树的基本概念
数据结构树的知识点总结
数据结构树的知识点总结一、树的基本概念。
1. 树的定义。
- 树是n（n ≥ 0）个结点的有限集。
当n = 0时，称为空树。
在任意一棵非空树中：- 有且仅有一个特定的称为根（root）的结点。
- 当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1、T2、…、Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（sub - tree）。
2. 结点的度、树的度。
- 结点的度：结点拥有的子树个数称为结点的度。
- 树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。
3. 叶子结点（终端结点）和分支结点（非终端结点）- 叶子结点：度为0的结点称为叶子结点或终端结点。
- 分支结点：度不为0的结点称为分支结点或非终端结点。
- 除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
4. 树的深度（高度）- 树的层次从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推。
树中结点的最大层次称为树的深度（或高度）。
二、二叉树。
1. 二叉树的定义。
- 二叉树是n（n ≥ 0）个结点的有限集合：- 或者为空二叉树，即n = 0。
- 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。
2. 二叉树的特点。
- 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点。
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。
3. 特殊的二叉树。
- 满二叉树。
- 一棵深度为k且有2^k - 1个结点的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点是每一层上的结点数都是最大结点数。
- 完全二叉树。
- 深度为k的、有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称之为完全二叉树。
完全二叉树的叶子结点只可能在层次最大的两层上出现；对于最大层次中的叶子结点，都依次排列在该层最左边的位置上；如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子而无右孩子。
三、二叉树的存储结构。
1. 顺序存储结构。
- 二叉树的顺序存储结构就是用一组地址连续的存储单元依次自上而下、自左至右存储完全二叉树上的结点元素。
树的基本概念与特点
树的基本概念与特点树，被广泛应用于生物学、计算机科学、数学等领域，是一种重要的数据结构。
本文将介绍树的基本概念与特点，并对其进行详细论述。
一、概念树是一种由节点和边组成的非线性数据结构。
它以一个称为根节点的特殊节点作为起点，每个节点可以有零个或多个子节点，且子节点之间没有任何顺序关系。
二、特点1. 分层结构：树的节点可以按照层次分布。
根节点处于第一层，根节点的子节点处于第二层，依次类推。
2. 唯一路径：树中的任意两个节点之间只存在唯一的路径。
即从根节点到任意一个节点，只有一条路径可达。
3. 无环结构：树是无环的，即不存在环形路径。
每个节点只能通过一条路径与其他节点相连。
4. 子树概念：树中的每个节点都可以看作是一个子树的根节点。
子树是由其下属的节点及其子节点构成的一颗完整树。
三、常见类型树有许多常见的类型，每种类型都有其特定的应用场景和特点。
以下列举几种常见的树类型：1. 二叉树：每个节点最多只有两个子节点的树称为二叉树。
二叉树有许多变种，例如满二叉树、完全二叉树等。
2. 二叉搜索树：在二叉搜索树中，每个节点的值都大于其左子树中的任意节点的值，小于其右子树中的任意节点的值。
这个特性使得查找、插入和删除操作具有较高的效率。
3. 平衡二叉树：平衡二叉树是一种特殊的二叉搜索树，它的左右子树的高度差不超过1。
这保证了树的整体高度较低，提高了查找、插入和删除操作的效率。
4. B树：B树是一种自平衡的搜索树，它可以拥有多个子节点。
它的出色特性使得它被广泛应用于文件系统和数据库的设计中。
5. 红黑树：红黑树是一种特殊的二叉搜索树，具有一些平衡性质。
红黑树的高度近似于log(n)，使得它的查找、插入和删除操作具有较好的性能。
四、应用场景树的应用场景非常广泛。
下面列举几个常见的应用场景：1. 文件系统：文件系统通常使用树的结构来组织文件和目录。
每个目录可以包含多个子目录或文件。
2. 数据库：数据库中的索引通常使用树的结构，如B树和红黑树，以提高查询效率。
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
数据结构树知识点总结大全
数据结构树知识点总结大全本文将对树结构的知识点进行详细的总结，包括树的基本概念、树的分类、树的遍历、树的应用以及一些相关的算法和数据结构。
通过本文的学习，读者将对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
一、树的基本概念1.1 节点和边1.2 根节点、叶子节点和内部节点1.3 子树和森林1.4 高度和深度1.5 有序树和无序树1.6 二叉树二、树的分类2.1 二叉搜索树2.2 平衡二叉树2.3 B树和B+树2.4 红黑树2.5 AVL树2.6 Trie树2.7 堆和堆排序2.8 Huffman树2.9 伸展树2.10 Splay树三、树的遍历3.1 深度优先遍历3.1.1 前序遍历3.1.2 中序遍历3.1.3 后序遍历3.2 广度优先遍历四、树的应用4.1 数据库索引4.2 文件系统4.3 图形学中的场景图4.4 解析树4.5 代码优化4.6 线段树4.7 树状数组4.8 字典树4.9 贝叶斯分类器中的朴素贝叶斯算法五、树的相关算法和数据结构5.1 查找5.1.1 二叉搜索树的插入和删除5.1.2 二叉搜索树的查找5.1.3 递归查找和非递归查找5.2 排序5.2.1 二叉搜索树的中序遍历5.2.2 堆排序5.2.3 AVL树的平衡调整5.2.4 红黑树的插入和删除5.3 最短路径5.3.1 二叉堆的应用5.3.2 AVL树的应用5.4 动态规划5.4.1 线段树的应用5.4.2 树状数组的应用六、结语树结构是数据结构中非常重要的一部分，它有着广泛的应用领域。
通过本文的学习，读者可以对树结构有一个全面的了解，并可以在实际的编程和问题解决中灵活运用树结构。
希望本文对读者有所帮助，也希望读者可以通过学习树结构，提高自己在算法和数据结构方面的能力，为未来的编程之路打下坚实的基础。
树的组成结构
树的组成结构一、引言树是一种重要的数据结构，在计算机科学中被广泛应用。
它具有分支结构和层次关系，可以用于表示各种实际问题的数据和关系。
本文将探讨树的组成结构，包括根节点、子节点、叶节点和边。
二、树的基本概念1. 根节点：树的最顶层节点，是整个树的起点，没有父节点。
2. 子节点：根节点的直接后继节点，可以有多个子节点。
3. 叶节点：没有子节点的节点，也称为终端节点。
4. 边：连接节点的线段，表示节点之间的关系。
三、树的分类树可以分为多种类型，常见的有二叉树、平衡二叉树、B树和红黑树等。
1. 二叉树：每个节点最多有两个子节点，分为左子节点和右子节点。
2. 平衡二叉树：左右子树的高度差不超过1的二叉树，目的是提高树的查找效率。
3. B树：多路搜索树，每个节点可以有多个子节点，用于数据库和文件系统的索引结构。
4. 红黑树：一种自平衡二叉查找树，通过节点的颜色和旋转操作来保持平衡。
四、树的表示方法1. 嵌套列表表示法：用嵌套的列表来表示树的层次结构，每个子列表表示一个节点及其子节点的列表。
2. 链表表示法：每个节点包含一个值和指向其子节点的指针。
五、树的遍历方式遍历树是指按照一定的规则访问树的所有节点，常见的遍历方式有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
1. 前序遍历：先访问根节点，然后递归地遍历左子树和右子树。
2. 中序遍历：先递归地遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地遍历右子树。
3. 后序遍历：先递归地遍历左子树和右子树，然后访问根节点。
六、树的应用场景树作为一种灵活的数据结构，被广泛应用于各个领域。
1. 文件系统：文件系统通常使用树的结构来表示目录和文件的层次关系。
2. 数据库索引：B树和红黑树等平衡树结构被用于数据库索引，提高数据的检索效率。
3. 表达式求值：树结构可以用于表示数学表达式和逻辑表达式，方便求值和计算。
4. 组织结构：树可以用于表示组织结构，如公司的部门和员工关系等。
七、总结树是一种重要的数据结构，具有分支结构和层次关系。
《图论》第3章_树
② Bi中有某一列只含一个+1或-1，按此列作展开，
得到一个降一阶子式det(Bi-1)，且det(Bi)=det(Bi-1)
或det(Bi)=-det(Bi-1)；
10
3.2 关联矩阵
[证明] (续) ③ i=i-1，若 i >2 转 ② ；否则计算结束，此时
det(Bk) = det(B2) 或 det(Bk) = -det(B2) ，易知 B2的
3.1 树的基本概念
[割边] 图 G=(V,E) 中，eE。设 G=(V,E{e})，若G 的连通分支数目比G多1，则称e为G的一条割边。 [定理3-1-1] 上述e、G中，e是G的一条割边当且仅当e 不属于G中任何回路。 [树] 连通图G=(V,E)，若G中不含任何回路，则称G为 树。|V|=1时称之为平凡树。
Dk=
D1k 0
l
lk 行
n-1-lk 行
16
3.2 关联矩阵
① 若C不经过 vk，则从B生成Bk时从D中划去的是全0 (不在 D1中) 的行向量，lk=l，D1k=D1 ，即D1k每列都含+1和-1。
故 D1k不满秩，或 r(D1k) < l ；
② 若C经过vk，则从B生成Bk时从D中划去了D1中的一行，此 时 lk=l -1，即D1k中最多有l -1个非0行向量，故
是从v到T的叶子的最长路的长度。
根结点深度为0，称为第0层；
深度同为i 的结点构成树的第i 层；
具有最大深度的结点的深度称为树的深度（高 度）。
28
3.4 有向树
[有序树] 将各树的每个结点的所有儿子按次序排列， 称这样的根树为有根有序树。
有序树的每个结点的出度小于或等于m时，称为m
离散数学-树
离散数学导论
. 树
1.2 生成树
➢定义9.10
图T称为无向图G的生成树（spanning tree）， 如果T为G的生成子图且T为树。
✓定理9.17
任一连通图G都至少有一棵生成。
.. 树树
1.2 生成树
✓ 定理9.18
设G为连通无 向图，那么G的 任一回路与任一生 成树T的关于G的补 G – T ，至少有一 条公共边。
1.3 根树
➢ 定义9.15
每个结点都至多有两个儿子的根树称为 二元树（quasibinary tree）。类似地，每个结点都
至多有n个儿子的根树称为n元树。 对各分支结点 的诸儿子规定了次序（例如左兄右弟）的n 元树称
为n元有序树；若对各分支结点的已排序的诸儿子
规定了在图示中的位置（例如左、中、右），那么
弦组成G的一个割集，它被称为枝t-割集（t-cut set）；
而每一条弦e与T中的通路构成一回路，它被称为弦e-回
路（e-circuit）。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.20
在连通无向图G中，任一回路与任 一割集均有偶数条公共边。
. 树
1.2 生成树
✓ 定理9.21
设G为一连通无向图，T是G的生成树， S = {e1, e2, e3,…,ek}
✓ 定理9.19
设G为连通无 向图，那么G的任 一割集
与任一生成树至少
有一条公共边。
.. 树树
1.2 生成树
➢ 定义9.11
设T为图G的生成树，称T中的边为树枝（branch） 称G – T 中的边为弦（chord）。对每一树枝t，T–t分为
树的实现及其应用
树的实现及其应用树（Tree）是一种非常重要的数据结构，它在计算机科学中有着广泛的应用。
树是由节点（Node）和边（Edge）组成的一种层次结构，其中一个节点可以有零个或多个子节点。
树结构中最顶层的节点称为根节点（Root），最底层的节点称为叶节点（Leaf），除了根节点外，每个节点有且仅有一个父节点。
一、树的基本概念在树的结构中，每个节点可以有多个子节点，这些子节点又可以有自己的子节点，以此类推，形成了树的层次结构。
树的基本概念包括以下几个要点：1. 根节点（Root）：树结构的最顶层节点，没有父节点。
2. 叶节点（Leaf）：树结构的最底层节点，没有子节点。
3. 父节点（Parent）：一个节点的直接上级节点。
4. 子节点（Child）：一个节点的直接下级节点。
5. 兄弟节点（Sibling）：具有相同父节点的节点互为兄弟节点。
6. 子树（Subtree）：树中的任意节点和它的子节点以及这些子节点的子节点构成的子树。
7. 深度（Depth）：从根节点到某个节点的唯一路径的边的数量。
8. 高度（Height）：从某个节点到叶节点的最长路径的边的数量。
二、树的实现树的实现可以通过多种方式来完成，其中最常见的是使用节点和指针的方式来表示树结构。
在实际编程中，可以通过定义节点类（NodeClass）来表示树的节点，然后通过指针来连接各个节点，从而构建出完整的树结构。
下面是一个简单的树节点类的示例代码：```pythonclass TreeNode:def __init__(self, value):self.value = valueself.children = []```在上面的示例中，TreeNode类表示树的节点，每个节点包含一个值（value）和一个子节点列表（children）。
通过不断地创建节点对象并将它们连接起来，就可以构建出一棵完整的树。
三、树的遍历树的遍历是指按照一定顺序访问树中的所有节点。
树的基本概念和特点
树的基本概念和特点树是一种重要的数据结构，在计算机科学领域被广泛应用。
它是由节点（node）和边（edge）组成的一种非线性数据结构。
树的基本概念和特点对于理解和使用树结构至关重要。
本文将介绍树的基本概念和特点，并探讨其在实际应用中的重要性。
一、树的基本概念树是由节点和边组成的一种层次结构。
它包含一个根节点，根节点可以有零或多个子节点，每个子节点又可以有自己的子节点。
树的节点分为内部节点和叶节点。
内部节点是有子节点的节点，而叶节点是没有子节点的节点。
树的节点之间通过边连接。
树中的节点可以有任意多个子节点，但每个节点只能有一个父节点。
除了根节点之外，其它节点都有且只有一个父节点。
树中的节点和边之间满足以下关系：1. 每个节点有且只有一个父节点，除了根节点；2. 每个节点可以有零或多个子节点；3. 树中的任意两个节点之间存在唯一的路径。
树结构的层次性使得我们可以轻松地对树进行遍历和搜索操作。
常用的树遍历方法有前序遍历、中序遍历和后序遍历。
在实际应用中，树的层次结构常用于组织和管理数据，例如文件系统、数据库索引等。
二、树的特点1. 层次性：树的节点分为不同的层次，根节点位于最顶层，其它节点根据其与根节点的距离划分不同的层次。
2. 唯一性：树中的任意两个节点之间存在唯一的路径。
这使得我们可以通过路径快速找到任意节点。
3. 递归性：树的结构具有递归性质。
每个节点都可以看作一个子树的根节点。
通过递归的方式，可以对整棵树进行遍历和操作。
4. 有序性：树中的各个节点之间存在明确定义的父子关系。
每个节点有其在树中的位置和顺序。
5. 分支性：树的节点可以有任意多个子节点，每个子节点可以有自己的子节点。
这种分支性使得树结构非常灵活，适用于各种数据组织和管理的场景。
三、树的应用树结构在计算机科学中应用广泛，几乎可以在各个领域找到其身影。
1. 文件系统：文件系统通常使用树的结构来组织文件和文件夹。
根节点是文件系统的根目录，每个文件夹是一个子节点，文件夹中的文件是叶节点。
树的基本概念与操作
树的基本概念与操作（正文开始）树的基本概念与操作树是一种非线性数据结构，它由n(n≥0)个节点的有限集合组成。
其中，有且仅有一个根节点，其它节点分为m(m≥0)个互不相交的有限集合，每个集合本身又是一个树，并称为根的子树。
树的基本概念包括节点、根节点、子树、父节点、子节点和叶节点等。
一、树的基本概念树是由节点和边构成的。
每个节点都包含一个元素和指向其子节点的指针。
其中，根节点是树的顶部节点，它没有父节点。
子节点是根节点的直接下层节点，叶节点是没有子节点的节点。
节点之间的连接由边表示，表示节点之间的关系。
二、树的操作树的操作是对树进行增、删、改、查等操作的过程。
常见的树的操作包括插入节点、删除节点、遍历树等。
1. 插入节点在树中插入新的节点可以通过以下步骤完成：a. 若树为空，则将新节点作为根节点插入；b. 若树不为空，则需要找到插入位置。
从根节点开始，比较新节点的值与当前节点的值的大小关系：- 若新节点的值比当前节点的值小，则继续在当前节点的左子树中查找插入位置；- 若新节点的值比当前节点的值大，则继续在当前节点的右子树中查找插入位置；- 若新节点的值与当前节点的值相等，则不插入重复值的节点。
2. 删除节点在树中删除指定节点可以通过以下步骤完成：a. 首先需要找到要删除的节点。
从根节点开始，比较要删除节点的值与当前节点的值的大小关系：- 若要删除节点的值比当前节点的值小，则继续在当前节点的左子树中查找要删除的节点；- 若要删除节点的值比当前节点的值大，则继续在当前节点的右子树中查找要删除的节点；- 若找到要删除的节点，则执行删除操作；- 若树中不存在要删除的节点，则不执行任何操作。
b. 执行删除操作时，根据要删除节点的情况进行处理：- 若要删除节点没有子节点，则直接删除该节点；- 若要删除节点只有一个子节点，则将子节点替换为要删除节点的位置；- 若要删除节点有两个子节点，则需要找到要删除节点的后继节点（即右子树中最小的节点），将后继节点的值赋给要删除节点，并删除后继节点。
计算机中的树的名词解释
计算机中的树的名词解释在计算机科学领域，树（Tree）是一种非常重要且广泛应用的数据结构。
它是一种由节点（Node）组成的有层次关系的集合，在计算机中有着丰富的应用和意义。
本文将对计算机中的树进行名词解释，探究其不同类型和应用场景。
一、树的基本概念1. 节点（Node）：树中的基本单元，用于存储数据。
每个节点可以有零个或多个子节点。
2. 根节点（Root）：树的顶层节点，它没有父节点，是整个树的起点。
3. 子节点（Child）：某节点下直接连接的节点。
4. 父节点（Parent）：某节点的直接上级节点。
5. 叶节点（Leaf）：没有子节点的节点，位于树的最底层。
二、树的类型1. 二叉树（Binary Tree）：每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树常常应用于搜索算法和排序算法中。
2. 二叉搜索树（Binary Search Tree）：二叉树的一种特殊形式，左子节点的值小于根节点的值，而右子节点的值大于根节点的值。
这种特性使得二叉搜索树非常适用于快速查找和排序。
3. 平衡二叉树（Balanced Binary Tree）：一种特殊的二叉搜索树，其任意节点的左右子树高度差不超过1。
平衡二叉树的设计能够提高树的搜索、插入和删除操作的效率。
4. B树（B-Tree）：一种多路搜索树，每个节点可以拥有多个子节点。
B树常用于文件系统和数据库的索引结构中，能够提高I/O操作的效率。
5. B+树（B+ Tree）：一种扩展自B树的数据结构，与B树相比，B+树在内部节点中不存储数据，只存储索引，数据只存储在叶子节点上。
B+树特别适用于范围查询和顺序遍历。
6. 红黑树（Red-Black Tree）：一种自平衡二叉搜索树，每个节点都带有颜色属性（红色或黑色）。
红黑树通过一系列规则来保持二叉树的平衡，使得最长路径不超过最短路径的两倍。
7. Trie树（Trie Tree）：也被称为字典树或前缀树，它通过树状结构存储键值对的有序集合。
树的基本术语
树的基本术语一、树的定义树（Tree）是一种非线性的数据结构，它由n（n>=1）个节点组成的有限集合。
其中，有且只有一个节点被称为根节点，其余节点被分为若干互不相交的、且看作一个整体（子树）来处理的、有限集合。
二、树的基本术语为了更好地理解树的概念，我们需要了解一些树的基本术语：1. 节点（Node）节点是树的基本构成单元，每个节点包含数据和指向其他节点的指针或引用。
节点可以有零个或多个子节点。
2. 根节点（Root）根节点是树的顶端节点，它是树中唯一一个没有父节点的节点。
根节点用于标识树的起点。
3. 父节点（Parent）一个节点的直接上层节点称为其父节点。
一个节点可以有零个或一个父节点。
4. 子节点（Child）一个节点的直接下层节点称为其子节点。
一个节点可以有零个或多个子节点。
5. 兄弟节点（Sibling）拥有共同父节点的节点称为兄弟节点。
兄弟节点之间的关系是平等的。
6. 叶节点（Leaf）没有子节点的节点称为叶节点，也可以叫做终端节点。
7. 子树（Subtree）子树是由一个节点及其所有子孙节点组成的树。
每个子节点可以看作是该子树的根节点。
8. 深度（Depth）节点的深度是指从根节点到该节点的唯一路径上的边的数量。
根节点的深度为0。
9. 高度（Height）节点的高度是指从该节点到最深叶节点的路径上的边的数量。
叶节点的高度为0。
整棵树的高度是指根节点的高度。
10. 祖先节点（Ancestor）一个节点的祖先节点是从根节点到该节点的路径上的所有节点。
11. 后代节点（Descendant）一个节点的后代节点是从该节点到叶节点的所有节点。
三、树的分类树可以分为多种不同的类型，常见的树包括二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树等。
1. 二叉树（Binary Tree）二叉树是一种特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
二叉树可以是空树，也可以是非空树。
2. 二叉搜索树（Binary Search Tree）二叉搜索树是一种特殊的二叉树，其中任意节点的左子树中的值都小于该节点的值，任意节点的右子树中的值都大于该节点的值。
c++关于树的知识点
c++关于树的知识点C++关于树的知识点一、树的基本概念1、树是一种有序的数据结构，它由节点组成，每个节点有一个根，一个父节点，可以有零个或多个子节点。
2、每个节点都有一个唯一的路径，从根节点到它的子节点的路径称为节点的路径。
3、树是递归的数据结构，每一个子节点都可以看作是另一个子树。
4、树的高度是指根节点到最深节点的最长路径的长度。
5、树的深度是指一个节点到另一个节点的最短路径的长度。
二、树的属性1、二叉树：每个节点最多有两个子节点的树称为二叉树。
2、多叉树：每个节点有多个子节点的树称为多叉树。
3、多路树：每个节点有多个子树的树称为多路树。
4、完全二叉树：每个节点都有两个或没有子节点，并且所有叶子节点都在同一层的树称为完全二叉树。
5、完美二叉树：每个节点都有两个子节点，并且所有叶子节点都在同一层的树称为完美二叉树。
三、树的操作1、插入：将新节点插入树中的特定位置。
2、删除：从树中删除特定节点。
3、查找：在树中查找特定节点。
4、遍历：按特定顺序访问树中的所有节点。
四、树的遍历方法1、前序遍历：先访问根节点，再访问它的左右子树。
2、中序遍历：先访问根节点的左子树，再访问根节点，最后访问右子树。
3、后序遍历：先访问左右子树，然后访问根节点。
4、层次遍历：从根节点开始，沿着树的宽度访问，先访问第一层，再访问第二层，依次类推。
五、树的应用1、树可以用来表示文件系统结构。
2、树也可以用来表示组织结构，如政府机构和企业组织结构。
3、树是高效的数据结构，通常用于存储和检索大量数据。
4、树还被用来表示数学表达式，语法分析、决策分析等。
树1
有何特征？
2.二叉树
2）从一棵二叉树到树的转换规则是： (1)若结点X是双亲Y的左孩子，则把X的右孩子，右孩子的右孩 子…都与Y用连线相连； (2)去掉原有的双亲到右孩子的连线。
2.二叉树
3) 树和二叉树间的转换实例
2.二叉树
2.6 二叉树的性质
性质1：在二叉树的第i层上至多有2i-1个结点(i≥1)。 证明：可用数学归纳法予以证明。 当i=1时有2i-1=20=1，同时第一层上只有一个根结点，故命题成立。 设当i=k时成立，即第k层上至多有2k-1个结点。 当i=k+1时，由于二叉树的每个结点至多有两个孩子，所以第k+1层 上至多有22k-1=2k个结点，故命题成立。
1.树的基本概念
结点的层次：从根结点开始，根结点为第一 层，根的孩子为第二层，根的孩子的孩子为 第三层，依次类推。 如：结点M的层次为4。 树的深度：树中结点的最大层次数。 如：该树的深度为4。 堂兄弟：双亲在同一层上的结点互称为堂兄 弟。 例如结点E，G，H互为堂兄弟。 路径：若存在一个结点序列k1,k2,…,kj, 可 使k1到达kj, 则称这个结序序列是k1到达kj 的一条路径。
树的引入
树的引入
树与线性表的逻辑特征比较
线性表是一种线性结构
线性结构的逻辑特征是：有且仅有一个开始结点和一个 终端结点，且所有结点都最多只有一个直接前趋和一个 直接后继。
树是一种非线性结构
非线性结构的逻辑特征是一个结点可能有多个直接前趋 和直接后继。
结构特征
线性表 树 线性结构 非线性结构
直接前趋个数
1.树的基本概念
1.2树的直观表示形式
(1)直观表示法
使用圆圈表示结点，连线表示结点间的关系，结点的名字可写在圆 圈内或圆圈旁
树,二叉树,森林
二叉树
二叉树性质（续） ② 高度为k的二叉树最多有2k-1个结点(k≥1) 证明：
高度为k的二叉树只有在每一层都达到最大结点数时，整个二叉树的结点数 才能达到最大。即当每层的结点数目都达到该层的最大结点数2i-1时（性质 2），对应的二叉树的结点数目取得最大值(等比数列求和) a1(1-qn)/(1-q)
因此如果把完全二叉树的各个结点按编号顺序依次存放到一个一维数组， 对于完全二叉树中任意结点i的双亲结点序号、左孩子结点序号和右孩子 结点序号都可由公式计算得到，具体做法是将n个结点存放到一维数组 a[n+1]中。这便是完全二叉树的顺序存储。
二叉树
带有结点编号的完全二叉树
二叉树
对于非完全二叉树是构造虚结点完成顺序存储
树的基本概念
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树的基本概念
3、树的表示方法 （4种）
树形表示 文氏图表示 凹入表示
嵌套括号表示
A(B,C(D,E))
二叉树
二叉树是树型结构的一个重要类型，许多实际问题抽象 出来的数据结构都是二叉树的形式，此外一般的树也可以 简单的转换为二叉树，因此二叉树是特别重要的一种树结 构。 1、二叉树的定义： 二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个有限结点构成、 每个结点最多有两个孩子且有左右区分的有序树合。 n=0的树称为空二叉树；n>0的二叉树由一个根结点 和两个互不相交的、分别称作左子树和右子树的子二叉树 构成。
树、森林和二叉树的关系
树、森林和二叉树的关系
孩子兄弟表示法（二叉链表表示法）： 链表中每个结点设有两个链域，分别指向该结点的第一个孩 子结点和下一个兄弟（右兄弟）结点。
树、森林和二叉树的关系
软件技术--树与二叉树
（3 ） 若*p结点的左子树和右子树均不为空。
五、哈夫曼树的应用
1、什么是哈夫曼树
假设有n个权值{w1，w2，…，wn}，试构造一棵有n 个叶子结点的二叉树，每个叶子结点带权wi，则其中带 权路径长度WPL最小的二叉树称作最优二叉树或哈夫 曼树。
2、 树的基本术语
结点的度：一个结点拥有的子树数称为该结点的度。 叶子结点：度为0的结点称为叶子（Leaf）或终端结点。 非终端结点：度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。除根结 点之外，分支结点也称为内部结点。
树的度：树内各结点的度的最大值称为树的度。 树中结点之间的关系：在描述结点之间的关系时，通常用家族关 系来形象的称呼结点之间的联系。结点的子树的根称为该结点的孩 子（Child），相应的，该结点称为孩子的双亲（Parents）或父结点。 同一个双亲的孩子之间称为兄弟（Sibling）。 结点的层次（Level）：一棵树从根开始定义起，根为第一层，根的 孩子为第二层，…，依此类推。若某结点在第i层，则其子树的根就 在第i＋1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。
(4) 性质4: 具有n个结点的完全二叉树的深度为log2n＋1。
3、几种特殊的二叉树
• 满二叉树：深度为K，且存在2K-1个结点的二叉树。 • 完全二叉树：至多只有最下面两层上的结点度数可以小于
2，并且最下层结点都集中在该层最左边的位置。 • 平衡二叉树：或是一棵空树，或是具有下列性质的二叉树：
每次插入一个结点的递归算法
struct node {anytype data; struct node *lchild; struct node *rchild; } *root; void insnode(t,d) struct node *t; anytype d;
树的基本概念与分类
树的基本概念与分类在自然界中，树是地球上最常见且最重要的植物之一。
它们生长得高大而壮观，为我们提供氧气、食物、木材等各种资源。
本文将介绍树的基本概念以及根据不同的分类标准对树进行分类。
一、基本概念树是一种由根、茎和叶组成的多年生植物。
它具有以下几个基本特征：1. 根：树的根是位于地下的部分，主要负责吸收水分和养分，并固定树的位置。
树的根通常分为主根和侧根，它们一起构成了根系。
2. 茎：树的茎是位于地上的部分，负责承载树的各个组成部分。
树的茎具有坚硬的纤维素，可以抵御外界的压力，并通过树皮进行保护。
3. 叶：树的叶是负责光合作用的重要器官，通过叶子的叶绿素吸收阳光，并将它转化为植物所需的能量。
树的叶通常具有扁平的形状，有利于最大程度地吸收阳光。
二、分类根据不同的分类标准，树可以被分为多个不同的类别。
以下是根据植物形态学和生物学特征的分类方法：1. 根据叶形分类（1）针叶树：这类树木的叶子一般为针状，如松树、云杉等。
它们有很好的适应能力，在寒冷或干燥的环境中生长。
（2）阔叶树：这类树木的叶子较为宽大，通常为扁平形状。
常见的阔叶树包括橡树、枫树等。
2. 根据叶序分类（1）对生树：这类树木的叶子一般对生在茎上，如杨树、枫树等。
（2）互生树：这类树木的叶子互生在茎上，如梧桐树、枸杞树等。
3. 根据果实分类（1）裸子植物：这类树木的种子裸露在果实的外部，如松树、柏树等。
（2）被子植物：这类树木的种子被果实所包裹，如苹果树、橙树等。
4. 根据习性分类（1）落叶乔木：这类树木的叶子在秋季时会逐渐变黄并脱落，如槭树、枫树等。
（2）常绿乔木：这类树木的叶子在全年都保持绿色，如松树、杉树等。
5. 根据生长地区分类（1）寒带树：这类树木适应寒冷的气候，通常生长在高纬度地区，如北极松、冷杉等。
（2）温带树：这类树木适应温和的气候，通常生长在中纬度地区，如橡树、枫树等。
（3）热带树：这类树木适应炎热的气候，通常生长在低纬度地区，如棕榈树、榕树等。
树的同构_精品文档
树的同构引言：树是一种重要的数据结构，在计算机科学和数学中被广泛应用。
在许多应用领域，我们需要比较树的相似性和同构性。
树的同构是指两个树之间存在一种一对一映射，使得对应的节点之间的结构和关系保持一致。
在本文中，我们将研究树的同构问题，并提供一种解决方案。
一、树的基本概念1.1 树的定义树是一种非线性数据结构，由若干个节点和连接它们的边组成。
树是一个分层结构，其中有一个称为根节点的特殊节点，其他节点被根节点和它们的链接分为不同的层次。
在一棵树中，每个节点（除了根节点）都有且仅有一个父节点，而可以有零个或多个子节点。
1.2 树的表示方法树可以使用多种表示方法，包括链式表示法和数组表示法。
链式表示法使用指针连接节点，每个节点包含一个指向父节点的指针和一个指向子节点的指针。
数组表示法使用数组来存储节点，通过索引来表示节点之间的关系。
1.3 子树和叶节点在一棵树中，每个节点都可以是一个子树的根节点。
子树是由根节点及其所有后代节点组成的树。
叶节点是没有子节点的节点，也称为终端节点。
二、树的同构性检测为了判断两棵树是否同构，我们首先需要定义树的同构的概念。
两棵树被视为同构的条件是它们具有相同的结构和关系，即它们的节点之间的连接方式和层次结构相同。
2.1 基本思想树的同构性检测可以通过深度优先搜索（DFS）来实现。
我们从两棵树的根节点开始遍历，比较它们的值和子节点的数量，如果相同，则递归比较它们的子节点。
2.2 算法流程树的同构性检测可以通过以下步骤实现：1. 检查根节点的值是否相等，如果不相等，则两棵树不同构。
2. 比较根节点的子节点数量，如果不相等，则两棵树不同构。
3. 对于每个子节点，递归调用同构性检测函数，比较它们的子节点。
2.3 代码实现```pythondef isomorphic(root1, root2):if root1 is None and root2 is None:return Trueif root1 is None or root2 is None:return Falseif root1.value != root2.value:return Falseif len(root1.children) != len(root2.children):return Falsefor i in range(len(root1.children)):if not isomorphic(root1.children[i], root2.children[i]): return Falsereturn True```三、树的同构性应用树的同构性检测在许多实际应用中都有重要的作用。
第6章-1( 树的基本概念)
10．层数 根结点的层数为1，其它结点的层数为从根结点到该 结点所经过的分支数目再加1。 11. 树的高度（深度） 树中结点所处的最大层数称为树的高度，如空树的 高度为0，只有一个根结点的树高度为1。 12.树的度 树中结点度的最大值称为树的度。
13. 有序树
若一棵树中所有子树从左到右的排序是有顺序的，不 能颠倒次序。称该树为有序树。 14. 无序树
性质3 对任意一棵二叉树，如果叶子结点个数为n0， 度为2的结点个数为n2，则有n0=n2+1。 证明：设二叉树中度为1的结点个数为n1，根据二叉树 的定义可知，该二叉树的结点数n=n0+n1+n2。又因为 在二叉树中，度为0的结点没有孩子，度为1的结点有1 个孩子，度为2的结点有2个结孩子，故该二叉树的孩 子结点数为 n0*0+n1*1+n2*2 ，而一棵二叉树中，除根 结点外所有都为孩子 结点，故该二叉树的结点数应为 孩子结点数加1即：n=n0*0+n1*1+n2*2+1因此,有 n=n0+n1+n2=n0*0+n2*1+n2*2+1，最后得到n0=n2+1。 先定义两种特殊的二叉树:
初始化树T。 (2) root(T) 求树T的根结点。
(3) parent(T,x)
求树T中，值为x的结点的双亲。 (4) child(T,x,i)
求树T中，值为x的结点的第i个孩子。
(5) addchild(y,i,x) 把值为x的结点作为值为y的结点的第i个孩子插入到树 中。 (6) delchild(x,i)
图 6-1 树的示意图
2. 凹入法表示法
具体参见图6-3 。
A B E J K L F C G D H M I 图 6-3 图 6-1(c)的树的凹入法表示
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备注：
树是边最少的连通图
树是边最多的无简单回路的图
树中边和点的数量关系
设T是树，令n=|VT|, m=|ET|, 则m=n-1。 证明. 对n进行归纳证明。当n=1, T是平凡树，结论显然成立。 假设当nk是结论成立。 若n=k+1。因为T中每条边都是割边，任取eET, T-{e}含两 个连通分支，设其为T1, T2, 并设它们边数分别是m1, m2, 顶点数分别是n1, n2, 根据归纳假设：m1=n1-1, m2=n2-1。 注意：n1+n2=n, m1+m2=m-1。 m= m1+m2+1=n-1。
连通图边数的下限
顶点数为n（ n2）的连通图，其边数mn-1。
(对于树，m=n-1, “树是边最少的连通图”)
证明：对n进行一般归纳。当n=2时结论显然成立。
设 G 是 边 数 为 m 的 连 通 图 ， 且 |VG|=n>2 。 任 取 vVG ， 令 G’=G-v,设G’有(1)个连通分支G1,G2,…,G，且Gi的边数 和顶点数分别是mi和ni。
n-1 = mi （入度总数=出度总数） n=i+l （顶点分为内点和树叶）
高度为h的m元树的顶点数叶。
按照高度h进行归纳证明。（第1层顶点最多为m个）
若高度为h的m元树有l个树叶，则h logml.
如果这棵树是完全的且平衡的，则有h= logml.
入度>1
假设从 vn 到 v0 也有通路
(c)
根树的图形表示
边上的方向用约定的位置关系表示
根也是内点，除非 它是图中唯一顶点。
第 0层
根 内点（有子女）
第 1层
树叶（无子女） 树高=3（最大的通路长度）
第 2层
第 3层
根树与家族关系
用根树容易描述家族关系，反之，家族关系术语被用于描 述根树中顶点之间的关系。
u x
P1 y
v
P2
有关树的几个等价命题
设T是简单无向图，下列四个命题等价：
(1) T是不包含简单回路的连通图。//树的定义
(2) T中任意两点之间有唯一简单通路。 (3) T连通，但删除任意一条边则不再连通。
(4) T不包含简单回路，但在任意不相邻的顶点对之间加一 条边则产生唯一的简单回路。
平衡：树叶都在h层或(h-1)层, h为树高。 有序：同层中每个顶点排定次序
有序二叉树通常也简称为二叉树
根树的几个术语（续）
定义：设T是根树，T中任一顶点v及其所有后代的导 出子图显然也是根树(以v为根)，称为T的根子树。
有序二叉树的子树分为左子树和右子树
即使不是完全二叉数，也可以 分左、右，必须注意顶点位置
我们有n=n1+n2+…+n+1, mm1+m2+…+m+ (每个连通分 支中至少有一个顶点在G中与删除的v相邻)。 由归纳假设，mini-1(i=1,2,…)。 所以：m m1+m2+…+m+n1+n2+…+n-+=n-1。
与边点数量关系有关的等价命题
设T是简单无向图，下列三个命题等价： (1) T是树。
(2) T不含简单回路，且m=n-1。
(3) T连通，且m=n-1。
(1)(2), 已证。
(2)(3), 若不连通，分支数2，各分支为树（无简单回 路、连通），则m=n-<n-1，矛盾。
(3)(1), 设e是T中任意一条边，令T’=T-e, 且其边数和顶点 数分别是m’和n, 则m’=m-1=n-2<n-1, T’是非连通图。因 此，G的任意边均不在简单回路中，G中无简单回路。
根树的定义
定义：底图为树的有向图称为有向树。 定义：若有向树恰含一个入度为0的顶点，其它顶 点入度均为1，则该有向树称为根树，那个入度为 0的顶点称为根。
根树中的有向通路
若v0是根树T的根,则对T中任意其它顶点vn ,存在唯 一的有向v0vn-通路,但不存在vnv0-通路。
v0
v0 vn vk 假设v0 vn-通路 p 多于１条 vi w1 (a) vn (b) vn v0
有序根树的遍历
后序遍历 （postorder）
树的基本概念
离散数学─树
南京大学计算机科学与技术系
内容提要
树的定义 树的性质 根树 有序根树的遍历
树的定义
定义：不包含简单回路的连通无向图称为树。
森林（连通分支为树） 树叶/分支点（度为1？）
互不同构的6个顶点的树
树中的通路
设T是树，则u,vVT, T中存在唯一的 uv-简单通路。
mh-1 l mh
有序根树的遍历
前序遍历 （preorder）
T只包含根r，则为 r；
T的子树为T1, …, Tn, 则为 r, preorder(T1), …, preorder(Tn)
r
T1
…
Tn
有序根树的遍历
前序遍历 （preorder）
a b c e f j g h k i d
John's ancestors John's parent
John John's child
John’s siblings
John's descendants
根树的几个术语
m元树：每个内点至多有m个子女
2元树也称为二叉树 每个内点恰好有m个子女
完全m元树(full m-ary tree)
证明：T是连通图，u,vVT, T中存在uv-简单通路。
假设T中有两条不同的uv-简单通路P1,P2。不失一般性，存在 e=(x,y)满足：eP1但eP2，且在路径P1上x比y靠近u。令 T*=T-{e}，则T*中包含P2, 于是(P1中的xu-段)+P2+( P1中的vy段)是T*中的xy-通路，T*中含xy-简单通路(记为P’)，则 P’+e是T中的简单回路，与树的定义矛盾。
左子树 右子树
根树（举例）
树的高度、各顶点所处的层数 完全、平衡
完全m元树的顶点数
设T是完全m元树，
若T有n个顶点, 则有i=(n-1)/m个内点和l=[(m-1)n+1]/m个树叶. 若T有i个内点，则有n=mi+1顶点和l=(m-1)i+1个树叶. 若T有l个树叶，则有n=(ml-1)/(m-1) 个顶点和i=(l-1) )/(m-1) 个内点.