南开大学2010高等代数

南开大学2010年硕士研究生入学考试试题

一．计算下列行列式的值：（20分）

111212122

21

2

111n n n n n n

x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++

二．试求解矩阵方程：（20分）

1

121110130

1010

01

2X ⎛⎫

⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

--=

三．设

1420

3404

3A ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝

⎭

-= 试求n A . （20分）

四．设A 为n 阶实方阵，已知A 的特征值全为实数，且A AA A =''，证明：A 必为对称矩阵.（20分）

五．设A 为实对称矩阵，证明：A 中元素之最大者必位于A 的对角线上.（15分）

六．证明：如果一个球面的球心坐标000,,()y z x 中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至多有三个点使其坐标都是有理数.（15分）

七．设A ，B 为n 阶复方阵，且A 可逆，B 幂零，且AB BA =.证明A B +为可逆矩阵.（15分）

八．设A 为n 阶实反对称矩阵，证明： 1.det 0A ≥.

2.如果A 中元素全为整数，则det A 必为某个整数的平方.（15分）

九．设V 为n 维复线性空间，EndV 为V 上所有线性变换构成的线性空间，又A ，

B 为EndV 的子空间，且A B ⊆.令

{}|,x EndV

xy yx A y B M ∈-∈∀∈=

假定0M x ∈满足条件0()0tr x y =，y M ∀∈.证明：0x 必为幂零线性变换.（10分）