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切线长定理(共33张PPT)
试用文字语言叙述你所发现的结论
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
《切线长定理》圆PPT-北师大版九年级数学下册
新知探究
若延长PO交⊙O于点C, 连接CA, CB, 你又能得出什么新的结论?
并给出证明．
CA=CB
证明:∵PA, PB是⊙O的切线，点A, B是切点,
B
∴PA = PB , ∠OPA=∠OPB．
．
P
又∵ PC=PC．
C
O
∴△PCA≌△PCB , ∴BC=AC．
A
新知探究
想一想 ：
反思:在解决有关圆的切线长问题时, A
2．这样的切线能画出几条?
A
3．如果∠P=50°， 求∠AOB的度 数．
O 130° B
50°P
新课导入
如何用圆规和直尺作出这两条切线呢?
A 作法:
1、连结OP,
2、以OP为直径作圆, 交圆O 于点
OO ·
P
A, B,
3、作直线PA, PB,
B
则PA, PB就是所求作的圆O的切
新知探究
切线长概念
解 ： 设AE=x, BF=y, CD=z，
A
x+y=15,
x=9,
则 y+z=8, 解得 y=6,
x+z=11,
z=2,
答:AE ，CD ，BF的长分别是9，2，6．
xx
F
y By
I． E
z
Dz C
课堂小结
切线的6个性质: （1）切线和圆只有一个公共点． （2）切线和圆心的距离等于圆的半径． （3）切线垂直于过切点的半径． （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点． （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心． （6）切线长定理．
解 : 设AF=x,则AE=x , ∴CD=CE=AC-AE=13-x, BD=BF=AB-AF=9-x． 由CD+BD=BC可得 13-x+9-x=14, 解得x=4． ∴ AF=4 cm， BD=5 cm， CE=9 cm．
北师大版九年级下册数学3.7【教学课件】《切线长定理》 (共22张PPT)
A
O
P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1、如图， PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一 条线段的长来表示？
A
2、思考：点P到⊙O的切线有几条？
O P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
3、既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，你能发现是什么关系呢？
A
D
C P
O
B
E
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中考 试题
1、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为弧AB
1 上一点，设∠APB= 求证：∠ACB= 90 2
A
.
O
C
P
B
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中考 试题
2．如图，PA、PB 切⊙O于A、B，PO 交AB 于E，下列等式
E
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问题3：如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三 角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？
O 图8
O
O
问题4：如果有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料 ，并且使圆的面积尽可能最大？
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问题5：请同学们先在课堂练习本上作出有关已知⊙O的四条切线，如图9， 再互相交流与讨论四条切线围成的四边形（即圆的外切四边形）有什么性质， 发现结论并加以证明。 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
A
O
P
B 图2
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O
P
B 图2
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
1、如图， PA和PB分别与⊙O相切于点A、B ，点P到⊙O的切线长可以用哪一 条线段的长来表示？
A
2、思考：点P到⊙O的切线有几条？
O P
B 图2
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3、既然点P到⊙O的切线长可以用两条不同的线段的长来表示，那么这两条 线段之间一定存在着某种关系，你能发现是什么关系呢？
A
D
C P
O
B
E
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中考 试题
1、如图，过⊙O外一点作⊙O的切线PA、PB，A、B为切点，C为弧AB
1 上一点，设∠APB= 求证：∠ACB= 90 2
A
.
O
C
P
B
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中考 试题
2．如图，PA、PB 切⊙O于A、B，PO 交AB 于E，下列等式
E
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问题3：如图8中，作出三角形三条切线后与三角形各边都相切的圆叫做三 角形的内切圆，图8中存在切线长定理吗？
O 图8
O
O
问题4：如果有一张三角形的铁皮，如何在它的上面截下一块圆形的用料 ，并且使圆的面积尽可能最大？
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问题5：请同学们先在课堂练习本上作出有关已知⊙O的四条切线，如图9， 再互相交流与讨论四条切线围成的四边形（即圆的外切四边形）有什么性质， 发现结论并加以证明。 结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
A
O
P
B 图2
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人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
2.5.3切线长定理课件(13张ppt)
切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂 直关系提供了理论依据。必须掌握并能灵活应用。
A
思考：已知⊙O切线PA、PB， E A、B为切点，把圆沿着直线OP 对折,你能发现什么?
O
M B
D
P
连结OA、OB ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) 试用文字语言叙述 你所发现的结论 ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 连结切点A、B，又有什么新结论？ PA = PB PA、PB与⊙O分 ∠OPA=∠OPB 别相切于点A、B OP⊥AB且AM=BM AD=BD
切线长定理为证明线段相等、角相等、弧相等、 垂直关系等提供了理论依据。
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
切线长问题辅助线添加方法 （1）分别连接圆心和切点； （2）连接两切点； （3）连接圆心和圆外一点.
本节内容
2.5.3
制作者：铜仁市万山区大坪中学 田 令
1、什么是圆的切线？ ①直线与圆有唯一公共点； ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ③经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线 问题1: 经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会 有怎样的情形？
C P O · O · D
O ·
P
P
问题2: 经过圆外一点P，如何作已知⊙O的切线？可 以作几条？
B
Hale Waihona Puke 例2. 如图，AD是⊙O的直径，点C为⊙O外一点， CA和CB是⊙O的切线，A和B是切点，连接BD. 求证： CO∥BD.
分析 连接AB，因为AD为直径，那么∠ABD = 90° ，即BD⊥AB.因此要证CO∥BD，只要证 CO⊥AB即可. 证明 连接AB. ∵ CA，CB是⊙O的切线，点A，B为切点， ∴ CA = CB， ∠ACO =∠BCO. ∴ CO⊥AB. ∵ AD是⊙O的直径， ∴ ∠ABD= 90°， 即 BD⊥AB. ∴ CO∥BD.
初中九年级下册数学《切线长定理》PPT精品课件
切线长定理
2020/11/20
1
A
O
P
2020/11/20
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
2
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
3
A
1
O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
4
A
O
P
B
• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
2020/11/20
6
2020/11/20
7
o．
o．
2020/11/20
8
三角形外接圆
C
2020/11/20
1
A
O
P
2020/11/20
B
过圆外一点作圆的切线，这点 和切点之间的线段的长，叫做这点 到圆的切线长。
2
A
O
P
B
• 切线是直线，不能度量；
• 切线长是线段的长，这条线段的两个端 点分别是圆外一点和切点，可以度量。
2020/11/20
3
A
1
O
M的两条切线，
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到三 角形任意一边的垂直距离。
2020/11/20
9
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
谢谢大家！本文档为精心编制而成，您可以在下载后自由修改和打印，希望下载对您有帮助！
2020/11/20
10
有什么关系？ 又OA=OB，OP=OP， 地理课件：
历史课件：
∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
∴PA=PB，∠1=∠2
2020/11/20
4
A
O
P
B
• 切线长定理：
• 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长相等，这一点和圆心的连线平分两条切 线的夹角。
2020/11/20
5
切线长定理的拓展
A
D
O HC
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
（2）图中有哪些线段相等(除半径 外)、弧相等？
2020/11/20
6
2020/11/20
7
o．
o．
2020/11/20
8
三角形外接圆
C
切线长定理_课件
练习 如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切 ⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝_____．
（1）3 厘米
练习 答案：25°
练习
补充题
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和 B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB 于点D、E． 试证： ⑴ △PDE 的周长是定值； ⑵ ∠DOE 的大小是定值． 答案： （1）PA+PB；
根据这个性质，你能确定圆心吗？
思考
如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用 料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点， 并且这个点到三条边的距离相等． 所以圆心I是角平分线的交点．
I
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心．
练习 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20cm，则 △ABC的周长为_4__0_c_m___．
提示：BD=BF，CE=CF
练习 如图，四边形ABCD四条边都与圆O相切，切点分别为E、F、 G、H，且AD=8，BC=18，求四边形ABCD的周长_5__2_____．
提示：切线长相等
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长， 叫做这点到圆的切线长．
思考
如图，已知直线PA，PB分别与⊙O相切，切点分别是A，B．在 半透明的纸上画出这个图形，沿着直线OP将图形对折． 猜想：线段 PA 与 PB 有什么关系？ ∠APO和∠BPO有什么关系？
思考
如图，已知直线PA，PB分别与⊙O相切，切点分别是A，B．在 半透明的纸上画出这个图形，沿着直线OP将图形对折．