图论建模方法
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• 定理10. 10图G是可笔图的充要条件是G连通且最多有2个奇顶点. • 例如.在图10. 13中给出的生个图中.图(a)和图(b)不是可笔问图.图(c)
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
• V1∪V2= V(G).V1∩V2=Φ • 且V自身的顶点互不相邻(i=1,2).则称G是二部图.记为G=(V1,V2,E).不
连通图.否则称为不连通图.图的极大连通子图称为连通分支.以w (G) 表示图G的连通分支个数.则.G连通↔w(G)=1, G不连通↔ w(G)>1 • 10. 1. 2简单的图论模型 • 定理10. 3 设G为有n个顶点的简单图.G的最小度为d.则G连通当且仅 当d≥[n/2].
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10.2图的矩阵表示
第10章图论建模方法
• 10.1图的基本概念和简单图论模型 • 10.2图的矩阵表示 • 10.3图的生成树及应用 • 10.4最短路问题及其算法 • 10.5欧拉图与中国邮递员问题 • 10.6哈密顿图与推销员问题 • 10.7匹配与覆盖问题 • 10.8网络流问题
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10.1图的基本概念和简单图论模型
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 瑞士著名数学家欧拉第一次用图论模型回答了“哥尼斯误的七座桥” 问题.彻底解决了“一笔”问题.后人把一类与一笔有关的图起名为欧 拉图.而我国数学家管梅谷于1962年提出的一个与邮递员送信有关.但 又具有普遍意义的题.在图论领域被称为中国邮递员问题.
• 10. 5. 1欧拉图与一笔画问题 • 定义10. 8设G= G(V,E)是连通无向图.含有G的所有顶点的一条开
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 由定义.迹是通道;路径是开迹;圈是闭迹;反过来不成立. • 对于有向图.若通道(迹.路.圈)的所有的边的方向都与通道(迹.路.圈)
的方向一致.则称为有向通道(迹.路.圈). • 顶点u与v称为连通的.如果存在u - v通道.任二顶点都连通的图称为
(闭)迹称为欧拉开(闭)迹.存在欧拉闭迹的图称为欧拉图. • 由定义.含有欧拉开(闭)迹的图都可实现一笔.因此把这类图也称为
可一笔画图. • 下面的定理给出了判断一个图是否为欧拉图及可笔图的方法.
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 定理10. 9图G是欧拉图的充要条件是G连通且没有奇顶点(即度为奇 数的顶点).
• 10.1.1图的基本概念 • 图论中所说的图是描述事物之间关系的一种手段.一般地.我们用一
个小圆圈(或小黑点)代表自然界或人类社会的某事物.称为顶点;如果 两事物间有某种关系.则用一条线段连接代表该事物的两个顶点.称为 边.这样就得到了一个问题的图论模型.称为图.直观地讲.图就是由一些 点(称为顶点)以及连接这些点的线段(称为边)所组成的图形.在这样的 图中.人们只关心顶点之间是否有边.而不关心顶点及边的位置以及边 的曲直.这就是图论中的图与几何图形的区别. • 定义10.1称G=(V,E)是一个图.如果 • (1)V是非空有限集合;
等)的选址.要求网络中最短的被服务点离服务设施的距离尽可能小.
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10.4最短路问题及其算法
• 2.重心间题 • 有些设施(例如一些非紧急型的公共服务设施.如邮局、学校等)的选
址.要求设施到所有服务对象的距离总和最小.一般要考虑人日密度问 题.要使全体被服务对象来往的平均路程最短. • 3.设备更新间题 • 这类问题属于多阶段决策问题.要化这类问题为最短路问题.关键在 于对该问题构造出相应的图.使图的顶点、边、权分别对应于该问题 的某些要索.从而图中某些顶点间的最短路就对应于该问题的解.
1)行都是独立的. • 定理10. 6设H是(n.m)图G的邻接矩阵·并记H^k= (hij^k) ,k为正整
数·H^k表示k个H相乘·则hij^k等于G的长为k的vi- vj通道数. • 定理10. 7设H是(n.m)图G的邻接矩阵.令
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10.3图的生成树及应用
• 定义10. 6无圈连通图称为树.图的生成子图若是树.则称为该图的生成 树
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
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10.4最短路问题及其算法
• 10. 4. 2每对顶点之间的最短路 • 求每对顶点之间最短路的算法是Floyd算法.其基本思想是直接在图
的带权邻接矩阵中用插人顶点的方法依次构造出n个矩阵D^(1). D ^(2)....D^(n)使最后得到的矩阵D^(n)成为图的距离矩阵.同时也求出 插人点矩阵以便得到两点间的最短距离. • 1.算法原理 • (1)求距离矩阵的方法.
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10.4最短路问题及其算法
• 设G为赋权有向图或无向图.G的边上的权均非负. • Dijkstra算法(求G中从uo到其余顶点的最短路): • 用5表示具有永久标号的顶点集.对每个顶点v.定义两个标记l (v).
z(v).其中.l (v)表示从顶点uo到v的一条路的权;z(v)表示v的父亲点.用 以确定最短路的路线.
• d (v) = d’ (v)十d (v) .v∈V(G)
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 各顶点的度都相同的图称为正则图 • 容易证明下面的定理. • 定理10. 1对图G=(V.E).有
• 没有重复边的通道称为迹.起点与终点重合的迹称为闭迹;不重合的称 为开迹.
• 没有重复顶点的开通道称为路径或路;起点与终点重合的路径称为 圈.
条以上的边若有相同的端点.则称它们为平行边.若顶点u是边e的一个 端点.则称u与e关联.与同一条边关联的两个顶点称为相邻顶点.与同一 个顶点关联的两条边称为相邻边.没有关联边的顶点称为孤立点.恰有 一条关联边的顶点称为悬挂点.与悬挂点关联的边称为悬挂边.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 定理10. 8设T是(n.m)非平凡图.则下列命题等价: • (1) T是树; (2)T无圈.m=n-1; • (3) T连通.m=n-1;(4)T无圈.任加一边有唯一圈; • (5)T连通.任去一边不连通;(6) T的任二顶点恰有一条路连通. • 由定理10. 8可直接导出下面的结果: • (1)树是边数最少的连通图; (2)连通图的极大无圈生成子图是生成树; • (3)连通图的极小连通生成子图是生成树. • 由此可见.在n个城市之间.修建n-1条直通高速公路足以形成连通的
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10.4最短路问题及其算法
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10.4最短路问题及其算法
• 2. Floyd算法步骤 • d (i,j) :i到j的距离.r(i,j) :i到j之间的插人点.输人带权邻接矩阵W. • (1)赋初值:对所有i, j ,d(i,j) ← w(i,j), r(i,j)←j, k←1. • (2)更新d(i,j), r(i,j):对所有i,j.若d(i.k) 十d(k.j) < d(i.j).则 • d(i,j) ← d(Hale Waihona Puke Baidu,k) 十d (k.j).r(i,j) ← k • (3)若k=n.则停止;否则.令k ←k十1.转步骤(2). • 10. 4. 3应用举例 • 1.中心间题 • 有些公共服务设施(例如一些紧急服务型设施如急救中心、消防站
• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
高速公路网.而怎样修这n-1条高速公路相当于在完全图Kn中找一个生 成树.确定一个连通图的生成树.有下面的算法.
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10.3图的生成树及应用
• 求生成树的加边算法: • 设G= (V,E)是连通(n,m)图.令E={e1.e2.…em}. • 第1步.令T=V .i=1.k=0. • 第2步.若T十ei含圈.转第5步. • 第3步.令T=T十e1 .k=k十1. • 第4步.若k=n-1.停.T为所求生成树. • 第5步.令i =i十1.转第2步. • 有时.需要确定赋权图(给每条边赋子一个实数.称为边的权)的最小
生成树.即边的权之和最小的生成树.
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10.4最短路问题及其算法
• 最短路问题是把实际问题转化为图论问题从而得以解决的典范.许多 多阶段决策问题和选址问题都可通过求一个图中的最短路而解决.
• 10. 4. 1固定起点的最短路 • 最短路有一个重要而明显的性质:最短路是一条路.且最短路的任一
段也是最短路.假设在u-v的最短路中只取一条.则从u到其余顶点的最 短路将构成一棵以u为根的树.因此可采用树生长的过程来求指定顶点 到其余顶点的最短路.实现这一过程的方法是Dijkstra算法.
在同一顶点子集的任二顶点都相邻的简单二部图.称为完全二部图.两 个顶点子集大小分别为0、和，?，的完全二部图记为Knxm. • 设G.月是两个图.若V(H)∈ V(G),E(H) ∈E(G).则称H是G的子图;若 V(H)=V(G) ,E(H)c E(G).则称月是G的生成子图或支撑子图.
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• 定义10. 2称G=(V.E)是一个有向图.如果 • (1)V是非空有限集合; • (2)E是V中兀索有序对所组成的集合.并把V的兀索称为顶点.E的兀
索称为有向边或弧.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 设e=(u.v)为有向图的弧.则称顶点u是e的尾.e是u的出边.弧e与顶点u 出关联;称顶点v是e的头.e是v的入边.弧e与顶点v入关联;称u是v的前 驱或父顶点;称v少是u的后继或子顶点.
10.1图的基本概念和简单图论模型
• 设v1c V(G).且V1≠Φ.以V1为顶点集.以两端点均在V1中的全体边为边 集的G的子图.称为v,的导出子图.记为G[v,].设E1 c E(G).且E1≠Φ.以 E1为边集.以E1中的边关联的全部顶点为顶点集的G的子图.称为E1的 导出子图.记为G[E1].见图10. 2.设V1 c V(G).且V1≠Φ.则以G-V1,表示 从G中删去V,内的所有顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图. 若V,={v}.常把G-{v}简记为G - v.类似地.设E1 c E(G).且E1≠Φ.则以GE1表T在G中删去E1中所有边所得的子图.同样.G-{e}简记为G-e.
• 设G是有向(n.m)图·则关联矩阵A=(aij)n xm·其中
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10.2图的矩阵表示
• 其邻接矩阵H=(hij) nx n·其中hij为以顶点vi为尾·以vj为头的边数(i, j=1,2.…n).
• 我们不加证明地给出以下几个定理: • 定理10. 5设G是有(n.m)连通图.则其关联矩阵的秩为n-1.且任意(n-
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• (2)E是v中兀索对所组成的集合.并把v的兀索称为顶点.E的兀索称为 边.
• 图G=(V,E)常简记为G.并以V (G)或V,E(G)或E分别表示图G的顶点集 和边集.以|V (G)|或|V|,|E(G)|或|E|分别表示图G的顶点数和边数.
• 例如.在图10. 1所示的图G中. • 设边e=(u,v).则称顶点u,v是边e的端点.两个端点重合的边称为环.一
• 有n个顶点m条边的图称为(n,m)图.(n,0)图叫零图.特别地.(0,0)图叫空 图.(1 ,0)图叫平凡图.没有环与平行边的图称为简单图.任意两顶点都相 邻的简单图称为完全图.有n个顶点的完全图记为Kn.若V(G)能分解为 V1与V2,使得
• V1∪V2= V(G).V1∩V2=Φ • 且V自身的顶点互不相邻(i=1,2).则称G是二部图.记为G=(V1,V2,E).不
连通图.否则称为不连通图.图的极大连通子图称为连通分支.以w (G) 表示图G的连通分支个数.则.G连通↔w(G)=1, G不连通↔ w(G)>1 • 10. 1. 2简单的图论模型 • 定理10. 3 设G为有n个顶点的简单图.G的最小度为d.则G连通当且仅 当d≥[n/2].
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10.2图的矩阵表示
第10章图论建模方法
• 10.1图的基本概念和简单图论模型 • 10.2图的矩阵表示 • 10.3图的生成树及应用 • 10.4最短路问题及其算法 • 10.5欧拉图与中国邮递员问题 • 10.6哈密顿图与推销员问题 • 10.7匹配与覆盖问题 • 10.8网络流问题
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10.1图的基本概念和简单图论模型
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 瑞士著名数学家欧拉第一次用图论模型回答了“哥尼斯误的七座桥” 问题.彻底解决了“一笔”问题.后人把一类与一笔有关的图起名为欧 拉图.而我国数学家管梅谷于1962年提出的一个与邮递员送信有关.但 又具有普遍意义的题.在图论领域被称为中国邮递员问题.
• 10. 5. 1欧拉图与一笔画问题 • 定义10. 8设G= G(V,E)是连通无向图.含有G的所有顶点的一条开
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 由定义.迹是通道;路径是开迹;圈是闭迹;反过来不成立. • 对于有向图.若通道(迹.路.圈)的所有的边的方向都与通道(迹.路.圈)
的方向一致.则称为有向通道(迹.路.圈). • 顶点u与v称为连通的.如果存在u - v通道.任二顶点都连通的图称为
(闭)迹称为欧拉开(闭)迹.存在欧拉闭迹的图称为欧拉图. • 由定义.含有欧拉开(闭)迹的图都可实现一笔.因此把这类图也称为
可一笔画图. • 下面的定理给出了判断一个图是否为欧拉图及可笔图的方法.
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10.5欧拉图与中国邮递员问题
• 定理10. 9图G是欧拉图的充要条件是G连通且没有奇顶点(即度为奇 数的顶点).
• 10.1.1图的基本概念 • 图论中所说的图是描述事物之间关系的一种手段.一般地.我们用一
个小圆圈(或小黑点)代表自然界或人类社会的某事物.称为顶点;如果 两事物间有某种关系.则用一条线段连接代表该事物的两个顶点.称为 边.这样就得到了一个问题的图论模型.称为图.直观地讲.图就是由一些 点(称为顶点)以及连接这些点的线段(称为边)所组成的图形.在这样的 图中.人们只关心顶点之间是否有边.而不关心顶点及边的位置以及边 的曲直.这就是图论中的图与几何图形的区别. • 定义10.1称G=(V,E)是一个图.如果 • (1)V是非空有限集合;
等)的选址.要求网络中最短的被服务点离服务设施的距离尽可能小.
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10.4最短路问题及其算法
• 2.重心间题 • 有些设施(例如一些非紧急型的公共服务设施.如邮局、学校等)的选
址.要求设施到所有服务对象的距离总和最小.一般要考虑人日密度问 题.要使全体被服务对象来往的平均路程最短. • 3.设备更新间题 • 这类问题属于多阶段决策问题.要化这类问题为最短路问题.关键在 于对该问题构造出相应的图.使图的顶点、边、权分别对应于该问题 的某些要索.从而图中某些顶点间的最短路就对应于该问题的解.
1)行都是独立的. • 定理10. 6设H是(n.m)图G的邻接矩阵·并记H^k= (hij^k) ,k为正整
数·H^k表示k个H相乘·则hij^k等于G的长为k的vi- vj通道数. • 定理10. 7设H是(n.m)图G的邻接矩阵.令
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10.3图的生成树及应用
• 定义10. 6无圈连通图称为树.图的生成子图若是树.则称为该图的生成 树
• 称图G与图H同构.记为G= H.如果存在V (G)与V(H)的一一对应.同时存 在E(G)与E(H)的一一对应.且保持顶点与边的关联关系不变.例如.在图 10. 3中·图G与图H同构.同构的图可看成同一个图.只是顶点与边的标 号可能不同而已.
• 定义10. 3在无向图中.与顶点v关联的边的数目(环算两次)称为v的度. 记为dG (v).简记为d (v).对有向图.顶点v少的出关联边数称为出度.记 为dG' (v)或d' (v).人关联边数称为入度.记dG (v)或d(v).显然
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10.4最短路问题及其算法
• 10. 4. 2每对顶点之间的最短路 • 求每对顶点之间最短路的算法是Floyd算法.其基本思想是直接在图
的带权邻接矩阵中用插人顶点的方法依次构造出n个矩阵D^(1). D ^(2)....D^(n)使最后得到的矩阵D^(n)成为图的距离矩阵.同时也求出 插人点矩阵以便得到两点间的最短距离. • 1.算法原理 • (1)求距离矩阵的方法.
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10.4最短路问题及其算法
• 设G为赋权有向图或无向图.G的边上的权均非负. • Dijkstra算法(求G中从uo到其余顶点的最短路): • 用5表示具有永久标号的顶点集.对每个顶点v.定义两个标记l (v).
z(v).其中.l (v)表示从顶点uo到v的一条路的权;z(v)表示v的父亲点.用 以确定最短路的路线.
• d (v) = d’ (v)十d (v) .v∈V(G)
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 各顶点的度都相同的图称为正则图 • 容易证明下面的定理. • 定理10. 1对图G=(V.E).有
• 没有重复边的通道称为迹.起点与终点重合的迹称为闭迹;不重合的称 为开迹.
• 没有重复顶点的开通道称为路径或路;起点与终点重合的路径称为 圈.
条以上的边若有相同的端点.则称它们为平行边.若顶点u是边e的一个 端点.则称u与e关联.与同一条边关联的两个顶点称为相邻顶点.与同一 个顶点关联的两条边称为相邻边.没有关联边的顶点称为孤立点.恰有 一条关联边的顶点称为悬挂点.与悬挂点关联的边称为悬挂边.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 定理10. 8设T是(n.m)非平凡图.则下列命题等价: • (1) T是树; (2)T无圈.m=n-1; • (3) T连通.m=n-1;(4)T无圈.任加一边有唯一圈; • (5)T连通.任去一边不连通;(6) T的任二顶点恰有一条路连通. • 由定理10. 8可直接导出下面的结果: • (1)树是边数最少的连通图; (2)连通图的极大无圈生成子图是生成树; • (3)连通图的极小连通生成子图是生成树. • 由此可见.在n个城市之间.修建n-1条直通高速公路足以形成连通的
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10.4最短路问题及其算法
• 2. Floyd算法步骤 • d (i,j) :i到j的距离.r(i,j) :i到j之间的插人点.输人带权邻接矩阵W. • (1)赋初值:对所有i, j ,d(i,j) ← w(i,j), r(i,j)←j, k←1. • (2)更新d(i,j), r(i,j):对所有i,j.若d(i.k) 十d(k.j) < d(i.j).则 • d(i,j) ← d(Hale Waihona Puke Baidu,k) 十d (k.j).r(i,j) ← k • (3)若k=n.则停止;否则.令k ←k十1.转步骤(2). • 10. 4. 3应用举例 • 1.中心间题 • 有些公共服务设施(例如一些紧急服务型设施如急救中心、消防站
• 我们可用定义或图形表示一个图.但注意到图的关联关系和邻接关系. 还可以用矩阵来表示一个图.从而更有利于计算机处理.
• 定义10. 5设G是(n.m)图·则以矩阵A = (aij) nx m表G的关联矩阵.其 中
• 以H=(hij )nx n表T邻接矩阵.其中hij为以顶点vi和vj为端点的边数(i,j =1.2...…n).
高速公路网.而怎样修这n-1条高速公路相当于在完全图Kn中找一个生 成树.确定一个连通图的生成树.有下面的算法.
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10.3图的生成树及应用
• 求生成树的加边算法: • 设G= (V,E)是连通(n,m)图.令E={e1.e2.…em}. • 第1步.令T=V .i=1.k=0. • 第2步.若T十ei含圈.转第5步. • 第3步.令T=T十e1 .k=k十1. • 第4步.若k=n-1.停.T为所求生成树. • 第5步.令i =i十1.转第2步. • 有时.需要确定赋权图(给每条边赋子一个实数.称为边的权)的最小
生成树.即边的权之和最小的生成树.
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• 最短路问题是把实际问题转化为图论问题从而得以解决的典范.许多 多阶段决策问题和选址问题都可通过求一个图中的最短路而解决.
• 10. 4. 1固定起点的最短路 • 最短路有一个重要而明显的性质:最短路是一条路.且最短路的任一
段也是最短路.假设在u-v的最短路中只取一条.则从u到其余顶点的最 短路将构成一棵以u为根的树.因此可采用树生长的过程来求指定顶点 到其余顶点的最短路.实现这一过程的方法是Dijkstra算法.
在同一顶点子集的任二顶点都相邻的简单二部图.称为完全二部图.两 个顶点子集大小分别为0、和，?，的完全二部图记为Knxm. • 设G.月是两个图.若V(H)∈ V(G),E(H) ∈E(G).则称H是G的子图;若 V(H)=V(G) ,E(H)c E(G).则称月是G的生成子图或支撑子图.
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• 定义10. 2称G=(V.E)是一个有向图.如果 • (1)V是非空有限集合; • (2)E是V中兀索有序对所组成的集合.并把V的兀索称为顶点.E的兀
索称为有向边或弧.
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• 设e=(u.v)为有向图的弧.则称顶点u是e的尾.e是u的出边.弧e与顶点u 出关联;称顶点v是e的头.e是v的入边.弧e与顶点v入关联;称u是v的前 驱或父顶点;称v少是u的后继或子顶点.
10.1图的基本概念和简单图论模型
• 设v1c V(G).且V1≠Φ.以V1为顶点集.以两端点均在V1中的全体边为边 集的G的子图.称为v,的导出子图.记为G[v,].设E1 c E(G).且E1≠Φ.以 E1为边集.以E1中的边关联的全部顶点为顶点集的G的子图.称为E1的 导出子图.记为G[E1].见图10. 2.设V1 c V(G).且V1≠Φ.则以G-V1,表示 从G中删去V,内的所有顶点以及与这些顶点相关联的边所得到的子图. 若V,={v}.常把G-{v}简记为G - v.类似地.设E1 c E(G).且E1≠Φ.则以GE1表T在G中删去E1中所有边所得的子图.同样.G-{e}简记为G-e.
• 设G是有向(n.m)图·则关联矩阵A=(aij)n xm·其中
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10.2图的矩阵表示
• 其邻接矩阵H=(hij) nx n·其中hij为以顶点vi为尾·以vj为头的边数(i, j=1,2.…n).
• 我们不加证明地给出以下几个定理: • 定理10. 5设G是有(n.m)连通图.则其关联矩阵的秩为n-1.且任意(n-
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10.1图的基本概念和简单图论模型
• (2)E是v中兀索对所组成的集合.并把v的兀索称为顶点.E的兀索称为 边.
• 图G=(V,E)常简记为G.并以V (G)或V,E(G)或E分别表示图G的顶点集 和边集.以|V (G)|或|V|,|E(G)|或|E|分别表示图G的顶点数和边数.
• 例如.在图10. 1所示的图G中. • 设边e=(u,v).则称顶点u,v是边e的端点.两个端点重合的边称为环.一