第一讲：对数学的.

对“数学是模式的学科”的理 解

1、这个观点首先由怀特海提出； 2、数学模式的涵义 数学模式就是按照某种理想化的要求 （或实际可运用的标准）反映或概括 地表现一类或一种事物关系结构的数 学形式。举例（“3”、点线面、函数、
微积分、公理化方法、归纳类 比、、、，模式是数学研究的对象。

3、数学模式与数学模型（理解）

作业： 谈谈对“数学是什么”的认识。 （论文格式）
（二）数学的特点？

交流讨论数学的特点。
抽象性、严谨性、应用的广泛 性

1、抽象性体现在哪些地方？
抽象性：

1、研究的对象—模式； 2、研究的方式—思辨；
例：上下山；红酒和白酒
3、研究的方法—抽象的方法 4、抽象的形式 5、抽象的层次性。


一个基点： 三个维度：科学素养、人文精神、道 德品质 六个层次： 数学本身的文化； 数学的美学价值； 数学知识的历史背景； 数学中的辩证因素； 数学知识的运用； 数学的课堂环境。


数学思想：从具体的数学内容中 提炼出来的对数学本质的认识， 在数学活动中被普遍使用，是建 立数学理论和解决数学问题的指 导思想。（普适性） 数学方法：研究数学数学问题过 程中所采用的手段、途径、方式、 等，它通过一些可操作的规则达 到某种预期的目的。（举例）




4、数学模式的层次； (1)对数学模式进行抽象可以得到新的 模式；（？举例） (2)数学模式按使用范围的大小可以分 为三个层次： A、一个数学系统的模式； B、解决一类数学问题的模式；(数学 思想） C、解题的模式（方法模式）




5、模式是一种形式化的思想材料。 内容而言，具有一定的原型（发现）；形式 而言，并非客观现实的真实存在，是思想的 产物，是人们运用数学符号依据一定的逻辑 原则进行刻画的结果（发明的）。 例：法国哥尼斯堡七桥问题。 6、数学研究的主要任务： 发现模式、建构模式、扩充或发展模式。 ？对于“数学是模式的科学”这一论断，你
有何思考？


1、数学是模式科学决定了数学的抽 象性（形式化思想材料） 2、数学是发展而非停滞的。 3、寻求模式。解决完具体问题之后 不应停止，而要再走一步，获得普遍 的结果，提炼出一般模式。数学上的 “问题延伸”的教学原理就在此。 例：三角形的内角和；勾股定理；二 元一次方程组的解；A=｛a,b｝的子 集。

思考：数学严谨性对数学教学的
启示




2、数学严谨性对数学教学的启示： A、数学结论准确无误；思考、证明过程必 须言必有据； B、培养学生的理性精神，多质疑。（例： 根号2是无理数、数环若含非零元素，则是 是无限集） C、严谨和直观创造相结合。直观创造在于 发现结论；严谨保证结论的正确。“数学冰 冷的美丽变成学生火热的思考过程”，重视 知识的产生、形成过程、证明题的思路探求。 （教学设计：数学归纳法的应用、抛物线、 同底数幂相除。。。）


反映出老师的数学观——数学先验论： 他们认为数学是独立于主体而客观存 在。讲概念时，直接呈现结论；讲方 法时，习惯让学生背诵方法的程序 （解方程）。数学知识已经存在，学 生只要记住结论或程序，不需要个人 去发现数学原理，只须知道怎样用就 行了。（重结果轻过程-馒头的故事） 例：多边形的内角和定理（先验论观 点下的教学）、数学归纳法的应用、 函数连续性等的教学。




数学模型：针对具体的数学问题或对象，从 中抽象出的数学结构关系式。 模式是一类事物的关系结构，具有“普适 性”。 例：金属热胀冷缩时，长度变化与温度变化 成正比。通过实验测定：某铁棒t1 ＝0℃， l1 ＝ 10米 t2 ＝10 ℃， l2 ＝10.05米。求t ＝50 ℃时， 铁棒的长度。 先求出铁棒的长度l与时间t的函数关系 l ＝ 10+0.005 t y=kx + b (k ≠ 0）、函数 、关系 ？举例说明：数学模式与数学模型。



例）
思考：强弱抽象之间的关系？



高中正弦、余弦函数的基础上： 定义： c(x )和 s(x) 是R 到R的函数： ⅰ 任意R上的x、 y c(x-y)=c(x)c(y)+s(x)s(y) ⅱ（0， ∏ ）上的任意x s(x) ＞0 ， s(∏) =0 则称：s(x) 为正弦函数， c(x)为余弦 函数

思考：数学广泛的应用性对数学
教学的启示：


3、数学广泛的应用性对数学教学的 启示： 数学学科中的应用； 其他学科中的应用； 生活中的应用。
知识在应用中显示价值和活力；其实 这也是“培养学生数学能力的过 程。”。（知识、技能、能力）例： 数学归纳法。（数学、生活中的应用）

有两堆数目同样多的棋子，两人 玩游戏。每人在其中一堆棋子中 取任意颗棋子，但不能在两堆中 同时取。规定：取得最后一颗棋 子者获胜（取棋子时，一先一后 依次取）。问：谁获胜？为什么？


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反映出部分老师的数学观——数 学固化论：认为一切数学包括数
学求解、数学概念都是固定的程 序或算法。实际教学中采用大量
机械训练，熟记解题套路。学生 表现：思维僵化，按套路来做题 目；题目稍有变化，无从下手。 （有理数的加减法、解方程、非 负数的和。）



案例B：高一学生测试 （1）证明：同一个圆中，同弧所对 的圆心角度数等于圆周角度数的两倍； （2）推导二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的顶点坐标公式（高考试题：证明两 角和与差的余弦公式） 学生只知道结论，却不知道结论怎样 证明，即知道结果，不知道过程。 “傻瓜式”学习。 反映出老师的数学观——数学先验论





1、寺庙一和尚每天早上9点从山上下 山到镇上，然后在镇上住宿一晚，第 二天早上9点沿同一条道路上山。那 么，这和尚能否在同一时刻经过山上 同一地方呢？ 2、现有两坛酒：红酒和白酒。先用 一勺子从白酒坛中舀一勺白酒倒在红 酒坛中，充分搅拌；再用同样的勺子 舀一勺酒倒在白酒坛里。如此重复， 第N次时，白酒坛里的红酒多还是红 酒坛里的白酒多？（直观、数学语言 描述）
4、作为教育学科数学的特点




A、现实背景与形式模式互相统一； （创设问题情景：例子——结果；举 例） B、解题技巧与程序训练相结合； （重视学生的理解、注重启发） C、简约的数学语言与丰富的数学思 想相交融；（思想与方法） D、智育与德育相统一。 ？数学教育中如何进行德育教育

数学的广泛运用性：


宇宙之大，粒子之微，火箭之速， 化工之巧，地球之变，生物之谜， 日用之繁，无处不用数学。—— 华罗庚 任何科学只有当它成功地运用数 学时，它才算达到完整的程度， 才算是真正发展了。——马克思




现在数学应用面临的尴尬境地： 1、教育部曾作的调查，“你在哪里见过数 学知识？” ； “书本上，考试中”； 2、高考试题中很少有“实际应用题”出现； 3、一些数学传统应用的例子引起异议：放 水问题；狗跑步问题等。 4、学生应用的现状：测量旗杆的高度、香 港的案例、打小鸟的问题等。 对数学应用的进一步分析。（知识、技能、 能力）——含义、举例、特点



科学素养：培养学生严谨的作风，实 事求是的科学态度，独立思考、勇于 创新、不怕困难的科学探索精神； 道德品质： A、培养学生的爱国主义思想，民族 自尊心，为祖国富强，人民富裕而艰 苦奋斗的献身精神； B、培养学生的辨证唯物主义世界观， 从而树立科学的人生观； C、“正值、诚实、坚韧、勇敢的品 质” ——辛钦

思考：
数学的特点对数学的教学有何启 示？（大家交流讨论）
提示：从数学的三个特点分别进 行阐述。


数学抽象性对数学教学的启示


1、数学抽象性对数学教学的启示：（理解、 思考等方面存在困难） A、尽量创设问题情境，尽可能找到模式的 原型，有利于进行抽象；（例：导数、函数、 连续性、反证法、数学归纳法） B、自然语言与数学语言的转化；（例：无 界、极限、连续、解题、对称。） C、加强学生抽象思维能力的培养（1、构 建抽象思维的思想基础——方法与过程；2、 数学的理解能力（概念、定理、符号等）； 3、理解数学逻辑推理方法和逻辑规律，加 强逻辑论证的训练）
第一讲：对数学的认识
（一）数学是什么？


1、研究的必要性； 2、区分“什么是数学”与“数 学是什么？ 3、对这个问题的分析。（大家 交流讨论）
“数学是什么？”



1、它是一个历史概念 2、审视问题的视角： 数学学科本身来看：科学 数学学科结构来看：模型 数学表现形式来看：语言 数学过程来看：推理证明 从社会价值来看：工具、技术、 艺术、文化
（三）、作为教育学科数学的 特点（中学数学的特点）

？数学科学，数学学科的含义。 ？作为教育学科数学除了具有数 学的特点之外，还有有何特点？



数学科学作为一门科学，按照公理化 体系进行构建，以解决问题为驱动力， 是数学知识的学术形态。 数学学科是选择数学科学中最基础最 核心的内容，根据受教育对象的特点 进行“教学法”加工所形成的一门课 程，它是数学知识的教育形态。（例： 高等数学） 数学教学的任务：数学的学术形态转 化为教育形态（举例：定理、证明— —来源、证明思路分析、应用）
（五）数学教师的数学观
案例A：高一学生测试： （1）解方程 (x+1)2+2=0; (x+1)2 - 2=0； (2)证明：lx-1l +lx-2l≥1 (3)写出方程2x-y+1=0的两个不同解； (4)A2 =8,B2 =80,A和B是正数，求A与 B之间的自然数； （5）求反函数 f(x+1) 学生表现出：思维僵化——按程序做题， 套用题型。

新课程中提到：重视数学的德育 价值。学生在数学探究中，养成 独立思考和勇于质疑的习惯，同 时也学会与他人的合作交流，建 立严谨的科学态度和不怕困难的 顽强精神。新教材中，编入了 “数学史、”“数学文化”等内 容
（四）、数学的价值

交流讨论：数学有哪些价值？
（四）、数学的价值



科学价值——（形式化的思想材 料—语言；思想方法—思想框架） 应用价值——其他学科和生活中 的运用 人文价值——（思维体操、科学 素养、数学的美、道德品质）

2、严谨性体现在哪些地方？
2、严谨性体现在哪些地方？


A、逻辑推理； B、结论精准； C、公理化体系。 但数学也有很多不严谨的地方。 （举例）

3、广泛的应用性体现在哪些地 方？



广泛应用性的原因？ 1、自然学科、社会学科、人文 学科中的广泛应用；（其他学科 中的应用） 2、生产、生活和社会中的应用； 3、数学内部的应用 “数学成为科学的语言；从幕后 走到台前。”（名言）
自然数的公理(Penao公理)



1、0是自然数； 2、每一个自然数都有后继数； 3、0不是任何自然数的后继数； 4、若a和b的后继数相等，那么a 和b相等； 5、若一个有自然数组成的集合S 含有0，又如果S 含有任一数a， 它一定也含有a的后继数，则 S 含有全部自然数。


3、理想化抽象：由实际事物或 现象引出抽象概念的方法，其中 包括对于真实事物或现象的简化 与完善化（用数学语言直接描述 所研究的对象） （？举例）
（一）、数学是什么？
亚里士多德：数学是量的科学；（公 元前4世纪） 恩格斯：数学是研究现实世界的空间 形式与数量关系的科学；（19世纪80 年代） 19世纪晚期，康托尔：数学是绝对自 由发展的学科，只要它服从思维的目 的；“数学=逻辑”。 20世纪80年代，怀特海：“数学是模 式的科学”。 怎样理解“数学是模式的学科”？
抽象的方法

1、弱抽象：从一类事物中抽取出本质属性 而舍弃其他属性的过程。 思维特点：特殊到一般；归纳推理 例：数字3；图形；几个定义。（？举例） 2、强抽象：在原来的数学结构中增添新的 性质形成新的数学概念的过程。思维特点： 一般到特殊，演绎推理。 思考：对应——映射——函数? 函数——连续函数——可微函数？ （？举