斯卡定理-帕普斯定理的证明技巧

用面积法证明Pascal 定理的方法与技巧

[帕斯卡定理] 如图，用一条6-闭折线依次连接圆上的六个点A B C D E F 、、、、、，其中

AB DE G BC EF H CD FA I ，，，则G H I 、、三点共线。

E

F

[证1]首先，连接GI ，设'GI

BC H GI EF H ，；

E

F

图（1）

E

F

图（2）

顺次连接圆上的6个相邻点，得到圆的接凸六边形AEBDFC；

F

E

F

连接G I 、与圆周上的六点A B C D E F 、、、、、，设

'

'

'GH GH HI H I

，，则 'GBC

GEF

IBC IEF S S GH HI

S S ，，从而''

'

GBC IEF

IBC GEF

S S GH H I

HI GH S S 。

GBC IEF GBC IEF IFC GBE IFC GBE

IBC GEF IFC GBE IBC

GEF

GEF IBC S S S S S S S S BG BC FI FE S S S S S

S

FI FC BG BE S S

BG BC FI FE CI CF EG EB BG FI FC BG BE EG EF CI CB

BC FI FC

FI FE BG BE

CI CF EG EF

EG EB CI CB

1，

可知，

1'，即得

'1'GH H I HI GH ，即'

'GH GH HI H I

。

由于'H H 、都是线段GI 上的点，可知'H H 、同向分线段GI 的比相等，

故'H H 、为同一点（重合），从而证明了G H I 、、三点共线。

F

E

F

[总结]对圆上的6点，过每两点作直线，共可得26

C 15m

条不同的直线；这些直线中每

两条有一个交点（含平行线的交点在无穷远处，以及多条直线交于一点的情形），可得

215C 105n 个交点（如果重合的交点只计一次，至多4

63C 651k

个不同交点。因为

圆上4点所确定的6条直线，其交点有1点在圆，有2点在圆外，有4点在圆上）。 从不在圆上的45个点中任意取一点， 都能得到一条过该点以及另外两个点的两条帕斯卡线，共可得至多1

45

2C 330条帕斯卡线。

[帕斯卡定理的更多证明方法如下]

E

H

G

H

H

[帕普斯定理]

B C

A

C

C A

O

C F A

B D E