散度和旋度
散度和旋度的计算公式
散度和旋度的计算公式散度和旋度是向量场中两个重要的概念，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
散度描述了向量场的流出或流入程度，而旋度则描述了向量场的旋转程度。
下面分别介绍散度和旋度的计算公式。
散度的计算公式向量场$ \mathbf{F} = \left( P, Q, R \right) $的散度定义为：$abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} $其中，$ \frac{\partial}{\partial x} 、 \frac{\partial}{\partial y} 和\frac{\partial}{\partial z} 分别表示对x、y和z的偏导数。
若向量场\mathbf{F}$是二维的，则散度的计算公式简化为：$abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} $ 旋度的计算公式向量场$ \mathbf{F} = \left( P, Q, R \right) $的旋度定义为：$abla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{pmatrix} $ 展开计算后，可得到旋度的具体计算公式：$abla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partialQ}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} $总结散度和旋度是向量场的两个重要性质，通过计算散度和旋度可以揭示向量场的流动和旋转规律。
散度梯度旋度
散度梯度旋度散度梯度旋度（divergence-gradientrotation）称为“散度-旋度梯度”，是一种有效的流体动力学理论，用于描述和分析流体在三维空间中受外力或内部物理作用的变化规律。
散度-旋度梯度是流体动力学中常用的概念，它可以用来描述流体中受外力或内部物理作用的影响。
此外，它也可以用来模拟流体的流变性和流动状态等。
散度梯度旋度的基本概念是，在三维空间中，流体每一点处，随着时间的流失，流速（即散度）和旋度（即梯度）会有所变化。
它反映出流体在每个空间点处受外力或内部物理作用的影响，以及流动方向和大小的变化。
具体来说，当一个流体处于静止的状态时，它的散度就是0，旋度也是0。
然而，如果外力或内部物理作用开始作用于流体，那么流体每个空间点处的散度和旋度就会变化。
所以，散度梯度旋度可以用来描述流体受外力或内部物理作用的影响，以及流动方向和大小的变化。
散度梯度旋度在流体动力学中有着重要的意义，因为它可以用来模拟流体的流动状态以及流变性。
它可以帮助我们预测流体在空间上的运动，以及流体的流变性如流速和旋度的变化，这对于分析流体的运动和物理特性是非常有用的。
此外，散度梯度旋度还可以用来模拟流体在物体表面上的湍流，以及涡流的产生和变化。
这种湍流的模拟具有重要的意义，因为它可以帮助我们预测流体在不同物体表面上的湍流状态，以及流速和旋度的变化。
总之，散度梯度旋度是一种重要的理论，可以用来描述和分析三维空间内流体受外力或内部物理作用的变化规律。
散度梯度旋度可以用来模拟流体的流变性，以及流动状态等，还可以用来预测湍流的发展过程，以及流速和旋度的变化。
因此，散度梯度旋度理论在流体动力学领域具有重要的意义，对于深入研究流体的物理特性，特别是湍流的特性，散度梯度旋度理论是一种重要的工具。
散度梯度旋度理论比较复杂，它涉及许多有关动力学、物理、数学和计算机学等方面的知识。
它是流体动力学领域的一个重要分支，它的研究可以帮助我们深入理解流体的物理特性和湍流的发展，从而有助于改善进行流体设计的可靠性和效率。
第七节斯托克斯公式散度与旋度
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 dS z
x2 y2
高等数学
x y3
Dxy
2
x y1 2
4
3
(
x
y z)dS
(在上x
y z 3) 2
43
3
2
dS
2
3
Dxy
3dxdy 9 . 2
高等数学
{ 例3 求C
是曲线
(z
x2
y)dx
y2 1,
(
x z)dy ( x y)dz, 其中C 从z轴正向往z轴负向看, C的
高等数学
第七 节 斯托克斯公式 散度与旋度
一. 斯托克斯公式 二. 应 用 三. 环流量与旋度
重点：斯托克斯公式的应用 难点：三度、斯托克斯公式
高等数学
一、斯托克斯(Stokes)公式
定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以
为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),
其中n
P
{cos ,cos
Q
,cos
R
}
Stokes公式的实质:
高等数学
表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系.
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
如果 是 xOy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯
公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例.
P d x Q d y R d z
二、应用
高等数学
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz ,
其中是平面 x y z 1被三坐标面所截成的
旋度 散度
旋度散度
螺旋度和散度是机械工程中常见的几何参数，它们经常用作装配螺钉、螺柱和柔性的软件元件的计量标准。
螺旋度和散度用来衡量表面曲线的一种曲率参数，用于测量轴承和螺钉旋转运动中表面形状变化的程度。
螺旋度是一种表示表面曲线每一段弯曲程度的数字参数，它考虑了曲线在空间上的卷折和弯曲程度，这两者决定了表面曲线的形成。
螺旋度受到以下因素的影响：基本二维点位置，局部弯曲程度，两个点之间的连接方向和连接角度，曲线的曲率与直线的距离，曲线的对称性与不对称性等。
散度是表面曲线曲线的连续性特征，决定了表面曲线点之间的连接关系，是其相邻点之间的夹角大小比例。
散度既反映了两个连续点之间的空间间距，也反映了曲线的局部比例变换情况，也就是说，散度是表面曲线不同点之间的有序性的反映。
螺旋度和散度是表面曲线比较精确的量化参数，它们反映了表面曲线的形状和大小。
它们在机械零件的制造过程中具有重要的意义，可以更好地提高曲线表面的质量。
电磁场 旋度 散度
电磁场旋度散度电磁场是一种物理场，由电荷和电流的运动产生。
其作用相当广泛，包括光、电等电磁现象。
电磁场是由电场和磁场构成的。
电场是指由电荷带有的势能区域，电荷的存在会在周围产生电场。
电场不断的改变在周围的传播，形成电磁波。
电场的大小与电荷的性质、电量大小、距离等有关。
通常用电场强度E表示。
单位为牛/库仑。
磁场是产生磁力的区域，磁荷存在会在周围产生磁场，磁力线会形成回路和环状图形。
磁场的大小与磁荷的性质、磁感应强度大小、距离等有关。
通常用磁感应强度B表示。
单位为特/韦伯。
旋度是描述矢量场旋转强度的物理量，描述矢量场在某一点的个体旋转率。
它是一个矢量，方向沿着法向(又称法线)，大小等于单位面积上矢量场所围成的环量除以该面积。
在电磁场的物理量中，旋度很重要，因为它可以描述电场和磁场的变化率。
电场的旋度不等于零，切线的长度是磁场的演化，而与磁场的大小无关。
磁场的旋度不被电流产生的电场所受。
在处理电磁场问题的时候，往往需要求出电场和磁场的旋度。
散度是一个矢量场的通量密度的本质，描述矢量场占据的空间对通量的贡献。
在电磁场的物理量中，散度也很重要，因为它可以描述电场和磁场的变化率。
电场和磁场的散度的变化率，可以体现有无电荷源或磁荷源。
如果某一空间内有电荷，其产生的电场的散度，就不为零。
如果该空间内没有电荷，其内部的电场的散度就为零。
在电磁场中，磁场的散度始终等于零，但会受到电流变化所产生的电势的影响。
总之，电磁场的旋度和散度是研究电磁场的两个重要物理量，这两个物理量对于研究电场和磁场的演化规律以及电磁波的传播有很大的作用。
在现代物理学中，它们应用相当广泛。
了解它们的物理意义，有助于我们更好地理解电磁场。
散度与旋度的物理背景
散度与旋度的物理背景散度与旋度是矢量场的两个重要概念，它们描述了矢量场在空间中的分布和变化规律。
在物理学中，散度和旋度有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解释许多自然现象和物理过程。
本文将介绍散度与旋度的物理背景，并探讨它们在流体力学、电磁学和量子力学等领域的应用。
一、散度的物理背景散度是矢量场的一个重要概念，它描述了矢量场在空间中的分布情况。
散度可以理解为矢量场的源和汇的强度之差，它表示了单位体积内矢量场的流入或流出的量。
在物理学中，散度的物理背景可以通过流体力学中的流量来解释。
在流体力学中，流体的流动可以用矢量场来描述。
矢量场表示了流体在空间中的速度分布情况。
当流体通过一个闭合曲面时，流体的流量可以通过计算流体通过曲面的速度与曲面面积的乘积来得到。
如果流体从曲面的外部流入，流量为正；如果流体从曲面的内部流出，流量为负。
散度就是描述单位体积内流体流入或流出的量，它表示了流体在空间中的源和汇的强度之差。
二、旋度的物理背景旋度是矢量场的另一个重要概念，它描述了矢量场的旋转情况。
旋度可以理解为矢量场的环流强度，它表示了单位面积内矢量场的旋转程度。
在物理学中，旋度的物理背景可以通过电磁学中的电场和磁场来解释。
在电磁学中，电场和磁场可以用矢量场来描述。
电场表示了电荷在空间中的分布情况，磁场表示了电流在空间中的分布情况。
当电荷或电流通过一个闭合回路时，电场或磁场的环流可以通过计算电场或磁场在回路上的积分来得到。
如果电场或磁场顺时针环绕回路，环流为正；如果电场或磁场逆时针环绕回路，环流为负。
旋度就是描述单位面积内矢量场的旋转程度，它表示了电场或磁场的环流强度。
三、散度与旋度的应用散度和旋度在物理学中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解释许多自然现象和物理过程。
以下是散度与旋度在流体力学、电磁学和量子力学等领域的应用举例：1. 流体力学：散度和旋度在流体力学中有着重要的应用。
散度描述了流体的源和汇的强度之差，可以帮助我们理解流体的流入和流出情况。
散度定理和旋度定理
如果场域有限，给定边界条件后，矢量场就唯一地被确定了。
2、无论是静态场，还是时变场，关注的重点都是围绕着它 们的旋度、散度和边界条件展开研究的。
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§1.6 基本规律
§1.6.1 （Gauss）散度定理 一、内容
任意矢量场 A 的散度在场中任意一个体积 V 内的体积分等
于矢量场 A 穿出限定该体积的闭合曲面 S 的通量，即 ( A)dv A ds
S
实现面积分和体积分相互转换的公式
§1.6.2 （Stokes）旋度定理 一、内容
任意矢量场 A 的旋度在场中任意一个曲面S 内的面积分等于
矢量场 A 围绕限定该面积的闭合曲线L 的环量，即
二、意义
L
A dl ( A) ds
S
实现线积分和面积分相互转换的公式
§1.6.3 亥姆霍兹定理 一、内容
在空间有限区域 V 内某一矢量场 A ，由它的散度、旋度
和边界条件唯一地确定
边界条件：包围区域 V的闭合面 S 上的矢量场的分布。
二、实质
矢量场中如果场的分布一定，若其散度源和旋度源一定
（场源一定），则该矢量场唯一确定。
三、意义
1、当矢量场的散度和旋度给定后，就确定了“源”的分布。
第三讲：散度、旋度
1.4矢量场的通量与散度 1.5矢量场的环流与旋度 1、理解散度、旋度的物理意义，掌握其计算公式和方法；2、理解散度定理、斯托克斯定理的物理意义，能灵活运用其作积分变换；3、知道散度、旋度描述了矢量场的不同性质，掌握它们的主要区别。
重点：散度、旋度的物理意义，计算公式。
难点：旋度的概念及其物理意义。
讲授、练习 学时：2学时1.4矢量场的通量与散度若所研究的物理量是矢量，则该物理量所确定的场称为矢量场，如：电场、磁场、速度场等。
矢量场F 可用矢量函数来描述。
如：直角坐标系中()()()()ˆˆˆ,,,,,,,,x x y y z z F F x y z eF x y z e F x y z e F x y z ==++ 1、矢量线1）方程：0F d r ⨯=与坐标系的选择有关，在直角坐标下： 二维场：y x F F dx dy = 三维场：y x z F FF dx dy dz== 2）性质：任意两条矢量线不相交 2、矢量管由于矢量线不相交，通过场中任一闭合线的各矢量线构成一封闭管。
1S 2S通过任意面的矢量线的条数：N F S F S ⊥∆=⋅∆=∆ 或 /F N S ⊥=∆∆（矢量线密度）即：用矢量线的疏密可以表示矢量场的大小。
一、矢量场的几何描述——矢量线二、矢量场的通量1、有向曲面ˆndS e dS=封闭面：外法线开面：与闭合线绕行方向构成右螺旋2、通量矢量F沿有向曲面S的面积分SF dSψ=⋅⎰称为矢量F穿过S面的通量。
若S为封闭面，则SF dSψ=⋅⎰3、通量的物理意义ψ=无源或正源和负源相等0ψ<负源或负源多于正源0ψ>正源或正源多于负源根据净通量的大小可大致判断闭合面中源的性质。
三、矢量场的散度1、散度的概念设封闭面S所包围的体积为V∆,则：SF dSV⋅∆⎰就是矢量场F在V∆中单位体积的平均通量，或称平均通量密度。
当闭合曲面S及其所包围的体积V∆向其内某点M收缩时，若平均通量密度的极限值存在，便记作规定：有向曲面法线方向+3q-q-q+q如何准确确定封闭面内源的分布及某一点源的强弱？limSV F dS divF V∆→⋅=∆⎰称为矢量场F 在该点的散度(div 是divergence 的缩写)。
散度梯度旋度的定义
散度梯度旋度的定义
散度、梯度和旋度是向量场中三个重要的概念。
散度表示向量场在某一点的发散程度，梯度表示向量场在某一点的变化率和变化方向，旋度则表示向量场在某一点的旋转程度。
散度是一个标量，用符号“div”表示。
在三维空间中，一个向
量场的散度可以用以下公式计算：
div F = Fx/x + Fy/y + Fz/z
其中，Fx、Fy和Fz分别表示向量场F在x、y和z方向上的分量，/x、/y和/z表示对x、y和z的偏导数。
梯度也是一个向量，用符号“grad”表示。
一个标量场的梯度可以用以下公式计算：
grad φ = (φ/x)i + (φ/y)j + (φ/z)k
其中，φ表示标量场，i、j和k分别表示x、y和z方向上的单位向量。
旋度也是一个向量，用符号“curl”表示。
在三维空间中，一个向量场的旋度可以用以下公式计算：
curl F = (Fz/y - Fy/z)i + (Fx/z - Fz/x)j + (Fy/x - Fx/y)k 其中，i、j和k分别表示x、y和z方向上的单位向量。
这三个概念在物理学、工程学、数学等领域中有广泛的应用，可以用来描述流体力学、电场、磁场等现象。
- 1 -。
旋度和散度
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
divA limSAdS ΔV0 ΔV
diA vA
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性； 2) 矢量场的散度是一个标量； 3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
3、直角坐标系中散度的表示
diA vAx Ay Az x y z
散度可用算符 哈密顿 表示为
diA vA
哈密顿
ψAd SA xdyd A yd z z dA zd xxdy
S
S
1 .2 .2 散度 Divergence of a vector field
1、定义：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
❖基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
旋度和散度的在电磁场中的物理意义
旋度和散度的在电磁场中的物理意义
电磁场中旋度和散度是不可分离的两个重要概念，它们在物理上有着明确的解释、定义与研究，因而在现在的物理学研究中发挥了重要作用。
旋度是指电磁场的旋转特性，指的是力场上的一个数量，具有旋转对称性，可
以按照一定的旋转方向。
简单来讲，就是指电磁场在一定半径范围内，存在着一个旋转的矢量势能。
旋度可以用来描述电磁场中矢量螺旋状势场的相对强度，主要表现形式是熵值。
散度是指矢量势能在不同半径中的变化情况，是电磁场强度变化的一种测量值。
通过对散度的测量，可以检测电磁场在不同空间尺度的不同分布，从而更好的了解整个能量场结构，更有助于分析电磁现象的特征。
两者是紧密联系的，旋度描述了力场的局地分布，而散度表示了力场在全局上
该如何发生变化。
旋度代表着空间力学视角下的纯发现，而散度却发挥着更全面的功能，它把空间力学视角的描述上升到一个更为普遍的概念，两者相互补充，共同帮助我们更好地去理解电磁场。
梯度、散度和旋转速度——定义及公式
梯度、散度和旋转速度——定义及公式梯度、散度和旋转速度是向量微积分中的重要概念，也是数学分析与物理学中经常使用的量。
梯度：表示函数在每个空间点处的变化率。
如果一个标量函数f(x,y,z)的梯度是 (Fx,Fy,Fz)，则函数在(x,y,z)处沿着最陡峭的方向增加。
它可以表示成以下形式：Grad(f)= (d/dx, d/dy, d/dz) f = F其中，“Grad”是梯度算子，代表对函数的梯度运算，F是函数在每个空间点(x,y,z)的梯度，d/dx，d/dy，d/dz是分别对 x,y,z求偏导运算符。
散度：表示矢量场的源密度，描述了矢量场如何从给定点扩散。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的散度是 div(F)，则在点(x,y,z)处聚集或消散的速率与点密度成比例。
div(F) = ∇·F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz其中“∇”为 nabla 符号，代表矢量微分算子，而“·”为数量积运算符。
旋度：衡量了矢量场在某一点“旋转”的强弱。
如果一个矢量场F(x,y,z)=(Fx,Fy,Fz)的旋度是 rot(F)，则表示为：rot(F) = ∇ × F = (dFz/dy - dFy/dz, dFx/dz - dFz/dx, dFy/dx -dFx/dy)其中“×”为叉积运算符。
梯度、散度和旋度在物理学中有广泛的应用，如电场、磁场、流体力学等领域。
通过它们可以更好地理解电磁场和流场的规律。
同时，这三个概念也是微分方程中的重要工具，可以帮助求解某些偏微分方程的边值问题。
旋度和散度
物教101 林晗
散度
例如：一个灯泡向为通量的体密度。
证明高斯定理：
在一个体积V内包围的矢量场A，将该 体积划分为N个微元，总通量为每个 微元的通量之和，当N趋近无穷大的 时候，高斯定理得证。
旋度
鞭炮点燃之后放置于地上，火花会不 断旋转，将旋转面分析为旋度。过空 间一点，在空间场里，环量面密度的 最大值为旋度。 定义：旋度为环量面密度
证明斯托克斯定律
取一个闭合回路L放置于矢量场中，将L 所围成的面积划分为N个微元。L的环流 为所有面积微元边线的环流之和。当N趋 近无穷大时，斯托克斯定律得证。
符号散度旋度
符号散度旋度一、符号、散度和旋度的概念在数学和物理学中，符号、散度和旋度是三个重要的概念。
它们在向量场的分析中扮演着关键的角色，可以帮助我们理解和描述物理现象和数学计算。
1. 符号符号是一个向量场的标量函数，它描述了向量场在每个点的大小和方向。
在三维空间中，我们通常用符号符号φ 来表示符号。
符号可以表示物理量的大小，如电势和温度等。
2. 散度散度是一个向量场的标量函数，表示向量场在每个点的流出或流入的量。
在三维空间中，我们用符号∇·V来表示向量场 V 的散度。
散度可以帮助我们理解和描述物质的流动情况。
3. 旋度旋度是一个向量场的向量函数，描述了向量场在每个点的旋转情况。
在三维空间中，我们用符号∇×V来表示向量场 V 的旋度。
旋度可以帮助我们理解和描述物理系统的旋转和涡旋现象。
二、符号、散度和旋度的计算1. 符号的计算符号的计算相对简单，只需按照符号的定义计算每个点的大小和方向即可。
符号的计算可以直接应用于物理问题中，如电场和磁场的计算。
2. 散度的计算散度的计算需要使用偏导数的概念。
在三维空间中，我们用符号∂/∂x, ∂/∂y和∂/∂z 来表示对空间坐标的偏导数。
散度的计算公式为∇·V = ∂Vx/∂x + ∂Vy/∂y +∂Vz/∂z。
3. 旋度的计算旋度的计算也需要使用偏导数的概念。
旋度的计算公式为∇×V = ( ∂Vz/∂y -∂Vy/∂z )i + ( ∂Vx/∂z - ∂Vz/∂x )j + ( ∂Vy/∂x - ∂Vx/∂y )k。
旋度的计算可以帮助我们理解和描述旋转和涡旋现象，如风场的旋转和涡旋。
三、符号、散度和旋度的物理意义符号、散度和旋度在物理学中有着重要的物理意义，对于理解和描述物理现象和数学计算非常重要。
1. 符号的物理意义符号可以表示物理量的大小和方向，如电势和温度等。
符号的计算可以帮助我们推导和描述物理规律，如电场和磁场的计算。
2. 散度的物理意义散度描述了向量场在每个点的流出或流入的量。
散度与旋度
散度与旋度散度和旋度是物理学和数学中两个关键的概念，它们用于描述向量场的特性。
在本篇文档中，我们将探讨散度与旋度的定义、特性以及它们在现实生活中的应用。
散度散度是一个向量场的发散性度量，它描述了向量场的源头和汇聚点。
向量场是在空间中每个点上定义的矢量函数，而散度则告诉我们一个点的流出量与流入量之差。
如果流出的量大于流入的量，则散度为正；反之，如果流入的量大于流出的量，则散度为负。
数学上，一个向量场的散度可以通过取其数学上的散度运算得到。
在三维空间中，向量场的散度定义为其每个分量的偏导数之和：div(F) = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z其中，Fx、Fy和Fz分别代表向量场F在x、y和z三个方向的分量。
散度有许多实际应用，尤其是在流体力学和电学中。
在流体动力学中，散度可以用于计算一个流体的源汇量；在电学中，散度可以用于描述电场在空间中的分布特性。
旋度旋度是一个向量场的旋转性度量，它描述了向量场在一个点上是否具有旋转特性。
像散度一样，向量场也是在空间中每个点上定义的矢量函数，而旋度则告诉我们一个点处的流线是否发生了旋转。
数学上，一个向量场的旋度可以通过取其数学上的旋度运算得到。
在三维空间中，向量场的旋度定义为其每个分量的偏导数之差：rot(F) = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k其中，i、j和k分别代表向量场在x、y和z三个方向的单位矢量。
旋度也有许多实际应用。
在固体力学中，旋度可以用于描述与旋转有关的物理量，如刚体的旋转角速度；在电学中，旋度可以用于计算涡旋电场所产生的感应电动势。
散度与旋度的关系散度和旋度是向量场两个重要的特性，它们在很多情况下都是相互关联的。
根据斯托克斯定理，一个向量场在某一个曲面上的散度与该向量场在其边界上的旋度有着直接的关系。
具体来说，斯托克斯定理表明，当我们考虑一个空间曲面上的向量场时，曲面内部的散度与曲面边界上的旋度是相等的。
散度,旋度,梯度
散度散度（divergence）的概念：在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·d S/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。
div F=▽·F气象学：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分：设某量场由A(x,y,z) = P(x,y,z)i+ Q(x.y,z)j+ R(x,y,z)k给出，其中P、Q、R 具有一阶连续偏导数，Σ 是场内一有向曲面，n是Σ 在点(x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·n dS 叫做向量场A通过曲面Σ 向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场A的散度，记作div A，即div A= δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
上述式子中的δ 为偏微分（partial derivative）符号。
梯度gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间R n到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
散度旋度梯度
散度旋度梯度
散度旋度梯度是常用的数学概念，它都用来描述一个函数的变化程度。
在低维空间中，散
度和旋度是表示函数值与参数空间之间的变化程度的不同标准。
散度是描述函数值变化的
大小，而旋度是描述函数值方向变化的大小。
要使用散度旋度梯度，我们首先需要确定参数空间坐标系。
这样有助于确定函数的变化程度。
接下来，我们需要找到函数的散度和旋度的定义，散度定义为每个方向的变化率，旋
度定义为一个方向的变化率减去另一个方向变化率的差值。
由散度和旋度可以计算出梯度：梯度的方向是正负散度变化最大的方向，而梯度的大小则是散度变化和旋度变化的乘积。
散度旋度梯度最常用于机器学习中，它可以用来给出模型参数的最优解。
通过比较散度旋
度梯度和模型参数值不同方向上的变化量，可以最大限度地减少模型参数变化内容，从而
改善模型的预测结果。
有时，散度旋度梯度也可以用来理解特定的特征对数据的影响程度，这在一定程度上有助于提高模型的准确性。
此外，它还可用于优化函数的解求解，以找到
最优的解。
总之，散度旋度梯度是一个重要的数学概念，它可以用来描述一个函数的变化程度，也可
以用于帮助我们更好地理解模型参数与数据之间的关系，从而改善模型的预测结果。
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§ 2.4 稳恒磁场的散度和旋度DIVERGENCE AND CURL OF THE STEADY MAGNETIC FIELDS我们已经得到稳恒磁场两个积分方程：磁场“高斯定理”(2.4-1)安培环路定理(2.4-2)由高斯积分变换定理于是从磁场的“高斯定理” (2.4-1)可知，对任意体积V上式右方均为零.将 V缩小成包含着任意一点的无限小邻域，我们便得到磁场的散度方程：▽.B = 0 （2.4-3）（比较：电场的散度方程▽.E = ρ / ε0）再由斯托克斯积分变换定理由面积S的任意性，我们可得到安培环路定理(2.4-2)的微分形式——稳恒磁场的旋度方程：▽×B = μ0J （2.4-4）（比较：静电场的旋度方程▽×E = 0 ）(2.4-3）和（2.4-4）是稳恒磁场的两个基本微分方程,它们反映了稳恒磁场的基本性质.方程（2.4-3）表示稳恒电流的磁场是“无散场”.虽然它是从毕奥—萨伐尔定律导出的，但是由于迄今为止没有发现自由磁荷，人们认为，这方程对于非稳恒磁场也成立.（2.4-4）则表示，，在J≠0处，▽×B ≠ 0，稳恒磁场的B 线在电流分布点周围形成涡旋，而在J = 0的地方，▽×B = 0，涡旋不是在此处形成.5.关于磁单极子 ( Magnetic Monopole)按照狄拉克(Dirac)1931年的理论，磁单极子————或者说自由磁荷应当取值n = 0 , ±1，±2 ···（2.4-5）其中，普郎克常数 h = 6.626196(50) ×10-34焦耳秒，e为基本电荷的绝对值.上式表示，磁荷与电荷一样是量子化的，n =±1给出磁荷的基本值.如果狄拉克的预言最终被证实，那么在有净磁荷存在的地方，就应当有B 线发出或终止.假定磁荷的磁场也如同电荷的电场一样遵从距离平方反比率，即离开q m为 r 处（2.4-6）那么，对于包围着q m的任意闭合曲面S，磁场“高斯定理”（2.4-1）就应当修改成（2.4-7）若以rm表示净磁荷的体密度，则从（2.4-7）可以得到磁场的散度方程（2.4-8）我们看到，如果自然界果真存在自由磁荷，那么磁场的高斯定理与电场的高斯定理就是对称的. 此外，由于狄拉克的磁荷是量子化的，必然导致磁通量也是量子化的.将（2.4-6）代入（2.4-7），我们马上得到（2.4-9）Φ0称为磁通量子，它由两个基本的物理常量e 和h 组成. （2.4-9）式表示：通过包围着净磁荷的任意闭合曲面之磁通量，一定是磁通量子Φ0的整数倍.磁通量子化现象确实是存在的，它已经由B.S.Deaver,Jr. 和 W.M.Fairbenk最先于1961年在超导体内观测到[1]，但这是超导体内自旋相反的电子凝聚成量子态——“库栢对”（Cooper pair）的结果，似乎与磁荷是否存在这个问题无关.1982年，B.Cabrera等曾经报道用超导量子干涉仪观测到一个可能是磁单极子的记录[2,3]，但未能获得普遍认可.[1] B.S.Deaver,Jr.,and W.M..Fairbenk, Phys.Rev.Lett.7 (1961)43.[2] B.Cabrera，Phys.Rev.Lett.48 (1982)1378.[3] B.Cabrera，et,al., Phys.Rev.Lett.51 (1983)1933.梯度 Gradient 散度 divergence 旋度curl 的物理意义时间与空间是物理最基本的物理量：我们也常想了解物理量随时间变化因此定义如速度＝位移随时间变化率, 加速度=速度随时间变化率,必v=能量随时间变化率等, 因为时间是纯量所以处理起来还算比较简易,我们也经常想了解物理量随空间的变化, 但是空间有方向性因此其变化比较多些,于是有所谓梯度/散度与旋度等数学运算.力做孕i以将能量储存成位能 dU=-Fx*dx-Fy*dy-Fz*dz (或者以向量内积F．d r表示)因此反过来可知 Fx=-dU/dx, Fy=-dU/dy, Fz=-dU/dz因此定义Ｆ＝Fx i + Fy j +Fz k = -▽U其中▽U= du/dx i +dU/dy j + du/dz k 称为位能Ｕ的梯度（有没有联想到梯田的高度差！）以重力场为例水平方向能量都一样因此重力水平方向没有差值因此水平方向没有作用力但是垂直方向升高某高度位能会增加因此作用力向下（因为力是负的梯度）位能随高度增加梯度是正的因此作用力就朝下（负号的意义）若是很短的距离内位能改变很大表示作用力很大（是否想到较陡的山）若是相同距离内位能变化较小则表示作用力也比较小（较平缓的山坡）因此从能量随空间的分布我们可以得知作用力的分布这就是梯度的用途！接下来谈一谈电场的散度与磁场的旋度：电场其实就是单位电荷所受的力（电位就是单位电荷的电能）电场源自于电荷磁场源自于电流电场和磁场最大的不同在于电力方向在两电荷的连心在线或者说电场是径向力而在电流的方向上没有磁场磁场存在于与电流方向垂直的平面方向其实电与磁可说是一体的两面（这留待以后再详述）反正你我都没有人亲眼看过电场或磁场我们都只能观察到力的效应电于电磁作用力在连心线方向的便是电场与连心线方向垂直的便是磁场散度主要是用于类似电场这类连心线方向的场（开放电力线）而旋度则适用于类似磁场这类（封闭磁力线）的场．例如漩涡的水流中任一点其水流方向与中心点联机并非一致例如电场的散度和产生径向场的源（电荷量）成正比▽．Ｅ＝ρ/ε出现ε只是因为单位选择的因素而磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ 黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-23 22:25:30关键词:|电场:2|电荷:1谈到电场的散度▽．Ｅ＝ρ/ε（▽．Ｅ＝dEx/dx +dEy/dy+dEz/dz 其中Ex,Ey,Ez为电场的各分量）忍不住就和电位Ｖ的梯度连在一起谈已知Ｅ=-▽V将以上两者合并则得到▽2V=-ρ/ε于是得到 d2V/dx2+d2V/dy2+d2V/dz2=-ρ/ε在电荷不存在的区域上式的右边为零于是变成 Laplace's equation （有源则称poission's equation）(当然以上所写类似d/dx 等正确写法是偏微分但是不好输入因此以全微分写法代之)从数值分析的角度可知任何满足Laplace的区域其电位数值恰好是四周电位的平均值哇这样谈下去会愈谈愈多还是先停一下要是网友有兴趣再深入讨论吧！蔡承宸荣誉点数32点 (高中职)张贴:2006-10-27 01:09:17关键词:|强度:1|电流:3|磁场:3Quote:在 2006-10-23 21:32:24, 黄福坤写了:磁场的旋度则和产生场的漩涡场的源（电流密度）成正比▽×Ｂ=μJ我想请问两个问题：(一).上面式子的物理意义是不是「若空间中有磁场分布，则必有若干个面电流密度不为零的点存在」以及「空间中的某一位置点P有面电流密度存在，则使得该点产生一有旋的磁场。
」？(二).若空间中有任意相异两点具有相同的面电流密度，那么该两点的磁场强度是否相等？黄福坤 (研究所)张贴:2006-10-27 09:03:48关键词:|电流:3|磁场:1首先要确认所讨论的系统环境例如某区域内只有均匀磁场则▽×Ｂ=0即使某区域内有▽×Ｂ不为零,不见得表示该区域内有电流但是若某面积上环场积∮B dι不为零则该面积内可能有电流或者电通量变化（因为还没谈到另一项▽×Ｂ=μJ+με dE/dt）面电流密度J决定的是该点附近空间的行为而不是该点▽× 是邻近点随空间的变化并非该点！所以问题二只能说不一定！Hydrogen Dioxide荣誉点数24点 (研究所)张贴:2006-11-02 15:00:29关键词:|磁场:1有关μo εoμε不能混在一起用吧如果是物质中的电厂以ε(=εoεr)物质中的磁场==> 以μ=μoμr真空的话就直接用μoεo黄福坤 (研究所)张贴:2006-11-02 16:23:33因为我之前的讨论并没有限制于真空因此用μ,ε若是真空中算是其中一个特例则变成μo, εo并没有混用！Hydrogen Dioxide荣誉点数24点 (研究所)张贴:2006-11-02 23:47:57喔原来是这样子啊^^Hydrogen Dioxide荣誉点数24点 (研究所)张贴:2006-11-03 12:43:14关键词:|位移:1|位能:1|向量:2|电磁:3|电场:1|电荷:2|磁场:5谈一下我对这些向量运算的看法^^我以前在念电磁学静电学和磁学前半部这些章节的时候其实我没有在乎太多「数学」的东西因为电磁毕竟是物理不是数学所以也就是这样我在理解梯度散度旋度的时候就是如下这样想象 (梯度是将过去我们日常生活中说的「变化」给予科学化的概念)譬如走上楼梯往上爬总会感觉地心引力反抗我们「地心引力反抗我们往上(y方向), 但我们毕竟有往上发生位移的变化(dy) 也确实相对于地面储存了位能(dU)啊」因此而有「每增加了一份的dy, 就有相应的dU增加了」所以:自己在爬升过程中出力 dU/dy *j j表示方向向上而自己的出力相当于反抗地球对自己的吸引力因此-F=dU/dy *j 或F=-dU/dy *j同理, 在电磁学中, E=-dV/dx *i (一维x轴向) ; 或E=-▽V(三维x,y,z都有)电场的「来源」为电荷▽．E＝ρ／ε磁场的来源非磁荷▽．B＝0因此很容易想到磁场应该不是由点源散发出来的 , 而是▽ x B=μＪJ为体电荷密度由旋度的表示法(如下的行列式) 可知是该运算(▽ x )随空间的变化而非该点(x,y,z)的变化｜ｉｊｋ｜｜ＢｘＢｙＢｚ｜＝μＪ｜ｄ／ｄｘｄ／ｄｙｄ／ｄｚ｜因行列式必须降阶展开磁场各方向的分量(Bx, By, Bz)必定对空间做微分即旋度的运算系物理量「随空间作变化」，并非「(x, y, z)对空间做微分」两者的物理意义有差!以下提供各运算的英文：梯度－gradient ; 散度－divergence ; 旋度─curlPS: the magnetic field's special properties磁场具有封闭的力线且无磁单极（▽．Ｂ＝０），因▽．（▽ｘ）为零的特性，故可定义不可测的向量磁位Ａ▽．（▽ｘＡ）＝０；Ｂ＝▽ｘＡ磁场遵守劳伦兹规范▽．A+εμdV／dt＝0[ 这篇文章被编辑过: Hydrogen Dioxide 在 2006-11-04 11:00:24 ]张雅媚(大学理工科系)张贴:2007-05-26 15:51:42很有条理的记法 ^ ^黄福坤(研究所)张贴:2007-06-05 00:30:20关键词:|位能:1|向量:5|电磁:1|电场:4|电荷:1|电流:1|磁场:4梯度是用来作用空间中纯量场的一个数学运算.可以用来了解纯量场随空间的变化正如所举以在地图上标示出某区域各点高度则梯度代表该点最陡的向量!范例：若是纯量场对应重力位能 U, 则U的梯度▽U与该点重力向量F的关系是 F=-▽U.而散度与旋度则是用来作用于向量场的数学运算在处理问题时我们经常希望找出两种互相独立的坐标去描述问题如平面的点可以用 x,y两互相垂直（垂直就是互相独立不相干）去描述平面上任何一种点而散度与旋度是用来描述所有向量场的两独立『坐标』！任何向量场都可以用散度场与旋度场的线性组合表示.恰好电磁场中电场仅有散度(而无旋度),而磁场仅有旋度（而无散度）电场可用电力线描述磁场可用磁力线描述稳定的水流也可以用流线来表示漩涡形状的磁力线会有旋度（磁力线封闭,漩涡的水流线不见得封闭但是都有旋度）磁场的旋度▽×B=μ I + με∂E/∂t 也就是旋度的值和产生旋度场的源（电流或电场变化成正比）电场散度▽‧E= ρE/ε也就是散度的值和产生散度场的源（电荷）成正比对于水流若该处是水源散度值为正,若是下水道水会流失之处散度值为负其余则散度值为零.§ 1.7 静电场的散度和旋度现在，让我们来考虑静电场两个基本的微分方程——散度方程和旋度方程.1.矢量场的散度和高斯定理（参见教材P848）在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,y,z)的小体积△V，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与△V之比的极限(1.7-1)为矢量场 A在该点的散度（divergence of A）它是一个标量.显然若则该点散度▽·A ?0，该点就是矢量场A的一个源点若则该点散度▽·A = 0，该点不是矢量场A的源点若所有点上均有▽·A = 0，A就称为无散场.在直角坐标系中(1.7-2)▽·A在球坐标和柱坐标系的表达式，见教材P850.高斯定理（Gauss, Theorem）对任意闭合曲面S及其包围的体积V，下述积分变换成立：(1.7-3)即，矢量场A通过任意闭合曲面S的净通量，等于它在S所包围的体积V内各点散度的积分.由此可知，若A场通过任何闭合曲面的净通量均为零，它就是无散场，即处处有▽ ·A = 0. 这意味着，无散场的场线必定是连续而闭合的曲线.2.电场的散度方程大家已经知道，电场的高斯定理是个积分方程(1.7-4)其中r表示电荷密度分布函数.由高斯积分变换定理(1.7-3) )，(1.7-4)的左边可化为V内E 的散度之体积分，因此有设想体积V缩小成包含某点P（x,y,z）的无限小体积元dV，便得(1.7-5)这就是电场高斯定理的微分形式——电场的散度方程.它表示电荷分布点，即r ≠ 0 的点上▽ ·E ≠ 0, 这些点就是电场的源点.3.矢量场的旋度和斯托克斯定理（参见教材 P853）在连续可微的矢量场 A中，我们设想将A绕着某个很小的闭合路径 L积分，△S=△S是L围成的面积元矢量, 并且约定：面积元△S 的法向，与路径积分绕行方向符合右旋规则.当△S缩小成某点P （x,y,z）的无限小邻域，定义如下极限(1.7-6)为矢量场 A的旋度▽×A (curl of A , rotation of A )在方向的投影按上述约定若（▽×A）n为正值，则A的场线在该点周围形成右手涡旋若（▽×A）n为负值，则A的场线在该点周围形成左手涡旋若（▽×A）n =0，A线在该点不形成涡旋如果在所有点上均有▽×A =0，则A场就称为无旋场在直角坐标系中，A的旋度为(1.7-7)▽×A在球坐标和柱坐标系中的表达式，见教材 P855.斯托克斯定理（Stokes, Theorem）对任意闭合路径L及其围成的曲面S，下述积分变换成立：(1.7-8)即，矢量场A沿任意闭合路径L的环量，等于它在L所围的任意曲面S上各点旋度的面积分.由此可知，若矢量场A沿任意闭合路径L的环量恒为零——保守场，它就是无旋场，即处处有▽×A = 0.4.静电场的旋度方程我们知道，静电场是一个保守场，即对任意闭合路径L ，E 的环量均为零(1.7-9)据斯托克斯定理（1.7-8)，我们可得到(1.7-9)的微分形式▽× E = 0 (1.7-10)这表示，静电场是无旋场.如大家所知，静电场的E 线始发于正电荷，终止于负电荷，E线无涡旋状的结构磁场线（B线）则是围绕电流构成闭合的、涡旋状的结构. (1.7-5)和(1.7-10) 是静电场两个基本的微分方程.静电场的两个基本的微分方程至此，我们已经得到静电场的两个基本的微分方程：(1.7-5)▽× E = 0 (1.7-10)（1）这两个方程分别是静电场的高斯定理和环路定理的微分形式（2）这两个方程描述了静电场的有源无旋性质： 电荷分布点是电场的源点 静电场的场线无涡旋状结构§10.6 高斯公式 通量与散度一、高斯公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂RdxdyQdzdx Pdydzdv ZR y Q x P )((1)或⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑γ+β+α=∂∂+∂∂+∂∂dSR Q P dv zR yQ xP )cos cos cos ()((1')这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，{}γβαcos ,cos ,cos =n 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式明公式(1)就可以了。