江苏省泰州市2017届高三数学考前模拟试卷及答案

2016～2017高三模拟考试

数学试题

(考试时间：120分钟 总分：160分)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）

1．已知集合2

{1,1,2,3},{|,3},A B x x R x =-=∈<则A B = ▲ ．

2．函数()sin(4)6

f x x π

=+

的最小正周期为 ▲ ．

3．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ． 4．某算法的伪代码如图所示，如果输入的x 值为32，则输出的y 值 为 ▲ ．

5．从1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则两个数的和是偶数的概率为 ▲ ．

6．若双曲线

22

22

1x y a b -=的离心率2=e ，则该双曲线的渐近线方程为 ▲ ．

7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，2

53S a =，则

10a = ▲ ．

8．将1个半径为1的小铁球与1个底面周长为2π，高为4的铁制圆柱重新锻造成一个大铁球，则该大铁球的表面积为 ▲ ．

9．若正实数,x y 满足2

210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．

10．如图，在由5个边长为1，一个顶角为60的菱形组成的图形中，

AB CD ⋅= ▲ ．

11．已知点,F A

是椭圆:

C 22

11612

x y +=的左焦点和上顶点，若点 P 是椭圆C 上一动点，则PAF ∆周长的最大值为 ▲ ．

12．已知函数3

()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2

()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．

13．在ABC ∆中，若120C =，tan 3tan A B =，sin sin A B λ=，则实数λ= ▲ ． 14．若函数2

2

()(1)(0)f x ax a x a a =++->的一个零点为0x ，则0x 的最大值为 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）

已知向量(1,)m =a ，(2,)n =b .

（1）若3m =，1n =-，且(λ⊥+)a a b ，求实数λ的值； （2）若5+=a b ，求⋅a b 的最大值．

16．（本题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB //CD ，CD AC ⊥，过CD 的平面分别与,PA PB 交于点,E F ． （1）求证：CD ⊥平面PAC ； （2）求证：//AB EF ．

第10题图

D

A

17．（本题满分14分）

如图，圆O 是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中,A B 两点在

O

上，,,,A B C D 恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在,,A B ,C D 四点处安装四盏照明设备，从圆心O 点出发，在地下铺设4条到,,,A B C D 四点线路,,,OA OB OC OD ． （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；

（2）求铺设的4条线路,,,OA OB OC OD 总长度的最小值．

18．（本题满分16分）

在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与 圆2

2

:4O x y +=交于点,A B ，与圆2

2

:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．

（1

）若AB =CD 的长； （2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．

19．（本题满分16分）

已知函数2

()2ln f x x x ax =+-，R a ∈．

（1）若函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若a =e ，解不等式：()2f x <；

（3）求证：当4a >时，函数()y f x =只有一个零点．

20．（本题满分16分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足11b =，22b =，

12

n n n n T b

T b ++=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在正整数n ，使得

1

1

n n n n a b a b +++-恰为数列{}n b 中的一项？若存在，求所有满足要

求的n b ；若不存在，说明理由．

2016～2017高三模拟考试

高三数学参考答案

一、填空题

1．{1,1}-； 2．

2

π

； 3．2； 4．5； 5．13；

6

．y =； 7．19； 8

．； 9

； 10．4-；

11．16； 12．04a <<； 13

．12

+； 14

1. 二、解答题

15. 解：（1）当3m =，1n =-时，(1,3)=a ，又(2,1)=-b ，

(1,3)(2,1)(12,3)λλλλ∴+=+-=+-a b ，

若(λ⊥+)a a b ，则(0)=λ⋅+a a b ，即(12)3(3)0λλ++-=，解得10λ=． ……………7分 （2）因为(1,)m =a ，(2,)n =b ，所以(3,)m n ++a b =， 因为5+=a b ，所以2

2

2

3()5m n ++=，则2

()16m n +=，

所以211

122()216644

mn m n ⋅⨯+≤+

+=+⨯=a b =， 故当2m n ==或2m n ==-时，⋅a b 的最大值为6． ……………14分 16. 证：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC CD ⊥，

又因为CD AC ⊥，所以CD ⊥平面PAC ． ……………7分 （2）因为AB //CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ， 所以//AB 平面CDEF ， ……………10分 又因为平面PAB 平面CDEF EF =，AB ⊄平面CDEF ，

所以//AB EF ． ……………14分

17. 解：（1）连接AB ，因为正方形边长为10米，

所以10OA OB AB ===，则3AOB π

∠=，所以10

3

AB π=

，………2分