2020届北京密云区高三数学一模试卷含答案

密云区2019-2020学年第二学期高三第一次阶段性测试数学试卷 2020.4一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则=A. B. C. D.2．已知复数，则= A. B. C. D.3. 设数列是等差数列，则这个数列的前7项和等于 A.12 B.21 C.24 D.364. 已知平面向量(4,2)=a ，(,3)x =b ，a //b ，则实数x 的值等于 A ．6 B ．1 C ．32 D ．32-5. 已知,x y ∈R ，则“x y <”是“1xy<”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6．如果直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交，则点(,)M a b 与圆C 的位置关系是 A ．点M 在圆C 上 B ．点M 在圆C 外 C ．点M 在圆C 内 D ．上述三种情况都有可能7．函数()sin()f x x ωϕ=+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为A ．51[π,π]44k k -+-+，k ∈Z B ．51[2π,2π]44k k -+-+，k ∈ZC ．51[,]44k k -+-+，k ∈ZD ．51[2,2]44k k -+-+，k ∈Z{|0}M x x =>{}11N x x =-≤≤M N I [1,)-+∞(0,1)(]1,0[0,1]2i1iz =+||z 1i +1i -22{}n a 13576, 6.a a a a ++==Oxy第7题图18. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 A ．8 B ．83C ．822+D ．842+9. 已知斜率为的直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，则斜率的取值范围是A. B. C. D.10. 在正方体AC 1中，E 是棱CC 1的中点，F 是侧面BCC 1B 1内的动点，且A 1F 与平面D 1AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是 A ．点F 的轨迹是一条线段 B ．A 1F 与BE 是异面直线 C ．A 1F 与D 1E 不可能平行D ．三棱锥F -ABD 1的体积为定值二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知52()x x-的展开式中，含项的系数为_______.（用数字作答）．12．双曲线221y x -=的焦点坐标是_________，渐近线方程是_______．13. 在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人．在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院．如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为______，第_______天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．14. 函数2()=cos f x x 的最小正周期是_________，单调递增区间是_______．15. 已知函数21,0,()(2),0.x x f x f x x -⎧-=⎨->⎩≤若关于x 的方程3()2f x x a =+有且只有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是________．k l x y C 4:2=A B AB (1,)(0)M m m >k )(,1-∞(,1]-∞()1+∞，[1,)+∞3x 第8题图第10题图三、解答题: 本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 16.（本小题满分14分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=． （Ⅰ）已知 ，计算ABC ∆的面积；请从①a =2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（Ⅰ）补充完整，并作答．注意，只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分． （Ⅱ）求cos cos B C +的最大值．17.（本小题满分14分）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，从人居环境改善、饮食习惯、社会心理健康、公共卫生设施等多个方面开展，特别是要坚决杜绝食用野生动物的陋习，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求．某小组通过问卷调查，随机收集了该区居民六类日常生活习惯的有关数据．六类习惯是：（1）卫生习惯状况类；（2）垃圾处理状况类；（3）体育锻炼状况类；（4）心理健康状况类；（5）膳食合理状况类；（6）作息规律状况类．经过数据整理，得到下表：（Ⅰ）从小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者的概率；（Ⅱ）从该区任选一位居民，试估计他在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯方面，至少具备2类良好习惯的概率；（Ⅲ）利用上述六类习惯调查的排序，用“=1k ξ”表示任选一位第k 类受访者是习惯良好者，“=0k ξ”表示任选一位第k 类受访者不是习惯良好者（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差123456,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系．18.（本小题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD - 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=o ，PAD ∆ 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，M ，N 分别是线段PD 和BC 的中点. （Ⅰ）求直线CM 与平面PAB 所成角的正弦值；（Ⅱ）求二面角D AP B --的余弦值； （Ⅲ）试判断直线MN 与平面 P AB 的位置关系，并给出证明． 19.（本小题满分14分）已知函数()е(1)xf x ax =+，a ∈R ．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))M f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）判断函数()f x 的零点个数．20.（本小题满分14分）已知椭圆C ：的离心率为，且过点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）点是椭圆上异于短轴端点A ，B 的任意一点，过点作轴于，线段的中点为．直线与直线交于点，为线段的中点，设为坐标原点，试判断以OD 为直径的圆与点M 的位置关系．21.（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的首项为0，公差为a ，*N a ∈；等差数列{}n b 的首项为0，公差为b ，b ∈*N ．由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ，与数表*M ：记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j c ，其中,=+i j i j c a b (,1,2,3,)i j =L ． 记数表*M 中位于第i 行第j 列的元素为,i j d ，其中,1+=-i j i j d a b(1,,)∈∈**N N i b i j ≤≤．如：1,212=+c a b ，1,213=-d a b ． （Ⅰ）设5=a ，9=b ，请计算2,6c ，396,6c ，2,6d ；（Ⅱ）设6a =，7b =，试求,i j c ，,i j d 的表达式（用,i j 表示），并证明：对于整数t ，若t 不属于数表M ，则t 属于数表*M ；（Ⅲ）设6a =，7b =，对于整数t ，t 不属于数表M ，求t 的最大值．22221x y a b+=(0)a b >>32A (0,1)C P P PQ y ⊥Q PQM AM 1y =-N D BN O NABCDM第18题图密云区2019-2020学年第二学期高三第一次阶段性测试数学试卷参考答案及评分标准二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11．10- 12．0±（，；y x =± 13．16；2114．π；π[+π,π],2k k k -∈Z 15.(,3)-∞． 备注：若小题有两问，第一问3分，第二问2分．三、解答题：共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 在ABC ∆中，0πA <<，所以π3A =． 若选择①和②方法一将a =2b =代入222b c a bc +-=化简得2230c c --=．所以1c =-（舍），或3c =．因此11sin 232222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=． 方法二由正弦定理得sin sin a bA B=，2sin B =，因此sin B = 在ABC ∆中，因为a b >，所以A B >． 因此B 为锐角，所以cosB =．所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=因此1sin 22ABC S ab C ∆==． 若选择①和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．将a =2c b =代入222b c a bc +-=解得b =所以c =所以11sin2226ABC S bc A ∆===． 若选择②和③由sin 2sin C B =得2sin 22sin R C R B =⨯（R 为ABC ∆外接圆的半径）， 所以2c b =．因为2b =，所以4c =．所以11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯= （Ⅱ）解：因为π3A =，所以2π3B C +=．所以2πcos cos cos cos()3B C B B +=+- 2π2πcos cos cos sin sin 33B B B =++31πsin cos sin()226B B B =+=+． 因为2π03B <<，所以π5π66B <<． 所以当π3B =时，cos cos B C +有最大值1.17. （本小题满分14分）（Ⅰ）解：记“选取的这份试卷的调查结果是膳食合理状况类中习惯良好者”为事件A.有效问卷共有 380+550+330+410+400+430=2500（份）， 受访者中膳食合理习惯良好的人数是4000.65260⨯=人，所以，()P A =260=0.1042500． （Ⅱ）解：记事件A 为“该区卫生习惯良好者”，事件B 为“该区体育锻炼状况习惯良好者”，事件C 为“该区膳食合理习惯良好者”，由题意，估计可知()=0.6()=0.8()=0.65P A P B P C ，，，设事件E 为“该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯”． 由题意知，()()()()E ABC ABC ABC ABC =U U U所以事件E 的概率()()()()()P E P ABC P ABC P ABC P ABC =+++=()()()()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C P A P B P C +++=0.60.80.35+0.60.20.65+0.40.80.65+0.60.80.65⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =0.168+0.078+0.208+0.312=0.766所以该居民在“卫生习惯状况类、体育锻炼状况类、膳食合理状况类”三类习惯中，至少具备2个良好习惯的概率为0.766． （Ⅲ）解：615432>D D D D D D ξξξξξξ=>>>．18．（本小题满分15分）（Ⅰ）解：取AD 中点为O ，连接OP ，OC 和AC ．因为PAD ∆为等边三角形， 所以PO OD ⊥．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 因为OC ⊂平面ABCD ，DMxz所以PO OC ⊥．在菱形ABCD 中，AD CD =，60ADC ∠=o ， 所以ADC ∆为正三角形，因此OC AD ⊥．以O 为原点建立空间直角坐标系，如图所示．则(0,0,0)O ，(100)A ，，，(2B，(0C ，(1,0,0)D -，P，1(2M -，N ．所以1(,22CM =-u u u u r，AB =u u u r，(AP =-u u u r ． 设平面PAB 的法向量()x y z =，，m ，由00.AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r ，m m得00.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令x =1,1)=-m ．设直线CM 与平面PAB 所成角为θ，则有||sin |cos ,|||||CM CM CM θ⋅=<>===⋅u u u u ru u u u r u u u u r m m m所以直线CM 与平面PAB． （Ⅱ）解：因为,OC AD OC PO ⊥⊥，所以OC ⊥平面P AD ．所以OC =u u u r是平面P AD 的法向量，则有cos ,||||OC OC OC ⋅<>===⋅u u u r u u u ru u u r m m m ，因为二面角B AP D --的平面角为钝角， 所以二面角B AP D --的余弦值为． （Ⅲ）解：结论MN //平面PAB ．因为3()22MN =-u u u u r ，所以3(1)()1022MN =-+-⨯=u u u u r g m ．因此MN ⊥u u u u rm ．又因为直线MN ⊄平面PAB ， 所以MN //平面PAB ．19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：因为()()e1xf x ax =+，x ∈R ， 所以()'()e1xf x ax a x =++∈R ，．'(0)1k f a ==+，又因为(0)1f =，所以切线方程为=(+1)1y a x +.（Ⅱ）解：因为()'()e 1xf x ax a x a =++∈∈R R ，，，（1）当0a =时因为'()e 0,xf x x =>∈R ，所以()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间. （2）当0a ≠时令'()0f x =，则11x a=--． ① 当时，()f x 与'()f x 在上的变化情况如下：所以()f x 的单调减区间是()a -∞，-1-，单调增区间是(1,)a--+∞． ②当时，()f x 与'()f x 在上的变化情况如下：所以()f x 的单调增区间是()a -∞，-1-，单调减区间是(1,)a--+∞．综上所述，当0a =时，()f x 的单调增区间是(),-∞+∞，无单调减区间；当0a >时，()f x的单调减区间是1()a -∞，-1-，单调增区间是1(1,)a--+∞；当0a <时，()f x 的单调增区间是1()a -∞，-1-，单调减区间是1(1,)a--+∞． （Ⅲ）解：方法一因为()()e1,xf x ax x =+∈R ，所以令()0f x =，得10ax +=. （1）当0a =时，方程无解，此时函数()f x 无零点； （2）当0a ≠时，解得1x a=-， 此时函数()f x 有唯一的一个零点.综上所述，当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点. 方法二（1）当0a =时因为()e 0xf x =>，所以函数()f x 无零点；（2）当0a >时因为10a <-1-，(0)10f =>，()f x 在区间1(1,)a--+∞单调递增， 所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+<--+=-<，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+<．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a >时，()f x 有且仅有唯一的零点． （3）当0a <时因为111(1)е()0a f a a ----=->，111(1)е0a f a a--=<， 并且()f x 在区间1(1,)a --+∞单调递减，所以()f x 在区间1(1,)a--+∞内有且仅有唯一的零点；若1(,1)x a ∈-∞--，则11(1)10ax a a a+>--+=->，又因为e 0x >，所以()()e 10xf x ax =+>．即函数()f x 在区间1()a-∞，-1-内没有零点．故当0a <时，()f x 有且仅有唯一的零点．综上所述：当0a =时，函数()f x 无零点；当0a ≠时，函数()f x 有一个零点.21．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：根据题意得2221,2.b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,1,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆M 的方程为2214x y +=． （Ⅱ）解：方法一 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ，则00x ≠，01y ≠± ， 并且220014x y +=， 0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 所以00000000(,1)(,1)2(1)22(1)x x x y MD y y y y =---=----u u u u r ． 因为00(,)2x MO y =--u u u u r ， 所以000000()(1)2(1)2x y x MD MO y y y =⨯-++-u u u u r u u u u r g 200000(1)4(1)x y y y y =-⨯++-． 因为220014x y +=，所以220014x y =-．所以200000(1)(1)01y MD MO y y y y =--⨯++=-u u u u r u u u u r g ． 因此MD MO ⊥u u u u r u u u u r ． 所以点M 在以OD 为直径的圆上． 方法二 点M 在以OD 为直径的圆上．设点00(,)P x y ， 则220014x y +=，并且0(0,)Q y ，00(,)2x M y ． 因此000012(1)2AM y y k x x --==． 所以直线AM 的方程为002(1)1y y x x -=+． 令1y =-，解得001x x y =-． 所以00(,1)1x N y --，00(,1)2(1)x D y --． 设E 为线段OD 的中点，则001(,)4(1)2x E y --． 所以2ME =2200001()()4(1)22x x y y -++-=22200020(21)1()16(1)2x y y y -++-． 设以OD 为直径的圆的半径为r ， 则222020116(1)4x r OE y ==+- ． 所以22222200002200(21)11()16(1)16(1)42x x y r ME y y y --=-+-+-- 222000020()11()4(1)42x y y y y -=⨯+-+- 因为220014x y +=，所以220014x y =-．所以22222000020()11(1)()0(1)42y y r ME y y y --=-⨯+-+=-． 因此||r ME =． 所以点M 在以OD 为直径的圆上．22．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，数列{}n a 的通项公式为55=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为99=-n b n ． 得，,(55)(99)5914=-+-=+-i j c i j i j ，则2,650=c ，396,62020=c ． 得，,(55)[9(1)9]595=--+-=--i j d i j i j ，则2,649=-d ． （Ⅱ）证明：已知6a =，7b =，得数列{}n a 的通项公式为66=-n a n ，数列{}n b 的通项公式为77=-n b n ．所以，,6(1)7(1)6713=-+-=+-i j c i j i j ，,∈∈**N N i j ． 所以，,(66)[7(1)7]676i j d i j i j =--+-=--，17,,∈∈**N N i i j ≤≤． 所以，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ．若*t M ∈，则存在,6,∈∈*N N u u v ≤，使67=-t u v ．因此，对于整数t ，考虑集合0{|6,,6}==-∈N M x x t u u u ≤， 即{t ，6t -，12t -，18t -，24t -，30t -，36}-t ．下面证明：集合0M 中至少有一元素是7的倍数．反证法：假设集合0M 中任何一个元素，都不是7的倍数， 则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1，2，3，4，5，6． 又因为集合0M 中共有7个元素，所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同，不妨设为126,6--t u t u ，其中1212,,6∈<N u u u u ≤．则这两个元素的差为7的倍数，即21126(6)6()---=-t u t u u u ． 所以120-=u u ，与12u u <矛盾．所以假设不成立，即原命题成立． 即集合0M 中至少有一元素是7的倍数，不妨设该元素为0006,,6-∈N t u u u ≤． 则存在∈Z s ，使00067,,6t u s u u -=∈N ≤，即00067,,6,=+∈∈N Z t u s u u s ≤． 由已证可知，若∈t M ，则存在,∈∈N N u v ，使67=+t u v ． 而t M ∉，所以s 为负整数，设v s =-，则*N v ∈，且00067,,6,=-∈∈*N N t u v u u v ≤． 所以，当6a =，7b =时，对于整数t ，若t M ∉，则*t M ∈成立． （Ⅲ）解：下面用反证法证明：若对于整数t ，*t M ∈，则t M ∉．假设命题不成立，即*t M ∈，且t M ∈．则对于整数t ，存在,∈∈N N n m ，,6,∈∈*N N u u v ≤，使6767=-=+t u v n m 成立．整理，得6()7()u n m v -=+．又因为∈N m ，∈*N v ，所以7()06-=+>u n m v 且u n -是7的倍数． 因为,6∈N u u ≤，所以6-u n ≤，所以矛盾，即假设不成立． 所以，对于整数t ，若*t M ∈，则t M ∉． 又由第二问，对于整数t ，t M ∉，则*t M ∈． 所以t 的最大值，就是集合*M 中元素的最大值． 又因为67,,6*N,N t u v u v u =-∈∈≤， 所以*max max ()667129t M ==⨯-⨯=．。