天津市塘沽区2019-2020学年新高考高一数学下学期期末质量检测试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数y sinx=和y cosx=在区间D上都是增函数，则区间D可以是（）A．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B．2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，C．3(,)2ππD．322ππ⎛⎫⎪⎝⎭，2．各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A．243a B．233a C．23a D．223a3．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（）A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和294．已知,αβ∈R，两条不同直线1sin sin sin cosx yαβαβ+=++与1cos sin cos cosx yαβαβ+=++的交点在直线y x=-上，则sin cos sin cosααββ+++的值为（）A．2 B．1 C．0 D．-15．函数y=2的最大值、最小值分别是()A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－16．在ABC∆中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c.若4c=，4a=，45A=︒，则sin C等于（）A．12B2C．14D27．计算22cos sin1212ππ-的值为（）A．12-B．12C．3D．328．若关于x29340x kx k-+-=有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B．72,243⎛⎤⎥⎝⎦C．70,24⎛⎤⎥⎝⎦D．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭9．设x y，满足约束条件70310,350x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，则2z x y=-的最大值为（）.A．10 B．8 C．3 D．210．如图，在ABC ∆中，若AB a =，AC b =，4BC BD =，用,a b 表示AD 为（ ）A ．1144AD a b =+B ．5144AD a b =+ C ．3144AD a b =+D ．5144AD a b =-11．11sin 6π的值为 ( )A ．12-B ．12C ．3-D ．3 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题中正确命题的个数为( ) ①若A B >,则sin sin A B >；②若222a b c +<，则ABC ∆为钝角三角形； ③若()()a b c a b c ac ++-+=，则23B π=． A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题：本题共4小题13．正项等比数列{}n a 中，11a =，32a =，则公比q =__________．14．利用直线与圆的有关知识求函数2()349(2)12f x x x =---+的最小值为_______. 15．方程94330x x -⋅+=的解集是__________.16．向量(24)(11)a b ==，，，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知，（1）求的值；（2）求的值18．某同学假期社会实践活动选定的课题是“节约用水研究”.为此他购买了电子节水阀，并记录了家庭未使用电子节水阀20天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了电子节水阀20天的日用水量数据，并利用所学的《统计学》知识得到了未使用电子节水阀20天的日平均用水量为0.483m ，使用了电子节水阀20天的日用水量数据的频率分布直方图如下图：（1）试估计该家庭使用电子节水阀后，日用水量小于0.353m 的概率；（2）估计该家庭使用电子节水阀后，一年能节省多少3m 水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）19．（6分）已知12,e e 是夹角为60︒的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+． （1）求a b ⋅；（2）求a 与b 的夹角θ．20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,6)P ，圆22:10100C x y x y +++=.（1）求过点P 且与圆C 相切于原点的圆的标准方程； （2）过点P 的直线l 与圆C 依次相交于A ，B 两点. ①若AO PB ⊥，求l 的方程；②当ABC 面积最大时，求直线l 的方程.21．（6分）某销售公司通过市场调查，得到某种商品的广告费x （万元）与销售收入y （万元）之间的数据如下： 广告费x （万元） 1 2 4 5 销售收入y （万元）10224048（1）求销售收入y 关于广告费x 的线性回归方程y bx a =+；（2）若该商品的成本（除广告费之外的其他费用）为2x 万元，利用（1）中的回归方程求该商品利润W 的最大值（利润=销售收入－成本－广告费）.参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.22．（8分）设函数2()2cos 32f x x x =.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若[,0]4x π∈-，求函数()f x 的值域.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】依次判断每个选项，排除错误选项得到答案. 【详解】0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y cosx =单调递减，A 错误,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y sinx =单调递减，B 错误3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，y sinx =单调递减，C 错误3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数y sinx =和y cosx =都是增函数，D 正确故答案选D 【点睛】本题考查了三角函数的单调性，意在考查学生对于三角函数性质的理解应用，也可以通过图像得到答案. 2．C 【解析】 【分析】判断三棱锥是正四面体，它的表面积就是四个三角形的面积，求出一个三角形的面积即可求解本题. 【详解】由题意可知三棱锥是正四面体，各个三角形的边长为a ，三棱锥的表面积就是四个全等三角形的面积，即224=， 所以C 选项是正确的.本题考查棱锥的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题. 3．B 【解析】 【分析】根据茎叶图，将两组数据按大小顺序排列，因为是12个数，所以中位数即为中间两数的平均数. 【详解】从茎叶图知都有12个数，所以中位数为中间两个数的平均数 甲中间两个数为25，27，所以中位数是26 乙中间两个数为28，30，所以中位数是29 故选：B 【点睛】本题主要考查了茎叶图和中位数，平均数，还考查了数据处理的能力，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】联立方程求交点，根据交点在在直线y x =-上，得到三角关系式，化简得到答案. 【详解】1sin sin sin cos 1cos sin cos cos 1111()()0sin sin cos sin sin cos cos cos x y x y x y αβαβαβαβαβαβαβαβ⎧+=⎪++⎪⎨⎪+=⎪++⎩⇒-+-=++++交点在直线y x =-上sin sin cos s 111in sin cos cos co 1s αβαβαβαβ-=-++⇒++sin sin cos c 111os cos sin sin co 1s αβαβαβαβ+=+++⇒++sin cos sin cos sin cos sin cos (sin sin )(cos cos )(cos sin )(sin cos )ααββααββαβαβαβαβ++++++=++⇒++观察分母(sin sin )(cos cos )αβαβ++和(cos sin )(sin cos )αβαβ++不是恒相等故sin cos sin cos 0ααββ+++=【点睛】本题考查了直线方程，三角函数运算，意在考查学生的计算能力. 5．B 【解析】 【分析】根据余弦函数有界性确定最值. 【详解】 因为，所以，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.【点睛】本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题. 6．B 【解析】 【分析】利用正弦定理可求sin C . 【详解】由正弦定理得2sin 22sin 442A C c a ==⨯=.故选 B.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于容易题. 7．D 【解析】 【分析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解. 【详解】由二倍角公式得：22312126cos sin cosπππ-==， 故选D. 【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题. 8．B 【解析】方程化为2934x kx k-=-+，可转化为半圆29y x=-与直线34y kx k=-+有两个不同交点，作图后易得．【详解】由29340x kx k--+-=得2934x kx k-=-+由题意半圆29y x=-与直线34y kx k=-+有两个不同交点，直线34y kx k=-+过定点(3,4)P，作出半圆29y x=-与直线34y kx k=-+，如图，当直线过(3,0)A-时，3340k k--+=，23k=，当直线与半圆相切（PB23431kk-+=+，解得724k=．所以k的取值范围是72(,]243．故选：B.【点睛】本题考查方程根的个数问题，把问题转化为直线与半圆有两个交点后利用数形结合思想可以方便求解．9．B【解析】【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-，联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题. 10．C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算和数乘运算来表示即可得到结果. 【详解】()113131444444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b =+=+=+-=+=+本题正确选项：C 【点睛】本题考查根据向量的线性运算，来利用已知向量表示所求向量；关键是能够熟练应用向量的加减法运算和数乘运算法则. 11．B 【解析】 【分析】直接利用诱导公式结合特殊角的三角函数求解即可. 【详解】111sinsin 2sin 6662ππππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭,故选B. 【点睛】本题主要考查诱导公式以及特殊角的三角函数，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题. 12．C 【解析】【分析】根据正弦定理和大角对大边判断①正确；利用余弦定理得到C ∠为钝角②正确；化简利用余弦定理得到12cos ,23B B π=-∠=③正确.【详解】①若A B >,则sin sin A B >；根据A B >，则a b > 即2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，正确 ②若222a b c +<，则ABC ∆为钝角三角形；222222cos cos 0c a b ab C a b C =+->+∴<，C ∠为钝角，正确③若()()a b c a b c ac ++-+=，则23B π=22222()()()222cos a b c a b c a c b a c ac b ac ac B ac ++-+=+-=++-=+=即12cos ,23B B π=-∠=，正确 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生对于正弦定理和余弦定理的灵活运用. 二、填空题：本题共4小题 13【解析】 【分析】根据题意，由等比数列的性质可得231a q a =，进而分析可得答案. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 中11a =，32a =，则2312a q a ==， 又由数列{}n a是正项的等比数列，所以q =. 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，以及注意数列{}n a 是正项等比数列是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14．3 【解析】 【分析】令y =()()22290x y y -+=≥，()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，再利用圆心到直线距离求最值即可【详解】令y =()()22290x y y -+=≥故()312f x x =-转化为z=3412x y -+=341255x y -+⨯，表示上半个圆上的点到直线34120x y -+=的距离的最小值的5倍，即185335⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭故答案为3 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查数形结合思想，是中档题 15．{}0,1 【解析】 【分析】令3x t =，()0,t ∈+∞，将原方程化为关于t 的一元二次方程，解出得到t ，进而得出方程的解集. 【详解】令3x t =，()0,t ∈+∞，故原方程可化为2430t t -+=，解得1t =或3t =， 故而0x =或1x =，即方程94330x x -⋅+=的解集是{}0,1， 故答案为{}0,1. 【点睛】本题主要考查了指数方程的解法，转化为一元二次方程是解题的关键，属于基础题. 16．-3 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：∵(2,4),(1,1)a b ==，∴()26,2a b b ⋅==，又∵()b a b λ⊥+，∴()2()0b a b a b bλλ⋅+=⋅+=，∴620λ+=，∴3λ=-考点：本题考查了向量的坐标运算点评：熟练运用向量的坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。