第十四章 傅里叶级数

第十四章 傅里叶级数

§1 三角级数与傅里叶级数

1．证明

(1) sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 是[0,]π上的正交系； (2) sin x ，sin 3x ， ， ()sin 21n x +， 是[0,

]2

π

上的正交系；

(3) 1，cos x ，cos 2x ， ，cos nx ， 是[0,]π上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 不是[0,]π上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数：

(1) 三角多项式()()0

cos sin n

n i

i i P x a

ix b ix ==

+∑；

(2) ()()3

f x x x ππ=-<<； (3) ()cos

2

x f x =；

(4) ()() ax

f x e x ππ=-<<； (5) ()()sin f x x x ππ=-<<； (6) ()()cos f x x x x ππ=-<<； (7) (), 00, 0x x f x x ππ

-<<⎧=⎨

≤<⎩；

(8) ()()2

2

f x x x πππ=--<<； (9) ()sgn cos f x x =； (10) ()() 022

x

f x x ππ-=

<<.

3．设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，证明： (1) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=，则

21210, 1,2,m m a b m --=== ；

(2) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=-，则

220, 1,2,m m a b m === .

§2 傅里叶级数的收敛性

1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ()sin [,]f x x x x ππ=∈-；

(2) ()2, [0,]

1, [,0)x x f x x ππ⎧∈=⎨∈-⎩

；

2．由展开式

()1

1sin 2(1)

n n nx x x n

ππ∞

+==--<<∑，

(1) 用逐项积分法求2

x ，3

x ，4

x 在(,)ππ-中的傅里叶展开式；

(2) 求级数()

1

4

1

1n n n

+∞

=-∑

，4

1

1n n

∞

=∑

的和.

3． (1) 在 (,)ππ-内，求()x

f x e =的傅里叶展开式；

(2) 求级数2

11

1n n

∞

=+∑

的和.

4．设()f x 在[,]ππ-上逐段可微，且()()f f ππ-=. n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，

'n a ，'n b 是()f x 的导函数'()f x 的傅里叶系数，证明：

0'0a =，'n n a nb =，'n n b na =- ( n 1,2,=

.

5．证明：若三角级数

()01

cos sin 2

n

n n a a

nx b nx ∞

=+

+∑

中的系数n a ，n b 满足关系

{

}33

max ,n n

n a n b M

≤，

M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.

6．设()()01

cos sin 2

n

n k

k k a T x a

kx b kx ==

+

+∑，求证：

()()1sin 122sin

2

n n

n t T x T x t dt t ππ

π-⎛

⎫+

⎪⎝

⎭

=+⎰.

7．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上单调递减，且有界，求证：()0 0n b n ≥>. 8．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上导数'()f x 单调上升有界. 求证：()0 0n a n ≥>.

9．证明：若()f x 在0x 点满足α阶的利普希茨条件，则()f x 在0x 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.

10．设()f x 是以2π为周期的函数，在[,]ππ-绝对可积，又设()n S x 是()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和

()()01

cos sin 2

n

n k

k k a S x a

kx b kx ==

+

+∑，

则 ()()()

()20

224

22

n n f

x t f x t S x D t dt π

π

++-=⎰

，

其中()n D t 是狄利克雷核.

11．设()f x 是以2π为周期，在(),-∞∞连续，它的傅里叶级数在0x 点收敛. 求证：

()()()00 n S x f x n →→+∞.

12．设()f x 是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则()0f x ≡. 13．设()f x 是以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积. 又设0(,)x ππ∈-满足

()()

000

lim 2

t f

x t f x t L +

→++-=

存在. 证明()0lim n n x L σ→∞

=. 进一步，若()f x 在0x 点连续，则()()00lim n n x f x σ→∞

=，其中

()()0

1

1

n

n k

k x S x n σ==

+∑.