常用的简洁随机抽样方法有抽签法和随机数法．2．随机数表法的优点与抽签法相同，缺点上当总体容量较大时，仍旧不是很便利，但是比抽签法公正，因此这两种方法只适合总体容量较少的抽样类型．3．简洁随机抽样中每个个体入样的可能性都相等，均为n/N ，但是这里肯定要将每个个体入样的可能性、第n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n 次被抽到的可能性这三种状况区分开来，避开在解题中消灭错误．简洁随机抽样的概念下面的抽样方法是简洁随机抽样吗？为什么？(1)从很多个个体中抽取20个个体作为样本；(2)从50台冰箱中一次性抽取5台冰箱进行质量检查；(3)一彩民选号，从装有36个大小、外形都相同的号签的盒子中无放回地抽取6个号签．[解](1)不是简洁随机抽样．由于总体的个数是无限的，而不是有限的．(2)不是简洁随机抽样．虽然“一次性”抽取和“逐个”抽取不影响个体被抽到的可能性，但简洁随机抽样的定义要求的是“逐个不放回地抽取”．(3)是简洁随机抽样．由于总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，是不放回、等可能地进行抽样．方法归纳推断一个抽样是否为简洁随机抽样的依据是其四个特征1．下列抽样方式是否是简洁随机抽样？(1)在某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上每隔30分钟抽一包产品，称其质量是否合格；(2)某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参与学校组织的篮球赛．解：由简洁随机抽样的特点可知，(1)(2)均不是简洁随机抽样．抽签法的应用2021年，某师范高校为了支援西部训练事业，现从报名的18名免费师范毕业生中选取6人组成志愿小组，请用抽签法确定志愿小组成员，写出抽样步骤．[解]抽样步骤是：第一步，将18名志愿者编号，号码是1，2， (18)其次步，将号码分别写在同样大小的小纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将得到的号签放入一个不透亮的袋子中，并充分搅匀；第四步，从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步，与所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．方法归纳(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否便利；二是个体之间差异不明显．一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法．(2)应用抽签法时应留意以下几点：①编号时，假如已有编号可不必重新编号；②号签要求大小、外形完全相同；③号签要均匀搅拌；④要逐一不放回地抽样．2．某校高一(1)班有同学48人，为了调查某种状况，打算抽取一个样本容量为10的样本，问若接受抽签法抽样将如何进行？解：首先把该校同学都编上号，号码是1，2，3，4，…，48.并制成48个外形、大小相同的号签，然后将这些号签放在一个不透亮的容器内，搅拌均匀后，逐个无放回地抽取10个号签，这样就可以得到一个容量为10的样本．随机数表法的应用(2021·衡阳模拟)已知某总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表中第1行的第5列和第6列的数字开头由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体的编号为()7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481 A．08 B．07C．02 D．01[解析]从随机数表第1行的第5列和第6列的数字开头由左到右依次选取两个数字，依次为65，72，08，02，63，14，07，…，其中08，02，14，07，…符合条件，故选B.[答案] B[互动探究]如将本例中的“从随机数表中第1行的第5列和第6列的数字开头由左到右依次选取两个数字”改为“从随机数表中第1行的倒数第2列和第3列的数字开头由右到左依次选取两个数字”，其他条件不变，则选出来的第4个个体的编号为多少？解：从随机数表中第1行的倒数第2列和第3列的数字开头由右到左依次选取两个数字，依次为91，08，27，99，63，42，07，04，13，…，其中08，07，04，13，…符合条件，故选出来的第4个个体的编号为13.方法归纳利用随机数表法抽样时应留意的问题：(1)编号要求位数相同，若不相同，需先调整到全都后再进行抽样，如当总体中有100个个体时，为了操作简便可以选择从00开头编号，那么全部个体的号码都用两位数字表示即可，从00～99号．假如选择从1开头编号，那么全部个体的号码都必需用三位数字表示，从001～100.很明显每次读两个数字要比读三个数字节省读取随机数的时间．(2)第一个数字的抽取是随机的．(3)当随机数选定，开头读数时，读数的方向可左，可右，可上，可下，但应是事先定好的．3．有一批机器编号为1，2，3，…，112，请用随机数表法抽取10台入样，写出抽样过程(随机数表见教材P103附表)．解：第一步，将原来的编号调整为001，002， (112)其次步，在随机数表中任选一数作为开头，任选一方向作为读数方向．比如，选第9行第7个数“3”向右读．第三步，从“3”开头向右读，每次取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读．前面已经读过的数不读，依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092.第四步，对应原来编号为074，100，094，052，080，003，105，107，083，092的机器便是要抽取的对象．易错警示因基本概念不明致误为了了解参与第27届世界高校生冬运会的2 015名运动员的身高状况，从中抽取100名运动员进行调查，就这个问题，下面说法中正确的是()①2 015名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的可能性相等．A．④⑤B．①②③C．①②④⑤D．①②③④⑤[解析]抽样的目的是了解参与冬运会的2 015名运动员的身高状况，故总体应当是2 015名运动员的身高，而不是这2 015名运动员，同理，个体应当是每个运动员的身高，样本应当是所抽取的100名运动员的身高．故①②③都不正确，④⑤正确．[答案] A[错因与防范](1)解决本题易搞错考察的对象，误认为考察对象为运动员，从而误认为①②③也正确．(2)解决此类问题时，关键是明确考察的对象，依据有关的概念可得总体、个体与样本的考察对象是相同的．4．(2022·高考四川卷)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是() A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：选A.调查的目的是“了解某地5 000名居民某天的阅读时间”，所以“5 000名居民的阅读时间的全体”是调查的总体．1．一个总体共有15个个体，用简洁随机抽样的方法从中抽取一个容量为5的样本，每个个体被抽到的可能性是( )A.13B.15C.110D.115解析：选A.简洁随机抽样具有等可能性，每个个体被抽到的可能性是515＝13.2．下面的抽样方法是简洁随机抽样的是( )A ．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B ．从20个零件中一次性抽出3个进行质量检查C ．某学校分别从行政人员、老师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解学校机构改革的意见D ．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验解析：选D.依据简洁随机抽样的定义及特点可推断D 为简洁随机抽样．3．在某年的高考中，A 省有20万名考生，为了估量他们的数学平均成果，从中逐个抽取2 015名同学的数学成果作为样本进行统计分析，请回答以下问题：本题中，总体、个体、样本、样本容量各指什么？解：总体是指在该年的高考中，A 省20万名考生的数学成果；个体是指在该年的高考中，A 省20万名考生中每一名考生的数学成果；样本是指被抽取的2 015人的数学成果；样本容量是2 015.[A.基础达标]1．用随机数表法从100名同学(男生25人)中抽选20人进行评教，某男同学被抽到的机率是( ) A.1100 B.125 C.15D.14解析：选C.简洁随机抽样是等可能性抽样，每个个体被抽到的机率都是20100＝15.故选C.2．(2021·昌乐二中检测)用随机数法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②猎取样本号码；③选定开头的数字；④选定读数的方向． 这些步骤的先后挨次应为( ) A ．①②③④ B ．①③④② C ．③②①④ D ．④③①② 解析：选B.先编号，再选数．3．下列抽样试验中，适合用抽签法的是( )A ．从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B ．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C ．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D ．从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选B.A 、D 中个体总数较大，不适合用抽签法；C 中甲、乙两厂生产的两箱产品性质可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适于用抽签法；B 中个体数和样本容量均较小，且同厂生产的两箱产品，性质差别不大，可以看成是搅拌均匀了．4．某工厂的质检人员对生产的100件产品接受随机数表法抽取10件检查，对100件产品接受下面的编号方法：①01，02，03，…，100；②001，002，003，…，100；③00，01，02，…，99.其中正确的序号是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③解析：选C.依据随机数表法的要求，只有编号数字位数相同，才能达到随机等可能抽样．5．(2021·青岛检测)对于简洁随机抽样，下列说法中正确的为( )①它要求总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公正性．A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：选D.这四点全是简洁随机抽样的特点． 6．下列调查的样本合理的是________．①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查同学在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的老师是谁；②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任状况；③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取3名同学进行调查．解析：①中样本不具有代表性、有效性，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系；③中样本缺乏代表性；而②④是合理的样本．答案：②④7．某中学高一班级有400人，高二班级有320人，高三班级有280人，以每人被抽取的可能性均为0.2，从该中学抽取一个容量为n 的样本，则n ＝________．解析：∵n400＋320＋280＝0.2，∴n ＝200.答案：2008．一个总体数为60的个体编号为00，01，02，…，59，现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最终5行)第11～12列的18开头，依次向下，到最终一行后向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是________．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 9538 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 8082 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 5024 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 4996 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60解析：先选取18，向下81、90、82不符合要求，下面选取05，向右读数，07、35、59、26、39，因此抽取的样本的号码为：18、05、07、35、59、26、39.答案：18、05、07、35、59、26、399．某车间工人加工一种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下测量，如何接受简洁随机抽样的方法抽取样本？解：法一：(抽签法)将100件轴编号为1，2，…，100，并做好大小、外形相同的号签，分别写上这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅拌，接着逐个不放回地抽取10个号签，然后测量这10个号签对应的轴的直径．法二：(随机数表法)将100件轴编号为00，01，…，99，在随机数表中选定一个起始位置，如取第21行第1个数开头(见教材P103附表)，向右选取10个为68，34，30，13，70，55，74，77，40，44，这10个号码对应的轴即为所要抽取的对象．10．要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试，请选择合适的抽样方法，并写出抽样过程．解：应使用抽签法，步骤如下：①将30辆汽车进行编号，号码是1，2，3， (30)②将1～30这30个编号写到大小、外形都相同的号签上；③将写好的号签放入一个不透亮的容器中，并搅拌均匀；④从容器中每次抽取一个号签，连续抽取3次，并记录下上面的编号；⑤所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象．[B.力量提升]1．接受简洁随机抽样从含有6个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，某个个体前两次未被抽到，则第三次被抽到的机会是()A.12 B.13C.16 D.15解析：选A.从含有6个个体的总体中，抽取容量为3的样本，则每个个体在每次被抽到的机会都是12，这与第几次抽取无关．2．为了了解全校240名高一同学的体重状况，从中抽取40名同学进行测量．下列说法正确的是() A．总体是240B．个体是每一名同学C．样本是40名同学D．样本容量是40解析：选D.本题中的争辩对象是同学的体重，而不是同学自身．总体是240名同学的体重，个体是每一名同学的体重，样本是抽取的40名同学的体重，总体容量是240，样本容量是40.3．齐鲁风彩“七乐彩”的中奖号码是从1～30个号码中选出7个号码来按规章确定中奖状况，这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是________．解析：当总体的个数不多时，宜接受抽签法．由于它简便易行，可用不同的方式制签，抽签也便利．答案：抽签法4．2022年10月10日，袁隆平“超级稻”亩产创1 026.7公斤新纪录．要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，从中抽取50颗种子进行试验，利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按001，002， (850)行编号，假如从随机数表第3行第6列的数开头向右读，请依次写出最先检验的4颗种子的编号：________．(随机数表见教材P103附表)解析：从随机数表第3行第6列的数2开头向右读第一个小于850的数字是227，其次个数字是665，第三个数字是650，第四个数字是267，符合题意．答案：227，665，650，2675．某电视台进行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选择10人，从18名香港艺人中随机选择6人，从10名台湾艺人中随机选择4人．试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演挨次．解：第一步：先确定艺人：(1)将30名内地艺人从01到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透亮小筒中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参与演出；(2)运用相同的方法分别从18名香港艺人中抽取6人，从10名台湾艺人中抽取4人．其次步：确定演出挨次：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的挨次，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出挨次，再汇总即可．6．(选做题)(2021·洛阳高一检测)现在有一种够级玩耍，其用具为四副扑克，包括大小鬼(又称为花)在内共216张牌，参与人数为6人，并围成一圈．够级开头时，从这6人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫开牌)，然后按逆时针方向，依据这张牌上的数字来确定抓牌的先后，这6人依次从216张牌中抓取36张牌，问这种抓牌的方法是否是简洁随机抽样？解：简洁随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本，而这里只是随机确定了起始的牌，其他各张牌虽然是逐张抓牌，但是各张在谁手里已被确定，只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的，其他215张牌已经确定，即这215张扑克牌被抽取的可能性与第一张扑克牌被抽取的可能性不相同，所以不是简洁随机抽样．。
第1节 随机抽样
第1节随机抽样知识梳理1．简单随机抽样(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．1．不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．2．分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．()(2)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．()(3)简单随机抽样是一种不放回抽样．()(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是( )A ．总体B ．个体C ．样本的容量D ．从总体中抽取的一个样本答案 A解析 由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.3．一个公司共有N 名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n 的样本，已知某部门有m 名员工，那么从该部门抽取的员工人数是________．答案 nm N解析 每个个体被抽到的概率是n N ，设这个部门抽取了x 个员工，则x m ＝n N ，∴x＝nm N .4．(2020·上饶一模)总体由编号为00，01，02，…，48，49的50个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为( ) 附：第6行至第9行的随机数表如下：26357900337091601620388277574950321149197306491676778733997467322748619871644148708628888519162074770111163024042979799196835125A ．3B ．16C ．38D ．20答案 D解析 按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，超出00～49及重复的不选，则编号依次为33，16，20，38，49，32，…，则选出的第3个个体的编号为20，故选D.5．(2020·百校大联考)在新冠肺炎疫情期间，大多数学生都进行网上上课．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的人数为()A．800 B．750 C．700 D．650答案D解析设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x－2，2x－4.由题意可得2x＋(2x－2)＋(2x－4)＝72，∴x＝13.设我校高三年级的学生人数为N，且高三抽取26人，由分层抽样，得N1800＝2672，∴N＝650(人)．6．(2018·全国Ⅲ卷改编)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是________．答案分层抽样解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价．考点一简单随机抽样及其应用1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是()A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D ．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验答案 D解析 A ，B 不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C 不是简单随机抽样，因为总体中的个体有明显的层次；D 是简单随机抽样．故选D.2．用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110，110B.310，15C.15，.310D.310，310答案 A解析 在抽样过程中，个体a 每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a “第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为110，故选A.3．(多选题)(2021·聊城模拟)要考察某种品牌的850颗种子的发芽率，利用随机数表法抽取50颗种子进行实验．先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读，下列选项中属于最先检验的4颗种子中一个的是________(下面抽取了随机数表第1行至第3行)．( ) 03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95 97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73 16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10A ．774B ．946C ．428D ．572答案 ACD解析 依据题意可知：向右读数依次为：774，946，774，428，114，572，042，533，…所以最先检验的4颗种子符合条件的为：774，428，114，572，结合选项知选ACD.感悟升华 1.简单随机抽样需满足：(1)被抽取的样本总体的个体数有限；(2)逐个抽取；(3)是不放回抽取；(4)是等可能抽取．2．简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)．考点二分层抽样及其应用角度1求某层入样的个体数【例1】某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：人进行详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为() A．25，25，25，25B．48，72，64，16C．20，40，30，10D．24，36，32，8答案D解析法一因为抽样比为10020000＝1200，所以每类人中应抽取的人数分别为4800×1200＝24，7200×1200＝36，6400×1200＝32，1600×1200＝8.法二最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600＝6∶9∶8∶2，所以每类人中应抽取的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8.角度2求总体或样本容量【例2】(1)(2020·东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n 的样本，其中高中生有24人，那么n等于()A．12B．18C．24D．36(2)(2021·重庆调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案(1)D(2)1800解析(1)根据分层抽样方法知n960＋480＝24960，解得n＝36.(2)由题设，抽样比为80 4800＝160.设甲设备生产的产品为x件，则x60＝50，∴x＝3000.故乙设备生产的产品总数为4800－3000＝1800.感悟升华 1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．2．已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．3．分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝样本容量总体容量＝各层样本数量各层个体数量”．【训练】(1)(2020·郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A．240，18B．200，20C．240，20D．200，18(2)(2021·合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是________．答案(1)A(2)6解析(1)样本容量n＝(250＋150＋400)×30%＝240，抽取的户主对四居室满意的人数为150×30%×40%＝18.(2)抽样比为2040＋10＋30＋20＝15，则抽取的植物油类种数是10×15＝2，抽取的果蔬类食品种数是20×15＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2＋4＝6.A级基础巩固一、选择题1．(多选题)(2021·武汉调研)下列抽样方法不是简单随机抽样的是()A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本B．某可乐公司从仓库中的1000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查C．某连队从120名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)答案AC解析对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；对于B，一次性抽取与逐个不放回地抽取是等价的，故B中的抽样方法是简单随机抽样；对于C，挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样；对于D，易知D中的抽样方法是简单随机抽样．2．(多选题)(2020·泰安质检)某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1500辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取57辆进行检验，则下列说法正确的是()A．应采用分层随机抽样抽取B．应采用抽签法抽取C．三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆D．这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的答案ACD解析因为是三种型号的轿车，个体差异明显，所以采用分层抽样，选项A正确；因为总体量较大，故不宜采用抽签法，选项B错误；抽样比为571500＋6000＋2000＝3500，三种型号的轿车依次应抽取9辆，36辆，12辆，选项C正确．分层抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同．故选项D正确．故答案为ACD.3．(2020·首都师范大学附属中学月考)从某班50名同学中选出5人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将50名同学按01，02，…，50进行编号，然后从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始从左往右依次选取两个数字，则选出的第5个个体的编号为()(注：表为随机数表的第1行与第2行)A.24答案A解析由题知，从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始，由表可知依次选取43，36，47，46，24.4．(多选题)(2021·襄阳联考)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有()A．应该采用分层随机抽样法B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人C．乙被抽到的可能性比甲大D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力答案ABD解析由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层抽样法．由于比例为23520×50＋30×45＝110，因此高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是110，因此只有C不正确，故应选ABD.5.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢数学的频率．已知该年级男、女生各500名(所有学生都参加了调查)，现从所有喜欢数学的学生中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为()A．16 B．32 C．24 D．8答案C解析由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1∶3，，所以抽取的男生人数为24.故选C.6．某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取()A．40人B．200人C．20人D．10人答案C解析由题图知，40岁以下年龄段的人数为400×50%＝200，若采用分层抽样应抽取200×40400＝20(人)．7．(多选题)(2021·淄博模拟)港珠澳大桥是中国境内一座连接中国香港、广东珠海和中国澳门的桥隧工程，因其超大的建筑规模、空前的施工难度以及顶尖的建造技术闻名世界，为内地前往香港的游客提供了便捷的交通途径，某旅行社分年龄统计了大桥落地以后，由香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n名，若青年旅客抽到60人，则()A ．老年旅客抽到100人B ．中年旅客抽到20人C ．n ＝200D ．被抽到的老年旅客以及中年旅客人数之和超过200人答案 AC解析 由题意，香港大桥实现内地前往香港的老中青旅客的比例分别为5∶2∶3，若青年旅客抽到60人，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n 名，所以60n ＝35＋2＋3，解得n ＝200人，则老年旅客抽到60×53＝100人，中年旅客抽到60×23＝40人，则老年旅客和中年旅客人数之和为160.8．(2020·北京东城区模拟)某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：“不喜欢”的男性青年观众中抽取了6人，则n ＝( )A ．12B ．16C ．24D ．32答案 C解析 由分层抽样的性质得：630＝n 30＋30＋10＋50，解得n ＝24.故选C.二、填空题9．假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行)．解析由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331，572，455，068. 10．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝________．答案13解析依题意得360＝n120＋80＋60，故n＝13.11．(2020·海南质检)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则乙应出(所得结果四舍五入，保留整数)钱数为________．答案32解析因为甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱．要按照各人带钱多少的比例进行关税．则乙应付：100560＋350＋180×350＝3212109≈32钱．12．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格．由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是________．答案800解析设A，C产品数量分别为x件、y件，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1300＝3000，（x －y ）×1301300＝10，解得⎩⎨⎧x ＝900，y ＝800. B 级 能力提升13．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣( )A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人 答案 B解析 由题意知，抽样比为 3008100＋7488＋6912＝175，所以北乡遣175×8100＝108(人)．14．下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( ) ①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里． ③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 ①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样．因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样．因为不是等可能抽样．故选A.15．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：则A．12，7B．10，7C．10，8D．11，9答案B解析从甲校抽取110×12001200＋1000＝60(人)，从乙校抽取110×12001200＋1000＝50(人)，故x＝10，y＝7.16．某工厂的三个车间在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为________．答案1200解析因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.所以a＋b＋c3＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的13.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的13，即为13×3600＝1200.。
高中数学 学案 简单随机抽样
2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样学习目标核心素养1.理解简单随机抽样的定义、特点及适用范围．(重点) 2．掌握两种简单随机抽样的步骤,并能用简单随机抽样方法抽取样本．(难点) 1.通过抽取样本,培养数据分析素养．2．借助简单随机抽样的定义,培养数学抽象素养.1．简单随机抽样的定义一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本,叫做简单随机样本．2．简单随机抽样的方法(1)抽签法：把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本．(2)随机数法：随机抽样中,另一个经常被采用的方法是随机数法,即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．3．抽签法和随机数法的特点优点缺点抽签法简单易行,当总体的个体数不多时,使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易,这时,每个个体都有均等的机会被抽中,从而能够保证样本的代表性仅适用于个体数较少的总体,当总体容量较大时,费时费力又不方便,况且,如果号签搅拌的不均匀,可能导致抽样不公平随机数法操作简单易行,它很好地解决了用抽签法当总体中的个数较多时制签难的问题,在总体容量不大的情况下是行之有效的如果总体中的个体数很多,对个体编号的工作量太大,即使用随机数表法操作也不方便快捷1．新华中学为了了解全校302名高一学生的身高情况,从中抽取30名学生进行测量,下列说法正确的是( )A．总体是302名学生B．个体是每1名学生C．样本是30名学生D．样本容量是30D[本题是研究学生的身高,故总体、个体、样本数据均为学生身高,而不是学生．]2．在简单随机抽样中,某一个个体被抽中的可能性( )A．与第几次抽样有关,第一次抽中的可能性要大些B．与第几次抽样无关,每次抽中的可能性都相等C．与第几次抽样有关,最后一次抽中的可能性要大些D．每个个体被抽中的可能性无法确定B[在简单随机抽样中,每一个个体被抽中的可能性都相等,与第几次抽样无关．]3．抽签法中确保样本代表性的关键是( )A．制签B．搅拌均匀C．逐一抽取D．抽取不放回B[逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点,但不是确保代表性的关键,一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性,制签也一样．]4．一个总体共有60个个体,其编号为00,01,02,…,59,现从中抽取一个容量为10的样本,请从随机数表的第8行第11列的数字开始,向右读,到最后一列后再从下一行左边开始继续向右读,依次获取样本号码,直到取满样本为止,则获得的样本号码是________．附表：(第8行～第10行)63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 7512 86 73 58 07 44 39 52 38 79(第8行)33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 3815 51 00 13 42 99 66 02 79 54(第9行)57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 6290 52 84 77 27 08 02 73 43 28(第10行)16,55,19,10,50,12,58,07,44,39 [第8行第11列的数字为1,由此开始,依次抽取号码,第一个号码为16,可取出；第二个号码为95>59,舍去．按照这个规则抽取号码,抽取的10个样本号码为16,55,19,10,50,12,58,07,44,39.]简单随机抽样的概念【例1】下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无数个个体中抽取50个个体作为样本；(2)仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；(3)小乐从玩具箱中的10件玩具中随意拿出一件玩,玩后放回,再拿出一件,连续拿出四件；(4)某连队从200名党员官兵中,挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区参加救灾工作；(5)一福彩彩民买30选7彩票时,从装有30个大小、形状都相同的乒乓球的盒子(不透明)中逐个无放回地摸出7个有标号的乒乓球,作为购买彩票的号码；[解](1)总体数目不确定、不是简单随机抽样．(2)简单随机抽样要求的是“逐个抽取”本题是一次性抽取,不是简单随机抽样．(3)简单随机抽样是不放回抽样,这里的玩具玩以后又放回,再抽下一件,不是简单随机抽样．(4)从中挑出的50名官兵,是200名中最优秀的,每个个体被抽的可能性不同,不是简单随机抽样．(5)符合简单随机抽样的特点,是简单随机抽样．简单随机抽样的判断方法判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样的四个特征：上述四点特征,如果有一点不满足,就不是简单随机抽样．1．判断下面的抽样方法是否为简单随机抽样,并说明理由．(1)某班45名同学,指定个子最矮的5名同学参加学校组织的某项活动．(2)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检查．[解](1)不是简单随机抽样．因为指定个子最矮的5名同学,是在45名同学中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样．(2)不是简单随机抽样．因为一次性抽取3个不是逐个抽取,不符合简单随机抽样的特征．抽签法及应用【例2】某单位对于支援西部开发,现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组到西藏工作3年,请用抽签法设计抽样方案．思路点拨：抽签法的步骤流程：编号―→制签―→搅匀―→抽签―→取样[解]方案如下：第一步,将18名志愿者编号,号码为：01,02,03, (18)第二步,将号码分别写在相同的纸条上,揉成团,制成号签．第三步,将得到的号签放到一个不透明的盒子中,充分搅匀．第四步,从盒子中依次取出6个号签,并记录上面的编号．第五步,与所得号码对应的志愿者就是医疗小组成员．抽签法的应用条件及注意点(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．一般地,当样本容量和总体容量较小时,可用抽签法．(2)应用抽签法时应注意以下几点：①编号时,如果已有编号可不必重新编号；②签要求大小、形状完全相同；③号签要均匀搅拌；④要逐一不放回的抽取．2．上海某中学从40名学生中选1人作为上海男篮啦啦队的成员,采用下面两种选法,则是抽签法的序号为________．(1)将这40名学生从1～40进行编号,相应地制作1～40的40个号签,把这40个号签放在一个暗箱中搅匀,最后随机地从中抽取1个号签,与这个号签编号一致的学生幸运入选；(2)将39个白球与1个红球(球除颜色外,其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅匀,让40名学生逐一从中摸取一球,摸到红球的学生成为啦啦队成员．(1) [(1)满足抽签法的特征,是抽签法；(2)不是抽签法,因为抽签法中所有的号签编号是互不相同的,而其中39个白球无法相互区分．]随机数表法及应用1．什么情况下使用随机数表法抽样？它比抽签法的优势体现在哪里？[提示]当总体中个体数较多时适合用随机数表法,与抽签法相比,可以节约大量的人力和制号签的成本．2．随机数表法和抽签法都要对个体进行编号,它们的编号方法有何不同点？[提示]抽签法和随机数法对个体的编号是不同的,抽签法可以利用个体已有的编号,如学生的学籍号、产品的记数编号等,也可以重新编号,例如总体个数为100,编号可以为1,2,3,…,100.随机数表法编号要看总体的个数,且所编号码数位必须相同,如总体数为100,通常为00,01,…,99.总体数大于100小于1 000,从000开始编起,然后是001,002,….【例3】为了检验某种药品的副作用,从编号为1,2,3,…,120的服药者中用随机数表法抽取10人作为样本,写出抽样过程．思路点拨：(1)使用药品服用者的已有编号还是再重新编号？(2)使用随机数表时,第一个数字怎样确定？[解]第一步,将120名服药者重新进行编号,分别为001,002,003,…,120；第二步,在随机数表(教材P103)中任选一数作为初始数,如选第9行第7列的数3；第三步,从选定的数3开始向右读,每次读取三位,凡不在001～120中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092；第四步,以上这10个号码所对应的服药者即是要抽取的对象．1．(变条件)如果本例改为“从编号1,2,3,…,100的服药者中用随机数表法抽取10人作为样本”．请写出抽样过程．[解]第一步,将100名服药者重新编号,分别为00,01,02, (99)第二步,在随机数表(教材P103)中任选一数作为初始数,如选第9行第7列的数3.第三步,从选定的数3开始向右读,每次读取两位数,凡在00～99中的读取出来,前面已读数字跳过不读,依次可得,34,29,78,64,56,07,82,52,42,44.第四步,以上10个号码对应的服药者即是要抽取的对象．2．(设问)本题其他条件不变,若要用抽签法取样,则：(1)要不要对服药者进行重新编号？(2)所选出的10人是不是相同的？[解](1)若运用抽签法取样,对已有编号的个体不用再重新进行编号．(2)用抽签法选出的10人与用随机数表法选出的10人不一定相同,其实既使用相同的方法抽样,不同两次的抽取结果也不一定完全相同.随机数表法抽样的3个步骤(1)编号：这里的所谓编号,实际上是新编数字号码．(2)确定读数方向：为了保证选取数字的随机性,应在面对随机数表之前就指出开始数字的纵横位置,然后确定读数方向．(3)获取样本：读数在总体编号内的取出,而读数不在总体编号内的和已取出的不算,依次下去,直至得到容量为n 的样本．1．要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样,关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义,即简单随机抽样的四个特点：总体有限、逐个抽取、无放回抽取、等可能抽取．2．一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点：一是制作号签是否方便,二是号签是否容易被搅拌均匀．一般地,当总体容量和样本容量都较少时可用抽签法．3．利用随机数法抽取个体时,关键是先确定以表中的哪个数(哪行哪列)作为起点,以哪个方向作为读数的方向．需注意读数时结合编号特点进行读取,编号为两位,则两位、两位地读取；编号为三位,则三位、三位地读取．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抽签时,先抽的比较幸运．( ) (2)抽签法中,“搅拌均匀”是没有必要的． ( ) (3)随机数表法比抽签法好． ( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．某班50名学生中有30名男生,20名女生,用简单随机抽样抽取1名学生参加某项活动,则抽到女生的可能性为( )A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．23A [在简单随机抽样中,每个个体被抽到机会相等,即2050＝0.4.]3．用随机数表法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字；④选定读数的方向．这些步骤的先后顺序应为( )A ．①②③④B ．①③④②C ．③②①④D ．④③①②B [由随机数表法的步骤知选B.]4．某校高一年级有43名足球运动员,要从中抽出5人抽查学习负担情况．用抽签法设计一个抽样方案．[解] 第一步：编号,把43名运动员编号为1～43；第二步：制签,做好大小、形状相同的号签,分别写上这43个数；第三步：搅拌,将这些号签放在暗箱中,进行均匀搅拌；第四步：抽签入样,每次从中抽取一个,连续抽取5次(不放回抽取),从而得到容量为5的入选样本．。
数学：2.1.1《简单随机抽样》课件(1)(新人教B版必修3)
2、随机数表法 步骤： 步骤： 制定随机数表； 一般会给出） 10.制定随机数表；（一般会给出） 20. 给总体中各个个体编号 ； （ 起始号码选 00 ， 而 给总体中各个个体编号； 起始号码选00 00， 不选01 可使100个个体都可用2位数表示） 01， 100个个体都可用 不选01，可使100个个体都可用2位数表示） 选定开始的数字； 随机） 30.选定开始的数字；（随机） 获取样本号码。 按顺序列出，以免重复） 40.获取样本号码。（按顺序列出，以免重复）
n 的样本， 为n的样本，那么每一个个体被抽到的概率都等于 N
说明：简单随机抽样一个最大的特点： 说明：简单随机抽样一个最大的特点：它是一种等概率 抽样，这就体现了抽样的客观性和公平性， 抽样，这就体现了抽样的客观性和公平性，而且这种方 法比较简单，因此在生活中有广泛的应用。 法比较简单，因此在生活中有广泛的应用。
总体：所要考察对象的全体。 总体：所要考察对象的全体。问：“为了了解我市初一年 级 11000 名 学 生 的 身 高 情 况 ……” 这 一 问 题 中 的 总 体 是 11000名学生 名学生” “11000名学生”吗？ 个体：总体中的每一个考察对象。 个体：总体中的每一个考察对象。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的一个样本。 样本容量：样本中个体的数目。 样本容量：样本中个体的数目。问：对于一个确定的总体， 对于一个确定的总体， 其样本唯一确定吗？ 其样本唯一确定吗？ ——统计的基本思想方法： 统计的基本思想方法： 统计的基本思想方法 用样本估计总体，即通常不直接去研究总体， 用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是 通过从总体中抽取一个样本， 通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总 体的相应情况。 体的相应情况。
简单随机抽样(1)+课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
问题：放回摸球有什么不足吗？你还有其他的方法吗？
在有放回地摸球中，同一个小球有可能被摸中多次，极端情况是 每次摸到同一个小球，而被重复的小球只能提供同一个小球颜色 信息。这样的抽样结果误差较大。
我们可以采用不放回摸球，即从袋中随机摸出一个球后不再放 回袋中，每次摸球都在余下的球中随机摸取，这样就可以避免 同一个小球被重复摸中。 特别地，当样本量n=1000时，不放回摸球已经把袋中的所有球 取出，这就完全了解了袋中红球的比例，而有放回摸球一般还 不能对袋中红球的比例做出准确的判断。
(3) 重复上述过程，直到抽足样本所需要的人数； (4) 如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的 编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数.
读数获取样本号码
①在随机数表中任选一个数作为起始数；（选起始数）
②从选定的数开始依次向右（或向左、向上、向下）读，将 编号范围内的数取出，编号范围外的数去掉，直到取满样本 容量的样本.（抽取样本）
问题1 一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅，他们事先想了解全 体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节课桌椅的标准高度. 已知树 人中学高一年级有712名学生，如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年 级学生的平均身高，应该怎么抽取样本？
树人中学全部高一年级的学生构成调查的总体， 每一位学生是个体， 学生的身高是调查的变量.
汽车只有少数富人拥有）.通过分析收回的调查表，显示兰顿非常受欢迎，于是此杂志预测兰顿 将在选举中获胜.
实际上选举结果正好相反，最后罗斯福在选举中获胜，其数据如下：
候选人
预测结果﹪
选举结果﹪
罗斯福
ห้องสมุดไป่ตู้
43
62
简单随机抽样(教学课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
生的平均身高等.要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知
识.
统计的研究对象是数据，核心是通过数据分析研究和解决问题，因
此，首先要设法获取与问题有关的数据，从而为解决问题奠定基础.
温故知新
统计的相关概念
名称
定义
总体
所要 考察对象 的全体叫作总体
)
A．要求总体的个体数有限
B．从总体中逐个抽取
C．每个个体被抽到的机会不一样
D．这是一种不放回抽样
【解答】解：根据随机抽样的定义可知，要求总体的
个体数有限，为了保证抽样的公平性，
要求每个个体被抽到的机会是相同的．从总体
中逐个抽取，这是一种不放回抽样．
综合以上几点可知C错误．
故选：C．
变式训练
下列抽样方法是简单随机抽样的是(
过程,直到抽足所需要人数.
比较随机数法与抽签法，它们各有什么优点和缺点?
(1)随机数法的概念:
利用随机数工具产生的随机数进行抽样方法，叫做随机数法.
(2)随机数法的步骤:
①将总体的个体编号；
②在产生的随机数选择数字；
③读数获取样本号码.
如果生成的随机数有重复，即同与编号被多次抽到，
可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的
个”抽取，故不是简单随机抽样；
故选：C．
解题技巧
判断所给的抽样是否为简单随机抽样的依据是简单随机抽样
的四个特征：
上述四点特征，如果有一点不满足，就不是简单随机抽样．
典例分析
题型二 抽签法的应用
例2.用抽签法从50个个体中选出5个个体，则共需制作号签的
个数为(
高一数学简单随机抽样1
。安全工程师培训/course/all/1-29/
我们的眼睛都湿润了，另外两个朋友说，他们也有这样的经历和感受。我才蓦然想起，早在十年前，他们的父母就已经离去。他们说，因为遗产而不愉快，都遇到过。 知道吗，他们中的一位说，和自己的兄弟姐妹闹矛盾，是最心痛的事！ 那夜，我没有多说什么话，只是在听，只是最后端起茶杯，以茶代酒，对最好的朋友说：明天去墓地，代我向你爸爸问声安！ 上车往家走时，突然想起了妈妈的电话，想起那个熟悉的画面：一个头发斑白的老太太，含着眼泪，拿着电话，对着电话那端大声问：姐姐你还好吗？那是多么幸福的一声姐姐呀。 突然觉得，我也是幸福的在这个世界上，还有两个人在让我叫着爸爸，妈妈！还能看到，自己的妈妈在含泪打电话！ 因为等我，妈妈还没有睡熟吧？此
第二章第一节简单随机抽样
第二章第一节简单随机抽样一、重点难点：1.正确理解随机抽样的概念，会描述抽签法、随机数表法的一般步骤.2.能够根据样本的具体情况选择适当的方法进行抽样.二、知识点讲解：一、简单随机抽样的概念：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本（n≤N），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。
思考：简单随机抽样的每个个体入样的可能性为多少？（n/N）二、抽签法和随机数法：1、抽签法一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本。
抽签法的一般步骤：（1）将总体的个体编号;（2）连续抽签获取样本号码.思考：你认为抽签法有什么优点和缺点；当总体中的个体数很多时，用抽签法方便吗？解析：操作简便易行，当总体个数较多时工作量大，也很难做到“搅拌均匀”2、随机数法利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数表法.怎样利用随机数表产生样本呢？下面通过例子来说明，假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。
第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，001， (799)第二步，在随机数表中任选一个数，例如选出第8行第7列的数7（为了便于说明，下面摘取了附表1的第6行至第10行）。
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 7884 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 6763 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 7533 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 3857 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 6287 35 20 96 43 84 26 34 91 6421 76 33 50 25 83 92 12 06 7612 86 73 58 07 44 39 52 38 7915 51 00 13 42 99 66 02 79 5490 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向也可以是向左、向上、向下等），得到一个三位数785，由于785＜799，说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916，由于916＞799，将它去掉，按照这种方法继续向右读，又取出567，199，507，…，依次下去，直到样本的60个号码全部取出，这样我们就得到一个容量为60的样本。
高一数学《概率与统计》
考点1：抽样方法一．随机抽样随机抽样：满足每个个体被抽到的机会是均等的抽样，共有三种经常采用的随机抽样方法：1．简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n 的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样．简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法．⑴抽出办法：①抽签法：用纸片或小球分别标号后抽签的方法．②随机数表法：随机数表是使用计算器或计算机的应用程序生成随机数的功能生成的一张数表．表中每一位置出现各个数字的可能性相同．随机数表法是对样本进行编号后，按照一定的规律从随机数表中读数，并取出相应的样本的方法．⑵简单随机抽样必须具备下列特点：①简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的． ②简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N ． ③简单随机样本是从总体中逐个抽取的． ④简单随机抽样是一种不放回的抽样．⑤简单随机抽样的每个个体被抽取的可能性均为nN．<教师备案>样本获取分为两种，一种是全面统计，一种是样本统计．全面统计的例子非常多，比如美国大选，每个州的选民都是通过投票选出每个州的负责人．也就是每个人都表达了自己的意见．再比如我们调查学生是海淀还是非海淀，我们也是给每个学生打了电话，访谈出结果，每个同学也都表达了自己的意见．再比如一些小事，像一群人中午的时候讨论去哪吃饭，每个人都可以说自己喜欢的地方．全面统计的好处在于无遗漏，数据准确无偏差，但是缺点也很明显，那就是非常的繁琐、麻烦．对于大数据的处理很无力，所以我们需要有样本统计． 样本统计的意义就是从一个大数据中抽取数据样本分析，通过对样本的分析来估计原数据的性质．于是首要的问题就是如何抽样．一个合理的抽样方法的基本要求是“平等”，也就是每个个体被抽取的可能性是相同的．比如我们发现，老师选出的学生代表很可能不能真正代表全体同学的意见，因为老师选取的一定是自己比较熟悉的学生，这类学生平时一定非常活跃．而对于一些比较内向，“存在感”比较低的同学来说，老师可能就不会关注，被选中的可能性就会降低．由此可以推知，人为的抽样一般是不靠谱的．再比如，现在很多的新闻都有网上的调查，有的媒体通过网上调查的数据来分析广大人民对新闻的反馈．这样的调查也是不靠谱的，因为网上调查反映出来的大多是经常上网的人的意见，而对于平时不上网的人就没有调查，所以这样的抽样也是不合理的．最常见的合理抽样方式是“抓阄”，这可以保证每个个体都能“等可能”的被选中．当然抓阄的方式有很多，比如很多时候我们不需要每个人都去抓一次，我们可以把每个人编一个号，然后由一个人来抽号就可以了．比如我们常见的彩票大致就是这个原理．不过需要注意的是彩票里面的等可能是对彩票是等可能的，对人不一样，因为一个人可以买很多彩票．6.1随机抽样知识点睛第6讲概率默统计类<教师备案>老师在讲完简单随机抽样后可以让学生做例1的【铺垫】⑴，本小题主要是让学生理解什么是总体，什么是个体，什么是样本容量，因为简单随机抽样比较简单，而且在后边要讲的系统抽样和分层抽样中都要用到，所以这里就不再详细讲解了．2．系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，由于抽样间隔相等，又被称为等距抽样．⑴抽出办法：从元素个数为N的总体中抽取容量为n的样本，如果总体容量能被样本容量整除，设Nkn=，先对总体进行编号，号码从1到N，再从数字1到k中随机抽取一个数s作为2(1)s k s k s n k+++-，，，个数，这样就得到容量为n的样本．如果总体容量不能被样本容量整除，可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样方法进行抽样．⑵系统抽样时，当总体个数N恰好是样本容量n的整数倍时，取Nkn=；若Nn不是整数时，先从总体中随机地剔除几个个体，使得总体中剩余的个体数能被样本容量n的机会相等，因而整个抽样过程中每个个体被抽取的机会仍然相等为nN．<教师备案>随着数量的增大，抓阄的方式效率会比较低．当然，随着现在计算机的发展，数据量很大的时候也是可以通过“选号”的方式进行随机抽样．课本上提到的系统抽样其实现在已经不怎么使用了．不过作为传统意义下的抽样方法，我们还是有必要介绍一下．系统抽样的核心是“选出代表”，每个代表会直接代表一个群体的意见．系统抽样的方式分为两种，一种是横向抽样，也就是我们教科书上的抽样方式，这种例子非常多，比如军训的时候，可能我们出现过“一到三”报数，这样就把我们分成了“一”“二”“三”三个组，然后就可以随机选一个数“一”，然后所有的“一”就被选中了．同样的道理，我们对1000人，选取一个100人的样本，那么我们就需要把总数分成100组，每组10个人，然后让第一组的人抓阄（为的是随机抽样），比如“4”抓到，那么每一组的“4”就被选中了．另一种系统抽样的方式是“纵向抽样”，它出现的原理是这样的：原始的系统抽样方法会造成直观上的不公平．比如我们1000人里面选100人去叙利亚旅游，大家肯定都不愿意去，第一组的人抓阄之后，由于第一组的4号被选中，那么每一组的4号就都被选中了，其他组的4号会认为被第一组的4号连累，因为他们是“被”选中的．虽然从可能性上说，这没有道理，不过直观上确实有点“躺枪”的意思．于是人们改变了方式，也就是纵向系统抽样．比如现在我们还是1000人里面选100人去叙利亚，我们把所有人分成10组，每组100人，然后每组自行推举一个代表上台抓阄，被选中的人所在的组，整组都被选中．这样我们每个组都有人去抓阄，也就实现了直观上的公平．但是在可能性的角度，横向和纵向抽样都是“等可能”的，没有本质区别．<教师备案>老师在讲完系统抽样后就可以让学生做例1的铺垫⑵，例1⑵以及尖子班拓展⑵，这几个题都是系统抽样，老师可以选择几个让学生做做，不一定都让学生做，老师自己选择．3．分层抽样：当总体有明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．分层抽样的样本具有较强的代表性，而且各层抽样时，可灵活选用不同的抽样方法，应用广泛．<教师备案>简单随机抽样（抓阄）和系统抽样都是绝对意义上的公平，但是分层抽样就是相对意义上的公平，因为我们人为的干扰了抽样的过程．不过现实意义之下我们统计数据必须进行分层，否则统计数据会闹出笑话．常见的一个就是我家房子10平米，后来搬过来一个邻居，房子面积是100平米，那么我家的生活状况有没有改变．实际上没有，但是统计数字可能告诉你，你们的平均面积增加了．现实生活中，很多的统计需要分层，比如统计收入水平的时候需要分不同的城市，统计生育问题的时候要分城市和农村，统计化妆品消费水平的时候要分性别等等．所以分层抽样就是为了保证每个层面上的公平性，我们按照每个层次占到总体的多少来分配选取的比例．这里老师可以开发更多的统计实例，一定要讲出现实意义来．<教师备案>老师在讲完分层抽样后可以让学生做例1的铺垫⑶，例1⑶以及目标班专用⑷，让学生熟练掌握分层抽样，因为在以后考试和北京高考中，三个抽样重点考察分层抽样．老师在讲完三个抽样后一定要让学生明白什么情况下用什么抽样，这个时候就可以让学生做例1⑴，尖子班拓展⑴．【铺垫】⑴为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取100名运动员；就这个问题，下列说法中正确的有（）个①2000名运动员是总体；②每个运动员是个体；③所抽取的100名运动员是一个样本；④样本容量为100；⑤每个运动员被抽到的概率相等A．1B．2C．3D．4⑵从编号为1~50的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A．510152025，，，，B．313233343，，，，C．12345，，，，D．2461632，，，，⑶某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（）A．4B．5C．6D．7【解析】⑴ B；④⑤正确，①②③错误⑵ B；⑶ C；20(1020)640103020+⨯=+++．【例1】三种抽样⑴现有以下两项调查：①某装订厂装订图书36000册，要求检验员从中抽取500册图书，检查其装订质量状况；②某市有大型、中型与小型的商店共1500家，三者数量之比为1:5:9．为了调查全市商店每日零售额情况，抽取其中15家进行调查．完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A．简单随机抽样法，分层抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．分层抽样法，系统抽样法D．系统抽样法，分层抽样法⑵用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，…，153~160号），若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是．⑶某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为235∶∶．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件．那么此样本的容量n=．⑷（目标班专用）某校有500名学生，A型血的有125人，B型血的有125人，AB型血的有50人，为了研究血型与色弱有没有关系，要从中抽取一个20人的样本，按分层抽样，O型血应抽取的人数为人．【解析】⑴ D；①是系统抽样；②明显是分层抽样；⑵6；不妨设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是815126x⨯+=，∴6x=．⑶80；A种型号的产品占总体的比例是210，则样本容量1016802n=⨯=．⑷该学校O型血的人数为50012512550200---=，按照分层抽样的抽样比相等得：500:20200:x=，解得8x=，即O型血应抽取的人数为8人．经典精讲<教师备案>学习了抽样后，需要对收集的这些有代表性的样本数据进行研究，找出有用的信息，然后用这些样本来估计总体．这种估计一般分成两种，一种是用样本的频率分布估计总体的分布，另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．用来估计的图表和方法有很多种，本版块在初中的基础上来学习频率分布直方图、茎叶图和方差．考点2：频率分布直方图1．列出样本数据的频率分布表和频率分布直方图的步骤： ①计算极差：找出数据的最大值与最小值，计算它们的差；②决定组距与组数：取组距，用极差组距决定组数；③决定分点：决定起点，进行分组；④列频率分布表：对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各小组的频率．⑤绘制频率分布直方图：以数据的值为横坐标，以频率组距的值为纵坐标绘制直方图，知小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率．2．频率分布折线图：将频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，一般把折线图画成与横轴相连，所以横轴左右两端点没有实际意义．3．总体密度曲线：样本容量不断增大时，所分组数不断增加，分组的组距不断缩小，频率分布直方图可以用一条光滑曲线()y f x =来描绘，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．<教师备案>这里主要介绍的就是样本分析方法，直方图就是很重要的一种．其实直方图的形成过程就是把数据按大小排序，然后分段截取数据．实际生活中最常见的方法就是“画正字”，比如我们收到了一组数据是学生的跳绳次数，我们就可以把次数分成若干组，然后一个一个数据看落在了哪个组里，利用“画正字”的方式看出每组里有几个数，最后画出直方图．直方图的主要作用是看出数据的分布变化趋势，很容易表示大量数据，缺点是原始数据不能在图上表示出来．通过例2的学习，让学生可以由给出的频率分布直方图算出各组数据的频率和频数，理解横纵坐标代表的意义．频率分布折线图和总体密度曲线不需要深究，在频率分布直方图的基础上，简单介绍即可．【例2】 频率分布直方图⑴某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[]540，中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，长度在[)3035，内的频率为______，有______根棉花纤维的长度小于20mm ．经典精讲知识点睛6.2用样本估计总体y 510152025303540长度(mm)0.010.020.030.040.050.06频率组距⑵（目标班专用）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间， 将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y ，则从频率分布直方图中可分析出x 和y 分别为（ ）秒频率/组距1918171615141300.360.340.180.060.040.02A ．0.9，35B ．0.9，45C ．0.1，35D ．0.1，45【解析】 ⑴ 0.1，30；由频率分布直方图可得，长度在[)3035，内的频率为0.0250.1⨯=． 棉花纤维长度小于20mm 的频率为()0.010.010.0450.3++⨯=，则棉花纤维长度小于20mm 的频数为1000.330⨯=根．⑵ （目标班专用）A ．考点3：茎叶图<教师备案>当样本数据较少时，可以用样本分析的另一个常用图表方法――茎叶图，这个图主要作用是两组数据的对比．一左一右很容易估计出两组数据的对比状况，而且茎叶图是把所有的数据都列出来，精确性上比直方图要好一点，但是对于数据特征的分析不如直方图直观．可以结合铺垫讲解知识点，并简单复习一下初中学过的中位数、平均数的概念．1．制作茎叶图的步骤：①将数据分为“茎”、“叶”两部分；②将最大茎与最小茎之间的数字按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线； ③将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出．<教师备案>“按一定次序”一般是按大小顺序，也可以按统计数据的顺序．2．平均数：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．中位数：是指将统计总体当中的各个数据值按大小顺序排列起来，形成一个数列，处于数列中间位置的数据值就称为中位数．当数列的项数为奇数时，处于最中间位置的数据值即为中位数；当项数为偶数时，中位数则为处于中间位置的两个数据值的平均数．知识点睛8964553819261846172852乙甲54535251【铺垫】某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下：甲：512554528549536556534541522538 乙：515558521543532559536548527531①用茎叶图表示两学生的成绩；②分别求两学生成绩的中位数和平均分． 【解析】 ①两学生成绩的茎叶图如图所示 ②将甲、乙两学生的成绩从小到大排列为： 甲：512522528534536538541549554556， 乙：515521527531532536543548558559． 从以上排列可知甲学生成绩的中位数为5365385372+=，乙学生成绩的中位数为5325365342+=．甲学生成绩的平均数为1222283436384149545650053710++++++++++=，乙学生成绩的平均数为1521273132364348585950053710++++++++++=．【例3】 茎叶图随机抽取某中学甲，乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图，则下列关于甲，乙两班这10名同学身高的结论正确的是（ ） A ．甲班同学身高在175以上的人数较多 B ．甲班同学身高的中位数较大C ．甲班同学身高的平均值较小D ．甲、乙班同学身高的平均值一样大 【解析】 C ；甲班同学身高175以上的有3人，乙班有4人，故而A 错误．甲班同学身高的中位数为169，乙班同学身高的中位数为171.5．故而B 错误． 容易计算得知，=170x 甲，=171.1x 乙，故C 对．考点4：统计数据的数字特征<教师备案>分析样本数据时，我们已经学过了众数、中位数和平均数这些概念，它们都可以用来表示统计数据的特征信息，各有利弊．平均数是统计数据一个非常好的特征，它可以利用所有的样本数据，而且比较好算．也正因为平均数利用了所有的数据，所以它容易受到一些极端数据的影响．比如歌唱比赛时，去掉一个最高分和一个最低分，然后再平均，就是为了避免出现个别评委的极端喜恶，尽量体现评分的准确和公正性．再比如公布一个地区的家庭平均收入时，平均数也掩盖了一些极端情况的存在，而这些是不容忽视的．怎么样能反映这些极端情况呢，也就是数据的离散程度呢，从运算方便等各方面考虑，引入了方差或标准差来进行衡量．统计数据的数字特征1．用样本平均数估计总体平均数；用样本标准差估计总体标准差：经典精讲知识点睛乙班甲班98822388900191716159865311822．数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述：⑴极差又叫全距，是一组数据的最大值和最小值之差，反映一组数据的变动幅度；⑵样本方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，样本的标准差是方差的算术平方根． 一般地，设样本的元素为12n x x x ，，，，样本的平均数为x ， 定义样本方差为222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，样本标准差22212()()()n x x x x x x s n-+-++-=，简化公式：22222121()n s x x x nx n ⎡⎤=+++-⎣⎦．<教师备案>这部分其实没有真正的考察，现在最多也就是通过样本的特征直接套用在整体数据上．寒假班对方差只需要初步理解它存在的意义即可，对方差的直观理解放在春季同步班讲解．【例4】 方差甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表1s ，2s ，3s 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）甲的成绩乙的成绩 丙的成绩 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数5555频数6446频数4664A ．312s s s >>B ．213s s s >>C ．123s s s >>D ．231s s s >>【解析】 B ；根据题中数据计算()()12117585951058.57684941068.52020x x =⨯+⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯+⨯=，，()317486961048.520x =⨯+⨯+⨯+⨯=，∴123x x x ==；()()()()22221178.5588.5598.55108.55 1.2520s ⎡⎤=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=⎣⎦， 同理得231.45 1.05s s ==， ∴213s s s >>．<教师备案>概率的定义是一个漫长的过程，最开始就是根据经验，对统计事实的认识．历史上对概率的理解可以分为三个阶段： 第一阶段：大量统计中发生的几率有 多大．比如很多数学家都玩过“扔硬币”这个游戏，而且还统计了结果，如图．大家发现，扔了很多很多次之后，结 果都差不多是正反面各占一半，所以大家认为硬币出正面的概率是50%．可能有人觉得这个做法很无聊，但是这只是概率的现象，是一个经典精讲6.3随机事件概率结果层面的东西，并不是概率的本质．不过现在计算机在估计概率的时候也是用这样的方法进行多次的实验，最终估计出一个结果．第二阶段：人们开始想一些复杂的问题．这里面著名的问题有两个，一个是赌徒分金问题（注：两个赌徒玩掷硬币，规定正面则甲加一分，反面则乙加一分，谁先得到16分谁就可以赢得一袋金币，现在进行到甲:乙=15:12，警察来了，说不让赌了，那么这些金币该怎么分．（【解析】按照15:1的比例分；假设警察没有来，则乙赢的概率为：11111222216⨯⨯⨯=，甲赢的概率为：111111111115222222222216+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=，∴应该按照15:1的比例分金币），另一个问题是掷两个骰子，至少有一个6的概率（【解析】：1136）．这些问题基本上是很难通过实验来得出结论，毕竟情景比较复杂，这就促使人们要从概率的理论角度入手解决．费马在概率的定义方面做出了杰出的贡献，因为他引入了“等可能”这个概念．就是我们需要先认同一些基本的“等可能”的条件，然后再由此出发考虑复杂情况．第三阶段：古典概型有弊端，因为古典概型的必然要求是要把一个事件分解成若干等可能的基本事件，不过有些问题中这件事是做不到的．比如打靶问题．所以才有了几何概型这个概念．之后随着函数论的发展，我们用函数基础定义概率的时候我们就有了新的概率理论．后续的离散型随机变量说的就是这个阶段的问题．建议老师在一开始教学的时候强化概率的直观解释．比如：掷硬币模型，再比如：猜黑白（俗称手心手背）．其实这就是利用了概率均等的原理进行的．我们可以想一想，手心手背其实是很有效的一个等概率选取方式．另外，猜拳也是一个非常有效的等概率选取方式．这些概率其实挺难算的，不过我们可以让学生直观的理解概率的意义．同样的问题还有： 【趣题】1．甲乙两个人去公园，公园有10个景点，在这10个景点中两个人各自独立的选取5个，假定甲和乙同时出发，游览每一个景点的时间都是相同的，那么他们在最后一个景点相遇的概率是多少？【解析】下面有三种方法，老师在给学生讲本讲的时候可以讲法一，法二和法三供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，考虑甲最后在的一个景点，乙最后在任何一个景点的可能性相同，恰好在甲所在的景点的概率为110．法二：甲最后一个景点为i 号景点的概率都为110，乙最后一个景点为i 号景点的概率也为110()12310i =，，，，故他们最后一个景点为同一个景点的概率为11110101010⨯⨯=．法三：他们参观景点的所有顺序有551010A A 种，每种参观景点的顺序出现的可能性相同，故在最后一个景点相遇的情况有1441099C A A ，故所求概率为1441099551010C A A 1A A 10=． 2．华约的自招考题：4个人传球，每个人都等概率的传给其他人，由甲开始第一次传球，设n 为传球次数，n 次传球后球在甲手里的概率记为n p ，问当n 趋向于无穷的时候，n p 趋向于多少？【解析】下面有两种方法，老师在给学生讲本题的时候可以讲法一，法二供老师参考：法一：从概率意义的直观理解，因为每个人都等可能的传给其他人，所以球在甲手里的概率为14，传n 次球后球在甲手里的概率依然为14．法二：记n A 表示事件“经过n 次传球后，球在甲手中”，12n =⋅⋅⋅，，则有()10P A =，()()()111n n n n n P A P A A P A A +++=+()()1113n n n P A A p +==-． 所以1n p +与n p 的关系式为()1113n n p p +=-，12n =⋅⋅⋅，，① 设11()3n n p p λλ++=-+，对比得14λ=-．于是①式可以变形为1111434n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，从而14n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13-的等比数列，其首项为11144p -=-．故有1111443n n p -⎛⎫⎛⎫-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，111143n n p -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，12n =⋅⋅⋅，， ② 由②可得1111lim lim 1434n n n n p -→∞→∞⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 另外还可以介绍一些概率不能直观解释的例子：比如生日悖论：世界上任取50个人，他们至少有两个人生日在同一天的概率是多少？请见下图（转自维基百科）由此可见，当取到23个人的时候，概率已经超过了50%，选取50人的时候，概率应该在95%左右．还有一个例子：乒乓球体育比赛中规定：如果双方得分是10:10，那么一方至少要得12分才能获胜，也就是至少比对方多两分．那么这种“延球”制相对于没有延球制度，到底是对强者更有利，还是帮助弱者有更大的机会翻身呢？（【解析】延球制度对强者更有利；假设强者很强，则再比赛一局有可能强者胜也有可能弱者胜，但是再比赛两局或者比赛无穷多局，肯定是强者赢的概率更大），这些其实都是通过直观解释概率比较复杂的问题． 接下来我们可以定义事件：考点5：随机事件的概率一．事件1．必然现象与随机现象必然现象是在一定条件下必然发生某种结果的现象；随机现象是在相同条件下，很难预料哪一种结果会出现的现象．例子：判断以下现象是否为随机现象知识点睛。
9.1.1简单随机抽样(第一课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
（4）总体：这个水库里所有的鱼，个体：这个水库里的每一条鱼，适合用抽样调查；
练习巩固
练习2：判断下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？
(1)盒子里共有80个零件，从中选出五个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿
出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
(2)从20件玩具中一次性抽取三件进行质量检验；
普查
问题4：这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调查？
抽样调查
新知探究
思考1：什么是普查和抽样调查？你还能举出生活中使用它们进行调查的
例子吗？它们分别有什么好处呢？
普查
例如，准确掌握全国的人口数据，可以为科学制
定国民经济和社会发展规划及其他方针政策提供依据
.2020年，我国进行了第七次人口普查，对全国人口
②用电子表格软件生成随机数
例如：在电子表格软件的任意单元格中输入“=
(1，712)”，即可生成一个1—
712范围的整数随机数.这样产生的随机数可能会有
重复
新知探究
③用统计软件生成随机数
小贴士
除了上述软件以外，还有很多能够产生随机数的软件，
一般的抽签软件，如：抽签助手，抽签器等；
可节省成本.
机数，需要剔除重复编号并重新产生.
问题7：用简单随机抽样的方法抽取样本，样本量是否越大越好？
抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，在精度和费用两者间
进行权衡，并不一定是越大越好.
在简单随机抽样调查中，当样本量和总体一样大时，就是全面调查了.
练习巩固
辨析3：判断正误.
1.在总体规模比较大的调查中，抽样调查比全面调查更合理.
延，调查学生每天晨午晚体温
测试一批待收瓶装牛奶
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