北京市城六区2019届高三期末数学(理)解答题分类汇编之解析几何含答案
【精品高考数学试卷】2019北京高三数学二模(理)分类汇编--解析几何+答案
2019高三二模分类汇编—解析几何1.若直线l ：12x ty at=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，经过坐标原点，则直线l 的斜率是(A) -2 (B) -1 (C)1 (D)22.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a = ，1l 与2l 之间的距离为3.已知圆22:(1)4C x y -+=与曲线1y x =-相交于,M N 两点，则线段MN 的长度为 4.（本小题满分13分）已知椭圆222:14x y C b+=的左顶点 A 与上顶点B．(Ⅱ)求椭圆C 的方程和焦点的坐标；(Ⅱ)点P 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴相交于点Q ，若PAQ ∆为等边三角形，求点P 的横坐标．5.椭圆22124:1x y C b+=与曲线2C 关于直线y x =-对称，1C 与2C 分别在第一、二、三、四象限交于点1234,,,.P P P P 若四边形1234PP P P 的面积为4，则点1P 的坐标为_______, 1C 的离心率为__ ．6.设关于,x y 的不等式组0,20,10x x y mx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m 的取值范围是 . 7.（本小题13分）已知点()1,2P 到抛物线()2:20C y px p =>准线的距离为2.（Ⅰ）求C 的方程及焦点F 的坐标；（Ⅱ）设点P 关于原点O 的对称点为点Q ，过点Q 作不经过点O 的直线与C 交于两点,A B ，直线,PA PB 分别交x 轴于,M N 两点.求MF NF ⋅的值.8.以椭圆22:154x y C +=在x 轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为 ；此双曲线的渐近线方程为9.（本小题满分14分）已知抛物线2:2W y px =的准线方程为1x =-，焦点为F ，F 为抛物线上异于原点O 的一点。
(Ⅰ) 若5AF =，求以线段OA 为直径的圆的方程；(Ⅱ)设过点F 且平行于OA 的直线l 交抛物线W 于,B C 两点，判断四边形OABC 能否为等腰梯形？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由。
北京市六城区2019届高三一模数学(理)分类汇编之导数解答题
【西城】 18．（本小题满分13分）设函数2()e 3x f x m x =-+，其中∈m R ．（Ⅰ）当()f x 为偶函数时，求函数()()h x xf x =的极值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点，求m 的取值范围．18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由函数()f x 是偶函数，得()()f x f x -=，即22e ()3e 3x x m x m x ---+=-+对于任意实数x 都成立，所以0m =. ……………… 2分 此时3()()3h x xf x x x ==-+，则2()33h x x '=-+.由()0h x '=，解得1x =±. ……………… 3分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-上单调递增. ……… 5分 所以()h x 有极小值(1)2h -=-，()h x 有极大值(1)2h =.……………… 6分（Ⅱ）由2()e 30xf x m x =-+=，得23ex x m -=.所以“()f x 在区间[2,4]-上有两个零点”等价于“直线y m =与曲线23()ex x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点”. …………… 8分对函数()g x 求导，得223()e xx x g x -++'=. ……………… 9分由()0g x '=，解得11x =-，23x =. ……………… 10分 当x 变化时，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(2,1)--，(3,4)上单调递减，在(1,3)-上单调递增. ………… 11分又因为2(2)e g -=，(1)2e g -=-，36(3)(2)e g g =<-，413(4)(1)e g g =>-， 所以当4132e em -<<或36e m =时，直线y m =与曲线23()e x x g x -=，[2,4]x ∈-有且只有两个公共点. 即当4132e em -<<或36e m =时，函数()f x 在区间[2,4]-上有两个零点…… 13分【东城】（18）（本小题 13 分）设函数2()(2)ln f x ax a x x =+--的极小值点为0x . （I ）若01x =，求 a 的值()f x 的单调区间；（II ）若001x <<，在曲线()y f x =上是否存在点P ，使得点P 位于X 轴的下方？若存在，求出一个 点P 坐标，若不存在，说明理由. （18）（共13分）解：（Ⅰ）()f x 定义域为(0,)+∞.212(2)1(21)(1)'()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x+--+-=+--==.由已知，得(1)0f '=，解得1a =. 当1a =时，(21)(1)'(),x x f x x+-=当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以()f x 的递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,).+? 所以1a =时函数()f x 在1x =处取得极小值.即()f x '的极小值点为1时a 的值为1. ............................6分 （II ） 当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方，理由如下：由（I ）知(21)(1)'(),x ax f x x +-=当0a ≤时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞单调递减，()f x 不存在极小值点；当0a >时，令(21)(1)'()0x ax f x x +-==，得1x a=.当1(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 在区间1(0,)a 上单调递减； 当1(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间1(,)a +∞上单调递增.所以11()ln 1f a a a=+-是()f x 在(0,)+∞上的最小值.由已知，若001x <<，则有101a <<，即1a >.当1a >时，ln 0a >，且101a <<，110a->. 所以1()0.f a>当001x <<时，曲线()y f x =上所有的点均位于x 轴的上方.故当001x <<时，曲线()y f x =上不存在点P 位于x 轴的下方. ...........13分【海淀】(18)（本小题满分14分） 已知函数2()ln(1)f x x x ax =+-.(I)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当0a <时，求证：函数()f x 存在极小值； (Ⅲ)请直接写出函数()f x 的零点个数． 解：（Ⅰ）的定义域为因为所以切点的坐标为因为所以切线的斜率，所以切线的方程为 （Ⅱ）方法一：令因为且，所以，，从而得到在上恒成立所以在上单调递增且，所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，取得极小值，问题得证方法二：因为当时，当时，，所以当时，，所以所以，，在区间的变化情况如下表:所以时，函数取得极小值，问题得证（Ⅲ）当或时，函数有一个零点 当且时，函数有两个零点【朝阳】18．（本小题满分13分）已知函数ln()()ax f x x=(R a ∈且0)a ≠. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =-时，求证：()1f x x ≥+； （Ⅲ）讨论函数()f x 的极值． 18． (本小题满分13分) 解：（Ⅰ）当1a =时，ln ()x f x x =．所以21ln ()xf x x -'=． 因为(1)1,(1)0f f '==，所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-．……………….3分（Ⅱ）当1a =-时，ln()()x f x x-=． 函数()f x 的定义域为(,0)-∞． 不等式()1f x x ≥+成立⇔ln()1x x x-≥+成立⇔2ln()0x x x ---≤成立. 设2()ln()g x x x x =---((,0))x ∈-∞，则2121(21)(1)()21x x x x g x x x x x--+-++'=--==．当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：所以()(1)g x g ≤-．因为(1)0g -=，所以()0g x ≤，所以ln()1x x x-≥+．………………………………………………………………….8分 （Ⅲ）求导得21ln()()ax f x x -'=. 令()0f x '=，因为0a ≠可得ex a=． 当0a >时，()f x 的定义域为()0,+∞.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极大值e ()ef a =，无极小值． 当0a <时，()f x 的定义域为(),0-∞，当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：此时()f x 有极小值e ()ef a =，无极大值．……………………………………………….13分【丰台】18．（本小题13分）已知函数3211()(2)e 32x f x x ax ax =--+.（Ⅰ）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当e a ≤时，求证：1x =是函数()f x 的极小值点.解：（Ⅰ）因为，所以，故，令，得，所以单调递增区间为； 令，得，所以单调递区间为．（Ⅱ）由题可得.① 当0a ≤时，对任意，都有恒成立，0a =R x ∈()(2)e xf x x =-()(1)e xf x x '=-()0f x '>1x >(1,)+∞()0f x '<1x <(,1)-∞()(1)(e )xf x x ax '=--(0,+)x ∈∞e 0x ax ->所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意.② 当0e a <≤时，设，依然取.则，令，得，所以在上单调递减，在区间上单调递增， 所以.因为0e a <≤，所以min ()(1ln )0g x a a =-≥（当且仅当=e a 时，等号成立，此时1x =）.所以对任意(0,1)(1,)x ∈+∞，都有恒成立.所以当时，；当时，. 所以函数在处取得极小值，符合题意. 综上①②可知：当e a ≤时1x =是函数()f x 的极小值点.【石景山】18.（本小题13分）设函数()1x f x e ax =-+，0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）当1x <时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求a 的最大值．解：（Ⅰ）()e 1=-+xf x ax Qa e x f x -='∴)(， a e f -='∴)1(，由题设知(1)0f '=，即0=-a e ，解得e a =．经验证e a =满足题意。
2019届北京市各区高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集及答案解析
北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n+；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n+．【解析卷】北京市各区2019届高三数学理科期末试卷【压轴类题】汇集【海淀】20．（本小题满分13分）设n 为不小于3的正整数，集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i n Ω=∈=，对于集合n Ω中的任意元素12(,,...,)n x x x α=，12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-（Ⅰ）当3n =时，若(1,1,0)α=，请写出满足3αβ*=的所有元素β（Ⅱ）设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=，求αβ*的最大值和最小值；（Ⅲ）设S 是n Ω的子集，且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，，有1n αβ*≥-成立，求集合S 中元素个数的最大值.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)（Ⅱ）记12(,,,)n x x x α= ，12(,,,)n y y y β= ，注意到{0,1}i x ∈，所以(1)0i i x x -=，所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++- 12nx x x =+++ 12ny y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=，所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1，n 个量的值为0.显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++- 1122n n x y x y x y n ≤++++++= ，当(1,1,,1)α= ，(0,0,,0)β= 时，αβ，满足n ααββ*+*=，n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- 1122()n n n x y x y x y =-+++ 注意到只有1i i x y ==时，1i i x y =，否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1，n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个，当n 为偶数时，n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)n nαβ== 个个时，满足n ααββ*+*=，且2nαβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时，且1i i x y =，这样的元素i 至多有12n -个，所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个，1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+= 个时，满足n ααββ*+*=，12n αβ-*=.所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ，当n 为偶数时，αβ*的最小值为2n ，当n 为奇数时，12n αβ-*=.（Ⅲ）S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ，{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈ 显然1212S S S S S ==∅，集合1S 中元素个数不超过1n +个，下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ，则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ，βα≠因为1n αβ*≥-，所以,i j y y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言，在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x ，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211nn C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ，则1T 中共1n +个元素，对于任意的1T α∈，n β∈Ω，1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤，记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==，1t x =，,t i t j ≠≠记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤，显然2,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.记12S T T = ，S 中的元素个数为21n n ++，且满足,S αβ∀∈，αβ≠，均有1n αβ*≥-.综上所述，S 中的元素个数最大值为21n n ++.【东城】(20)（本小题14分）对给定的d *∈N ，记由数列构成的集合11Ω(){{}1,,}n n n d a a a a d n *+===+∈N .（Ⅰ）若数列{}Ω(2)n a ∈，写出3a 的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω()d ，若2d ≥.求证：存在整数k ，使得对Ω()d 中的任意数列{}n a ，整数k 不是数列{}n a 中的项；（Ⅲ）已知数列{}n a ，{}n b ()d ∈Ω，记{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n A B .若11n n a b ++≤，求证：n n A B ≤.（20）（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{}Ω(2)n a ∈，即2d =，1 1.a =由已知有21123a a d =+=+=，所以23a =±，3222a a d a =+=+，将23a =±代入得3a 的所有可能取值为5,1,1,5.--..............................4分（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列:{}()1()n n a d a md m ∈Ω±∈Z 若数列则具有的形式.，①当1n =时，101a d =⋅+，因此1n =时结论成立.②假设当n k k *=∈N （）时结论成立，即存在整数0m ，使得001k a m d =±成立.当1n k =+时，1000001(1)1k a m d d m d +=±+=+±，10(1)1k a m d +=+±，或10(1) 1.k a m d +=-+±所以当1n k =+时结论也成立.由①②可知，若数列{}Ω()n a d ∈，n n a *∈N 对任意，具有1()md m ±∈Z 的形式.由于n a 具有1()md m ±∈Z 的形式，以及2d ≥，可得n a 不是d 的整数倍.故取整数k d =，则整数k 均不是数列{}n a 中的项..............................9分（Ⅲ）由1n n a a d +=+可得：22212.n n n a a a d d +=++所以有22212n n n a a a d d +=++，222112n n n a a a d d --=++，2221222n n n a a a d d ---=++，2222112.a a a d d =++以上各式相加可得22112n n a d n S d +-=+，即22221111..2222n n n n a b nd nd A B d d d d ++++=-=-同理当11n n a b ++≤时，有22+1+1n n a b ≤，由于d *∈N ，所以22+11n n a b +≤，于是222211112222n n a b nd nd d d d d ++++--≤，.n n A B ≤即成立.............................14分【朝阳】20.（本小题满分13分）已知12,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是由正整数组成的无穷数列，对任意n *∈N ，n a 满足如下两个条件：①n a 是n 的倍数；②15n n a a +-≤.（Ⅰ）若130a =，232a =，写出满足条件的所有3a 的值；（Ⅱ）求证：当11n ≥时，5n a n ≤；（Ⅲ）求1a 所有可能取值中的最大值.20.（本小题满分13分）（Ⅰ）3a 的值可取27,30,33,36..…………3分（Ⅱ）由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅，对于任意的n ，有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时，15(1)n a n a ≤-+，即5(1)4n a n n ≤-++，即61n a n ≤-.则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数，所以当14n a ≥-时，有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >，依以上所证，这样的n 的个数是有限的，设其中最大的为N .则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立，因为N a 是N 的倍数，故6N a N ≥.由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时，5n a n ≤.…………8分（Ⅲ）由上问知1155a ≤，因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数，所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤，280a ≤，185a ≤.则1=85a ,2=80a ,3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =,963a =,1060a =,当11n ≥时，5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85.………13分【丰台】20．（本小题13分）将m n ⨯阶数阵111212122212,,,,,,,,,n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 记作{}i j m n a ⨯（其中，当且仅当,i s j t ==时，i j st a a =）.如果对于任意的1,2,3,,i m = ，当12j j <时，都有12i j i j a a <，那么称数阵{}i j m n a ⨯具有性质A .（Ⅰ）写出一个具有性质A 的数阵34{}i j a ⨯，满足以下三个条件：①114a =，②数列1{}n a 是公差为2的等差数列，③数列1{}m a 是公比为12的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A 的数阵{}i j m n a ⨯的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m n ⨯阶数阵，记作数阵{}i j m n b ⨯.试判断数阵{}i j m n b ⨯是否具有性质A ，并说明理由.20．（共13分）解：（Ⅰ）4,6,8,102,3,5,71,9,11,12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（答案不唯一） (4)分（Ⅱ）数阵{}i j m n b ⨯具有性质A .只需证明，对于任意的1,2,3,,i n = ，都有(1)i j i j b b +<，其中1,2,3,,1j n =- .下面用反证明法证明：假设存在(1)pq p q b b +>，则(1)(2),,,p q p q mq b b b ++ 都大于(1)p q b +，即在第q 列中，至少有1m p -+个数大于(1)p q b +，且(1)(1)(1)2(1)1(1)p q p q q q b b b b +-+++>>>> .根据题意，对于每一个(1)(1,2,,)t q b t p += ，都至少存在一个t i q a {}(1,2,3,,)t i m ∈ ，使得(1)t i q t q a b +<，即在第q 列中，至少有p 个数小于(1)p q b +.所以，第q 列中至少有11m p p m -++=+个数，这与第q 列中只有m 个数矛盾.所以假设不成立.所以数阵{}i j m n b ⨯具有性质A ....………….13分【西城】20．（本小题满分13分）设正整数数列12 ,,,(3)N A a a a N > ：满足i j a a <，其中1i j N <≤≤.如果存在{2,3,,}k N ∈ ，使得数列A 中任意k 项的算术平均值均为整数，则称A 为“k 阶平衡数列”.（Ⅰ）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？（Ⅱ）若N 为偶数，证明：数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .（Ⅲ）如果2019N a ≤，且对于任意{2,3,,}k N ∈ ，数列A 均为“k 阶平衡数列”，求数列A 中所有元素之和的最大值.20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；数列1,5,9,13,17是4阶平衡数列.………………3分（Ⅱ）若k 为偶数，设k =2m ()m *∈N .考虑1,2,3,,k 这k 项，其和为(1)2k k S +=，所以这k 项的算术平均值为(1)2122S k m k ++==，此数不是整数.…………5分若k 为奇数，设k =2m +1()m *∈N .考虑1,2,3,,1,1k k -+ 这k 项，其和为(1)12k k S +'=+，所以这k 项的算术平均值为(1)111221S k m k k m '+=+=+++，此数不是整数.故数列 1,2,3,,A N ：不是“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .………8分（Ⅲ）在数列A 中任取两项,()s t a a s t ≠，对于任意{2,3,,1}k N ∈- ，在A 中任取与,s t a a 相异的k -1项，并设这k -1项的和为0S .由题意，得00,s t S a S a ++都是k 的倍数，即00,(,)s t S a pk S a qk p q +=+=∈Z ，因此()s t a a p q k -=-，即数列中任意两项的差s t a a -都是k 的倍数，其中{2,3,,1}k N ∈- .因此所求数列A 的任意两项之差都是2,3,,1N - 的公倍数.………………9分如果数列A 的项数超过8，那么213287,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6,7的倍数，即213287,,,a a a a a a --- 均为420的倍数（注：420为2,3,4,5,6,7的最小公倍数），所以81213287()()()42072940a a a a a a a a -=-+-++->⨯= ，所以8129402940a a >+>，这与2019N a ≤矛盾，因此数列A 至多有7项.………………11分如果数列A 的项数为7，那么213276,,,a a a a a a --- 均为2,3,4,5,6的倍数，即213276,,,a a a a a a --- 均为60的倍数（注：60为2,3,4,5,6的最小公倍数），又因为72019a ≤，且1237a a a a <<<< ，所以6201960a -≤，52019260a -⨯≤， ，12019660a ⨯≤-，所以1672019(201960)(2019660)12873a a a ++++-++-⨯= ≤.当且仅当201960(7)159960i a i i =--=+（其中1,2,,7i = ）时，167a a a +++ 取到最大值12873.验证知此数列为“k 阶平衡数列”，其中{2,3,,}k N ∈ .如果数列A 的项数小于或等于6，由2019N a ≤，得数列A 中所有项之和小于或等于2019612114⨯=.综上可得：数列A 的所有元素之和的最大值为12873.………………13分【石景山】20.（本小题13分）将1至2n 这2n 个自然数随机填入n n ⨯方格的2n 个方格中，每个方格恰填一个数（*2,n n ∈N ≥）．对于同行或同列的每一对数，都计算较大数与较小数的比值，在这2(1)n n -个比值中的最小值，称为这一填数法的“特征值”．（Ⅰ）若2n =，请写出一种填数法，并计算此填数法的“特征值”；（Ⅱ）当3n =时，请写出一种填数法，使得此填数法的“特征值”为1n n +；（Ⅲ）求证：对任意一个填数法，其“特征值”不大于1n n +．20.（本题（Ⅱ）（前两问答案不唯一，请酌情给分）（Ⅲ）不妨设A 为任意一个填数法，记此填数法的“特征值”为()C A ,考虑含n +1个元素的集合2222{1,2}B n n n n n =--- ，，，，易知其中必有至少两个数处于同一行，设为212x x n <≤…7分也必有至少两个数处于同一列，设为212y y n <≤.①若211max(,)1x y n n -+≥则有222111()max(,)1n n n C A x y n n n +<-+≤≤（因为33+1n n >）.②若211max(,)1x y n n <-+，即211x y n n ==-，则22x y ≠，222min(,)1x y n -≤．所以22222min(,)1(1)(1)1()(1)xy n n n n C A n n n n n n n -+-+==---≤≤.即不论何种情况，总有1()n C A n +≤.…13分。
北京市城六区2019届高三期末数学(理)解答题分类汇编之三角函数含答案
【海淀】15．（本小题满分13分） 已知函数()s()cos22f x aco x x π=--（Ⅰ）比较()6f π和()2f π的大小；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.解：（Ⅰ）因为π1(),622a f =- π()12f a =+ 所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >，所以3022a +>，所以ππ()()26f f >（Ⅱ）因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+- 设sin ,t x = ππ[,]22x ∈-，所以[1,1]t ∈-, 所以221y t at =+-,其对称轴为4at =-当14at =-<-，即4a >时，在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-，即04a <≤时，在4a t =-时函数取得最小值218a --【东城】(15)（本小题13分）在△ABC 2sin cos sin .c A B a C = （Ⅰ）求B ∠的大小；2cos ABC a A (Ⅱ)若的面积为△，求的值.解:sin sin sin cos sin 2ABC a C c A a C B c A ==(Ⅰ)在△中，由正弦定理得所以，=0B <∠<π又，=.4B π∠所以 .............................5分21sin ,.24S =ABC ac a c π==(Ⅱ)因为的面积所以△22282,.2b a a a b =+-⋅⋅⋅=由余弦定理所以，222cos10A ==所以 .............................13分【朝阳】15.（本小题满分13分）在ABC △中，已知312,cos 413A C π==，13.BC = （Ⅰ）求AB 的长；（Ⅱ）求BC 边上的中线AD 的长. 15. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由12cos 13C =，02C π<<，所以5sin 13C =.由正弦定理得，sin sin AB BCC A =，即5sin =13sin 2C AB BC A =⋅= .……… 6分（Ⅱ）在ABD △中，3cos cos()42226B C C C π=π--=+=. 由余弦定理得，222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅,所以2AD 216913172292)+25242264=-⨯⨯=. 所以29AD =. ……………… 13分 【丰台】15．（本小题13分）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3a =，b =，1cos 3B =. （Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求ABC △的面积. 15.（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC 中，因为3a =，b =，1cos 3B =， 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， ……………….2分可得2230c c --=， ……………….4分所以3c =，或1c =-（舍）． ……………….6分（Ⅱ）因为1cos ,(0,)3B B =∈π，所以sin B ==.所以ABC △的面积11sin 33223S ac B ==⨯⨯⨯=. …………….13分 【西城】15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，3a =，b =2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）试比较B ∠与C ∠的大小． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=， ……………… 2分得3sin A =3sin A =……………… 4分解得cos A = ……………… 6分（Ⅱ）由(0,π)A ∈，得sin A ==. ……………… 7分因为2B A =，所以21cos cos22cos 13B A A ==-=.……………… 8分 所以222sin 1cos B B =-=……………… 9分 又因为πA B C ++=， 所以c o s c o s ()c o s c o ss i n n C A B A B A =-+=-+.……………… 11分 所以c o s c o s B C >.又因为函数cos y x =在(0,π)上单调递减，且,(0,π)B C ∈，所以B C ∠<∠. ……………… 13分【石景山】15. （本小题13分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π=+>><ωϕωϕ的部分图象如图所示. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设()()cos g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2π上的最小值.15．（本小题13分）解：（Ⅰ）由图可得1,A =4233T ππ=-=π，所以2,1T =πω=. 当3x π=时，1)(=x f ，可得sin()13π+ϕ=，||,.26ππϕ<∴ϕ=()sin()6f x x π∴=+.（Ⅱ）()()cos sin()cos sin cos cos sin cos 666g x f x x x x x x x πππ=-=+-=+-1cos sin()26x x x π=-=-. 0,2663x x ππππ∴--≤≤≤≤.当66x ππ-=-，即0=x 时，)(x g 有最小值为21-.。
北京市各区2019届高三期末数学(理)分类汇编之选择压轴题(含答案)
“L ”形骨牌国际象棋棋盘【海淀】（8）已知集合{(,)|150,150,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N . 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B∈∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）25（B ）49（C ）75 （D ）99 【西城】8. 一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则 （A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌 （C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌（D ）前三个答案都不对【东城】(8)地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E (单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为1E 和2E ，则12E E 的值所在的区间为 (A)(1,2) (B) (5,6) (C) (7,8) (D)(15,16)【朝阳】8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为 A.2 3C.13D.14【丰台】8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分 别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为C 1A 1（A（B ）1 （C（D ）2【石景山】8.已知函数()21,0,log ,0,ax x f x x x +⎧=⎨>⎩≤则下列关于函数()()1y f f x =+的零点个数的判断正确的是A. 当0a >时，有4个零点；当0a <时，有1个零点B. 当0a >时，有3个零点；当0a <时，有2个零点C. 无论a 为何值，均有2个零点D. 无论a 为何值，均有4个零点 【昌平】（8）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是A ．B ．C ．5D ．8【大兴】（8）A ，B 两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比(与2017年6月比较)增长率如下表：根据此表中的数据，有如下四个结论： ①A 1车型销量比B 1车型销量多；②A 品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%； ③B 品牌三种车型车总销量环比增长率可能为正；④A 品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B 品牌三种车型总销量环比增长率． 其中正确的结论个数是（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【房山】C 123（8）已知点(4,0),(6,0)A B ，点P 在圆22(4)4x y +-=上运动，M 为线段BP 的中点，则使△OAM （O 为坐标原点）为直角三角形的点M 的个数为 （A ）1 （B ）2（C ）3（D ）4【通州】8.设函数()y f x =图象上不同两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线的斜率分别是A k ，B k ，规定(),A Bk k A B ABϕ-=（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数sin y x =图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和1-，则(),0A B ϕ=； ②存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数； ③设A ,B 是抛物线2y x =上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设A ,B 是曲线xy e =（e 是自然对数的底数）上不同的两点，则(),1A B ϕ>．其中真命题的个数为 A. 1 B.2 C.3 D. 4。
北京市城六区2019届高三期末数学(理)解答题分类汇编之解析几何Word版含答案
【海淀】18.(本小题满分14分)2X 2椭圆y =1的左焦点为F,过点M(_2,0)的直线I与椭圆交于不同两点A,B2(I)求椭圆的离心率；(n)若点B关于X轴的对称点为B'求AB'的取值范围•解：(I) 因为a2 =2,b2 =1，所以a=』2,b=1,c = 1 所以离心率(n)法一：设A(X i,y i), B(X2, y2)显然直线I存在斜率，设直线I的方程为y =k(x 2)-2X * 2 _1所以T y =，所以(2k21)x2 8k2x 8k2-2=0y k(x 2).■- -8 -16k2 .0,所以k2■：-2 所以厂 2丄kX1 X2 =2k2 18k2 -2X1 X2 22k2 1因为B'(X2, *2)所以|AB'|-.(X1 -X2)2 (y1 y2)222 2 8—16k因为(x. - x2) (x1 x2) 4X t X2二--- 2 --------- 2(2k2 +1)24k y1^-y2=k(x 亠2)亠k(x2亠2)=k(x、x2)亠4 2——2 k *1所以AB'I二2.28 -16k216k2_ 8—(2k2 1)2 (2k2 1)2「(2k21)2 _2k2 1因为。
时2，所以呻法二：设A(X i,y i),B(X2,y2)当直线I 是X轴时,|AB'| = 2 2 当直线I不是X轴时，设直线I的方程为x=ty-2所以'2X V2=1 2 22y '，所以(t2 2)y2-4ty 2 =0,所以x t y「2y i y24tt2 22"t2 2因为B'(X2, -丫2)所以|AB'|「(为一刈)2• (y1 y2)2因为(X1 -X2)2乂％ -ty2)2“J -y2)_t2[(y1汀-4汨2]72F池因为 t 2 2，所以 |AB\ (•• 2,2 . 2) 综上，AB'|的取值范围是(•. 2,2 .. 2]. 【东城】(19)(本小题13分)2 2已知椭圆c:笃• y 1过点P (2,1).a 2(I)求椭圆C 的方程，并求其离心率;(n )过点P 作x 轴的垂线I ，设点A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上(点A 不在直线I 上)，点A 关于I 的对称点为A ，直线AP 与C 交于另一点B .设0为原点，判断直线AB 与直线OP 的位置关系，并说明理由 (19)(共 13 分)所以 ABi Wt 8；「「2)2粥各2")解：(1)由椭圆方程=1过点(21)2，可得a =8.的方程2 2… x y为 1 ，离心率8 276 43 °d2 盲.(n)直线AB与直线0P平行•证明如下:设直线PA:y-1=k x-2 , PB:y-1--k x-2 ,设点A的坐标为(x A, y A),点B的坐标为(x B, y B).'2 2xy1, 2 2 2由< 828k(1—2k) 16k(1—2k) 8k —8k — 2 则2 x A 2, x A 2 2 —4k2+1 4k2+1 4k2+14k2 1由 y A 二阪-2k 1,有 y Af kx A x B - 42冇，因为A 在第四象限，所以k = 0，且A 不在直线OP 上.所以直线AB 与直线OP 平行................ 13分【朝阳】19.(本小题满分14分)2x过椭圆W:y 2 =1的左焦点F 1作直线11交椭圆于 代B 两点，其中A (0,1)，另一条2过F 1的直线J 交椭圆于C, D 两点(不与 代B 重合)，且D 点不与点 0, - 1重合•过F 1作x 轴的垂线分别交直线 AD ，BC 于E ,G .(I)求B 点坐标和直线11的方程； (n)求证：|EF 1 = FG .19.(本小题满分14分)y = x 1解：(I)由题意可得直线11的方程为y=x ，1.与椭圆方程联立，由x 22W 1 41 可求B(,)........... ・4•分33(n)当12与x 轴垂直时，C, D 两点与E ,G 两点重合，由椭圆的对称性，|EF 」=FG| •当12不与x 轴垂直时，设 C X 1,y 1 , D X 2,y 2 , I 2的方程为 y =k(x • 1) ( k = 1)同理x B =.28k 8k -224k 1，所以X A -X B-16k 4k 2 1yA ~ y B1X A -X B 22y X2 10 - k)为1(k-1Y E Y G3x14(1-灯你2 1 (3x1 4) 7 X1 1X2 (3X1 4)(1-k) l2x1x23(x 1 x )2 41X (3X1 4)把X)+x2 2 ，x1x2 2 代入到2X-|X2 3( X)x2) 4 中,2k +1 2k +1y 二k(x 1)由x2_ 消去22—y2 =1y，整理得2k2 1 x22 24k X 2k —2 = 0.则x +x2-4k22k2 -2由已知,则直线2k2 1 X1X2 =X20,AD的方程为y_1令x = -1 ,得点E的纵坐标X2Y E = _1.把J?二k X2 1 代入得X2 1 (1-k)X2 X24由已知，X1 ，则直线BC的方程为y3Y1 1X i-^(x -)，令x=—1，得点G4 3的纵坐标y G=出―X^^ •把y^ k X1 1代入得Y G X i 1 (k-1)43(x,肓)3X1 4X2-4k22X1X2 g X2)4 = 2 2k2 ,1-4k2【丰台】18.Y E Y G(本小题2k2—23站)"0.=0，即EF」=FG .14分)14分已知椭圆c：- y2^1(a b 0)的右焦点为F(1,0)，离心率为丄，直线l:y = k(x-4)b 22(k =0)与椭圆C 交于不同两点 M , N ，直线FM ,FN 分别交y 轴于A, B 两点.(I)求椭圆C 的方程； (n)求证：I FA |=| FB |.18.(共 14 分)” C = 1, c 1I a = 2, 解：(I)由题意得 C =丄， 解得g 严a 2j b = >/3.2 2 2a b c .2 2所以椭圆C 的方程为—y 1......... 分4 3(n)设 M x-!, y 1 ,N x 2, y 2 (为=1 且x 2 -1).y = k x-4 ,2 2 2 2由 x 2 V 2得 4k 3 x -32k x 64k -12 二 0——+— =14 32 2 2 2 21依题意.：=-32k -4 4k 3 64k -120,即 0 ：： k :432k 2 X 1 X 2 2,4k 3 2 64 k -12k N -4 k X 2 -4 x 1 _ 1X 2 _ 1k ||2x -|X 2 -5 x-i(X 1 T X X2 T )X 1 -1 X 2 -1=0 .所以直线MF 的倾斜角与直线 NF 的倾斜角互补，即• OFA=/OFB .x-i x4k 2 3因为 k MF ' k NFV 1 . V 2 X 1 1 1 X 2 1 1因为OF — AB，所以|FA|=|FB |.•分14【西城】19.（本小题满分14分）圆C 上异于A,B 的一点，直线 AM 与y 轴交于点P .（I ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线 A M 的斜率的取值范围；（H ）设椭圆C 的右焦点为F ,点Q 在y 轴上，且AQ//BM ，求证：.PFQ 为定值.19.（本小题满分14分）解：（I ）由题意，得 c 2 二a 2 -2 , - 2,a 2分2 2x y 丿 1.4 2设P （O,m ），由点P 在椭圆C 的内部，得2 :：: m 八㊁，又因为A(-2,0),又因为M 是椭圆C 上异于A,B 的一点，所以 k AM （-¥，0）—0，¥）. .............. 6 分2 22 2（H ）由题意 F （'、2,0），设 M （X c ,y o ），其中 X 0 =二2，则严 号"所以直线AM 的方程为y =^（x ® 令x =0 ,得点P 的坐标为（0,-^J ）.X 。
2019年北京市各区高三理科数学试题分类汇编——解析几何
北京市各区高三理科数学分类汇编----圆锥曲线（2017海淀期末）1. 抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ B ）A.12B.1C.2D.3（2017海淀期末）5.已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是（ A ） A.152y x =-B.152y x =C.32y x =- D.23y x =-+（2017东城期末）（2）抛物线22y x =的准线方程是（ D ） （A ）1y =-（B ）12y =-（C ）1x =-（D ）12x =- (2017西城期末)3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（ B ）（A ）30x y =（B 30x y ±=（C ）30y =（D ）30x y ±=(2017通州期末) 4．“>1m ”是“方程2211x m m =-表示双曲线”的（ A ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2017昌平期末）(7) 在焦距为2c 的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的（ A ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（2017年朝阳一模）（5）设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为3=PF （ C ）（A ） 34 （B ） 6 （C ） 8 （D ）16(2017年平谷一模)7.已知点M (0，15）及抛物线x y 42=上一动点)(y x N ，，则||MN x +的最小值为（ C ）A ．5B ． 32C ． 3D ． 4(2017年西城二模)5．设双曲线22221(0,0)y x a b a b -=>>的离心率是3，则其渐近线的方程为（ A ） （A）0x ±= （B）0y ±= （C ）80x y ±= （D ）80x y ±=(2017年丰台二模)4. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x=±的是（ D ）（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=填空题部分：（2017东城期末）（11）若点(2,0)P 到双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的距离为1，则a =____1±___．（2017朝阳期末）9．已知双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为320x y +=，则b 等于 3 ． （2017石景山期末）11．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y x =，则双曲线的焦点坐标是(0) ．（2017丰台期末）10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 53 ．(2017年东城一模) （13）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线为等边三角形OAB 的边,OA OB 所在直线，直线AB 过双曲线的焦点，且||2AB =，则a = ___32____． (2017年海淀一模)10.已知12(2,0),(2,0)F F -，满足12||||2PF PF -=的动点P 的轨迹方程为__2213y x -=__.(2017年丰台一模)9. 抛物线22y x =的准线方程是 12x =- ． (2017年石景山一模)11．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p = 4 ．(2017年平谷一模)12．在平面直角坐标系xOy 中，若方程142222=+-m y m x 表示双曲线，则实数m 的范围_______ m >0 ______；若此双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为_____x y 2±=___.（2017年朝阳二模）9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 y = ，离心率是(2017年东城二模)（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60o，则||OA(2017年海淀二模)14.已知椭圆G ：22216x y b+=(0b << 的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题： ①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个； ③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是_______①③______．解答题部分：（2017西城期末）19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．【解析】将1x =代入22142x y +=，解得2y =±，所以||AB = 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3，所以△MAB 面积的最大值是2．（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而2224t n +=．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±．直线MA 的方程为00()y ny n x t x t--=--，[8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而000ty nx OE y n-=-．直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--，[10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而000ty nx OF y n+=+．所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n --()()222200224242=n y n y y n----22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值．（2017海淀期末）18. （本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点.（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=， 解得212,23a a ==.所以2228,22c a b c =-==（Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+.由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得AB k =所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=②将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=u u u r u u u r. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++u u u r u u u r 2236128031k k k --=+，即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.（2017东城期末）（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)M ，离心率为12．,A B 是椭圆C 上两点，且直线,OA OB的斜率之积为34-，O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若射线OA 上的点P 满足||3||PO OA =，且PB 与椭圆交于点Q ，求||||BP BQ 的值． 【知识点】圆锥曲线综合 【难度】4 【答案】见解析 【解析】（Ⅰ）由题意得222212.a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，，解得b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)A x y B x y Q x y ．因为点P 在直线AO 上且满足||3||PO OA =， 所以11(3,3)P x y ． 因为,,B Q P 三点共线，所以BP BQ λ=u u u r u u u r ．所以12123232(3,3)(,)x x y y x x y y λ--=--，123212323(),3().x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩ 解得31231231,31.x x x y y y λλλλλλ-⎧=+⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩因为点Q 在椭圆C 上，所以2233143x y +=．所以2212123131()()143x x y y λλλλλλ--+++=．即2222211222296(1)()()()14343x y x y λλλλλ--+++-=1， 因为,A B 在椭圆C 上，所以2211143x y +=，2222143x y +=．因为直线,OA OB 的斜率之积为34-， 所以121234y y x x ⋅=-，即1212043x x y y +=． 所以2291()1λλλ-+=，解得5λ=． 所以||||5||BP BQ λ==． （2017朝阳期末）18． （本小题满分13分）已知椭圆22:132x y C +=上的动点P与其顶点(A,B 不重合． （Ⅰ）求证：直线PA 与PB 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）设点M ，N 在椭圆C 上，O 为坐标原点，当//OM PA ,//ON PB 时，求OMN ∆的面积．解：（Ⅰ）设00(,)P x y ，则2200132x y +=． 所以直线PA 与PB2200220062233(3)3y x x x -===---．……4分 （Ⅱ）依题直线,OM ON 的斜率乘积为23-． ①当直线MN 的斜率不存在时，直线,OM ON的斜率为3±，设直线OM 的方程是3y x =，由22236,,x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得2x =±，1y =±．取M，则1)N -．所以OMN ∆②当直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程是y kx m =+,由22,2360y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(32)6360k x kmx m +++-=．因为M ，N 在椭圆C 上，所以2222364(32)(36)0k m k m ∆=-+->，解得22320k m -+>．设11(,)M x y ,22(,)N x y ,则122632kmx x k +=-+，21223632m x x k -=+．MN ===． 设点O 到直线MN 的距离为d，则d =所以OMN ∆的面积为12OMNS d MN ∆=⨯⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅①． 因为//OM PA ,//ON PB ，直线OM ,ON 的斜率乘积为23-，所以121223y y x x =-．所以2212121212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m x x x x x x +++++==2222636m k m -=-．由222262363m k m -=--，得22322k m +=．⋅⋅⋅⋅⋅⋅②由①②，得OMNS ∆===．综上所述，2OMN S ∆=． …………………………………13分(2017石景山期末18)18．（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，点(2,0)在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(1,0)P 的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于A B 、两点，设点B 关于x 轴的对称点为B '．直线B A '与x 轴的交点Q 是否为定点？请说明理由． 解：（Ⅰ）因为点（2,0）在椭圆C 上，所以2a =．又因为c e a ==c =1b ==． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,),(,0)A x y B x y B x y Q n '-．设直线AB ：(1)(0)y k x k =-≠． ……………………6分联立22(1)440y k x x y =-+-=和，得：2222(14)8440k x k x k +-+-=．所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+． ……………8分直线AB '的方程为121112()y y y y x x x x +-=--， ……………9分令0y =，解得112122111212()y x x x y x yn x y y y y -+=-+=++ ………11分又1122(1),(1)y k x y k x =-=-， 所以121212()42x x x x n x x -+==+-．所以直线B A '与x 轴的交点Q 是定点，坐标为(4,0)Q ．………13分 (2017丰台期末)19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=．所以，FS FT ⋅uu r uu u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分(2017通州期末)19．（本小题满分13分）如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点)23,1(P ，离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列． 解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b+=① 11,22c e a ==又所以②由①②得2221,4,3c a b ===，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=……………….4分（Ⅱ）椭圆右焦点坐标F (1,0)，显然直线AB 斜率存在，设,AB k AB 的斜率为则直线的方程为(1)y k x =-③…………….5分代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-= ……………….6分 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④ ……………….7分在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而2121213322,,11y y k k x x --==-- 33312412k k k -==--，……………….9分 又因为B F A 、、共线，则有BF AF k k k ==， 即有k x yx y =-=-112211 所以=+21k k =--+--1231232211x y x y )1111(2311212211-+---+-x x x y x y=2k -121212232()1x x x x x x g +--++⑤ 将④代入⑤得=+21k k 322k g -12134834)3(42348222222-=++-+--+k k k k k k k ，……………….12分又213-=k k ， 所以=+21k k 32k ，即132,,k k k 成等差数列.……………….13分(2017房山期末)19．在平面直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为（θ为参数），已知圆O 与y 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的负半轴交于点B ，点P 为直线l ：y=4上的动点．直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为M ，N ． （Ⅰ）写出圆O 的标准方程；（Ⅱ）若△PAN 与△MAN 的面积相等，求直线PA 的方程； （Ⅲ）求证：直线MN 经过定点． 【解答】（I ）解：由圆O 的参数方程为（θ为参数），利用平方关系可得：x 2+y 2=4．（II ）解：如图所示，A （0，2），B （0，﹣2），设P （t ，4）． 直线PA 方程为：y=x +2，（t ≠0）．联立，化为： +x=0，解得x M =﹣，y M =．可得M ．∵△PAN 与△MAN 的面积相等，∴PA=AM ． ∴0=，解得t=±2．∴直线PA 的方程为：y=±x +2．（III ）证明：直线PB 的方程为：y=x ﹣2．（t ≠0）． 由（II ）同理可得：N．k MN ==．直线MN 的方程为：y ﹣=，令x=0，可得y=1．∴直线MN 经过定点（0，1）．（2017年朝阳一模）(19)（本小题满分14分）已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>，离心率63e =．直线:1l x my =+与x 轴交于点A ，与椭圆C 相交于,E F 两点．自点,E F 分别向直线3x =作垂线，垂足分别为11,E F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程及焦点坐标；（Ⅱ）记1AEE ∆,11AE F ∆,1AFF ∆的面积分别为1S ,2S ,3S ，试证明1322S S S 为定值. 解：（Ⅰ）由题意可知1b =，又6c a =，即22123a a -=. 解得23a =.即3a =.所以222c a b =-=.所以椭圆C 的方程为2213x y +=，焦点坐标为(2,0)±. …………………4分（Ⅱ）由221,330x my x y =+⎧⎨+-=⎩得22(3)220m y my ++-=，显然m ∈R .设1122(,),(,)E x y F x y ,则12122222,33m y y y y m m --+==++，1112(3,),(3,)E y F y . 因为13112211(3)(3)22S S x y x y =-⋅- 12121(2)(2)4my my y y =--21212121[42()]4m y y m y y y y =-++ 22221222(42)4333m m m m m m ---=-⋅+⋅+++2223(2)(3)m m +=+， 又因为222121[2]2S y y =⨯-21212()4y y y y =+-222248(3)3m m m =+++22=2221224(3)m m +=+. 所以22213222223(2)1(3)12(2)4(3)m S S m m S m ++==++. ………………………………14分(2017年东城一模)（19）（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设,A B 是椭圆C 的左，右顶点，P 为椭圆上异于,A B 的一点，以原点O 为端点分别作与直线AP 和BP平行的射线，交椭圆C 于,M N 两点，求证：△OMN 的面积为定值．解：（Ⅰ）由题意得2222,b c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2,a b == 所以椭圆C 的方程为22142x y +=． …………………………5分（Ⅱ）设点00(,)P x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ．①11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴同侧，不妨设12120,0,0,0x x y y ><>>． 射线OM 的方程为002y y x x =+，射线ON 的方程为002y y x x =-， 所以01102y y x x =+，02202y y x x =-，且2200142x y +=． 过,M N 作x 轴的垂线，垂足分别为'M ，'N ， ΔΔ'Δ'''OMN OMM ONN MM N N S S S S =--四边形 121211221=[()()]2y y x x x y x y +--+ 02011221120011()()2222y x y x x y x y x x x x =-=??-+ 0012121222000441112422y y x x x x x x x y y =⋅=⋅=-⋅--． 由221101101,42,2x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得220112()42y x x x +=+， 即220102200004(2)2(2)2x x x x y +==+++， 同理2202x x =-，所以，2222120042x x x y =-=，即120x x =，所以，OMN S ∆=② 11(,)M x y ，22(,)N x y 在x 轴异侧，方法同 ①．综合①②，△OMN ． ………………14分(2017年海淀一模)19.（本小题满分14分）已知椭圆G :2212x y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点． （Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F -，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1y x =+设A (11,x y )，B (22,x y )，由221,1,2y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1101x y =⎧⎨=⎩，224313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以AB 中点M 21(,)33-，于是直线OM 的斜率为1323=-12-．（Ⅱ）解法1：假设存在直线l ，使得2AM CM DM =⋅成立． 当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M -，所以AM =1)1CM DM ⋅==，矛盾； 故可设直线l 的方程为：(1)(0)y k x k =+≠，联立椭圆G 的方程，得：2222(21)42(1)0kx k x k +++-=，设A (11,x y )，B (22,x y )，则212x x +=2于是，1212(1)22y y x x k k ++=⋅+=⋅点M 的坐标为(2222,2121k kk k -++),AB ． 直线CD 的方程为：12y x k=-⋅，联立椭圆G 的方程，得：222421k x k =+，设C (x 0，y 0)，则222200021(1)4OC x y x k=+=+⋅224121k k +=+，由题知，22244(||||)(|||)4(||||)AB CM DM CO OM CM OM CO OM =⋅=+-=-，即：22228(1)(21)k k ⋅++22222241(41)4()21(21)k k k k k ++=-++， 化简，得：212k =，故k =，所以直线l 的方程为：1),1)y x y x =+=+． （II ）解法2：假设存在直线l 使得2AMCM DM =成立由题意直线l 的斜率不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =-，由22122x my x y =-⎧⎨+=⎩，得22(2)210m y my +--=，设11(,)A x y ，22(,)B x y 则12122221,22m y y y y m m -+==++，2122)2m AB y m +-=+， 212122224()2222m x x m y y m m -+=+-=-=++， 所以AB 中点M 的坐标为222(,)22mm m -++， 所以直线CD 的方程为：2my x =-，由22222m y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得2242x m =+， 由对称性，设00(,)C x y ，则00(,)D x y --，即20242x m =+2222022(4)(1)(2)M M M m m CM DM x x x x m ++=-+-=+，由||2||AB AM =，2AM CM DM =得，即22222(4)(1)4(2)m m m ++=⨯+⎝⎭， 解得22m =，故m =，所以直线l 的方程为：1,1x x =-=-.(2017年西城一模)19．（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，F 为椭圆C 的右焦点．(,0)A a -， ||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ．依题意，得12c a =，3a c +=． [ 2分] 解得 2a =，1c =．所以 2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程是 22143x y +=． [ 4分]（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设AP 的中点00(,)M x y ，11(,)P x y ．设直线AP 的方程为：(2)(0)y k x k =+≠，将其代入椭圆方程，整理得2222(43)1616120k x k x k +++-=， [ 6分] 所以 21216243k x k --+=+． [ 7分]所以 202843k x k -=+，0026(2)43k y k x k =+=+，即 22286(,)4343k kM k k -++． [ 8分] 所以直线OM 的斜率是222643843k k k k +=-+[ 9分] 所以直线OM 的方程是 34y x k=-．令4x =，得3(4,)D k -． [10分]直线OE 的方程是 y kx =．令4x =，得(4,4)E k ． [11分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是44413k k=-，所以EF OM ⊥，记垂足为H ； 因为直线DF 的斜率是 3141k k-=--，所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分]在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分]解法二：由（Ⅰ）得 (2,0)A -．设111(,)(2)P x y x ≠±，其中221134120x y +-=． 因为AP 的中点为M ，所以 112(,)22x y M -． [ 6分] 所以直线OM 的斜率是 112OM y k x =-， [ 7分]所以直线OM 的方程是 112y y x x =-．令4x =，得114(4,)2y D x -． [ 8分] 直线OE 的方程是 112y y x x =+．令4x =，得114(4,)2y E x +． [ 9分] 由(1,0)F ，得直线EF 的斜率是 1143(2)EF y k x =+， [10分]因为 211121114413(2)23(4)EF OMy y y k k x x x ⋅=⋅==-+--， 所以EF OM ⊥，记垂足为H ； [12分] 同理可得 211121114413(2)23(4)DF OEy y y k k x x x ⋅=⋅==--+-， 所以DF OE ⊥，记垂足为G ． [13分] 在Rt EHO △和Rt DGO △中，ODF ∠和OEF ∠都与EOD ∠互余，所以 ODF OEF ∠=∠． [14分](2017年丰台一模)19.（本小题共14分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为，右焦点为F ，点()01，B 在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，交直线2=x 于点P ，设=PM MF λu u u r u u u r，=PN NF μuuu r uuu r ，求证：λμ+为定值．（Ⅰ）解：因为点(01)B ,在椭圆C ：22221x y a b +=上，所以211b =，即1b =.又因为椭圆C的离心率为，所以c a=， 由222a b c =+，得a所以椭圆C 的方程为2212+=x y . ...………………5分（Ⅱ）证明：由已知得(1,0)F ,直线MN 的斜率存在.设直线MN 的方程为(1)=-y k x ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(2,)P k . 由λ=u u u u r u u u u rPM MF ，μ=u u u r u u u r PN NF ,得121222,11λμ--==--x x x x ， 所以121212*********()2411()1x x x x x x x x x x x x λμ--+--+=+=---++， .联立221,2(1),y k x x y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩得2222(12)4220k x k x k +-+-=. 所以2122412k x x k +=+，21222212k x x k -=+. 因为 221212224223()243241212k k x x x x k k -+--=⨯-⨯-++ 222212444812k k k k -+--=+0=，所以0λμ+=为定值． ...………………14分(2017年石景山一模)19．（本小题共14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点（0，1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A C 、两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c .因为点（0,1）在椭圆C 上，所以1b =．故221a c -=．又因为2c e a ==，所以c =2a =． 所以椭圆C 的标准方程为：2214x y +=． ……………………5分（Ⅱ） 设1122(,),(,)A x y C x y ，线段AC 中点为00(,)M x y ． 联立 2214402y x m x y =++-=和，得：222220x mx m ++-=． 由222(2)4(22)840m m m ∆=--=->，可得m << 所以122x x m +=-，21222x x m =-． ……………8分 所以AC 中点为1(,)2M m m -． …………9分弦长||AC === ………10分又直线l 与x 轴的交点(2,0)N m -， ………11分所以||MN == ………12分所以2222215||||||||||42BN BM MN AC MN =+=+=． 所以B 、N两点间距离为定值2． ………14分(2017年顺义一模)19.(本小题满分14分)已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a经过点E，离心率为3， O 为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上一动点，点(3,0)A 与点P 的垂直平分线交y 轴于点B ，求||OB 的最小值.（Ⅰ）解：离心率为c a =，所以2223c a =，故2213b a =，椭圆C 为2222113x y a a +=把点E 带入得226, 2a b ==，所以椭圆C 的方程为22162x y +=. ……………5分（Ⅱ）解：由题意，直线l 的斜率存在，设点000(,)(0)P x y y ≠，则线段AP 的中点D 的坐标为003(,)22x y +， 且直线AP 的斜率003AP y k x =-，…7分由点(3,0)A 关于直线l 的对称点为P ，得直线l AP ⊥， 故直线l 的斜率为031AP x k y --=，且过点D ，所以直线l 的方程为：000033()22y x x y x y -+-=-， ………9分 令0x =，得2200092x y y y +-=，则220009(0,)2x y B y +-，由2200162x y +=，得220063x y =-， 化简，得20023(0,)2y B y --. …………11分 所以20023||||2y OB y --=003||2||y y =+≥…………13分当且仅当003||2||y y =，即0[y =时等号成立. 所以||OB. ………… 14分（2017年朝阳二模）18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y ab +=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W 的左、右焦点，且12120F BF ∠=o．（Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小． 解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =．所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ．因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-．又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=．令1y =-，得C 00(,1)1xy --．又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =u u u r ，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-u u u r ． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++-u u u r u u u r2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥u u u r u u u r．90OEG ∠=︒． ……………………13分(2017年东城二模)（19）（本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为右焦点为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右顶点,A B 的一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线AM 与直线2x =交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线MF上．解：（Ⅰ）由题意得2221,.b c a b c ⎧=⎪=⎨⎪=+⎩解得2a =． ……………4分所以椭圆C 的方程为22143x y +=． ………………5分 （Ⅱ）“点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上”等价于“EF 平分MFB Д．……………6分设直线AM 的方程为(2)(0)y k x k =+?，则(2,4),(2,2)N k E k ．……7分设点00(,)M x y ，由22(2),1,43y k x x y ì=+ïíï+=ïî得2222(34)1616120k x k x k +++-=，得2020286,3412.34k x k k y k ì-+ï=ï+íï=ï+î……9分 ① 当MF x ^轴时，01x =，此时12k =?．所以3(1,),(2,2),(2,1)2M N E 北?． 此时，点E 在BFM Ð的角平分线所在的直线1y x =-或1y x =-+， 即EF 平分MFB Ð． ……10分② 当12k 贡时，直线MF 的斜率为0204114MF y k k x k ==--， 所以直线MF 的方程为24(41)40kx k y k +--=． ……11分 所以点E 到直线MF的距离2d =222|2(41)||41|k k k +=+|2|||k BE ==．即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分(2017年海淀二模)18.（本小题满分14分）已知动点M 到点(1,0)N 和直线l ：1x =-的距离相等. （Ⅰ）求动点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知不与l 垂直的直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，以AP 为直径作圆C .判断点N 和圆C 的位置关系，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）设动点(,)M x y ，由抛物线定义可知点M 的轨迹E 是以(1,0)N 为焦点，直线l ：1x =-为准线的抛物线， 所以轨迹E 的方程为24y x =. （Ⅱ）法1：由题意可设直线':l x my n =+，由2,4x my n y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2440y my n --= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ， 所以216160m n ∆=+=，即2n m =-. 所以（*）可化简为22440y my m -+=， 所以2(,2)A m m ， 令1x =-得1(1,)nP m+--， 因为2n m =-，所以221(1,2)(2,)22220n NA NP m m m n m+⋅=-⋅--=-+--=u u u r u u u r所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上. 法2：依题意可设直线':,(0)l y kx b k =+≠ ，由2,4y kx b y x=+⎧⎪⎨=⎪⎩可得2222(2)0k x bk x b +-+= （*）， 因为直线'l 与曲线E 有唯一公共点A ，且与直线l 的交点为P ，所以0,0,k ≠⎧⎨∆=⎩即0,1,k bk ≠⎧⎨=⎩所以（*）可化简为222140k x x k -+=， 所以212(,)A kk . 令1x =-得1(1,)P k k--， 因为22212122(1,)(2,)220NA NP k k k k k k-⋅=-⋅--=++-=u u u r u u u r ，所以NA NP ⊥，所以点N 在以PA 为直径的圆C 上.(2017年西城二模)18．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点(1,2)P ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点,A B 在抛物线C 上，直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ，||||PM PN =． 求直线AB 的斜率．解：（Ⅰ）依题意，设抛物线C 的方程为2(0)y ax a =≠．[ 1分]由抛物线C 且经过点(1,2)P ， 得4a =，[ 3分]所以抛物线C 的方程为24y x =．[ 4分]（Ⅱ）因为||||PM PN =， 所以PMN PNM ∠=∠，所以 12∠=∠，所以 直线PA 与PB 的倾斜角互补， 所以 0PA PB k k +=．[ 6分]依题意，直线AP 的斜率存在，设直线AP 的方程为：2(1)(0)y k x k -=-≠， 将其代入抛物线C 的方程，整理得22222(22)440k x k k x k k --++-+=．[ 8分]设11(,)A x y ，则 212441k k x k -+⨯=，114(1)22y k x k =-+=-，[10分] 所以22(2)4(,2)k A k k --．[11分]以k -替换点A 坐标中的k ，得22(2)4(,2)k B k k +--．[12分]所以222244()1(2)(2)ABk k k k k k k --==--+-．所以直线AB 的斜率为1-．[14分](2017年丰台二模)19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线P A ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++，通分得122112(4)(4)(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得 1k =. ..………………14分(2017年顺义二模)19.（本小题满分13分）已知椭圆:E ()012222>>=+b a b y a x 经过点3(1,)2-，其离心率21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设动直线m kx y l +=:与椭圆C 相切，切点为T ，且l 与直线4-=x 相交于点S .试问：在x 轴上是否存在一定点，使得以ST 为直径的圆恒过该定点？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 19.解：（Ⅰ）由点3(1,)2-在椭圆上得，221914a b+=-----------------① 依题设知2a c =，则223b c =. ----------------------------------②②代入①解得2221,4,3c a b ===故椭圆E 的标准方程为22143x y +=. ---------------------------------4分（Ⅱ）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x m kx y 消去y ,得 ()0124834222=-+++m kmx x k . -----------------------------------5分 因为动直线l 与椭圆C 相切，即它们有且只有一个公共点T ，可设()00,y x T ，所以0≠m 且0=∆，即()()0124344642222=-+-m k m k ，化简得03422=+-m k ------------③此时，m k k km x 434420-=+-=，m m kx y 300=+=，所以点T 的坐标为43(,)k m m -. 由⎩⎨⎧+=-=mkx y x 4得()m k S +--4,4. -----------------------------------9分假设在x 轴上存在定点满足条件，不妨设为点()0,1x A .则由已知条件知AT AS ⊥,即0=•对满足③式的k m ,恒成立. 因为()m k x AS +---=4,41，⎪⎫ ⎝⎛--=x mkAT 3,41，由0=•得0312********=+-+++m k x x m kx m k 034121=+++x x --------④ 由④式对满足③式的k m ,恒成立，所以⎩⎨⎧=++=+0340441211x x x ，解得11-=x .故在x 轴上存在定点()0,1-，使得以ST 为直径的圆恒过该定点.-----------------13分。
北京市城六区2019届高三期末数学(文)解答题分类汇编之解析几何含答案
（Ⅱ）求证： EF1 F1G .
19. （本小题满分 14 分）
y x 1
解：（Ⅰ）由题意可得直线 l1 的方程为
y
x
1 .与椭圆方程联立,由
x2 2
y2
1
可求 B( 4 , 1) . 33
……………4 分
（Ⅱ）当 l2 与 x 轴垂直时， C, D 两点与 E , G 两点重合，由椭圆的对称性， EF1 F1G .
（II）当 k =
1 2
时，求
F1
AB
的面积；
（III）证明：直线 AE 与 x 轴垂直.
（20）（共 14 分）
解：（I）
由已知有
c ca
1,
2 2
,
a 2,
解得
b
1,
a2 b2 c2.
c 1.
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. 2
x2 2
y2
1的左焦点
F1 作直线 l1 交椭圆于
A, B
两点，其中
A
(0,1)
，另一
条过 F1 的直线 l2 交椭圆于 C, D 两点（不与 A, B 重合），且 D 点不与点 0，1重合. 过
F1 作 x 轴的垂线分别交直线 AD ， BC 于 E , G .
（Ⅰ）求 B 点坐标和直线 l1 的方程；
2 1
代入到
2 x1 x2
3( x1
x2 )
4
中，
2 x1 x2
3(
x1
x2
)
4
=
2
北京市六城区2019届高三一模数学(理)分类汇编之选择填空小压轴题Word版含答案
【西城】 8. 如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为（A（B ）3（C）（D ）4【西城】14．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a =. 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种. 32【东城】（8）已知数列{}n a 满足：1a a =，+11=(*)2n n na a n N a +∈，则下列关于{}n a 的判断正确的是（A ） 0,2,a n ∀>∃≥使得n a < （B ）0,2,a n ∃>∃≥ 使得1n n a a +< （C ）0,*,a m N ∀>∃∈ 总有m n a a < （D ）0,*,a m N ∃>∃∈总有m n n a a +=【东城】（14）设A,B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：0,1,x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，0,1,x Bn x B∉⎧=⎨∈⎩ ①若A B ⊆.则对任意x R ∈，(1)m n -= ；0 ②若对任意x R ∈，1m n +=，则 A,B 的关系为 . A B R =ð【海淀】(8)某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是物理、生物、政治这三科，且物理在A 层班级，生物在B 层班级，该校周一上午课程安排如下表所示，张毅选择三(A)8种 (B) 10种 (C) 12种 (D) 14种【海淀】( 14)已知函数()f x x =，2()g x ax x =-，其中0a >.若12[1,2],[1,2]x x ∀∈∃∈，使得 1()f x 2()f x 1()g x =2()g x 成立，则a =____．【朝阳】8．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是A ．5B ．6C ．7D ．8【朝阳】14．在平面内，点A 是定点，动点C B ,满足||||1AB AC ==，0AB AC ⋅=，则集合{=+,12}|P AP AB AC λλ≤≤所表示的区域的面积是 ．3π【丰台】8．在平面直角坐标系中，如果一个多边形的顶点全是格点（横纵坐标都是整数），那么称该多边形为格点多边形．若ABC △是格点三角形，其中(0,0)A ,(4,0)B ，且面积为8，则该三角形边界上的格点个数不可能为 （A ）6（B ）8 （C ）10 （D ）12【丰台】14．已知数列{}n a 对任意的*n ∈N ，都有*n a ∈N ，且131,,2n n n nn a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩，为奇数为偶数. ①当18a =时，2019a =____；2②若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =____．1【石景山】8.已知函数()sin f x a x x =-的一条对称轴为π6x =-，12()()0f x f x +=， 且函数()f x 在12(,)x x 上具有单调性，则12||x x +的最小值为 A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 4π3【石景山】14. 在直角坐标系xOy 中，点()11,A x y 和点()22,B x y ，设集合(){}22=,|1M x y x y +=，且,A B M ∈，=1AB ，则1212=x x y y +；点A , B 到x轴距离之和的最小值为 ．。
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编--解析几何
2019年北京各区高三上期末考试理科数学分类汇编---解析几何一、选填题部分1.（2019海淀期末）双曲线22122x y -=的左焦点坐标为 AA ．(2,0)-B ．(C ．(1,0)-D ． (4,0)-答案：A考点：双曲线的性质。
解析：a b ==c =2，所以，左焦点为（－2,0），选A 。
2.（2019海淀期末）直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2，则k 的值为 AA ．0B ．±12C ．±1D ．±2答案：A考点：直线与圆的位置关系。
解析：圆心坐标为（0,0），半径R 10kx y -+=， 圆心到直线的距离为：d，因为直线截圆的弦长为2，所以，2221+=，化为：2111k =+，解得：k ＝0。
3.（2019海淀期末）以抛物线24y x =的焦点F 为圆心，且与其准线相切的圆的方程为 . 答案：22(1)4x y -+=考点：抛物线的性质，圆的标准方程。
解析：抛物线24y x =的焦点F 为（1,0），圆心坐标为（1,0）， 抛物线的准线为x ＝－1，圆与准线相切，所以，R ＝2 所以，圆的方程为：22(1)4x y -+=221______.3x y m m m-==4.（2019东城期末）已知双曲线的一个焦点为，则5（2019通州期末）已知双曲线的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则a 等于（ ）B A ．1B ．2C ．3 D.4【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c 的值，然后根据a 、b 、c 的关系可求出a 的值．【解答】解：抛物线y 2＝12x 的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（±3，0），所以，a 2+5＝32＝9， ∵a ＞0，解得a ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题．6.（2019朝阳期末）在平面直角坐标系xOy 中，过(4,4),(4,0),(0,4)A B C 三点的圆被x 轴截得的弦长为AA.4B. C.2D.7.（2019朝阳期末）过抛物线2=4y x 焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线l 的垂线，垂足分别为,C D .若4AF BF =，则CD =__________________. 5 8．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）.作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分.若||10OA =，||12OB =，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）D （A ）65（B ）54 （C ）32 （D ）52考点：双曲线的概念与性质。
北京高考数学解析几何大题答案2019-2019
北京高考数学解析几何大题答案2019-2019（2019北京文）（20）（共14分）解：（I ）W 1={(x , y )| kx 0}，（II ）直线l 1：k x －y ＝0，直线l 2：k x ＋y ＝0，由题意得|k 2x 2-y 2|22=d， =d , 即2k +1 由P (x , y ) ∈W ，知k 2x 2－y 2>0，k 2x 2-y 2=d 2，即k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0, 所以 2k +1所以动点P 的轨迹C 的方程为k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0；（III ）当直线l 与x 轴垂直时，可设直线l 的方程为x ＝a （a ≠0）．由于直线l ，曲线C 关于x 轴对称，且l 1与l 2关于x 轴对称，于是M 1M 2，M 3M 4的中点坐标都为（a ，0），所以△OM 1M 2，△OM 3M 4的重心坐标都为（2a ，0），即它们的重心重合， 3当直线l 1与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =mx +n （n ≠0）．⎧k 2x 2-y 2-(k 2+1) d 2=0 由⎨，得(k 2-m 2) x 2-2mnx -n 2-k 2d 2-d 2=0y =mx +n ⎩由直线l 与曲线C 有两个不同交点，可知k 2－m 2≠0且△=(2mn ) +4(k -m ) ⨯(n +k d +d ) >0 设M 1，M 2的坐标分别为(x 1, y 1) ，(x 2, y 2) ，则x 1+x 2=22222222mn, y 1+y 2=m (x 1+x 2) +2n ,k 2-m 2设M 3，M 4的坐标分别为(x 3, y 3) ，(x 4, y 4) ，由⎨⎧y =kx⎧y =-kx n -n, x 4=得x 3= 及⎨k -m k +m ⎩y =mx +n ⎩y =mx +n2mn=x 1+x 2，k 2-m 2从而x 3+x 4=所以y 3+y 4=m (x 3+x 4)+2n ＝m (x 1+x 2)+2n ＝y 1+y 2, 于是△OM 1M 2的重心与△OM 3M 4的重心也重合．（2019北京理）（2019北京文）(19)(共14分) 解法一：(Ⅰ) 因为点P 在椭圆C 上，所以2a =PF 1+PF 2=6，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，F 1F 2=从而b 2=a －c 2=4,2PF 2-PF 122=2, 故椭圆的半焦距c =,x 2y 2+ 所以椭圆C 的方程为＝1. 94(Ⅱ) 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）、（x 2, y 2）.已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,代入椭圆C 的方程得（4+9k 2）x 2+(36k 2+18k ) x +36k 2+36k －27=0. 因为A ，B 关于点M 对称.x 1+x 218k 2+9k=-=-2. 所以224+9k解得k =8， 98(x +2) +1, 9所以直线l 的方程为y =即8x -9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意) 解法二：(Ⅰ) 同解法一.(Ⅱ) 已知圆的方程为（x +2）2+(y －1) 2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1）,(x 2, y 2). 由题意x 1≠x 2且x y1+1=1,94x y2+2=1,94由①－②得2222①②(x 1-x 2)(x 1+x 2) (y 1-y 2)(y 1+y 2) +=0.94③因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得 y 1-y 28＝， 9x 1-x 28， 9即直线l 的斜率为所以直线l 的方程为y －1＝8（x+2）， 9即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)（2019北京理）（19）（共14分）解法一：（Ⅰ）由PM -PN =22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a =2又半焦距c=2，故虚半轴长b =c 2-a 2=2x 2y 2-=1, x ≥2 所以W 的方程为22（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（x 1, y 1），（x 2, y 2）2当AB ⊥x 轴时, x 1=x 2, y 1=-y 2, 从而, =x 1x 2+y 1y 2=x 1-y 12=2当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m，与W 的方程联立，消去y 得： (1-k )x22-2kmx -m 2-2=02km m 2+2, x 1x 2=2故x 1+x 2= 1-k 2k -1所以⋅=x 1x 2+y 1y 2()=(1+k )(m2=x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=1+k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 22+2k 2-11-k 22k 2+24=2=2+2k -1k -1)+2k m22+m 2又因为x 1x 2>0, 所以k 2-1>0, 从而0A ⋅0B >2 综上，当AB ⊥x 轴时, ⋅取得最小值2。
北京市城六区2019届高三期末数学(理)解答题分类汇编之导数含答案
【海淀】19. （本小题满分14分）已知函数2()xa x f x e -=．（Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.解：（Ⅰ）因为()xax x f x -=e2所以()'()xx a x af x -++=e 22当a =-1时，'()x x x f x --=e 21所以'()f -=e11，而()f -=e 21曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e ey x --=--化简得到11e ey x =-- （Ⅱ）法一：因为()'()xx a x af x -++=e22，令()'()x x a x a f x -++==e 220得a a x x +++==21224当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2，其中x >0，所以()()'()x xa x x a F x ----+==e e 2222令'()F x =0，得a x +=322， 当a >0时，x ，'()F x ，()F x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222，而()a a F ++--=>e e 122222 注意到x =>20， 所以(())f x x F =>-e222，问题得证 法二：因为“对任意的x >0，22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0，220e ex ax x -+>” 即“x >0，2+12e e()0ex x ax x +->”，故只需证“x >0，22e e()0x ax x +->” 设2()2e e()x g x ax x =+- ，所以'()2e e(2)x g x a x =+-设()'()h x g x =，'()2e 2e xh x =-令'()F x =0，得x =31当a >0时，x ，'()h x ，()h x 在区间(0,)+∞ 的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1，而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=>所以x >0时，'()2e e(2)0xg x a x =+->，所以()g x 在(,)+∞0上单调递增所以()(0)g x g >而(0)20g =>，所以()0g x >，问题得证 法三：“对任意的x >0，2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e-”因为()'()xx a x af x -++=e22，令'()f x =0得a a x x +++==122222当a >0时，x ，'()f x ，()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为 (),()f f x 20中较小的值，而2(0)0ef =>-，所以只需要证明()f x >-e22因为()x a x a -++=22220，所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222 注意到a a x +++=2224和a >0，所以a a x +++=>22242 设()xxF x -=e 2，其中x >2 所以()()'()x xx x F x --=-=e e2121 当x >2时，'()F x >0，所以()F x 单调递增，所以()()F x F >=-e242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e222，问题得证法四：因为a >0，所以当x >0时，()x x ax x x f x --=>e e22设()x x F x -=e2，其中x >0所以()'()xx x F x -=e 2所以x ，'()F x ，()F x 的变化情况如下表:所以()F x 在x =2时取得最小值()F =-e 224，而()--=-->e e e e2242240 所以x >0时，2()eF x >- 所以()()f x F x >>-e2 【东城】(18)（本小题13分）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围． （18）（共13分）解：(Ⅰ) 当1a =时，2()e 2x f x x x x =--，所以()e (1)22xf x x x '=+--，(0)1f '=-.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-． .................4分(Ⅱ)当0x > 时，“曲线()y f x =在直线y x =-的上方”等价于“2e 2x ax x x x -->-恒成立”，即0x >时e 10xa x -->恒成立，由于e 0x >，所以等价于当0x >时，1e xx a +>恒成立. 令1(),0e x x g x x +=≥，则()exxg x -'=. 当0x ≥时，有()0.g x '≤ 所以g (x )在区间[0,)+∞单调递减.1(0)1()[0,)0,1ex x g g x x +=+∞><故是在区间上的最大值从而对任意恒成立.，综上，实数a 的取值范围为[1,)+∞. .............................13分【朝阳】18.（本小题满分13分）已知函数2()e (1)(0)2x mf x x x m =-+≥. （Ⅰ）当0m =时，求函数()f x 的极小值； （Ⅱ）当0m >时，讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点，求m 的取值范围. 18. （本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当0m =时：()(1)e xf x x '=+，令()0f x '=解得1x =-，又因为当(),1x ∈-∞-，()0f x '<，函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞，()0f x '>，函数()f x 为增函数.所以，()f x 的极小值为1(1)ef -=-. .…………3分 （Ⅱ）()(1)(e )xf x x m '=+-.当0m >时，由()0f x '=，得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1em =，则1()(1)(e )0e x f x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（ⅱ）若1em >，则ln 1m >-.故当()0f x '>时，1ln x x m <->或；当()0f x '<时，1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-，()ln ,m +∞单调递增，在()1,ln m -单调递减. (ⅲ)若10em <<，则ln 1m <-.故当()0f x '>时，ln 1x m x <>-或； 当()0f x '<时，ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞，()1,-+∞单调递增，在()ln ,1m -单调递减. .…………8分（Ⅲ）(1)当0m =时，()e xf x x =，令()0f x =，得0x =.因为当0x <时，()0f x <， 当0x >时，()0f x >，所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(2)当0m >时： （ⅰ）当1em =时，由（Ⅱ）可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增，且1(1)0e f -=-<，2(1)e 0e f =->，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.（ⅱ）当1em >时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，又(ln )(1)0f m f <-<， 只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1ee 2m <<时，(1)0f >，()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时，(1)0f ≤，函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10e m <<时，由（Ⅱ）的单调性结合(1)0f -<，(1)e 20f m =->，2(ln )ln 022m mf m m =--<，此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述，e02m ≤<. .…………13分【丰台】19．（本小题13分）设函数()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈． （Ⅰ）当1a =时，求证：()0f x ≥；（Ⅱ）如果()0f x ≥恒成立，求实数a 的最小值． 19．（共13分）解：（Ⅰ）因为1a =，所以()sin cos ,f x x x x =-()sin f x x x '= .当[0,]2x π∈时，()0f x '≥恒成立， 所以 ()f x 在区间[0,]2π上单调递增，所以()(0)0f x f =≥. . .. …… …….5分 （Ⅱ）因为()sin cos ,[0,]2f x a x x x x π=-∈，所以()(1)cos sin f x a x x x '=-+.①当1a =时，由（Ⅰ）知，()0f x ≥对[0,]2x π∈恒成立； ②当1a >时，因为[0,]2x π∈，所以()0f x '>. 因此()f x 在区间[0,]2π上单调递增， 所以()(0)0f x f =≥对[0,]2x π∈恒成立；③当1a <时，令()()g x f x '=，则()(2)sin cos g x a x x x '=-+， 因为[0,]2x π∈，所以()0g x '≥恒成立， 因此()g x 在区间[0,]2π上单调递增， 且(0)10()022g a g ππ=-<=>，， 所以存在唯一0[0,]2x π∈使得0()0g x =，即0()0f x '=.所以任意0(0,)x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递减. 所以()(0)0f x f <=，不合题意. . .. …… …….12分 综上可知，a 的最小值为1. . .. …… …….13分【西城】18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值； （Ⅱ）如果函数2()()=f x g x x在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围．18．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）求导，得11()1-'=-=xf x x x， ……………… 1分 因为曲线()y f x =与x 轴相切，所以此切线的斜率为0，……………… 2分 由()0'=f x ，解得1=x ，又由曲线()y f x =与x 轴相切，得(1)10f a =-+=， 解得1=a .……………… 4分（Ⅱ）由题意，得22()ln ()-+==f x x x ag x x x， 求导，得32ln 12()-+-'=x x ag x x ，……………… 5分因为(1,e)x ∈，所以()g x '与()2ln 12h x x x a =-+-的正负号相同.…… 6分对()h x 求导，得22()1-'=-=x h x x x， 由()0'=h x ，解得2=x ， ……………… 7分 当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示：所以()h x 在(1,2)上单调递减，在(2,e)上单调递增. 又因为(1)22h a =-，(e)e 12h a =--，所以min ()(2)32ln 22h x h a ==--；max ()(1)22h x h a ==-. ……………… 9分 如果函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上单调递增，则当(1,e)x ∈时，()0≥'g x . 所以()0h x ≥在区间(1,e)上恒成立，即min0()(2)32ln 22h x h a ==--≥，解得3ln 22≤-a ，且当3ln 22=-a 时，()0g x '=的解有有限个，即当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递增时，3ln 22≤-a ； ○1………… 11分 如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上单调递减，则当(1,e)x ∈时，()0≤'g x ， 所以()0h x ≤在区间(1,e)上恒成立，即max 0()(1)22h x h a ==-≤，解得1≥a ，且当1=a 时，()0g x '=的解有有限个，所以当函数()g x 在区间(1,)e 上单调递减时，1≥a . ○2………… 12分 因为函数2()()=f xg x x 在区间(1,e)上不是单调函数， 结合○1○2，可得3ln 212-<<a ，所以实数a 的取值范围是3ln 212-<<a .……………… 13分【石景山】19. （本小题13分）已知函数()()ln f x x a x =+．（Ⅰ）当0a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，若()f x 有极小值，求实数a 的取值范围． 19.（本小题13分）解：（Ⅰ）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+. (1)1,(1)0f f '==，所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-. （Ⅱ）()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x'=++=++令()()g x f x '=，则221()a x ag x x x x-'=-=令()0g x '=，解得x a =. ,(),()x g x g x '的变化情况如下表：① 若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意. ② 若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以20a e -<<.。
北京市六城区2019届高三一模数学(文)分类汇编之解析几何解答题
【海淀】(20)(本小题满分14分)22x y ...... ............................已知椭圆c ：-y+4=1(aAb >0)的左顶点为 A(—2,0),两个焦点与短轴一个顶点构a b成等腰直角三角形，过点P(1,0)且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于 M,N 不同的两点.(I) 求椭圆P 的方程；(n )当AM 与MN 垂直时，求 AM 的长；5(出)若过点P 且平行于AM 的直线交直线*=-于点、，求证：直线NQ 恒过定点.2解：(I)因为 A(-2,0)，所以a =2因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形, 所以b =c222又 b c = a 所以 b = c = v2 ,22所以椭圆方程为—-142(n)方法一：设 M (X m ，Y m )所以AM =u6k MPymXm —1k AMymX m 2k MP方法设M (X m,y m),因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上，1 3 ...... 12 2 9又以AP 为直径的圆的圆心为（ —— ,0）,半径为一，方程为（x+ —） +y =—2 2 2 4（Xm J Tm 2222xm . _y^ =1, 4 2 一所以AM 二押 方法三:设直线 AM 的斜率为k , l AM ：y=k （x+2），其中k ¥y =k （x 2）22x y—■ — 二 14 2化简得（1 2k 2）x 28k 2x 8k 2-4 =02当-0 时，xA ，X M="4k22k 1显然直线AM , MN 存在斜率且斜率不为 0.因为AM 与MN 垂直,4k2k 2 1 2 -4k 2 1 2k 2得 k 2=1 , k =± ； ,X M =0所以 AM =由 +k 2X M +2 =J 6得x M =2 -4k 2 1 2 k 2所以k MPx m - -2 人m m （舍）1y m = 0（出）直线NQ恒过定点（2,0）设 M (X i ,y i ) , N(X 2,y 2),由题意，设直线 MN 的方程为x=my+1,l x = my 1, ，口 2 2由《2 2 得(m 2+2)y 2+2my —3=0 ,x 2 2y 2 -4 =0因为直线PQ 与AM 平行，所以k pQ=k AM=—y —, x 1 2 则PQ 的直线方程为y =—y^(x-1), x 1 23y △就/即呜就K)2my 1y 2 6y 2 -3y 1 (2my 〔y 2 6y 2 -3y1)(m/ 1) y =-2 --------------------------------- x --- 2 -------------------------------- y 22m y 1y 2 +6my 2 — 3my -9 2m y 1y 2 +6my 2 -3my -92my 1y 2 +6y 2 — 3y l2myy 2 +15y 2 -3y l二八 2x- c 22m y 1y 2 +6my 2 —3my -9 2m y 1y 2 +6my 2 —3my -9 人 c /目2myy 2+15y 2 -3 y l 令y =0,得x =—" ------ ———-2my 〔y 2 6y 2—3y 1一, 18y 2 - 因为 2my 1y 2 =3(y 1 +y 2),故 x=—— =2 , 9 y 2 所以直线NQ 恒过定点(2,0).【西城】20.(本小题满分14分)22已知椭圆W ： —+匕=1的长轴长为4,左、右顶点分别为 A, B,经过点P(1,0)的动4m m显然，0 >0 ,则 y 1 +y 2-2 m -2 ) y i y2 = -2 )y2 -kNQ 二3y 12(my 1 3)2my 1y 2 6y 2 3y l (my 1 3)(2my 2 -3)直线NQ 的方程为y — y 22myy 2 +6y 2 —3y 1~~2二 - 二2m y y 6my 。
北京市城六区2019届高三期末数学(文)解答题分类汇编之立体几何Word版含答案
【海淀】 18．〔本小题总分值14 分〕在四棱锥P ABCD 中，平面ABCD平面PCD，底面ABCD 为梯形，AB // CD ，AD DC〔Ⅰ〕求证：AB // 平面PCD〔Ⅱ〕求证：AD平面PCD〔Ⅲ〕假设点M 是棱 PA 的中点，求证：对于棱BC 上任意一点F， MF 与 PC 都不平行 .18．证明：〔Ⅰ〕因为AB CDCD 平面 PCDAB 平面 PCD所以 AB平面PCD〔Ⅱ〕法一：因为平面 ABCD平面PCD平面 ABCD平面PCD CDAD CD ,AD平面ABCD所以 AD平面PCD法二：在平面 PCD 中过点D作 DH CD ，交 PC 于H因为平面 ABCD平面PCD平面 ABCD平面PCD CDDH平面 PCD所以 DH平面ABCD因为 AD平面ABCD所以 DH AD又 AD PC ， PC DH H所以 AD平面PCD〔Ⅲ〕法一：假存在棱BC 上点F，使得MF PC接 AC ，取其中点N在PAC 中，因M , N分PA,CA的中点，所以MN PC因直外一点只有一条直和直平行，所以MF 与MN重合所以点 F 在段AC上，所以 F 是AC，BC的交点C即 MF 就是MC而 MC 与 PC 相交，矛盾，所以假，得法二：假存在棱 BC 上点F，使得MF PC ，然 F 与点C不同所以 P,M , F ,C 四点在同一个平面中所以 FC ， PM所以 B FC，A PM所以就是点 A, B,C 确定的平面ABCD，且 P与P ABCD 四棱矛盾，所以假，得【西城】 18．〔本小分14 分〕如，在三棱柱ABC A1B1C1中，面 B1BCC1是正方形，M，N分是A1 B1，AC的中点，AB 平面BCM．〔Ⅰ〕求：平面B1BCC1平面 A1 ABB1；〔Ⅱ〕求： A1 N // 平面BCM；〔Ⅲ〕假设三棱柱ABC A1B1C1的体10，求棱C1 BB1 M 的体．18．〔本小分14 分〕解：〔Ⅰ〕因AB平面BCM，BC平面BCM，所以 AB BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分由正方形B1BCC1，知 BB1BC ，又因 AB BB1 B ，所以 BC 平面 A1 ABB1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分又因 BC 平面 B1 BCC1，所以平面 B1BCC1平面 A1 ABB1．⋯⋯⋯⋯ 5 分〔Ⅱ〕 BC 中点 Q ， NQ，MQ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由 M ，N分A1B1，AC的中点，得NQ // AB，且 NQ 1AB ．2又因 AB // A1 B1，且 AB A1B1，所以 NQ // A1 M ，且 NQ A1M ，故四形 A MQN 平行四形，1所以 A1N // MQ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分又因 MQ 平面 BCM ， A1 N 平面BCM ，所以 A1N // 平面 BCM ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分〔Ⅲ〕 A1B ．根据棱柱和棱的体公式，得三棱 B– A1B1C1的体 V B–A B C 1V A B C–ABC10 . ⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分1 1 1 3 1 1 1 3 又因 M A1B1的中点，所以棱 C1 BB1M 的体 V C1 BB1 M V B B1C1M 1 V B A1B1C15 ．⋯⋯⋯⋯⋯14 分2 3【城】〔 18〕〔本小14 分〕如，三棱柱ABC A1B1C1中，棱垂直于底面，A1 B1 B1C1 ，AA1 AB 2 ， BC 1 ， E A1C1中点.〔I 〕求：A1 B 平面AB1C1；(II)求三棱 B ECC1的体；（III 〕平面EAB与直B1C1交于点H，求段B1H的 .〔18〕〔共 14 分〕解：〔Ⅰ〕因为三棱柱ABC A1 B1C1中，侧棱垂直于底面，所以 BB1平面A1B1C1.因为 B1C1平面A1B1C1，所以BB1B1C1.又因为 B1C1A1B1， A1B1BB1B1，所以 B1C1平面AA1B1 B .因为 A1B平面AA1B1B，所以 A1B B1C1.因为AA1AB 2 ，所以四边形AA1B1B 为菱形.所以 A1B AB1.因为 B1C1AB1B1，所以A1B 平面 AB1C1. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..5分〔Ⅱ〕由， BB1 平面 A1 B1C1， A1 B1 平面 A1 B1C1，所以BB1 A1B1.因为 1 1 1 1 ， B C BB1 B ，A B B C 1 1 1所以 A1B1 平面 BB1C1C .又 A1B1 AB 2 ，故 A1 到平面 BB1C1C 的距离为2.因为 E 为 A1C1 中点，所以E 点到平面 BB1C1C 距离为.1所以 V B ECC V E BCC 1 1 2 1 1 1 ．⋯⋯ ..9 分1 1 32 3〔Ⅲ〕在三棱柱 ABC A1B 1C1中，因为 E ，H为平面 EAB 与平面 A1B1C1的公共点，所以平面 EAB 平面 A1 B1C1 EH .因为平面 ABC //平面A1B1C1，AB 平面 ABC ，所以 AB // 平面A1B1C1 .又平面 A1B1C1 平面 EAB EH ,所以 EH // AB .又 AB // A1B1，所以 EH // A1B1.因 E A 1C 1 中点 , 所以 HB 1C 1 中点 .所以 B 1H1B 1C 1 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..14分2 2【朝阳】 18. 〔本小 分 14 分〕如 ，三棱柱 ABCA 1B 1C 1 的 面 BCC 1B 1 是平行四 形， BC 1 C 1C ，平面 AC CA 平面 BCC B ，且E, F分 是 BC , A B 的中点 .1 11 11 1〔Ⅰ〕求 ：BC 1 AC 1 ；〔Ⅱ〕求 ：EF // 平面 A 1C 1CA ；〔Ⅲ〕在 段 AB 上是否存在点P ，使得 BC 1平面 EFP ？假设存在，求出 AP的 ；假设不AB存在， 明理由 .A 1AFB 1C 1B E C18. 〔本小 分 14 分〕〔Ⅰ〕因 BC 1 C 1C ，又平面 AC 1 1CA 平面 BCC 1B 1 ，且平面 AC CA 平面 BCCB C C ，1 111 1所以 BC 1 平面 ACC 1A 1 .又因 AC 1 平面 A 1C 1CA ，所以 BC 1AC .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1〔Ⅱ〕取 A 1C 1 中点 G ， FG , GC .A 1A在△ A 1B 1C 1中，因F ,G分 是A 1B 1 , AC中点，1 1FGPC 1B 1B E C1所以 FG //B1C1，且FG=B1C1.在平行四形BCC1B1中，因E是BC的中点，1所以 EC //B1C1，且EC=B1C1.所以 EC //FG ，且 EC =FG .所以四形 FECG 是平行四形.所以 FE //GC .又因 FE 平面 A C CA ，GC 平面 AC CA ，所以EF //平面 A C CA .1 1 1 1 1 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分〔Ⅲ〕在段AB 上存在点 P ，使得BC1平面EFP.取AB 的中点 P ， PE ， PF .因BC1平面ACC1A1，AC平面ACC1A1,CG平面ACC1A1, 所以 BC1AC ,BC1CG .在△ ABC 中，因P, E分是 AB, BC 中点，所以 PE//AC .又由〔Ⅱ〕知FE//CG ，所以 BC1 PE ，BC1 EF .由 PE EF E 得BC1 平面 EFP .故当点 P 是段 AB 的中点， BC1AP 1平面 EFP .此，.AB 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分【丰台】 17．〔本小 14 分〕如，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 正方形，棱 AA1 底面 ABCD ，E 棱AA1的中点， AB 2 ，AA13．A1 D 11 C1 〔Ⅰ〕求：A1C∥平面BDE；BE〔Ⅱ〕求： BD AC1；〔Ⅲ〕求三棱 A BDE 的体．A DB C 17．〔共 14 分〕解：〔Ⅰ〕AC BD O ，接OE，因ACA1中， O ，E分 AC ， AA1的中点，所以OEACA1的中位，即 OE // A1C ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分因A1C 平面 BDE ，OE 平面 BDE ，所以A1C // 平面BDE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分A1 D1B1 C1EA DOB C〔Ⅱ〕因棱 AA1 底面 ABCD ，BD 底面 ABCD ，所以AA1 BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分因底面 ABCD 正方形，所以AC BD ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分因AA1 AC A，所以BD 平面 ACC1 A1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分因A1C 平面 ACC1 A1，所以 BD A 1C ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分〔Ⅲ〕因棱 AA 1底面 ABCD 于 A ， E 棱 DD 1 的中点，所以 AE 三棱 E ABD 的高 .因 AA 1 3 ， 所以 AE3.2因 AB AD 2，所以S ABD1AB AD 2 .2所以V A BDEVE ABD1 S ABD AE 1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分3【石景山】 18. 〔本小 14 分〕如 ，在多面体 ABCDEF 中， ABCD 是 2 的正方形， △ BCF 正三角形，EF 4 且 EF ∥ AB ， EFFB ， G, H 分 BC,EF 的中点 .EHF〔Ⅰ〕求 ： GH ∥ 平面 EAD ；〔Ⅱ〕求 ： FG平面 ABCD ；D〔Ⅲ〕求三棱 GADE 的体 .CGAB18.〔本小 14 分〕〔Ⅰ〕 明：取AD 的中点 M ， EM ，MG ，∵四 形 ABCD 是 2 的正方形， G BC 的中点，∴ MG =∥AB ，EHF∵ H EF 的中点，且EF = 4 ，DC1∴ EH =EF = 2 ，又 EF ∥ AB ，MG2∴ MG ∥= EH ，AB∴四边形 MGHE 为平行四边形，∴ EM ∥= HG ，又 EM平面 EAD ， GH 平面 EAD ，∴ GH ∥平面 EAD ．〔Ⅱ〕证明：∵ EF ∥ AB ， EFFB ，∴ AB FB ，在正方形 ABCD 中 ABBC ，且 BC I FB = B ，∴ AB 平面 FBC ，∵ FG平面 FBC ，∴ AB FG ，又 △BCF 为正三角形， G 为 BC 的中点，∴ FG BC又 AB I BC = B∴ FG 平面 ABCD ．〔Ⅲ〕∵ EF ∥ AB ，∴ EF ∥平面 ABCD ，∵ FG 平面 ABCD ，∴ FG 为三棱锥 E ADG 的高，∵ △BCF 为正三角形， G 为 BC 的中点，∴ FG = 3 ，∴VG ADE=VE ADG1S △ ADG FG =123 2 3 ．333。
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【海淀】17.(本小题满分14分)在四棱锥P _ABCD中，平面ABCD _平面PCD，底面ABCD为梯形，AB//CD , AD _ PC 且AB=1,AD =DC =DP =2,. PDC =120°(I)求证：AD _平面PDC ；(n)求二面角B-PD-C的余弦值；(川)若M是棱PA的中点，求证：对于棱BC上任意一点F, MF与PC都不平行.解：(I)在平面PCD中过点D作DH _ DC，交PC于H因为平面ABCD _平面PCD DH 平面PCD平面ABCD I平面PCD =CD所以DH _平面ABCD因为AD 平面ABCD所以DH _ AD 又AD _ PC，且C CH H = 所以AD _平面PCD(n)因为AD _平面PCD，所以AD _ CD 又DH _ CD , DH _ AD以D为原点，DA, DC, DH所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系所以D(0,0,0),A(2,0,0),P(0, -1, ■ 3),C(0,2,0),B(2,1,0),urn因为AD _平面PCD，所以取平面PCD的法向量为DA =(2,0,0)设平面PBD的法向量为n = (x, y, z)r-r uun _uun UUU n DP =0 y ■ 3z = 0因为DP =(0,-1, . 3), DB = (2,1,0)，所以r uu u 所以y，DB =0 [2x + y = 0令z=2，则y - 2.3,x = - .3，所以n =(-..3,2 3,2)uuu r l i—所以—uuu r AD n 2.3 57所以cos ：：. AD ,n = —r|AD|| n| 2厢19由题知B -PD -C为锐角，所以B-PD-C的余弦值为一5719(川)假设棱BC上存在点F，使得MFtPC ,T T 匕^4 T T 3 J3设BF W..BC，所以MF =MB BF ^(1-, )…(一2,1,0)因为MF [PC，所以MF 二.iPC =二(0,3, 一. 3)1-^=0所以有丿？+k=3U ，这个方程组无解I 2所以假设错误，即问题得证【东城】（17）（本小题14分）如图1,在四边形ABCD中，AD汀BC, BC=2AD, E, F分别为AD,BC的中点，AE =EF , AF = J2AE .将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE丄平面EFCD （如图2），G是BF的中点.（I ）证明：AC_EG ;BC（n ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH二平面ABFE ?若存在，求业的值；若不存在，说明理由；（川）求二面角D - AC - F的大小.（17）（共14 分）一解：（I ）在图 1 中，AE 二EF , AF -、、2A E ,可得△ AEF为等腰直角三角形，AE — EF .因为AD 二BC，所以EF _ BF, EF _ FC.因为平面ABFE _平面EFCD,且两平面交于EF , CF 平面CDEF , 所以CF _平面ABFE.又EG U平面ABFE 故CF丄EG ;由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF _ EG ;又AFplFC 二F ,所以EG _平面AFC .又AC 平面AFC ,所以AC _ EG .（II ）由（I ）知：FE , FC , FB 两两垂直，如图建立空间直角坐标系F —xyz ,设 FE =1,则 F(0,0,0), C(0,2,0), B(0,0,2), D(1,1,0).设H 是线段BC 上一点，因此点 H (0,2，,2 - 2 J, DH =(-1,2，-1,2 - 2 J.:. T T 冲由(I)知FC 为平面ABFE 的法向量，FC =(0,2,因为DH 二平面ABFE ，所以DH 二平面ABFE 当且仅当DH 'FC =0,即(-1,2 ■ -1,2-2 -) (0,2,0) = 0.1解得■=-2BH所以在线段BC 上存在点H 使得DH L/平面ABFE ,此时BH(III )设A(1,0,1), E(1,0,0)，G(0,0,1).TT由 (I)可得，EG_是平面AFC 的法向量，EG =(-1,0,1). AD =(0,1,-1), CD =(1,-1,0), 设平面ACD 的法向量为n = (x,y,z)由n AD =0,即n CD =0,令x =1,则 y =1,z =1.于是 n = (1,1,1).【朝阳】17.（本小题满分14分）则存在…[0,1]使得■ BC..9分y - z = 0, x _y =0.単EG n|所以二面角D - AC - F 的大小为90.所以 cos ：：：EG, nn=0. 14分A. EBE-F 1/ JD如图，三棱柱ABC - A B C的侧面BCC1B1是平行四边形，B。
北京市城六区2019届高三期末数学(理)解答题分类汇编之概率统计含答案
【海淀】16．（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：5 0 1 16 6 0 1 4 3 3 5 87 2 3 7 68 7 1 7 8 1 1 4 5 29 9213（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率； （Ⅱ）从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； （Ⅲ）根据以往培训数据，规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.解：（Ⅰ）设该名学生考核成绩优秀为事件A 由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀,所以所求概率()P A 约为730（Ⅱ）Y 的所有可能取值为0,1,2,3 因为成绩[70,80]X∈的学生共有8人，其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===， 21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===， 353810(3)56C P Y C === 随机变量Y115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）根据表格中的数据，满足85110X -≤的成绩有16个 ,所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==> ⎪⎝⎭所以可以认为此次冰雪培训活动有效. 【东城】(16)（本小题13分）某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10,12)，[12,14)，[14,16)，[16,18)，[18,20]，整理得到如图所示的频率分布直方图.（Ⅰ）求频率分布直方图中的x 的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10,12)的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10,12)的样本学生中随机抽取3人，记X 为抽到女生的人数，求X 的分布列与数学期望()E X . （16）（共13分）解：（Ⅰ）由0.0520.0820.1020.12221x ⨯+⨯+⨯+⨯+=，可得0.15x =. (3)分（Ⅱ）0.1020.0520.30⨯+⨯=，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30. 5000.30150⨯=，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150. .............................6分 （Ⅲ）课外阅读时间在[10,12)的学生样本的频率为0.0820.16⨯=， 500.168⨯=,即阅读时间在[10,12)的学生样本人数为8， 8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，35385(0)28C P X C ===； 12353815(1)28C C P X C ===；21353815(2)56C C P X C ===； 33381(3)56C P X C ===.所以X 的分布列为：故X 的期望5151519()0123282856568E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. .............................13分【朝阳】16.（本小题满分13分）某日A,B,C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（Ⅰ）甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C 市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅱ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）B 市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500. C 市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故X 的可能取值为0，1，2.2022241(0)6C C P X C ===， 11222442(1)63C C P X C ====，0222241(2)6C C P X C ===.所以数学期望21()0(0)1(1)2(2)12136E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯=. ……… 10分（Ⅱ）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B ……… 13分 【丰台】17．（本小题13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访.（i ）记X 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X 的分布列；（ii ）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10％.记Y 为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数.试比较随机变量,X Y 的均值()E X 和()E Y 的大小.（只需写出结论） 17．（共13分）解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450=3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共40025%100⨯=家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A ,所以1001()360036P A ==. ………………4分（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有6020%12⨯=家，医疗器械及医药保健备受关注的企业有3008%24⨯=家，共36家. X 的可能取值为0，1，2.22423646(0)105C P X C ===； 11122423616(1)35C C P X C ===； 21223611(2)105C P X C ===；………………11分（Ⅲ）()()E X E Y > ………………13分【西城】17．（本小题满分13分）为保障食品安全，某地食品监管部门对辖区内甲、乙两家食品企业进行检查，分别从这两家企业生产的某种同类产品中随机抽取了100件作为样本，并以样本的一项关键质量指标值为检测依据.已知该质量指标值对应的产品等级如下：根据质量指标值的分组，统计得到了甲企业的样本频率分布直方图和乙企业的样本频数分布表（图表如下,其中0a >）.甲企业乙企业（Ⅰ）现从甲企业生产的产品中任取一件，试估计该件产品为次品的概率；（Ⅱ）为守法经营、提高利润，乙企业将所有次品销毁．．．．．．．，并将一、二、三等品的售价分别定为120元、90元、60元.一名顾客随机购买了乙企业销售的2件该食品，记其支付费用为X 元，用频率估计概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据图表数据，请自定标准，对甲、乙两企业食品质量的优劣情况进行比较. 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由(0.0200.0220.0280.0420.080)51a +++++⨯=，得0.008a =， …………2分所以甲企业的样本中次品的频率为(0.020)50.14a +⨯=，故从甲企业生产的产品中任取一件,该产品是次品的概率约为0.14. ……… 4分（Ⅱ）由图表知，乙企业在100件样品中合格品有96件，频率组距则一等品的概率为481962=，二等品的概率为18141963+=，三等品的概率为161966=， ……………… 5分由题意，随机变量X 的所有可能取值为：120，150，180，210，240.…… 6分 且111(120)6636P X ==⨯=，12111(150)C 369P X ==⨯⨯=， 1211115(180)C 263318P X ==⨯⨯+⨯=，12111(210)C 233P X ==⨯⨯=， 111(240)224P X ==⨯=. ……………… 8分所以随机变量的分布列为： (9)分 所以11511()1201501802102402003691834E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………10分 （Ⅲ）答案不唯一，只要言之有理便可得分（下面给出几种参考答案）.（1）以产品的合格率．．．（非次品的占有率）为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.由图表可知：甲企业产品的合格率约为0.86，乙企业产品的合格率约为0.96，即乙企业产品的合格率高于甲企业产品的合格率， 所以可以认为乙企业的食品生产质量更高.（2）以产品次品率．．．为标准对甲、乙两家企业的食品质量进行比较（略）. （3）以产品中一等品的概率为标准，对甲、乙两家企业的食品质量进行比较.根据图表可知，甲企业产品中一等品的概率约为0.4；乙企业产品中一等品的概率约为0.48，即乙企业产品中一等品的概率高于甲企业产品中一等品的概率，所以乙企业的食品生产质量更高.（4）根据第（Ⅱ）问的定价，计算购买一件产品费用的数学期望，进而比较甲、乙两个企业产品的优劣（略）. ……………… 13分X【石景山】16. （本小题13分）2018年9月，某校高一年级新入学有360名学生，其中200名男生，160名女生．学校计划为家远的高一新生提供5间男生宿舍和4间女生宿舍，每间宿舍可住2名同学．该校“数学与统计”社团的同学为了解全体高一学生家庭居住地与学校的距离情况，按照性别进行分层抽样，其中共抽取40名男生家庭居住地与学校的距离数据（单位：km ）如下：5 6 7 7.5 8 8.4 4 3.5 4.5 4.3 5 4 3 2.5 4 1.6 6 6.5 5.5 5.7 3.1 5.2 4.4 5 6.4 3.5 7 4 3 3.4 6.94.85.655.66.53676.6（Ⅰ）根据以上样本数据推断，若男生甲家庭居住地与学校距离为8.3km ，他是否能住宿？说明理由；（Ⅱ）通过计算得到男生样本数据平均值为5.1km ，女生样本数据平均值为4.875km ，求所有样本数据的平均值；（Ⅲ）已知能够住宿的女生中有一对双胞胎，如果随机分配宿舍，求双胞胎姐妹被分到同一宿舍的概率． 16.（本小题13分） 解：（Ⅰ）能住宿.因为200名男生中有10名男生能住宿，所以40名男生样本中有2名男生能住宿。
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c 1，
解：（Ⅰ）由题意得
c a
1， 2
a 2，
解得
b
3.
a2 b2 c2.
所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 43
分
（Ⅱ）设 M x1 , y1 , N x2 , y2 (x1 1且x2 1) .
y k x 4,
，
x1x2
2k 2 2k 2
2 1
.
由已知， x2 0 ，
则直线 AD 的方程为 y 1 y2 1 x ，令 x 1 ，得点 E 的纵坐标 x2
yE
x2
y2 x2
1
.把
y2
k x2
1 代入得
yE
x2
1(1 k)
x2
.
由已知，
x1
4 3
，则直线
BC
综上， |AB ' | 的取值范围是 ( 2, 2 2] . 【东城】(19)（本小题 13 分）
已知椭圆 C :
x2 a2
y2 2
1 过点 P(2,1) .
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程，并求其离心率； （Ⅱ）过点 P 作 x 轴的垂线 l ，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线
0) 的右焦点为 F (1, 0)
，离心率为
1 2
，直线
l : y k(x 4) (k 0) 与椭圆 C 交于不同两点 M , N ，直线 FM , FN 分别交 y 轴于 A, B 两点.
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）求证： | FA || FB | .
18.（共 14 分）
所以
x1
x1x2
x2
8k 2 2k 2 1
8k 2 2 2k 2 1
因为 B '(x2 , y2 )
所以 |AB ' | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
因为 (x1
x2 )2
(x1
x2 )2
4x1x2
8 16k 2 (2k 2 1)2
【海淀】18．（本小题满分 14 分） 椭圆 x2 y2 1 的左焦点为 F，过点 M (2, 0) 的直线 l 与椭圆交于不同两点 A,B 2
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若点 B 关于 x 轴的对称点为 B’，求 AB ' 的取值范围.
解：（Ⅰ） 因为 a2 2,b2 1，所以 a 2,b 1,c 1
【西城】19．（本小题满分 14 分）
…………………14 分
x2 已知椭圆 C：a2
y2 2
1(a
2)
2
的离心率为 2 ，左、右顶点分别为 A, B ，点 M 是椭
圆 C 上异于 A, B 的一点，直线 AM 与 y 轴交于点 P .
（Ⅰ）若点 P 在椭圆 C 的内部，求直线 A M 的斜率的取值范围；
2 ) .………………
2
6分
（Ⅱ）由题意 F (
2,0) ，设 M (x0 , y0 ) ，其中 x0
2 ，则
x02 4
y02 2
1.
所以直线 AM 的方程为 y y0 (x 2) . x0 2
……………… 7
分
令 x 0 ，得点 P 的坐标为 (0, 2 y0 ) . x0 2
2,
2 y0
)
，
x0 2
x0 2
得
FP FQ 2
4 y02
2x02 4 y02 8 0 ，
x02 4
x02 4
所以 FP FQ ，即 PFQ 90 ，
……………… 12 分
所以 PFQ 为定值.……………… 14 分
（Ⅱ）设椭圆 C 的右焦点为 F ，点 Q 在 y 轴上，且 AQ//BM ，求证： PFQ 为定值.
19．（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）由题意，得 c2 a2 2 ， c 2 ， a2
分
……………… 2
解得 a 2 ， c 2 ，所以椭圆 C 的方程为 x2 y2 1. ……………… 3 分 42
……………… 8
分
因为 kMB
y0 x0
2
，所以 kAQ
y0 x0
2
.
所以直线 AQ 的方程为 y y0 (x 2) . x0 2
………………10 分
令 x 0 ，得点 Q 的坐标为 (0, 2 y0 ) . x0 2
由
FP (
2,
2 y0
) ， FQ (
设 C x1, y1 ， D x2 , y2 ， l2 的方程为 y k(x 1) （ k 1）.
y k(x 1)
由
x2 2
y2
1
消去
y
，整理得
2k 2 1
x2 4k 2x 2k 2 2 0 .
则
x1 +x2
4k 2 2k 2 1
由
x2 4
y2 3
1.
得 4k 2 3 x2 32k 2 x 64k 2 12 0
………………5
依题意 = 32k 2 2 4 4k 2 3 64k 2 12 0 ，即 0 k 2 1 . 4
则
x1
【石景山】18. （本小题 14 分）
已知抛物线 C : y2 2 px 经过点 P(1, 2) ，其焦点为 F ． M 为抛物线上除了原点外的
任一点，过 M 的直线 l 与 x 轴， y 轴分别交于 A , B ． （Ⅰ）求抛物线 C 的方程以及焦点坐标； （Ⅱ）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线 l 是抛物线 C 的切线．
y1 y1
y2
y2
t2
4t t2 2 2
2
因为 B '(x2 , y2 )
所以 |AB ' | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
因为
( x1
x2 )2
(ty1
ty2 )2
t 2 ( y1
y2 )2
t 2[( y1
y2 )2
4 y1 y2 ]
k AB
yA yB xA xB
1. 2
又故kop
1 2
,
kAB kOP .
所以直线 AB 与直线 OP 平行.
.............................13 分
【朝阳】19.（本小题满分 14 分）
过椭圆
W:
x2 2
y2
1的左焦点
F1 作直线 l1 交椭圆于
A, B
两点，其中
A
(0,1)
，另一
条过 F1 的直线 l2 交椭圆于 C, D 两点（不与 A, B 重合），且 D 点不与点 0，1重合. 过
F1 作 x 轴的垂线分别交直线 AD ， BC 于 E , G .
（Ⅰ）求 B 点坐标和直线 l1 的方程；
（Ⅱ）求证： EF1 F1G .
19. （本小题满分 14 分）
法二：设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 当直线 l 是 x 轴时， |AB ' | 2 2
当直线 l 不是 x 轴时，设直线 l 的方程为 x t y 2
所以
x2 2
y2
1 ，所以
(t
2
2) y2-
4t
x t y 2
y 2 0，
所以
(1 k) x2 1(3x1 4) x2 x1 1
x2 (3x1 4)
(1 k)2x1x2 3(x1 x2 ) 4
x2 (3x1 4)
把
x1 +x2
4k 2 2k 2 1
，
x1x2
2k 2 2k 2
2 1
代入到
2 x1 x2
y x 1
解：（Ⅰ）由题意可得直线 l1 的方程为
y
x1 Nhomakorabea.与椭圆方程联立,由
x2
2
y2
1
可求 B( 4 , 1) . 33
……………4 分
（Ⅱ）当 l2 与 x 轴垂直时， C, D 两点与 E , G 两点重合，由椭圆的对称性， EF1 F1G .
当 l2 不与 x 轴垂直时，
8
k
2
64k 4k
2 2
12 3
5
32k 2 4k 2
3
x1 1x2 1
8
0.
所以直线 MF 的倾斜角与直线 NF 的倾斜角互补，即 OFA OFB .
因为 OF AB ，所以| FA || FB | .
的方程为
y
1 3
y1 x1
1
3 4
3
(x
4 ) ,令
3
x
1 ，得点
G
的纵坐标
yG
y1 x1 3(x1
1 4) .把 3