上海市延安中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

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上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷

高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为，最小值为． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2n }的前n 项和为．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为．二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列．（2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1．即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ，由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分）（Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立．当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1．综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2），由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列，所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。

2021-2022学年上海市延安中学高一下学期数学期末考试卷含详解

2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．（3分）在等差数列{a n}中，a3＝10，a7＝30，则公差d＝．2．（3分）﹣1与﹣4的等比中项是．3．（3分）已知复数（2﹣i）（a+i）是纯虚数，则实数a＝．4．（3分）若关于x的实系数一元二次方程2x2﹣5x+a＝0有一对共轭虚根，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知向量，，则＝．6．（3分）已知向量，，若，则的单位向量的坐标为．7．（3分）已知复数z满足z﹣3i＝iz+5，则||＝．8．（3分）已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（﹣2，﹣1）、（2，4）、（11，7），则向量所对应的复数是．9．（3分）已知数列{a n}的通项公式为，则＝．10．（3分）已知等比数列{a n}的前n项积为T n，若T2＝T5＝32，则T6＝．11．（3分）如图，圆O是正八边形ABCDEFGH的外接圆，其半径为1，则＝．12．（3分）已知复数列{z n}满足：z1＝1+i，，设复数z n在复平面中对应点Z n．当n无限增大时，点Z n越来越趋近于一个确定的点A，点A 的坐标是．二、选择题（本大题共有6题，满分18分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（3分）设z1，z2∈C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）设复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1与Z2，则关于点Z1、Z2与以原点为圆心，10为半径的圆C的位置关系，描述正确的是（）A．点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上B．点Z1不在圆C上，点Z2在圆C上C．点Z1、Z2都在圆C上D．点Z1、Z2都不在圆C上15．（3分）现有下列四个结论：①对任意向量、，有；②对任意向量，有；③对任意复数z，有z2＝|z|2；④对任意复数z，有|z2|＝|z|2．其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．316．（3分）用数学归纳法证明等式（n+1）（n+2）（n+3）⋯⋯（n+n）＝2n•1•3•⋯•（2n﹣1），其中n∈N，n≥1，从n＝k到n＝k+1时，等式左边需要增乘的代数式为（）A．2k+2B．（2k+1）（2k+2）C．D．2（2k+1）17．（3分）已知△ABC的外心是O，且，，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．18．（3分）著名的斐波那契数列{F n}满足：F1＝F2＝1，F n+1＝F n+F n﹣1（n∈N，n≥2）．记数列{F n}的前n项和为S n，则（）A．S50＝F50+F51B．S50＝F50+F51﹣1C．S50＝F51+F52D．S50＝F51+F52﹣1三、解䇾题（本大題共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．19．（8分）设向量、满足，．（1）求与的夹角θ；（2）若与垂直，求实数k的值．20．（8分）已知复数z满足，z2的虚部为﹣2．（1）求复数z；（2）若Rez＞0，设z、z2、4z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．21．（10分）森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥重要的作用．为了实现“到2030年，中国的森林蓄积量比2005年增加60亿立方米”的目标，A地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划．经统计，A地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉t（10＜t＜30）万立方米的森林．设a n为自2021年开始，第n年末的森林蓄积量（例如a1＝150﹣t）．（1）试写出数列{a n}的一个递推公式；（2）设b n＝a n﹣4t（n∈N，n≥1），证明：数列{b n}是等比数列；（3）若到2030年末，A地要实现“森林蓄积量要超过640万立方米”这一目标，那么每年的砍伐量t最多是多少万立方米？（精确到1万立方米）22．（10分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，，，其中m，n∈（0，1），设DE中点为M，AB中点为N．（1）若m＝n，求证：C、M、N三点共线；（2）若m+n＝1，求||的最小值．23．（10分）已知数列{a n}的前n项和．（1）证明：数列{a n}是等差数列；（2）设b n＝a n S n（n∈N，n≥1），试问：数列{b n}是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由．2021-2022学年上海市长宁区延安中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．【解答】解：在等差数列{a n}中，a3＝10，a7＝30，则公差d＝＝5．故答案为：5．2．【解答】解：﹣1与﹣4的等比中项是：＝±2．故答案为：±2．3．【解答】解：∵（2﹣i）（a+i）＝2a+1+（2﹣a）i是纯虚数，∴，解得a＝﹣，故答案为：﹣．4．【解答】解：由已知可得：Δ＝（﹣5）2﹣4×2×a＜0，解得a＞，∴a的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．5．【解答】解：因为向量，，所以cos＝＝＝，因为∈[0，π]，所以＝arccos．故答案为：arccos．6．【解答】解：∵向量，，∴＝（3，4），∴的单位向量的坐标为：±（3，4），故答案为：±（3，4）．7．【解答】解：由z﹣3i＝iz+5，得z＝＝＝＝1+4i，z的共轭复数等于1﹣4i，所以||＝＝，故答案为：．8．【解答】解：由平行四边形ABCD可得＝＝（11﹣2，7﹣4）＝（9，3），则向量所对应的复数是9+3i．故答案为：9+3i．9．【解答】解：＝，故答案为：．10．【解答】解：等比数列{a n}的前n项积为T n，T2＝T5＝32，设等比数列{a n}的公比为q，则＝，解得a4＝1，∴＝1，∵，∴q5＝，解得，∴＝，则T6＝T5a6＝32×＝8．故答案为：8．11．【解答】解：易得的夹角为，再由图可得＝，故答案为：．12．【解答】解：∵，z1＝1+i，∴，，，...，，累加得：＝＝．当n无限最大时，z n无限接近于2+，故A的坐标为（2，）．故答案为：（2，）．二、选择题（本大题共有6题，满分18分，每题3分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．【解答】解：设z1＝1+i，z2＝i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，则z1﹣z2＝1是实数，则z1﹣z2是虚数不成立，若z1、z2都是实数，则z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，则z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的必要不充分条件，故选：B．14．【解答】解：复数z1＝﹣6+8i，z2＝5﹣9i在复平面所对应的点为Z1（﹣6，8），Z2（5，﹣9），由于（﹣6）2+82＝102，52+（﹣9）2≠102，可得点Z1在圆C上，点Z2不在圆C上，故选：A．15．【解答】解：①•＝||•||cos＜，＞，只有当cos＜，＞＝±1时，才有，即①错误；②2＝•＝||•||cos0°＝||2，即②正确；对于③和④，设复数z＝a+bi，则z2＝（a+bi）•（a+bi）＝a2﹣b2+2abi，|z|2＝a2+b2，所以z2与|z|2不一定相等，即③错误；而|z2|＝＝＝a2+b2，所以|z2|与|z|2相等，即④正确．故选：C．16．【解答】解：当n＝k时，式子左边＝（k+1）（k+2）•（k+k），最后一项为2k，当n＝k+1时，式子左边＝（k+1+1）（k+1+2）•（k+1+k）（k+1+k+1），最后一项变为2k+2，故增乘的代数式为＝．故选：D．17．【解答】解：设＝2，因为，所以＝+，所以四边形ABDC是平行四边形，且AD为圆O的直径，所以∠BAC＝∠ABD＝90°，即四边形ABDC是矩形，因为||＝，所以△OAB为等边三角形，所以∠ABC＝60°，所以在方向上的投影向量为||cos（180°﹣∠ABC）•＝||cos120°•＝﹣．故选：C．18．【解答】解：因为F1＝F2＝1，F n+1＝F n+F n﹣1（n≥2，n∈N*），所以数列{a F}的前50项和为：F1+F2+F3+F4+…+F50＝F2+F1+F2+F3+F4+…+F50﹣1＝F3+F2+F3+F4+…+F50﹣1＝F4+F3+F4+…+F50﹣1＝F5+F4+F5+…+F50﹣1＝F6+F5+F6+…+F50﹣1＝......＝F50+F51﹣1．故选：B．三、解䇾题（本大題共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要步骤．19．【解答】解：（1）由，得4﹣4•﹣3＝19，因为，所以4×4﹣4×2×cosθ﹣3×3＝19，所以cosθ＝﹣，因为θ∈[0，π]，所以θ＝．（2）因为与垂直，所以（）•＝+k•＝0，所以4+k×2××（﹣）＝0，解得k＝．20．【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R），则|z|2＝a2+b2＝2，z2＝a2﹣b2+2abi，由z2的虚部为2，有2ab＝2，∴或，即z＝1+i或z＝﹣1﹣i；（2）因为Rez＞0，所以z＝1+i，z2＝（1+i）2＝2i，4z﹣z2＝4+2i，∴点A（1，1），B（0，2），C（4，2），直线BC：y＝2，所以A到BC的距离为1，∴，∴△ABC的面积为2．21．【解答】解：（1）由题意得：a1＝120×（1+25%）﹣t＝150﹣t，a n+1＝a n×（1+25%）﹣t＝a n﹣t；（2）因为a n+1＝a n﹣t，所以a n+1﹣4t＝（a n﹣4t），当n＝1时，b1＝a1﹣4t＝150﹣5t，即＝，故{b n}是以150﹣5t为首项，为公比的等比数列．（3）由（2）知：{a n﹣4t}是以150﹣5t为首项，为公比的等比数列，所以其通项公式为a n﹣4t＝（150﹣5t）•，所以a n＝4t+（150﹣5t）•，2030年底的森林蓄积量为数列{a n}的第10项为a10＝4t+（150﹣5t）•，由题意可知：森林蓄积量到2030年底要达到超过640万立方米的目标，所以a10≥640，即4t+（150﹣5t）•≥640，即4t+（150﹣5t）×7.45＝4t+1117.5﹣37.25t≥640，解得：t≤12.82．所以每年的砍伐量最大为12万立方米．22．【解答】证明：（1）当m＝n时，，故，故C、M、N三点共线，即得证；解：（2）当m+n＝1时，，故，故＝，故当时，取得最小值，即的最小值为．23．【解答】证明：（1）因为数列{a n}的前n项和，当n＝1时，a1＝S1＝2023﹣1＝2022，当n≥2时，，因为当n＝1时也满足，故，故a n+1﹣a n＝2024﹣2（n+1）﹣（2024﹣2n）＝﹣2为常数，故{a n}是等差数列；解：（2）由（1）a n＝2024﹣2n，故，则＝2（3n2+3n+1）﹣6070（2n+1）+2024×2023＝6n2﹣12134n+4088484，因为n∈N，n≥1，故令b n+1﹣b n＞0可解得1≤n≤427或n≥1596，即b1＜b2＜b3＜…＜b427＜b428，b428＞b429＞b430＞…＞b1595，b1595＜b1596＜b1597＜…，因为，故数列{b n}有最小项为第1595项，又随着n的增大b n一直增大无最大值，故数列{b n}第1595项最小，无最大项．。

2020学年陕西省延安市新高考高一数学下学期期末检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在等差数列中，若，，则（） A ．8B ．16C ．20D ．282．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝()3,1-，n ＝(cosA ，sinA)，若m 与n夹角为3π，则acosB ＋bcosA ＝csinC ，则角B 等于( ) A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 3．过△ABC 的重心任作一直线分别交边AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =,AE y AC =，0xy ≠，则4x y +的最小值为（） A ．4B ．3C ．2D ．14．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为A ．2B ．4C ．6D ．85．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a ，b ，c ，3a =，23c =，sin cos 6b A a B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则ABC ∆的面积为（） A ．332B ．33C ．92D ．96．关于某设备的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下统计数据表：使用年限x 2 34 56维修费用y2.23.85.56.57.0根据上表可得回归直线方程 1.23y x a =+，据此估计，该设备使用年限为10年时所支出的维修费用约是（） A ．12.08万元B ．12.28万元C ．12.38万元D ．12.58万元7．在计算机BASIC 语言中，函数mod(),a b 表示整数a 被整数b 除所得的余数，如mod 6,(4)2=.用下面的程序框图，如果输入的1365a =，147b =，那么输出的结果是（）A ．7B ．21C ．35D ．498．某程序框图如图所示，若输出的结果为26，则判断框内应填入的条件可以为（）A ．6?k >B ．5?k >C ．4?k >D ．3?k >9．设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若2a c b +=，3sin 5sin B A =，则角C =（） A ．3πB ．23π C ．34π D ．56π 10．直线x 3+的倾斜角是（） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°11．若关于x 29340x kx k -+-=有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．72,243⎛⎤⎥⎝⎦ C ．70,24⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．直线2320x y +-=的斜率为（）A ．23-B ．1-C ．32-D ．12二、填空题：本题共4小题13．已知x 与y 之间的一组数据，则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过点__________．x1 2 3 4 y2 4681014．若过点(2,3)P 作圆22:20M x x y -+=的切线l ，则直线l 的方程为_______________. 15．13tancos36ππ+=_________. 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则n a =__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

上海市高一下学期期末考试数学试卷含答案

上海市高一数学下学期期末考试试卷考试范围：必修二；总分：150分；考试时间：120分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 4．测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α与β角均以Ox 为始边，终边分别是射线OA 和射线OB ，射线OA ，OC 与单位圆的交点分别为34,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，(1,0)C -．若6BOC π∠=，则cos()βα-的值是_________．2．化简sin sin()tan(3)23cos sin()2παπαπαπαα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭________． 3．复数112z i =-+，21z i =-，332z i =-，它们所对应的点分别为A 、B 、C ，若(),OC xOA yOB x y R =+∈，则yx=________. 4．设z ＝1－i ，则复数22()z z+·z ＝________． 5．已知向量()()1,3,3,3a b ==-，则a 与b 的夹角大小为___________.6．已知向量()()()2,1,0,1,4,3a b c ===，若λ为实数，且()a b c λ+⊥，则λ=___________.7．若函数()cos f x x =,[]2π,2πx ∈-,则不等式()0xf x >的解集为______. 8．若1sin 33πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.9．已知1sin 64x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则25sin sin 63x x ππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______.10．已知函数()3sin 4cos f x x x =+，[]12,0,x x ∈π，则()()12f x f x -的最大值是________． 11．若函数()2sin 21()6f x x a a R π⎛⎫=++-∈ ⎪⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点12,x x ，则12x x a +-的取值范围是______________.12．已知将函数()sin()(06,)22f x x ππωθωθ=+<<-<<的图象向右平移3π个单位长度得到画()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ωθ⋅=________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．把复数z 1与z 2对应的向量OAOB ，分别按逆时针方向旋转4π和53π后，重合于向量OM 且模相等，已知21z =-，则复数1z 的代数式和它的辐角主值分别是（）A ．，34π B ．3,4πC ．,4πD ．,4π14．已知两非零向量b 与a 的夹角为120︒，且2243a a b =-=，，则b =（） A ．8B ．6C ．4D ．215．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论正确的是（） A ．()f x 是周期函数B ．()f x 在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在[,]-ππ有4个零点D ．()f x 的值域为[2,2]-16．在ABC 中，已知2b =，45B =︒，c =C 为（） A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．120︒三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．若不等式m 2－(m 2－3m )i <(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.18．已知向量33cos,sin ,cos ,sin 2222x x a x x b ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求：（1）a b ⋅及||a b +；（2）若()2||f x a b a b λ=⋅-+的最小值为32-，求实数λ的值．19．已知函数21())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．20．在①sinsin sin A b cB C b a+=--；②c a =③2S CB =⋅，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，C ，S 为ABC 的面积，若__________（填条件序号）（1）求角C 的大小；（2）若边长2c =，求ABC 的周长的最大值．21．ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知222(2sin )4sin sin A B C B =-．（1）求角C 的大小；（2）若1,b c ==，求cos()B C -的值．高一数学下学期期末答案解析考试范围：必修二；总分：150分；考试时间：120分钟学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：5．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．6．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．7．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 8．测试范围：高二下+高三全部内容 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

高一下学期期末考试数学试卷含答案(上海市)

高一数学下学期期末考试试卷（沪教版2020）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．考试范围：必修二一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 3．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________． 5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 6．计算2021i =______．（i 为虚数单位)7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______． 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形． 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．10．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．11．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（）A 51+ B 51- C ．51+D 15-15．13i -的三角形式是（） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线；（2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.20．已知向量()1,2a =，()1,0b =-；（1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.高一数学下学期期末（沪教版）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：4．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．5．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．6．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．考试范围：必修二二、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．【答案】2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数的最值、最小正周期、特殊点进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知函数的最大值为2，所以2A =，由函数的图象可知函数的最小正周期为8，而0>ω，所以有284ππωω=⇒=，又因为函数过原点，所以()02sin 0f ϕ==，而2πϕ≤，所以0ϕ=，所以()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】1【分析】直接利用诱导公式化简即可【详解】解：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos cot tan 2ααπαα-=⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭cos cot cos 1cot αααα-=⋅=- 故答案为：13．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ．【答案】20403π+【分析】根据弧长公式：l r α=求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长．【详解】由题意，扇形的弧长为202033ππ⨯=，所以扇形的周长为202024033r ππ+=+故答案为20403π+【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________．【答案】3【分析】由题可知，复数z 的实部为0，虚部不为0，求出实数m 即可，然后再求复数的模．【详解】解：若复数z 满足(2)(1)(z m m i i =-++为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得：则2m =，得3z i =，所以||3z =．故答案为：3.【点睛】本题考查复数的模以及对纯虚数的定义的理解．5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______．【答案】23-【分析】应用向量共线的坐标表示得230x +=，即可求x . 【详解】由题意知：230x +=，解得23x =-.故答案为：23-6．计算2021i =______．（i 为虚数单位) 【答案】i【分析】根据虚数单位i 的幂运算的周期性进行求解即可.【详解】450521120i i i ⨯+==，故答案为：i7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______．【答案】1arctan 22π-（或 2π-2π-）【分析】由向量数量积的坐标表示、辅助角公式得5sin()a b x ϕ⋅=+且1tan 2ϕ=，由a b ⋅取到最大值有22x k ππϕ=+-，k Z ∈，结合x 的范围即可求x 的值.【详解】由2sin cos )a b x x x ϕ⋅=+=+，且1tan 2ϕ=， ∴当a b ⋅取到最大值时，有sin()1x ϕ+=，即22x k ππϕ=+-，k Z ∈.∵[]0,x π∈， ∴0k =时，1arctan22x π=-.故答案为：1arctan 22π-（或 2π-2π-） 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形．【答案】等腰【分析】由已知，结合正弦定理边角关系及两角和差的正弦公式可得in 0()s A B -=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由题设知：sin 2sin cos C A B =，又()C A B π=-+，∴sin[()]sin()2sin cos A B A B A B π-+=+=，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B -=-=， ∴在△ABC 中A B =，即△ABC 是等腰三角形. 故答案为：等腰 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．【答案】6【分析】分子分母除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值．【详解】tan 4α=， ∴tan 266tan 31sin 2cos sin 3cos αααααα+==-=-=+．故答案为：610．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a 方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=-，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥，22223(3)961696cos a b a b a b a b b a b θ-=-=+-⋅=+-⋅⋅⋅，因此有23649a b b -=+，因为2b ≥，所以当2b =时，3a b -有最小值，最小值为2649210+⨯=，故答案为：1011．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．【答案】52-【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设线段AB 的中点为C ，()OP AB OC CP AB OC AB CP AB ⋅=+⋅=⋅+⋅，因为P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，所以0CP AB CP AB ⊥⇒⋅=，所以22221115()()()(23)2222OP AB OC AB OA OB AO OB OB OA ⋅=⋅=+⋅+=-=-=-，故答案为：52-12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________. 【答案】1003π【分析】根据函数解析式求解函数零点分布，再化简计算求解代数式的值. 【详解】解：令2()62x k k Z πππ-=+∈，可得1()23x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称轴为1()23x k k Z ππ=+∈，又()f x 的周期为222T πππω===， ∴令113233k πππ+=，解得8k ，∴函数在[0x ∈，13]3π上有9条对称轴，由正弦函数的性质可知，1223x x π+=⨯，231ππππ12,,723232n n x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+⨯⨯⋅⋅⋅+=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将以上各式相加可得:12312523100222()26663n n x x x x x ππππ-+++⋯++=++⋅⋅⋅+⨯=. 故答案为：1003π. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=，所以2cos()0ac B c π-+=，所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=，所以222b c a +=，所以三角形是直角三角形. 故选：B14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（）A 51+ B 51- C ．51+D 15-【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到512RQ QB -=，即可求解. 【详解】根据图形的对称性，可得ES RC =，AP QC =，由和向量的运算法则，可得ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=，又由RQ PT =，||||BQ AT =，故512RQ QB -=，所以15λ-=故选：D.15．13i -的三角形式是（） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式．【详解】解：132213i 22cos isin 233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．故选：B ．16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】若11z =，2i z =，则22120z z +=成立且120z z ==不成立，而若120z z ==，则22120z z +=成立，故22120z z +=是120z z ==的必要不充分条件. 故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 【答案】(2,2)-【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，由实部为0求得x 值，再把2iz-利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得y 值，则z 可求，把2(i)z m +变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组即可求解m 的范围．【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，4z +为纯虚数，40x ∴+=且0y ≠，即4x =-，0y ≠．又4i (4i)(2i)824i 2i 2i (2i)(2i)55z y y y y R -+-++---===+∈---+， 240y ∴-=，即2y =．42i z ∴=-+，m 为实数，且222(i)[4(2)i](124)8(2)i z m m m m m +=-++=---+，由题意，212408(2)0m m m ⎧-->⎨-+<⎩，解得22m -<<．∴实数m 的取值范围为(2,2)-．18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.【答案】a =4a =，或1a =．【分析】若两根为实根时，由条件求得a 的值；②若两根为虚根时，由条件求得a 的值，综合可得结论．【详解】①若两根为实根时，不妨设12x =，则12x =±，当12x =时，则2540a a -+=，解得1a =或4a =；当12x =-时，则2340a a ++=，由于△91670=-=-<，可得a 无解．②若两根为虚根时，则12x x =，2121||4x x x ⋅==，即24a a -=，求得1172a -±=．再根据此时△222(2)4()(117)16a a a =---=±-，△0<时，1712a -=．综上可得，1712a -=，或4a =，或1a =． 19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线；（2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）||AM 2||AD 6 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到2133AE AN AD =+，即可证明点D ，E ，N 共线；（2）设||0AB x =>，||0AD y =>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，22||()AM AB BM =+转化为关于x 、y 的不等式，利用基本不等式可解决此问题．【详解】解：（1）平行四边形ABCD 中，23BM BC =，34AN AB =，E 为AM 中点， ∴1114221()()2223333AE AM AB BM AN BC AN AD ==+=+=+，所以32AE AN AD =+，22AE AN AD AE -=-，即2NE ED =，所以//NE EDD ∴，E ，N 共线；（2）设||||0DC AB x ==>，||||0BC AD y ==>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，222222224144242||()()233299333AM AB BM AB BC x xy y x y xy =+=+=+⨯+=+++=，||2AM ∴，当且仅当23x y =且1xy =，即6x =，6y =||AM 2，此时||AD 620．已知向量()1,2a =，()1,0b =-；（1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.【答案】（1）π-（2）517k =.【分析】（1）由cos a b a bθ⋅=⋅，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可；（2）由()()32a b ka b -⊥+，可得()()320a b ka b -⋅+=，进而由坐标运算可得解. 【详解】（1）设a 与b 的夹角为θ，因为向量()1,2a =，()1,0b =-，所以2121a b =+=，1(1)1a b ⋅=⨯-=-，1cos 51a b a bθ⋅-∴===⨯⋅(0,)θπ∈，所以θπ=-.所以a ，b 的夹角,a b 为π-（2）因为+(1,2)ka b k k =-，()3256a b -=，，又()()32a b ka b -⊥+，所以()()320a b ka b -⋅+=，所以()()()()3251+620a b ka b k k -⋅+=-⨯=，解得517k =. 21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.【答案】（1）[]1,3；（2）[.【分析】（1）只要将()y h x =化为sin cos a x b x 即可，再利用向量的模的计算公式以及三角函数值域的求法即可解出；（2）利用三角函数求()f x 取最大值时的x 值，结合倍角公式以及换元bm a=即可求出0tan 2x 的范围．【详解】(1) 证明: ()cos()2cos sin sin (2cos )cos h x x x x x ααα=++=-⋅++, ∴函数()h x 的相伴向量(sin ,2cos ),().OM h x S αα=-+∴∈(sin OM =cos 1α∴=时, max ||3,cos 1OM α===-时,min ||1OM ==.OM ∴的模的取值范围为[]1,3.(2)OM的相伴函数()sin cos )f x a x b x x ϕ=++, 其中cos ϕϕ==当2,2x k k Z πϕπ+=+∈, 即02,2x k k Z ππϕ=+-∈时, ()f x 取得最大值,01tan tan 22tan a x k bππϕϕ⎛⎫∴=+-== ⎪⎝⎭0022022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a bb ⨯∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 令b m a =, 则02tan 2,1x m m m⎛=∈⎝⎦-,当m ⎛∈ ⎝⎦时, 1,m m ⎛-∈-∞ ⎝⎦, 0tan 2[x ∴∈.。

上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷参考答案与试题解析1

上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）cos（π）=（）A．B．﹣1 C．D．0考点：诱导公式的作用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由于π=1006×2π+π，直接由诱导公式化简即可得出正确选项解答：解：∵π=1006×2π+π∴cos（π）=cosπ=﹣1 故选B点评：题考查利用诱导公式求值，解答的关键是熟练记忆诱导公式2．（5分）已知角a的终边经过点P（4，3），则sina+cosa的值是（）A．B．C．D．考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由三角函数的定义可求得sina与cosa，从而可得sina+cosa的值．解答：解：∵知角a的终边经过点P（4，3），∴sina==，cosa=，∴sina+cosa=．故选C．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3．（5分）（•广东）若函数，则f（x）是（）A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为y=x的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数考点：二倍角的余弦；余弦函数的奇偶性．分析：本题主要考查三角函数的最小正周期和奇偶性，也涉及到对简单三角变换能力的考查．见到三角函数平方形式，要用二倍角公式降幂，变为可以研究三角函数性质的形式y=Asin（ωx+φ）的形式．解答：解：∵f（x）=，∴y=f（x）最小周期为π的偶函数，故选D点评：研究三角函数的性质，一般需要先利用“降次”、“化一”等技巧进行三角变换．本题解答过程中，先活用倍角公式进行降次，然后化为一个三角函数进行研究，涉及到对三角函数的周期性、奇偶性的考查．考查知识与能力的综合性较强，需要我们具有扎实的基础知识，具备一定的代数变形能力4．（5分）化简=（）A．B．0C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义；零向量．专题：计算题．分析：根据向量加法的三角形法则，我们对几个向量进行运算后，即可得到答案．解答：解：∵．故选B点评：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，及零向量的定义，其中根据三角形法则对已知向量进行处理，是解答本题的关键．5．（5分）（•重庆）=（）A．B．C．D．考点：二倍角的余弦．分析：看清本题的结构特点符合平方差公式，化简以后就可以看出是二倍角公式的逆用，最后结果为cos，用特殊角的三角函数得出结果．解答：解：原式==cos=，故选D点评：要深刻理解二倍角公式和两角和差的正弦和余弦公式，从形式和意义上来认识，对公式做到正用、逆用、变形用，本题就是逆用余弦的二倍角公式．6．（5分）（•辽宁）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（）A．12 B．16 C．20 D．24考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果解答：解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题7．（5分）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A．y=cos2x B．y=2cos2x C．D．y=2sin2x考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律及三角函数间的关系式即可得到答案．解答：解：令y=f（x）=sin2x，则f（x+）=sin2（x+）=cos2x，再将f（x+）的图象向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是y=cos2x+1=2cos2x，故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查升幂公式的应用，属于中档题．8．（5分）在△ABC中，tanA是以﹣4为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tanB是以为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是（）A．钝角三角形B．等腰直角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用等差及等比数列的性质求出tanA与tanB的值，再利用两角和与差的正切函数公式求出tanC的值，利用正切函数的性质得出A，B及C的范围，即可确定出三角形的形状．解答：解：根据题意得：tanA=2，tanB=3，∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣=﹣=，则A，B及C都为锐角，即△ABC为锐角三角形．故选C点评：此题考查了三角形的形状判断，涉及的知识有：诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及正切函数的图象与性质，熟练掌握公式是解本题的关键．9．（5分）（•海南）函数在区间的简图是（）A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：作图题．分析：将x=π代入到函数解析式中求出函数值，可排除B，D，然后将x=代入到函数解析式中求出函数值，可排除C，进而可得答案．解答：解：，排除B、D，，排除C．故选A．点评：本题主要考查三角函数的图象．对于正弦、余弦函数的图象和性质要熟练掌握，这是高考的必考点．10．（5分）在△ABC中，点P在BC 上，且，点Q 为中点，若=（4，3），=（1，5），则=（）A．（ 2，7）B．（6，21）C．（2，﹣7）D．（﹣6，21）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=，设=（x，y），则==（，）．再由=（），把、的坐标代入可得（1，5）=（4+，3+），求得x、y 的值，即可求得的坐标．解答：解：由于在△ABC中，点P在BC上，且，∴=．设=（x，y），则==（，）．再由Q为中点，可得=（）．再由=（4，3），=（1，5），可得（1，5）=（4+，3+），即+2=1，+=5．解得 x=﹣6，y=21，故=（﹣6，21），故选D．点评：本题主要考查两个向量坐标形式的运算，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11．（5分）已知a，b，c三个正数成等比数列，其中，，则b= 1 ．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由等比中项的概念列式求解b的值．解答：解：由a，b，c三个正数成等比数列，且，，则．故答案为1．点评：本题考查等比数列的基本量之间的关系，若已知等比数列的两项，则等比数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．12．（5分）若x+2y=1，则2x+4y的最小值是2；考点：基本不等式．专题：计算题．分析：由题意知2x+4y=．由此可知2x+4y的最小值是．解答：解：由题意知2x+4y=．∴2x+4y的最小值是2．点评：本题考查不等式的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．13．（5分）在边长为的正三角形ABC中，设，则a•b+b•c+c•a= ﹣3 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：错误：a•b+b•c+c•a，应该是由题意可得与的夹角等于，且||=||=，由此求得=﹣1，同理求得==﹣1，从而得到要求式子的值．解答：解：由题意可得与的夹角等于，且||=||=，故有==﹣1．同理求得==﹣1，故=﹣3，故答案为﹣3．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，注意两个向量的夹角为，而不是，属于中档题．14．（5分）给出下列命题：①存在实数α，使sinα•cosα=1②函数是偶函数③是函数的一条对称轴方程④若α、β是第一象限的角，且α＞β，则sinα＞sinβ其中正确命题的序号是②③．考点：命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：对于①，利用二倍角的正弦公式变形，可得sinα•cosα的最大值为；对于②，利用诱导公式化简为y=﹣cosx，该函数是偶函数；对于③，把代入，看y能否取得最值，若能取得最值，命题正确，否则，命题不正确；对于④举反例加以说明．通过以上分析即可得到正确答案．解答：解：由，∴sinα•cosα的最大值为，∴命题①错误；由，而y=﹣cosx是偶函数，∴命题②正确；∵，∴是函数的一条对称轴方程，∴命题③正确；取，，α、β是第一象限的角，且α＞β，但sinα＜sinβ，∴命题④错误．所以正确的命题是②③．故答案为②③．点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了三角函数的被角公式、诱导公式及三角函数的性质，考查了举反例法在判断命题真假中的应用，此题是基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15．（12分）已知向量=（1，0），=（2，1）．（1）求|+3|；（2）当k为何实数时，k﹣与+3平行，平行时它们是同向还是反向？考点：平行向量与共线向量；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：（1）先求出的坐标，再根据向量的模的定义求得|+3|的值．（2）求得 k﹣的坐标，再根据两个向量共线的性质设k﹣=λ（+3），则有（k﹣2，﹣1）=λ（7，3），即，由此求得k的值．解答：解：（1）由于=（1，0）+3（2，1）=（7，3），…..（2分）∴|+3|==．…..（4分）（2）由于k﹣=k（1，0）﹣（2，1）=（k﹣2，﹣1），…..（6分）设k﹣=λ（+3），则（k﹣2，﹣1）=λ（7，3），…．（8分）∴，…（10分）解得．…．（11分）故时，k﹣与+3反向或平行．…（12分）点评：本小题主要考查两个向量共线的性质，球向量的模，考查向量的坐标运算的能力等，属于基础题．16．（12分）在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画，刚进入大厅时，他在点A处看这幅壁画顶端点C的仰角为45°，往正前方走4m后，在点B处看壁画顶端点C的仰角为75°（如图所示）．（1）求BC的长；（2）若小明身高为1.70m，求这幅壁画顶端点C离地面的高度．（精确到0.01m，其中≈1.732）．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：解三角形．分析：（1）在△ABC中，由条件求得∠ACB=75°﹣45°=30°．由正弦定理得，将AB=4代入上式，求得BC的值．（2）在△CBD中，先求得，再利用两角和的正弦公式求得sin75°=，可得 DC=2+2，从而求得CE=CD+DE的值．解答：解：（1）在△ABC中，∵∠CAB=45°，∠DBC=75°，∴∠ACB=75°﹣45°=30°…（2分）由正弦定理，得，…（4分）将AB=4代入上式，得（m…（6分）（2）在△CBD中，∵，∴…（8分）因为sin75°=si n（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=+=，…（9分）则 DC=2+2．…（10分）所以（m）…．（11分）答：BC的长为；壁画顶端点C离地面的高度为7.16m．…（12分）点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．17．（14分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=b1=1，b4=8，S10=55．（1）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）求S n与T n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，依题意可求得公差为d 与公比为q，从而可求数列{a n}与{b n}的通项公式；（2）利用等差数列的求和公式与等比数列的求和公式即可求得S n与T n．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由S10=55，得 10a1+45d=55，…．（2分）又a1=1，所以10+45d=55，d=1…（3分）∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）=n．…（5分）由b4=8，得b1•q3=8，…（6分）又b1=1，所以q3=8，q=2．…（8分）∴b n=b1•2n﹣1=2n﹣1…．（10分）（2）S n===n2+n．…（12分）T n===2n﹣1．…（14分）点评：本题分别考查等差数列与等比数列的通项公式，考查等差数列的求和公式与等比数列的求和公式，属于中档题．18．（14分）已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间；（3）求f（x）在上的最值及取最值时x的值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的周期．（2）根据函数f（x）的解析式为，由，求得x的范围，可得函数的增区间．（3）根据x的范围，以及正弦函数的定义域和值域求得函数的最值．解答：解：（1）因为=…（1分）==，…（3分）所以f（x）的最小正周期．…..（4分）（2）因为，由，…（6分）得，…..（7分）所以f（x）的单调增区间是．…（8分）（3）因为，所以．…..…（9分）所以．…..…..…．（10分）所以．…..…（12分）当，即x=0时，f（x）取得最小值1．…..…（13分）当，即时，f（x）取得最大值4．…..…（14分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．19．（14分）在平面直角坐标系中，点P（x，y）满足约束条件：．（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域（用阴影表示，并注明边界的交点）；（2）设，求u的取值范围；（3）已知两点M（2，1），O（0，0），求的最大值．考点：简单线性规划；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）先根据直线定出区域的边界，不等式确定区域，由约束条件画出可行域；（2），利用u的几何意义求最值，只需求出何时可行域内的点与点（﹣4，﹣7）连线的斜率的最值，从而得到 u的取值范围．（3）先根据向量的数量积公式得出=2x+y，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y经过点A时，z取到最大值，从而得到答案即可．解答：解：（1）由得，∴A（4，1）…（1分）由得，∴B（﹣1，﹣6）…（2分）由得，∴C（﹣3，2）…（3分）画出可行域N，如右下图所示…（4分）（2）．…（5分）当直线DP与直线DB重合时，倾斜角最小且为锐角，此时；…（6分）当直线DP与直线DC重合时，倾斜角最大且为锐角，此时k DC=9；…..（7分）所以的取值范围为．…（8分）（3），…..（10分）设z=2x+y，则y=﹣2x+z，…..…（11分）z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，…（12分）当直线y=﹣2x+z经过点A时，z取到最大值，…（13分）这时z的最大值为z max=2×4+1=9．…．（14分）点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．20．（14分）已知数列{a n}中，a1=2，a2=3，其前n项和S n满足S n+1+S n﹣1=2S n+1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{a n}为等差数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）设（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，有c n+1＞c n恒成立．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用数列递推式，变形可得（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1，由此可得结论；（Ⅱ）利用错位相减法，可求数列{b n}的前n项和T n；（Ⅲ）要使c n+1＞c n恒成立，则恒成立，分类讨论，分离参数，可得结论．解答：（Ⅰ）证明：由已知，（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=1（n≥2，n∈N*），即a n+1﹣a n=1（n≥2，n∈N*），且a2﹣a1=1．∴数列{a n}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，∴a n=n+1．…（4分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，设它的前n项和为T n∴T n=2×21+3×22+…+n×2n﹣1+（n+1）×2n①∴2T n=2×23+3×23+…+（n+1）×2n+1②①﹣②可得：﹣T n=2×21+22+…+2n﹣（n+1）×2n+1=﹣n×2n+1∴T n=n×2n+1；…（8分）（Ⅲ）解：∵a n=n+1，∴，要使c n+1＞c n恒成立，则恒成立∴3•4n﹣3λ•（﹣1）n﹣12n+1＞0恒成立，∴（﹣1）n﹣1λ＜2n﹣1恒成立．（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2n﹣1恒成立，当且仅当n=1时，2n﹣1有最小值为1，∴λ＜1．（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n=2时，﹣2n﹣1有最大值﹣2，∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．…（14分）点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校。

上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷

高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为，最小值为． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2}的前n 项和为．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为．二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列．（2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1．即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ，由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分）（Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立．当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1．综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2），由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列，所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。

上海市2020年高一下学期数学期末试卷(附答案)

上海市高一下学期数学期末试卷一、解答题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，且终边经过点（1，2），则sinα的值为_________．2．函数y=2x（x≥1）的反函数为_________．3．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为_________．4．若log23=m，用含m的式子表示log281，则log281=_________．5．方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．6．函数y=3cos2x的单调递减区间为_________．7．不等式log（x2+1）＜﹣1的解集为_________．8．若将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为_________．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，则c的值为_________．10．已知函数f（x）=．下列命题：①f（x）为奇函数；②函数f（x）的图象关于直线x=对称；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点；其中正确命题的序号是_________．11．在△ABC中，已知3cscA=cscB•cscC，3sesA=secB•sesC，则cotA的值为_________．12．如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“|sinx|=1”的（）A．充分非必要条件B．必要分充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件14．给出命题：①y=sinx是增函数；②y=arcsinx﹣arctanx是奇函数；③y=arccos|x|为增函数；④y=﹣arccosx为奇函数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别是（）A．ω=1，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=﹣D．ω=2，φ=﹣16．学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC 的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）•sin（2α+β）=cos（+2α）•sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α•4x+β•2x+α=0有实数解B．关于x的方程α•（log4x）2+β•log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8分）已知cosα=，α∈（0，），sinβ=﹣，β∈（π，），求cos（α﹣β）的值．18．（8分）设函数f（x）=log2（9x﹣5）．（1）求使得f（x）＞2成立的x的集合；（2）解方程f（x）=log2（3x﹣2）+2．19．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（+）=1，且a=2，求b+c的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log3（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=f﹣1（x）+log t存在零点，求实数t的取值范围；（3）若不等式f（x）﹣m≥3x在x∈[2，3]上恒成立，求实数m最大值．21．（14分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1﹣T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（）？说明理由；（2）已知函数f（x）=具有性质P（T），求T的最大值；（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．。

上海市延安中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析

上海市延安中学2020年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设x，y满足约束条件，则的最小值为（）A. 3B. 4C. 5D. 10参考答案：B【分析】结合题意画出可行域，然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域，改写目标函数得，当取到点时得到最小值，即故选B【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值，需要掌握解题方法2. 已知函数，若，则实数（）A．-2或6 B．-2或 C．-2或2 D．2或参考答案：A3. 首项为b，公比为a的等比数列{an}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，点(Sn，Sn＋1)在() A．直线y＝ax＋b上 B．直线y＝bx＋a上C．直线y＝bx－a上 D．直线y＝ax－b上参考答案：A当a≠1时，Sn＝，Sn＋1＝，∴点(Sn，Sn＋1)为：(，)，显然此点在直线y＝ax＋b上．当a＝1时，显然也成立．4. 下列函数中，是奇函数且在（0，1]上单调递减的函数是（）A．y=﹣x2+2x B．y=x+C．y=2x﹣2﹣x D．y=1﹣参考答案：B【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】根据奇函数图象的对称性，奇函数的定义，奇函数定义域的特点，以及增函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=﹣x2+2x的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B.的定义域为{x|x≠0}，且；∴该函数为奇函数；，x∈（0，1]时，y′≤0；∴该函数在（0，1]上单调递减，∴该选项正确；C．y=2x﹣2﹣x，x增大时，﹣x减小，2﹣x减小，﹣2﹣x增大，且2x增大，∴y增大；∴该函数在（0，1]上单调递增，∴该选项错误；D．y=1﹣的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．故选：B．【点评】考查奇函数的定义，奇函数定义域的特点，奇函数的图象的对称性，以及函数导数符号和函数单调性的关系，增函数的定义．5. 若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，那么下列命题中正确的是( )A．f（x）在区间（2，3）内有零点B．f（x）在区间（3，4）内有零点C．f（x）在区间（3，16）内有零点D．f（x）在区间（0，2）内没零点参考答案：D考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，那么函数f（x）在区间（0，2）和（4，16）必然无零点，据此可用反证法证明．解答：解：下面用反证法证明f（x）在区间（0，2）内没零点．假设函数f（x）在区间（0，2）内有零点，由已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内，这也就是说函数f（x）唯一的一个零点也在区间（2，4）内，再由假设得到函数f（x）在区间（0，2）和（2， 4）内分别各有一个零点，由此得到函数f（x）有两个不同零点．这与已知函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16），（0，8），（0，6），（2，4）内矛盾．故假设不成立，因此函数f（x）在区间（0，2）内没零点．故选D．点评：本题考查函数的零点，正确理解已知条件和使用反证法是解题的关键6. 执行如右图所示的程序框图，则输出的a=（）A．B．C．D．5参考答案：A7. .若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（）A. 9B. 4C.D.参考答案：A圆的标准方程为：（x+1）2+（y﹣2）2 =4，它表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d，由题意可得22+d2=4，求得d=0，可得直线经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，再由a＞0，b＞0，可得=（）（a+b）=5+≥5+2当且仅当=时取等号，∴的最小值是9．故选：A．点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.8. 函数的零点所在的区间是（）A． B． C． D ．参考答案：B9. 与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2 D．f（x）=参考答案：B【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）==|x|（x≠0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数f（x）==x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；对于D，函数f（x）==x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．10. 若，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中，角的对边分别为，若，，，则．参考答案：12. 设集合，，若，则实数的值为___________ ．参考答案：413. 已知函数的零点依次为，则的大小关系是▲ .参考答案：略14. 函数的定义域为___________．参考答案：试题分析：令,故填．考点：函数的定义域.15. 函数恒过定点______________．参考答案：16. 不等式的解集是__________．参考答案：【分析】把不等式化为，求出解集即可．【详解】不等式可化为，解得，∴ 所求不等式的解集是．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 17. 数列的一个通项公式为．参考答案：因为数列可看做因此该数列一个通项公式为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年上海市延安中学高一下学期期末考数学试卷( 解析版)

2020-2021学年上海市长宁区延安中学高一下期末考数学试卷一、填空题（每小题3分，共39分）1．复数z＝2+i的虚部为．2．计算：＝．3．函数，的值域为．4．方程的解集为．5．已知M（3，﹣2），N（0，4），若，则点P的坐标为．6．已知复数z满足＝，则|z+i|＝．7．已知复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，，则|z1﹣z2|＝．8．已知向量，，若平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则实数m的取值范围是．9．已知虚数z是1的一个四次方根，复数μ＝z n+（）n，n∈N，用列举法表示满足条件的μ组成的集合为．10．已知向量，，则在方向上的投影的坐标为．11．已知复数﹣3+3i在复平面上所对应的向量是，将绕原点O顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为（结果用复数的代数形式表示）．12．已知函数y＝tanωx在区间上是严格减函数，则实数ω的取值范围是．13．如图是某自行车的平面结构示意图，已知圆A（前轮）、圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形；设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为．二、选择题（每小题3分，共15分)14．设z1、z2∈C，则“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件15．的三角形式是（）A．B．C．D．16．在下列各式中，正确的是（）A．B．C．若，则D．若，且，则17．已知平面向量，，满足，且，，则下列选项正确的是（）A．若，则x＞0，y＞0B．若，则x＜0，y＜0C．若，则x＞0，y＞0D．若，则x＜0，y＜0 18．甲、乙两个同学对问题“已知m＞0，n＞0，若关于x的实系数一元二次方程x2﹣px+m ＝0的两个根x1，x2，满足|x1﹣x2|＝n，求实数p的值”，各自提出一个猜测：甲说：“对于任意一组m，n的值，p的不同值最多有4个；”乙说：“存在一组m，n的值，使得p的不同值恰有3个．”则下列选项正确的是（）A．甲的猜测正确，乙的猜测错误B．甲的猜测错误，乙的猜测正确C．甲、乙的猜测都正确D．甲、乙的猜测都错误三、解答题（共46分)19．已知复数z满足z+4为纯虚数，且为实数；若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．20．已知向量，．（1）求，的夹角；（2）若，求实数k的值．21．若在复数范围内，关于x的方程x2﹣2ax+a2﹣a＝0至少有一个模为2的根，求实数a的值．22．如图，平行四边形ABCD中，．（1）若，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；（2）若∠DAB＝60°，，求的最小值，及此时的值．23．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为y＝a sin x+b cos x（x∈R），向量称为函数y＝a sin x+b cos x的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．（1）已知α∈R，h（x）＝cos（x+α）+2cos x，若函数y＝h（x）为集合S中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点M（a，b）满足条件：a＝3，；若向量的“相伴函数”y＝f （x）在x＝x0处取得最大值，当b在区间变化时，求tan2x0的取值范围．参考答案一、填空题（每小题3分，共39分）1．解：由复数的基本概念知：复数z＝2+i的虚部为1．故答案为：1．2．解：∵＝＝＝＝2+i，∴＝|2+i|＝＝．故答案为：．3．解：当x∈（，），x﹣∈（，），∴函数＞1，故函数y的值域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．4．解：方程sin x＝，在（0，2π）的解为x＝或x＝，根据终边相同的角三角函数值相等，可得方程sin x＝的解集为：{x|x＝2kπ+，或x＝2kπ+，k∈Z}＝{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．故答案为：{x|x＝kπ+（﹣1）k，k∈Z}．5．解：设点P（x，y），由M（3，﹣2），N（0，4），所以＝（x﹣3，y+2），＝（﹣x，4﹣y），由，得，解得，所以点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．6．解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi，∵＝，∴（）（z+i）＝9，即，∴a2+b2﹣a﹣bi+ai+b﹣i＝9∴（a2+b2﹣a+b）+（a﹣b﹣1）i＝9，则，解得或．当时，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝；当时，|z+i|＝|（）+（）i|＝＝．故答案为：（）或（）．7．解：∵复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝1，∴令z1＝cos A+i sin A，z2＝cos B+i sin B∵|z1+z2|＝，∴（cos A+cos B）2+（sin A+sin B）2＝2，整理得2cos A cos B+2sin A sin B＝0，又|z1﹣z2|2＝（cos A﹣cos B）2+（sin A﹣sin B）2＝2﹣2cos A cos B﹣2sin A sin B＝2，∴|z1﹣z2|＝．故答案为：．8．解：因为平面上任意向量都可以唯一地表示为与的线性组合，则与为平面向量的一组基底，故与为不共线的非零向量，所以4（1﹣m）≠﹣3（m+2），所以m≠10，故实数m的取值范围是（﹣∞，10）∪（10，+∞）．故答案为：（﹣∞，10）∪（10，+∞）．9．解：∵虚数z是1的一个四次方根，∴z＝i或z＝﹣i，故μ＝z n+（）n＝i n+（﹣i）n，当n＝1时，μ＝0，当n＝2时，μ＝﹣2，当n＝3时，μ＝0，当n＝4时，μ＝2，故满足条件的μ组成的集合为{0，﹣2，2}，故答案为：{0，﹣2，2}．10．解：向量，，所以•＝9﹣24＝﹣15，则在方向上的投影的坐标为||cosθ•＝•＝×（3，﹣4）＝（﹣，）．故答案为：（﹣，）．11．解：向量与复数﹣3+3对应，把绕原点O按顺时针方向旋转120°得到，可得与对应的复数为（﹣3+3i）•[cos（﹣120°）+i sin（﹣120°）]＝（﹣3+3i）（﹣）＝，故答案为：．12．解：∵函数y＝tanωx在区间上是严格减函数，∴ω＜0，且﹣≤•ω，﹣•ω≤，求得﹣1≤ω＜0，故实数ω的取值范围为[﹣1，0），故答案为：[﹣1，0）．13．解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（﹣8，0），B（﹣6，2），C（﹣2，2）．圆D的方程为x2+y2＝3，可设P（cosα，sinα），0≤α＜2π，所以＝（6，），＝（cosα+6，sinα﹣2）．故＝6sinα+6cosα+24＝12（sinα+cosα）+24＝12sin（α+）+24≤12+24＝36，当且仅当α＝时，取得最大值36．故答案为：36．二、选择题（每小题3分，共15分)14．解：若z1＝i，z2＝1，满足设“z12+z22＝0”，但“z1＝z2＝0”不成立，若z1＝z2＝0，则z12+z22＝0成立，故“z12+z22＝0”是“z1＝z2＝0”的必要不充分条件，故选：B．15．解：＝．故选：B．16．解：||＝|||||cos＜，＞|不一定等于|||，∴A错；（）2＝（||||cos＜，＞）2＝•cos2＜，＞不一定等于•，∴B错；由两边平方，得+2•+＝﹣2•+，∴•＝0，∴C对；由，得•﹣•＝0，∴•（﹣）＝0，又∵≠，∴﹣＝，∴＝，∴D错．故选：C．17．解：由于，且，若，取，则由于，即有0＝x﹣2y，1＝x+y，解得，则可排除B，取，则由于，即有1＝x+2y，1＝y，解得x＝﹣1，y＝1，则可排除C，D，故选：A．18．解：实系数一元二次方程x2﹣px+m＝0，则Δ＝p2﹣4m，当Δ＝0时，x1＝x2，则|x1﹣x2|＝n＝0与条件n＞0矛盾，当Δ＞0时，，，可得有两个值，当Δ＜0时，，，可得有一个或两个值．综上可知，当4m＝n2时，p的值有3个，当4m＞n2时，p的值有4个，所以甲、乙二人的猜测都正确．故选：C．三、解答题（共46分)19．解：设z＝x+yi（x，y∈R），则z+4＝（x+4）+yi，∵z+4为纯虚数，∴x+4＝0且y≠0，即x＝﹣4，y≠0．又＝＝∈R，∴2y﹣4＝0，即y＝2．∴z＝﹣4+2i，∵m为实数，且（z+mi）2＝[﹣4+（m+2）i]2＝（12﹣4m﹣m2）﹣8（m+2）i，由题意，，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．20．解：（1）根据题意，向量，．则||＝，||＝1，•＝﹣1，则cos＝＝＝﹣，又由0≤≤π，则＝π﹣arccos；（2）根据题意，3﹣2＝（5，6），k+＝（k﹣1，2k），若，则有（3﹣2）•（k+）＝5（k﹣1）+12k＝0，解可得：k＝．21．解：①若两根为实根时，不妨设|x1|＝2，则x1＝±2，当x1＝2时，则a2﹣5a+4＝0，解得a＝1或a＝4；当x1＝﹣2时，则a2+3a+4＝0，由于Δ＝9﹣16＝﹣7＜0，可得a无解．②若两根为虚根时，则x1＝，x1•x2＝＝4，即a2﹣a＝4，求得a＝．再根据此时Δ＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣a）＝4a＜0，得a＜0，所以a＝．综上可得，a＝，或a＝4，或a＝1．22．解：（1）∵平行四边形ABCD中，，，E为AM中点，∴＝＝（+）＝（+）＝+，∵+＝1，∴D，E，N共线；（2）设||＝||＝x＞0，||＝||＝y＞0，根据∠DAB＝60°，，可得xy ＝1，2＝（+）2＝（+）2＝x2+x x y×+x y2＝x2+x y2+≥x x y+＝2，∴||≥，当且仅当x＝y且xy＝1，即x＝，y＝时，||取得最大值，此时的值．23．解：（1）证明：h（x）＝cos（x+α）+2cos x＝﹣sinα⋅sin x+（2+cosα）cos x，∴函数h（x）的相伴向量，∴h（x）∈S．，∴cosα＝1时，；cosα＝﹣1时，．∴的取值范围为[1，3]．（2）的相伴函数f，其中．当，即时，f（x）取得最大值，∴，∴，为直线OM的斜率，由几何意义知，令，则，当m时，，∴．。

2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。

上海市延安中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题及答案

要使函数有 5 个零点, 则 3πω ∈[4π,5π) ,
解得
ω
的范围为
4 3
,
5 3
.
故答案为:
4 3
,
5 3
.
12．192
【分析】由题意画出满足条件的图，再由平面向量的运算可得
( ) (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[
a − b
⋅(a − c)]2
= (2S
ABC
)
2
，再由图形的几何性质即可得解．
( ) (2)若 (a − kc) ⋅ kb < 6 ，求实数 k 的取值范围．
19．已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn , Sn =3n2 + 4n,bn =a2n−1 ．
(1)求数列{an},{bn} 的通项公式；
n
(2)求所有使不等式 2023 < ∑ bi < 20230 成立的 n 的取值集合． i =1
此时 ABC
的面积取得最大值，即
(S
ABC
)max
=
1 ×2×4 2
3= 4
3，
( ) 因此 (a − b)2 ⋅ (a − c)2 −[ a − b ⋅(a − c)]2 的最大值为 4× (4 3)2 = 192 ．
故答案为：192 ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用平面向量数量积的运算法则，将问题转化为求
14．若 O 是 ABC 内一点， OA + OB + OC = 0 ，则 O 是 ABC 的（）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
15．已知等比数列{an} 前 n 项和为 Sn ，则下列结论一定成立的是（）

上海市延安中学数学高一下期末复习题(培优)

一、选择题1．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．(0分)[ID ：12723]已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（） A ．43B ．10C ．10D ．83．(0分)[ID ：12704]在ABC ∆中，2AB =，2AC =，E 是边BC 的中点.O 为ABC ∆所在平面内一点且满足222OA OB OC ==，则·AE AO 的值为（）A ．12B ．1C ．22D ．324．(0分)[ID ：12690]《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（）A ．2B ．422+C ．442+D ．642+5．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．(0分)[ID ：12678]当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4） 7．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2πB ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 8．(0分)[ID ：12671]函数223()2xx xf x e +=的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．9．(0分)[ID ：12662]函数2ln ||y x x =+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．10．(0分)[ID ：12661]记max{,,}x y z 表示,,x y z 中的最大者，设函数{}2()max 42,,3f x x x x x =-+---，若()1f m <，则实数m 的取值范围是（）A ．(1,1)(3,4)-B ．(1,3)C ．(1,4)-D ．(,1)(4,)-∞-+∞11．(0分)[ID ：12660]函数()lg ||f x x x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．12．(0分)[ID ：12658]1()xf x e x=-的零点所在的区间是（） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)213．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④14．(0分)[ID ：12719]如图，在ABC 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（）A ．5B ．6C ．8D ．1015．(0分)[ID ：12681]若,αβ均为锐角，25sin α=()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B 25C 25或25 D ．25二、填空题16．(0分)[ID ：12820]已知函数()3sin(2)cos(2)(||)2f x x x πϕϕϕ=---<的图象关于y 轴对称,则()f x 在区[6π-,5]12π上的最大值为__. 17．(0分)[ID ：12808]一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是___________18．(0分)[ID ：12792]已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．19．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．20．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.21．(0分)[ID ：12780]如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.22．(0分)[ID ：12736]函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数2sin y x =的图像至少向右平移________个单位长度得到．23．(0分)[ID ：12735]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.24．(0分)[ID ：12751]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．下列命题正确的为_______________.①存在点E ，使得11A C //平面1BED F ；②对于任意的点E ，平面11AC D ⊥平面1BED F ； ③存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F ；④对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题26．(0分)[ID ：12927]某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数. （Ⅰ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 27．(0分)[ID ：12901]已知x 满足√3≤3x ≤9 (1)求x 的取值范围；(2)求函数y =(log 2x −1)(log 2x +3)的值域． 28．(0分)[ID ：12899]将函数()4sin cos 6g x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象．（1）若()f x 为偶函数，求()fϕ的值；（2）若()f x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调函数，求ϕ的取值范围．29．(0分)[ID ：12871]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点.求证：（1）直线//EG 平面11BDD B ；（2）平面//EFG 平面11BDD B .30．(0分)[ID ：12833]某学校微信公众号收到非常多的精彩留言,学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”,其留言者年龄集中在[]25,85之间,根据统计结果,做出频率分布直方图如下:(1)求这100位留言者年龄的平均数和中位数;(2)学校从参加调查的年龄在[)35,45和[)65,75的留言者中,按照分层抽样的方法,抽出了6人参加“精彩留言”经验交流会,赠与年龄在[)35,45的留言者每人一部价值1000元的手机,年龄在[)65,75的留言者每人一套价值700元的书,现要从这6人中选出3人作为代表发言,求这3位发言者所得纪念品价值超过2300元的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D2．D3．D4．D5．B6．C7．D8．B9．A10．A11．D12．B13．C14．C15．B二、填空题16．【解析】【分析】利用辅助角公式化简可得再根据图象关于轴对称可求得再结合余弦函数的图像求出最值即可【详解】因为函数的图象关于轴对称所以即又则即又因为所以则当即时取得最大值故答案为：【点睛】判定三角函数17．【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题18．2【解析】抛物线的准线为与圆相切则19．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通20．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；21．【解析】【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数22．【解析】试题分析：因为所以函数的的图像可由函数的图像至少向右平移个单位长度得到【考点】三角函数图像的平移变换两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时提倡先平移后伸缩但先伸缩后平移也经常出23．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得24．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确；②连结则平面因为平面25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【解析】【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果.【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-，所以||cos ,2b a b <>=-，即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.3．D解析：D 【解析】【分析】根据平面向量基本定理可知()12AE AB AC =+，将所求数量积化为1122AB AO AC AO ⋅+⋅；由模长的等量关系可知AOB ∆和AOC ∆为等腰三角形，根据三线合一的特点可将AB AO ⋅和AC AO ⋅化为212AB 和212AC ，代入可求得结果.【详解】E 为BC 中点 ()12AE AB AC ∴=+ ()111222AE AO AB AC AO AB AO AC AO ∴⋅=+⋅=⋅+⋅ 222OA OB OC == AOB ∴∆和AOC ∆为等腰三角形211cos 22AB AO AB AO OAB AB AB AB ∴⋅=∠=⋅=，同理可得：212AC AO AC ⋅=22111314422AE AO AB AC ∴⋅=+=+= 本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.4．D解析：D 【解析】【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积12222262S =⨯+⨯⨯=+ 故选D ．【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．B【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．6．C解析：C【解析】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则20 40k k k >⎧⎨=-<⎩解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C. 7．D解析：D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.8．B解析：B【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232x x x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 9．A解析：A【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。

2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题解析

2019-2020学年上海市上海中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．用数学归纳法证明：“12213521n n n n nn n N”时，从n k =到1n k =+，等式的左边需要增乘的代数式是（）A ．21k +B ．211k k ++ C ．231k k ++ D ．()221k +答案：D根据条件分别求出n k =和1n k =+时左边的式子，从而可求得由n k =到1n k =+时需要增乘的代数式. 解：当n k =时，左边()()()12k k k k =++⋅⋅⋅+，当1n k =+时，左边()()()()()111211111k k k k k k k k =++++⋅⋅⋅++-+++++，所以由n k =到1n k =+时，等式左边应该增乘的代数式是()()()1112211k k k k k k +++++=++.故选：D 点评：本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题.2．“2b ac =”是“,,a b c 依次成等比数列”的（）条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分 C ．既不充分也不必要 D ．充分必要答案：B举例说明充分性不成立，根据等比数列定义证必要性成立. 解：0a b c ===时满足2b ac =，但,,a b c 不成等比数列，所以充分性不成立，若,,a b c 依次成等比数列，则2c bb ac b a=∴=，即必要性成立. 故选：B 点评：本题考查充要关系的判断、等比数列定义，考查基本分析判断能力，属基础题. 3．等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数，若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以为（）A ．17B ．17-C ．12D ．12-答案：C根据等差数列与等比数列通项化简222123123a a ab b b ++++，再根据正整数性质逐一验证选项即可.解：因为1a d =，21b d =，公差d ，公比q所以222222123222123(2)(3)14(1)1a a a d d d b b b d q q q q ++++==++++++，因为q 是小于1的正有理数，所以舍去B,D, 当17q =时，2141449157Z q q ⨯=∉++，舍去A ，当12q =时，21481q q =++，符合，故选：C ．点评：本题考查等差数列与等比数列通项、正整数概念，考查基本分析判断能力，属基础题. 4．n S 为实数构成的等比数列{}n a 的前n 项和，则{}n S 中（） A ．任一项均不为0 B ．必有一项为0C ．至多有有限项为0D ．或无一项为0，或无穷多项为0答案：D根据等比数列求和公式特征直接判断选择. 解：因为11,1(1)0,11n n na q S a q q q q=⎧⎪=-⎨≠≠⎪-⎩，，所以当1q =-时，{}n S 有无穷多项为0；当1,0q q ≠-≠时，{}n S 无一项为0，故选：D 点评：本题考查等比数列求和公式，考查基本分析判断能力，属基础题.二、填空题5．在数列{}n a 中，若11a =，1133n na a +=+，则n a =________．答案：32n -根据题意，先得数列{}n a 是公差为3的等差数列，进而可求出结果. 解：因为1133n na a +=+，即13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列，又11a =，所以()13132n a n n =+-=-. 故答案为：32n -. 点评：本题主要考查求等差数列的通项公式，熟记公式即可，属于基础题型. 6．在首项为2020，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项．答案：12先计算等比数列的通项公式，根据该数列是递减的数列，分别计算111213,,a a a ，简单判断可得结果. 解：由题可知：等比数列的通项为11=2020()2-⨯n n a所以1112131.97,0.99,0.49≈≈≈a a a所以120.99≈a 与1最接近，所以最接近于1的项是第12项. 故答案为：12 点评：本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 7．等差数列{}n a 的前15项和为90，则8a =________．答案：6根据等差数列求和公式得1151515()2a a S +=,再结合等差数列性质即可求结果. 解：因为等差数列{}n a 的前15项和为90，所以115158815()159062a a S a a +===∴= 故答案为：6 点评：本题考查等差数列求和公式、等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．等比数列{}n a 满足78927a a a =．则313233315log log log log a a a a ++++=________．答案：15根据等比数列性质求得8a ，再根据对数运算法则以及等比数列性质化简所求式子为1538log a ，最后代入8a 得结果. 解：78398827273a a a a a =∴=∴=731323331531231531158log log log log log ()log [()]a a a a a a a a a a a ∴++++=⋅⋅=2715388383log [()]log 15log 315a a a ==== 故答案为：15 点评：本题考查等比数列性质、对数运算法则，考查基本分析求解能力，属基础题.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，49S S =，则n S 取最大值时n =________．答案：6或7根据等差数列{}n a 的前n 项和二次函数性质确定最大值取法，即得结果. 解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为10a >，49S S =，所以0d <2111(1)()222n d dna n n d n S a n =+-=+-为开口向下的二次函数，又49S S =所以对称轴为4913,22n n +== 因为*n N ∈，所以当n =6或7时，n S 取最大值，故答案为：6或7 点评：本题考查等差数列前n 项和、二次函数性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．数列{}n a 由2,(),n n n n a n N a n *⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数为偶数确定，则{}n a 中第10个3是该数列的第____项．答案：1536根据递推关系式可得奇数项的项为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定，通过前面的项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，即可求出第10个3在该数列中所占的位置. 解：由题意可得：这个数列各项的值分别为1,1,,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,，即33a =，63a =，123a =，243a =，，即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列，所以第10个3是该数列的第101321536-⨯=. 故答案为：1536 点评：本题主要考查了递推数列、等比数列的通项公式，属于中档题. 11．已知方程cos 221x x k +=+在区间[0,]2π内有两个相异的解,αβ，则k 的取值范围是________．答案：[0,1)采用数形结合的方法，转化为函数()cos22,1=+=+f x x x y k 的图象在区间[0,]2π内有两个交点，可得结果.解：由题意可知：方程cos 221x x a +=+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，令()cos22=f x x x ，1y k =+ 等价于两函数的图象在区间[0,]2π内有两个交点.由()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭如图所以11201≤+<⇒≤<k k 故答案为：[0,1) 点评：本题重点考查了数形结合的思想及函数与方程的思想，此外还考查了利用辅助角公式化成同一个角的三角函数的形式，是中档题. 12．在数列{}n a 中，11a =，1()1nn n a a n a *+=∈+N ，则n a =________．答案：1n先由11n n n a a a +=+，得到1111n na a ，求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出结果.解：因为11n n n a a a +=+，所以11n n n n a a a a +++=，则1111n na a ，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为公差的等差数列，又11a =，所以11(1)n n n a =+-=，解得1n a n=. 故答案为：1n. 点评：本题主要考查由数列的递推公式求数列的通项公式，关键在于对递推公式进行合适的变形，构造成等差数列或等比数列，属于常考题型.13．111lim[]38(2)n n n →∞+++=+________．答案：34利用裂项求和，再求极限，可得结论．解：解：11111111111111138(2)2322423522n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()3234212n n n +=-++ ()()1113233lim[]lim 38(2)42124n n n n n n n →∞→∞∴⎡⎤++++=-=⎢⎥+++⎣⎦ 故答案为:34．点评：本题考查裂项求和，考查极限知识，正确求和是关键．14．数列{}n a 中，当n 为奇数时，51n a n =+，当n 为偶数时，22nn a =，则这个数列的前2n 项的和2n S =________ 答案：21522n n n +++-当n 为奇数时，51n a n =+，奇数项为等差数列，当n 为偶数时，22n n a =，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前2n 项的和. 解：122122n n n a a a a S -=++⋅⋅⋅++1321242n n a a a a a a -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()2616104222n n =++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+所以数列{}n a 的奇数项是首项为6公差为10的等差数列，数列{}n a 的偶数项首项为2公比为2的等比数列， ∴()()1222121610522212nn nn n n Snn +⨯--=+⨯+=++--.故答案为：21522n n n +++-. 点评：本题考查利用分组求和法求数列的前2n 项的和，一定要正确找出等差数列的首项与公差、等比数列的首项与公比，考查运算求解能力，是基础题.15．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x ，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x 生成两个数，一个是x -，另一个是3x +．若1x =，前n 次生成的所有数．．．中不同的数的个数为n T ，则n T =________．答案：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩根据计算第一次，第二次，第三次的生成的数，依此类推，利用不完全归纳法，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，简单计算，可得结果. 解：第1次生成的数为“1”；第2次生成的数为“1-、4”；第3次生成的数为“1、2、4-、7”；第4次生成的数为“1-、4、2-、5、4、1-、7-、10”；… 可观察出：11T =，23T =，36T =，410T =，514T =，…，当3n ≥时，{}n T 是公差为4的等差数列，∴1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩．故答案为：1,13,246,3,n n T n n n n N *=⎧⎪==⎨⎪-≥∈⎩点评：本题考查不完全归纳法以及等差数列的通项公式，关键在于对数据的分析，属基础题. 16．若数列{}n a ，{}n b 满足11a =，11b =，若对任意的n *∈N，都有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+，设111()3n n n nc a b =+，则无穷数列{}n c 的所有项的和为________．答案：1由已知得：()112+n n n n a b a b +++=，2,n n n a b n N *∴+=∈,11n n a b ++=2n n a b ，12n n n a b -∴=，由此可得：23n nc =，再由等比数列求和公式可得解. 解：由题意，11)2(n n n n a b b a +++=+，∴{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn n a b +=，而22211()()2n n n n nn n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，可得12n n n a b -⋅=，从而11112()333n n n nn n n n n n a b c a b a b +=+=⋅=⋅， 121,33c q ==，其所有项和为12311113c q ==--．故答案为：1. 点评：本题考查了等比数列的通项公式和求和公式，考查了转化能力和计算能力.属于中档题.三、解答题17．有三个数,,a b c 依次成等比数列，其和为21，且,,9a b c -依次成等差数列，求,,a b c ．答案：1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===本题由,,9a b c -成等差数列，可设公差为d ，所以,9a b d c b d =--=+，再利用等差中项与等比中项公式联立方程求解即可. 解：由题意，可设,,9a b c -公差为d ，则,9a b d c b d =--=+，于是()()()()29219b d b b d b d b d b ⎧-++++=⎪⎨-++=⎪⎩，解得：43b d =⎧⎨=⎩或412b d =⎧⎨=-⎩ 所以1,4,16a b c ===或16,4,1a b c ===．点评：此题考查等差数列与等比数列的概念问题，可直接利用等差中项与等比中项的公式列式计算，属基础题. 18．解下列三角方程：（1）24cos 4cos 10x x -+=；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++=；（3）sin 212(sin cos )120x x x --+=．答案：（1）2()3x k k Z ππ=±∈；（2）1arctan 2x k π=-或()4x k k Z ππ=-∈；（3）22x k ππ=+或2()x k k Z ππ=+∈．（1）先解一元二次方程，再根据余弦函数性质解三角方程；（2）先利用1的代换转化为齐次方程，再根据弦化切转化解一元二次方程，最后根据正切函数性质解三角方程；（3）令sin cos t x x =-，将原方程转化为关于t 的一元二次方程，根据t 的范围解得t 的值，再利用辅助角公式以及正弦函数性质解三角方程. 解：（1）2214cos 4cos 10(2cos 1)0cos 2()23x x x x x k k ππ-+=∴-=∴=∴=±∈Z ；（2）2sin 3sin cos 10x x x ++= 222sin 3sin cos sin cos 0x x x x x ∴+++=，显然cos 0x =不是方程的解，所以两边同除2cos x ，得22tan 3tan 10x x ++=， ∴1tan 2x =-或tan 1x =-， ∴1arctan ()24x k x k k πππ=-=-∈Z 或；（3）令sin cos 4t x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，[t ∈，则2sin 21x t =-，从而2112120t t --+=，即212130t t +-=，解得1t =或13t =-（舍），1sin44x xππ⎛⎫⎛⎫-=⇒-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴244x kπππ-=+或32()44x k kπππ-=+∈Z，∴22x kππ=+或2()x k k Zππ=+∈．点评：本题考查解简单三角方程、解一元二次方程、辅助角公式、弦化切，考查综合分析求解能力，属中档题.19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和．答案：（1）2na n=-；（2）12nn-.解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，由已知条件可得1121210a da d⎧⎨⎩＋＝＋＝－，解得111ad⎧⎨-⎩＝＝，故数列{a n}的通项公式为a n＝2－n.(2)设数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为S n，∵1121212222nn n n na n n－－－－－＝＝－，∴S n＝2211121222n⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋＋－21231222nn⎛⎫⋯⎪⎝⎭－＋＋＋＋记T n＝21231222nn⋯－＋＋＋＋，①则12T n＝231232222nn⋯＋＋＋＋，②①－②得：12T n＝1＋211112222n nn-⋯＋＋＋，∴12T n＝112112n-－－2nn，即T n＝4112n⎛⎫⎪⎝⎭－－12nn-.∴S n ＝1212112n ⎡⎤⎛⎫⨯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n - ＝4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－－4112n ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋12n n -＝12n n -. 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S ；（2）若对任意的n *∈N ，都有[,]n S s t ∈，求t s -的最小值．答案：（1）1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，1311223n n S -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭；（2）23．（1）先根据等差中项得46n n S a =+，再根据和项与通项关系求数列{}n a 的通项公式，最后代入46n n S a =+求n S ；（2）根据n 奇偶性分类讨论n S 取值范围，进而确定t s ，范围，即得t s -的最小值．解：（1）由题意，46n n S a =+①，令1n =，可得12a =，又1146n n S a ++=+②，②-①，得114n n n a a a ++=-，即113n n a a +=-，又12a =∴{}n a 是首项为2，公比为13-的等比数列， ∴1123n n a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，163114223n n n a S -+⎛⎫==+⋅- ⎪⎝⎭；（2）①n 为奇数时，1311223n n S -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递减且32n S >恒成立，此时，1322n S S <=≤； ②n 为偶数时，1311223n n S -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，n S 关于n 单调递增且32n S <恒成立，此时，24332n S S =<≤；∴min 4()3n S s =≥，max ()2n S t =≤，于是min 42()233t s -=-=．点评：本题考查等差中项、利用和项与通项关系求通项、数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.21．对于实数x ，将满足“01y ≤<且x y -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号||||x 表示．对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：1||||a a =，11||||,0,0,0.n n n na a a a +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩其中1,2,3n =．（1）若a ={}n a ；（2）当14a >时，对任意的*n N ∈，都有n a a =，求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）若a 是有理数，设p a q=（p 是整数，q 是正整数，p q 、互质），问对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0n a =成立，并证明你的结论．答案：（1）1n a =；（2）13{1,}22--；（3）成立，证明见解析. 试题分析：（1）利用新定义，可求数列{}n a 的通项公式；（2）分类讨论，利用n a a =，即可求符合要求的实数a 构成的集合A ；（3）由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n p ，n q 互质），利用反证法可得结论．试题解析：（1）1||1a =，211||||||||||1||1a a ====，若1k a =，则11||||||1||1k k a a +===，所以1n a .（2）1||||a a a ==，所以114a <<，所以114a <<， ①当112a <<，即112a<<时，21111||||||||1a a a a a ===-=，所以210a a +-=，解a =得（1(,1)2a =，舍去）. ②当1132a <≤，即123a≤<时，21111||||||||2a a a a a ===-=，所以2210a a +-=，解1a ==（111(,]32a =∉，舍去）. ③当1143a <≤，即134a≤<时，21111||||||||3a a a a a ===-=，所以2310a a +-=，解得32a -+=（311(,]243a --=∉舍去）.综上. （2）成立.由a 是有理数，可知对一切正整数n ，n a 为0或正有理数，可设n n n p a q =（n p 是非负整数，n q 是正整数，且n np q 既约）. ①由111||||p p a q q ==，可得10p q ≤<； ②若0n p ≠，设n n q p αβ=+（0n p β≤<，α，β是非负整数），则n n n q p p βα=+，而由n n n p a q =得1n n nq a p =， 11||||||||n n n n n q a a p p β+===，故1n p β+=，1n n q p +=,可得10n n p p +≤<. 若0n p =则10n p +=，若123,,,,q a a a a 均不为0，则这q 正整数互不相同且都小于q ，但小于q 的正整数共有1q -个，矛盾.故123,,,,q a a a a 中至少有一个为0，即存在(1)m m q ≤≤，使得0m a =. 从而数列{}n a 中m a 以及它之后的项均为0，所以对不大于q 的自然数n ，都有0n a =.【考点】（1）新定义；（2）数列递推式.。

上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。

1.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】1【解析】【分析】由1lim=0x n→∞即可求得【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--）【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。

2.已知等差数列13,21,2,n a a d ===则n = ．【答案】10【解析】试题分析：根据公式，()11n a a n d =+-，将13,21,2,n a a d ===代入，计算得n=10．考点：等差数列的通项公式．3.数列{}n a 中，已知*41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.【答案】4【解析】【分析】方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。

【详解】*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =-取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。

【点睛】发现242n n =（），原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。

对于指数结构242n n =（），293n n =（），2255n n =（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。

4.{}n a 等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______.【答案】123n -•【解析】【分析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。

【详解】12326a a a ++=相当于211=26a q q ++（）， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（），上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=g【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。

2020年上海市东延安中学高一数学文下学期期末试卷含解析

2020年上海市东延安中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知f（x）=ln（﹣3x）+1，则f（lg3）+f（lg）等于( )A．2 B．1 C．0 D．﹣1参考答案：A【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用f（x）+f（﹣x）=2即可得出．【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=++1=ln1+2=2．∴f（lg3）+f（lg）=f（lg3）+f（﹣lg3）=2．故选：A．【点评】本题考查了函数的奇偶性、对数的运算法则，属于基础题．2. 判断下列命题的真假，其中为真命题的是A． B．C． D．参考答案：D3. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如右上图，则下面结论中错误的一个是 ( )A．甲的极差是29 B．乙的众数是21C．甲罚球命中率比乙高 D．甲的中位数是24参考答案：D4. 已知命题，则命题p的否定为A. B.C. D.参考答案：C全称命题的否定为特称命题，则命题：，的否定为，.本题选择C选项.5. 已知，，那么的值是（）．A．B．C．D．参考答案：B略6. 函数的最小正周期是3π，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.7. 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．f（a）＜f（1）＜f（b） B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（1）＜f（a）＜f（b） D．f（b）＜f（1）＜f（a）参考答案：A【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】根据函数的零点的判定定理，可得0＜a＜1＜b＜2，再由函数f（x）=e x+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，∴0＜a＜1．∵函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，g（1）=﹣1＜0，g（2）=ln2＞0，∴1＜b＜2．综上可得，0＜a＜1＜b＜2．再由函数f（x）=e x+x﹣2在（0，+∞）上是增函数，可得 f（a）＜f（1）＜f（b），故选A．8. （5分）已知y=log a（2﹣ax）（a＞0且a≠1）在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（0，2）D．[2，+∞]参考答案：B考点：对数函数的图像与性质．专题：函数的性质及应用．分析：先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=log a t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．解答：令y=loga t，t=2﹣ax，（1）若0＜a＜1，则函y=loga t，是减函数，由题设知t=2﹣ax为增函数，需a＜0，故此时无解；（2）若a＞1，则函数y=loga t是增函数，则t为减函数，需a＞0且2﹣a×1＞0，可解得1＜a＜2综上可得实数a 的取值范围是（1，2）．故选：B点评：本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．9. 若函数的图象经过（）可以得到函数的图象．A．向右平移2个单位，向上平移个单位B．向左平移2个单位，向上平移个单位C．向右平移2个单位，向下平移个单位D．向左平移2个单位，向下平移个单位参考答案：C【考点】函数的图象与图象变化．【专题】函数的性质及应用．【分析】把已知函数变形为==，利用“左加右减，上加下减”的变换法则即可得出．【解答】解：∵函数==，∴把函数向右平移2个单位，向下平移个单位即可得到函数的图象．故选C．【点评】本题考查了函数的“左加右减，上加下减”的平移变换法则，属于基础题．10. 已知函数的最大值是，最小值为，则A．B．C．D．参考答案：A 略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 对于项数为m 的有穷数列数集，记（k =1,2,…,m ），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，则所有满足条件的有______个．参考答案：；；；；12. 以下是用二分法求方程的一个近似解（精确度为0.1）的不完整的过程，请补充完整。