材料的弹性变形

y=
c ’- c c
=- c c
z=
b ’- b b
=- b b
定义横向收缩系数ν为： = y = z
x
x
式中： ν叫泊松比。
40
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（1）单向应力
则：
x E
x
v y z
x
x
y
vx
vx
E
=εz
41
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（2）三向应力（x、y、z三个方向均施加正应力）
高分子材料：宏观变形量特别大，很容易发生大的弹性 变形；弹性模量很小。
➢原因：系统内能的增加带来自由能的增加导致了常 规弹性的产生，而系统熵的减小所引起的自由能的增 加则是高弹性产生的根本原因。
54
1.3.3 弹性模量的测试
（1）静力法 在静荷载下，通过测量应力和应变建立它们之间的关
系曲线（如拉伸曲线），然后根据胡克定律以弹性形变区 的线性关系计算模量值。 （2）动力法（常用）
受力与变形特点
内力与变形有关
F F
F FN=F
9
受力与变形特点
内力与变形有关
M0
M0
M0
M＝ M0
10
受力与变形特点 内力必须满足平衡条件
F1 F2
F3
作用在弹性体上的外力相互平衡。
Fn
F1
假想截面
F3
内力与外力平衡； 内力与内力平衡。
F2
分布内力
Fn
11
受力与变形特点
内力特点
内力－变形引起的物体内部附加力，内
二、应变
应变：是用来描述物体内部各质点之间的相对位移的。
拉伸应变：是指材料受到垂直于截面积的大小相等、 方向相反并作用在同一条直线上的两个拉伸应力时材料发 生的形变。
（1）名义应变： L1 L0 L
L0
L0
（2）真实应变：
T
L1
L0
dL L
ln L1 L0
25
二、应变 （3）剪应力和剪应变：
E、G、K、 ν为本征参数，与外界条件无关。对于 各向同性材料，4个参数各个方向一致。
46
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
注意：
以上各种结果是假定材料为各向同性体得出的。对于大多 数多晶材料来说，虽然微观上各晶粒具有方向性，但因晶粒数 量巨大，且排列混乱，故宏观上可以当做各向同性体处理；
单晶及其有织构的材料或复合材料（用纤维增强的）具有 明显的方向性，此时，各种弹性常数将随方向而不同，胡克定 律将有更一般的应力-应变关系。
52
1.3.2 弹性模量的本质
金属材料：其弹性限度仅为0.2%，超过这个范围便发生 塑性变形。
➢原因：金属中总有大量的位错存在，由于金属键使 得位错滑移很容易发生，从而大大降低了其理论强度。
陶瓷材料：硬而脆，即其弹性模量很高（通常为金属的 10倍），但其变形量很小，以至于很难利用拉伸实验获得 弹性模量的数据。
2U
Ks=
r2
r0
ro r ＋ ＋
－
r
r Um
弹性常数Ks值的大小实质：反映了原子间势能曲线极 小值尖峭度的大小。即，势能最小值越低，则势阱越深， 改变原子之间的相对距离所做的功越大，弹性模量越大。
共价键的势能曲线的谷比金属键和离子键的深，因此， 它的弹性刚度系数比金属键和离子键的大。
力不能是任意的，内力与变形有关，必须满足 平衡条件。
12
3.工程构件受力模型 拉伸
压缩
13
3.工程构件受力模型 剪切
14
3.工程构件受力模型
扭转
15
3.工程构件受力模型 弯曲
16
3.工程构件受力模型 弯曲
17
3.工程构件受力模型 组合受力
18
4.强度、刚度和稳定性问题
强度—不因发生断裂或塑性变形而失效； 刚度—不因发生过大的弹性变形而失效； 稳定性—不因发生因平衡形式的突然转变而失效。
变也是不同的，因而各个方向的泊松系数也随应力的方向 变化； ❖除正应力对应变有影响外，剪应力也会对应变产生影响； ❖除剪应力对剪应变有影响外，正应力也会对剪应变产生影 响。
48
1.3 弹性模量的物理本质及其影响因素
1.3.1 弹性模量的微观描述
材料受力的宏观表现——弹性变形； 微观表现——内部质点产生相对位移。
➢原因：陶瓷的键合通常为离子键或共价键，原子之 间的相互作用力很强，相互之间键角十分固定，以至 于很难变形；
53
1.3.2 弹性模量的本质
➢材料内部的微观缺陷（如位错、空位、晶界和微裂 纹）也显著降低了理论强度，而且，由于键合特点， 使得陶瓷的应力释放以裂纹扩展为主，而不像金属那 样依靠位错的滑移而进行。
真实应力（实际应力）：
真 真应 瞬 力 载 时 荷 载 A F i 面 （Ai瞬时截积 面积）
故：工程应力＜真实应力。
21
一、应力
（2）应力及其方向的描述 z
围绕材料内部一点P，取一 体积单元
zz
zy
zx
yz
xz
xy
yy
S
xx
yx
y
应力分量
x 22
（2）应力及其方向的描述
下脚标的意义： 每个面上有一个法向应力和两个剪应力，应力分量下标： 第一个字母表示应力作用面的法线方向； 第二个字母表示应力的作用方向。 方向的规定： 正应力的正负号规定：拉应力（张应力）为正，压应力为负。
剪切应变：是指材料受到平行于截面积的大小相等、 方向相反的两个剪切力时发生的形变。即物体内部一体积 单元上的两个面元之间的夹角变化。
F
A
Wtan (当 较小 )
h
26
二、应变 （4）压缩应变：
压缩应变：是指材料周围受到均匀应力P时，其体积 从开始时的V0变化为V1的形变。
V0 V1 V
V0
V0
27
对于各向同性体，正应力不会引起长方体的角度改变即 无剪切形变，只会产生法向应变，而且应力与应变成线性关 系，即长方体的单位伸长可表示为：
x
x
E
，x
l l
式中：E——弹性模量，对各向同性体为一常数。
39
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（1）单向应力（单元体仅在x方向受到正应力）
当长方体伸长时，侧向要发生横向收缩，由σx引起的， 在y、z方向的收缩为：
C B A
D K
O
29
三、应力与应变曲线
C
B A
D K
➢ A（A点）：比例极限；E（B点）：弹性极限；P（C点 ）：屈服极限；U（D点）：断裂极限。
➢ 应力E，可逆线性正比例关系，当应力在E和P之间， 外力去除后有一定程度的永久变形，即发生塑性变形。
➢ 陶瓷材料一般没有塑性变形，发生脆性断裂。
正剪应力
剪应力的正负号规定：
负剪应力
23
一、应力
（2）应力及其方向的描述
z zz
zx xz
S
xx
zy yz
xy yx
由于: x y y x xz zx yz zy
yy 故一点的应力状态由 六个应力分量表示:
y
xx , yy , zz
应力分量
x
xy , yz , zx
24
对于弹性变形，一般材料的泊松比在0.2-0.3之间，大多数 材料为0.2-0.25。陶瓷材料的弹性模量E随材料不同变化范围很 大，约在109-1011N/m2。
47
1.2.2 广义胡克定律（各向异性体）
❖各向异性材料的各个方向的弹性模量都不相同； ❖当各向异性材料同时受到三向应力作用时，各个方向的形
利用材料的弹性模量与所制成试棒的本征频率或弹性 应力波在材料中传播速度之间的关系进行测定和计算。
55
1.3.3 弹性模量的测试
（2）动力法
优点： ➢动力法能给出准确的结果； ➢方法灵活，即在对试样没有很强的作用下，可以在同 一个试样上跟踪研究不同的连续变化因素与弹性模量的 关系。
56
1.3.4 影响弹性模量的因素
43
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（4）压缩应变
体积模量 K
受力前体积：V0 abc
变形后：
a a a 1 x
b b b 1 y
c c c 1 z
变形后体积：V1aabbcc
abc1x1y1z
44
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（4）压缩应变
VV 0 1x1y1z1
（1）原子结构的影响
常温下，弹性模量随着原子序数的增加也呈周期性变化。
✓ 短周期，随原子序数的增加而增加； 原因：与价电子数目的增加及原子半径的减小有关。 ✓ 同一族元素，随原子序数增加而降低； 原因：与价电子数目不变而原子半径的增大有关。 ✓ 过渡族金属的E都比较大。 原因：d层电子引起较大原子结合力。
1
x
E
2
y
E
x123
3
z
E
x
1 E
x
v (
y
z )
y
1 E
y
v ( x z )
z
1 E
z
v ( x
y )
42
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（3）剪切应变
ห้องสมุดไป่ตู้
xy
xy
G
xy面
yz
yz G
yz面
xz
xz
G
xz面
G为切变模量
E、G、ν之间的关系：
G E 2 (1 v )
材料物理性能
第一部分：材料的力学性能
1
高温蠕变
2
第一章：材料的弹性变形
主要内容：
一.应力和应变； 二.胡克定律； 三.弹性模量； 四.滞弹性。
要求：
从微观的角度来理解宏观性能、掌握解决问题的 关键。
3
1. 基本概念
变形：材料在受到外力作用时产生的形状和体积 的变化；
弹性变形：外力除去后，变形也消失的变形过程； 塑性变形：当外力除去后，不能恢复的变形过程。
E ,G
6
弹性变形
弹性模量E、G的物理意义：产生单位应变所需 施加的应力，是材料弹性形变难易的衡量，也表征 着材料恢复形变前形状和尺寸的能力。
微观上：弹性模量代表了材料中原子、离子或 分子间的结合力。
7
2.受力形变
外力内力
内力－变形引起的物体内部附加力。
F1
F3
F1
F3
F2
Fn
F2
Fn
8
4
弹性变形
弹性变形的特征：可逆性，即受力作用后产生变形， 卸除荷载后，变形消失。
弹性体——胡克定律：在施加给材料的应力F和所引起 的应变D之间的线性关系：F=M.D
式中：M——比例常数，与材料性质有关的物理常数， 不随施加应力的大小而变化，称为弹性模量（模量）。
5
弹性变形
注意：弹性模量M依应力状态的形式而异；对于各 向同性材料而言，单向拉伸或压缩时用正弹性模量E（杨 氏模量）来表征；当受到剪切变形时用剪切弹性模量G （切变模量）来表征。分别表示为：
30
三、应力与应变曲线
脆 性 材 料
31
三、应力与应变曲线
韧性金属材料
32
三、应力与应变曲线
聚合物
33
三、应力与应变曲线
e 弹性极限
弹 性
p 比例极限
行
为
34
三、应力与应变曲线
屈 服
s 屈服强度
行
为
35
三、应力与应变曲线
不同材料的应力-应变曲线
36
1.2 弹性变形
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（1） 原子平面偏离平衡位置； （2） 键力发生变化，内力贮存； （3） 内力作用下，回到平衡位置。
原子受力偏离平衡位置，原子自身键力作用回原 点趋势；施加外力变形，能量守恒，力的能量贮 存在材料中，即弹性应变能。
49
1.3.2 弹性模量的本质
12
－
F
ro r r
＋
＋ r
－
Um
原子间作用力及其势能和距离的关系
xy z P
xyz E 1 P v ( 2 P ) E P (2 v 1 )
V33P(2v1)
V0
E
K= P E E V/V0 3(2v1) 3(12v)
45
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
E (弹性模量)；
G （剪切模量）；
G E 2 (1 v )
K P E E （体积模量）。 V /V0 3(21) 3(12)
50
1.3.2 弹性模量的本质
（1）原子间的相互作用力和弹性常数间的关系 当r = r0，F = 0 ，平衡位置。
Ks= F tan
结论：弹性模量的大小是原子间作用力—位移曲线在平衡 位置时的斜率大小。
本质：弹性模量是原子间键和强度的表征。
51
1.3.2 弹性模量的本质
12 －F
（2）双原子间势能的曲线
19
1.1 应力和应变
一、应力
（1）定义：分布在单位面积上的内力，揭示了内力在在截面 上的聚集程度，即：
= F A
式中：F—外力； σ—应力，单位为Pa； A—面积。
20
1.1 应力和应变
一、应力
工程应力（名义应力）——常用：
工 程 工程 加 应 载 载 力 荷 前 A F o的 （A0加载截 前的面积面 ） 积
三、应力与应变曲线
材料的受力形变三种情况：
❖脆性材料(非金属材料)：只有弹性形变，无塑性
形变或塑性形变很小。
❖延性材料(金属材料) ： 有弹性形变和塑性形变。 ❖弹性材料 (橡 胶) ： 弹性变形很大，没有残
余形变（无塑性形变）。
28
三、应力与应变曲线
固体材料在外力作用下发生形状和体积变化，这种变化 可能是可逆的、不可逆的，甚至发展到材料的断裂，基础是 材料的本性和力的情况。
弹性变形：材料在外力作用下产生变形，当外力撤 除后材料又能恢复到原来的形状，这种具有可逆性的变 形叫做弹性变形。
弹性变形——胡克定律。
37
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（1）单向应力（单元体仅在x方向受到正应力）
x
x
b
c
c
L
L
b
y
x
z
38
1.2.1 狭义胡克定律（各向同性体）
（1）单向应力（单元体仅在x方向受到正应力）