数学物理方法2课件：第十三章-柱函数-渐近表示式
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
d 2 y 1 dy d ⎛ ν2 ⎞ + + ⎜1 − 2 ⎟ y = 0 2 dx x dx ⎝ x ⎠
⎛ 1 − 4ν 2 ⎞ x → ∞ g ′′( x) + g ( x) = 0 = g ′′( x) + ⎜1 + g ( x ) 0 ⎟ x2 ⎠ ⎝
y ( x) ∼ 1 cos ( x + θν ) x
3. 贝塞尔函数的渐近表示式 主要是讨论当变量 x→ ∞ 时，柱函数的的渐近行为。先看一下贝塞尔 函数的渐近行为。令
y ( x) = g ( x) / x y ′ = g ′ / x1/ 2 − g / ( 2 x 3/2 ) y ′′ = g ′′ / x1/ 2 − g ′ / x 3/ 2 + 3 g / ( 4 x 5/2 )
Jν ( x) ≈
Aν
cos ( x + θν )
d −ν −ν ⎡ ⎤ x J ( x ) = − x Jν +1 ( x) ν ⎣ ⎦ dx 可以得到： x 将 上面Jν ( x)及 Jν′ ( x)的渐近式代入，则有 Aν sin ( x + θν ) ≈ Aν +1 cos ( x + θν +1 ) 由此可以得到递推关系： Aν +1 =Aν , θν +1 = θν − −
νπ
π
π
π
, θ 0 = θ1/2 +
π
4
=−
π
4
柱函数的的渐近行为 :
x→∞
2 Jν ( x) ≈ cos ( x −νπ ν / 2 − π / 4) πx
Nν ( x) ≈ 2 sin ( x −νπ / 2 − π / 4 ) πx
Hν(1) ( x) ≈
Hν(2) ( x) ≈
பைடு நூலகம்
2 i ( x −νπ /2−π /4) e πx
ν
Jν ( x) + Jν′ ( x) = − Jν +1 ( x)
π
2
由此可以推出： 2 由前面的讨论，可以知道：当ν =1/ 2时，有： J1/2 ( x) = 这样可以得到： 2 这样，再由前面得到的递推关系，有： A0 = A1/2 = 所以最后得到 所以最后得到： 2 ⎛ νπ π ⎞ Jν ( x) ≈ sin ⎜ x − − ⎟ πx 2 4⎠ ⎝ 2 A1/2 = 2 2 2 π⎞ ⎛ sin x = cos ⎜ x − ⎟ πx πx 2⎠ ⎝ , θ1/2 = − Aν =A0 , θν = θ 0 −
2 − i ( x −νπ /2−π /4) e πx
可见：汉克函数的渐进式为 一个衰减的平面波 个衰减的平面波
应用： （1）分析电磁场、温度场等物理量空间分布的渐近行为； （2）分析电磁波（包括光波）色散行为。
其中 θν 为相角，是待定的常数，但与 ν 有关。
Jν ( x) ∼
1 cos ( x + θν ) x
x 其中Aν 及θν 是两个待定的常数。将上式两边再对x求导，可以得到 x A ≈ − ν sin ( x + θν ) x 另一方面，由递推关系 Jν′ ( x) ≈ − Aν sin ( x + θν ) − 1 Aν cos ( x + θν ) 2x x
⎛ 1 − 4ν 2 ⎞ x → ∞ g ′′( x) + g ( x) = 0 = g ′′( x) + ⎜1 + g ( x ) 0 ⎟ x2 ⎠ ⎝
y ( x) ∼ 1 cos ( x + θν ) x
3. 贝塞尔函数的渐近表示式 主要是讨论当变量 x→ ∞ 时，柱函数的的渐近行为。先看一下贝塞尔 函数的渐近行为。令
y ( x) = g ( x) / x y ′ = g ′ / x1/ 2 − g / ( 2 x 3/2 ) y ′′ = g ′′ / x1/ 2 − g ′ / x 3/ 2 + 3 g / ( 4 x 5/2 )
Jν ( x) ≈
Aν
cos ( x + θν )
d −ν −ν ⎡ ⎤ x J ( x ) = − x Jν +1 ( x) ν ⎣ ⎦ dx 可以得到： x 将 上面Jν ( x)及 Jν′ ( x)的渐近式代入，则有 Aν sin ( x + θν ) ≈ Aν +1 cos ( x + θν +1 ) 由此可以得到递推关系： Aν +1 =Aν , θν +1 = θν − −
νπ
π
π
π
, θ 0 = θ1/2 +
π
4
=−
π
4
柱函数的的渐近行为 :
x→∞
2 Jν ( x) ≈ cos ( x −νπ ν / 2 − π / 4) πx
Nν ( x) ≈ 2 sin ( x −νπ / 2 − π / 4 ) πx
Hν(1) ( x) ≈
Hν(2) ( x) ≈
பைடு நூலகம்
2 i ( x −νπ /2−π /4) e πx
ν
Jν ( x) + Jν′ ( x) = − Jν +1 ( x)
π
2
由此可以推出： 2 由前面的讨论，可以知道：当ν =1/ 2时，有： J1/2 ( x) = 这样可以得到： 2 这样，再由前面得到的递推关系，有： A0 = A1/2 = 所以最后得到 所以最后得到： 2 ⎛ νπ π ⎞ Jν ( x) ≈ sin ⎜ x − − ⎟ πx 2 4⎠ ⎝ 2 A1/2 = 2 2 2 π⎞ ⎛ sin x = cos ⎜ x − ⎟ πx πx 2⎠ ⎝ , θ1/2 = − Aν =A0 , θν = θ 0 −
2 − i ( x −νπ /2−π /4) e πx
可见：汉克函数的渐进式为 一个衰减的平面波 个衰减的平面波
应用： （1）分析电磁场、温度场等物理量空间分布的渐近行为； （2）分析电磁波（包括光波）色散行为。
其中 θν 为相角，是待定的常数，但与 ν 有关。
Jν ( x) ∼
1 cos ( x + θν ) x
x 其中Aν 及θν 是两个待定的常数。将上式两边再对x求导，可以得到 x A ≈ − ν sin ( x + θν ) x 另一方面，由递推关系 Jν′ ( x) ≈ − Aν sin ( x + θν ) − 1 Aν cos ( x + θν ) 2x x