南开大学2010高等代数
南开各院系参考书目
电话：23503593 何曼君等 朱常英编讲义 王积涛等 邢其毅等编著 朱志昂、阮文娟编 朱志昂、阮文娟编 傅献彩等 潘瑞炽等 陆时万、吴国芳 高玉葆、石福臣 刘凌云、郑光美主编 南开大学等五校合编 志等 2001 年 李博主编 孙儒泳等编著 沈萍 复旦大学出版社 2003 年第 十次印刷 南开大学高分子教研室 2003 年 南开大学出版社 2003 年第 二版 高等教育出版社（第三版） 科学出版社 2008.6 科学出版社 2007.6 月第 二次印刷 南京大学出版社 1990 年 高等教育出版社（六） 高等教育出版社（二） 科学出版社 2008 年 高等教育出版社 1997 年第 三版 彩万 人民教育出版社 1980 年 中国农业出版社 2001 年 高等教育出版社，2000 高等教育出版社，2002 高等教育出版社 2000 年第 一版
院系所名称： 化学学院 《无机化学》 综合化学 《定量化学分析》 《有机化学》
电话：23508473 吉林大学、武汉大学、南开大 高等教育出版社 2004 年第 学 合编 许晓文等 王积涛等 一版 南开大学出版社 96 年 8 月 南开大学出版社 2003 年第 二版 科学出版社 2004 年 9 月 一版 高等教育出版社 2002、1 Gosport,2001 南开大学出版社 96 年 8 月 北京大学出版社 1997 年 5 月 南开大学出版社 2003 年第 二版 南开大学出版社 2004 年 1 月
有机化学与农药化 学
院系所名称： 生命科学学院 高分子化学与物理 （生科院） «高分子物理» «高分子化学» «有机化学» 有机化学（生科院） «基础有机化学» «近代物理化学»第四版 物理化学（生科院）«物理化学学习指导» «物理化学»（上、下） 植物生理学 植物学 动物学 昆虫学 普通生态学 微生物学 植物生理学 植物学（上册、下册） 植物生物学与生态学实验 《普通动物学》 《昆虫学》 《普通昆虫学》 《生态学》 《基础生态学》 《微生物学》
南开大学基础数学专业考研大纲信息
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1.了解λ-矩阵的秩、可逆等概念。 2.理解λ-矩阵的初等变换、等价等概念，掌握判定λ-矩阵等价的充分必要条件。 3. 会用初等变换求λ-矩阵的标准形。 4. 掌握λ-矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念及三者之间的关系。 5. 掌握两个矩阵相似的充分必要条件。 6. 了解复方阵的若当标准形。 (九)欧几里德空间 考试内容 内积的定义及其性质；欧几里德空间的概念；正交基和标准正交基的概念；施密特 （Schmidt）正交化过程；正交矩阵；正交变换及其性质；正交子空间、正交补及其性质；实 对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角矩阵；欧几里德空间的同构。 考试要求 1.掌握线性空间内积的概念及性质，理解欧几里德空间的概念，了解欧几里德空间中向 量的正交，了解欧几里德空间中基的度量矩阵及其用途。 2.理解正交基和标准正交基的概念，掌握标准正交基的求法（施密特正交化过程），了解 标准正交基下度量矩阵、向量坐标及内积的特殊表达。 3.掌握正交矩阵的概念及性质，了解正交矩阵与标准正交基的过渡矩阵之间的关系。 4.理解正交变换的概念及其性质，了解正交变换和正交矩阵之间的关系。 5.理解正交子空间、正交补的概念及性质。 6.熟悉实对称矩阵的特征值和特征向量的特殊性质，对给定的实对称矩阵 A 会求正交矩 阵 T 使 T′AT 成为对角矩阵。 7.了解欧几里德空间同构的概念和性质，了解有限维欧几里德空间同构的充分必要条件。
型曲面积分，各种积分之间的联系，曲线积分与路径无关的条件。 8．数项级数： 级数收敛性的概念和基本性质，正项级数收敛差别法，任意项级数收敛
差别法。 9．广义积分： 无限区间上的广义积分，有限区间上无界函数的广义积分。 10．一致收敛： 函数列的一致收敛性，一致收敛与极限换序。 11．函数项级数：函数项级数的一致收敛判别法，幂级数的性质，泰勒级数，函数的幂
一、高等代数与解析几何之间的关系
利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理一、高等代数与解析几何的关系代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。
解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的.例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。
高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义.例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型.“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限,但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。
”-———-—-—拉格朗日二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学中国科大：陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011.南开大学:孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）(第二版），科学出版社，北京:2007.华东师大：陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) （第2版）,高等教育出版社，北京：2008。
华中师大：樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004.同济大学：高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社(2005-05出版）兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学三、高等代数的特点1、逻辑推理的严密性;2、研究方法的公理性；3、代数系统的结构性.四、高等代数一些概念的引入对于刚上大学的一年级新生，大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导和应用。
通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。
五、高等代数的一些概念的几何解析高等代数中相关概念和定理的几何解析，可以使学生更容易把握这些概念和定理的几何本质，更容易直观地理解这些抽象的概念和定理，从而可以提高学生运用这些抽象的概念和定理去解题的能力。
2021-2022年部分高校高等代数考研真题
A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表 出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值 都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5
2020年数学分析高等代数考研试题参考解答
安徽大学2008年高等代数考研试题参考解答北京大学1996年数学分析考研试题参考解答北京大学1997年数学分析考研试题参考解答北京大学1998年数学分析考研试题参考解答北京大学2015年数学分析考研试题参考解答北京大学2016年高等代数与解析几何考研试题参考解答北京大学2016年数学分析考研试题参考解答北京大学2020年高等代数考研试题参考解答北京大学2020年数学分析考研试题参考解答北京师范大学2006年数学分析与高等代数考研试题参考解答北京师范大学2020年数学分析考研试题参考解答大连理工大学2020年数学分析考研试题参考解答赣南师范学院2012年数学分析考研试题参考解答各大高校考研试题参考解答目录2020/04/29版各大高校考研试题参考解答目录2020/06/21版各大高校数学分析高等代数考研试题参考解答目录2020/06/04广州大学2013年高等代数考研试题参考解答广州大学2013年数学分析考研试题参考解答国防科技大学2003年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2004年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2005年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2006年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2007年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2008年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2009年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2010年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2011年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2012年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2013年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2014年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2015年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2016年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2017年实变函数考研试题参考解答国防科技大学2018年实变函数考研试题参考解答哈尔滨工程大学2011年数学分析考研试题参考解答哈尔滨工业大学2020年数学分析考研试题参考解答合肥工业大学2012年高等代数考研试题参考解答湖南大学2006年数学分析考研试题参考解答湖南大学2007年数学分析考研试题参考解答湖南大学2008年数学分析考研试题参考解答湖南大学2009年数学分析考研试题参考解答湖南大学2010年数学分析考研试题参考解答湖南大学2011年数学分析考研试题参考解答湖南大学2019年高等代数考研试题参考解答湖南大学2020年数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2011年数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2011年数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2012年数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2012年数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2012年数学基础综合之高等代数考研试题参考解答湖南师范大学2012年数学基础综合之高等代数考研试题参考解答湖南师范大学2012年数学基础综合之数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2013年数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2013年数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2013年数学基础之高等代数考研试题参考解答湖南师范大学2013年数学基础之数学分析考研试题参考解答湖南师范大学2014年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2002年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2012年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2013年高等代数考研试题参考解答华东师范大学2013年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2013年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2014年高等代数考研试题参考解答华东师范大学2014年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2015年高等代数考研试题参考解答华东师范大学2015年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2016年高等代数考研试题参考解答华东师范大学2016年数学分析考研试题参考解答华东师范大学2020年高等代数考研试题参考解答华东师范大学2020年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2005年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2006年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2007年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2008年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2009年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2009年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2010年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2010年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2011年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2011年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2012年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2012年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2012年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2013年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2013年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2014年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2014年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2015年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2015年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2016年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2016年数学分析考研试题参考解答华南理工大学2020年高等代数考研试题参考解答华南理工大学2020年数学分析考研试题参考解答华南师范大学1999年高等代数考研试题参考解答华南师范大学1999年数学分析考研试题参考解答华南师范大学2002年高等代数考研试题参考解答华南师范大学2013年数学分析考研试题参考解答华中科技大学1999年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2000年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2001年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2002年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2002年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2003年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2004年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2005年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2005年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2006年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2006年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2007年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2007年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2008年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2008年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2009年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2009年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2010年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2010年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2011年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2011年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2013年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2013年数学分析考研试题参考解答华中科技大学2014年高等代数考研试题参考解答华中科技大学2020年数学分析考研试题参考解答华中师范大学1998年数学分析考研试题参考解答华中师范大学1999年数学分析考研试题参考解答华中师范大学2001年数学分析考研试题参考解答华中师范大学2002年数学分析考研试题参考解答华中师范大学2003年数学分析考研试题参考解答华中师范大学2004年高等代数考研试题参考解答华中师范大学2004年数学分析考研试题参考解答华中师范大学2005年高等代数考研试题参考解答华中师范大学2005年数学分析考研试题参考解答华中师范大学2006年高等代数考研试题参考解答华中师范大学2006年数学分析考研试题参考解答华中师范大学2014年高等代数考研试题参考解答华中师范大学2014年数学分析考研试题参考解答吉林大学2020年数学分析考研试题参考解答暨南大学2013年数学分析考研试题参考解答暨南大学2014年数学分析考研试题参考解答江南大学2007年数学分析考研试题参考解答江南大学2008年数学分析考研试题参考解答江南大学2009年数学分析考研试题参考解答兰州大学2004年数学分析考研试题参考解答兰州大学2005年数学分析考研试题参考解答兰州大学2006年数学分析考研试题参考解答兰州大学2007年数学分析考研试题参考解答兰州大学2008年数学分析考研试题参考解答兰州大学2009年数学分析考研试题参考解答兰州大学2010年数学分析考研试题参考解答兰州大学2011年数学分析考研试题参考解答兰州大学2020年高等代数考研试题参考解答兰州大学2020年数学分析考研试题参考解答南京大学2010年数学分析考研试题参考解答南京大学2014年高等代数考研试题参考解答南京大学2015年高等代数考研试题参考解答南京大学2015年数学分析考研试题参考解答南京大学2016年高等代数考研试题参考解答南京大学2016年数学分析考研试题参考解答南京大学2020年数学分析考研试题参考解答南京航空航天大学2010年数学分析考研试题参考解答南京航空航天大学2011年数学分析考研试题参考解答南京航空航天大学2012年数学分析考研试题参考解答南京航空航天大学2013年数学分析考研试题参考解答南京航空航天大学2014年高等代数考研试题参考解答南京航空航天大学2014年数学分析考研试题参考解答南京师范大学2012年高等代数考研试题参考解答南京师范大学2013年高等代数考研试题参考解答南京师范大学2014年高等代数考研试题参考解答南京师范大学2014年高等代数考研试题参考解答南京师范大学2014年数学分析考研试题参考解答南开大学2002年数学分析考研试题参考解答南开大学2003年数学分析考研试题参考解答南开大学2004年高等代数考研试题参考解答南开大学2005年高等代数考研试题参考解答南开大学2005年数学分析考研试题参考解答南开大学2006年高等代数考研试题参考解答南开大学2006年数学分析考研试题参考解答南开大学2007年高等代数考研试题参考解答南开大学2007年数学分析考研试题参考解答南开大学2008年高等代数考研试题参考解答南开大学2008年数学分析考研试题参考解答南开大学2009年高等代数考研试题参考解答南开大学2009年数学分析考研试题参考解答南开大学2010年高等代数考研试题参考解答南开大学2010年数学分析考研试题参考解答南开大学2011年高等代数考研试题参考解答南开大学2011年数学分析考研试题参考解答南开大学2012年高等代数考研试题参考解答南开大学2012年数学分析考研试题参考解答南开大学2014年高等代数考研试题参考解答南开大学2014年数学分析考研试题参考解答南开大学2016年高等代数考研试题参考解答南开大学2016年数学分析考研试题参考解答南开大学2016年数学分析考研试题参考解答南开大学2017年高等代数考研试题参考解答南开大学2017年数学分析考研试题参考解答南开大学2018年高等代数考研试题参考解答南开大学2018年数学分析考研试题参考解答南开大学2019年高等代数考研试题参考解答南开大学2019年数学分析考研试题参考解答南开大学2020年高等代数考研试题参考解答南开大学2020年数学分析考研试题参考解答南开大学2020年数学分析考研试题参考解答清华大学2011年数学分析考研试题参考解答厦门大学1999年高等代数考研试题参考解答厦门大学2000年高等代数考研试题参考解答厦门大学2001年高等代数考研试题参考解答厦门大学2009年高等代数考研试题参考解答厦门大学2009年数学分析考研试题参考解答厦门大学2010年高等代数考研试题参考解答厦门大学2010年数学分析考研试题参考解答厦门大学2011年高等代数考研试题参考解答厦门大学2011年数学分析考研试题参考解答厦门大学2012年高等代数考研试题参考解答厦门大学2012年数学分析考研试题参考解答厦门大学2013年高等代数考研试题参考解答厦门大学2013年数学分析考研试题参考解答厦门大学2014年高等代数考研试题参考解答厦门大学2014年数学分析考研试题参考解答厦门大学2015年高等代数考研试题参考解答厦门大学2016年高等代数考研试题参考解答厦门大学2016年数学分析考研试题参考解答厦门大学2016年数学分析考研试题参考解答厦门大学2017年高等代数考研试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数学专业经典书籍
一、“数学分析”“数学分析”是数学或计算专业最重要的一门课，而且是今后数学专业大部分课程的基础，经常从一个知识点就能引申出今后的一门课，同时它也是初学时比较难的一门课。
这里的“难”主要是指对数学分析思想和方法的不适应（高等数学上的方法与初等数学的方法有很大不同），其实随着学习的深入，适应了方法后，会感觉一点一点地容易起来，比如当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。
数学系的数学分析讲三个学期(各个院校应该一样吧)，学的时间也够长的~本课程主要讲的是以集合为基础而发展起来的变量和函数中的数学规律、分析与计算，是通往高等数学领域的基础工具之一。
这么多年来，国内外出现了很多非常优秀的教材和习题集以及辅导书，而且很多高校一直使用着。
【教材】国内比较好的有(仅列出主要的，排列不分先后，下同)：1《数学分析》(共两册) 华东师范大学数学系编著这应该是师范类使用最多的书，课后习题编排的还不错，同时这也是考研用得比较多的一本书。
书的最后讲了一些流形上的微积分。
虽然是师范类的书，不过还是值得一看的。
2《数学分析新讲》(共三册) 张筑生著很好的书，内容和高度在国内算得上是比较突出的。
值得一提的是，张老师文笔清晰详细，证明深入浅出，通俗易懂。
这个对初学者来说非常有帮助。
本书同时也被公认为是一本具有新观点的书，主要体现在一些经典问题处理方法上与一般的书有所不同：本书比较强调一般化，融入了一些更高的观点，如泛函、点集拓扑等。
尤其精彩的是，这本书里面提供了一些问题讨论的专题附录，如Stolz定理、正交曲线坐标系中的场论计算、二项式级数在收敛区间端点的敛散情况、布劳威尔不动点定理、斯通－维尔斯特拉斯逼近定理及其证明，等等。
本书书在证明过程中通过技术化处理，降低了难度，容易被一般人理解。
遗憾的是书中没有课后习题，又由于书写的早，有的符号以现在的观点来看，不是很标准(按照张老师本人的说法，北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂，所以版面不是很好看)；另外感觉实数理论部分和含参数广义积分那章的内容写得不太全面。
高等代数与解析几何教材特色与比较
1、《高等代数与解析几何(上下册)(第2版)》简介：数学分析、高等代数与解析几何是大学数学系的三大基础课程，南开大学数学系孟道骥出版社:科学出版社; 第2版 (2011年1月5日)丛书名:普通高等教育"十一五"国家级规划教材平装: 480页/jpkc/gdds/第二版在以下几个方面作了修改。
为了降低学习难度，根据第一版使用的经验和反馈，我们把第一章里有关线性流形和子空间的内容删去，让这些概念到第三章才出现。
第二章的行列式定义还是使用通常的乘积交叉和的形式，把第一版使用的有向体积（即多重线性函数）定义作为几何意义放在评注里。
还把几何空间的直线与平面的内容集中放到新设的第四章。
考虑到以后计算多重积分的需要，在第六章第8节补充了有关求空间区域到坐标平面投影的求法，给出一个例题和一些习题。
此外对习题的顺序和配备做了整理，增加了一些入门级的基本题，较难的题排在后面，还打上星号，这样虽然每一节后面有不少习题，但教师可以根据不同的要求选取习题，从最易到很难，有很大选择余地。
根据华东师范大学几年来的经验，第一学年每周6学时（其中2学时习题课）可以把不打星号的内容教完。
第3学期开设每周2学时的选修课，讲授第十四章以及其他一些打星号的内容，这样可以使兴趣不同的学生各得其所。
在帮助学生熟悉数学软件方面，第二版增加了与Mapie平行的：Mathematica的内容，使用者可以从中选择一种。
由肖刚教授开发的网上互动式多功能服务站（WIMS）有了汉化的光盘版KNOWIMS，这是一个开放软件，可以免费使用。
即使在上网不易的偏远地区，只要有一台电脑，就能拥有一个w：IMS系统，而且教师还可以在这个系统里自行开发各种练习。
我们在附录中介绍了WIMS的用法，许多章节后面会介绍相应的练习。
希望广大师生能喜欢它，发展它。
当然这些有关计算机的内容都是选学的，有兴趣的读者可向高等教育出版社数学分社索取相关软件光盘。
第一章向量代数本章的主要内容是向量及其代数运算。
高等代数与解析几何的教学实践与认识
摘 要 几何为代数提供 直观背景 ，代数 为几何提供研 究方法，文章论述 了高等代数与解析 几何课程一体化教 学过程 中的若 干教 学实践与认识。
关键词 高等代数 解析几何 教学实践 Ａ 中圈分类号 Ｇ ４ ． ６ ２０ 文献标识码
从 ２ 世纪 ５ 年代开始，数学专业学生的数学教育是从数学分析、解析几何和高等代数这三 ｏ ０ 门基础课程开始的，通常它们是三门独立的课程 ，在教学 中占有重要的地位和很大的课时比例。 高校数学系就是以这三门课为基础组织安排数学专业课程内容和教学体系的。随着现代科学技术
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下面我们将之与几何空间 Ｒ 中平面的旋转线性变换结合起来进行计算。 ２ 设几何空间 Ｒ 中 ， ２ Ｔ为平面按逆时针方向绕原点旋转 角的线性变换 ，则线性变换 Ｔ的具 体坐标表达形式为 ：
Ｔ：Ｒ斗 第３ （ 第６期 ０年 期 总 ７） ０
高等代数 与解 析几何 的教 学实践 与认识
都金祥 刘锦萍２
（． １ 浙江大学 数学系，浙江 杭州 ３０２ ； １０ ７ ２ 嘉兴学院 数学系，浙江 嘉兴 ． ３４０ ） １０ １
一
、
重视发挥 “ 几何”在教学中的 “ 示例”作用
好的 “ 示例”是一种启迪觉悟，挖掘潜能的教学方式。刚刚步人大学的一年级新生 ，比较习 惯于处理具体的数学问题 ，有 的学生甚至认为初等代数才是真正的数学［ｌ 多学生认 知程度 ２。许
较低 ，对数学的抽象性心理准备不足 。因而在学 习高等代数所研究的一般代数系统 的结构 内容 时 ，常被高等代数中出现的；ｉ抽象概念 所 困扰 ，导致学 生对学好 高等代数怀有疑虑 、缺乏信 ｈ 心。如何帮助学生尽快地熟悉高等代数处理问题 的方法 ，消化对抽象概念理解 时的思维断层 。培
《高等代数与解析几何》教学大纲
《咼等代数与解析几何》课程教学大纲一、课程基本信息1、课程名称：高等代数与解析几何（上、下）2、课程编号：03030001/23、课程类别：学科基础课4、总学时/学分：160/105、适用专业：信息与计算科学6、开课学期：第一、二学期二、课程与人才培养标准实现矩阵说明掌握自然科学基础知识和数学专业所需的技术基础及专业知识，掌握分析问题、解决问题的科学方法；通过所学专业基础知识，获取数学专业知识的能力，更新知识和应用知识的能力。
三、课程的地位性质与目的本课程是数学与应用数学专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。
高等代数与解析几何最突出的特点就是代数与几何在知识与理论上的有机结合，在思想和方法上的融会贯通。
主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法；同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力，培养学生创新能力，提高学生的数学素养。
四、学时分配表五、课程教学内容和基本要求总的目标：通过本课程的学习要求学生对高等代数与解析几何的基本概念、基本定理有比较全面、系统认识，能把几何的观点与代数的方法结合起来，“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”，逐步培养学生运用几何与代数相结合的方法分析问题、解决问题的能力，培养学生抽象的思维能力及空间想象能力。
本课程各章的教学内容和基本要求如下：第一章向量代数【教学内容】1、向量的线性运算2、向量的共线与共面3、用坐标表示向量4、线性相关性与线性方程组5、n维向量空间6、几何空间向量的内积7、几何空间向量的外积8、几何空间向量的混合积【基本要求】理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。
【教学重点及难点】重点：向量的概念，向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；用坐标进行向量的运算。
难点：向量间垂直、共线、共面的条件。
第二章行列式【教学内容】1、映射与变换2、置换的奇偶性3、矩阵4、行列式的定义理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克拉默法则。
南开大学高等代数历年考研真题专业课考试试题
2009年南开大学802高等代数考研 真题
2010年南开大学802高等代数考研 真题
2011年南开大学802高等代数考研 真题
一、（20分）设A为秩为1的n阶复方阵，A的迹tr（A）＝a≠0，试 求出A的所有特征值（写出重数）。
二、（20分）设V为4维实线性空间，ε1，ε2，ε3，ε4为一组基，已 知V上线性变换T在基ε1，ε2，ε3，ε4下的矩阵为
4 设V为数域P上的3维线性空间，已知V上线性变换T在基ε1， ε2，ε3下的矩阵为
试求V的一组基使得T在该基下的矩阵为
5 设n阶实矩阵P满足P1＝P2，试求出P的所有可能的特征值。 二、（20分）设A1，A2，…，Am为n阶方阵，且r（A1A2…Am）＝ r（Am）。证明：对任何1≤j，k≤m，齐次线性方程组AjAj＋1…AmX＝0 与AkAk＋1…AmX＝0同解。 三、（20分）设S，T都是半正定实对称n阶方阵，证明：det（S＋ T）≥（detS＋detT）/2。 四、（15分）设A，A－In都是n阶实对称正定矩阵，证明：In－A－ 1也是正定矩阵。 五、（15分）设f（x，y）为线性空间V上的非退化双线性函数，证
四、已知矩阵
与矩阵
（1）求x，y； （2）求阵。证明：s－秩（Es－AA′）＝n－秩（En－A ′A）。
六、设A为对称矩阵，存在线性无关的向量X1，X2使X1′AX1＞0， X2′AX2＜0，证明：存在线性无关的向量X3，X4使X1，X2，X3，X4线 性相关，且X3′AX3＝X4′AX4＝0。
（1）aij＞0，i＝1，2，…，n；
（2）aij＜0，i≠j；
（3）
，k＝1，2，···，n。
试求A的秩r（A）。
2 设A＝（aij）n×n为数域P上的n阶方阵，定义Pn×n上的线性变换T 使T（X）＝AX，X∈Pn×n，试求T的迹和行列式。
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
当D=0时若b=0无解若a=1时无解当a=1，b= 时方程有无穷多解。
20、（1）无穷多解
（2）无穷多解
（3）无穷多解
（4）无穷多解
21、（1）（4）
其中k为任意常数。 其中 为任意常数。
（6）
其中k为任意常数。
22、解：对方程的增广矩阵做行初等表换：
（2）同理可得 为所求极大线性无关组，且向量组的秩为3.
13、设 的秩为r n，因而 的秩为n，有题设和上题知n r
从而r=n。故 线性无关。
14、证：必要性。设 线性无关，但是n+1个n维向量 必线性相关，于是对于任意n维向量 ，他必可由 线性表出。
充分性：任意n维向量 可由线性表出，特别的单位向量 可由 线性表出，于是有上题结果即证 线性无关。
若向量组（1）中每一个向量都可以由向量组（2）线性表出，那么向量组（2）就是向量组（1）的极大线性无关组。否则，向量组（1）至少有一个向量 不能由向量组（2）线性表出，此时将 添加到向量组（2）中去，得到向量组（3），且向量组（3）是线性无关的。
进而，再检查向量组（1）中向量是否皆可由向量组（3）线性表出。若还不能，再把不能由向量组（3）线性表出的向量添加到向量组（3）中去，得到向量组（4）。继续这样下去，因为向量组（1）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（1）的一个极大线性无关组。
高等代数习题答案（一至四章）
第一章多项式习题解答
1、（1）由带余除法，得
（2） ，
2、（1） ，（2）由 得 或 。
3、（1）
（2）q（x）= ，
4、（1）有综合除法：
（2）
（3）
高等代数(绪论)讲解PPT课件
开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，
也就是说，秦九韶那时候就得到了高次方程的一般
解法。
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在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由 有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式—— Cardan公式。
在数学史上，三次方程的根的公式应归功于从 1496到1526年在意大利的波伦亚（Bologna）大学当教 授的Scipione del Ferro.他发现的精确年代并不知道， 但是我们知道在1541年前不久，意大利数学家塔塔里 亚(Niccolo Tartaglia)或许已知道有del Ferro的解但又 独自地发现了它。
序结构: 集合上的顺序关系,----如: 数的大小, 个子的高矮等 → 序代数, 格论等;
拓扑结构: 集合上连续性等----如: 曲线与直线 的关系 →数学分析,点集拓扑,代数拓扑等
三大结构的相互重叠, 组合构成各个不同 的数学分支,构成现代数学这座高楼大厦.
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数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。
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高等代数
1
任课教师
汪仲文，教授，博士，硕士研究生导师，数统学院副院长， 喀什师范学院首届“教学名师” 。
本科，1994年毕业于喀什师范学院数学系
硕士，2006年毕业于新疆大学数学与系统科学学院
博士， 2010年毕业于南开大学数学科学学院
办公地点：3号楼210室 办公电话：2891005 电子信箱：
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二、代数发展简史
“代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著
高等代数答案(王萼芳,石生明)
y 3 + (a 3 + 3ab − 3c) y 2 + (b3 − 3abc + 3c 2 ) y + c3 = 0
二 、 习题精解
1． 用 g(x) 除 f (x) ，求商 q(x) 与余式 r(x) ： 1） f (x) = x3 − 3x 2 − x −1, g (x) = 3x 2 − 2x + 1 2） f (x) = x 4 − 2x + 5, g (x) = x 2 − x + 2
解
1）由带余除法，可得 q(x)
=
1x−
7 , r(x)
=
26 −
x−
2
39
99
2）同理可得 q(x) = x 2 + x −1, r(x) = −5x + 7
2． m, p, q 适合什么条件时，有 1） x 2 + mx −1 | x3 + px + q
2） x 2 + mx +1 | x 4 + px 2 + q
综上所诉，当
⎧ m=0
⎨ ⎩
p
=
q
+
1
时，皆有
⎧ q =1
或
⎨ ⎩
p
+
m
2
=
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
南开参考书
《无机化学》
吉林大学、武汉大学、南开大 高等教育出版社2004年第
学 合编
一版
无机化学
《近代化学导论 》
申泮文等
高等教育出版社 2002、1
《Inorganic Chemistry》
Catherine E. Houssecroft & Ashford Colour Press
Alan G. Sharpe
《现代生物化学 》
黄熙泰、于自然、李翠凤主编
化学工业出版社 2005年第 二版
《生物化学》
陆时万、吴国芳 高玉葆、石福臣
刘凌云、郑光美主编
南开大学等五校合编 志等2001年 李博主编 孙儒泳等编著
高等教育出版社 （二）
科学出版社 2008年 高等教育出版社 1997年第 三版 彩万 人民教育出版社1980年 中国农业出版社 2001年 高等教育出版社 ，2000
高等教育出版社 ，2002
院系所名称：软件学院 《C语言程序设计 》
C语言与数据结构 《数据结构(C语言版)》
电话：23503393 谭浩强编著 严蔚敏、吴伟民编著
清华大学出版社 清华大学出版社
院系所名称：环境科学与工程学院
1、《环境化学》第二章、第
三章、第四章
2、《环境监测》第一章、第
环境科学综合
二章、第三章 3、《环境生物学 》第一章、
高等教育出版社 （1985年 6月，第二版） 高等教育出版社 （第四 版） 北大出版社 北京大学出版社
高教出版社 中山大学出版社 科学出版社 （2000）
高等教育出版社 科学出版社 (第二版）
院系所名称：泰达生物技术学院
生物化学
《现代生物化学 》 《生物化学》
南开大学数学分析高等代数考研大纲_考试大纲题型资料
南开大学数学分析高等代数考研大纲_考试大纲题型资料南开大学数学分析高等代数考研大纲的作用就是明确考研内容试题题型知识点，备考南开大学，首先要了解到的便是考研大纲，决定着自己复习的方向是否正确。
天津考研网建议在复习南开大学数学分析高等代数考研过程中增强自己的实力，调整自己的心态，增强成功信心。
祝大家考研复习顺利！一、考试方法和考试时间数学分析高等代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟，其中数学分析占60%，90分，高等代数占40%，60分。
二、考试内容大纲（一）数学分析1、一元微积分（1）数列的极限；函数与函数的极限；无穷大与无穷小；连续与间断，连续函数及其性质、一致连续（2）导数、求导公式、求导法则、高阶导数；微分、微分中值定理；函数的单调性、极值、函数的凸性；洛必达法则；泰勒公式（3）实数理论及其应用：确界原理、子列、有限覆盖定理、闭区间上连续函数性质、上极限和下极限（4）不定积分的概念；换元积分法、分部积分法；有理函数的积分、三角函数有理式的积分、无理函数的积分（5）定积分的计算与性质；微积分基本定理；定积分的应用；广义积分；含参变量积分2、多元微积分（1）多元函数极限与连续；偏导数、全微分；多元函数的泰勒公式；隐函数存在定理；多元函数极值和条件极值（2）重积分的概念与性质；二重积分的计算、三重积分的计算、重积分的应用；第一型曲线积分、第二型曲线积分；第一型曲面积分、第二型曲面积分；曲线积分与路径无关的条件；Green公式、高斯公式、斯托克斯公式3、级数数项级数的敛散判别与性质；函数项级数与一致收敛性；幂级数（二）高等代数1、行列式行列式的概念、性质与计算；行列式按行（列）展开定理；拉普拉斯（Laplace）定理2、矩阵矩阵的概念与基本运算；单位矩阵、矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵；矩阵可逆的充分必要条件；矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵等价、矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵3、向量向量的概念、向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系4、线性空间与欧几里德空间线性空间、线性空间的维数、基与向量的坐标；线性空间中的基变换与坐标变换、过渡矩阵；欧几里德空间、内积、线性无关向量组的正交化方法、标准正交基、正交矩阵及其性质5、线性方程组线性方程组的克莱姆法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间；非齐次线性方程组的通解；求解线性方程组的方法6、矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量的概念、求法；相似变换、相似矩阵的概念及性质、若当标准型；矩阵可对角化的充分必要条件7、二次型二次型及其矩阵表示；二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、二次型的标准化方法；实对称矩阵的正定性及其判别法。
1高等代数(绪论)讲解
二、代数发展简史 “代数”一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家、
天文学家阿尔•花拉子米（约780－850，唐朝）一本著 作的名称，书名的阿拉伯文是“ilm al-jabr wa’l muquabalah”，直译为《还原与对消的科学》．aljabr 意为“还原”或“移项”，这里指把负项移到方程 另一端“还原”为正项；muquabalah 意即“对消”或“化 简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．在 翻译中把“al-jabr”译为拉丁文“aljebra”，拉丁文 “aljebra”一词后来被许多国家采用，英文译作 “algebra”。阿尔•花拉子米的《代数学》也可以看成 是“方程的科学”。
2.设置本课程的目的：
开设本课程可以使学生了解到代数学最基本的概 念，理论和方法，同时还对学生进行的“三个基本” 训练和“一个初步”训练，即：代数学基本思想的训 练、代数学基本方法的训练、代数学基本计算的训练 以及综合运用分析、几何、代数方法处理问题的初步 训练。
学生学好这门课程的基础内容和方法，对今后的 学习，研究和应用具有重要的作用。
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有 100多 个主要分支学科的庞大的“共和国”。 大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴 ；研究形的部分，属于几何学的范畴；沟通形与数且 涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。
这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这 一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与 其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学 科。
1859年，我国数学家李善兰（1811～1882）首次 把“algebra”译成“代数”。后来清代学者华蘅芳和英 国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“ 代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，亦即 ：代数，就是运用文字符号来代替数字的一种数学方 法。
《高等代数》多项式试题库
§1 数域[达标训练题] 一填空题 1�数集{0}对 运算封闭. 2�自然数集N 对 运算封闭. 3�数集},{Z b ab i a ��对 封闭. 二判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三证明 1. 证明},{)(Q b a nb a n Q ���是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3Q b a b a ��不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P�也是数域,而21P P�不一定是数域.§1 数域[达标训练题解答] 一填空题 1�加法、 减法、 乘法�2.加法、乘法 �3.加法、减法、乘法. 二判断题 1. ( T )� 2. ( F ) 三、解答题 1�证明显然n Q �1,0.对任意的)(,2211n Q nb a n b a���,)()(2211nb a nb a ���=)(21a a �+n b b )(21�)(n Q �; )()(2211nb a n b a ��� n b a b a b n b a a )()(12212121����)(nQ �. 当011��nb a 时, nb anb a1122�� )(2121212121212121n Q n n b aa b b an b an b b a a��������.故},{)(Q b a n b a n Q���对加法减法乘法除法封闭.即},{)(Q b a nb a n Q���是数域. 2�证明 因为�32},2{3Q b a b a ��, ���333422},2{3Q b a b a ��.即},2{3Q b a b a ��对乘法不封闭.所以},2{3Q b a b a ��不是数域. 3�证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而21P P �包含有理数域.令21,P P b a��,则1,P b a�,2,P b a�.由于21,P P是数域,故1,P a b b a��,2,P a b b a��;当0�b时,21,P baP ba��,所以21,,P P baa b b a���.即21P P�是数域. 例如: 取1P =},2{)2(Q b a b a Q ���, �2P},3{)3(Q b a b a Q ���, 容易验证21P P �不一定是数域; 取1P=Q ,�2P},3{)3(Q b a b a Q ���,显然21P P�=},3{Q b a b a ��是数域.§2 一元多项式[达标训练题] A组 一填空题 1. 系数在数域P 上的关于文字x 的一元多项式指的是形式表达式, 其中i 次项是 , i 次项系数是 , 常数项是 . 2. 下列形式表达式(i )2;(i i )x1; (i i i )0; (i v ))3l n (132x x x ���; (v )1)1(23���x i i x ;(v i )�������nxn xx!1!31!2113;其中 是多项式. 3. 零多项式是 , 零次多项式是 . 4. 设多项式������miii niii x b x g x a x f11)(,)(,则)()(x g x f的k次项系数是. 二判断题 1. 0是零次多项式. 2. 若)()()()(x h x fx g x f�,则)()(x h x g �. 3. 若)(),(),(x h x g x f都是数域P 上的多项式, 则))()((x g x f ��))((x f ��或者))()((x g x f ��))((x g ��. 三解答题 1. 设)2()1()2()(22�������x x c x b x a x f , 试确定c b a ,,, 使)(x f (i )零次多项式; (i i )零多项式; (i i i )一次多项式5�x . 2. 若)(),(x g x f是实数域上的多项式, 证明:若,0)()(22��x g x f则 0)()(��x g x f. B组 1.设)(),(),(x h x gx f是实数域上的多项式, 证明:若),()()(222x x h x x g x f��则0)()()(���x h x g x f. 2.求一组满足上式的不全为零的复系数多项式. 3. 次数定理中,式子 ))}(()),((m a x {))()((x g x f x g x f ����� 何时等号成立?何时小于号成立?§2 一元多项式[达标训练题解答] A组 一填空题 1�1110nnn n a x a x a x a �������i i x a �ia� 0a�2.�i ���i i i ��v ��3. 0�非零常数 � 4.����11ki i ki b a.二判断题 1�(F )� 2. (F ).; 3.(F ). 三解答题 1�解 因为 222()(2)(1)(2)()fx a x b x c x x a c x ����������(2)a b c x �� )24(c b a ���.利用多项式相等的定义的: (i )�������������024020c b a c b a c a(i i ) �������������024020c b a c b a c a (i i i ) ��������������524120c b a c b a c a即(i )当0,3,����c c b c a 时, )(x f 为零次多项式; (i i )当0���c b a 时)(x f为零多项式;(i i i )6,17,6�����c b a 时)(x f 是一次多项式5�x . 2�证明 设01)(a x a x a x fnn ������01)(b x b x a x g mm ������则)()(22x g x f�的第k 次项系数为)(0i k i ki i ki b b a a �����=0,当0�k 得000��b a ,当1�k 时得02121��b a ,进而011��b a ,同样地,得到022��b a …….因此0)()(��x g x f B组 1�证明 若0)(�x g (或0)(�x h )显然得)()()(222x x h x x g x f��是一个奇次多项式, 这是不可能的.又若0)(�x f ,则)(),(x h x g 不全为零,因此也得)()()(222x x h x x g x f��是一个奇次多项式, 这也是不可能的. 所以0)()()(���x h x g x f 2�解 取1)(),1()(,2)(�����x x h x i x g i x x f �则)()()(222x x h x x g x f ��. 3�解 当两个多项式次数不等时或者虽然相等但最高次项系数不是相反数时,等号成立; 其余情形小于号成立.§3 整除的概念[达标训练题] A组 一填空题 1. )(),(),(x h x g x f 都是][x P 中的多项式,若)()()(x h x g x f �,则称 整除�称 为 的因式� 为 的倍式�记为 . 2. 若0)(,0)(),()()()(����x r x g x r x q x g x f或))(())((x g x r ���,那么 除的商式是 ,余式是 ,这里][)(),(),(x P x r x gx f�. 二判断题 1. 零多项式能够整除任意多项式. 2. 整除任意多项式能够被零次多项式整除. 3. 若)()(),()(x fx g x g x f, 则))(())((x g x f ���. 4. 若0)(),()()()(���x g x r x q x g x f ,则满足该式的多项式)(),(x r x q 有且只有一对. 5.若))()(()(x h x g x f �,则)()()()(x h x f x g x f 或. 三解答题 1� 设b a x x x x f����232)(�2)(2���x x x g �)(x g 除)(x f 的余式12)(��x x r �求b a ,. 2. 如果))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g��, 则 )()(,)()(21x f x g x f x g. 2� 如果x 不整除)(x f与)(x g �则x 不整除)(x f 与)(x g 的乘积. 3. 证明 p n m x x x x xp n m ,,,1231332������是非负整数. 4. 证明 ①如果)()(x f x h, ()|()h x g x , 则()|(()())h x f x g x �; ②如果()|(),()|()h x f x h x g x,则()|()()h x f x g x �不一定成立. B组 一多项选择题 1.)(x f 是任意多项式,c是非零常数,则下列结论成立的是. (A ))(0x f ;(B )0)(x f ;(C ) 00; (D ) c 0;(E ) 0c ;(F ) c x f )(;(G ) )(x f c ;(H ) )()(x fx cf . 2.若在][x P中,)(x g整除)(x f�为强调数域�我们记)()(x fx gP.设][)(),(x Q x g x f��下列结论 正确的有 . (A )若)()(x fx gQ,则)()(x fx gR;(B ) 若)()(x fx g R�,则)()(x fx g q�; (C )若)()(x f x g Q,则)()(x fx g R;(D )若)()(x fx g R�,则)()(x f x g q�. 3. 设)()(),()(x g x px f x p,则)(x p 整除于 . ①)()(x g x f �;②)()(22x g x f�;③)()(x g x f ;④)()(33x g x f�. 二证明题 1. 证明)(x f xk的充分必要条件是)(x f x.2. 证明113691234578����������x x x x x x x x x x.3. 证明1�dx 整除1�nx 的充要条件是n d . 4. 证明, 若)()()(1424423x h x x x g x f x x x�����,则1�x 同时整除)(),(),(x h x g x f.与例2联系,将此题推广到一般结果,并证明你的结论. 5. 对照多项式的整除性理论�讨论整数的整除性理论.§3 整除的概念[达标训练题解答] A组 一填空题 1�)(),(x h x g �)(x f �)(),(x h x g �)(x f �)(x f � )(),(x h x g �)()(),()(x f x h x f x g� )(x g �)(x f � 2.)(x q �)(x r . 二判断题 1.(F )� 2. (T )� 3. (F ); 4.(F ); 5.(F ) 三解答题 1�解 利用带余除法得)2()1)(()(�����b a x x x g x f �所以12)2(����x b a x �即3,2��b a. 2�证明 ))()(()()),()(()(2121x f x f x g x f x f x g��,利用整除性的性质�我们有))}()((21)))()(((21{)(2121x f x f x f x f x g����即)()(,)()(21x f x g x f x g. 3�证明 若)()(x g x f x,x不整除)(x f与)(x g 则存在常数0,021��r r,使2211)()(,)()(r x x q x g r x x q x f����, 所以��)()(()()(21x q x x q x x g x f2112))(r r x q r �,由于)()(x g x f x , 所以21r r x,得出矛盾.即x 不能整除)()(x g x f 证明 由于三次单位根21,��都是23133����p n m x x x 的根�即12��x x 的根都是23133����p n m x x x 的根.从而p n m x x x x xp n m ,,,1231332������.4. 证明 因为2121()(),x x x x �������其中(1,2)i i ��是三次单位虚根, 而331320m n p ii i��������,即33132(1,2)m n p i xx x x i �������,再利用12,x x ����互素得到3313212()()m n p x x x x x ��������,即 2331321m n p xx x xx������5�证明 ①如果)()()(x g x f x h�,因为 )()(x f x h ,由整除性性质得: )()()(()(x f x g x f x h��,即)()(x gx h ,与)()(x g x h �矛盾, 所以)()()(x g x fx h ��. B组 一多项选择题 1�B ,C ,E ,G ,H � 2.(A )(D );3.①②③④ 二、证明题 1�证明 充分性显然,仅证必要性. 设r x x q x f ��)()(,则 ����)())(()(x q x C r x x q x fk k o k k k r x q x C k k k )(111��kkk kk k r C r x xq C �����11)(�kr x x p ��)(因为)(x f x 且)(x x p x �由整除性的性质得�)(x f xk.2�证明 利用带余除法, )1`)(1(12343457836912���������������x x x x x x x x x x x x x x所以113691234578����������x x x x x x x x x x.3�证明 充分性显然,仅证必要性. 设r d q n ��若d r r ��,0,)1()1(11��������rrdq r dq nx x x x x,而11��dq d x x,因此11��r d x x,得出矛盾.所以0�r ,即n d.4�证明 因为)3,2,1(4s i n 4���k ki kc o n wk ��是123���x x x的根,显然)()()(4244x h x x x g x f w xk ���,即 0)1()1()1(2���h w g w fk k (3,2,1�k ), 从而0)1()1()1(���h g f . 一般地,我们有如下的结果: 若)()()(1122121nn nnnnnx fx x x f x f x x x������������,则 1,,2,1),(1���n i x f xi �.事实上,设i i i r x q x x f ���)()1()(,则in i n ni r x q x x f ���)()1()(,进一步有 )())()()()(1()()()(122112211221������������������n n n n n nnnnn nnnr x x r r x q x x x q x q x x fx x x f x f���由于 )()()(1122121n n nn n nnx fx x x f x f x x x������������,)()()()1(1122121nn nnnnnnx qx x x q x q x x x x�������������则1121211�����������nnnnrx x r r x x x��.5�参见张禾瑞先生的《高等代数》�第三版��高等教育出版社�教材�或者初等数论教材.§4 最大公因式[达标训练题] A组 一、填空 1�对于任意两个多项式),(),(x g x f 它们总有公因式 �我们称它为平凡公因式. 2�两个零多项式的做大公因式是 . 3�零多项式与任意多项式)(x f的最大公因式是.4�若),()(x f x g 则)(),(x fx g 的最大公因式是 . 5�x x g x x f����1)(,1)(2�则�))(),((x g x f,取�)(x u,)(x v = ,使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f �� 6.若,1)()()()(��x v x g x u x f 则)(x u 与)(x v . 二、判断题 1.若)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式�则)(x c d 也是)(),(x g x f 的最大公因式c (是常数�. 2. 存在惟一一对多项式),(),(x v x u 使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f �� 3�若 ,1))(),((�x g x f 则存在惟一一对),(),(x v x u 使 .1)()()()(��x v x g x u x f 4�若)(),(x g x f 不全为零�则 .1)))(),(()(,))(),(()((�x g x f x gx g x f x f5�由于�16,8�=8,所以多项式8与16不互素. .)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式. 三、解答题 1. 判定32)(,1363)(223�������x d x x g x x x x f是否互素,并求),(),(x v x u使)).(),(()()()()(x g x f x v x g x u x f�� 2. 证明:)).()(),(())()(),(())(),((x g x fx f x g x f x f x g x f ���� 3. 证明:两个多项式)(),(x g x f 都与)(x h 互素的充要条件是它们乘积)()(x g x f 与)(x h互素. 4. 若,1))(),((�x g x f 则.1))(),((�x g x f mmB组 一、 选择题 1. 若),()(),((x d x g x f �则 成立. (A ));()()(),((x d x g x fx f �� (B ));()())()().()((x h x d x h x g x h x f ���� (C )).()())()(),()()(();())(),((,x h x d x h x g x h x f D x d x g x f n mm m��� 2.若,0)(�x f 且),()()()()(),())(,)((x d x v x g x u x f x d x g x f ���则错误结是. ;1))()(,0()()(();()(),()((��x d x g x dx fB x d x g x f A nnn).())(),()()(();())(),()((x d x g x g x f D x d x v x u C ��� 3.(多项选择)若),()()()(x r x q x g x f ��则 成立. ),(())(),()((x g x g x f A �();r x ()((),())((),())B f x g x f x r x � )).(),(())(),()(());(),(()(),()(());(),(())(),()((x r x q x q x f E x q x g x r x f D x r x q x g x f C ���二、 解答题 1. 确定k ,使24)6(2����k x k x 与k x k x 2)2(2���的最大公因式是一次的. 2.设)(),(x g x f 不全为零,则)(x f 与)(x g 的次数最高的公因式是最大公因式;反之,)(x f 与)(x g 的最大公因式都是次数最高的公因式. 3. 证明:若,1))(),((�x g x f 且,0))((,0))((����x g x f 那么存在惟一第一对多项式)),(()(()),(())((),(),(x f x v x g x u x v x u������使 1)()(,0()(�x v x g x u x f 4. 依照两个多项式的最大公因式式理论,讨论的有限多个多项式的最大公因式的理论(定义,存在性,求法,互素).§4 最大公因式[达标训练题解答] A组 一、 填空题 1� 零次多项式�2. 零多项式;3.多项式()c f x c 为零次多项式;4.)(x c g ,c 为零次多项式; 5.1,,1��x x ;6.互素. 二、判断题 1� F �2.F ;3.F ;4.T ;5.F ;6.F . 三、解答题 1. 解:通过辗转相除法求得 1))(),((�x g x f ,973697339718)(,9711976)(2������x xx v xx u. 2.证明:设)())(),((x d x g x f �,容易证明)(x d 是)()(),(x g x f x f �的公因式;对)()(),(x g x f x f �的任意公因式,容易证明它是)(),(x g x f 的公因式,从而它整除于)(),(x g x f 的最大公因式)(x d .即)()(),(x g x f x f �的任意公因式整除于它的公因式)(x d ,所以)(x d 是)()(),(x g x f x f �的最大公因式. 3.证明:1))(),((�x h x f ,1))(),((�x h x g ,则存在)(),(x v x u 与)(),(x q x p ,使1)()()()(��x h x v x f x u,1)()()()(��x q x h x p x g ,以上两式相乘容易得到1)()()()()(��x h x V x g x f x U,故1))(),()((�x h x g x f .反过来若1))(),()((�x h x g x f �则存在)(),(x v x u �使1)()()()()(��x v x h x u x g x f �若令)()()(x p x u x g��则有1)()()()(��x v x h x p x f �故1))(),((�x h x f �同样的若令)()()(x q x u x f��则有1)()()()(��x v x h x q x g �故1))(),((�x h x g . 4� 证明�首先利用上题及归纳法容易证明�若1))(),((�x g x f �1))(),((�x g x f m�同样的利用归纳法证明1))(),((�x g x f n m . B组 一、 选择题 1��A �(D )�2.�C �;3. (A ,E ) 二、 解答题 1�解 利用辗转相除法容易得到: )224()()(����k x x g x f,)1)(3(41)232)(224(41)(��������k k kx k x x g因此最大公因式是一次的条件是3�k 或者1�k . 2.证明 设)(x d 是)(),(x g x f 的次数最高的公因式,)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,所以)()(0x d x d ,而0)(0�x d 因此)(0x d 的次数等于)(x d 的次数,从而)()(0x c d x d�.故)(x d 是)(),(x g x f 的最大公因式式.反之,若)(0x d 是)(),(x g x f 的最大公因式,由于)(x d 是公因式,因此)()(0x d x d ,所以要么)(x d 是零多项式,要么)(x d 的次数不大于)(0x d 的次数.但0)(0�x d ,所以)(x d 的次数不大于)(0x d的次数.故)(0x d 是)(),(x g x f 的次数最大的多项式. 3.证明: 由 互素的充分必要条件知存在)(),(x v x u 使1��g v f u . 首先证明若g u ���,必有f v ���.由g v f u ��1g v f u ���,所以v g u f �������,因此若g u ���,必有f v ���. 其次证明如果,可以重新选取11,v u ,使11,v u 符合要求. 由带余除法定理知存在r q ,使g r r r g q u �������0,,所以1)(���g v r g q f.若0�r 上式为1)(��v f q g ,可得到0��g 与已知矛盾.若g r ���,上式为1)(���v f q g f r ,由(1)知f v f q ����)(令11,v v f q u r ���,则有111��g v f u . 最后证明唯一性. 如果存在2211,;,v u v u ,2,1,,,1,12211�����������i f v g u g v f u g v f u i i 则)()(1221v v g u u f���,因为1),(�g f ,所以12v v f�,故21v v �,同样的21u u �. 4.(参照张禾瑞编高等代数)§5因式分解定理[达标训练题] 一、填空题 1.)(x p 是不可约多项式,],[)(x P x f �若 )(x p�)(x f,则 . 2. )(x p 是不可约多项式, ],[)(x P x f�则)(x p与)(x f互素的充要条件是. 3.判定多项式2x +2在数域P 上的可约性.(i )P =Q 时 ;)(i i P =R 时;)(i i i P =C 时 . 4.)(x f=)42(�x 23)33(�x )2(�x 的标准分解式是 . 5.)(x f=2)2(�x 3)1()4(24��x x ,)(x g=4)3(�x )1(�x 2)2(�x 2,则()(x f ,)(x g )= . 二、 判断题 1. 任意数域上都有不可约多项式. 2. 若)(x h )(x f )(x g,则)()(x fx h或).()(x g x h 3. )(x p 是不可约多项式,)()(x fx p�且)()(x g x p �,则)()()(x g x fx p�. 三、 解答题 1.分别在有理数、实数域、复数域上分解14�x 为不可约多项式的乘积. 2.证明:若)(x p 不可约, )(x p()(x f +)(x g ),)(x p)(x f)(x g,则)(x p)(x f,且)(x p)(x g.若)(x p 可约,上述结论是否成立?为什么? 3. )(x p 是次数大于零的多项式,若 )(x p 与任一多项式)(x f 的关系只有两种情况()(x p ,)(x f )=1, 或)(x p)(x f,)(x p 是否是不可约的?并说明理由. 4.若)(x f 是次数大于零的首项系数为1的多项式,证明)(x f 是不可约多项式的方幂的充要条件是:对任意的多项式)(x g ,或者()(x f ,)(x g )=1,或者存在正整数m,使)()(x g x fm .§5因式分解定理[达标训练题解答] 一、填空题 1.1))(),((�x f x p ; 2.)(x p 不整除于)(x f � 3. 不可约, 不可约,可约; 4.32)1()2)(2(36���x x x ; 5. 1. 二、判断题 1.T ; 2.F ; 3.F . 三、 解答题 1. 解 在有理数14�x 为不可约多项式, 因此在有理数14�x 的分解式为其本身. 在实数域: 4221(21)(21)x x x x x ������在复数域上: ))()()(())((123232121224i x i x i x i x i x i x x���������. 2. 证明:若)(x p 不可约, 由)(x p )(x f)(x g,则)(x p)(x f或)(x p)(x g.若)(x p)(x f成立, 又)(x p()(x f +)(x g ),所以)(x p)(x f )(x g,则)(x p )(x g成立;同样地若)(x p)(x g成立利用)(x p()(x f +)(x g )得到)(x p)(x f成立.总之有)(x p)(x f 与)(x p)(x g同时成立. 若)(x p 可约,上述结论不成立.事实上取,)(,)(,)(22x x x g x x f x x p ����则)()()(x g x f x p且)(x p()(x f +)(x g ),但)(x p 即不整除0(x f 也不整除)(x g . 3. )(x p 是不可约多项式. 证明如下: 若)(x p 可约,则存在)2,1)(()(0),(�����i x p x p x p i i ,使)()()(21x p x p x p �,利用题设可以得出()(x p ,)(x p i )=1或者)()(x p x p i ,而事实上,这两种结果都不能成立.因此)(x p 可约的假设不正确. 4�证明:必要性.设)()(x p x f m�()(x p 为不可约多项式),显然对任意的)(x g ,若1))(),((�x g x p ,则1))(),(())(),((��x g x p x g x f m ,若)()(x g x p ,则)()(x g x pmm,即存在正整数m ,使)()(x g x fm. 充分性: 设)1))()((,0)()()(()()(1111����x f x p x f x p x f x p x f k不可约�,取)()(1x p x g �,则()(x f ,)(x g )=1不成立, 且对任意正整数m ,)()(x g x fm 不成立.故)1))()((,0)()()(()()(1111����x f x p x f x p x f x p x fk不可约�不成立.即)(x f 是不可约多项式的方幂.§6 重因式[达标训练题] 一、 填空题 1.设多项式)(x f=22)4�x 2)2(�x )2(�x )3(�x ,则)(x f 的单项式是 ,重因式是 ,它们的重数分别是 . 2.若)(x p是)(x f的5重因式,则)(x p是的3重因式, 的单项式. 3.)(2x f的微商是 . 4. 与)(x f 有相同的不可约因式,但无重因式. 5, )(x p 是()(x f ,)(/x f)的)1(�k k 重因式,则)(x p 是)(x f 的 重因式. 一、 判断题 1. )(x p 是)(x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(/x f的1�k 重因式)1(�k 2., )(x p 是)(/x f 的k 重因式,则 )(x p 是)(x f 的1�k 重因式. 2� 多项式的重因式不因数域的扩大改变. 四、解答题 1. 判断下列多项式有无重因式,若有,求出重因式. (i ))(x f =35423���x x x ;(i i ))(x f =3x 1� 2. 将)(x f =x x x ��232单项式化,然后分解因式. 3. 证明: )(x f =1+!!22nxxxn����没有重因式. 4. a ,b 满足什么条件,b a x x ��33有重因式.§6 重因式[达标训练题解答] 一、 填空题 1.3�x , 2�x 与2�x , 4与3; 2.)(x f ��; 3.)()(2x f x f �; 4.))(),(()(x f x f x f�; 5.1�k . 二、 判断题 1.F ; 2.T ; 3.F . 三、 解答题 1. 解: (1)利用辗转相除法容易求出1))(),((��x f x f ,所以)(x f=35423���x x x 无重因式. (2)同(1). 2. 解�容易计算)1())(),((���x x f x f �所以1�x 是)(x f 的二重因式�又)1())(),(()(���x x x f x f x f�故)(x f =2)1(�x x x x x��232. 3. 证明: 12)!1(1!211)(��������nxn xx x f�, 1))!1(11,!1())(),()(())(),((1������������nnxn x xn x f x f x f x f x f �.故无重因式. 4.解: 显然当0a b ��时�b a x x��33有三重因式x �当0,0a b ��时b a x x��33无重因式�当0a �时�当204baa ��时�2((),())22bf x f x x x a a ������b a x x��33有二重因式22x a �§7 多项式函数[达标训练题] A组 一、 填空题 1.多项式 有无穷多个根. 2,若)(x f=23432x x x ��,则)2(f = , )(x f 的根是 ,重根是 ,其重数是 . 3.�是多项式)(x f 微商的k 重根,则 �是)()3(x f的 重根.这里k�5. 4.若�是)(/x f的k 重根,且满足 , �是)(x f 的1�k 重根. 二、 判断题 1. 若)(x f 没有重根,则)(x f 没有重因式. 2. 若)(x f 没有根,则)(x f 不可约. 3.)(x f 没有重根,()(x f ,)(/x f)=1 4. ()(x f ,)(/x f)=1,则)(x f 无重根. 三、 解答题 1. 求一个次数小于3的多因式,使f (2)=1,)1(�f =2�, f(3)=2. 2. 证明多项式)(x f =!)1(21n x n n n x x nnn�������无重根. B组 1. 求一个满足下列条件的三次多项式: (i )3�x)(x f;(i i )3�x 除)(x f 的余数是4; (i i i ))(x f 被2�x ,2�x 除的余数相等. 2. 证明x s i n 不能表示成x 的多项式. 3. 多项式)(x f 满足)(x f =)(b x f �求证: )(x f 是常量,这里0�b . 4. 证明:如果)()()(1432424123x f x x x f x f x x x�����则�f(1)=0,�=1,2,3. 5. 设)(x f 和)(x p 是有理系数多项式, )(x p 在Q 上不可约,若)(x f 与)(x p 有一个公共复根,则)()(x fx p.§7 多项式函数[达标训练题答案] A组 一、 填空题1�零多项式�2.-12, 0(二重),3,-1, 0,2; 3. 4�k ; 4. �是)(x f 的根; 二、判断题 1�F �2.F ; 3.F ; 4.T . 三、解答题 1�解 利用拉格朗日插枝公式 13231))1(3)(23())1()(2(2)31)(21()3)(2(2)32))(1(2()3))(1((1)(2����������������������������xxx x x x x x x f2.证明�)!1()2)(1()1()(221�������������n x n n n x n n n x x f nnn��所以 ������))()(),(())(),((x f x f x f x f x f ),)!1()2)(1()1((321nnnnx n x n n n x n n n x ������������=1. 所以)!1()2)(1()1()(21�����������n x n n n x n n n x x f nnn�无重根. B组 1� 解�设)()3()(x g x x f ���c b x a x x g ���2)(�则 c x b c x a b a x x f3)3()3()(2������利用综合除法得到用3�x 除)(x f 得余数461854����c b a ,用2,2��x x 除)(x f得到的余式分别是20510,42�����b a b a .由题设得到下列方程组�������������c b a c b a c b a 5102024461854由此解出一个解��������������0458456c b a . 2� 证明�若x s i n 表示成一个n 次多项式�则它最多只能有n 个根因此它是0.事实上0s i n �x . 3� 证明 令)0)(()()(����b b x f x f x g �则)(x g 若不是零多项式�则其常数项为0)(��b f �从而�,2,b b 都是)(x f 根�这样0)(�x f .若)(x g 不是0多项式�而它有无穷多个根. 4� 证明�考虑四次单位根42s i n 42c o s ���k i k k ��3,2,1�k�显然)(143123��������x x x xk �则42s i n 42c o s ���k i k k ��是)()()(424221x f x x x f x f ��的根�即)3,2,1(0)1()1()1()1(3211�����k f f f f k k k ���进一步得0)1(�k f . 5� 证明 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在有理数域上不能整除于)(x f �则无论在有理数域还是复数域均有1))(),((�x f x p 而事实上在复数域上1))(),((�x f x p 不成立.因此)(x p 在有理数域上整除于)(x f .§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题] A组 一、填空题 1�复数域上不可约多项式是 �实数域上不可约多项式是. 2. )(x f ][x R �是首项系数为1的7次多项式,且 )(x f 有2重根i 32�,单根0、1、-2�则)(x f 的标准分解式是 . 3. )(x f =][3x R q p x x���,有一须根,b i a�则)(x f的所有根是. 4.44�x 在复数域上分解式是 .在实数域上的分解式是. 二、解答题 1. 求有单根i 21�及2重根1懂得次数最低的受项系数为1的复系数多项式和实系数多项式. 2. 证明:奇数次实系数多项式必有实根. 3. 设)(x p 是R 上不可约多项式,对于)(x f ][x R �,如果)(x p 与)(x f 在C 中有多项式�,证明)()(x fx p. B组 1.(选择填空)若多项式)(x f的各项系数都同号,那么)(x f. (i )无实根;(i i )无复实根;(i i i )无正实根;(i v )既有正根又有负根. 2.在C 和R 上分解1�nx 为不可约因式之积. 3.设)(x f 表示把多项式)(x f 的系数换成它们的公轭复数所得到的多项式.证明: (i )若)()(x fx g,则)()(x f x f;(i i )( )(x f ,)(x f )=)(x d 是实系数多项式.§8 复数域与实数域上多项式的因式分解[达标训练题解答] A组 一、 填空题 1�一次多项式�一次与部分二次不可约多项式�2.22)74)(2)(1(����x x x x x�3.2a 2��b i a b i a��,�4.)2)(2)(2)(2(i x i x x x �����)2)(2)(2(2���x x x . 二、解答题 1�解�在复数域上)21)(21()1()(2i x i x x x f ������, 在实数域上)32()1()(22����x x x x f . 2.证明: 若无实根,则该多项式全是虚根,而实系数多项式的虚根成对出现,因此与多项式是奇数次的矛盾. 3� 证明: 首先多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变.因此若)(x p 在实数数域上不能整除于)(x f �则无论在实数数域还是复数域均有1))(),((�x f x p 而事实上在复数域上1))(),((�x f x p 不成立.因此)(x p 在实数域上整除于)(x f . B组 1��i i i � 2�解�在实数域上�11(1)(1)nnx x x x ������� 在复数域上 011221()()(),c o s s i n ,0,1,1nn k k k xx x x i k nnn����������������.3� 证明 (i )若)()(x fx g,则存在(),()()()h x f x g x h x ��利用共轭复数的运算性质喝多项式乘法法则�有()()()f x g x h x ��故()()g x f x ;(i i )由于()()f x f x �是实系数多项式� ((),())((),()())f x f x f x f x f x ��,�故((),())()f x f x d x �是实系数多项式.§9 有理数域上多项式 [达标训练题] A组 一、填空题 1.设)(x f 是数域P 上的不可约多项式,))((x f �=n ,若P =C ,则n = .;若P =R ,则n = ; 若P =Q ,则n = . 2.若整系数多项式)(x f 不存在素数p 满足艾氏判别法的条件,则)(x f 的Q 上. 3.1221334���x xx 所有可能的有理数根是 . 二、 判断题 1. 若不存在素数p 能整除整系数多项式)(x f 的所有系数,则)(x f 是本原的 2. 任何一个有理系数多项式都能表示成一个有理数与本原多项式之积. 3. 若)(x f 是次数�1的整系数多项式,则)(x f 在Q 上可约�)(x f 能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. 4. )(x f �Q ][x 有无理根,则)(x f 在Q 上不可约. 三、 解答题 1. 把下列多项式表示成一个有理数与本原多项式的乘积.)(i ;46223��x x )(i i .271313�x x2. 证明下列多项式在Q 上不可约. )(i 13)(1)(;6423234234���������x x i i i x x x x i i x x x 3. 用试根法求4323��x x 的有理根. 4. 证明32是无理数. B组 1. 5次有理系数多项式)(x f在Q 上可约,则下类断言正确的是. (A ))(x f 至少有一个有理根; (B ))(x f 不一定有有理根; (C ))(x f 恰有一个有理根; (D ))(x f 含有一个2次不可约因式. 2.证明)(x f =!!212pxxx p����在有理数域Q 上不可约(p是素数) .3.求3212252345�����x x xx x的有理根. 4.设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i )当n >1时,说明)(x f是否有有理根与其可约性的关系;(i i ) n =3时,上述关系如何? (i i i ) n =4时,给出一个无有理根,但)(x f 可约的例子. 5.整系数多项式)(x f 对某一整数m 有)(m f 和)1(�m f 都是奇数,证明)(x f 无整数根.§9 有理数域上多项式 [达标训练题答案] A组 一、 填空题 1�1�1或2�任意正整数�2.可能可约也可能不可约�3.31,1��二、判断题 1�T �2.F �若是非零多项式正确��3.T . 三、解答题 1�解�)(i )23(24622323�����x x x x � )(i i )4237(21127131233�����x x xx2�解�)(i 642234���x x x �取2�p �利用E i s e n s t i e n 判别法即得不可约�1)234����x x x x ii �令1��x y �则 )(5101051234234y g y y y y x x x x����������� 取5�p �利用E i s e n s t i e n 判别法即得)(y g 不可约�从而1234����x x x x 不可约�13)(3��x x i i i �令1��x y �则)(63613233y h x y y x x ��������取3�p利用E i s e n s t i e n 判别法即得)(y h 不可约�从而133��x x 不可约. 3. 解�4323��x x 的所有可能根是�4,2,1����因为4323��x x 的各项系数之和不等于0�奇次项系数之和等于0�所以-1是根�1不是根.容易利用综合除法验证4,2��都不是根. 4� 证明�因为2)(3��x x f 无有理根�而32是2)(3��x x f 的根�因此它不是有理数�从而是无理数. B组 1.�B � 2�证明�)(x f= )3)1(!!(!1!!21122pppx p x x p p x p p P pxxx ��������������对多项式)3)1(!!(12ppx p x x p p x p p ���������利用E i s e n s t i e n 判别法即得在有理数域Q 上不可约(p 是素数). .3. 解� )64522(2132122523452345�����������x x x x x xx xx x�而 645222345�����x x x x x 的所有可能有理根为23,21,6,3,2,1�������然后可用试根法得出全部有理根为�-1�2,21. 4.. 解 设)(x f 是次数为n 的有理系数多项式,(i )当n =2、n =3时, )(x f 有有理根是可约的充要条件.当3�n 时,)(x f 有有理根是可约充分条件,但不是必要条件. n=4时,例如22)1()(��x x f 无有理根,但)(x f 可约. 5. 证明: 设�是多项式)(x f 的整数根,则 )()()(x g x x f���,)(x g是整系数多项式. 从而)()()(m g m m f���)()1()1(x g m m f �����都是奇数.这是不可能的. §10 多元多项式[达标训练题] 一、填空题 1.多项式),,(4321x x x x f =2322141221232212x x x x x x x x x ����是 元 次多项式,首项是 , 是同类项. 2.设g),,(321x x x =23221x x x+221x x+21x+322x x-212x x ,按字典排列,),,(321x x x g = .按齐次成分),,(321x x x g 排列成 , 按2x 的降幂排列�),,(321x x x g = . 3�设�),,(321x x x f 32221122x x x x x ����),,(321x x x g 32121x x x x x �则),,(321x x x f�),,(321x x x g �),,(321x x x f ),,(321x x x g 的首项是�),,(321x x x f +�),,(321x x x g �)0,1,1(�x f��)0,1,1(g�)0,1,1(�x f+��)0,1,1(g . 二、解答题 1�写出数域P 上三元三次多项式的一般形式. 2�两个n 元多项式首项的和是不是首项�为什么� 3�证明�若n 元数组),,,(),,(2121n n b b b a a a ����且),,,(),,(2121n n b b b a a a ����则),,2,1(n i b ai i ���.此时记),,,(),,(2121n n b b b a a a ���. 4.举反例说明�当2�n 时�类似于一元多项式的带余除法定理不成立. §10 多元多项式[达标训练题答案] 一、 填空题 1.4�5�221x x ,无同类项�2.g),,(321x x x =221x x+21x+23221x x x-212x x +322x x�g ),,(321x x x =23221x x x +�221x x +322x x �-212x x +21x �g ),,(321x x x =23221x x x +322x x +221x x -212x x+21x.3.332232213221332212213231x x x x x x x x x x x x x x x x������3231x x x�2322132122121x x x x x x x x x x�����-2�1. 二、 解答题 1� 解�数域P 上三元三次多项式的一般形式是� 300123002201032011220201100311012111021200x a x a x a x x a x a x a x x a x x a x a��������. 2� 解�两个n 元多项式首项的和不一定是首项 �例如3212131,x x x g x x x f����的首项分别是121,x x �显然121x x �不是g f �的首项. 3� 证明是简单的从略 例如�212131,x x g x x x f ���显然对任意的q �r q g f ��中r 中必包含单项式31x�因此0,����r g r 都不成立 §11 对称多项式[达标训练题] 一、填空题 1.二元多形式的一般形式是 �二元二次对称多项式的一般形式是 �二元二次齐次多项式的一般形式是�二元二次齐次对称多项式的一般形式是.2�4321,,,x x x x 的初等对称多项式是��1� ; �2� � �3� ;�4� . 若4321,,,x x x x 是4322314)(a x a x a x a x x f�����的四个根�则�1� ; �2� � �3�;�4� . 3.三元对称多项式232221x x x ��可以由初等对称多项式 来表示. 二、解答题 1.将下列多项式初等化� �1�))()((133221x x x x x x ���; �2�322121),,,(x x x x x x fn ���.2.设n a a a ,,21是数域P 上的多项式在复数域K 上的根�证明n a a a ,,21的每一个对称多项式都可以表示成P 上关于1a 的多项式. §11 对称多项式[达标训练题解答] 一、填空题 1�201220211021112120x a x a x a x x a x a ����� )2,1,)((���j i a a x x a j i i j ij j i i j �)()(21212221x x c x b x x x a ����. 2.4321x x x x ���,)323121x x x x x x ��� 432431421321x x x x x x x x x x x x����4321x x x x �4321,,,a a a a ��� 3. 3213133������. 二、解答题 解��1� 因为 2312213213212211332212))()((x x x x x x x x x x x x x x x x x f���������232322x x x x ���它的首项是221x x 对应的有序数组是�2�1�0��因此作多项式332103012121�����������x x x f .所以3321������f . �2�由于 2322132213221322121),,,(x x x x x x x x x x x x x x x f n �������其首项是3221x x x �当3�n �令0),,(313211�����x x x f f �所以�3121),,,(���n x x x f �.当3�n 时�根据首相为3221x x x�则可设43121),,,(���a x x x fn ����令0,154321�������n x x x x x x�代入即得4��a . 2�证明�设),,,(21n a a a f �为关于n a a a ,,21的任意对称多形式�则由基本定律 知),,(),,,(1121����n n g a a a f �����其中11,,���n ���关于n a a a ,,21的全部初等对称多项式.显然n n nx x a ��������111122111,,,�������������再由根与系数的关系 得出上式中的i ��是关于1a 的多项式.。
南开大学研究生招生专业目录
南开大学2022年硕士学位研究生招生专业目录
院系所 010组合数学中心
专业 070104应用数学
011陈省身数学研究所 070100数学
070201理论物理 012数学科学学院 070100数学
013统计与数据科学学 025200应用统计 院
研究方向
学习方式
00不区分研究方向 (1)全日制
原理、信号与系统各 （一）③301数学（一）④806通信
1/2。
综合基础
①101思想政治理论②204英语
（二）③302数学（二）④805电子
综合基础
①101思想政治理论②204英语
（二）③302数学（二）④806通信
综合基础
①101思想政治理论②204英语
（二）③302数学（二）④807电路
综合
①101思想政治理论②204英语
①101思想政治理论②201英语 （一）③703量子力学④803普通物 理（力学、热学、电磁学部分）
①101思想政治理论②201英语 （一）③703量子力学④803普通物 理（力学、热学、电磁学部分）
量子力学、普通物理 ①101思想政治理论②201英语 （力学、热学、电磁学 （一）③703量子力学④803普通物 部分）科目使用物理科 理（力学、热学、电磁学部分） 学学院试卷。 量子力学、普通物理 ①101思想政治理论②201英语 （力学、热学、电磁学 （一）③703量子力学④803普通物 部分）科目使用物理科 理（力学、热学、电磁学部分） 学学院试卷。 量子力学、普通物理 ①101思想政治理论②201英语 （力学、热学、电磁学 （一）③703量子力学④803普通物 部分）科目使用物理科 理（力学、热学、电磁学部分） 学学院试卷。
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南开大学2010年硕士研究生入学考试试题
一．计算下列行列式的值：（20分）
111212122
21
2
111n n n n n n
x y x y x y x y x y x y x y x y x y +++
二．试求解矩阵方程：（20分）
1
121110130
1010
01
2X ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
--=
三．设
1420
3404
3A ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
-= 试求n A . （20分）
四．设A 为n 阶实方阵，已知A 的特征值全为实数，且A AA A =''，证明：A 必为对称矩阵.（20分）
五．设A 为实对称矩阵，证明：A 中元素之最大者必位于A 的对角线上.（15分）
六．证明：如果一个球面的球心坐标000,,()y z x 中至少有一个是无理数，则此球面上任何四个不在同一平面上的点中至多有三个点使其坐标都是有理数.（15分）
七．设A ，B 为n 阶复方阵，且A 可逆，B 幂零，且AB BA =.证明A B +为可逆矩阵.（15分）
八．设A 为n 阶实反对称矩阵，证明： 1.det 0A ≥.
2.如果A 中元素全为整数，则det A 必为某个整数的平方.（15分）
九．设V 为n 维复线性空间，EndV 为V 上所有线性变换构成的线性空间，又A ，
B 为EndV 的子空间，且A B ⊆.令
{}|,x EndV
xy yx A y B M ∈-∈∀∈=
假定0M x ∈满足条件0()0tr x y =，y M ∀∈.证明：0x 必为幂零线性变换.（10分）。