南京工业大学线性代数第2章2节
南京工业大学线性代数第2章3节
v v
或
x y
1
2 1
22
2
1
2 1
u v
2
（3.2）
若记（3.1）、（3.2）式中的系数矩阵分别为
A，B，即 A 1 1
1 1
B
1
2 1
1
2 1
2 2
不难验证矩阵A，B满足下列性质：
称它们互为 “逆矩阵”
AB BA E
一. 可逆矩阵的定义
定义1 设 A 为n阶矩阵，如果存在一个n阶矩 阵 B，使得
0 2 0 * * * 1
0 0 0 * * *
1
所以这个 3 阶矩阵是不可逆的。
定理1 若 A 为 n 阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是 唯一的。
证 若 A 为 n 阶可逆矩阵，且矩阵B，C均为其 逆矩阵。则有
AB BA E AC CA E
下从证而
B
BE
B( AC)
(BA)C
?
2. 对于 n 阶对角矩阵
因为
1
2
n
1
1 1
?
2
·
2
n
1 n
? 1 1
=
2
1
·
2
=E
1 n
n
所以这个 n 阶对角矩阵是可逆的，且
diag(1,2,, n)1 diag(1, 1 ,, 1) 2n
3.设 3 阶矩阵
因为
1 0 1 0 2 0 0 0 0
? 1 0 1 * * * 1
an1 an2 ann A1n A2n Ann
? A 0 0
0
A
0
AE
0 0 A
同理，有
南京工业大学线性代数第2章5节
定义1 对矩阵的行（列）所施行的下列三种变
换称为矩阵的初等变换（elementary transformation
of matrices）：
C
1）互换矩阵的两行（列）元素的位置；ri rj
2）用一个非零常数k乘矩阵的某一行（列）中
的每个元素； k ri 3）将矩阵的某一行（列）的若干倍加到它的
01
*
*
r行
0
0
0
0
0
m r行
0 0 0 0 0
Er 0 0 0
二. 初等矩阵
定义2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换而得 到的矩阵称为初等矩阵（elementary matrix）。
1
E
1
一次初等变换
？
1
(1)互换E的i, j行(或i, j列),得
1
.
因为第三章的需要,我们现在简单讨论齐次线
性方程组的求解方法与何时有非零解问题。
例4 求解方程组
2 x1 4 x2 3 x1 6 x2
5x3 4x3
3x4 2x4
0 0
4 x1 8 x2 17 x3 11x4 0
解 对于齐次线性方程组只要对它的系数矩阵
施行初等(行)变换运算，即
r1 (3)r3
0
0
1
2
1 2
则
X
A1b
5
2 7
2
1 2
即为所求的线性方程组的解。
例3 求矩阵 X ,使 AX B，其中
1 2 3
2 5
A 2 2 1, B 3 1.
3 4 3
4 3
解 若 A 可逆，则 X A1B.
1 2 3 2 5 (A B) 2 2 1 3 1
南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案教学提纲
南京工业大学近几年线性代数考试试卷及答案南京工业大学近些年线代期末考试卷及答案包括以下六份试卷1南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期) 2南京工业大学线性代数课程考试试卷（B）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)3南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2007--2008学年第一学期使用班级江浦各专业本科生4南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生5南京工业大学线性代数试题（B）卷（闭）2008--2009学年第一学期使用班级江浦各专业本科生6南京工业大学线性代数试题（A）卷（闭）2008--2009学年第二学期使用班级计软0801－3南京工业大学线性代数课程考试试卷（A）(江浦、浦江2005-2006学年第1学期)所在系(院) 班级学号姓名一．填空题(每空3分，共15分)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢31、 若n 阶方阵A 满足02=+-E A A (E 为单位阵)，则A 的逆矩阵=-1A ____________.2、设矩阵B 是由矩阵A 划去某一列所得, 则秩(B )________秩(A ).3、若1111320=zy x, 则=---222431111z y x ________..4、若向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112k α 与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110k β 正交，则=k ________. 5、已知三阶矩阵A 的特征值为,2,1,1-设,223A A B -=则B 的三个特征值为 ________.二． 单项选择题(每题3分，共15分)1、齐次线性方程组0=x A 的一个基础解系为123212131,,100010001ααα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则A 的秩为 （ ）5)()(=A R A 4)()(=A R B 3)()(=A R C 2)()(=A R D 2、设有m 个n 维向量)(n m >，则 （ ）)(A 必线性相关 )(B 必线性无关 )(C 不一定 )(D 无法确定3、设A 为n 阶方阵，则下列方阵中为对称矩阵的是 （ ）()A A A '- ()B CAC ' （C 为任意n 阶方阵）仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4()C AA ' ()()D AA B ' （B 为任意n 阶方阵）4、设A 与B 均为n 阶方阵，若A 与B 相似，则下面论断错误的是 （ ）)(A 存在M ，且0M ≠，并有AM MB = )(B A 与B 有相同的特征值B E A EC -=-λλ)( )(D A 与B 均可对角化5、若向量组321,,ααα 线性无关，向量组421,,ααα线性相关, 则（ ）)(A 4α 必不可由321,,ααα 线性表示 )(B 4α必可由321,,ααα 线性表示 )(C 2α 必不可由431,,ααα 线性表示 )(D 2α必可由431,,ααα 线性表示三. (12分) 求n 阶行列式:)1(10000022000111321------n n n n 。
西工大线性代数第二章ppt1
三 、矩阵和行列式的区别和联系
矩阵 数表 行数未必等于列数 无行列式性质 行数等于列数 5个性质 个性质 行列式 数值
联系：对于 方阵，可以求它的行列式。 联系：对于n 阶方阵，可以求它的行列式。 y y′
四、线性变换
P
⒈ 平面旋转变换 坐标系 xoy ,绕原点O 逆时针旋转， 逆时针旋转，得 x′oy ′ 坐标系
本章共有四节内容： 本章共有四节内容： §1 矩阵的概念 §2 矩阵的基本运算 §3 逆矩阵 §4 分块矩阵
§2.1 矩阵概念
一、矩阵概念的引入
⒈ 对于线性方程组
a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLL an1 x1 + an 2 x2 + L + ann xn = bn 我们知道它的解取决于它的系数 aij (i, j = 1,2,L, n) 以及它的常数项 bi (i = 1,2,L, n) 。
−3 6 7 0 2×4
13 6 2i −i 0 5 2 2 2
复矩阵
⒊ 若m＝n，则称 为方阵； ，则称A为方阵；
m 为 ⒋ m = 1, n > 1 称A为行矩阵； > 1, n = 1称A为列矩阵 为行矩阵； 一般用小写字母或希腊字母表示； 一般用小写字母或希腊字母表示； × 行矩阵, 例如 α = (2 3 5 9 ) 是一个 1× 4 行矩阵 1 y = 2 是一个 3 × 1 列矩阵 列矩阵, 4 (4) 是一个 1 × 1 矩阵 矩阵.
线性代数教学资料 徐林荣-第二章 线性方程组1
•
•
•
2.1 消元法
•
•
行
2.1 消元法
列
2.1 消元法
•
2.1 消元法
•
Hale Waihona Puke 2.1 消元法•2.1 消元法
•
•
2.1 消元法
•
2.2 矩阵的秩
•
•
注意：最后一列随着系数矩阵的变换一 起变换，但不与其它列互换
•
注意：在对系数矩阵进行初等变换时如果进行了列互换， 则后一个线性方程组的未知量次序与前者会有所不同
第2章 线性方程组
•
第2章 线性方程组
•2.1 消元法 •2.2 矩阵的秩 •2.3 解线性方程组 •2.4 概要及小结
2.1 消元法
•
注意：这里使用相应的Word文件来讲，以便看得更清楚
2.1 消元法
2.1 消元法
2.1 消元法
•
2.1 消元法
•
注意：这里使用相应的Word文件来讲，以便看得更清楚
•
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
•
注意：最后一列随着系数矩阵的变换一 起变换，但不与其它列互换
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
2.2 矩阵的秩
•
•
•
2.2 矩阵的秩
2.2 矩阵的秩
•
•
•
解法2
2.2 矩阵的秩
合作愉快
南京工业大学线性代数第2章4节
0
2
1 2 3
B
1
0
4
0 1 0
0
0 1
解
A
E2 O
A1 2E2
B
B1 O
B2 E2
AB
B1 O
B2 A1
2E2
1 1
0
0
1 2
2
0
0 3 0
2
作为特殊应用，例如，取以下一种特殊的分块
方式
a11
Ams
a21
a12
a22
a1s a2s
am1 am2 ams
A1 2E2
0
0
0
2
或
1 0 1 3 1
或
A
0
0
0
1 0 0
2 2 0
1
0
2
2
34
1 0 1 3
A
0
0
1 0
2 2
1
0
1 2 3 4
0
0
0
2
二. 分块矩阵的运但算分矩块阵时分每块条方分法隔没线有都限必制须性，
1.加减运算
贯串整个矩阵。
设矩阵有相同的规模（即行、列数相等），且 采用相同的分块方法，即
Am
A1B1 A1Bn
√
Am B1 Am Bn
结论：同样两个矩阵A，B相乘，只是采用的
分块方法不同，就有了不同形式的结果。
4.矩阵转置
设 则其转置
A11 A1t
A
As1 Ast
A1T1 AsT1
AT
A1Tt
AsTt
注意：分块矩阵转置时，不仅行列需要互换,互
线性代数 第2章(新)
a2(n1)a3(n 2)
10
an1
第 二章
行列式
§2 行列式性质与展开定理
行列式的计算是一个重要问题，也是一个很麻烦
的问题 . n 阶行列式共有 n! 项，计算它需要 n!(n-1) 次乘法, 直接用定义计算行列式几乎是不可能的 . 因此，有必要进一步讨论行列式的性质，利用这 些性质简化行列式的计算 .
（1）
a11 a2) a12a21 0 时， 方程组(1)有解 用消元法知： aij , 当j 1, 数 aij (i 1, 2; 22 称为行列式的元素，元素
第一个下标称为行标，表明该元素位于第 b1a22 a12b2 a11ib行；第二个 2 b 1a21 x1 x2 且 下标称为列标，表明该元素位于第 j 列 .22 a12 a21 a11a22 a12 a21 a11a
11
§2
行列式性质与展开定理
一、行列式按行（或列）展开定理 一般说来，低阶行列式的计算比高阶行列式的计 算更简便，所以，是否可用低阶行列式表示高阶行列 式，行列式定义已表示n 阶行列式可按第一行展开.
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
aa
a23 a33
11 22 33
a22 a32
a11M11 a12 M12 a13M13
a
A a12 A12 a13 A13
Definition 1
a21 a22 a23 行第 j 列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一 a31 a32 a33
a11 中，将 a12 aa 13 所在的第 i 在 n 阶行列式 D ij
a21 (a12 a33 a13a32 ) a22 (a11a33 a13 a31 ) a23 (a11a32 a12 a31 )
线性代数第2章课件
例
线性变换
y1 1 x 1 , y2 2 x2 , yn n xn .
对应 n阶矩阵 1 0 0 2 A 0 0 0 0 n
B
b1 b2
...
bm
◆ mn矩阵A,当m=n时,称A为n阶方阵,也称为n阶矩阵.
◆当两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩
阵。
a11 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn b11 b12 b22 am 2 b1n b2 n bmn b21 bm1
例 5 求矩阵
A -2 1 4 -2
B 2 4
-3
-6
的乘积AB和BA。
例 6
设A,B分别是n×1和1×n矩阵,且
a1 a2 , B b b b A 1 2 n an
计算AB和BA.
解
a1 a1b1 a1b2 a1bn a2 a2b1 a2b2 a2bn AB b1 b2 bn an anb1 anb2 anbn a1 a2 b a + b a + + b a BA b1 b2 bn 1 1 2 2 n n an
B 2
1
C
1
0
-3 2
2 1
求AB+AC。
解
1 AB + AC A( B + C ) 3 1 3 2 3 4 1
南京工业大学线性代数第2章1节
次方程组。
消元法的基本思想是通过消元变形把已知方程 组化成容易求解的同解方程组。
解 将1）第一个方程与第二个方程交换位置：
x1 2 x1
x2 x2
2x3 5x3
x4 4 x4
3 7
x1 2x2 x3 x4 2
把2）第一方程的两端乘以（-2），（-1），
并分别加到第二个、第三个方程上去，得
4.对称与反对称矩阵
在方阵
A
aij
中，如果
n
aij
a（ji i,
j
1,2,,n）
例如:
0 2 0 4 3 2 1 1 5 6
0 1 0 2 0
4 5 2 2 7
3 6 0 7 155
则称之为对称矩阵(symmetric matrix)。
在方阵
A
aij
中，若
n
aij
a（ji i,
j
a11
A
a22
0
0
diag (a11 ,
a22
,,
a22
)
ann
其中 aij 0,i j,i, j 1,2， n。
主对角元全相等的对角矩阵称为数量矩阵(sca
-lar matrix) 。如
c
A
c
c n
特别地，当数量矩阵主对角元等于1时，这样
的矩阵称为单位矩阵(identity matrix)。记为
方程的系数与常数项作了相应的种种变化。
总之：
1） 对一般线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
大学线性代数第二章习题答案
第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 1．解．,251=x 212=x .2.解． ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x 其系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----161109412316第二节 矩阵的运算一 填空题：1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛224210 2.3 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121 ， 13-k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121（k 为正整数）。
3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000004.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100010001 5. 0二选择题 ：CCCCC B三计算：1．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---632142（2）10 （3）322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++32155121232272i i i i ii i 2. ()()T T T A I A AA A I A A A T A A I +=+=+=⋅+=⋅+(1)00A A A I A I <⇒-+=+=.3.111101()()2()2000101n T n T n T n A αααααα----⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则2(2)n n aE A a a -=-. 4.设2222223T T x x xy xz y xy y yz x y z z xz yzy ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.02()()()A E A B A B E A E A E B A E A E B E +≠--=⇒+-=+⇒-=112A EB B ⇒-⋅=⇒=. 6.()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-1154123600022B A B A7．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012328317 8．－80第三节逆矩阵 一 填空题：1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000031212. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24205100010 3. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----611859131320001 4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000213141 5.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 6. 541-；7.100122()(2)2()0102100B E AB A B A E B E E A E -⎡⎤-⎢⎥=+⇒--=⇒-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦8.21()(2)20B A E A E --⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦. 9.由21224()().22A E A EA A E O A E E A E -+++-=⇒-=⇒-=()()kA lE h A E +=10.由111021()102002AB B A A B B E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⇒=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二．选择题：ACBBD三.计算题：1.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3131002121001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----17162132130122. 由BA A BA A +=-61得，B E B A +=-61， 所以 E B E A 6)(1=--从而 ， 11)(6---=E A B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-7000400031A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--6321E A3.11010100001693471582100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001693471582100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=963852741. 4. 因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191，故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=622250207315. 由23**0T T ij ij a A A A AA AA A E A A A =⇒=⇒==⇒=⇒=或1A =.又22211111212131311121301A a A a A a A a a a A =++=++≠⇒=.6. 1100200611AP PB A PBP -⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.5511A PB P PBP A --===. 7.1*11112(3)2233A A A A A A -----=-=-,所以 1*131228116(3)2()332727A A A A A ----=-=-=-⋅=-.或 *1*1***114(3)222333A A A A A A A A ---=-=⋅-=-,则311**3*446416(3)2()332727A A A A A ---=-=-=-⋅=-.8.E BA E BA A A E B A A B -=-=-=--**11||)(，即E E A B =-)(*，因而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-=--1030122211763452221)(11E A B *解 1*n A A-=.9.证 (1)由1124(2)(4)28A B B E A E B E E A E -=-⇒-⋅-=⇒-可逆,且 11(2)(4)8A EB E --=-(2)由(1)得102028(4)110002A E B E -⎛⎫⎪=+-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 四、证明题：1.证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2.证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的. 第四节 矩阵分块法1. 00011000100000010010010001000010010000100010010010000100011000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以100010001001000100100010010001000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31313231000000520021. 3.A ；4.若1A -易求得,由*1A A A -=最简便.显然111,A O C C A B OB ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1**11*A B A OB A OC C C O A B B O A B ---⎡⎤⎡⎤⇒===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5. (1) 1()T APQ O A b A ααα-⎛⎫=⎪-⎝⎭. (2) 由(1)得0211()P A TT P Q PQ A b A Q b A αααα=≠--⋅==-=-. 6. 23423422288()40A B A B αβγγγαβγγγ+=+=+=+=.7. 11100100112120(2)01221001001B O B O A I A I O O --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⇒-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 8. (1)m m mnnnO A A O C B OOB =-从第n+1列开始每一列与前n 列逐列交换(1)mn m n A B =-(1)mn ab =-.自测题一.单项选择题：1.D 2.C 3.C 4．A5. B 二、填空题：1. 912.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-133 3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4332211 4.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-11001200005200211A 5. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----O O 21313725 三.计算题1.由B X A =*得，AB X AA =*，即 AB X A = ，因为2-=A ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00021152031000221X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020111.2、1) B E B A E A AB E B A B A A B AA ⇒=-⇒+=⇒+=-)|(|||)(1*可逆.2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=--1111116166666)8(11A EB .3.111()[()]()()T T T T T T T A E C B C E A C C B C E A C B C C E ----=⇒-=⇒-=1()()()T T T A C B CC E A C B E -⇒-=⇒-=110001100[()]12100121T A C B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⇒=-=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 4.-250；415. 由1113()3ABA BA E E A B E ---=+⇒-=.又3*82A A A ==⇒=,则**160000600()36(2)606010306A E B E B E A A -⎛⎫ ⎪⎪-=⇒=-= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四.证明题1.证 由**T T A A AA AA A E =⇒==.假设0T A AA O =⇒=.考虑T AA 的主对角线上的元素,令()T ij AA B b ==,则222121200ii i i in i i in b a a a a a a =+++=⇒==== ,即A 的第i 行的元素全为零,由i 的任意性,得A 的元素全为零,即A O =,矛盾. 2.由23202A E A A E A E A ---=⇒⋅=⇒可逆,且12A EA --=.。
线性代数课件2基本功课
定理2、n元齐次线性方程组
a11x1 a12 x2 ... a1n xn 0 .a..2.1.x.1 a22 x2 ... a2n xn 0 an1x1 an2 x2 ... ann xn 0 只有全零解的充要条件为方程组的系数行列式不为0。
线性代数
第二章 线性方程组
第2节 n维向量
f1 e x 1,r1 r1
一般解为X
fr
e x r,r1 r1 xr 1
e1n xn
其中xr1, , xn 为自由变量，
ern
xn
故方程组有
无穷多解
xn
线性代数
第二章 线性方程组
第1节 Gauss消元法
分析Gauss消元法的过程，可以看出，我们对方程组作了以 下三种变换： （1）将一个方程两边同时乘以一个非零常数； （2）将两个方程位置调换； （3）将一个方程的倍数加到另一个方程上。
（3）对于任意n维向量，有
（4）向量a1, a2 ,..., an 称为向量 a1, a2 ,..., an 的
负向量，记为，且对任意有 （）
（5） 1
（6） k l kl
（7） k k k （8）(k l) k l
定义、所有n维向量组成的集合记作Rn。在Rn中定义了 向量的加法和数乘运算，且满足八条运算规律，则称 Rn集合为n维向量空间。
可由这组向量线性表出。
例4、试证若向量可由向量组1,2 ,...s线性表出，又向量
i i 1, 2,..., s可由向量组1, 2 ,..., t线性表出，则向量可
由向量组1, 2 ,..., t线性表出。
此例的结果表明了向量的线性表出关系具有传递性。
线性代数
第二章 线性方程组
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C 2 1
4 2
222 3
4
622
16 8
?
32 16 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
0
B
1 3
1
3 2 1 2
4 1 1
1
求 AB
解
A
aij
,
34
B bij 43,
C
cij
.
33
故
1 C AB 1
0
0 1 5
cos(k 1) sin(k 1) sin(k 1) cos(k 1)
从而对任意的正整数 n，要证的等式成立。 综上,命题得证。
五．矩阵的转置
定义4 把矩阵 A (ai j )mn 的行和列互换，所得
到的 n m 矩阵，称为矩阵 A 的转置矩阵。简
称 A 的转置（Transposed matrix），记作 A 或 AT。
j 列位置上的元素是:
s
c ji a jk bki
又
k 1
s
dij bkia jk
k 1
从而 (AB) BA 。
例7 设
A 01
1 3
02
求 ( AB)。
2 B 1
1
解 或者
因为 AB 11 ，所以 ( AB) (1
1)
( AB) BA 2
1
1
1 1
0 3
1
1
0 2
AB
2 3 1 1 1 5
所以 AB = 2 1 =9 。另一种算法：
15
1 AB
02
1 = (3) (3)=9
2 3 1 1
从而确有 | AB |=| A || B | 。
(AB)2 (AB)(AB) A BA B A2 B2
四.方阵的幂
设A为 n 阶方阵，k N 。 记 Ak AAA. ，
s
aik bk1
k 1
s
aik bkj
k 1
s
aik
k 1
bkn
.....................................................................
s
amkbk1
s
amkbkj
s
amkbkn
k 1
k 1
k 1
例1
b1 j
b2 j
* *
ai1
*
ai 2
*
ais
*
*
bsn
*
ms
*
sn
*
*
cij
*
m n
*
例3 设
2 1
A 3 1
0
,
132
B
1 1
2 1
1 123
求 AB, BA
解
3 3 1
AB 3 0
6 3
1 2 33
,
BA
9 2
mn
其中
cij ai1b1 j ai2b2 j aisbsj
s
= aikbkj
k 1
即
a11 a12 ... a1s
...............................
...a..i.1......a..i..2...............a...is
b11 b21
AB BA
即A, B是可交换的。
0 2 22
由此可见，矩阵乘法不满足交换率，即AB≠BA，
此时称 A和B不可交换。
对有些矩阵，如:
2 0
1 0
有
A 0
4,
B
0
2
AB
BA
2 0
0 2
此时称 A,B 可交换。
例4 设
A
1 1
求AB，BA。
1
1
122 , B 1
1
1
22
解 同理
AB
1 1
1 1 11
1 1
0 0
a1n b1n a2n b2n
amn bmn
性质1 设A，B、C是同规模的矩阵，则
（1）A+B=B+A ;
（加法交换律）
（2）（A+B）+C=A+（B+C）; （加法结合律） （3）A+0 =A ， 其中0是与同规模的零矩阵。
二、数乘矩阵
定义2
数
k与矩阵
A
aij
的数量乘积矩
mn
阵,简称为数乘矩阵，记为 kA，规定为:
常记
ka11
kA
ka21
kam1
ka12 ka22
kam 2
ka1n ka2n
kamn
(-1)A=-A , -(-A)=A -A 又叫做 A 的负矩阵。
两个矩阵的减法运算可直接定义或者规定为: A-B = A+(-B)
性质2 设A, B是同规模的矩阵，k, L是常数, 则（1）1A=A；
am1
am2
...
ams
bs1
b1j b2j
bb12nn
bsj
bsn
s
s
s
a1kbk1 a1kbkj a1kbkn
k 1
k 1
k 1
.....................................................................
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
a11
A'
a12
a21 a22
am1 am2
am1
am2
amn
mn
a1n a2n amn nm
矩阵转置的性质: (1) ( AT )T A (3) (kA)T kAT
(2) ( A B)T AT BT (4) ( AB)T BT AT
1 3 1
402
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
? 5 6 7
10 2 6. 2 17 10
注意：只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩 阵的行数时，两个矩阵才能相乘。 例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
一般地
*
*
*
* *
（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算性质 不同。
五. 思考题
概念性题
设A与B为n阶方阵,问等式
( A B)2 A2 2AB B2
成立的充要条件是什么?
思考题解答：
由矩阵乘法对加减法的分配律，有
(A B)2 (A B) (A B)
A2 AB BA B2
故等式成立的充要条件为
第二节 矩阵的运算
下面讨论矩阵的加法,数乘与乘法运算以及其
它矩阵运算。
一、矩阵的加法
定义 1
设
A
aij
与B
mn
aij
是两个同规模的
mn
矩阵,那么矩阵A与B的和矩阵,记为A+B，规定为:
a11 b11
A
B
a21 b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
满足以下规律：
例如：
Amn 和 Em , En AEn Em A A;
a111 a122
a11
a21
a12
a22
? a1n
a2n
a11 a21
a12
a22
a1n a2n
am1mm am1 am2 amn am1 am2 amn
问题：单位矩阵换为对角矩阵， Al Akl
( Ak )l Akl
| Am || A |m
kA k n A
但是应注意:
?
(1) ( AB)k Ak Bk
(2) A≠0 ，但可能 Ak 0
例如,设 则
0 1 0
A 0 0 1 0 0 0
0 1 00 1 0 0 0 1
A2 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0
这里要注意矩阵的左乘和右乘，以及矩阵左提
取或右提取（公因子）意义的不同。
4、设A、B是两个 n 阶矩阵，则
|AB| = |A||B|
√
即方阵乘积的行列式，等于它们行列式的乘积。
例5 设 A 1 0
求|AB|。 2 3
B 2 1 1 1
解 AB 1 0 2 1 2 1
矩阵乘法不同于数的乘法，它不满足交换律和 消去律，应引起足够的注意。 但是，矩阵乘法恰
满足以下规律： 此外
1、矩阵乘法的结合律：
(AB)C = A(BC)
√
2、数乘与矩阵乘法的结合律：
(kA)B = A(kB) = k(AB)
3、矩阵乘法对加法的(左、右)分配律：
A(B+C) = AB+AC
√
(B+C)A = BA+CA
由性质（4）可得多个矩阵相乘的转置
( A1A2 As )T AsT AsT1 A2T A1T
(5) A 为对称矩阵的充要条件是: A A A 为反对称矩阵的充要条件是： A A
证 仅证明（4）式。
设A
aij
是
ms
m
s
矩阵,
B
bij
是
sn
sn
矩阵, AB cij , mn BA dij nm , 则 ( AB) 的第 i行第