一次函数概念及其性质

一次函数

一次函数的实例一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。

数学术语

函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx

基本定义

变量：变化的量（可取不同值）

常量：不变的量（固定不变）

自变量k和X的一次函数y有如下关系：

y=kx+b（k为任意不为零常数，b为任意常数）

当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。如果有2个及以上个值与x 对应时，就不是一次函数。

x为自变量，y为应变量，k为常量，y是x的一次函数。

特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。

定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；

要与实际相符合

函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即：y=kx+b（k≠0)（k不等于0，且k，b为常数）

2.当x=0时，b为函数在y轴上的,坐标为(0,b).

3.k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角,Θ≠90°)形、取、象、交、减。

4.当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数.

5.当两直线中的k相同，b也相同时，两直线重合

当两直线中的k相同，b不相同时，两直线平行

当两直线中的k不相同，b不相同时，两直线相交

当两直线中的k不相同，b相同时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）

图像性质

1．作法与图形：通过如下３个步骤

（1）列表

（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理]；

（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）

2．性质：

（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

4．k，b与函数图像所在象限：

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；

当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当 k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

当 k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

当 k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

当 k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

当b＞0时，直线必通过第一、二象限；

当b＜0时，直线必通过第三、四象限。

特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k ＜0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。

4、特殊位置关系

当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

表达式

解析式类型

①一般式ax+by+c=0

②斜截式y=kx+b （k为直线斜率，b为直线纵截距；其中正比例函数b=0）

③点斜式y-y1=k(x-x1) （k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④两点式(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) （已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）

⑤截距式x/a + y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性

①所需条件较多（3个点，因为使用待定系数法需要列一个三元一次方程组）

②、③不能表达没有斜率的直线（即垂直于x轴的直线；注意“没有斜率的直线平行于y轴”表述不准，因为x=0与y轴重合）

④参数较多，计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过原点的直线。

倾斜角的概念

x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。设一直线的倾斜角为α，则该直线的斜率k=tanα。倾斜角的范围为[0,π)。