第十四章 傅里叶级数

第十四章 傅里叶级数
§1 三角级数与傅里叶级数
1．证明
(1) sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 是[0,]π上的正交系； (2) sin x ，sin 3x ， ， ()sin 21n x +， 是[0,
]2
π
上的正交系；
(3) 1，cos x ，cos 2x ， ，cos nx ， 是[0,]π上的正交系； (4) 1，sin x ，sin 2x ， ， sin nx ， 不是[0,]π上的正交系； 2．求下列周期为2π的函数的傅里叶级数：
(1) 三角多项式()()0
cos sin n
n i
i i P x a
ix b ix ==
+∑；
(2) ()()3
f x x x ππ=-<<； (3) ()cos
2
x f x =；
(4) ()() ax
f x e x ππ=-<<； (5) ()()sin f x x x ππ=-<<； (6) ()()cos f x x x x ππ=-<<； (7) (), 00, 0x x f x x ππ
-<<⎧=⎨
≤<⎩；
(8) ()()2
2
f x x x πππ=--<<； (9) ()sgn cos f x x =； (10) ()() 022
x
f x x ππ-=
<<.
3．设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积，证明： (1) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=，则
21210, 1,2,m m a b m --=== ；
(2) 如果函数()f x 在[,]ππ-满足()()f x f x π+=-，则
220, 1,2,m m a b m === .
§2 傅里叶级数的收敛性
1．将下列函数展成傅里叶级数，并讨论收敛性： (1) ()sin [,]f x x x x ππ=∈-；
(2) ()2, [0,]
1, [,0)x x f x x ππ⎧∈=⎨∈-⎩
；
2．由展开式
()1
1sin 2(1)
n n nx x x n
ππ∞
+==--<<∑，
(1) 用逐项积分法求2
x ，3
x ，4
x 在(,)ππ-中的傅里叶展开式；
(2) 求级数()
1
4
1
1n n n
+∞
=-∑
，4
1
1n n
∞
=∑
的和.
3． (1) 在 (,)ππ-内，求()x
f x e =的傅里叶展开式；
(2) 求级数2
11
1n n
∞
=+∑
的和.
4．设()f x 在[,]ππ-上逐段可微，且()()f f ππ-=. n a ，n b 为()f x 的傅里叶系数，
'n a ，'n b 是()f x 的导函数'()f x 的傅里叶系数，证明：
0'0a =，'n n a nb =，'n n b na =- ( n 1,2,=
.
5．证明：若三角级数
()01
cos sin 2
n
n n a a
nx b nx ∞
=+
+∑
中的系数n a ，n b 满足关系
{
}33
max ,n n
n a n b M
≤，
M 为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数.
6．设()()01
cos sin 2
n
n k
k k a T x a
kx b kx ==
+
+∑，求证：
()()1sin 122sin
2
n n
n t T x T x t dt t ππ
π-⎛
⎫+
⎪⎝
⎭
=+⎰.
7．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上单调递减，且有界，求证：()0 0n b n ≥>. 8．设()f x 以2π为周期，在(0,2)π上导数'()f x 单调上升有界. 求证：()0 0n a n ≥>.
9．证明：若()f x 在0x 点满足α阶的利普希茨条件，则()f x 在0x 点连续. 给出一个表明这论断的逆命题不成立的例子.
10．设()f x 是以2π为周期的函数，在[,]ππ-绝对可积，又设()n S x 是()f x 的傅里叶级数的前n 项部分和
()()01
cos sin 2
n
n k
k k a S x a
kx b kx ==
+
+∑，
则 ()()()
()20
224
22
n n f
x t f x t S x D t dt π
π
++-=⎰
，
其中()n D t 是狄利克雷核.
11．设()f x 是以2π为周期，在(),-∞∞连续，它的傅里叶级数在0x 点收敛. 求证：
()()()00 n S x f x n →→+∞.
12．设()f x 是以2π为周期、连续，其傅里叶系数全为0，则()0f x ≡. 13．设()f x 是以2π为周期，在[,]ππ-绝对可积. 又设0(,)x ππ∈-满足
()()
000
lim 2
t f
x t f x t L +
→++-=
存在. 证明()0lim n n x L σ→∞
=. 进一步，若()f x 在0x 点连续，则()()00lim n n x f x σ→∞
=，其中
()()0
1
1
n
n k
k x S x n σ==
+∑.
§3 任意区间上的傅里叶级数
1．将下列函数在指定区间上展开为傅里叶级数，并讨论其收敛性： (1) 在区间()0,2l 展开
, 0,
()0, 2;A x l f x l x l <<⎧=⎨
≤<⎩
(2) ()cos , ,
22f x x x ππ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
；
(3) ()(), 0,f x x l =；
(4) , 01,()1, 12,3, 2 3.x x f x x x x ≤≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≤≤⎩
2．求下列周期函数的傅里叶级数： (1) ()cos f x x =； (2) []()f x x x =-.
3．把下列函数在指定区间上展开为余弦级数： (1) ()sin , 0f x x x π=≤≤；
(2) 1, 02,
()3, 2 4.x x f x x x -<≤⎧=⎨-<<⎩
4．把下列函数在指定区间上展开为正弦级数： (1) ()cos
, 02
x f x x π=≤≤
(2) 2
(), 02f x x x =≤≤.
5．把函数()2
()1f x x =-在()0,1上展开成余弦级数，并推出
2
22116123π
⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
.
6．将函数()f x 分别作奇延拓和偶延拓后，求函数的傅里叶级数，其中
1, 0,21
(), ,2
20, .2x f x x x ππππ⎧
<<⎪⎪
⎪==⎨⎪⎪<≤⎪⎩
7．应当如何把给定在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
的可积函数延拓到区间(),ππ-内，
使得它在()
,ππ-中对应的傅里叶级数为：
(1) ()()21
1cos 21n n f x a
n x ∞
-=-∑
；
(2) ()()21
1
sin 21n n f x b
n x ∞
-=-∑ .
§4 傅里叶级数的平均收敛性
1．若()f x ,()g x 以2π为周期，在[,]ππ-平方可积，
()01()cos sin 2
n
n n a f x a
nx b nx ∞
=+
+∑ ，
()0
1
()cos sin 2
n
n n g x nx nx αα
β∞
=+
+∑
，
则
()001
1
()()2
n
n
n n n a f x g x dx a b π
π
αα
βπ
∞
-
==
+
+∑⎰.
2．设()f x 在[0,]l 上平方可积，求证：
2
220
1
21()2
l n
n f x dx a a
l
∞
==
+
∑⎰
，
其中
2()cos
l n n x a f x dx l
l
π=
⎰
.。