2012年合肥一中自主招生数学试题详解

2012年合肥一中自主招生数学试题详解

一、选择题 1.C 解不等式组

可得2≤x ＜m,∵x 有2个整数解，∴x 为2和3；∴3＜m ≤4；固选C 。

2．B

∵圆锥底面半径为2㎝，∴圆锥底面周长为4π㎝，即扇形弧长为4π㎝。

∵圆锥母线长为3㎝，即扇形半径为3㎝，根据扇形弧长公式C=

1800r n π可得：4π=180

30

πn ，n=2400

。 ∴扇形半径为3㎝；圆心角为2400。

题目中提供的矩形中，第一个矩形即：6㎝×4㎝的矩形面积最小，但它不能画出要求的扇形。为什么呢？我们先看第二个矩形，之后你就会明白第一个为什么不行了。如图为第二个矩形，AD=DC=3㎝,DB=1.5㎝，∴∠BCD=300, ∠BDC=600,扇形的圆心角为2400，刚好符合要求。因此第一个矩形就不行。固选B 。

3.C 如上图可知。

4.A

如图：过M 、N 点分别作Y 轴和X 轴的垂线，交Y 轴、X 轴于B 、C 点。

、 设M 点坐标为（a,b ）,则N 点坐标为（-b,a ）。把两点坐标代入y=4

3

x+3 解方程组可得：a=2512,b=2584。tan ∠AON=a:b=7

1

。固选A 。 二、填空题。

5.（0，1）；（-2，1）

当x=0时，无论k 为何值，y 都等于1；当x=-2时，无论k 为何值，y 都等于1。 6.（9，-22） 如图，由图观察可知：以数字1为图形中心，边长为2的正方形右下角的数字是9，即（2+1）2

=9，这点的坐标为（1，-1）即： （2÷2，-2÷2）；边长为4

的正方形右下角的数字是25，即

（4+1）2

=25，这点的坐标为（2，-2）即：（4÷2，-4÷2）；那么边长为44的正方形右下角

(第2题图)

（第6题图）

的数字为（44+1）2

=2025，这点的坐标为（44÷2，-44÷2），即（22，-22）。2012在2025的左边第13个，所以2012的对应的点的坐标为（9，-22）。 7.2

3 过D 点作DE ⊥x 轴于E ，延长BC,交y 轴于F ，设S △ODE =m ,则S △OCF =m, S △OAB =9m= S △

OBF

,∵S △OBF =S △OCF + S △OBC ,∴9m=m+6,m=4

3,即2

1xy=4

3,xy=2

3,即k=2

3。

8.

34 如图，延长MN 、BC 交于F,不难证明△MND ≌△FNC, ∴MN=NF,MD=CF 。∵∠NMB=∠MBC, ∴MF=BF 。

设AM=a,则MD=CF=4-a,BF=8-a,MF=8-a,MN=2

1

(8-a)。在△MDN 中，MD 2+DN 2=MN 2, (4-a)2+22

=41(8-a)2

a 1=4(舍去)；a 2=3

4

9.15

如图，∵AC=10, ∴EC=5; ∵∠ACB=900, ∠ABC=300; ∴AB=20; ∵P 为A ’B’中点，∴CP=10; ∴P 点在以C 为圆心，以AC 为半径的圆上，当P 点转到P ’点时，EP 最长，即EP=15。 10.如上图。

设图①中每个小正方形的面积为5s ，则图②中每个小正方形的面积为4s 。正方形ABCD 的面积为40s ，那么正方形EFGH 的面积也是40s ，而图②中每个小正方形的面积为4s 。则正方形EFGH 在图②中应由40s ÷4s=10个小正方形组成。如果把小正方形的边长看为1，则正方形EFGH 的

面积为10，边长则为10，上图即所求。

(第8题图)

（第9题图）

(第10题②图)

B

C

B

11. 解：（1）设PB=x,PD=BD-PB=16-x ∵PF ⊥AD

∴在Rt △PFD 中，DF=DP ·cos ∠ADB=5

4

(16-x)

① 当⊙P 与⊙D 外切时：

情况一：当P 点在点O 的左侧时，PO=OB-BP=8-x ，这时PO+DF=PD

∴(8-x)+5

4

(16-x)= 16-x, 解得，x=6

情况二：当P 点在O 点的右侧时，PO=PB-OB=x-8,此时PO+DF=PD,

(x-8)+54(16-x)= 16-x,解得，x=3

28

②当⊙P 与⊙D 内切时： 情况三：PO=PB-OB=x-8 ∵PD ＞PF

∴PO-DF=PD(两圆的圆心距等于两圆的半径之差)

（x-8）-54(16-x)=16-x ，解得，x=7

92

情况四：当P 点在D 点的右侧时，PD=PB-BD =x-16, PO=PB-OB=(x-8),DF=DP ·cos ∠ADB=5

4

(x-16) PO-DF=PD(两圆的圆心距等于两圆的半径之差) (x-8)-5

4

(x-16)=x-16,解得，x=26

（2）5

78

如图：当P 点在BD 间移动时，PE+PF=FG=AH

AH 固定不变，所以当P 移到O 点时， PE+PF+PC 最小。在△BOC 中， sin ∠BCO=BC BO =AC AH =54,∴AH=5

48

PE+PF+PC= AH+OC=548+6=5

78

。

当P 点在D 右边移动时，PE+PF ＞AH ，PC ＞OC PE+PF+PC ＞AH+OC 。

(

(B