单元法课后习题全部答案 王勖成

d2w = dx2
−
aπ 2 L2
sin
πx L
∫ = Π(w)
L EI
0
2
a2π 2 L2
sin 2
πx L
+
k a2 sin2 2
πx L
+
qa
sin
πx L
dx
=
EIa2π 4L3
4
+
kLa2 4
+
2L π
qa
∂Π =EIπ 4a + kLa + 2Lq =0 → a =− 4qL4
∂a 2L3 2 π
解：近似函数为
u(x)
=
N
i
(
x)ai
，不失一般性
余量为：
R(x)
=
A(u)
−
f
(x)
=
A(
Ni
(
x)ai
)
−
f
(x)
最小二乘配点法取权函数
w
j
= ∂∂a j A(Niai )δ (x − xk ) 其中j=1,...,n;
k=1,...,m
且m ≥ n
∫ 加权余量要求
Ω
w
j
Rd
Γ
δ
w
∂3w ∂y3
n
y
ds
−
∂(δ w)
Ω ∂y
∂3w ∂y3 dxdy
∫ ∫ ∫ =δ w Γ
∂3w ∂y3
ny
ds
−
Γ
δ
∂w ∂y
∂2w ∂y 2
ny ds
−
Ω
δ
∂2w ∂y 2
∂2w ∂y 2
dxdy
代入（1）化简，并利用：
= ∂w ∂n
∂w ∂x
nx
+
∂w ∂y
ny
aL − 2ax ，
w ′′ =
d 2w dx2
=
−2a
∫ = Π(w)
L 0
EI 2
4a2
+
k 2
a2 x2 (x
−
L)2
+
qax( x
−
L)dx
= 2EILa2 + ka2L5 − qaL3 60 6
∂Π ∂a
=4EILa + kaL5 30
− qL3 6
=0
→
a
=− 5qL2 120EI +
+
kw
+
q
=0
边界条件： d= 2w d= 2w 0 ， d= 3w d= 3w 0
dx2
dx2
dx3
dx3
=x 0=x L
=x 0=x L
分强制边界和自然边界。
补充题 试作加权余量发的最小二乘配点法，并给出所得到的求解方程系数矩阵的特点分析。 （最小二乘配点法思路是，利用使求解域内所选各点处误差平方的总和为最少的条件，去建 立求解试函数系数的方程。配点法是强迫余量误差在所选点上为 0，最小二乘配点法则是余 量在所选点上的误差，满足平方和最小。）
习题 1.6 两端简支弹性基础上的梁受均不载荷。
∫ = Π(w)
L
EI
0 2
d 2w dx2
2
+
kw2 2
+
qwdx
∑ （1）
选取满足边界条件
的三角级数近似解 w =
n i =1
ai
sin
iπ x L
，
w = a sin π x ，= w ′ L
d=w dx
aπ L
cos π x ， w ′′ = L
−
f
( xk
)]
m
m
∑ ∑ = =k
1= AT (N j )A (N i )ai − k
1
AT
(N
j)f
= Ka-P
(写成矩阵形式)
m
∑ = 因此， kij k= =1 AT (N j )A (N i ) k ji ， 系数矩阵对称，且无需积分。
复习题 1.7 自然边界条件强制边界条件的区别何在?为什么这样命名？对于一个给定的微分方程，如何 区分这两类边界条件？
δ
w
L
+
L 0
EI
d 4w δ dx4
wdx
0
0
= δΠ(w)
∫L 0
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
q= δ wdx
+
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
δ
w
L
0
0
∫L
0
EI
d 4w dx4
+
kw
+
q
δ
wdx
微分方程：
EI
d 4w dx4
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂y 2
dxdy
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂y 2
nx
ds
+
δ
Γ
w
∂3w ∂x∂y2
nx ds
∫ ∫ ∫ =
Ω
δ
∂2w ∂y 2
∂2w ∂x2
dxdy
−
Γ
δ
∂w ∂y
∂2w ∂x2
ny
ds
+
δ
Γ
w
∂3w ∂y∂x2
ny ds
∫ ∫ ∫ Ω= δ w ∂∂4yw4 dxdy
= R( L) 3
0= , R( 2L) 3
0 ，从而可以解出待定系数 a1, a2 。带入（1）式可以得到φ 。
配点法仅考虑了有限个点的局部特性，子域法则要求在有限个子域 Ωi 内残量的积分
∫ R(x)dx = 0 为零，子域的个数仍然取决于未知函数个数，通常选取各子域的并集为整个 Ωi
待求区域，一般情况可以选择各子域大小相同，但对于某些局部变化较复杂的区域，可以缩 小子域的大小，使得子域分布更合理。例如取子域为
EIπ 5 + kπ L4
w=
−
4qL4
πx sin ，
EIπ 5 + kπ L4 L
当x= L， 2
wmax =
− 4qL4 EIπ 5 + kπ L4
（2） 选取满足边界条件的幂级数近似解
w = x(L − x)(a1 + a2x + ....) 取一次 w = ax(L − x)
w= ′
dw= dx
+
∂4w ∂y 4
q ( x,
= D
y)
位移边界条件
=w w= , ∂w θ ∂n
加权余量法（事先满足强制边界条件 w = w ， ∂w = θ ）得到等效积分形式： ∂n
∫ ∫
Ω
δ
w
D0
∂4w ∂x4
+
2
∂4w ∂x 2 ∂y 2
+
∂4w ∂y 4
−
q dxdy
−
Γθ
δ
w
∂w ∂n
∫ ∫ Ω=1
{x | 0 ≤ x ≤ L / 2}, Ω=2
{x | L / 2 ≤ x ≤ L} ，则利用= R(x)dx Ω1
0= , R(x)dx Ω2
0，
可以求出待定系数 a1, a2 。
伽辽金法作为加权余量法的特殊形式，权函数选择为插值函数 N1, N2 ，
∫ 这里
N1
(
x)
= x − Lx23 , N
EI
d 2w dx2
δ
d 2w dx2
+
kwδ
w
+
qδ
wdx
∫ ∫ L 0
EI
ddx2= w2 dd2δx2w dx
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
L
EI
0
d 3w dx3
d
(δ w) dx
dx
0
∫ =
EI
d 2w dx2
d (δ w) dx
L
−
EI
d 3w dx3
思考题 1.8 泛函在什么条件下有极值？了解泛函是否有极值的意义何在？
= δΠ 0 且或δ 2Π > < 0 ， 泛函极值性对于判断解的近似性质有意义，利用它可以对解的
上下界做出估计。 思考题 1.9 什么是里兹法？通过它建立的求解方法有什么特点？里兹方法收敛性的定义是 什么？收敛条件是什么？ 里兹法：在某一函数空间寻找试探函数，利用加权值的独立变分性将该函数的驻值问题转化 为该函数关于权值的极值问题。其特点是：试探函数是全域的，解的精度依赖于试探函数的 选取，其收敛性有明确的结论。
−θ
ds
= 0 （1）
分部积分得
∫ ∫ ∫ Ω= δ w ∂∂4xw4 dxdy
Γ
δ
w
∂3w ∂x3
nx
ds
−
∂(δ w)
Ω ∂x
∂3w ∂x3 dxdy
∫ ∫ ∫ =δ w Γ
∂3w ∂x3
nx
ds
−
Γ
δ
∂w ∂x
∂2w ∂x2
nx ds
−
Ω
δ
∂2w ∂x2
∂2w ∂x2
dxdy
收敛性意义：当在 ∞ 维空间中选取试探函数，当试探函数的数目趋于 ∞ 时，利用里兹法得